Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 1: Chia hết (Có lời giải)

Nội dung text: Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 1: Chia hết (Có lời giải)

1. DẠNG 1: CHIA HẾT A.Bài tốn 2 Câu 1: Chứng minh rằng: A n3 n2 7 36n M7 với n ¢ . Câu 2: Chứng minh rằng: 20092008 20112010 chia hết cho 2010 Câu 3: a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9 b) Tìm các số nguyên n để n5 1chia hết cho n3 1 Câu 4: Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9 Câu 5: Chứng minh n3 17n chia hết cho 6 với mọi n ¢ Câu 6: Chứng minh rằng: A 1 3 32 33 311 chia hết cho 40. Câu 7: Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9 n 2 n 2 n 1 b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì A 5 26.5 8 M59 Câu 8: Chứng minh rằng a) 85 211 chia hết cho 17 b) 1919 6919 chia hết cho 44 Câu 9: Chứng minh rằng a5 aM30 a ¢ Câu 10: Cho a,b là hai số tự nhiên. Biết rằng a chia cho 5 dư 3 và b chia cho 5 dư 2. Hỏi tích a.b chia cho 5 dư bao nhiêu ? 3 3 3 3 Câu 11: Cho các số nguyên a1,a2 ,a3 , ,an . Đặt S a1 a2 a3 an và P a1 a2 a3 an . Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6. Câu 12: a) Chứng minh rằng: 2130 3921 chia hết cho 45 b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n ta cĩ: 5n 2 26.5n 82n 1 M59 . Câu 13: Chứng minh: a) A 210 211 212 chia hết cho 7. b) B 6n 1 n 5 3n 5 2n 1 chia hết cho 2, với n Z . c) C 5n3 15n2 10n chia hết cho 30, với n Z . d)Nếu a x2 yz; b y2 xz; c z2 xy thì D ax by cz chia hết cho a b c . e) E x4 4x3 2x2 12x 9 là bình phương của một số nguyên, với x Z . 2018 2018 f) F x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho x 1 . g) G x8n x4n 1 chia hết cho x2n xn 1 , với n N . Câu 14: Chứng minh rằng: B n3 6n2 19n 24 chia hết cho 6 (Câu 2b đề 10) Câu 15: Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: A 20n 16n 3n 1 chia hết cho 323
2. Câu 16: Chứng minh rằng M n8 4n7 6n6 4n5 n4 chia hết cho 16, với n Z Câu 17: a) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9 b)Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì A 5n 2 26.5n 82n 1 M59 Câu 18: Cho a1,a2 , ,a2016 là các số tự nhiên cĩ tổng chia hết cho 3 3 3 3 Chứng minh rằng: A a1 a2 a2016 chia hết cho 3. Câu 19: Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng cĩ chia hết cho 5 khơng ? Câu 20: Chứng minh rằng 20092008 20112010 chia hết cho 2010 Câu 21: Chứng minh rằng: A 1 3 32 33 311 chia hết cho 40 Câu 22: Chứng minh rằng 1110 1chia hết cho 100 Câu 23: Chứng minh rằng 20092008 20112010 chia hết cho 2010 Câu 24: Chứng minh rằng: a) 85 211 chia hết cho 17 b) 1919 6919 chia hết cho 44 Câu 25: a)Chứng minh rằng: n3 3n2 2nM6 với mọi số nguyên n b)Tìm số nguyên n sao cho: 2n3 n2 7n 1M 2n 1 Câu 26: . Cho số tự nhiên n 3.Chứng minh rằng nếu 2n 10a b a,b ¥ ,0 b 10 thì tích ab chia hết cho 6 Câu 27: Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng 16 n – 15n – 1 chia hết cho 225. Câu 28: Chứng minh rằng 22008 22009 22010 chia hết cho 7 Câu 29: Chứng minh rằng n3 n chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n Câu 30: Chứng minh rằng 321 224 68 1 chia hết cho 1930 Chứng minh rằng: A 2n 1 2n 1 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n . Câu 31: Tìm các số cĩ 3 chữ số chia hết cho 7 và tổng các chữ số của nĩ cũng chia hết cho 7 n2 n 1 Câu 32: Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên m,n m n thì phân số n 1 2 10n 9n 4 tối giản 20n2 20n 9 Câu 33: Chứng minh rằng n4 2n3 n2 2n chia hết cho 24 với mọi n ¢ Câu 34: Chứng minh rằng a5 aM30 a ¢ Câu 35: Đặt A n3 3n2 5n 3. Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dương của n Nếu a chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thì a2 b2 chia hết cho 13 Tìm các số nguyên thỏa mãn
