Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 3: Số chính phương (Có lời giải)

Nội dung text: Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 3: Số chính phương (Có lời giải)

1. DẠNG 3: SỐ CHÍNH PHƯƠNG A.Bài toán Câu 1: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số abcd , biết rằng nó là một số chính phương, số abcd chia hết cho 9 và d là một số nguyên tố. Câu 2: Cho a là một số gồm 2n chữ số 1 , b là một số gồm n 1 chữ số 1 , c là một số gồm n chữ số 1 n N * . Cmr: a b 6c 8 là một số chính phương . Câu 3: Tìm số nguyên dương n để n 1 và 4n 29 là số chính phương Câu 4: Tìm số tự nhiên n để n 18và n 41là hai số chính phương Câu 5: a) Tìm số có hai chữ sô mà bình phương của nó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng nếu cộng ba tích, mỗi tích của hai trong ba số đó thì được 26. c) Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 120 Câu 6: Cho các số a,b,c,d nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn: 2a b 2b c 2c d 2d a 6. Chứng minh A abcd là số chính phương. a b b c c d d a Câu 7: Cho an 1 2 3 n.Chứng minh rằng an an 1 là một số chính phương Câu 8: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x,y thì: A x y x 2y x 3y x 4y y4 là số chính phương Câu 9: Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ Câu 10: Tìm số tự nhiên n để: D n5 n 2 là số chính phương. Câu 11: Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một số chính phương. Câu 12: Chứng minh rằng tổng hai số chính phương liên tiếp cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ. Câu 13: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho: n4 2n3 2n2 n 7 là số chính phương. Câu 14: Chứng minh: số có dạng n6 n4 2n3 2n2 với n N và n 1 không phải là số chính phương. Câu 15: Tìm các số nguyên n để B n2 n 13 là số chính phương? Câu 16: Tìm số tự nhiên n để n 18 và n 41 là hai số chính phương Câu 17: Cho an 1 2 3 n.Chứng minh rằng an an 1 là một số chính phương Câu 18: Cho A p4 trong đó plà số nguyên tố. Tìm các giá trị của pđể tổng các ước dương của A là số chính phương. Câu 19: Tìm số tự nhiên nđể n2 4n 2013 là một số chính phương. Câu 20: Cho S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 k k 1 k 2 (với k ¥ *) Chứng minh rằng 4S 1là bình phương của một số tự nhiên
2. Câu 21: Tìm số tự nhiên nsao cho số A n2 n 6 là số chính phương. Câu 22: Tìm số tự nhiên n để n2 4n 2013là một số chính phương. Câu 23: Cho n là tổng của hai số chính phương. Chứng minh rằng n2 cũng là tổng của hai số chính phương Câu 24: Cho các số a,b,c,d nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn: 2a b 2b c 2c d 2d a 6.Chứng minh A abcd là số chính phương. a b b c c d d a Câu 25: Cho an 1 2 3 n.Chứng minh rằng an an 1 là một số chính phương. Câu 26: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì: A x y x 2y x 3y x 4y y4 là số chính phương. a 1 2 3 n. a a Câu 27: Cho n Chứng minh rằng n n 1 là một số chính phương. Câu 28: Cho a,b,clà các số hữu tỷ thỏa mãn điều kiện ab bc ac 1.Chứng minh rằng biểu thức Q a2 1 b2 1 c2 1 là bình phương của một số hữu tỷ. Câu 29: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương. P x+5 x+7 x 9 x 11 + 16. Câu 30: Tìm số tự nhiên n để n2 4n 2013 là một số chính phương Câu 31: Cho a và b là các số tự nhiên thỏa mãn 2a2 a 3b2 b Chứng minh rằng: a b và 3a 3b 1là các số chính phương. Câu 32: Cho A = p4 trong đó plà số nguyên tố. Tìm các giá trị của p để tổng các ước dương của Alà số chính phương. Câu 33: Tìm số tự nhiên nđể n2 +4n + 2013 là một số chính phương. Câu 34: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2)với k ∈ N∗ Chứng minh rằng 4S + 1là bình phương của một số tự nhiên Câu 35: Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ. Câu 36: Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị thì ta vẫn được một số chính phương. Câu 37: Tìm số tự nhiên n sao cho số A n2 n 6 là số chính phương.
