Ôn tập Toán Lớp 8

206 trang Kiều Nga 03/07/2023 1520

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Ôn tập Toán Lớp 8", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

on_tap_toan_lop_8.docx

Nội dung text: Ôn tập Toán Lớp 8

PHẦN 1 – ĐẠI SỐ CHƯƠNG I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC I. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC – NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC TÓM TẮT LÝ THUYẾT Quy tắc: Muốn nhân 1 đơn thức với 1 đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau. A(B + C) = AB + AC Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với 1 đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau. (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD VD1: 1). 8x.( 3x3 – 6x +4 ) = 8x.3x3 + 8x.( –6x) + 8x.4 = 24 x4 – 48x2 + 32x 1 1 2). 2x3.(x2 + 5x – ) = 2x3.x2 + 2x3.5x – 2x3. = 2x5 + 10x4 – x3 2 2 1 1 6 3). ( 3x3y – x 2 xy).6xy 3 = 18x4 y4 – 3x3y3 + x2y4 2 5 5 1 5 4). (4x3 – 5xy + 2x) (– xy) = –2x4 y + x2y2 – x2y 2 2 VD2: Tính 1). (x + 3)(x2 + 3x –5) = x3 + 3x2 – 5x + 3x2 + 9x – 15 = x3 + 6x2 + 4x –15. 2). (xy–1) ( xy+5) = x2y2 + 5xy – xy –5 = x2y2 + 4xy – 5 3). (2x –5)(3x2 + 7x –1) = 2x(3x2 + 7x – 1) – 5( 3x2 + 7x – 1) = 6x3 +14x2 – 2x – 15x2 – 35x+5 = 6x3 – x2 – 37x + 5. 1 1 4). ( xy –1)(x3 –2x –6) = x4 y –x2y –3xy –x3 +2x + 6. 2 2 Áp dụng: (x – y) (x2 + xy + y2) = x (x2 + xy + y2) – y (x2 + xy + y2) = x3 + x2y + xy2 – x2y – xy2 – y3 = x3 – y3
Bài 1. Nhân đơn thức với đa thức: 1). 3x2(5x2 – 2x – 4) 2). xy2(x2y + x3y2 + 3x2y3) 3). xyz(x2y + 3yz2 + 4xy2z) 1 3 4). 2x2(4x2 − 5xy + 8y3) 5). 2xy2(5x2 + 3xy − 6y3) 6). – x2y(xy2 – xy + x2y2) 2 4 2 1 1 7). (3xy – x2 + y). x2y 8). (4x3 – 5xy + 2x)( – xy) 9). 2x2(x2 + 3x + ) 3 2 2 3 10 2 3 2 10). – x4y2(6x4 − x2y3 – y5) 11). x3(x + x2 – x5) 12). 2xy2(xy + 3x2y – xy3) 2 9 3 4 3 1 3 10 13). 3x(2x3 – x2 – 4x) 14). x3y5(7x4 + 5x2y − x4y3 –y4) 3 5 21 Bài 2. Nhân đa thức với đa thức: 1). (2x 5)(3x + 7) 2). ( 3x + 2)(4x 5) 3). (x 2)(x2 + 3x 1) 4).(x + 3)(2x2 + x 2) 5). (2x y)(4x2 2xy + y2) 6). (x +3)(x2 –3x + 9) – (54 + x3) 7).(3x + 4x2 2)( x2 +1 + 2x) 8). (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) 9). (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) 10).(x – 2)(3x2 – 2x + 1) 11).(x + 2)(x2 + 3x + 2) 12.) (2x2 + 1)(x2 – x +3) 13).(xy – 1)(x2y – 3xy2) 14). (x + 3)(x2 – x + 2) 15). (x2 – x + 2)(2x – 3) 16).(x2 – 2xy – y2)(x – y) 17). (x2 – 3xy + y2)(x + y) 18). (x – 5)(x2 – 6x + 1) 19). (2x2 – 1)(3x2 – x + 2) 20). (2 – 3x2)(x3 + 2x2 – 3) 21) (9x – 2)(x2 – 3x + 5) 22). (7x – 1)(2x2 – 5x + 3) 23). (5x + 3)(3x2 + 6x + 7) 24). (6x2 + 5y2)(2x2– y2) 1 4 1 25). (−x 2+y3)(8x3 − x2y –y2) 26). (2xy2−7x2y)( x2 + 5xy − 4y3) 2 3 2 Bài 3. Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức: 1). A = 5x(4x2 – 2x + 1) – 2x(10x2 – 5x – 2) với x= 15 2). 2x (3x2 − 5x + 8) − 3x2(2x − 5 ) – 16x với x = − 15 3). B = 5x(x2 – 3) + x2(7 – 5x) – 7x2 với x = – 5 4). C = (x – 2)(x4 + 2x3 + 4x2 + 8x +16) với x = 3 5). D = 4x2 – 28x + 49 với x = 4 6). E = x3 – 15x2 + 75x với x = 25 7). F = (x + 1)(x – 1)( x2 + x + 1)( x2 – x + 1) với x = 3 8). G = x(x – y) + (x + y) với x = 6 và y =8 9). H = 5x(x – 4y) – 4y(y – 5x) với x= – 1/5; y= –1/2 10). I = x(x2 – y2) – x2(x + y) + y(x2 – x) với x = 1/2 và y = 100 11). J = (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) với x = 2 và y = – 1/2 12). K = 4x2(5x – 3y) – 5x2(4x + y) với x = –2; y = –3 13). L = (x2y + y3)(x2 + y2) – y(x4+ y4) với x = 0,5; y = – 2 14). (2x2 + y)(x −6xy ) − 2x (x – 3y2) (x + 1 )+6x2y (y − 2x) với x = − 2 và y = 3
BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1. Thực hiện các phép tính sau: a) (x2 –1)(x2 2x) b) (2x 1)(3x 2)(3 – x) c) (x 3)(x2 3x –5) d) (x 1)(x2 – x 1) e) (2x3 3x 1).(5x 2) f) (x2 2x 3).(x 4) Bài 2. Thực hiện các phép tính sau: 2 a) 2x3y(2x2 –3y 5yz) b) (x –2y)(x2y2 xy 2y) c) xy(x2y –5x 10y) 5 2 2 2 2 2 1 3 d) x y.(3xy – x y) e) (x – y)(x xy y ) f) xy –1 .(x –2x –6) 3 2 Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau: a) (x y)(x4 x3y x2y2 xy3 y4) x5 y5 b) (x y)(x4 x3y x2y2 xy3 y4) x5 y5 c) (a b)(a3 a2b ab2 b3) a4 b4 d) (a b)(a2 ab b2) a3 b3 Bài 4. Thực hiện các phép tính, sau đó tính giá trị biểu thức: a) A (x 2)(x4 2x3 4x2 8x 16) với x 3 . ĐS: A 211 b) B (x 1)(x7 x6 x5 x4 x3 x2 x 1) với x 2 . ĐS: B 255 c) C (x 1)(x6 x5 x4 x3 x2 x 1) với x 2 . ĐS: C 129 d) D 2x(10x2 5x 2) 5x(4x2 2x 1) với x 5 . ĐS: D 5 Bài 5. Thực hiện các phép tính, sau đó tính giá trị biểu thức: 1 255 a) A (x3 x2y xy2 y3)(x y) với x 2,y . ĐS: A 2 16 b) B (a b)(a4 a3b a2b2 ab3 b4) với a 3,b 2 . ĐS: B 275 1 1 3 c) C (x2 2xy 2y2)(x2 y2) 2x3y 3x2y2 2xy3 với x ,y . ĐS: C 2 2 16 Bài 6. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) A (3x 7)(2x 3) (3x 5)(2x 11) b) B (x2 2)(x2 x 1) x(x3 x2 3x 2) c) C x(x3 x2 3x 2) (x2 2)(x2 x 1) d) D x(2x 1) x2(x 2) x3 x 3 e) E (x 1)(x2 x 1) (x 1)(x2 x 1)
Bài 7. * Tính giá trị của đa thức: a) P(x) x7 80x6 80x5 80x4 80x 15 với x 79 ĐS: P(79) 94 b) Q(x) x14 10x13 10x12 10x11 10x2 10x 10 với x 9 ĐS: Q(9) 1 c) R(x) x4 17x3 17x2 17x 20 với x 16 ĐS: R(16) 4 d) S(x) x10 13x9 13x8 13x7 13x2 13x 10 với x 12 ĐS: S(12) 2 II. HẰNG ĐẲNG THỨC TÓM TẮT LÝ THUYẾT Cho A và B là các biểu thức. Ta có một số hằng đẳng thức đáng nhớ sau: 1. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 2. (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 3. A2 – B2 = (A + B)(A – B) 4. (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5. (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) 7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) Chú ý: Các công thức 4) và 5) còn được viết dưới dạng: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) Từ công thức 1) và 2) ta suy ra các công thức: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC (A – B + C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2BC + 2AC (A – B – C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB + 2BC – 2AC Ví dụ 1: Khai triển: a) (5x + 3yz)2 = 25x2 + 30xyz + 9y2z2 b) (y2x – 3ab)2 = y4x2 – 6abxy2 + 9a2b2 c) (x2 – 6z)(x2 + 6z) = x4 – 36z2 d) (2x – 3)3 = (2x)3 – 3.(2x)2.3 + 3.2x.32 – 33 = 8x3 – 36x2 + 54x – 27 e) (a + 2b)3 = a3 + 6a2b + 12ab2 + 8b3 g) (x2 + 3)(x4 + 9 – 3x2) = (x2)3 + 33 = x6 + 27 h) (y – 5)(25 + 2y + y2 + 3y) = (y – 5)(y2 + 5y + 25) = y3 – 53 = y3 – 125 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
a) A = (x + y)2 – (x – y)2 = x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2 = 4xy Hoặc: A = (x + y + x – y)(x + y – x + y) = 2x.2y = 4xy b) B = (x + y)2 – 2(x + y)(x – y) + (x – y)2 = x2 + 2xy + y2 – 2x2 + 2y2 + x2 – 2xy + y2 = 4y2 c) C = (x + y)3 - (x – y)3 – 2y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 – x3 + 3x2y – 3xy2 + y3 – 2y3 = 6x2y Ví dụ 3: Chứng minh: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Ta có: VT = (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = VP Vậy đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 4: Chứng minh: a) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) Ta có : VP = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3 = VT Áp dụng: Tìm tổng lập phương của hai số biết rằng tích hai số đó bằng 6 và tổng hai số đó bằng – 5 Gọi hai số đó là a và b thì ta có: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = (- 5)3 – 3.6 (- 5) = - 125 + 90 = -35 b) a3 – b3 = (a - b)3 + 3ab(a – b) Ta có: VP = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 + 3a2b - 3ab2 = a3 – b3 Ví dụ 5: Tính nhanh: a) 1532 + 94 .153 + 472 = 1532 + 2.47.153 + 472 = (153 + 47)2 = 2002 = 40000 b) 1262 – 152.126 + 5776 = 1262 – 2.126.76 + 762 = (126 – 76)2 = 502 = 2500 c) 38.58 – (154 – 1)(154 + 1) = 158 – (158 – 1) = 1 d) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) (220 + 1) + 1 = = (2 – 1)(2 + 1) (22 + 1)(24 + 1) (220 + 1) + 1 = = (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1) (220 + 1) + 1 = = (24 – 1)(24 + 1) (220 + 1) + 1 = = = (220 – 1)(220 + 1) + 1 = 240 – 1 + 1 = 240
BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hay một hiệu: 25 5 5 5 a) x2 + 5x + = x2 + 2. x + ( )2 = (x + )2 4 2 2 2 b) 16x2 – 8x + 1 = (4x)2 – 2.x.4 + 12 = (4x – 1)2 c) 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x)2 + 2.2x.3y + (3y)2 = (2x + 3y)2 d) (x + 3)(x + 4)(x + 5)(x + 6) + 1 = (x + 3)(x + 6)(x + 4)(x + 5) + 1 = (x2 + 6x + 3x + 18)(x2 + 4x + 5x + 20) + 1 = (x2 + 9x + 18)(x2 + 9x + 18 + 2) + 1 = (x2 + 9x + 18)2 + 2(x2 + 9x + 18).1 + 12 = (x2 + 9x + 18 + 1)2 = (x2 + 9x + 19)2 e) x2 + y2 + 2x + 2y + 2(x + 1)(y + 1) + 2 = x2 + y2 + 2x + 2y + 2xy + 2x + 2y + 2 + 2 = x2 + y2 + 22 + 4x + 4y + 2xy = (x + y + 2)2 g) x2 – 2x(y + 2) + y2 + 4y + 4 = x2 – 2xy – 4x + y2 + 4y + 4 = x2 + y2 + 22 – 2xy – 4x + 4y = (x – y – 2 )2 h) x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1 = x2 + 2x(y + 1) + (y + 1)2 = (x + y + 1)2 Bài tập 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hay một hiệu: a) x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3 1 1 1 1 1 b) 27y3 – 9y2 + y - = (3y)3 – 3.(3y)2. + 3.3y.( )2 – ( )3 = (3y - )3 27 3 3 3 3 c) 8x6 + 12x4y + 6x2y2 + y3 = (2x2)3 + 3.(2x2)2.y + 3.(2x2).y2 + y3 = (2x2 + y)3 d) (x + y)3(x – y)3 = [(x + y)(x – y)]3 = (x2 – y2)3 Bài tập 3: Rút gọn biểu thức: a) (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2 = (2x + 3 – 2x – 5)2 = (-2)2 = 4 b) (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x2 – 1) = (x2 + 1 + x)(x2 + 1 – x)(x2 – 1) = [(x2 + 1)2 – x2] (x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 1)2 – x2(x2 – 1) = (x4 – 1)(x2 + 1) – x4 + x2 = x6 + x4 – x2 – 1 – x4 + x2 = x6 – 1 c) (a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc – 2ac + a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc + 2ac – 2b2 + 4bc – 2c2 = 2a2 d) (a + b + c)2 + (a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac + a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ac + b2 + c2 + a2 – 2bc + 2ac – 2ab + c2 + a2 + b2 – 2ac + 2ab – 2bc = 4a2 + 4b2 + 4c2 = 4(a2 + b2 + c2) Bài tập 4: Điền đơn thức thích hợp vào các dấu * a) 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.3y + 3.2x.(3y)2 + (3y)3 = (2x + 3y)3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = (2x + 3y)3 b) 8x3 + 12x2y + * + * = (* + *)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3 = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x + y)3 c) x3 - * + * - * = (* - 2y)3 = x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 = (x – 2y)3 Bài tập 5: CMR với mọi giá trị của biến x ta luôn có: a) – x2 + 4x – 5 0 Do đó – [(x – 2)2 + 1] 0 Ta có: x4 ≥ 0 ; 3x2 ≥ 0 nên x4 + 3x2 + 3 > 0 , với mọi x c) (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + 3 > 0 Ta có: (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + 3 = (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 3 + 1) + 3 = (x2 + 2x + 3)2 + (x2 + 2x + 3) + 1 + 2 = (x2 + 2x + 3)2 + (x2 + 2x + 1) + 5 = (x2 + 2x + 3)2 + (x + 1)2 + 5 Ta có: (x2 + 2x + 3)2 ≥ 0; (x + 1)2 ≥ 0 nên (x2 + 2x + 3)2 + (x + 1)2 + 5 > 0 , với mọi x Bài tập 6: So sánh: a) 2003.2005 và 20042 Ta có: 2003.2005 = (2004 – 1)(2004 + 1) = 20042 – 1 (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1).8 Bài tập 7: Cho a – b = m ; a.b = n .Tính theo m, n giá trị của các biểu thức sau: a) (a + b)2 = (a 2 + 2ab + b2 – 4ab + 4ab = (a – b)2 + 4ab Thay a – b = m, a.b = n vào biểu thức ta được :