3. 2 Câu 36: Chứng minh rằng: A n3 n2 7 36n M7 với n ¢ . Câu 37: Hãy chứng minh : 2 A n3 n2 7 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n Câu 38: Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì A 5n 2 26.5n 82n 1 M59 Câu 39: Cho a1,a2 , ,a2016 là các số tự nhiên cĩ tổng chia hết cho 3 3 3 3 Chứng minh rằng: A a1 a2 a2016 chia hết cho 3 Câu 40: Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng cĩ chia hết cho 5 khơng ? Câu 41: Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9 Câu 42: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y ta cĩ: x5 y xy5 chia hết cho 30. Câu 43: Hãy viết thêm vào bên phải số 43 hai chữ số để nhận được một số cĩ 4 chữ số chia hết cho 3 và 7. 10n2 9n 4 Câu 44: Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên n thì phân số tối 20n2 20n 9 giản. Câu 45: a2 4a 4 a) Cho A 3 2 . Tìm a ¢ để Alà số nguyên. a 2a 4a 8 5 3 b) Tìm số tự nhiên n để n 1chia hết cho n 1. Câu 46: Chứng minh tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9. Câu 47: Cho a, b, c ¢ thỏa mãn a b c 0.Chứng minh: a5 b5 c5 M30 Câu 48: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thìA = 5 n+2 + 26.5n + 82n+1 M 59 Câu 49: a. Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B A = 3xn-1y6 - 5xn+1y4 và B = 2x3yn b. Xác định các giá trị của a,b và c để đa thức P(x) = x 4 + ax2 + bx + c chia hết cho (x – 3)3 Câu 50: Chứng minh rằng số cĩ dạng A n4 6n3 11n2 6n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n. Câu 51: Chứng minh rằng n4 7(7 2n2 ) chia hết cho 64 với mọi n là số nguyên lẻ. Câu 52: Chứng minh rằng khơng tồn tại số nguyên a thỏa mãn (20172017 1) chia hết a3 11a
4. Câu 53: Cho số tự nhiên n 3. Chứng minh răng nếu 2 n 10a b (a, b N , 0 b 10) thì tích ab chia hết cho 6. Câu 54: 3 Chứng minh n ¥ * thì n n 2 là hợp số Câu 55: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên x thì biểu thức A x5 x luơn chia hết cho 30. Câu 56: Chứng minh rằng: c) 85 211 chia hết cho 17 d) 1919 6919 chia hết cho 44 Câu 57: Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh (n3 ― n)⋮24 3 Câu 58: Chứng minh n 17nchia hết cho 6với mọi n ¢ Câu 59: Cho a,b,clà các số nguyên. Chứng minh rằng a5 b5 c5 a b c chia hết cho 30. Câu 60: Cho 3 số tự nhiên a,b,c.Chứng minh rằng nếu a b c chia hết cho 3 thì a3 b3 c3 3a2 3b2 3c2 chia hết cho 6 Câu 61: Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9 Tìm các số nguyên n để n5 1chia hết cho n3 1 Câu 62: Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì: 5n 5n 1 6n 3n 2n M91 Câu 63: Chứng minh 1110 1chia hết cho 100 Câu 64: Chứng minh rằng: 20092008 20112010 chia hết cho 2010 2014 Câu 65: Cho a1,a2 , ,a2013 là các số tự nhiên cĩ tổng cộng bằng 2013 3 3 3 Chứng minh rằng: B a1 a2 a2013 chia hết cho 3. Câu 66: Tìm a,b sao cho f (x) ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g(x) x2 x 2 Câu 67: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a3 5a chia hết cho 6 3 3 Câu 68: Chứng minh rằng: Q n3 n 1 n 2 M9 với mọi n ¥ *