3. B. HƯỚNG DẪN Câu 1: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số abcd , biết rằng nó là một số chính phương, số abcd chia hết cho 9 và d là một số nguyên tố. Lời giải: Vì abcd là số chính phương và d là một số nguyên tố có 1 chữ số nên d 5 . Đặt abc5 m2 ,m N * . Khi đó m có chữ số tận cùng là 5 (1) Mặt khác, 1000 m2 9999 suy ra 32 m 99 ( 2) Từ (1) và (2) suy ra m 35;45;55;65;75;85;95 Suy ra m2 1225;2025;3025;4225;5625;7225;9025 Ta lại có: m2 abc59 . Do đó, chọn abcd 2025;5625 . Câu 2: Cho a là một số gồm 2n chữ số 1 , b là một số gồm n 1 chữ số 1 , c là một số gồm n chữ số 1 n N * . Cmr: a b 6c 8 là một số chính phương . Lời giải: 102n 1 10n 1 1 10n 1 Ta có : a b 6c 8 6. 8 9 9 9 102n 1 10.10n 1 6.10n 6 72 9 2n n n 2 10 16.10 64 10 8 2 3 3 36 9 3 n 1so3 Vậy, a b 6c 8 là một số chính phương Câu 3: Tìm số nguyên dương n để n 1 và 4n 29 là số chính phương Lời giải: Đặt n 1 a2 ,4n 29 b2 a,b N Ta có: b2 4a2 25 b 2a b 2a 25 Mà b 2a 0 nên b 2a 0 và b 2a b 2a 0 nên suy ra b 2a 1 và b 2a 25 Do đó, a 6 . Vậy, n 35 . Câu 4: Tìm số tự nhiên n để n 18và n 41là hai số chính phương Lời giải: a) Để n 18và n 41 là hai số chính phương 2 n 18 p và n 41 q2 p,q ¥ p2 q2 n 18 n 41 59 p q p q 59 p q 1 p 30 Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: p q 59 q 29 2 2 Từ n 18 p 30 900 n 882 Thay vào n 41, ta được 882 41 841 292 q2 Vậy với n 882 thì n 18và n 41là hai số chính phương
4. Câu 5: a) Tìm số có hai chữ sô mà bình phương của nó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng nếu cộng ba tích, mỗi tích của hai trong ba số đó thì được 26. c) Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 120 Lời giải: a) Số cần tìm có dạng ab , với a,b N;1 a 9;0 b 9 2 Theo đề bài ta có: ab a b 3 10a b 2 a b 3 1 Hệ thức (1) chứng tỏ ab phải là một số lập phương và a b phải là một số chính phương. Do 10 ab 99 ab 27 hoặc ab 64 +Nếu ab 27 a b 9 32 ( chính phương ) +Nếu ab 64 a b 10 ( không chính phương nên loại ) Vậy, số cần tìm là ab 27 . b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là x 1 , x, x 1 ( ĐK : x 1, x N ) Ta có : x 1 x x x 1 x 1 x 1 26 3x2 1 26 x 3 ( Vì x 1, x N ) Vậy, ba số tự nhiên liên tiếp phải tìm là 2, 3, 4. c) Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là x 1 , x, x 1 , x 2 ( ĐK : x 2, x Z ) Ta có : x 1 x x 1 x 2 120 x x 1 x 1 x 2 120 2 2 2 2 x x x x 2 120 x x 2 x x 1 121 2 x2 x 1 112 Vì x 2, x Z nên x2 x 1 11 x 3 x 4 0 x 3 ( Vì x 4 0 ) Vậy, bốn số nguyên dương liên tiếp phải tìm là 2, 3, 4, 5 Câu 6: Cho các số a,b,c,d nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn: 2 a b 2 b c 2 c d 2 d a 6 . Chứng minh A abcd là số chính phương. a b b c c d d a Lời giải: 2a b 2 b c 2 c d 2d a 6 a b b c c d d a a b c d 1 1 1 1 6 a b b c c d d a a b c d 2 a b b c c d d a a b c d 1 1 0 a b b c c d d a b b d d 0 a b b c c d d a b c a d a c 0 a b b c c d d a b c d d a d a b b c 0 a b c a c d b d 2 b 2 d 0 b d a c b d 0 b d a c b d 0 a c b d 0 a c b d 2 Vậy A abcd ac là số chính phương