(a + b)2 = m2 + 4n b) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = m2 – 2n c) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b) = m3 + 3m.n = m(m2 + 3n) Bài tập 8: Cho a + b = p ; a – b = q . Tìm theo p,q giá trị của các biểu thức sau: a) a.b = ? Ta có: (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab (a b) 2 (a b) 2 p 2 q 2 ab = = 4 4 p 2 q 2 b) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = p3 – 3p. = 4 4 p 3 3p( p 2 q 2 ) 4 p 3 3p 3 3pq 2 p 3 3pq 2 p( p 2 3q 2 ) 4 4 4 4 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1. Điền vào chỗ trống cho thích hợp: a) x2 4x 4 b) x2 8x 16 c) (x 5)(x 5) d) x3 12x2 48x 64 e) x3 6x2 12x 8 f) (x 2)(x2 2x 4) g) (x 3)(x2 3x 9) h) x2 2x 1 i) x2 –1 k) x2 6x 9 l) 4x2 –9 m) 16x2 –8x 1 n) 9x2 6x 1 o) 36x2 36x 9 p) x3 27 Bài 2. Thực hiện phép tính: a) (2x 3y)2 b) (5x – y)2 c) (2x y2)3 2 3 2 2 2 2 1 2 2 1 d) x y . x y e) x f) x y 5 5 4 3 2 g) (3x2 –2y)3 h) (x 3y)(x2 3xy 9y2) i) (x2 3).(x4 3x2 9) k) (x 2y z)(x 2y – z) l) (2x –1)(4x2 2x 1) m) (5 3x)3 Bài 3. Tính giá trị biểu thức bằng cách vận dụng hằng đẳng thức: a) A x3 3x2 3x 6 với x 19 b) B x3 3x2 3x -1 với x 11 ĐS: a) A 8005 b) B 1001. Bài 4. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) (2x 3)(4x2 6x 9) 2(4x3 1) b) (4x 1)3 (4x 3)(16x2 3)
c) 2(x3 y3) 3(x2 y2) với x y 1 d) (x 1)3 (x 1)3 6(x 1)(x 1) (x 5)2 (x 5)2 (2x 5)2 (5x 2)2 e) f) x2 25 x2 1 ĐS: a) 29 b) 8 c) –1 d) 8 e) 2 f) 29 Bài 5. Giải các phương trình sau: a) (x 1)3 (2 x)(4 2x x2) 3x(x 2) 17 b) (x 2)(x2 2x 4) x(x2 2) 15 c) (x 3)3 (x 3)(x2 3x 9) 9(x 1)2 15 d) x(x 5)(x 5) (x 2)(x2 2x 4) 3 10 7 2 11 ĐS: a) x b) x c) x d) x 9 2 15 25 Bài 6. So sánh hai số bằng cách vận dụng hằng đẳng thức: a) A 1999.2001 và B 20002 b) A 216 và B (2 1)(22 1)(24 1)(28 1) c) A 2011.2013 và B 20122 d) A 4(32 1)(34 1) (364 1) và B 3128 1 BÀI TẬP NÂNG CAO Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) M = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = (x – 2)2 + 3 Ta thấy: (x – 2)2 ≥ 0 nên M ≥ 3 Hay GTNN của M bằng 3 Giá trị này đạt được khi (x – 2)2 = 0 x – 2 = 0 x = 2 b) N = (x2 – 4x – 5)(x2 – 4x – 19) + 49 N = (x2 – 4x – 5 )(x2 – 4x – 5 – 14) + 49 N = (x2 – 4x – 5)2 – 14(x2 – 4x – 5) + 49 N = (x2 – 4x – 5)2 - 2.7(x2 – 4x – 5 ) + 72 N = (x2 – 4x – 5 – 7 )2 = (x2 – 4x – 12 )2 Ta thấy : (x2 – 4x – 12)2 ≥ 0 nên N ≥ 0 Hay GTNN của N bằng 0 Giá trị này đạt được khi x2 – 4x – 12 = 0 (x – 6)(x + 2) = 0 x = 6 ; hoặc x = -2 c) P = x2 – 6x + y2 – 2y + 12 P = x2 – 6x + 9 + y2 – 2y + 1 + 2 = (x – 3)2 + (y – 1)2 + 2 Ta thấy: (x – 3)2 ≥ 0; và (y – 1)2 ≥ 0 nên P ≥ 2 Hay GTNN của P bằng 2 Giá trị này đạt được khi x – 3 = 0 và y – 1 = 0
x = 3 và y = 1 Chú ý về GTNN và GTLN của một biểu thức: Cho một biểu thức A, ta nói rằng số k là GTNN của A nếu ta c/m được 2 điều kiện: a) A ≥ k với mọi giá trị của biến đối với biểu thức A b) Đồng thời, ta tìm được các giá trị của biến cụ thể của A để khi thay vào, A nhận giá trị k. Tương tự, cho một biểu thức B, ta nói rằng số h là GTLN của B nếu ta c/m được 2 điều kiện: a) B ≤ h với mọi giá trị của biến đối với biểu thức B. b) Đồng thời, ta tìm được các giá trị của biến cụ thể của B để khi thay vào, B nhận giá trị h. Có hai loại sai lầm thường gặp của HS: 1) Khi chứng minh được a), vội kết luận mà quên kiểm tra điều kiện b) 2) Đã hoàn tất được a) và b), tuy nhiên, bài toán đòi hỏi xét trên một tập số nào đó thôi, tức là thêm các yếu tố ràng buộc, mà HS không để ý rằng giá trị biến tìm được ở bước b) lại nằm ngoài tập cho trước đó. Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức A = (x2 + 1)2 + 4 Giả sử lời giải như : Vì (x2 + 1)2 ≥ 0 nên A ≥ 4 . Vậy GTNN của biểu thức là 4. Kết luận về GTNN như thế là mắc phải sai lầm loại 1), tức là quên kiểm tra điều kiện b) . Thực ra để cho A bằng 4, ta phải có (x2 + 1)2 = 0 , nhưng điều này không thể xảy ra được với mọi giá trị của biến x. Ví dụ 2: Cho x và y là các số hữu tỉ và x ≠ y .Tìm GTNN của biểu thức 1 B = (x – y)2 + 2 2 Giả sử lời giải như sau: 1 Vì (x – y)2 ≥ 0 nên B ≥ 2 2 Mặt khác khi thay x = y = 1, B nhận giá trị 2 Vậy GTNN của biểu thức B là 2. ở đây, kết luận về GTNN như thế là mắc phải sai lầm loại 2), tức là quên kiểm tra điều kiện ràng buộc x ≠ y . Bài tập 2: Tìm GTNN của các biểu thức sau: a) A = x2 – 4x + 9 Ta có : A = x2 – 4x + 4 + 5 = (x – 2)2 + 5 Ta thấy (x – 2)2 ≥ 0, nên (x – 2)2 + 5 ≥ 5 Hay GTNN của A bằng 5 , giá trị này đạt được khi (x – 2)2 = 0 x – 2 = 0 x = 2
b) B = x2 – x + 1 1 1 3 1 3 Ta có: B = x2 – 2. x + = (x - )2 + 2 4 4 2 4 3 1 Vậy GTNN của B bằng , giá trị này đạt được khi x = 4 2 3 9 9 3 9 c) C = 2x2 – 6x = 2(x2 – 3x) = 2[(x2 – 2. x + ) ] = 2(x - )2 - 2 4 4 2 2 9 3 Vậy GTNN của C bằng - , giá trị này đạt được khi x = 2 2 Bài tập 3: Tìm GTLN của các đa thức: 2 2 2 2 a) M = 4x – x + 3 = - x + 4x – 4 + 7 = 7 – (x – 4x + 4) = 7 – (x – 2) Ta thấy: (x – 2)2 ≥ 0 ; nên - (x – 2)2 ≤ 0 . Do đó: M = 7 – (x – 2)2 ≤ 7 Vậy GTLN của biểu thức M bằng 7, giá trị này đạt được khi x = 2 1 1 1 1 1 b) N = x – x2 = - x2 + 2. x - = (x ) 2 2 4 4 4 2 1 1 Vậy GTLN của N bằng , giá trị này đạt được khi x = 4 2 1 1 19 c) P = 2x – 2x2 – 5 = 2( - x2 + x – 5) = 2[( - x2 + 2. x – ) – ] 2 4 4 19 1 19 = - - (x - )2 ≤ - 2 2 2 19 1 Vậy GTLN của biểu thức P bằng - , giá trị này đạt được khi x = 2 2 Chú ý: Dạng toán này tương tự dạng : Chứng minh 1 biểu thức luôn dương, hoặc luôn âm, hoặc lớn hơn, nhỏ hơn 1 số nào đó. Bài tập 4 : Tìm x , biết rằng: a) 9x2 – 6x – 3 = 0 9x2 – 2.3x.1 + 1 – 4 = 0 (3x – 1)2 – 4 = 0 (3x – 1 + 2)(3x – 1 – 2) = 0 (3x + 1)(3x – 3) =0 1 3x 1 0 3x 1 x 3 3x 3 0 3x 3 x 1 b) x3 + 9x2 + 27x + 19 = 0 x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33 – 8 =0 (x + 3)3 – 8 = 0
(x + 3)3 – 23 = 0 (x + 3 – 2)[(x + 3)2 + 2(x + 3) + 4] = 0 (x + 1)(x2 + 6x + 9 + 2x + 6 + 4) =0 (x + 1)(x2 + 8x + 19) = 0 (x + 1)[x2 + 2.4x + 16 + 3] = 0 (x + 1)[(x + 4)2 + 3] = 0 x + 1 = 0 Vì (x + 4)2 + 3 > 0 , với mọi giá trị của biến x. x = -1 c) x(x + 5)(x – 5) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 3 x(x2 – 25) – (x3 + 8) – 3 = 0 x3 – 25x – x3 – 8 – 3 = 0 - 25x = 11 11 x = - 25 Bài tập 5 : Tìm x, y, z biết rằng: x2 + 2x + y2 – 6y + 4z2 – 4z + 11 = 0 (x2 + 2x + 1) + (y2 – 6y + 9) + (4z2 – 4z + 1) = 0 (x + 1)2 + (y – 3)2 + (2z – 1)2 = 0 x 1 0 x 1 y 3 0 y 3 2z 1 0 1 z 2 Bài tập 6 : Cho a + b = 1 .Tính a3 + 3ab + b3 Ta có: a3 + 3ab + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) + 3ab = (a + b)3 – 3ab + 3ab = (a + b)3 = 1 ( Vì a + b = 1) Bài tập 7 : Chứng minh các biểu thức sau nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến: a) A = x2 – x + 1 1 1 3 1 3 A = x2 – 2. x + = (x - ) 2 2 4 4 2 4 1 1 3 Vì (x - )2 ≥ 0 nên (x - ) 2 > 0 , với mọi giá trị của biến 2 2 4 Hay A > 0 , với mọi giá trị của biến. b) B = (x – 2)(x – 4) + 3 = x2 – 4x – 2x + 8 + 3 = x2 – 6x + 9 + 2 = (x – 3)2 + 2 Vì (x – 3)2 ≥ 0 nên (x – 3)2 + 2 > 0, với mọi giá trị của biến Hay B > 0, với mọi giá trị của biến.
c) C = 2x2 – 4xy + 4y2 + 2x + 5 C = x2 – 4xy + 4y2 + x2 + 2x + 1 + 4 = (x – 2y)2 + (x + 1)2 + 4 Vì (x – 2y)2 ≥ 0 , và (x + 1)2 ≥ 0 nên (x – 2y)2 + (x + 1)2 + 4 > 0, với mọi x Hay C > 0, với mọi x. Bài tập 8 : Chứng minh các đẳng thức sau: a) (a2 + b2)2 – 4a2b2 = (a + b)2(a – b)2 Ta biến đổi vế trái: VT = (a2 + b2)2 – 4a2b2 = (a2 + b2)2 – (2ab)2 = (a2 + b2 + 2ab)(a2 + b2 – 2ab) = (a + b)2(a – b)2 = VP. Vậy đẳng thức được chứng minh. b) (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (bx + ay)2 Ta có: VT = (a2 + b2)(x2 + y2) = a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 = a2x2 – 2ax.by + b2y2 + a2y2 + 2ay.bx + b2x2 = (ax – by)2 + (bx + ay)2 = VP. Vậy đẳng thức được chứng minh. c) a3 – b3 + ab(a – b) = (a – b)(a + b)2 Ta có : VT = a3 – b3 + ab(a – b) = (a – b)(a2 + ab + b2) + ab(a – b) = (a – b)(a2 + ab + b2 + ab) = (a – b)(a + b)2 d)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a) VT = (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 + b3 – 3b2c + 3bc2 – c3 + c3 – 3c2a + 3ca2 – a3 = - 3a2b + 3ab2 – 3b2c + 3bc2 – 3c2a + 3ca2 VP = 3(a – b)(b – c)(c – a) = 3(ab – ac – b2 + bc)(c – a) = 3(abc – a2b – ac2 + a2c – b2c + ab2 + bc2 – abc) = - 3a2b – 3ac2 + 3a2c – 3b2c + 3ab2 + 3bc2 Vậy VT = VP Do đó đẳng thức được chứng minh. Bài tập 9 : Giải các phương trình sau: a) x2 – 4x + 4 = 25 (x – 2)2 – 25 = 0 (x – 2 + 5)(x – 2 – 5) = 0 (x + 3)(x – 7) = 0 x + 3 = 0 hoặc x – 7 = 0 x = - 3 hoặc x = 7 b) (5 – 2x)2 – 16 = 0
(5 – 2x + 4)(5 – 2x – 4) = 0 (9 – 2x)(1 – 2x) = 0 9 – 2x = 0 hoặc 1 – 2x = 0 9 = 2x hoặc 2x = 1 9 1 x = hoặc x = 2 2 c) (x – 3)3 – (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 9(x + 1)2 = 15 x3 – 9x2 + 27x – 27 – x3 + 27 + 9x2 + 18x + 9 – 15 = 0 27x + 18x + 9 – 15 = 0 45x = 6 2 x = 15 Bài tập 10 : Tính giá trị của các biểu thức: a) A = 49x2 – 56x + 16 , với x = 2 Ta có: A = (7x – 4)2 Với x = 2 thì: A = (7.2 – 4)2 = 102 = 100 b) B = 27x3 + 54x2 + 36x + 8 , với x = - 2 Ta có: B = (3x)3 + 3.(3x)2.2 + 3.(3x).4 + 23 = (3x + 2)3 Với x = -2 thì: B = [3.(-2) + 2]3 = (-4)3 = - 64 2 c) C = (x – 1)3 – 4x(x + 1)(x – 1) + 3(x – 1)(x2 + x + 1) + 3(x – 1)2 , với x = - 5 Ta có: C = (x – 1)3 – 4x(x2 – 1) + 3(x3 – 1) + 3(x2 – 2x + 1) C = x3 – 3x2 + 3x – 1 – 4x3 + 4x + 3x3 – 3 + 3x2 – 6x + 3 C = x – 1 2 2 7 Với x = - thì: C = - - 1 = - 5 5 5 Bài tập 11 : CMR tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là một số chính phương. Giải: Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n , n + 1 , n + 2 , n + 3 . Khi đó ta có: Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp là: A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)+ 1 A= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1)2 Vì n là số tự nhiên nên (n2 + 3n + 1)2 là một số chính phương. Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) là một số chính phương.
BÀI TẬP Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A 5x – x2 b) B x – x2 c) C 4x – x2 3 d) D –x2 6x 11 e) E 5 8x x2 f) F 4x x2 1 Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x2 –6x 11 b) B x2 –20x 101 c) C x2 6x 11 d) D (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) e) E x2 2x y2 4y 8 f) x2 4x y2 8y 6 g) G x2 – 4xy 5y2 10x –22y 28 HD: g) G (x 2y 5)2 (y 1)2 2 2 Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức (nếu có): A = x2 – 4x + 1 B = 4x2 + 4x + 11 C = x2 + 4x + 8 D = 7 – 8x + x2 E = x(x – 6) F = (x – 3)2 + (x – 11)2 G = (x –1)(x + 3)(x + 2)(x + 6) H = (x + 1)(x – 2)(x – 3)(x – 6) I = 5 – 8x – x2 J = 4x – x2 +1 K = x2 (2– x2 ). Bài 4. Cho a b S và ab P . Hãy biểu diễn theo S và P, các biểu thức sau đây: a) A a2 b2 b) B a3 b3 c) C a4 b4 III. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
VẤN ĐỀ I. Phương pháp đặt nhân tử chung AB + AC = A(B +C) Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (Dùng phương pháp đặt nhân tử chung) a) 5x(x – 2) – 3x2(x – 2) = (x – 2).x.(5 – 3x) b) 3x(x – 5y) – 2y(5y – x) = 3x(x – 5y) + 2y(x – 5y) = (x – 5y)(3x + 2y) c) y2(x2 + y) – zx2 – zy = y2(x2 + y) – z(x2 + y) = (x2 + y)(y2 – z) VẤN ĐỀ II. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Phương pháp nhóm nhiều hạng tử. Dùng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức ta kết hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác phân tích thành nhân tử theo từng nhóm rồi phân tích chung đối với các nhóm. - Khi nhóm các hạng tử cần chú ý: + Làm xuất hiện nhân tử chung + Hoặc xuất hiện hằng đẳng thức. Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (Sử dụng phương pháp nhóm các số hạng) a) 5x2 – 5xy + 7y – 7x = (5x2 – 5xy) + (7y – 7x) = 5x(x – y) – 7(x – y) = (x – y)(5x – 7) b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2 = 3(x2 + 2xy + y2 – z2) = 3[(x + y)2 – z2] = 3(x + y + z)(x + y – z) c) ab(x2 + y2) + xy(a2 + b2) = abx2 + aby2 + a2xy + b2xy = (abx2 + a2xy) + (aby2 + b2xy) = ax(bx + ay) + by(ay + bx) = (ay + bx)(ax + by) d) a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b) = a2b – a2c + b2c – ab2 + ac2 – bc2 = (a2b – ab2) – (a2c – b2c) + (ac2 – bc2) = ab(a – b) – c(a – b)(a + b) + c2(a – b) = (a – b)[ab – c (a + b) + c2] = (a – b)(ab – ac – bc + c2) = (a – b)[(ab – bc) – (ac – c2)] = (a – b)[b(a – c) – c(a – c)] = (a – b)(a – c)(b – c) VẤN ĐỀ III. Phương pháp dùng hằng đẳng thức Vận dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc lũy thừa của các đa thức.
Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (Sử dụng các hằng đẳng thức) a) 16x2 – (x2 + 4)2 = (4x)2 – (x2 + 4) = (4x + x2 + 4)(4x – x2 – 4) = - (x + 2)2(x – 2)2 b) (x2 + xy)2 – (y2 + xy)2 = (x2 + xy + y2 + xy)(x2 + xy – y2 – xy) = (x + y)2(x2 + y2) c) (x + y)3 + (x – y)3 = (x + y + x – y)[(x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2] = 2x(x2 + 2xy + y2 – x2 + y2 + x2 – 2xy + y2) = 2x(x2 + 3y2) VẤN ĐỀ IV. Một số phương pháp khác - Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử . - Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử. a) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình phương. b) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung. - Phương pháp đổi biến (Hay phương pháp đặt ẩn phụ) - Phương pháp hệ số bất định. - Phương pháp xét giá trị riêng. Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (Phối hợp các phương pháp trên) a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc = [(a + b)3 + c3] – [3ab(a + b) + 3abc] = = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [ a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: (sử dụng phương pháp tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử) 3x2 – 8x + 4 Đa thức trên không chứa nhân tử chung, không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các hạng tử. Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn. Cách 1: (Tách hạng tử thứ hai) 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách 2: (Tách hạng tử thứ nhất) 3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x) = (3x – 2)(x – 2)
Nhận xét: Trong cách 1, hạng tử - 8x được tách thành hai hạng tử - 6x và – 2x .Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + 4 , hệ số của các hạng tử là 3; - 6; - 2; 4. Các hệ số thứ hai và thứ tư đều gấp - 2 lần hệ số liền trước, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung x – 2 Một cách tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng b1 c tử bx thành b1x + b2x sao cho , tức là b1b2 = ac. a b2 Trong thực hành ta làm như sau: - Bước 1: Tìm tích a.c -Bước 2: Phân tích tích a.c ra tích của hai thừa số nguyên tố bằng mọi cách. -Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b. Trong bài tập trên, đa thức 3x2 – 8x + 4 có a = 3 ; b = -8 ; c = 4 . Tích a.c = 3.4 = 12 Phân tích 12 ra tích của hai thừa số , hai thừa số này cùng dấu (vì tích của chúng bằng 12), và cùng âm (để tổng của chúng bằng – 8) 12 = (-1)(- 12) = (-2)(- 6) = (- 3)(- 4) Chon hai thừa số tổng bằng - 8 , đó là - 2 và - 6 . Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x2 – 4x – 3 Cách 1: (tách hạng tử thứ hai) 4x2 – 4x – 3 = 4x2 + 2x – 6x – 3 = 2x(2x + 1) – 3(2x + 1) = (2x + 1)(2x – 3) Cách 2: (Tách hạng tử thứ ba) 4x2 – 4x – 3 = 4x2 – 4x + 1 – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 1 + 2)(2x – 1 – 2) = (2x + 1)(2x – 3) Nhận xét: Qua hai bài tập trên, ta thấy việc tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử khác thường nhằm mục đích: - Làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, nhờ đo mà xuất hiện nhân tử chung (cách 1) -Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương (cách 2) Với các đa thức có từ bậc ba trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, người ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức. Ví dụ 4: Phân tích các đa thức thành nhân tử: a) x2 – 6x + 5 Đối với mỗi bài ta có thể biến đổi và giải theo nhiều cách khác nhau: Cách 1: x2 – 6x + 5 = x2 – x – 5x + 5 = x(x – 1) – 5(x – 1) = (x – 1)(x – 5) Cách 2: x2 – 6x + 5 = x2 – 6x + 9 – 4 = (x – 3)2 – 22 = (x – 3 – 2)(x – 3 + 2) = (x – 5)(x – 1) Cách 3: x2 – 6x + 5 = x2 – 2x + 1 – 4x + 4 = (x – 1)2 – 4(x – 1) = (x – 1)(x – 1 – 4)
= (x – 1)(x – 5) Cách 4: x2 – 6x + 5 = x2 – 1 – 6x + 6 = (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = (x – 1)(x + 1 – 6) = (x – 1)(x – 5) Cách 5: x2 – 6x + 5 = 3x2 – 6x + 3 – 2x2 + 2 = 3(x – 1)2 – 2(x2 – 1) = (x – 1)(3x – 3 – 2x – 2) = (x – 1)(x – 5) Cách 6: x2 – 6x + 5 = 5x2 – 10x + 5 – 4x2 + 4x = 5(x – 1)2 – 4x(x – 1) = (x – 1)(5x – 5 – 4x) = (x – 1)(x – 5) Cách 7: x2 – 6x + 5 = 6x2 – 6x – 5x2 + 5 = 6x(x – 1) – 5(x – 1)(x + 1) = (x – 1)(6x – 5x – 5) = (x – 1)(x – 5) b) x4 + 2x2 – 3 Cách 1: x4 + 2x2 – 3 = x4 – x2 + 3x2 – 3 = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách 2: x4 + 2x2 – 3 = x4 + 2x2 + 1 – 4 = (x2 + 1)2 – 4 = (x2 + 1 – 2)(x2 + 1 + 2) = (x2 – 1)(x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách 3: x4 + 2x2 – 3 = x4 + 3x2 – x2 – 3 = x2(x2 + 3) – (x2 + 3) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) 4 2 4 2 2 2 2 Cách 4: x + 2x – 3 = x – 1 + 2x – 2 = (x – 1)(x + 1) + 2(x – 1) = (x2 – 1)(x2 + 1 + 2) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách 5: x4 + 2x2 – 3 = x4 – 9 + 2x2 + 6 = (x2 – 3)(x2 + 3) + 2(x2 + 3) = (x2 + 3)(x2 – 3 + 2) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) Cách 6: x4 + 2x2 – 3 = 3x4 – 3 – 2x4 + 2x2 = 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1) = (x2 – 1)(3x2 + 3 – 2x2) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: (Sử dụng phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử) a) x4 + 64 = (x2)2 + 82 + 2.x2.8 – 16x2 = (x2 + 8)2 – 16x2 = (x2 + 8 – 4x)(x2 + 8 + 4x) = (x2 – 4x + 8)(x2 + 4x + 8) b) x5 + x4 + 1 = (x5 + x4 + x3) – (x3 – 1) = x3(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x + 1) Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: (Sử dụng phương pháp đổi biến) a) (x2 + 2x)(x2 + 2x + 4) + 3 Đặt x2 + 2x = t Đa thức trên trở thành: t(t + 4) + 3 = t2 + 4t + 3 = t2 + t + 3t + 3 = t(t + 1) + 3(t + 1) = (t + 1)(t + 3) Thay t = x2 + 2x , ta được: (x2 + 2x + 1)(x2 + 2x + 3) b) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2
Đặt t = x2 + 4x + 8 Đa thức trên trở thành: t2 + 3x.t + 2x2 = t2 + 2tx + x2 + x2 + xt = (t + x)2 + x(x + t) = (t + x)(t + x + x) = (t + x)(t + 2x) Thay t = x2 + 4x + 8 , ta được: (x2 + 4x + 8 + x)(x2 + 4x + 8 + 2x) = (x2 + 5x + 8)(x2 + 6x + 8) BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Phân tích các đa thức thành nhân tử: Bài tập 1: a)3x2y2 + 15x2y – 21xy2 = 3xy(xy + 5x – 7y) b) 4x(x – 2y) + 12y(2y – x) = 4x(x – 2y) – 12y(x – 2y) = 4(x – 2y)(x – 3) c) 4x(x + 1)2 – 5x2(x + 1) – 4(x + 1) = (x + 1)(4x – 5x2 – 4) Bài tập 2: a) x2 – y2 + 2x + 1 = (x2 + 2x + 1) – y2 = (x + 1)2 – y2 = (x + 1 + y)(x + 1 – y) b) (x2 + 9)2 – 36x2 = (x2 + 9 + 6x)(x2 + 9 – 6x) = (x + 3)2(x – 3)2 c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 = (x – y)2 – (z – t)2 = (x – y + z – t)(x – y – z + t) d) x3 – 3x2 + 3x – 1 – y3 = (x – 1)3 – y3 = (x – 1 – y)[(x – 1)2 + (x – 1)y + y2] e) (x2 – 2x + 1)3 + y6 = (x – 1)6 + y6 = [(x – 1)2]3 + (y2)3 = [(x – 1)2 + y2] [(x – 1)4 – (x – 1)2y2 + y4] g) x4y4 – z4 = (x2y2)2 – (z2)2 = (x2y2 + z2)(x2y2 – z2) = (x2y2 + z2)(xy + z)(xy – z) h) – 125a3 + 75a2 – 15a + 1 = (1 – 5a)3 Bài tập 3: a) x3 – 4x2 + 8x – 8 = (x3 – 8) – (4x2 – 8x) = (x – 2)(x2 + 2x + 4) – 4x(x – 2) = (x – 2)(x2 + 2x + 4 – 4x) = (x – 2)(x2 – 2x + 4) b) a2 + b2 – a2b2 + ab – a – b = (a2 – a) + (ab – b) + (b2 – a2b2) = a(a – 1) + b(a – 1) – b2(a2 – 1) = (a – 1)(a + b – ab2 - b2) = (a – 1)[(a – ab2) + (b - b2)] = (a – 1)[a(1 – b)(1 + b) + b(1 - b)] = (a – 1)(1 – b )(a + ab + b) c) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz = (x2y + xy2) + (xz2 + yz2) + (x2z + y2z + 2xyz) = = xy(x + y) + z2(x + y) + z(x2 + 2xy + z2)= xy(x + y) + z2(x + y) + z(x + y)2 =(x + y)(xy + z2 + zx + zy) = (x + y)[(xy + zy) + (zx + z2) = (x + y)[y(x + z) + z(x + z)] = (x + y)(x + z)(y + z) d) 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z = (8xy3 – 24y2) – (5xyz – 15z) = 8y2(xy – 3) – 5z(xy – 3)
= (xy – 3)(8y2 – 5z) e) x4 – x3 – x + 1 = x3(x – 1) – (x – 1) = (x – 1)(x3 – 1) = (x – 1)(x – 1)(x2 + x + 1) Bài tập 4: a) x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 – x2y2 = (x2 + y2)2 – x2y2 = (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy) b)x3 + 3x – 4 = x3 – 1 + 3x – 3 = (x – 1)(x2 + x + 1) + 3(x – 1) = (x – 1)(x2 + x + 1 + 3) = (x – 1)(x2 + x + 4) c) x3 – 3x2 + 2 = x3 – x2 – 2x2 + 2 = x2(x – 1) – 2(x2 – 1) = (x – 1)(x2 – 2x – 2 ) d) 2x3 + x2 – 4x – 12 = (x2 – 4x + 4) + (2x3 – 16) = (x – 2)2 + 2(x3 – 8) = (x – 2)2 + 2(x – 2)(x2 + 2x + 4) = (x – 2)(x – 2 + 2x2 + 4x + 8) = (x – 2)(2x2 + 5x + 6) Bài tập 5 : a) 25x2(x – y) – x + y = 25x2(x – y) – (x – y) = (x – y)(25x2 – 1) = (x – y)(5x – 1)(5x + 1) b) 16x2(z2 – y2) – z2 + y2 = 16x2(z2 – y2) – (z2 – y2) = (z2 – y2)(16x2 – 1) = (z – y)(z + y)(4x – 1)(4x + 1) c) x3 + x2y – x2z – xyz = (x3 – x2z) + (x2y – xyz) = x2(x – z) + xy(x – z) = (x – z)(x2 + xy) = x(x + y)(x – z) d) 12x5y + 24x4y2 + 12x3y3 = 12x3y(x2 + 2xy + y2) = 12x3y(x + y)2 1 1 e) (x2 + y2)2 – mx2y2 = m[ (x2 + y2)2 – x2y2] = m m 2 1 1 = m[ (x2 + y2) – xy] [ (x2 + y2) + xy] m m 1 1 f) (x2 + y2)2 – 2x2y2 = 2[ (x2 + y2)2 – x2y2] 2 4 1 1 = 2[ (x2 + y2) + xy] [ (x2 + y2) – xy] 2 2 1 1 1 1 1 g) 4x3y + yz3 = 4y(x3 + z3) = 4y(x + z)(x2 - xz + z2) 2 8 2 2 4 h) x9 + x8 – x – 1 = x8(x + 1) – (x + 1) = (x + 1)(x8 – 1) = (x + 1)(x2 – 1)(x4 + x2 + 1) = (x + 1)(x + 1)(x – 1)(x4 + x2 + 1) = (x + 1)2(x – 1)(x4 + x2 + 1) Bài tập 6 : a) a2 + 2b2 – 2c2 + 3ab + ac = = a2 + 2ab + 2ac + 2b2 – 2c2 + ab – ac = a(a + 2b + 2c) + 2(b2 – c2) + a(b – c)
= a(a + 2b + 2c) + (b – c)[2b + 2c + a] = (a + 2b + 2c)(a + b – c) b) a2 – 2b2 – 2c2 – ab + 5bc – ac = a2 + ab – 2ac – 2ab – 2b2 + 4bc + ac + bc – 2c2 = a(a + b – 2c) – 2b(a + b – 2c) + c(a + b – 2c) = (a + b – 2c)(a – 2b + c) c) a4 + 2a3 + 1 Cách 1: a4 + 2a3 + 1 = a4 + a3 + a3 + 1 = a3(a + 1) + (a + 1)(a2 – a + 1) = (a + 1)(a3 + a2 – a + 1) Cách 2: a4 + 2a3 + 1 = a4 + a3 + a3 + a2 – a2 – a + a + 1 = a3(a + 1) + a2(a + 1) – a(a + 1) + (a + 1) = (a + 1)(a3 + a2 – a + 1) d) m3 + 2m – 3 = m3 – 1 + 2m – 2 = (m – 1)(m2 + m + 1) + 2(m – 1) = (m – 1)(m2 + m + 1 + 2) = (m – 1)(m2 + m + 3) e) 4a2 – 4b2 – 4a + 1 = (4a2 – 4a + 1) – 4b2 = (2a – 1)2 – 4b2 = (2a – 1 + 2b)(2a – 1 – 2b) f) 8b2 + 2b – 1 = 9b2 – b2 + 2b – 1 = 9b2 – (b – 1)2 = (3b – b + 1)(3b + b – 1) g) a2 + b2 + 2a – 2b – 2ab = (a2 – 2ab + b2) + (2a – 2b) = (a – b)2 + 2(a – b) = (a – b)(a – b + 2) Bài tập 7: a) xm+2 – xm = xm(x2 – 1) = xm(x – 1)(x + 1) b) xn + 3 – xn = xn(x3 – 1) = xn(x – 1)(x2 + x + 1) c) xp + 3 + xp = xp(x3 + 1) = xp(x + 1)(x2 – x + 1) d) x2q – xq = xq(xq – 1) xq(x – 1)(xq – 1 + xq – 2 + + x2 + x + 1) Bài tập 8: Tính giá trị cua các biểu thức sau: a) A = xy – 4y – 5x + 20, với x = 14 ; y = 5,5 Ta có A = xy – 4y – 5x + 20 = y(x – 4) – 5(x – 4) = (x – 4)(y – 5) Với x = 14 ; y = 5,5, ta có: A = (14 – 4)(5,5 – 5) = 10. 0,5 = 1 1 4 b) B = x2 + xy – 5x – 5y ; với x = 5 ; y = 4 5 5 B= x(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(x – 5) 1 4 Với x = 5 ; y = 4 , ta có: 5 5
1 4 1 1 B = (5 + 4 ) (5 - 5) = 10. = 2 5 5 5 5 c) C = xyz – (xy + yz + zx) + x + y + z – 1 , với x = 9; y = 10; z = 11. Ta có: C = xyz – xy – yz – zx + x + y + z – 1 = = (xyz – xy) – (yz – y) – (zx – x) + (z – 1) = = xy(z – 1) – y(z – 1) – x(z – 1) + (z – 1) = (z – 1)(xy – y – x + 1) . Với x = 9; y = 10; z = 11,ta có: C = (11 – 1)(9.10 – 10 – 9 + 1) = 10.72 = 720 d) D = x3 – x2y – xy2 + y3 , với x = 5,75 ; y = 4,25 Ta có: D = (x3 + y3) – xy(x + y) = (x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = (x + y)[(x(x – y) – y(x – y)] = (x + y)(x – y)2 Với x = 5,75 ; y = 4, 25 , ta có : D = (5,75 + 4,25)(5,75 – 4,25)2 = 10.1,52 = 10.2,25 = 22,5 Bài tập 9: Tìm x, biết: a) x2 – 10x + 16 = 0 x2 – 10x + 25 – 9 = 0 (x – 5)2 – 33 = 0 (x – 5 – 3)(x – 5 + 3) = 0 (x – 8)(x – 2) = 0 x – 8 = 0 hoặc x – 2 =0 x = 8 hoặc x = 2 b) x2 – 11x – 26 = 0 x2 + 2x – 13x – 26 = 0 x(x + 2) – 13(x + 2) =0 (x + 2)(x – 13) = 0 x + 2 = 0 hoặc x – 13 = 0 x = -2 hoặc x = 13 c) 2x2 + 7x – 4 = 0 2x2 – x + 8x – 4 = 0 x(2x – 1) + 4(2x – 1) = 0 (2x – 1)(x + 4) =0 2x – 1 = 0 hoặc x + 4 = 0 1 x = hoặc x = -4 2 Bài tập 10: Tìm x, biết:
a) (x – 2)(x – 3) + (x – 2) – 1 = 0 (x – 2)(x – 3 + 1) – 1 = 0 (x – 2)(x – 2) = 1 (x – 2)2 = 1 x – 2 = 1 hoặc x – 2 = - 1 x = 3 hoặc x = 1 b) (x + 2)2 – 2x(2x + 3) = (x + 1)2 x2 + 4x + 4 – 4x2 – 6x = x2 + 2x + 1 4x2 + 4x – 3 = 0 4x2 + 4x + 1 – 4 = 0 (2x + 1)2 – 22 = 0 (2x + 1 – 2)(2x + 1 + 2) = 0 (2x – 1)(2x + 3) = 0 2x – 1 = 0 hoặc 2x + 3 = 0 1 3 x = ; hoặc x = - 2 2 c) 6x3 + x2 = 2x 6x3 + x2 – 2x = 0 x(6x2 + x – 2) = 0 x(6x2 + 4x – 3x – 2) = 0 x[2x(3x + 2) – (3x + 2)] = 0 x(3x + 2)(2x – 1) = 0 x = 0 hoặc 3x + 2 = 0 hoặc 2x – 1 = 0 2 1 x = 0; x = - ; x = 3 2 d) x8 – x5 + x2 – x + 1 = 0 Nhân hai vế với 2: 2x8 – 2x5 + 2x2 – 2x + 2 = 0 (x8 – 2x5 + x2) + (x2 – 2x + 1) + (x8 + 1) = 0 (x4 – x)2 + (x – 1)2 + x8 + 1 = 0 Vế trái lớn hơn 0, vế phải bằng 0. Vậy phương trình vô nghiệm. BÀI TẬP NÂNG CAO: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Bài tập 1:
a) ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) =ab(a – b) + bc[b – a + a – c] + ac(c – a) =ab(a – b) – bc(a – b) + bc(a – c) – ac(a – c) = (a – b)(ab – bc) + (a – c)(bc – ac) = b(a – b)(a – c) - c(a – c)(a – b) = (a – b)(a – c)(b – c) b) a(b2 – c2) + b(c2 – a2) + c(a2 – b2) = a(b2 – c2) + b[ c2 – b2 + b2 – a2] + c(a2 – b2) = a(b2 – c2) – b(b2 – c2) – b(a2 – b2) + c(a2 – b2) = (b2 – c2)(a – b) – (a2 – b2)(b – c) = (b – c)(b + c)(a – b) – (a – b)(a + b)(b – c) = (a – b)(b – c)(b + c – a – b) = (a – b)(b – c)(c – a) c) a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3) = a(b3 – c3) + b[ c3 – b3 + b3 – a3] + c(a3 – b3) = a(b3 – c3) – b(b3 – c3) – b(a3 – b3) + c(a3 – b3) = (b3 – c3)(a – b) – (a3 – b3)(b – c) = (b – c)(b2 + bc + c2)(a – b) – (a – b)(a2 + ab + b2)(b – c) = (a – b)(b – c)(b2 + bc + c2 – a2 – ab – b2) = (a – b)(b – c)(bc + c2 – a2 – ab) = (a – b)(b – c)[(bc – ab) + (c2 – a2)] = (a – b)(b – c)[ b(c – a) + (c – a)(c + a)] = (a – b)(b – c)(c – a)(b + c + a) Bài tập 2: a) x2 + 7x + 12 = x2 + 4x + 3x + 12 = x(x + 4) + 3(x + 4) = (x + 4)(x + 3) b) 3x2 – 8x + 5 = 3x2 – 3x – 5x + 5 = 3x(x – 1) – 5(x – 1) = (x – 1)(3x – 1) c) x4 + 5x2 – 6 = x4 – x2 + 6x2 – 6 = x2(x2 – 1) + 6(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 6) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 6) d) x4 – 34x2 + 225 = x4 – 2.17x2 + 289 – 64 = (x2 – 17)2 – 64 = (x2 – 17 + 8)(x2 – 17 – 8) = (x2 – 9)(x2 – 25) = (x – 3)(x + 3)(x – 5)(x + 5) Bài tập 3: a) x2 – 5xy + 6y2 = x2 – 2xy – 3xy + 6y2 = x(x – 2y) – 3y(x – 2y) = (x – 2y)(x – 3y) b) 4x2 – 17xy + 13y2 = 4x2 – 4xy – 13xy + 13y2 = 4x(x – y) – 13y(x – y) = (x – y)(4x – 13y) Bài tập 4:
a) x5 – x4 – x3 – x2 – x – 2 = x5 – 2x4 + x4 – 2x3 + x3 – 2x2 + x2 – 2x + x – 2 = x4(x – 2) + x3(x – 2) + x2(x – 2) + x(x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x4 + x3 + x2 + x + 1) b) x9 – x7 – x6 – x5 + x4 + x3 + x2 – 1 = (x9 – x7) – (x6 – x4) – (x5 – x3) + (x2 – 1) = x7(x2 – 1) – x4(x2 – 1) – x3(x2 – 1) + (x2 – 1) = (x2 – 1)(x7 – x4 – x3 + 1) = (x2 – 1)[ (x7 – x3) – (x4 – 1)] = (x2 – 1)(x4 – 1)(x3 – 1) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)(x2 – 1)(x – 1)(x2 + x + 1) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)(x – 1)(x + 1)(x – 1)(x2 + x + 1) = (x – 1)3(x + 1)2 (x2 + 1)(x2 + x + 1) Bài tập 5: a) x5 + x + 1 = x5 + x4 – x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x + 1 = (x5 + x4 + x3) – (x4 + x3 + x2) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1) b) x8 + x4 + 1 = x8 + x4 – x2 + x2 – x + x + 1 = (x8 – x2) + (x4 – x) + x2 + x + 1 = x2(x6 – 1) + x(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = x2(x3 – 1)(x3 + 1) + x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = x2(x – 1)(x2 + x + 1)(x3 + 1) + x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[ x2(x – 1)(x3 + 1) + x(x – 1) + 1] = (x2 + x + 1)[ (x3 – x2)(x3 + 1) + x2 – x + 1] = (x2 + x + 1)(x6 + x3 – x5 – x2 + x2 – x + 1) = (x2 + x + 1)(x6 – x5 + x3 – x + 1) = (x2 + x + 1)[ (x6 – x5 + x4) – (x4 – x3 + x2) + (x2 – x + 1)] = (x2 + x + 1)[x4(x2 – x + 1) – x2(x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)] = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x4 – x2 + 1) Nhận xét: Phương pháp trên có thể sử dụng đối với các đa thức có dạng: x5 + x4 + 1 ; x8 + x4 + 1 ; x10 + x8 + 1; là những đa thức có dạng xm + xn + 1 trong đó m = 3k + 1 ; n = 3h + 2 . Khi tìm cách giảm dần số mũ của lũy thừa ta cần chú ý đến các biểu thức dạng x6 – 1 ; x3 – 1 là những biểu thức chia hết cho (x2 + x + 1)
- Tuy nhiên, tùy theo đặc điểm của mỗi bài ta có thể có những cách giải khác gọn hơn, chẳng hạn đối với bài 5b: x8 + x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1) – x4 = (x4 + 1)2 – (x2)2 = (x4 + 1 + x2)(x4 + 1 – x2) = [(x4 + 2x2 + 1) – x2] (x4 – x2 + 1) = [(x2 + 1)2 – x2] (x4 – x2 + 1) = (x2 + 1 – x )(x2 + x + 1) (x4 – x2 + 1) BÀI TẬP TỔNG HỢP THEO DẠNG VẤN ĐỀ I. Phương pháp đặt nhân tử chung Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung: a) 4x2 6x b) 9x4y3 3x2y4 c) x3 2x2 5x d) 3x(x 1) 5(x 1) e) 2x2(x 1) 4(x 1) f) 3x 6xy 9xz Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung: a) 2x2y 4xy2 6xy b) 4x3y2 8x2y3 2x4y c) 9x2y3 3x4y2 6x3y2 18xy4 d) 7x2y2 21xy2z 7xyz 14xy 5 3 e) a3x2y a3x4 a4x2y 2 2 Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung: 1). 2x2 – 4x 2). 3x – 6y 3). x2 – 3x 4). 4x2 – 6x 5). x3 – 4x 6). 9x3y2 + 3x2y2. 7). x3 + 2x2 + 3x 8). 6x2y + 4xy2 + 2xy 9). 5x2(x – 2y) – 15x(x – 2y) 10). 3(x – y) – 5x(y – x) 11). 3x(x – 1) + 5(1 – x) 12). 2(2x – 1) + 3(1 – 2x) 13). 10x(x – y) – 8y(y – x) 14). 3x(y + 2) – 3(y + 2) 15). x2 – y2 – 2x + 2y 16). 2x + 2y – x2 – xy 17). x2 – 2x – 4y2 – 4y 18). x2y – x3 – 9y + 9x 19). x2(x – 1) + 16(1– x) 20). 2x2 + 3x – 2xy – 3y 21). x3 – 4x2 + 4x 22). 15x2y + 20xy2 25xy 23). 4x2 + 8xy 3x 6y 24). x3 + 6x2 + 9x. 25). x2 – xy + x – y 26). xy – 2x – y2 + 2y 27). x2 + x – xy – y 28). x2 + 4x – y2 + 4 29) x2 – 2xy + y2 – 4 30). x2 – 2xy + y2 – x + y 31). xz + yz – 5x – 5y 32). x2 – y2 – 2x – 2y 33). x2 – 1 – 2xy + 2y 34). (x + 3)2 – (2x – 5)(x+ 3). 35). (3x + 2)2 + (3x – 2)2 – 2(9x2 – 4)
VẤN ĐỀ II. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3 2x2 2x 13 b) x2y xy x 1 c) ax by ay bx d) x2 (a b)x ab e) x2y xy2 x y f) ax2 ay bx2 by Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ax 2x a2 2a b) x2 x ax a c) 2x2 4ax x 2a d) 2xy ax x2 2ay e) x3 ax2 x a f) x2y2 y3 zx2 yz Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 2x 4y2 4y b) x4 2x3 4x 4 c) x3 2x2y x 2y d) 3x2 3y2 2(x y)2 e) x3 4x2 9x 36 f) x2 y2 2x 2y Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x 3)(x 1) 3(x 3) b) (x 1)(2x 1) 3(x 1)(x 2)(2x 1) c) (6x 3) (2x 5)(2x 1) d) (x 5)2 (x 5)(x 5) (5 x)(2x 1) e) (3x 2)(4x 3) (2 3x)(x 1) 2(3x 2)(x 1) Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (a b)(a 2b) (b a)(2a b) (a b)(a 3b) b) 5xy3 2xyz 15y2 6z c) (x y)(2x y) (2x y)(3x y) (y 2x) d) ab3c2 a2b2c2 ab2c3 a2bc3 e) x2(y z) y2(z x) z2(x y) Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử: 1). x2 + 8x + 15 2). x2 – x – 12 3). x2 – 8x + 7 4). x2 – 5x + 6 5). x2 – 3x – 2 6). x2 – 6x + 8 7). 3x2 + 9x – 30 8). x2 – 9x + 18 9). x2 – 5x – 14 10). x2 – 7x + 12 11). x2 – 7x + 10 12). x2 + 6x + 5 13). 3x2 – 5x – 2 14). 2x2 + x – 6 15). 7x2 + 50x + 7 16). 12x2 + 7x – 12 17). 15x2 + 7x – 2 18). 2x2 + 5x + 2 19). 4x2 – 36x – 56 20). 2x2 + 10x + 8 21). x2 + 4xy – 21y2 22). 5x2 + 6xy + y2 23). x2 + 2xy – 15y2 24). x2 – 4xy + 10y2 25). x4 + x2 – 2 26). x4 + 4x2 – 5 27). x3 – 19x – 30 28). x3 – 7x – 6 29). x3 – 5x2 – 14x
VẤN ĐỀ III. Phương pháp dùng hằng đẳng thức Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 4x2 12x 9 b) 4x2 4x 1 c) 1 12x 36x2 x2 d) 9x2 24xy 16y2 e) 2xy 4y2 f) x2 10x 25 4 g) 16a4b6 24a5b5 9a6b4 h) 25x2 20xy 4y2 i) 25x4 10x2y y2 Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (3x 1)2 16 b) (5x 4)2 49x2 c) (2x 5)2 (x 9)2 d) (3x 1)2 4(x 2)2 e) 9(2x 3)2 4(x 1)2 f) 4b2c2 (b2 c2 a2)2 g) (ax by)2 (ay bx)2 h) (a2 b2 5)2 4(ab 2)2 i) (4x2 3x 18)2 (4x2 3x)2 k) 9(x y 1)2 4(2x 3y 1)2 l) 4x2 12xy 9y2 25 m) x2 2xy y2 4m2 4mn n2 Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 8x3 64 b) 1 8x6y3 c) 125x3 1 y3 d) 8x3 27 e) 27x3 f) 125x3 27y3 8 Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3 6x2 12x 8 b) x3 3x2 3x 1 c) 1 9x 27x2 27x3 3 3 1 d) x3 x2 x e) 27x3 54x2y 36xy2 8y3 2 4 8 Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 4x2y2 y2 2xy b) x6 y6 c) 25 a2 2ab b2 d) 4b2c2 (b2 c2 a2)2 e) (a b c)2 (a b c)2 4c2 Bài 6. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x2 25)2 (x 5)2 b) (4x2 25)2 9(2x 5)2 c) 4(2x 3)2 9(4x2 9)2 d) a6 a4 2a3 2a2 e) (3x2 3x 2)2 (3x2 3x 2)2 Bài 7. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (xy 1)2 (x y)2 b) (x y)3 (x y)3 c) 3x4y2 3x3y2 3xy2 3y2 d) 4(x2 y2) 8(x ay) 4(a2 1) e) (x y)3 1 3xy(x y 1) Bài 8. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3 1 5x2 5 3x 3 b) a5 a4 a3 a2 a 1 c) x3 3x2 3x 1 y3
d) 5x3 3x2y 45xy2 27y3 e) 3x2(a b c) 36xy(a b c) 108y2(a b c) Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức: 1). (x + y)2 25 2). 100 – (3x – y)2 3). 64x2 – (8a + b)2. 4). 4a2b4 – c4d2. 5). 7x3 – a3b3. 6). 16x3 + 54y3. 7). 8x3 – y3. 8). (a + b)2 – (2a – b)29). (a + b)3 – (a – b)3 10). (a + b)3 + (a – b)3 11) (6x – 1)2 – (3x + 2) 12). (3x – 1)2 – 16 13). (5x – 4)2 – 49x2. 14). (2x + 5)2 – (x – 9)2. 15). (3x + 1)2 – 4(x – 2)2 16). 9(2x + 3)2 – 4(x + 1)2. 17). 4b2c2 – (b2 + c2 – a2 )2 18). (ax + by)2 – (ay + bx) 19). (a2 + b2 – 5)2 – 4(ab + 2)2 20). 25 – a2 + 2ab – b2 21). x6 – y6 22). x2 – 4x2y2 + y2 + 2xy 23). (xy + 1)2 – (x + y)2 24). x3 – 3x2 +3x– 1 – y3. 25) (x2 – 25)2 – (x – 5)2 26). –4x2 + 12xy – 9y2 + 25 27). x6 – x4 + 2x3 + 2x2 28). (x + y)3 – 1 – 3xy(x + y – 1) 29). 4(2x – 3)2 – 9(4x2 – 9)2. 30). x3 – 1 + 5x – 5 + 3x – 3 31). (2x + 2)2 + 2(2x+2)(2x – 2) + (2x – 2)2. VẤN ĐỀ IV. Một số phương pháp khác Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (tách một hạng tử thành nhiều hạng tử) a) x2 5x 6 b) 3x2 9x 30 c) x2 3x 2 d) x2 9x 18 e) x2 6x 8 f) x2 5x 14 g) x2 6x 5 h) x2 7x 12 i) x2 7x 10 Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (tách một hạng tử thành nhiều hạng tử) a) 3x2 5x 2 b) 2x2 x 6 c) 7x2 50x 7 d) 12x2 7x 12 e) 15x2 7x 2 f) a2 5a 14 g) 2m2 10m 8 h) 4p2 36p 56 i) 2x2 5x 2 Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (tách một hạng tử thành nhiều hạng tử) a) x2 4xy 21y2 b) 5x2 6xy y2 c) x2 2xy 15y2 d) (x y)2 4(x y) 12 e) x2 7xy 10y2 f) x2yz 5xyz 14yz Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (tách một hạng tử thành nhiều hạng tử) a) a4 a2 1 b) a4 a2 2 c) x4 4x2 5 d) x3 19x 30 e) x3 7x 6 f) x3 5x2 14x
Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (thêm bớt cùng một hạng tử) a) x4 4 b) x4 64 c) x8 x7 1 d) x8 x4 1 e) x5 x 1 f) x3 x2 4 g) x4 2x2 24 h) x3 2x 4 i) a4 4b4 HD: Số hạng cần thêm bớt: a) 4x2 b)16x2 c) x2 x d) x2 e) x2 f) x2 g) 4x2 h) 2x2 2x i) 4a2b2 Bài 6. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ) a) (x2 x)2 14(x2 x) 24 b) (x2 x)2 4x2 4x 12 c) x4 2x3 5x2 4x 12 d) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 1 e) (x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 15 f) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 24 Bài 7. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ) a) (x2 4x 8)2 3x(x2 4x 8) 2x2 b) (x2 x 1)(x2 x 2) 12 c) (x2 8x 7)(x2 8x 15) 15 d) (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 24 VẤN ĐỀ V. Tổng hợp Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 4x 3 b) 16x 5x2 3 c) 2x2 7x 5 d) 2x2 3x 5 e) x3 3x2 1 3x f) x2 4x 5 g) (a2 1)2 4a2 h) x3 3x2 – 4x 12 i) x4 x3 x 1 k) x4 – x3 – x2 1 l) (2x 1)2 –(x –1)2 m) x4 4x2 –5 Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x y2 x2 y b) x(x y) 5x 5y c) x2 5x 5y y2 d) 5x3 5x2y 10x2 10xy e) 27x3 8y3 f) x2 – y2 – x – y g) x2 y2 2xy y2 h) x2 y2 4 4x i) x6 y6 k) x3 3x2 3x 1–27z3 l) 4x2 4x –9y2 1 m) x2 –3x xy –3y Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 5x2 10xy 5y2 20z2 b) x2 z2 y2 2xy c) a3 ay a2x xy d) x2 2xy 4z2 y2 e) 3x2 6xy 3y2 12z2 f) x2 6xy 25z2 9y2 g) x2 y2 2yz z2 h) x2 –2xy y2 – xz yz i) x2 –2xy tx –2ty
k) 2xy 3z 6y xz l) x2 2xz 2xy 4yz m) (x y z)3 – x3 – y3 – z3 Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3 x2z y2z xyz y3 b) bc(b c) ca(c a) ab(a b) c) a2(b c) b2(c a) c2(a b) d) a6 a4 2a3 2a2 e) x9 x7 x6 x5 x4 x3 x2 1 f) (x y z)3 x3 y3 z3 g) (a b c)3 (a b c)3 (b c a)3 (c a b)3 h) x3 y3 z3 3xyz Bài 5. Giải các phương trình sau: a) (x 2)2 –(x –3)(x 3) 6 b) (x 3)2 (4 x)(4 – x) 10 c) (x 4)2 (1– x)(1 x) 7 d) (x – 4)2 –(x –2)(x 2) 6 e) 4(x –3)2 –(2x –1)(2x 1) 10 f) 25(x 3)2 (1–5x)(1 5x) 8 g) 9(x 1)2 –(3x –2)(3x 2) 10 h) 4(x –1)2 (2x –1)(2x 1) 3 Bài 6. Chứng minh rằng: a) a2(a 1) 2a(a 1) chia hết cho 6 với a Z . b) a(2a 3) 2a(a 1) chia hết cho 5 với a Z . c) x2 2x 2 0 với x Z . d) x2 4x 5 0 với x Z . Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử tổng hợp: 1). x2 – 25 + y2 + 2xy 2). 81x2 – 6yz – 9y2 – z2 3). 3x2 6xy + 3y2 4). 2x2 + 2y2 x2z + z y2z 2 5). x2 2xy + y2 16 6). x6 x4 + 2x3 + 2x 7). x2 + 2x + 1 – y2 8). x2 + 2xy + y2 – 9z2. 9). x3 – 10x2 + 25x – 16xy2. 10). 3xy2 – 2xy +12x 11). 5y3 10xy2 5yx2 20y 12). x2 + 2xy + y2 – xz – yz 13). 9x2 + y2 + 6xy 14). 8 – 12x + 6x2 – x3 15).125x3 – 75x2 + 15x – 1 16). x2 – xz – 9y2 + 3yz 17). x3 – x2 – 5x + 125 18). x3 +2x2 – 6x – 27 19). 12x3 + 4x2 – 27x – 9 20). 4x4 + 4x3 – x2 – x21). x6 – x4 – 9x3 + 9x2. 22). x4 – 4x3 + 8x2 – 16x + 16 23). 3a2 – 6ab + 3b2 – 12c2 24). a2 + 2ab + b2 – ac – bc 25). ac – bc – a2 + 2ab – b2 26). x4 + 4 27). (x – y +5)2 – 2(x– y +5) + 1 28). x4 + 64 29). x8 + x7 + 1 30). x8 + x4 + 1.31). x5 + x + 1. 32). x3 + x2 + 4 33). x4 + 2x2 – 24. 34). x3 – 2x – 4. 35). x2 + 4x + 3 36). 16x – 5x2 – 3. 37). 2x2 + 7x + 5 38). 2x2 + 3x – 5 39). x2 – 4x – 5. 40). x4 + x3 + x + 1 41). (x2 + 1)2 – 4x2 42). x3 – 3x2 – 4x + 12 43). x4 – x3 – x2 + 1 44). (2x + 1)2 – (x – 1)2 45). x4 + 4x2 – 5.