5. B. HƯỚNG DẪN Câu 1: Chứng minh rằng: với n ¢ . 2 2 A n3 n2 7 36n M7A n3 n2 7 36n Lời giải Ta cĩ: 2 2 3 3 n n n 7 6 n n 7 6 n n 7n 6 n 7n 6 3 3 2 2 n n n 6n 6 n n 6n 6 n n 1 6 n 1 n n 1 6 n 1 Do đĩ n n 1 n2 n 6 n 1 n2 n 6 n n 1 n 2 n 3 n 1 n 2 n 3 A là tích của 7 số nguyên liên tiếp AM7 n ¢ Câu 2: Chứng minh rằng: 20092008 20112010 chia hết cho 2010 Lời giải Ta cĩ: 20092008 20112010 20092008 1 20112010 1 Vì 20092008 1 2009 1 20092007 2010. chia hết cho 2010 (1) Vì 20112010 1 2011 1 20112009 2010. chia hết cho 2010 (2) Từ (1) và (2) ta cĩ điều phải chứng minh. Câu 3: a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9 b) Tìm các số nguyên n để n5 1chia hết cho n3 1 Lời giải Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta cĩ a b chia hết cho 3 Ta cĩ: a3 b3 a b a2 ab b2 a b a b 2 3ab Vì a b chia hết cho 3 nên a b 2 3ab chia hết cho 3. Do vậy, a b a b 2 3ab chia hết cho 9 n5 1M n3 1 n5 n2 n2 1 M n3 1 n2 n3 1 n2 1 M n3 1 n 1 n 1 M n 1 n2 n 1 n 1Mn2 n 1 n n 1 Mn2 n 1
6. n2 nMn2 n 1 n2 n 1 1M n2 n 1 Hay 1Mn2 n 1 Xét hai trường hợp: 2 2 n 0 )n n 1 1 n n 0 n 1 )n2 n 1 1 n2 n 2 0,khơng cĩ giá trị của n thỏa mãn Câu 4: Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9 Lời giải Gọi 2 số phải tìm là a và b, ta cĩ a b chia hết cho 3. a3 b3 a b a2 ab b2 a b a2 2ab b2 3ab a b a b 2 3ab Vì a b chia hết cho 3 nên a b 2 3ab chia hết cho 3 Do vậy a b a b 2 3ab chia hết cho 9 Câu 5: Chứng minh n3 17n chia hết cho 6 với mọi n ¢ Lời giải n3 17n n3 n 18n n n 1 n 1 18n Vì n n 1 n 1 là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, 2,3 1 nên chia hết cho 6 18nM6 , suy ra điều phải chứng minh Câu 6: Chứng minh rằng: A 1 3 32 33 311 chia hết cho 40. Lời giải A 1 3 32 33 311 1 3 32 33 34 35 36 37 38 39 310 311 1 3 32 33 34. 1 3 32 33 38 1 3 32 33 40 34. 40 38. 40 40. 1 34 38 40 Vậy AM 40 Câu 7: a) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9 b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì A 5n 2 26.5n 82n 1 M59 Lời giải a) Ta phải chứng minh A n3 n 1 3 n 2 3 M9 với n ¢
7. A n3 n3 3n2 3n 1 n3 6n2 12n 8 3n3 9n2 15n 9 3n3 3n 9n2 18n 9 3n n 1 n 1 9 n2 2n 1 Nhận thấy n n 1 n 1 M3 3n n 1 n 1 M9 và 9 n2 2n 1 M9 Vậy AM9 b)5n 2 26.5n 82n 1 25.5n 26.5n 8.82n 5n 59 8 8.64n 59.5n 8 64n 5n 59.5n M59 và 8. 64n 5n M 64 5 59 Vậy 5n 2 26.5n 82n 1 M59 Câu 8: Chứng minh rằng a) 85 211 chia hết cho 17 b) 1919 6919 chia hết cho 44 Lời giải 5 a)Ta cĩ: 85 211 23 211 215 211 211. 24 1 211.17 chia hết cho 17 b)Ta cĩ: 1919 6919 19 69 1918 1917 ,69 6918 88. 1918 1917 ,69 6918 chia hết cho 44 Câu 9: Chứng minh rằng a5 aM30 a ¢ Lời giải a5 a a a4 1 a a2 1 a2 1 a a 1 a 1 a 4 2 5 a a 1 a 1 a 2 a 2 5a a 1 a 1 Do tích của số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5 và trong 5 số nguyên liên tiếp luơn cĩ ba số nguyên liên tiếp mà tích của chúng chia hết cho 6 và 6,5 1 Suy ra a a 1 a 1 a 2 a 2 M30 và 5a a 1 a 1 M30. Vậy a5 aM30 Câu 10: Cho a,b là hai số tự nhiên. Biết rằng a chia cho 5 dư 3 và b chia cho 5 dư 2. Hỏi tích a.b chia cho 5 dư bao nhiêu ? Lời giải a chia cho 5 dư 3 nên tồn tại số tự nhiên m sao cho a 5m 3 (1) b chia cho 5 dư 2 nên tồn tại số tự nhiên n sao cho b 5n 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra a.b 5m 3 5n 2 5 5mn 2m 3n 1 1 Suy ra a.b chia cho 5 dư 1.