5. Câu 7: Cho an 1 2 3 n.Chứng minh rằng an an 1 là một số chính phương. Lời giải: Ta có: an 1 1 2 3 n n 1 an an 1 2 1 2 3 n n 1 n n 1 2 2. n 1 n2 2n 1 n 1 là một số chính phương. 2 Câu 8: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x,y thì: A x y x 2y x 3y x 4y y4 là số chính phương Lời giải: Ta có: A x y x 2y x 3y x 4y y4 x2 5xy 4y2 x2 5xy 6y2 y4 Đặt x2 5xy 5y2 t t ¢ thì 2 A t y2 t y2 y4 t2 y4 y4 t2 x2 5xy 5y2 Vì x,y,z ¢ nên x2 ¢ ,5xy ¢ ,5y2 ¢ x2 5xy 5y2 ¢ (dfcm) Vậy A là số chính phương Câu 9: Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ Lời giải Gọi hai số lần lượt là a2 và a 1 2 Theo đề bài ra ta có: a2 a 1 2 a2 a 1 2 a4 2a3 3a2 2a 1 2 a4 2a3 a2 2 a2 a 1 a2 a 2 a2 a 1 2 = a2 a 1 là một số chính phương lẻ vì a2 a a a 1 là số chẵn a2 a 1là số lẻ Câu 10: Tìm số tự nhiên n để: D n5 n 2 là số chính phương. Lời giải D n5 n 2 n n4 1 2 n n 1 n 1 n2 1 2 2 n n 1 n 1 n 4 5 2 n n 1 n 1 n 2 n 2 5n n 1 n 1 2 Mà n n 1 n 1 n 2 n 2 5(tích 5 số tự nhiên liên tiếp) Và 5n n 1 n 1 5. Vậy D chia 5 dư 2 Do đó D có tận cùng là 2 hoặc 7 nên D không phải là số chính phương. Vậy không có giá trị nào của n để D là số chính phương
6. Câu 11: Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một số chính phương. Lời giải Gọi abcd là số phải tìm , a,b,c,d ¥ ,0 a,b,c,d 9;a 0 2 abcd k Ta có: k,m ¥ ;31 k m 100 2 a 1 b 3 c 5 d 3 m abcd k 2 2 abcd 1353 m Do đó: m2 k 2 1353 m k m k 123.11 41.33 k m 200 m k 123 m k 41 hoặc m k 11 m k 33 m 67 k 56 m 37 k 4 Kết luận đúng: abcd 3136 Câu 12: Chứng minh rằng tổng hai số chính phương liên tiếp cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ. Lời giải Gọi hai số chính phương liên tiếp đó là k2 và (k+1)2. Ta có: k2 + (k+1)2 + k2.(k+1)2 = k4 +2k3+ 3k2 + 2k +1 = (k2 + k +1)2 = [k(k + 1) +1]2 là số chính phương. (1) Vì k(k + 1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên k(k + 1) chẵn k(k + 1) +1 lẻ [k(k + 1) +1]2 lẻ (2) Từ (1) và (2) suy ra đpcm. Câu 13: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho: n4 2n3 2n2 n 7 là số chính phương. Lời giải Giả sử n4 2n3 2n2 n 7 y2 (y ¥ ) 2 Ta có: y2 n2 n n2 n 7 2 y 2 n 2 n y n 2 n y n 2 n 1 (V i y ¥ ) y 2 n 2 n 1 2 y 2 n 2 n 1