46). – x – y2 + x2 – y. 47). x(x + y) – 5x – 5y 48). x2 – 5x + 5y – y2 . 49). x2 – y2 – x – y. 50). x2 – y2 – 2xy + y2. 51). x2 – y2 + 4 – 4x. 52). x2 + xy – 3x – 3y. 53). 4x2 + 4x – 9y2 + 1. 54). 5x3 – 5x2y – 10x2 + 10xy. 55). 5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2 56). x2 – z2 + y2 – 2xy 57). x3 – xy – x2z + yz. 58). x2 – 2xy – 4z2 + y2 59). 3x2 – 6xy + 3y2 – 12z2 60). x2 – 6xy + 9y2 – 25z2. 61). (x2 + x)2 – 14(x2 + x)+ 24. 62). (x2 + x)2 +4x2 + 4x – 12. 63). (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1. 64). (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24. 65). (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15. 66). (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24. 67). x4 + 2x3 + 5x2 + 4x – 12. 68). (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12. 69). (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15. 70). (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2. 71). (x+y+x)3 – x3 – y3 – z3. 72). xy(x + y) + yx(y – z) – zx(z + x). 73). x6 – x4 + 2x3 + 2x2. 74). x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) 75). x3 + y3 + z3 – 3xyz. 76). x(x + 4)(x – 4) – (x2 + 1)(x2 – 1). 77). (y – 3)(y + 3)(y2 + 9) – (y2 + 2)(y2 – 2) 78). (a + b – c)2 – (a – c)2 – 2ab + 2bc. IV. CHIA ĐA THỨC VẤN ĐỀ I. Chia đơn thức cho đơn thức TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Chia đơn thức cho đơn thức: - Đơn thức A gọi là chia hết cho đơn thức B 0 nếu có một đơn thức C sao cho A = B.C; C được gọi là thương của A chia cho B. - Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A. - Quy tắc chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B): + Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B. + Chia từng lũy thừa của biến trong A cho lũy của cùng biến đó trong B. + Nhân các kết quả tìm được với nhau. Ví dụ 1: Chia các đơn thức: a) 15a2b3c : (3a2b) = 5b2c b) – 21xy5z3 : (7xy2z3) = - 3y3
2 c) 2m3n : (- 3m2n) = - m. 3 1 3 1 d) ( - a3b4c5) : ( a2bc5) = - ab3 2 2 3 BÀI TẬP Chia các đơn thức: Bài 1 1) (–2)5:( –2)3 2) (–y)7:( –y)3 3) (x)12:( –x10) 4) (2x6):(2x)3 5) (–3x)5:(–3x)2 6) (xy2)4:(xy2)2 Bài 2 a) ( 2)5 : ( 2)3 b) ( y)7 : ( y)3 c) x12 : ( x10) d) (2x6) : (2x)3 e) ( 3x)5 : ( 3x)2 f) (xy2)4 : (xy2)2 VẤN ĐỀ II. Chia đa thức cho đơn thức Chia đa thức cho đơn thức: - Đa thức A gọi là chia hết cho đơn thức B ≠ 0, nếu có mọt đa thức C sao cho A = B.C - Đa thức A chia hết cho đơn thức B khi các đơn thức hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B. - Quy tắc chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B): Muốn chia đa thức A cho đơn thức B, ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả lại với nhau. Ví dụ: Thực hiên các phép chia: a) 30(a + b)5 : 6(a + b)2 = 5(a + b)3 13 b) 13(x – y)7 : 5(x – y)3 = (x – y)4 5 1 3 2 c) (m – 2n)3 : (m – 2n)2 = (m – 2n)2 5 10 3 BÀI TẬP Bài 1. Thực hiện phép tính: a) (x 2)9 : (x 2)6 b) (x y)4 : (x 2)3 c) (x2 2x 4)5 : (x2 2x 4) 1 5 d) 2(x2 1)3 : (x2 1) e) 5(x y)5 : (x y)2 3 6 Bài 2. Thực hiện phép tính: a) 6xy2 : 3y b) 6x2y3 : 2xy2 c) 8x2y : 2xy
d) 5x2y5 : xy3 e) ( 4x4y3) : 2x2y f) xy3z4 : ( 2xz3) 3 3 3 1 2 2 2 4 3 3 2 3 2 g) x y : x y h) 9x y z :12xy i) (2x y)(3xy ) : 2x y 4 2 (3a2b)3(ab3)2 (2xy2)3(3x2y)2 k) l) (a2b2)4 (2x3y2)2 Bài 3. Thực hiện phép tính: a) (2x3 x2 5x) : x b) (3x4 2x3 x2) : ( 2x) c) ( 2x5 3x2 – 4x3) : 2x2 3 2 2 1 5 4 2 2 d) (x –2x y 3xy ) : x e) 3(x y) 2(x y) 3(x y) : 5(x y) 2 Bài 4. Thực hiện phép tính: 5 2 3 3 2 4 2 2 3 6 3 3 3 4 9 5 3 3 a) (3x y 4x y 5x y ) : 2x y b) a x a x ax : ax 5 7 10 5 c) (9x2y3 15x4y4) : 3x2y (2 3x2y)y2 d) (6x2 xy) : x (2x3y 3xy2) : xy (2x 1)x 3 e) (x2 xy) : x (6x2y5 9x3y4 15x4y2) : x2y3 2 VẤN ĐỀ III. Chia đa thức cho đa thức Chia đa thức một biến đã sắp xếp: - Muốn chia đa thức một biến A cho đa thức một biến B ≠ 0, trước hết ta phải sắp xếp các đa thức này theo lũy thừa giảm dần của cùng một biến và thực hiện phép chia như phép chia các số tự nhiên. - Với hai đa thức tùy ý A và B của mọt biến (B ≠ 0), tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R Trong đó R = 0 hoặc bậc của R thấp hơn bậc của B. Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết. Nếu R ≠ 0 thì phép chia A cho B là phép chia có dư. Ví dụ 1: Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức : a) (5x3 – 4x2 + 7x) : x = 5x2 – 4x + 7 1 7 1 1 7 b) (xy2 + x2y3 + x3y) : 5xy = y xy 2 x 2 3 2 5 15 10 Ví dụ 2: Tìm điều kiện của n để phép chia thực hiện được (n là số tự nhiên) a) x5yn : xny3 3 ≤ n ≤ 5 Suy ra: n = 3 ; 4 ; 5.
b) xn + 2 .y3 : x5 yn . Điều kiện: n ≤ 3 và n ≥ 3 , suy ra n = 3 c) (a + b)5n (a – b)7 : (a + b)15 .(a – b)n Điều kiện: 5n ≥ 15 và n ≤ 7 Suy ra: 3 ≤ n ≤ 7 Vậy n = 3 ; 4; 5; 6; 7. Ví dụ 3: Tìm điều kiện của tự nhiên n để phép chia sau đây là phép chia hết: 1 2 a) (4x10y - xy7 + x5y4) : 2xnyn 3 5 Điều kiện để phép chia đó là phép chia hết : 10 n 1 n 5 n n 1. Suy ra n = 0 ; n = 1 1 n 7 n 4 n b) (21x2y3 + 9x4y2 + 7x5y3) : 7xn + 1 yn + 1 Điều kiện để phép chia đó là phép chia hết : 2 n 1 3 n 1 4 n 1 2 n 1 . Suy ra n ≤ 1 . Vậy n = 0 ; n = 1 2 n 1 5 n 1 3 n 1 Chú ý: Nếu đa thức bị chia khuyết một bậc trung gian nào đóthì khi viết ta để trống một khoảng tương ứng với bậc khuyết đó. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài tập 1: Chia đơn thức cho đơn thức: a) 121a3b2c : (11a2bc) = 11ab b) 125a4b3c2 : (- 25a4b3c) = - 5c c) 15(x + y)5 : 3(x + y)2 = 5(x + y)3 d) 27(x – y)3 : 9(x – y)2 = 3(x – y) 2 e) 4(9x + y – z)5 : 6(x + y – z)3 = (x + y – z)2 3 g) (a + b – c )5 : (c – a – b)3 = (a + b – c)5 : [ - (a + b – c)3] = - (a + b – c)2
Bài tập 2: Điền vào dấu * : 1 a) 4*y5 : *x2* = x3y2 3 b) 20xn + 2 * : * xn – 1 y2 = 5*yn – 1 Bài tập 3: Tìm số tự nhiên n để đơn thức A chia hết cho đơn thức B: A = 4xn + 1 y2 ; B = 3x3yn – 1 n 1 3 n 2 Điều kiện: 2 n 3 2 n 1 n 3 Tìm thương của A : B trong trường hợp đó: 4 Với n = 2 thì: A : B = 4x3y2 : 3x3y = y 3 4 Với n = 3 thì: A : B = 4x4y2 : 3x3y2 = x 3 Bài tập 4: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) ( - ax2y3)4 : (- ax2y3)3 = - ax2y3 1 3 1 Với x = ; y ;a , ta có giá trị của biểu thức là: 3 5 2 1 1 3 1 1 27 3 = - ( ) 2 ( )3 . . 2 3 5 2 9 125 250 ( 3m3n 2 p) 2 9m6 n 4 p 2 p b) = 27m3n.p.2m3n3 54m6 n 4 p 6 1 1 1 1 Với m = - 389; p ; n = 0,273 thì giá trị của biểu thức là: (- ) : 6 = - 25 2 2 12 Bài tập 5: làm tính chia: 3 3 1 a) (15x5 – 3x4 + 5x2) : 10x2 = x3 - x2 + 2 10 2 b) [3(x + y)4 + 5(x + y)3 – 10(x + y)2] : 5(x + y)2 3 = (x + y)2 + (x + y) – 2 5 c) [3(a – b)4 + 4(a – b)2 – 5(a – b)] : 5(a – b) 3 4 = (a – b)3 + (a – b) – 1 5 5 Bài tập 6: Điền vào dấu *: a) (18x4y3 + * - * ) : 3x2y2 = * + 2x3 – 5xy2 b) (7u2v5 + * + * ) : * = 14uv2 + 6u2v + 10uv c) (5xy2 – 11x3y + 6x2y2) : * = 5y - * + * Bài tập 7: Tìm điều kiện của số tự nhiên n để phép chia sau đây là phép chia hết: a) (13x3y3 + 15x3y2 + 18x2y3) : 7xnyn + 1
3 n 3 n 1 3 n Điều kiện: n 1 . Do đó n = 0; n = 1 . 2 n 1 2 n 3 n 1 b) (12x3y7 + 9x4y5 – 3x5y8) : 3xn + 1 yn + 3 3 n 1 7 n 3 4 n 1 n 1 3 Điều kiện: n 2 .Do đó n = 0; 1 ; 2 5 n 3 n 3 5 5 n 1 8 n 3 Bài tập 8: CMR giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến y (x ≠ 0;y ≠ 0) : 2 1 x2y3 : ( - xy ) + 2x(y – 1)(y + 1) = - 2xy2 + 2x(y2 – 1) 3 3 = - 2xy2 + 2xy2 – 2x = - 2x Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của biến y. Bài tập 9: Không cần đặt phép chia, hãy xét xem phép chia sau có là phép chia hết không, và chỉ ra đa thức dư trong trường hợp không chia hết: a) (6x2 – 3x + 5) : (2x – 1) Ta thấy thương trong bước thứ nhất của phép chia là 3x và do đó đa thức dư thứ nhất là 5. Vì 5 có bậc nhỏ hơn 2x – 1 nên không thể thực hiện tiếp phép chia được nữa. Do đó phép chia không là phép chia hết và đa thức dư là 5. b) (9x4 – 6x3 + 15x2 + 2x – 1) : (3x2 – 2x + 5) Ta thấy thương trong bước thứ nhất của phép chia là 3x 2 , và do đó đa thức dư thứ nhất là 2x – 1 . Vì 2x – 1 có bậc nhỏ hơn 3x2 – 2x + 5 nên không thể thực hiện tiếp phép chia được nữa. Do đó phép chia không là phép chia hết và đa thức dư là 2x – 1 . c) (18x5 + 9x4 – 3x3 + 6x2 + 3x – 1) : (6x2 + 3x – 1) ta thấy thương trong phép chia ở bước thứ nhất là 3x2 và đa thức dư thứ nhất là 6x2 + 3x – 1 chia hết cho đa thức chia . Vậy đây là phép chia hết. Bài tập 10: a) CMR nếu đa thức P(x) chia hết cho đa thức x – a (ở đây a là hằng số ) thì P(x) có một nghiệm là x = a. b) CMR: Nếu x = a là một nghiệm của đa thức P(x) thì P(x) chia hết cho x – a .