8. 3 3 3 3 Câu 11: Cho các số nguyên a1,a2 ,a3 , ,an . Đặt S a1 a2 a3 an và P a1 a2 a3 an . Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6. Lời giải HD: Xét hiệu: S P Chứng minh: a3 a a 1 a a 1 M6 với mọi số nguyên a . Sau đĩ sử dụng tính chât chia hết của một tổng suy ra đpcm. Câu 12: a) Chứng minh rằng: 2130 3921 chia hết cho 45 b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n ta cĩ: 5n 2 26.5n 82n 1 M59 . Lời giải a) Chứng minh rằng: 2130 3921 chia hết cho 45. HD: Đặt M 2130 3921 Nhận xét 45 = 5.9 mà 5 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau (1) Vậy để c/m M M45 ta cần c/m M M5 và M M9 M 2130 3921 2130 130 3921 1 21 M5 Thật vậy, (2) 21 2130 130 M 21 1 M5 3921 1 M 39 1 M5 (Vì và ) Mặt khác, 21M3 2130 M9 và 39M3 3921 M9 . Do đĩ, M M9 (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm. an bn M a b * Chú ý: b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n ta cĩ: 5n 2 26.5n 82n 1 M59 . Ta cĩ: 5n 2 26.5n 82n 1 51.5n 8.64n 59.5n 8. 64n 5n M59 ( Vì 64n 5n M 64 5 ). Suy ra đpcm. Câu 13: Chứng minh: a) A 210 211 212 chia hết cho 7. b) B 6n 1 n 5 3n 5 2n 1 chia hết cho 2, với n Z . c) C 5n3 15n2 10n chia hết cho 30, với n Z . d) Nếu a x2 yz; b y2 xz; c z2 xy thì D ax by cz chia hết cho a b c . e) E x4 4x3 2x2 12x 9 là bình phương của một số nguyên, với x Z . 2018 2018 f) F x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho x 1 .
9. g) G x8n x4n 1 chia hết cho x2n xn 1 , với n N . Lời giải Chứng minh: a) A 210 211 212 chia hết cho 7 Ta cĩ: A 210 211 212 210 210.2 210.22 210. 1 2 22 210.7M7 Vậy, A 210 211 212 chia hết cho 7 . b) B 6n 1 n 5 3n 5 2n 1 chia hết cho 2, với n Z . Ta cĩ: B 6n 1 n 5 3n 5 2n 1 24n 10 2. 12n 5 M2 Vậy, B 6n 1 n 5 3n 5 2n 1 chia hết cho 2, với n Z c) C 5n3 15n2 10n chia hết cho 30, với n Z . Ta cĩ: C 5n3 15n2 10n 5n n 1 n 2 Vì 5M5 và n n 1 n 2 M6 mà 5,6 1 nên 5n n 1 n 2 M30 Vậy, C 5n3 15n2 10n chia hết cho 30, với n Z . d) Nếu a x2 yz; b y2 xz; c z2 xy thì D ax by cz chia hết cho a b c . Ta cĩ: D ax by cz x2 yz .x y2 xz .y z2 xy .z x3 y3 z3 3xyz x y z x2 y2 z2 xy yz zx Vậy, D ax by cz chia hết cho a b c e) E x4 4x3 2x2 12x 9 là bình phương của một số nguyên, với x Z . Ta cĩ: E x4 4x3 2x2 12x 9 x4 4x3 4x2 6x2 12x 9 2 2 2 2 2 2 2 x 2x 6 x 2x 3 x 2x 3 x 3 x 1 4 3 2 2 Vậy, E x 4x 2x 12x 9 x 3 x 1 là bình phương của một số nguyên, với x Z 2018 2018 f) F x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho x 1 . 2018 2018 Ta cĩ F x2 x 1 x2 x 1 2 x 1 .Q x r 2018 2018 Xét tại x 1 thì r 12 1 1 12 1 1 2 0