7. 2 Thay y2 n2 n n2 n 7 n2 n 6 0 n 2 n 3 0 3 n 2 Thử trực tiếp n 2;n 3thỏa mãn Vậy số nguyên n cần tìm là n 2; 3 Câu 14: Chứng minh: số có dạng n6 n4 2n3 2n2 với n N và n 1 không phải là số chính phương. Lời giải ) Chứng minh: số có dạng n6 n4 2n3 2n2 với n N và n 1 không phải là số chính phương. 6 4 3 2 2 4 2 2 2 Ta có n n 2n 2n n n n 2n 2 n n n 1 n 1 2 n 1 2 3 2 2 3 2 n n 1 n n 2 n n 1 n 1 n 1 n2 n 1 2 n2 2n 2 Với n N và n 1 thì n2 2n 2 n 1 2 1 n 1 2 và n2 2n 2 n2 2 n 1 n2 Suy ra n 1 2 n2 2n 2 n2 với n N và n 1 do đó n2 2n 2 không phải là số chính phương. Vậy, số có dạng n6 n4 2n3 2n2 với n N và n 1 không phải là số chính phương Câu 15: Tìm các số nguyên n để B n2 n 13 là số chính phương? Lời giải Ta có B là số chính phương thì 4B cũng là số chính phương. Đặt 4B k 2 , k N Khi đó, 4B 4n2 4n 52 k 2 2n 1 k 2n 1 k 51 Vì 2n 1 k 2n 1 k nên ta có 4 trường hợp: 2n 1 k 1 2n 1 k 3 2n 1 k 51 2n 1 k 17 , , , 2n 1 k 51 2n 1 k 17 2n 1 k 1 2n 1 k 3 Giải ra ta lần lượt được: n 12,n 3,n 13,n 4 Vậy, khi n 12 hoặc n 3 hoặc n 13 hoặc n 4 thì B n2 n 13 là số chính phương. Câu 16: Tìm số tự nhiên n để n 18 và n 41 là hai số chính phương Lời giải Để n 18 và n 41 là hai số chính phương n 18 p2 và n 41 q2 p,q ¥ p2 q2 n 18 n 41 59 p q p q 59 p q 1 p 30 Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: p q 59 q 29
8. Từ n 18 p2 302 900 n 882 Thay vào n 41, ta được 882 41 841 292 q2 Vậy với n 882 thì n 18 và n 41 là hai số chính phương Câu 17: Cho an 1 2 3 n.Chứng minh rằng an an 1 là một số chính phương Lời giải Ta có: an 1 1 2 3 n n 1 n n 1 a a 2 1 2 3 n n 1 2. n 1 n2 2n 1 n n 1 2 2 n 1 là một số chính phương. Câu 18: Cho A p4 trong đó plà số nguyên tố. Tìm các giá trị của pđể tổng các ước dương của A là số chính phương. Lời giải Các ước dương của A là 1; p; p2 ; p3 ; p4 Tổng các ước là 1 p p2 p3 p4 n2 n ¥ 4 4p 4p2 4p3 4p4 4n2 Ta có: 4p4 4p3 p2 4n2 4p4 p2 4 4p3 8p2 4p 2 2 2 2 2 2p2 p 2n 2p2 p 2 2n 2p2 p 1 Do đó : 4p4 4p3 4p2 4p 4 4p4 4p3 5p2 2p 1 2 p 1(ktm) p 2p 3 0 1 p2 3(tm) Vậy p 3 Câu 19: Tìm số tự nhiên nđể n2 4n 2013 là một số chính phương. Lời giải Giả sử n2 4n 2013 m2 m ¥ 2 2 Suy ra n 2 2009 m2 m2 n 2 2009 m n 2 m n 2 2009 Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 và m n 2 m n 2 nên có các trường hợp sau: m n 2 2009 m 1005 TH1: m n 2 1 n 1002 m n 2 287 m 147 TH2 : m n 2 7 n 138 m n 2 49 m 45 TH3 : m n 2 41 n 2 Vậy các số cần tìm là 1002;138; 2
9. Câu 20: Cho S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 k k 1 k 2 (với k ¥ *) Chứng minh rằng 4S 1là bình phương của một số tự nhiên Lời giải 1 1 Ta có: k k 1 k 2 k k 1 k 2 .4 k k 1 k 2 k 3 k 1 4 4 1 1 k k 1 k 2 k 3 k k 1 k 2 k 1 4 4 4S 1.2.3.4 0.1.2.3 2.3.4.5 1.2.3.4 k k 1 k 2 k 3 k k 1 k 2 k 1 k k 1 k 2 k 3 4S 1 k k 1 k 2 k 3 1 Mặt khác: k k 1 k 2 k 3 1 k k 3 k 1 k 2 1 2 k2 3k k2 3k 2 1 k2 3k 1 Mà k ¥ * nên k2 3k 1 ¥ * nên suy ra đpcm. Câu 21: Tìm số tự nhiên nsao cho số A n2 n 6 là số chính phương. Lời giải Giả sử A là số chính phương, suy ra tồn tại số k ¥ sao cho : n2 n 6 k2 4 n2 n 6 4k2 2 2 2k 2n 1 23 2k 2n 1 2k 2n 1 23 (*) Do k,n ¥ nên dễ thấy 2k n 