Chứng minh: a) Giả sử P(x) chia hết cho x – a thì ta có thể viết: P(x) = (x – a).Q(x). Ở đay đa thức Q(x) là một đa thức nào đó. Đặt x = a ta được: P(a) = (a – a).Q(a) = 0 Vậy x = a là một nghiệm của P(x). b) Phép chia của P(x) cho x – a có thể viết là: P(x) = (x – a). g(x) + r Ở đây r là một số. Đặt x = a ta được r = P(a). Nếu a là một nghiệm của P(x) thì P(a) = 0 và do đó r = 0, nghĩa là P(x) chia hết cho x – a Bài tập 11: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử: a) (x5 + x3 + x2 + 1) : (x3 + 1) Ta có: (x5 + x3 + x2 + 1) = x5 + x2 + x3 + 1 = x2(x3 + 1) + (x3 + 1) = (x3 + 1)(x2 + 1) Do đó: (x5 + x3 + x2 + 1) : (x3 + 1) = x2 + 1 b) (x2 + 5x + 6) : (x + 3) Ta có: x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6 = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3) Do đó: (x2 + 5x + 6) : (x + 3) = x + 2 c) (x3 + x2 – 12) : (x – 2) Ta có: x3 + x2 – 12 = x3 – 8 + x2 – 4 = (x – 2)(x2 + 2x + 4) + (x – 2)(x + 2) = (x – 2)(x2 + 2x + 4 + x + 2) = (x – 2)(x2 + 3x + 6) Do đó: (x3 + x2 – 12) : (x – 2) = x2 + 3x + 6 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài tập 1: Làm tính chia: (4x4 + 14x3 – 21x – 9 ) : (2x2 – 3) 4x4 + 14x3 - 21x – 9 2x2 – 3 4x4 - 6x2 2x2 + 7x + 3 14x3 + 6x2 – 21x – 9 14x3 - 21x 6x2 - 9 6x2 - 9 0 Bài 2: Làm tính chia
a) 2x4 + x3 - 3x2 + 5x - 2 x2 - x +1 b) 5x 3 - 3x 2 + 7 x 2 + 1 2x4 - 2x3 + 2x2 2x2 + 3x - 2 5x 3 + 5x 5x - 3 3 2 0 + 3x - 5x + 5x - 2 - 3x 2 - 5x + 7 3 2 3x - 3x + 3x - 3x 2 - 3 2 0 - 2x + 2x - 2 0 - 5x + 10 - 2x2 + 2x - 2 0 4 3 2 Ta có: 2x + x - 3x + 5x - 2 2 2 = (x - x +1 )(2x + 3x - 2 ) Bài tập 3: Thực hiện phép chia rồi tìm giá trị nhỏ nhất của thương tìm được: (6x3 – 2x2 – 9x + 3) : (3x – 1) 6x3 – 2x2 – 9x + 3 3x – 1 6x3 – 2x2 2x2 – 3 - 9x + 3 - 9x + 3 0 Vì 2x2 ≥ 0 , với mọi giá trị của x nên 2x2 – 3 ≥ - 3 . Do đó , thương tìm được 2x2 – 3 có giá trị nhỏ nhất là – 3 , giá trị này đạt được tại x = 0. Bài tập 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử: a) (x5 + x3 + x2 + 1) : (x3 + 1) Ta có: (x5 + x3 + x2 + 1) = x5 + x2 + x3 + 1 = x2(x3 + 1) + (x3 + 1) = (x3 + 1)(x2 + 1) . Do đó: (x5 + x3 + x2 + 1) : (x3 + 1) = x2 + 1 b) (x2 + 5x + 6) : (x + 3) Ta có: x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6 = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3) Do đó: (x2 + 5x + 6) : (x + 3) = x + 2 c) (x3 + x2 – 12) : (x – 2) Ta có: x3 + x2 – 12 = x3 – 8 + x2 – 4 = (x – 2)(x2 + 2x + 4) + (x – 2)(x + 2) = (x – 2)(x2 + 2x + 4 + x + 2) = (x – 2)(x2 + 3x + 6) Do đó: (x3 + x2 – 12) : (x – 2) = x2 + 3x + 6
Bài tập 5: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành 2 2 nhân tử: a) (4x 9y ) : (2x 3y) (2x 3y)(2x 3y) : (2x 3y) 2x 3y b) (27x3 -1) : (3x -1) = 9x2 + 3x +1 c) (8x3 +1) : (4x2 - 2x +1) = 2x +1 d) x2 - 3x + xy - 3y = (x - 3)(x + y) (x - 3)(x + y) : (x + y) = x - 3 Bài tập 6: Không cần đặt phép chia, hãy xét xem phép chia sau có là phép chia hết không, và chỉ ra đa thức dư trong trường hợp không chia hết: a) (6x2 – 3x + 5) : (2x – 1) Ta thấy thương trong bước thứ nhất của phép chia là 3x và do đó đa thức dư thứ nhất là 5. Vì 5 có bậc nhỏ hơn 2x – 1 nên không thể thực hiện tiếp phép chia được nữa. Do đó phép chia không là phép chia hết và đa thức dư là 5. b) (9x4 – 6x3 + 15x2 + 2x – 1) : (3x2 – 2x + 5) Ta thấy thương trong bước thứ nhất của phép chia là 3x2 , và do đó đa thức dư thứ nhất là 2x – 1 . Vì 2x – 1 có bậc nhỏ hơn 3x2 – 2x + 5 nên không thể thực hiện tiếp phép chia được nữa. Do đó phép chia không là phép chia hết và đa thức dư là 2x – 1 . c) (18x5 + 9x4 – 3x3 + 6x2 + 3x – 1) : (6x2 + 3x – 1) ta thấy thương trong phép chia ở bước thứ nhất là 3x2 và đa thức dư thứ nhất là 6x2 + 3x – 1 chia hết cho đa thức chia . Vậy đây là phép chia hết. Bài tập 7: a) CMR nếu đa thức P(x) chia hết cho đa thức x – a (ở đây a là hằng số ) thì P(x) có một nghiệm là x = a. b) CMR: Nếu x = a là một nghiệm của đa thức P(x) thì P(x) chia hết cho x – a . Chứng minh: a) Giả sử P(x) chia hết cho x – a thì ta có thể viết: P(x) = (x – a).Q(x). Ở đay đa thức Q(x) là một đa thức nào đó. Đặt x = a ta được: P(a) = (a – a).Q(a) = 0 Vậy x = a là một nghiệm của P(x). b) Phép chia của P(x) cho x – a có thể viết là: P(x) = (x – a). g(x) + r Ở đây r là một số. Đặt x = a ta được r = P(a). Nếu a là một nghiệm của P(x) thì P(a) = 0 và do đó r = 0, nghĩa là P(x) chia hết cho x – a . BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) (x3 –3x2) : (x –3) b) (2x2 2x 4) : (x 2) c) (x4 – x –14) : (x –2) d) (x3 3x2 x 3) : (x 3) e) (x3 x2 –12) : (x –2) f) (2x3 5x2 6x –15) : (2x –5) g) ( 3x3 5x2 9x 15) : (5 3x) h) ( x2 6x3 26x 21) : (2x 3) Bài 2. Thực hiện phép tính: a) (2x4 5x2 x3 3 3x) : (x2 3) b) (x5 x3 x2 1) : (x3 1) c) (2x3 5x2 –2x 3) : (2x2 – x 1) d) (8x 8x3 10x2 3x4 5) : (3x2 2x 1) e) ( x3 2x4 4 x2 7x) : (x2 x 1) Bài 3. Thực hiện phép tính: a) (5x2 9xy 2y2) : (x 2y) b) (x4 x3y x2y2 xy3) : (x2 y2) c) (4x5 3xy4 y5 2x4y 6x3y2) : (2x3 y3 2xy2) d) (2a3 7ab2 7a2b 2b3) : (2a b) Bài 4. Thực hiện phép tính: a) (2x 4y)2 : (x 2y) (9x3 12x2 3x) : ( 3x) 3(x2 3) b) (13x2y2 5x4 6y4 13x3y 13xy3) : (2y2 x2 3xy) Bài 5. Tìm a,b để đa thức f (x) chia hết cho đa thức g(x) , với: a) f (x) x4 9x3 21x2 ax b , g(x) x2 x 2 b) f (x) x4 x3 6x2 x a , g(x) x2 x 5 c) f (x) 3x3 10x2 5 a , g(x) 3x 1 d) f (x) x3 –3x a , g(x) (x –1)2 ĐS: a) a 1,b 30 Bài 6. Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) để tìm thương và dư: a) f (x) 4x3 3x2 1, g(x) x2 2x 1 b) f (x) 2 4x 3x4 7x2 5x3 , g(x) 1 x2 x c) f (x) 19x2 11x3 9 20x 2x4 , g(x) 1 x2 4x d) f (x) 3x4y x5 3x3y2 x2y3 x2y2 2xy3 y4 , g(x) x3 x2y y2 BÀI TẬP NÂNG CAO: Tìm đa thức bằng phương pháp hệ số bất định Bài tập 1: Cho hai đa thức:
A = 98m + m3 – 6m5 + m6 – 26 + 10m4 B = 1 – m + m3 a) CMR với mọi giá trị nguyên của m thì thương của phép chia A cho B là một bội số của 6. b) xác định giá trị nguyên của m để đa thức dư bằng 0. Giải: a) Thực hiện phép chia A cho B ta được thương là: m3 – 6m2 + 11m – 6 , và dư là 17m2 + 81m – 20 . Có m3 – 6m2 + 11m – 6 = m3 – m2 – 5m2 + 5m + 6m – 6 = m2(m – 1) – 5m(m – 1) + 6(m – 1) = (m – 1)(m2 – 5m + 6) = = (m – 1)[(m2 – 2m) – (3m – 6)] = (m – 1)[m(m – 2) – 3(m – 2)] = = (m – 1)(m – 2)(m – 3) Kết quả là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 . Vậy thương của phép chia là bội của 6. Cũng có thể chứng minh như sau: m3 – 6m2 + 11m – 6 = m3 – m – 6m2 + 12m – 6 = m(m2 – 1) – 6m2 + 12m – 6 = (m – 1)(m(m + 1) – 6(m2 - 2m + 1) = (m – 1)m(m + 1) – 6(m – 1)2 Từ đó ta thấy biểu thức đã cho chia hết cho 6. b) Giải phương trình sau: 17m2 + 81m – 20 = 0 2 17m - 4m + 85m – 20 = 0 m(17m – 4) + 5(17m – 4) = 0 (17m – 4)(m + 5) = 0 Vì m Z nên m = -5 để cho dư bằng 0. Bài tập 2: Xác định hằng số a sao cho : a) a3x3 + 3ax2 – 6x – 2a chia hết cho x + 1 . Cách 1: Thực hiện phép chia đa thức a3x3 + 3ax2 – 6x – 2a cho đa thức x + 1 ta được thương là a2x2 + (3a – a2)x + (a2 – 3a – 6) đa thức dư là – a2 + a + 6 Để a3x3 + 3ax2 – 6x – 2a chia hết cho x + 1 ta phải có: – a2 + a + 6 = 0 Hay (a + 2)(3 – a) = 0 a = - 2 hoặc a = 3 Cách 2: (Phương pháp hệ số bất định ) :
Đa thức bị chia có bậc 3 , đa thức chia có bậc nhất nên thương là một đa thức bậc hai có hạng tử cao nhất là a2x3 : x = a2x2 ; hạng tử thấp nhất là ( - 2a) : 1 = - 2a Gọi thương của phép chia là a2x2 + bx – 2a , ta có: a2x2 + 3ax2 – 6x – 2a = (x + 1)(a2x2 + bx – 2a) Thực hiện phép nhân ở vế phải ta được : a2x3 + (a2 + b)x2 + (b – 2a)x – 2a Đồng nhất đa thức này với đa thức bị chia a2x2 + 3ax2 – 6x – 2a , ta được: a 2 b 3a b 2a 6 Lấy (1) trừ (2) ta được : a2 + 2a = 3a + 6 a2 – a – 6 = 0 b) 10x2 – 7x + a chia hết cho 2x – 3 . Thực hiện phép chia 10x2 – 7x + a cho đa thức 2x – 3 , ta được thương là: 5x + 4 và đa thức dư là a + 12 Để 10x2 – 7x + 3 chia hết cho 2x – 3 thì a + 12 = 0 a = - 12 . Thực hiện phép nhân ở vế phải ta được : 2a 10x2 – ( + 15)x + a 3 2a Đồng nhất đa thức này với đa thức bị chia ta được: + 15 = 7 3 Suy ra a = - 12. c) 2x2 + ax + 1 chia cho x – 3 dư 4 Thực hiện phép chia 2x2 + ax + 1 cho x – 3 , ta được thương là 2x + a + 2 và đa thức dư là 1 + 2a Bài tập 3: Xác định các hằng số a và b sao cho : 4 2 2 a) x + ax + b chia hết cho x – x + 1 Thược hiện phép chia được thương bằng x2 + x + a , đa thức dư là (a – 1)x + (b – a) . Muốn chia hết thì đa thức dư phải đồng nhất bằng 0 . a 1 0 Do đó Suy ra a = b = 1 b a 0 b) ax3 + bx2 + 5x – 50 chia hết cho x2 + 3x – 10 . Cách 1: Thực hiện phép chia. Cách 2: Đồng nhất (x2 + 3x – 10)(ax + 5) với đa thức bị chia ta được : 3a 5 b a 1 15 10a 5 b 8
1 a b 0 a b 1 a 3 8 2a b 0 2a b 8 b 2 Bài 3: Rút gọn biểu thức: x 2 y(y x) xy 2 (x y) A = , với x = -9; y = 2005. 3y 3 3x 2 y x 2 y(y x) xy 2 (y x) xy(y x)(x y) x A = 3y(y 2 x 2 ) 3y(y x)(y x) 3 Với x = -9; y = 2005, ta có: 9 A = 3 3 (8x 3 y 3 )(4x 2 y 2 ) 1 b) B = ; với x = - ; y =2. (2x y)(4x 2 2xy y 2 ) 2 (2x y)(4x 2 2xy y 2 )(2x y)(2x y) Ta có: B = (2x y)(2x y) (2x y)(4x 2 2xy y 2 ) 1 1 1 Với x = - ; y =2 , ta có: B = [2.(- ) – 2][2.(- ) + 2] = (-3).1 = - 3. 2 2 2 BÀI TẬP Bài 1. Cho biết đa thức f (x) chia hết cho đa thức g(x) . Tìm đa thức thương: a) f (x) x3 5x2 11x 10 , g(x) x 2 ĐS: q(x) x2 3x 5 b) f (x) 3x3 7x2 4x 4 , g(x) x 2 ĐS: q(x) 3x2 x 2 Bài 2. Phân tích đa thức P(x) x4 x3 2x 4 thành nhân tử, biết rằng một nhân tử có dạng: x2 dx 2 . ĐS: P(x) (x2 x 2)(x2 2) . Bài 3. Với giá trị nào của a và b thì đa thức x3 ax2 2x b chia hết cho đa thức x2 x 1. ĐS: a 2,b 1. Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3 x2 14x 24 b) x3 4x2 4x 3 c) x3 7x 6 d) x3 19x 30 e) a3 6a2 11a 6 Bài 5. Tìm các giá trị a, b, k để đa thức f (x) chia hết cho đa thức g(x) : a) f (x) x4 9x3 21x2 x k , g(x) x2 x 2 . ĐS: k 30 . b) f (x) x4 3x3 3x2 ax b , g(x) x2 3x 4 . ĐS: a 3,b 4 . Bài 6. Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức f (k) k3 2k2 15 chia hết cho nhị thức g(k) k 3 . ĐS: k 0,k 3 .
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I. Bài tập 1: Làm tính nhân: a) (x2 – 1)(x2 + 2x) = x4 + 2x3 – x2 – 2x b) (2x – 1)(3x + 2)(3 – x) = (6x2 + 4x – 3x – 2)(3 – x) = = 18x2 – 6x3 + 12x – 4x2 – 9x + 3x2 – 6 + 2x = - 6x3 + 17x2 + 4x – 6 c) (x + 3y)(x2 – 2xy + y) = x3 – 2x2y + xy + 3x2y – 6xy2 + 3y2 = x3 + x2y – 6xy2 + xy + 3y2 Bài tập 2: Tính nhanh giá trị của mỗi biểu thức sau: a) 1,62 + 4.0,8 .3,4 + 3,42 = 1,62 + 2.1,6.3,4 + 3,42 = (1,6 + 3,4)2 = 52 = 25 b) 34.54 – (152 + 1)(152 – 1) = 154 – (154 – 1) = 154 – 154 + 1 = 1 c) x4 – 12x3 + 12x2 – 12x + 111 tại x = 11. Thay 12 = x + 1 , ta có: x4 – (x + 1)x3 + (x + 1)x2 – (x + 1)x + 111 = x4 – x4 – x3 + x3 + x2 – x2 – x + 111 = - x + 111 = -11 + 111 = 100. Bài tập 3: Rút gọn biểu thức: a) (6x + 1)2 + (6x – 1)2 – 2(1 + 6x)(6x – 1) = (6x + 1 – 6x + 1)2 = 4 b) 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) = (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) = (24 – 1)( 24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) = (28 – 1)( 28 + 1)(216 + 1) = (216 – 1)(216 + 1) = 232 – 1 Bài tập 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x3 – 3x2 – 4x + 12 = x2(x – 3) – 4(x – 3) = (x – 3)(x2 – 4) = (x – 3)(x + 2)(x – 2) b) x4 – 5x2 + 4 = x4 – x2 – 4x2 + 4 = x2(x2 – 1) – 4(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 – 4) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2) c) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 Sử dụng (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y) Thay (x + y + z)3 = (x + y)3 + z3 + 3(x + y + z)(x + y)z, ta được: (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = (x + y)3 + z3 + 3(x + y + z)(x + y)z – x3 – y3 – z3 = (x + y)3 – x3 – y3 + 3(x + y + z)(x + y)z = 3xy(x + y) + 3(x + y + z)(x + y)z = = 3(x + y)(xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(y + z)(x + z)