10. 2018 2018 Vậy, F x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho x 1 . g) G x8n x4n 1 chia hết cho x2n xn 1 , với n N . 2 2 Ta cĩ: G x8n x4n 1 x8n 2x4n 1 x4n x4n 1 x2n x4n x2n 1 x4n x2n 1 (1) 2 2 Mặt khác, x4n x2n 1 x4n 2x2n 1 x2n x2n 1 xn x2n xn 1 x2n xn 1 2 Từ (1) và (2) suy ra G x8n x4n 1 x2n xn 1 x2n xn 1 x4n x2n 1 Vậy, G x8n x4n 1 chia hết cho x2n xn 1 , với n N . Câu 14: Chứng minh rằng: B n3 6n2 19n 24 chia hết cho 6 Lời giải Chứng minh rằng: B n3 6n2 19n 24 chia hết cho 6 Ta cĩ: B n3 6n2 19n 24 n3 n 6n2 18n 24 n n2 1 6 n2 3n 4 n 1 n n 1 6 n2 3n 4 Vì n 1 n n 1 M6 ? và 6 n2 3n 4 M6 nên BM6 (đpcm) Câu 15: Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: A 20n 16n 3n 1 chia hết cho 323 Lời giải Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: A 20n 16n 3n 1 chia hết cho 323 . Ta cĩ: 323 17.19 và 17,19 1 . Ta cần c/m: AM17 và AM19 . Ta cĩ A 20n 16n 3n 1 20n 3n 16n 1 Mà 20n 3n M 20 3 hay 20n 3n M17 1 Và 16n 1 M 16 1 ( vì n là số chẵn ) hay 16n 1 M17 2 Từ (1) và (2) suy ra AM17 . Tương tự, A 20n 16n 3n 1 20n 1 16n 3n Mà 20n 1 M 20 1 hay 20n 1 M19 3 Và 16n 3n M 16 3 ( vì n là số chẵn ) hay 16n 3n M19 4 Từ (3) và (4) suy ra AM19 . Vì AM17 và AM19 mà 17,19 1 suy ra AM323 (đpcm) Câu 16: Chứng minh rằng M n8 4n7 6n6 4n5 n4 chia hết cho 16, với n Z
11. Lời giải Chứng minh rằng A n8 4n7 6n6 4n5 n4 chia hết cho 16, với n Z Ta cĩ: A n8 4n7 6n6 4n5 n4 n4 n4 4n3 6n2 4n 1 4 4 3 3 2 2 4 3 2 n n n 3n 3n 3n 3n n 1 n n n 1 3n n 1 3n n 1 n 1 4 3 2 4 3 4 n n 1 n 3n 3n 1 n n 1 n 1 n n 1 Vì n n 1 là tích của hai số nguyên liên tiếp nên n n 1 M2 4 4 4 Suy ra A n n 1 M2 mà 2 16 Vậy, AM16 với n Z . Câu 17: a)Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9 b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì A 5n 2 26.5n 82n 1 M59 Lời giải a) Ta phải chứng minh A n3 n 1 3 n 2 3 M9 với n ¢ A n3 n3 3n2 3n 1 n3 6n2 12n 8 3n3 9n2 15n 9 3n3 3n 9n2 18n 9 3n n 1 n 1 9 n2 2n 1 Nhận thấy n n 1 n 1 M3 3n n 1 n 1 M9 và 9 n2 2n 1 M9 Vậy AM9 b)5n 2 26.5n 82n 1 25.5n 26.5n 8.82n 5n 59 8 8.64n 59.5n 8 64n 5n 59.5n M59 và 8. 64n 5n M 64 5 59 Vậy 5n 2 26.5n 82n 1 M59 Câu 18: Cho a1,a2 , ,a2016 là các số tự nhiên cĩ tổng chia hết cho 3 3 3 3 Chứng minh rằng: A a1 a2 a2016 chia hết cho 3. Lời giải: Dễ thấy a3 a a a 1 a 1 là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 Xét hiệu: 3 3 3 A a1 a2 a2016 a1 a2 a2016 a1 a2 a2016 3 3 3 a1 a1 a2 a2 a2016 a2016 Các hiệu trên chia hết cho 3 , do vậy A chia hết cho 3