1và 2k 2n 1là các số nguyên Ngoài ra 23 0 và 2k 2n 1 1; 2k 2n 1 2k 2n 1 Suy ra 1 2k 2n 1 2k 2n 1 Căn cứ các lập luận trên và 23 là số nguyên tố nên từ (*) suy ra 2k 2n 1 0 4n 2 22 n 5 2k 2n 1 23 Với n 5 thì A 36 62 là số chính phương Vậy n 5 là số tự nhiên cần tìm Câu 22: Tìm số tự nhiên n để n2 4n 2013là một số chính phương. Lời giải Giả sử n2 4n 2013 m2 m ¥ Suy ra n 2 2 2009 m2 m2 n 2 2 2009 m n 2 m n 2 2009 Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 và m n 2 m n 2 nên có các trường hợp sau: m n 2 2009 m 1005 TH 1 : m n 2 1 n 1002 m n 2 287 m 147 TH 2 : m n 2 7 n 138 m n 2 49 m 45 TH 3 : m n 2 41 n 2 Vậy các số cần tìm là 1002;138;2
10. Câu 23: Cho n là tổng của hai số chính phương. CMR : n2 cũng là tổng của hai số chính phương Lời giải Đặt N a2 b2 với a,b ¥ 2 Khi đó N 2 a4 2a2b2 b2 4a2b2 a2 b2 2ab 2 là tổng của hai số chính phương. Câu 24: Cho các số a,b,c,d nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn: 2a b 2b c 2c d 2d a 6.Chứng minh A abcd là số chính phương. a b b c c d d a Lời giải 2a b 2b c 2c d 2d a a) 6 a b b c c d d a a b c d 1 1 1 1 6 a b b c c d d a a b c d 2 a b b c c d d a a b c d 1 1 0 a b b c c d d a b b d d 0 a b b c c d d a b c a d a c 0 a b b c c d d a b c d d a d a b b c 0 abc acd bd 2 b2d 0 b d ac bd 0 b d ac bd 0 ac bd 0 ac bd Vậy A abcd ac 2 là số chính phương Câu 25: Cho an 1 2 3 n.Chứng minh rằng an an 1 là một số chính phương. Lời giải Ta có: an 1 1 2 3 n n 1 an an 1 2 1 2 3 n n 1 n n 1 2 2. n 1 n2 2n 1 n 1 là một số chính phương. 2
11. Câu 26: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì: A x y x 2y x 3y x 4y y4 là số chính phương. Lời giải Ta có: A x y x 2y x 3y x 4y y4 x2 5xy 4y2 x2 5xy 6y2 y4 Đặt x2 5xy 5y2 t t ¢ thì 2 A t y2 t y2 y4 t 2 y4 y4 t 2 x2 5xy 5y2 Vì x, y, z ¢ nên x2 ¢ ,5xy ¢ ,5y2 ¢ x2 5xy 5y2 ¢ (dfcm) Vậy A là số chính phương a 1 2 3 n. a a Câu 27: Cho n Chứng minh rằng n n 1 là một số chính phương. Lời giải Ta có: an 1 1 2 3 n n 1 an an 1 2 1 2 3 n n 1 n n 1 2. n 1 n2 2n 1 2 2 n 1 là một số chính phương. Câu 28: Cho a,b,clà các số hữu tỷ thỏa mãn điều kiện ab bc ac 1.Chứng minh rằng biểu thức Q a2 1 b2 1 c2 1 là bình phương của một số hữu tỷ. Lời giải Vì ab ac bc 1nên a2 1 a2 ab bc ca a b a c Tương tự: b2 1 a b b c c2 1 b c c a 2 2 2 2 Do đó: Q a 1 b 1 c 1 a b b c c a dfcm Câu 29: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương. P x+5 x+7 x 9 x 11 + 16. Lời giải Ta có: P x+5 x+7 x 9 x 11 + 16. P (x 5)(x 11)(x 7)(x 9) + 16. P (x2 16x 55)(x2 16x 63)+ 16. P (x2 16x 55)2 8(x2 16x 55)+ 16. P (x2 16x 55)2 2(x2 16x 55).4+ 42. P (x2 16x 59)2.Vơi x là số nguyên thì P là một số CP. Câu 30: Tìm số tự nhiên n để n2 4n 2013 là một số chính phương Lời giải b) Giả sử n2 4n 2013 m2 , m ¥ Suy ra n 2 2 2009 m2 m2 n 2 2 2009 m n 2 m n 2 2009
12. Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 và m n 2 m n 2 nên có các trường hợp sau xảy ra: m n 2 2009 m 1005 TH1: m n 2 1 n 1002 m n 2 287 m 147 TH2: m n 2 7 n 138 m n 2 49 m 45 TH3: m n 2 41 n 2 Vậy các số cần tìm là: 1002; 138; 2 Câu 31: Từ 2a2 a 3b2 b có a b 3a 3b 1 a2 Cũng có : a b 2a 2b 1 b2. Suy ra a b 2 . 2a 2b 1 3a 3b 1 ab 2 Gọi 2a 2b 1,3a 3b 1 d . Chứng minh được d 1 3a 3b 1là số chính phương a blà số chính phương (đpcm) Câu 32: Tìm số tự nhiên nđể n2 +4n + 2013 là một số chính phương. Lời giải Các ước dương của Alà 1;p;p2;p3;p4 Tổng các ước là 1 + p + p2 + p3 + p4 = n2(n ∈ N) 4 + 4p + 4p2 +4p3 +4p4 = 4n2 Ta có: 4p4 +4p3 + p2 m ― n ― 2 nên có các m + n + 2 = 2009 m = 1005 trường hợp sau: TH1: m ― n ― 2 = 1 n = 1002 m + n + 2 = 287 m = 147 TH2: m ― n ― 2 = 7 n = 138 m + n + 2 = 49 m = 45 TH3: m ― n ― 2 = 41 n = 2 Vậy các số cần tìm là 1002; 138; 2. Câu 34: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2)với k ∈ N∗ Chứng minh rằng 4S + 1là bình phương của một số tự nhiên Lời giải
13. 1 1 Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 4k(k + 1)(k + 2).4 = 4k(k + 1)(k + 2) [(k + 3) ― (k ― 1)] 1 1 = 4k(k + 1)(k + 2)(k + 3) ― 4k(k + 1)(k + 2)(k ― 1) 4S = 1.2.3.4 ― 0.1.2.3 + 2.3.4.5 ― 1.2.3.4 + + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) ― k(k + 1)(k + 2)(k ― 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 Mặt khác: k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 = k(k + 3)(k + 1)(k + 2) + 1 = (k2 +3k)(k2 + 3k + 2) + 1 = (k2 + 3k + 1)2 Mà k ∈ N∗nênk2 +3k + 1 ∈ N∗ nên suy ra đpcm. Câu 35: Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ. Lời giải Gọi hại số lần lượt là a2 và a 1 2 Theo bài ra ta có: a2 a 1 2 a2. a 1 2 a4 2a3 3a2 2a 1 2 a4 2a3 a2 2 a2 a 1 a2 a 2 a 1 1 2 a2 a 1 là một số chính phương lẻ vì a2 a a a 1 là số chẵn nên a2 a 1là số lẻ Câu 36: Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị thì ta vẫn được một số chính phương. Lời giải Gọi abcd là số phải tìm a,b,c,d ¥ ,0 a,b,c,d 9,a 0 2 abcd k abcd k 2 Ta có: k,m ¥ ,31 k m 100 2 2 a 1 b 3 c 5 d 3 m abcd 1353 m Do đó: m2 k 2 1353 m k m k 123.11 41.33 k m 200 m k 123 m 67 (TM ) m k 11 m 57 m k 41 m 37 (KTM ) m k 33 k 4 Vậy số cần tìm là abcd 3136 Câu 37: Tìm số tự nhiên n sao cho số A n2 n 6 là số chính phương. Lời giải Giả sử Alà số chính phương, suy ra tồn tại số k ¥ sao cho :
14. n2 n 6 k 2 4 n2 n 6 4k 2 2k 2 2n 1 2 23 2k 2n 1 2k 2n 1 23 (*) Do k,n ¥ nên dễ thấy 2k n 1và 2k 2n 1là các số nguyên Ngoài ra 23 0 và 2k 2n 1 1;2k 2n 1 2k 2n 1 Suy ra 1 2k 2n 1 2k 2n 1 Căn cứ các lập luận trên và 23là số nguyên tố nên từ (*) suy ra 2k 2n 1 0 4n 2 22 n 5 2k 2n 1 23 Với n 5 thì A 36 62 là số chính phương Vậy n 5 là số tự nhiên cần tìm.