Bài tập 5: Làm tính chia: a) (2x3 + 5x2 – 2x + 12) : (2x2 – x + 1) Kết quả : x + 3 b) (2x3 – 5x2 + 6x – 15) : (2x – 5) Kết quả: x2 + 3 c) (x4 – x – 14) : (x – 2) Kết quả: x3 + 2x2 + 4x + 7 Bài tập 6: Tìm GTNN (hoặc GTLN) của các biểu thức sau: a) A = x2 – 6x + 11 = x2 – 6x + 9 + 2 = (x – 3)2 + 2 = Ta thấy (x – 3)2 ≥ 0 , nên A = (x – 3)2 + 2 ≥ 2 Do đó GTNN của A bằng 2, giá trị này đạt được tại x = 3 . b) B = 2x2 + 10x – 1 1 5 25 25 1 = 2(x2 + 5x - ) = 2(x2 + 2.x ) 2 2 4 4 2 5 23 = 2(x + )2 + 2 2 5 5 23 23 Vì (x + )2 ≥ 0 , nên B = (x + )2 + ≥ 2 2 2 2 23 5 Hay GTNN của B bằng , giá trị này đạt được khi x = - 2 2 c) C = 5x – x2 5 25 25 5 25 25 5 = - x2 + 2. x - + = - (x - )2 + = - (x - )2 2 4 4 2 4 4 2 5 25 5 25 Vì (x - )2 ≥ 0 , nên C = - (x - )2 ≤ 2 4 2 4 25 5 Do đó GTLN của C bằng , giá trị này đạt được khi x = . 4 2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Thực hiện phép tính: a) (3x3 2x2 x 2).(5x2) b) (a2x3 5x 3a).( 2a3x) c) (3x2 5x 2)(2x2 4x 3) d) (a4 a3b a2b2 ab3 b4)(a b) Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau: a) (a2 a 1)(a2 a 1) b) (a 2)(a 2)(a2 2a 4)(a2 2a 4)
c) (2 3y)2 (2x 3y)2 12xy d) (x 1)3 (x 1)3 (x3 1) (x 1)(x2 x 1) Bài 3. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không phụ thuộc vào x: a) (x 1)3 (x 1)3 6(x 1)(x 1) b) (x 1)(x2 x 1) (x 1)(x2 x 1) c) (x 2)2 (x 3)(x 1) d) (x 1)(x2 x 1) (x 1)(x2 x 1) e) (x 1)3 (x 1)3 6(x 1)(x 1) f) (x 3)2 (x 3)2 12x Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) A a3 3a2 3a 4 với a 11 b) B 2(x3 y3) 3(x2 y2) với x y 1 Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 1 2xy x2 y2 b) a2 b2 c2 d2 2ab 2cd c) a3b3 1 d) x2(y z) y2(z x) z2(x y) e) x2 15x 36 f) x12 3x6y6 2y12 g) x8 64x2 h) (x2 8)2 784 Bài 6. Thực hiện phép chia các đa thức sau: (đặt phép chia vào bài) a) (35x3 41x2 13x 5) : (5x 2) b) (x4 6x3 16x2 22x 15) : (x2 2x 3) c) (x4 x3y x2y2 xy3) : (x2 y2) d) (4x4 14x3y 24x2y2 54y4) : (x2 3xy 9y2) Bài 7. Thực hiện phép chia các đa thức sau: a) (3x4 8x3 10x2 8x 5) : (3x2 2x 1) b) (2x3 9x2 19x 15) : (x2 3x 5) c) (15x4 x3 x2 41x 70) : (3x2 2x 7) d) (6x5 3x4y 2x3y2 4x2y3 5xy4 2y5) : (3x3 2xy2 y3) Bài 8. Giải các phương trình sau: a) x3 16x 0 b) 2x3 50x 0 c) x3 4x2 9x 36 0 d) 5x2 4(x2 2x 1) 5 0 e) (x2 9)2 (x 3)2 0 f) x3 3x 2 0 g) (2x 3)(x 1) (4x3 6x2 6x) : ( 2x) 18 Bài 9. Chứng minh rằng: a) a2 2a b2 1 0 với mọi giá trị của a và b. b) x2 y2 2xy 4 0 với mọi giá trị của x và y. c) (x 3)(x 5) 2 0 với mọi giá trị của x. Bài 10.Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) x2 x 1 b) 2 x x2 c) x2 4x 1
d) 4x2 4x 11 e) 3x2 6x 1 f) x2 2x y2 4y 6 g) h(h 1)(h 2)(h 3) CHƯƠNG II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Phân thức đại số: A - Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng , trong đó A, B B là những đa thức và B khác 0. A được gọi là tử thức (hay tử) B được gọi là mẫu thức (hay mẫu) - Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1. A C A C - Với hai phân thức và , ta nói , nếu A.D = B.C B D B D 3.Rút gọn phân thức: - Cách biến đổi phân thức thành phân thức đơn giản hơn và bằng phân thức đã cho gọi là rút gọn phân thức. - Muốn rút gọn một phân thức ta có thể làm như sau: + Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung. + Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (nếu có) VẤN ĐỀ I. Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa Dạng toán tìm điều kiện của biến để phân thức xác định: -Với phân thức mà mẫu chỉ là đa thức dạng (ax+b) các em chỉ cần cho mẫu thức khác 0,rồi tìm ra kết quả. Bài 1:Tìm điều kiện của x để phân thức sau có nghĩa: x 2 2x 1 5 a) b) c) x 5 1 2x 10 x 4 2 Giải:a) x 5 0 x 5 1 1 b) x 4 0 x 4 x 8 2 2 c) x 5 -Với những phân thức mà mẫu lại là một phân thức khác thì cần chú ý tới tử của phân thức mẫu,ví dụ: Bài 2:Tìm điều kiện của x để phân thức xác định: x 4 5 a) b) 2x 1 x 2 1 x 1 3x 1 Giải :
1 2x 1 2x 1 0 x a)Điều kiện: 0 2 x 1 x 1 0 x 1 1 x x 2 x 2 3x 1 4x 1 4 b) 1 0 0 0 3x 1 3x 1 3x 1 1 x 3 -Với những phân thức mà có bậc 2 một biến trở lên thì cần phân tích các mẫu thành nhân tử,rồi làm tương tự như trên.Ví dụ: Bài 3:Tìm điều kiện của x để phân thức sau xác định: 3x 2 6x 12 x 2 2x 5 5x 1 a) b) c) x 3 8 2x 2 5x 3 x 2 4 Giải : a)Phân tích mẫu thành nhân tử ta có: x 3 8 x 2 x 2 2x 4 ,với chú ý:x 2 2x 4 x 1 2 3 0 nên suy ra điều kiện để phân thức có nghĩa là: x 2 0 x 2 3 b)Ta có: 2x 2 5x 3 2x 2 2x 3x 3 x 1 2x 3 0 x 1; x 2 c)Ta có: x 2 4 x 2 x 2 0 x 2; x 2 Với những phân thức nhiều ẩn thì học sinh vận dụng làm tương tự,ví dụ: Bài 4:Tìm điều kiện của biến để phân thức sau xác định: x 2 x 2 y 2 2xy a) b) c) x y 1 y 1 x 1 y x 2 y 2 x y *Một số bài tập vận dụng cho dạng toán này: Bài 1: Tìm điều kiện của x để phân thức sau xác định: 1 1 4x x 3 2x 5x 6 2x 2 1 a) b)x 4 c) d) e) 2x 5 2x 2 2 2x 3 3 4x 25 2 8x 27 x 2 2x 1 g) 2x 2 4y 2 9 Bài 2. Tìm điều kiện xác định của phân thức: x 2 4 2x 1 x 2 4 a) b) c) 9x 2 16 x 2 4x 4 x 2 1
5x 3 x2 5x 6 2 d) 2 e) f) 2x x x2 1 (x 1)(x 3) 2x 1 g) x2 5x 6 Bài 3: Tìm điều kiện xác định của phân thức: 1 x2y 2x 5x y a) b) c) x2 y2 x2 2x 1 x2 6x 10 x y d) (x 3)2 (y 2)2 VẤN ĐỀ II. Dạng toán tìm giá trị của biến để phân thức nhận một giá trị nào đó Bài 1:Với giá trị nào của x thì phân thức sau có giá trị bằng 0: 3x 3 x 1 a) b) 4x 4 x 3 x 2x 2 2 Giải: 3x 3 3x 3 0 3 x 1 0 x 1 a) 0 khi . 4x 4 4x 4 0 4 x 1 0 x 1 Vậy giá trị của phân thức bằng 0 khi x= -1 x 1 x 1 0 x 1 x 1 b) 3 2 0 khi 3 2 2 2 x x 2x 2 x x 2x 2 0 x 1 x 2 0 x 2(x 1 0) Vậy giá trị của phân thức bằng 0 khi x = 1 2x 2 Bài 2:Tìm giá trị của x để phân thức nhận giá trị bằng 0. x 2 1 2x 2 2x 2 0 x 1 Giải: 2 0 khi . x 1 x 1 x 1 0 x 1 Vậy không có giá trị nào của x để giá trị của phân thức bằng 0. 2x 3 3 Bài 3:a)Tìm x để giá trị của phân thức bằng x 5 4 x 3 3x x 2 3 b)Tìm x để giá trị của phân thức bằng -1 x 3 3x 2 3x 9 2x 3 3 4 2x 3 3 x 5 x 5 4 Giải: a)Ta có: 8x 12 3x 15 3 x 11
x 3 3x x 2 3 1 x 3 3x x 2 3 x 3 3x 2 3x 9 2x 3 2x 2 6x 6 0 b) x 3 3x 2 3x 9 x 1 2x 2 6 0 x 1 Vì 2x2+6 > 0 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1:Tìm giá trị của x để các phân thức sau bằng 0: 3x 6 3x 2 5x 2 x 3 6x 2 11x 6 a) b) c) 2x 8 3x 2 7x 2 x 2 5x 6 5x 4 2 Bài 2:a)Tìm giá trị của x để phân thức bằng 3 2x 3 3x 2 x 3 b)Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 1 3x 2 Bài 2: Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không: 2x 1 x2 x 2x 3 a) b) c) 5x 10 2x 4x 5 (x 1)(x 2) (x 1)(x 2) x2 1 d) e) f) x2 4x 3 x2 4x 3 x2 2x 1 Bài 3: Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không: x2 4 x3 16x x3 x2 x 1 a) b) c) x2 3x 10 x3 3x2 4x x3 2x 3 VẤN ĐỀ III. Chứng minh một phân thức luôn có nghĩa Bài 1. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa: 3 3x 5 5x 1 a) b) c) x2 1 (x 1)2 2 x2 2x 4 x2 4 x 5 d) e) x2 4x 5 x2 x 7 Bài 2. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa: x y 4 a) b) x2 2y2 1 x2 y2 2x 2 II. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A C Tính chất cơ bản của phân thức đại số: = A · D = B · C B D A AM ( M là một đa thức khác 0) B BM A A : N ( N là một nhân tử chung, N khác đa thức 0) B B : N Qui tắc đổi dấu: A -A + Đổi dấu cả tử và mẫu : = B -B A -A + Đổi dấu phân thức và đổi dấu tử: = - B B A A + Đổi dấu phân thức và đổi dấu mẫu : = - B - B VẤN ĐỀ I. Phân thức bằng nhau Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: 3y 6xy 3x2 3x2 2(x y) 2 a) (x 0) b) (y 0) c) (x y) 4 8x 2y 2y 3(y x) 3 2xy 8xy2 1 x x 1 2a 2a d) (a 0,y 0) e) (y 2) f) (b 0) 3a 12ay 2 y y 2 5b 5b Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: x 2 23 x3 3x 3x(x y) a) (x 0) b) (x y) x x(x2 2x 4) x y y2 x2 x y 3a(x y)2 c) (a 0, x y) 3a 9a2(x y) Bài 3. Với những giá trị nào của x thì hai phân thức sau bằng nhau: x 2 1 a) và x2 5x 6 x 3 Bài 4. Cho hai phân thức A và B. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp sau: i) x N ii) x Z iii) x Q (2x 1)(x 2) x 2 a) A , B 3(2x 1) 3
Bài 5. Cho ba phân thức A, B và C. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp sau: i) x N ii) x Z iii) x Q x 1 (x 1)(x 2) (x 1)(3x 2) a) A , B , C 5 5(x 2) 5(3x 2) VẤN ĐỀ II. Rút gọn phân thức Phương pháp chung: -Phân tích cả tử thức và mẫu thức thành nhân tử -Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. Bài 1:Rút gọn phân thức sau: 14xy 5 2x 3y 8xy 3x 1 3 15x 2 y x 2y 2 10xy 2 2x 1 3 a) b) c) d) 21x 2 y 2x 3y 2 12x 3 1 3x 35x 3 y 2 2y x 3 12x 3 2x 1 -Với các phân thức mà không có sẵn nhân tử chúng thì chúng ta sẽ thực hiện theo các bước của bài toán rút gọn,ví dụ: Bài 2:Rút gọn phân thức sau: 20x 2 45 80x 3 125x x 3 3x 2 x 3 x 2 7x 12 a) b) c) d) 2x 3 2 3 x 3 x 3 8 4x x 2 3x x 2 5x 6 HD: a) 20x 2 45 5 4x 2 9 5 2x 3 2x 3 5 2x 3 Từ đó suy ra kết quả: 2x 3 b)80x 3 125x 5x 16x 2 25 5x 4x 5 4x 5 3 x 3 x 3 8 4x 3 x 3 x 3 4x 8 x 3 4x 5 5x 4x 5 Từ đó kết quả là: x 3 c) x 3 3x 2 x 3 x 2 x 3 x 3 x 3 x 2 1 x 3 x 2 1 x 2 3x x(x 3) x 2 1 Từ đó ta có kết quả: x d) x 2 7x 12 x 3 x 4 x 2 5x 6 x 2 x 3
x 4 Từ đó có kết quả: x 2 Một số bài toán vận dụng cho dạng toán này: Bài 1:Rút gọn các phân thức sau: 25xy 3 2x y 2 x 2 y 2 2x 3 2 x 2 a) b) c) 75xy 2 y 2x x 2 y 2 xz yz x 2 1 3x 3 7x 2 5x 1 a 2 b c b 2 c a c 2 a b d) e) 2x 3 x 2 4x 3 ab 2 ac 2 b3 bc 2 Bài 2:Chứng minh các đẳng thức sau; x 4 4 x 2 2x 2 a) x x 2 2 2x 2 x 1 2 1 x 1 x 2 y 2 z 2 2zt 2xy t 2 x y z t b) x 2 y 2 z 2 2yt 2xz t 2 x y z t 3y 2 3xy 2x 3y 2 c) 1 3x x 3 3x 2 1 x 2 Bài 3:Rút gọn phân thức: 5.415.99 4.320.89 x 3 y 3 z 3 3xyz x 3 7x 6 a) A b) c) 5.29.619 7.229.276 x y 2 x z 2 y z 2 x 2 x 3 2 4x x 3 2 4 x 3 2 HD: a)đưa các lũy thừa về cơ số là số nguyên tố,sau đó phân tích thành nhân tử: 5.415.99 4.320.89 5.230.318 229.320 229.318 10 9 5.29.619 7.229.276 5.228.319 7.229.318 228.318 15 14 Từ đó rút gọn ta được kết quả: A = 2 b)phân tích tử thành nhân tử và mẫu biến đổi ta có: x 3 y 3 z 3 3xyz x y z x 2 y 2 z 2 xy yz zx x y 2 x z 2 y z 2 2 x 2 y 2 z 2 xy yz zx x y z Từ đó suy ra kết quả: 2 c)Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ta có: x 3 7x 6 x 3 9x 2x 6 x x 2 9 2 x 3 x x 3 x 3 2 x 3 x 3 x 2 3x 2 x 3 x 2 x 1 x 1 Mẫu= x 3 2 x 2 2 . Vậy ta có kết quả: x 3 x 2 Bài 4:Chứng minh đẳng thức:
x 2 y 2xy 2 y 3 xy y 2 x 2 3xy 2y 2 1 a) b) 2x 2 xy y 2 2x y x 3 2x 2 y xy 2 2y 3 x y HD:thực hiện rút gọn vế trái,cuối cùng ra kết quả là vế phải. II. Dạng toán chứng minh phân thức tối giản: Để chứng minh một thức tối giản ta gọi ước chung lớn nhất của tử và mẫu thức là d, ta chứng minh d = 1 hoặc d = -1. Để chứng minh được điều này ta vận dụng các kiến thức về chia hết như: tính chất chia hết của một tổng, quan hệ giữa bội và ước Ví dụ: Bài 1:Chứng minh các phân thức sau là tối giản: n 3 6 8n 15n 2 2n 1 a) b) (Với n nguyên dương) c) (Với n là số tự nhiên) n 4 13 21n 30n 2 2n 2 1 Giải: a)Gọi ƯCLN của n-3 và -n+4 là d,ta có:n 3d, n 4d hay: n 3 n 4d =>1d .Do đó d = 1 hoặc -1.Vậy phân thức đã cho tối giản với mọi n. b)Gọi ƯCLN của 6 8n 15n 2 và 13 21n 30n 2 là d(d 1 ),ta có: 6 8n 15n 2 d,13 21n 30n 2 d hay: 2 6 8n 15n 2 5n 1d suy ra :5n 1d (1) Mặt khác: 6 8n 15n 2 3n 1 5n 1 5d 5d (2) Từ (1) và (2) suy ra:1d .Do đó d = 1.Vậy phân thức đã cho tối giản. c)Gọi ƯCLN của 2n 1 và 2n 2 1 là d.Ta có: 2n 1d (1) và 2n 2 1d 4n 2 2d 4n 2 1 1d hay: 2n 1 2n 1 1d (2) Từ (1) và (2) suy ra: 1d .Do đó d = 1 hoặc d = -1.Vậy phân thức đã cho tối giản. Cách giải khác: Gọi ƯCLN của 2n 1 và 2n 2 1 là d.Ta có: 2n 1d (1) và 2n 2 1d .Ta có: 2n 2 1 n 2n 1 n 1d n 1d 2n 2 (2n 1) 1d Nên 1d . Do đó d = 1 hoặc d = -1.Vậy phân thức đã cho tối giản. Bài 2:Chứng minh phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n: 12n 1 n3 2n a) b) 30n 2 n 4 3n 2 1 Giải: a) 12n 1,30n 2 d ,suy ra: 12n 1d,30n 2d hay: 5 12n 1 2 30n 2 d Hay: 1d .Do đó d = 1.Vậy phân thức đã cho tối giản. b) n3 2n,n 4 3n 2 1 d .Ta có: n 4 3n 2 1 n n3 2n n 2 1d (1) mà :n3 2n n n 2 1 nd nd (2) Từ (1) và (2) suy ra: 1d .Vậy phân thức tối giản.