12. Câu 19: Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng cĩ chia hết cho 5 khơng ? Lời giải Vì số thứ nhất chia cho 5 dư 1 nên cĩ dạng 5a 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2 nên cĩ dạng 5b 2 ( a,b ¢ ) Ta cĩ tổng bình phương hai số đĩ là: 5a 1 2 5b 1 2 25a2 10a 1 25b2 10b 4 5 5a2 5b2 2a 2b 1 M5 Vậy tổng bình phương của hai số chia hết cho 5 Câu 20: Chứng minh rằng 20092008 20112010 chia hết cho 2010 Lời giải Ta cĩ: 20092008 20112010 20092008 1 20112010 1 Vì 20092008 1 2009 1 20092007 M2010 (1) 20112010 1 2011 1 20112009 M2010 (2) Từ (1) và (2) ta cĩ dpcm. Câu 21: Chứng minh rằng: A 1 3 32 33 311 chia hết cho 40 Lời giải A 1 3 32 33 311 1 3 32 33 34 35 36 37 38 39 310 311 1 3 32 33 34. 1 3 32 33 38. 1 3 32 33 40 34.40 38.40 40. 1 34 38 M40 Vậy AM40 Câu 22: Chứng minh rằng 1110 1chia hết cho 100 Lời giải 1110 1 11 1 119 118 11 1 10. 119 118 11 1 Vì 10M10 Và 119 118 11 1 cĩ chữ số tận cùng bằng 0 Nên 119 118 11 1 chia hết cho 10 Vậy 1110 1chia hết cho 100 Câu 23: Chứng minh rằng 20092008 20112010 chia hết cho 2010 Lời giải
13. Ta cĩ: 20092008 20112010 20092008 1 20112010 1 Vì 20092008 1 2009 1 20092007 2010. chia hết cho 2010 (1) Vì 20112010 1 2011 1 20112009 2010. chia hết cho 2010 (2) Từ (1) và (2) ta cĩ đpcm. Câu 24: Chứng minh rằng: e) 85 211 chia hết cho 17 f) 1919 6919 chia hết cho 44 Lời giải 5 Ta cĩ: 85 211 23 211 215 211 211. 24 1 211.17 Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17 Áp dụng hằng đẳng thức an bn a b an 1 an 2b an 3b2 abn 2 bn 1 với mọi n lẻ Ta cĩ: 1919 6919 19 69 1918 1917.69 6918 88. 1918 1917.69 6918 chia hết cho 44 Câu 25: a) Chứng minh rằng: n3 3n2 2nM6 với mọi số nguyên n Lời giải Ta cĩ: n3 3n2 2n n n2 3n 2 n n2 n 2n 2 2 n n n 2n 2 n n 1 n 2 Vì n là số nguyên nên: n;n 1;n 2 là ba số nguyên liên tiếp Do đĩ cĩ ít nhất một số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3 n n 1 n 2 M6 hay n3 3n2 2nM6 với mọi số nguyên n b)Tìm số nguyên n sao cho: 2n3 n2 7n 1M 2n 1 Lời giải Để 2n3 n2 7n 1M2n 1 thì 5M2n 1 hay 2n 1 là Ư 5
14. 2n 1 5 n 2 2n 1 1 n 0 2n 1 1 n 1 2n 1 5 n 3 Vậy n 2;0;1;3 thì 2n3 n2 7n 1M2n 1 Câu 26: Cho số tự nhiên n 3.Chứng minh rằng nếu 2n 10a b a,b ¥ ,0 b 10 thì tích ab chia hết cho 6 Lời giải Ta cĩ: 2n 10a b bM2 abM2 (1) Ta chứng minh abM3 (2) Thật vậy , từ đẳng thức 2n 10a b 2n cĩ chữ số tận cùng là b Đặt n 4k r k,r ¥ ,0 r 3 ta cĩ: 2n 16k.2r Nếu r 0 thì 2n 2r 2r. 16k 1 M10 2n tận cùng là 2r Suy ra b 2r 10a 2n 2r 2r. 16k 1 M3 aM3 abM3 Từ 1 và 2 suy ra abM6 Câu 27: Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng 16 n – 15n – 1 chia hết cho 225. Lời giải Với n = 1 ta cĩ: 16 – 15 – 1 = 0 M 225 Giả sử bài tốn đúng với n = k tức là ta cĩ: 16k – 15k – 1 M 225 Ta chứng minh bài tốn đúng với n = k + 1 Thật vậy: 16k+1 – 15(k+1) – 1 = 16.16k – 15k – 15 – 1 = 16k (15 + 1) – 15k – 15 – 1 = (16 k – 15k – 1) + 15(15k – 1) = (16 k – 15k – 1) + 225. A(k) M 225 Vậy 16n – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n là số nguyên dương. Câu 28: Chứng minh rằng 22008 22009 22010 chia hết cho 7 Lời giải 22008 22009 22010 22008. 1 2 4 7.22008 M7 Câu 29: Chứng minh rằng n3 n chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n Lời giải Ta cĩ: n3 n n 1 .n. n 1 chia hết cho 3 vì tích của 3 số nguyên liên tiếp
15. Ta cũng cĩ n 1 n n 1 chia hết cho 2 vì trong 3 số liên tiếp cĩ 1 số chẵn Mà 2,3 1. Vậy n3 n chia hết cho 6 Câu 30: . Chứng minh rằng 321 224 68 1 chia hết cho 1930 Lời giải Đặt a 37 ,b 28 ,c 1 3 . Ta cĩ: 3 3 321 224 68 1 37 28 1 3 3.37. 28 . 1 a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca Mà a b c 37 28 1 3 1930 nên suy ra đpcm. Chứng minh rằng: A 2n 1 2n 1 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n . Lời giải Chứng minh rằng: A 2n 1 2n 1 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n . Theo giả thiết n là một số tự nhiên nên 2n 1, 2n , 2n 1 là ba số tự nhiên liên tiếp Vì tích của ba số tự nhiên liên tiếp luơn chia hết cho 3 nên 2n 1 .2n. 2n 1 M3 Mặt khác, 2n ,3 1 nên 2n 1 2n 1 M3 . Vậy, A 2n 1 2n 1 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n . Câu 31: Tìm các số cĩ 3 chữ số chia hết cho 7 và tổng các chữ số của nĩ cũng chia hết cho 7 Lời giải Gọi số cĩ ba chữ số cần tìm là abc Ta cĩ: abc 98a 7b 2a 3b c Vì abcM7 2a 3b cM7 (3) Mặt khác, vì a b cM7 (4),k ết hợp với (3) suy ra b cM7 Do đĩ b c chỉ cĩ thể nhận các giá trị 7;0;7 Với b c 7 c b 7. Kết hợp với (4) ta chọn được các số 707; 518; 329 thỏa mãn. Với b c 7 b c 7.Đổi vai trị b và c của trường hợp trên ta được các cặp số 770,581,392 thỏa mãn Câu tốn. Với b c 0 b c mà do (4) nên a 2bM7 Do 1 a 2b 27 nên a 2b chỉ cĩ thể nhận các giá trị 7;14; 21.