Một số bài tập vận dụng cho dạng toán: Chứng minh các phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n: 3n 1 3n 2 5n 1 2n 1 a) b) c) 5n 2 8n 2 7n 1 4n 2 2 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1. Rút gọn các phân thức sau: 5x 4xy 21x2y3 a) b) (y 0) c) (xy 0) 10 2y 6xy 2x 2y 5x 5y 15x(x y) d) e) (x y) f) (x y) 4 3x 3y 3(y x) Bài 2. Rút gọn các phân thức sau: x2 16 x2 4x 3 15x(x y)3 a) (x 0, x 4) b) (x 3) c) (y (x y) 0) 4x x2 2x 6 5y(x y)2 5(x y) 3(y x) 2x 2y 5x 5y x2 xy d) (x y) e) (x y) f) (x y,y 0) 10(x y) 2x 2y 5x 5y 3xy 3y2 2ax2 4ax 2a 4x2 4xy g) (b 0, x 1) h) (x 0, x y) 5b 5bx2 5x3 5x2y (x y)2 z2 x6 2x3y3 y6 i) (x y z 0) k) (x 0, x y) x y z x7 xy6 Bài 3. Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau: (2x2 2x)(x 2)2 1 x3 x2y xy2 a) A với x b) B với x 5,y 10 (x3 4x)(x 1) 2 x3 y3 Bài 4. Rút gọn các phân thức sau: (a b)2 c2 a2 b2 c2 2ab 2x3 7x2 12x 45 a) b) c) a b c a2 b2 c2 2ac 3x3 19x2 33x 9 Bài 5. Rút gọn các phân thức sau: a3 b3 c3 3abc x3 y3 z3 3xyz a) b) a2 b2 c2 ab bc ca (x y)2 (y z)2 (z x)2 x3 y3 z3 3xyz a2(b c) b2(c a) c2(a b) c) d) (x y)2 (y z)2 (z x)2 a4(b2 c2) b4(c2 a2) c4(a2 b2) a2(b c) b2(c a) c2(a b) x24 x20 x16 x4 1 e) f) ab2 ac2 b3 bc2 x26 x24 x22 x2 1
Bài 6. Tìm giá trị của biến x để: 1 1 a) P đạt giá trị lớn nhất ĐS: max P khi x 1 x2 2x 6 5 x2 x 1 3 b) Q đạt giá trị nhỏ nhất ĐS: minQ khi x 1 x2 2x 1 4 Bài 7. Chứng minh rằng phân thức sau đây không phụ thuộc vào x và y: (x2 a)(1 a) a2x2 1 3xy 3x 2y 2 9x2 1 1 a) b) x ,y 1 (x2 a)(1 a) a2x2 1 y 1 3x 1 3 ax2 a axy ax ay a (x a)2 x2 c) (x 1,y 1) d) x 1 y 1 2x a x2 y2 2ax 2x 3y 3ay e) f) (x y)(ay ax) 4ax 6x 9y 6ay Dạng toán tìm giá trị nguyên của biến để phân thức có giá trị nguyên Bài 1:Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là một số nguyên: 2 3 5 a) b) c) x 3 x 2 2x 1 Giải: a)x 3 là ước nguyên của 2 Nếu x 3 2 x 1 ; Nếu x 3 2 x 5 Nếu x 3 1 x 4 ; Nếu x 3 1 x 2 Phần b),c) làm tương tự Trong trường hợp tử và mẫu thức đều chứa biến thì ta thực hiên phép chia tử cho mẫu thức tách lấy phân thương và dư,rồi viết phân thức dưới dạng khác,ta lập luận tương tự như trên đối với phần dư chia cho mẫu thức,ví dụ: Bài 2:Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên: x 4 3x 3 5 2x 3 x 2 2x 8 a) b) x 3 2x 1 Giải: a)Thực hiện phép chia đa thức ta được: x 4 3x 3 5 5 x 4 3x 3 5 x 3 .x 3 5 . Do đó: x 3 x 3 x 3 5 Vì x nguyên nên x3 cũng nguyên,nên để phân thức có giá trị nguyên thì là số nguyên.Đến x 3 đây ta làm tương tự như ví dụ 1
b) Ngoài việc thực hiện phép chia như câu a) ta cũng có thể viết tử thức liên tiếp có chứa mẫu thức dưới dạng sau: Ta có: 2x 3 x 2 2x 8 x 2 2x 1 2x 1 7 2x 3 x 2 2x 8 7 Từ đó ta suy ra: x 2 1 2x 1 2x 1 Lập luận tương tự như trên ta tìm được kết quả: x 4; 1;0;3 Một số bài tập vận dụng cho dạng toán: Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là một số nguyên: 3x 3 4x 2 x 1 3x 2 x 3 2x 3 6x 2 x 8 x 4 16 a) b) c) d) x 4 3x 2 x 3 x 4 4x 3 8x 2 16x 16 Dạng toán tính giá trị của phân thức tại một giá trị của biến Bài 1:Tính giá trị của biểu thức: 3x 2 x x 2 3x 2 a) tại x = -8 b) tại x = 1000001 9x 2 6x 1 x 3 2x 2 x 2 Giải: 3x 2 x x 3x 1 x a) Ta có: 9x 2 6x 1 3x 1 2 3x 1 8 8 8 Thay x = -8 vào biểu thức ta có: 3. 8 1 25 25 x 2 3x 2 x 1 x 2 1 b) x 3 2x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 1 Thay x = 1000001 vào biểu thức ta có: 1 1 1000001 1 1000000 Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: x 2 2 2 x y 1 2xy x 2 x 1 x 1 a) tại x = 99 và y = 50 b) tại x = 101 x 2 y 2 1 2x x 4 2 x x 3 1 x 2 y 2 1 2xy x y 2 1 x y 1 x y 1 x y 1 Giải: a)Ta có: x 2 y 2 1 2x x 1 2 y 2 x y 1 x y 1 x y 1 99 50 1 48 8 Thay x = 99 và y = 50 ào biểu thức ta có: 99 50 1 150 25 7 7 Bài 3:Cho a ;b và 2a b 7 .Tính giá trị của biểu thức: 3 2
5a b 3b 2a P 3a 7 2b 7 Giải: 5a b 3b 2a 2a b 3a 2b 2a b 3a 7 2b 7 P 1 1 0 3a 7 2b 7 3a 7 2b 7 3a 7 2b 7 x 2x 3y Bài 4:Cho 3y x 6 ,tính giá trị của biểu thức: A y 2 x 6 Giải: 3y 6 2x x 6 3 y 2 x 6 Ta có: A 3 1 4 y 2 x 6 y 2 x 6 x y Bài 5:Tính giá trị của A biết x 2 2y 2 xy(y 0; x y 0) x y Giải: Ta có: x 2 2y 2 xy 0 (x 2 y 2 ) y 2 xy 0 x y . x 2y 0 Vì x y 0 nên x 2y .Thay vào biểu thức ta có: 2y y y 1 A (Vì y # 0) 2y y 3y 3 1 Vậy A 3 Ta có một số bài tập tương tự: Bài 1:Tính giá trị của biểu thức: 4x 2 x 5x 4 5x 2 2x 2 y 2y a) tại x = -3 b) tại x = 2 và y =-2 16x 2 8x 1 x 4 3x 2 2 3x 2y Bài 2:a)Tính giá trị của phân thức A biết rằng: 9x 2 4y 2 20xy và 2y 3x 0 3x 2y b)Biết 2x y 0 và 4x 2 y 2 5xy . Tính giá trị của biểu thức: xy M 4x 2 y 2 c) Biết b 3a và 6a 2 15ab 5b 2 0 .Tính giá trị của biểu thức: 2a b 5b a Q 3a b 3a b y z x z x y Bài 3:Cho x,y,z khác 0 và A ; B ;C .Tính giá trị của biểu thức: z y z x y x A2 B 2 C 2 ABC Dạng toán rút gọn biểu thức tổng hợp
x 2 4x 4 Bài 1:Cho phân thức: x 2 a)Với điều kiện nào của x thì giá trị phân thức được xác định? b)Rút gọn phân thức c)Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 1? d)Có giá trị nào để phân thức bằng 0 hay không? Giải: a)x 2 b)Rút gọn phân thức ta được: x 2 c)x 1 d)Không có giá trị nào của x thỏa mãn để phân thức có giá trị bằng 0 Ta có bài tập tương tự: 3x 2 6x 12 Bài 2:Cho phân thức : x 3 8 a)Với điều kiện nào của x thì phân thức xác định? b)Rút gọn phân thức 4001 c)Tính giá trị của phân thức tại x 2000 d)Tìm giá trị nguyên của x để phân thức đạt giá trị nguyên? Đối với những biểu thức có các phép tính cộng,trừ,nhân, chia thì các em cần phải nắm vững các quy tắc cộng,trừ,nhân,chia các phân thức để biến đổi cho đúng,ví dụ: 4 4 x 2 8x 16 Bài 3:Cho biểu thức: . x 4 x 4 32 a)Tìm điều kiện của x để phân thức xác định? 1 b)Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 3 c)Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 1 d)Tìm giá trị nguyên của x để phân thức có giá trị nguyên? e)Tìm giá trị của x để phân thức luôn dương? Bài 4:Chứng minh các đẳng thức sau: x 1 x 1 1 x 2 4x a) : x 1 x 1 x 1 1 x x 2 1 x 1 2 3 3x 2x y x y : . x y b) 2 2 2 2 x y x y x 2xy y 3 Bài 5:Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến.
1 x 3 x 1 x x x 1 a) b) . x 2 2x 1 2x 2 x 1 x 2 1 x 2 2x 1 x 2 1 x x x x 2 3x x 3 x c) . x 3 2x 3 x 2 3x x 2 9 III. CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC VẤN ĐỀ I. Qui đồng mẫu thức của nhiều phân thức Quy đồng mẫu thức: Phương pháp: Tìm mẫu chung: + Phân tích: - Phần hệ số thành thừa số nguyên tố. - Phần biến thành nhân tử. + Mẫu chung: - Phần hệ số là BCNN của các hệ số của các mẫu. - Phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất. Tìm nhân tử phụ: + Lấy MC chia cho từng mẫu ( đã phân tích thành nhân tử) Nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ tương ứng. Ta được các phân thức mới có mẫu giống nhau. Bài 1. Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa và tìm mẫu thức chung của chúng: x xy 1 3 xy y a) , b) , c) , 16 20 4x 6y 8 15 x y xy yz xz xy yz zx d) , e) , , f) , , 2y 2x 8 12 24 2z 3x 4y Bài 2. Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa và tìm mẫu thức chung của chúng: 5 4 7 x y z 2a x y a) , , b) , , c) , , 2x 4 3x 9 50 25x 4 2a 4 2a 4 a2 b2 2a 2b a2 b2 3 x 2 1 2 x4 1 d) , e) , f) , x2 1 2x 6 x2 6x 9 x2 2x 1 x2 2x x2 1 Bài 3. Qui đồng mẫu thức các phân thức sau:
x x 2 1 1 1 1 a) , , b) , , 2x2 7x 15 x2 3x 10 x 5 x2 3x 2 x2 5x 6 x2 4x 3 3 2x x x y z c) , , d) , , x3 1 x2 x 1 x 1 x2 2xy y2 z2 x2 2yz y2 z2 x2 2xz y2 z2 VẤN ĐỀ II. Thực hiện các phép toán trên phân thức . Cộng Trừ phân thức: Phương pháp:  Quy đồng mẫu.  Cộng (hoặc) Trừ tử với tử; mẫu chung giữ nguyên.  Bỏ ngoăc bằng phương pháp nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.  Thu gọn ( cộng trừ các hạng tử đồng dạng)  Phân tích tử thành nhân tử (nếu có thể). x 4 x 4 VD: : + = + 2x - 6 x2 - 9 2(x - 3) (x + 3)(x - 3) x(x + 3) 4.2 x(x + 3) + 4.2 x2 + 3x + 8 = + = = 2(x + 3)(x - 3) 2(x + 3)(x - 3) 2(x + 3)(x - 3) 2x2 - 19 Nhân phân thức: Phương pháp: A C A.D + Lấy Tử nhân tử; Mẫu nhân mẫu. Rồi rút gọn nếu có thể. . = B D B.C Chia phân thức: A B 1. Phân thức nghịch đảo: Nghịch đảo của là . B A A C A D 2. Chia phân thức: : = . . Rồi rút gọn nếu cóthể. B D B C 5xy 12xy 5xy 4 - 8x -5xy.(8x - 4) -5 Ví dụ: : = . = = 2x - 1 4x - 8 2x - 1 12xy (2x - 1).12xy 3 Bài 1. Thực hiện phép tính: x 5 1 x x y 2y x2 x 1 4x a) b) c) 5 5 8 8 xy xy 5xy2 x2y 4xy2 x2y x 1 x 1 x 3 5xy 4y 3xy 4y d) e) f) 3xy 3xy a b a b a b 2x2 y3 2x2 y3 2x2 xy xy y2 2y2 x2 g) x y y x x y Bài 2. Thực hiện phép tính:
2x 4 2 x 3x 2x 1 2 x x 1 x2 3 a) b) c) 10 15 10 15 20 2x 2 2 2x2 1 2x 2x 1 x 2x y x2 6 1 d) 2 e) f) 2x 2x 1 2x 4x xy y2 xy x2 x2 4x 6 3x x 2 2x2 10xy 5y x x 2y 2 1 3x x2 y2 g) h) i) x y 2xy y x x y x y x2 y2 x y Bài 3. Thực hiện phép tính: 2x y 4 1 3xy x y a) 2 2 2 2 b) x 2xy xy 2y x 4y x y y3 x3 x2 xy y2 2x y 16x 2x y 1 1 2 4 8 16 c) d) 2x2 xy y2 4x2 2x2 xy 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 x16 Bài 4. Thực hiện phép tính: 1 3x x 3 2(x y)(x y) 2y2 3x 1 2x 3 a) b) c) 2 2 x x x y x y xy x2 1 4x 1 7 x 1 d) e) 2x y y 2x 3x 2 y 3x 2 y Bài 5. Thực hiện phép tính: 4x 1 3x 2 x 3 x 9 x 3 1 a) b) c) 2 3 x x 3 x2 3x x2 1 x2 x 1 4 10x 8 3 2x 1 2 3x x d) e) f) 3x 2 3x 2 9x2 4 2x2 2x x2 1 x 5x 5y 10x 10y 4a2 3a 5 1 2a 6 5x2 y2 3x 2y x 9y 3y g) h) i) a3 1 a2 a 1 a 1 xy y x2 9y2 x2 3xy 4 3x 2 6 3x 2 3 x 6 2 x 1 k) l) 2 m) x 1 x 2 2x 1 x 2 1 x 2 2x 1 2 x 6 2 x 6 x x2 1 5 10 15 n) a 1 a (a2 1) a3 1 Bài 6. Thực hiện phép tính: 1 6x 2x2 15x 2y2 a) . b) .3xy2 c) . x y y 7y3 x2 2x2 y 5x 10 4 2x x2 36 3 d) . e) . f) . x y 5x3 4x 8 x 2 2x 10 6 x x2 9y2 3xy 3x2 3y2 15x2y 2a3 2b3 6a 6b g) . h) . i) . x2y2 2x 6y 5xy 2y 2x 3a 3b a2 2ab b2
Bài 7. Thực hiện phép tính: 2x 5 18x2y5 25x3y5 a) : b) 16x2y2 : c) :15xy2 3 6x2 5 3 x2 y2 x y a2 ab a b x y x2 xy d) : e) : f) : 6x2y 3xy b a 2a2 2b2 y x 3x2 3y2 1 4x2 2 4x 5x 15 x 2 9 6x 48 x 2 64 g) : h) : i) : x2 4x 3x 4x 4 x 2 2x 1 7x 7 x 2 2x 1 4x 24 x 2 36 3x 21 x 2 49 3 3x 6x 2 6 k) : l) : m) : 5x 5 x 2 2x 1 5x 5 x 2 2x 1 (1 x) 2 x 1 Bài 8. Thực hiện phép tính: 1 2 x 1 3x 2x 6x 2 10x a) 2 : x 2 b) : 2 x x x 1 x 1 3x 3x 1 1 6x 9x 9 1 x 3 x x 1 x 2 x 3 c) 3 : 2 d) : : x 9x x 3 x 3x 3x 9 x 2 x 3 x 1 Bài 9. Rút gọn các biểu thức sau: 1 1 x x 1 x y x a) b) x 1 x c) 1 1 1 x x 1 x 1 x y x 1 x x 1 2 x y a x x 1 y x d) x 1 e) f) a a x x2 2 x y x y a x x 1 x2 1 x y x y a a x Bài 10.Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên: x3 x2 2 x3 2x2 4 2x3 x2 2x 2 a) b) c) x 1 x 2 2x 1 3x3 7x2 11x 1 x4 16 d) e) 3x 1 x4 4x3 8x2 16x 16 Bài 11. * Phân tích các phân thức sau thành tổng các phân thức mà mẫu thức là các nhị thức bậc nhất: 2x 1 x2 2x 6 3x2 3x 12 a) b) c) x2 5x 6 (x 1)(x 2)(x 4) (x 1)(x 2)x Bài 12. * Tìm các số A, B, C để có: x2 x 2 A B C x2 2x 1 A Bx C a) b) (x 1)3 (x 1)3 (x 1)2 x 1 (x 1)(x2 1) x 1 x2 1
Bài 13. * Tính các tổng: a b c a) A (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) a2 b2 c2 b) B (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) Bài 14. * Tính các tổng: 1 1 1 1 1 1 1 a) A HD: 1.2 2.3 3.4 n(n 1) k(k 1) k k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) B HD: 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2) k(k 1)(k 2) 2 k k 2 k 1 Bài 15. * Chứng minh rằng với mọi m N , ta có: 4 1 1 a) 4m 2 m 1 (m 1)(2m 1) 4 1 1 1 b) 4m 3 m 2 (m 1)(m 2) (m 1)(4m 3) 4 1 1 1 c) 8m 5 2(m 1) 2(m 1)(3m 2) 2(3m 2)(8m 5) 4 1 1 1 d) 3m 2 m 1 3m 2 (m 1)(3m 2) BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II Bài 1. Thực hiện phép tính: 8 2 1 x y x y 2y2 a) b) (x2 3)(x2 1) x2 3 x 1 2(x y) 2(x y) x2 y2 x 1 x 1 3 xy (x a)(y a) (x b)(y b) c) d) x3 x3 x2 x3 2x2 x ab a(a b) b(a b)
x3 x2 1 1 x3 x2 2x 20 5 3 e) f) x 1 x 1 x 1 x 1 x2 4 x 2 x 2 x y x y x2 y2 xy 1 1 1 g) . 1 . h) x y x y 2xy x2 y2 (a b)(b c) (b c)(c a) (c a)(a b) 2 2 2 2 2 2 a (b c) (a b c) x y 1 x y x y i) k) : (a b c)(a2 c2 2ac b2) xy x y y x x Bài 2. Rút gọn các phân thức: 25x2 20x 4 5x2 10xy 5y2 x2 1 a) b) c) 25x2 4 3x3 3y3 x3 x2 x 1 x3 x2 4x 4 4x4 20x3 13x2 30x 9 d) e) x4 16 (4x2 1)2 Bài 3. Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức: a2 b2 c2 2ab 16x2 40xy x 10 a) với a 4,b 5,c 6 b) với a2 b2 c2 2ac 8x2 24xy y 3 x2 xy y2 x2 xy y2 x y x y c) với x 9,y 10 x2 x y x y Bài 4. Biểu diễn các phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với bậc của tử thức nhỏ hơn bậc chủa mẫu thức: x2 3 x2 1 x4 x3 4x2 x 5 x5 2x4 x 3 a) b) c) d) x2 1 x2 1 x2 1 x 1 Bài 5. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau cũng có giá trị nguyên: 1 1 x3 x2 2 x3 2x2 4 a) b) c) d) x 2 2x 3 x 1 x 2 3x2 3x Bài 6. Cho biểu thức: P . (x 1)(2x 6) a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Tìm giá trị của x để P 1. x 2 5 1 Bài 7. Cho biểu thức: P x 3 x2 x 6 2 x a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P.
3 c) Tìm x để P . 4 d) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P cũng có giá trị nguyên. e) Tính giá trị của biểu thức P khi x2 –9 0 . (a 3)2 6a 18 Bài 8. Cho biểu thức: P  1 . 2a2 6a a2 9 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Với giá trị nào của a thì P = 0; P = 1. x x2 1 Bài 9. Cho biểu thức: P . 2x 2 2 2x2 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. 1 c) Tìm giá trị của x để P . 2 x2 2x x 5 50 5x Bài 10.Cho biểu thức: P . 2x 10 x 2x(x 5) a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Tìm giá trị của x để P = 1; P = –3. 2 3 6x 5 Bài 11.Cho biểu thức: P . 2x 3 2x 1 (2x 3)(2x 3) a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm giá trị của x để P = –1. 1 2 2x 10 Bài 12.Cho biểu thức: P . x 5 x 5 (x 5)(x 5) a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Cho P = –3. Tính giá trị của biểu thức Q 9x2 – 42x 49 . 3 1 18 Bài 13.Cho biểu thức: P . x 3 x 3 9 x2 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm giá trị của x để P = 4.
x2 2x 10 50 5x Bài 14.Cho biểu thức: P . 5x 25 x x2 5x a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm giá trị của x để P = –4. 3x2 6x 12 Bài 15.Cho biểu thức: P x3 8 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. 4001 c) Tính giá trị của P với x . 2000 1 x x2 x 1 2x 1 Bài 16.Cho biểu thức: P . : . 3 2 x 1 1 x x 1 x 2x 1 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. 1 c) Tính giá trị của P khi x . 2 x2 2x x 5 50 5x Bài 17.Cho biểu thức: P . 2x 10 x 2x(x 5) a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. 1 c) Tìm giá trị của x để P = 0; P = . 4 d) Tìm giá trị của x để P > 0; P < 0. x 1 3 x 3 4x2 4 Bài 18.Cho biểu thức: P . . 2x 2 x2 1 2x 2 5 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) CMR: khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x? 5x 2 5x 2 x2 100 Bài 19.Cho biểu thức: P . . x2 10 x2 10 x2 4 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị của P khi x = 20040.