16. Từ đĩ ta chọn được 12 số thỏa mãn là 133; 322; 511;700; 266; 455 ;644;833; 399; 588; 777;966 Vậy cĩ 18 số thỏa mãn Câu tốn: 707; 518; 329;770; 581; 392 ;133; 322; 511;700 ; 266 ; 455;644;833; 399; 588;777;966. 10n2 9n 4 Câu 32: Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên n thì phân số tối 20n2 20n 9 giản Lời giải Gọi d là ƯCLN của 10n2 9n 4 và 20n2 20n 9 10n2 9n 4Md 20n2 18n 8Md 2n 1Md d là số tự nhiên lẻ 2 2 20n 20n 9Md 20n 20n 9Md Mặt khác2n 1Md 4n2 4n 1Md 20n2 20n 5Md 4Md , mà d lẻ nên d 1 Vậy phân số trên tối giản Câu 33: Chứng minh rằng n4 2n3 n2 2n chia hết cho 24 với mọi n ¢ Lời giải n4 2n3 n2 2n n n3 2n2 n 2 2 n n . n 2 n 2 n n2 1 n 2 n n 1 n 1 n 2 n n 1 n 1 n 2 là tích 4 số nguyên liên tiếp trong đĩ phải cĩ 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 4 M Nên n n 1 n 1 n 2 2.3.4 24 Vậy n4 2n3 n2 2nM24 Câu 34: Chứng minh rằng a5 aM30 a ¢ Lời giải 2 a5 a a a4 1 a a2 1 a2 1 a a 1 a 1 a 4 5 a a 1 a 1 a 2 a 2 5a a 1 a 1 Do tích của số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5 và trong 5 số nguyên liên tiếp luơn cĩ ba số nguyên liên tiếp mà tích của chúng chia hết cho 6 và 6,5 1 M M Suy ra a a 1 a 1 a 2 a 2 30 và 5a a 1 a 1 30. Vậy a5 aM30
17. Câu 35: a) Đặt A n3 3n2 5n 3. Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dương của n b)Nếu a chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thì a2 b2 chia hết cho 13 n2 n 1 c)Tìm các số nguyên m,n thỏa mãn m n 1 Lời giải 3 A n3 3n2 3n 1 2n 2 n 1 2 n 1 n n 1 n 2 3 n 1 Khi đĩ: 3 n 1 M3 ; n n 1 n 2 là tích của 3 số nguyên dương liên tiếp nên chia hết cho 3 AM3 a 13k 2,b 13n 3 2 2 a2 b2 13k 2 13n 3 13 13k2 4k 13n2 4n 1 M13 Thực hiện chia n2 n 1 1 m n n 1 n 1 Để m nguyên với n nguyên khi n 1 U (1) 1 n 1 1 n 0 m 1 Khi đĩ n 1 1 n 2 m 3 2 Câu 36: Chứng minh rằng: A n3 n2 7 36n M7 với n ¢ . Lời giải 2 Ta cĩ: A n3 n2 7 36n 2 2 3 3 n n n 7 6 n n 7 6 n n 7n 6 n 7n 6 3 3 2 2 n n n 6n 6 n n 6n 6 n n 1 6 n 1 n n 1 6 n 1 Do đĩ A n n 1 n2 n 6 n 1 n2 n 6 n n 1 n 2 n 3 n 1 n 2 n 3 là tích của 7 số nguyên liên tiếp AM7 n ¢ Câu 37: Hãy chứng minh : 2 A n3 n2 7 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n Lời giải 2 A n3 n2 7 36n n 3 n 2 n 1 n n 1 n 2 n 3
18. Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên cĩ một bộ của 2, 1 bội của 3, 1 bội của 5, 1 bội của 7 Mà 2,3,5,7 1nên AM 2.3.5.7 AM210 Câu 38: Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì A 5n 2 26.5n 82n 1 M59 Lời giải b) Ta phải chứng minh A n3 n 1 3 n 2 3 M9 với n ¢ A n3 n3 3n2 3n 1 n3 6n2 12n 8 3n3 9n2 15n 9 3n3 3n 9n2 18n 9 3n n 1 n 1 9 n2 2n 1 Nhận thấy n n 1 n 1 M3 3n n 1 n 1 M9 và 9 n2 2n 1 M9 Vậy AM9 b)5n 2 26.5n 82n 1 25.5n 26.5n 8.82n 5n 59 8 8.64n 59.5n 8 64n 5n 59.5n M59 và 8. 64n 5n M 64 5 59 Vậy 5n 2 26.5n 82n 1 M59 Câu 39: Cho a1,a2 , ,a2016 là các số tự nhiên cĩ tổng chia hết cho 3 3 3 3 Chứng minh rằng: A a1 a2 a2016 chia hết cho 3. Lời giải Dễ thấy a3 a a a 1 a 1 là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 Xét hiệu: 3 3 3 A a1 a2 a2016 a1 a2 a2016 a1 a2 a2016 3 3 3 a1 a1 a2 a2 a2016 a2016 Các hiệu trên chia hết cho 3 , do vậy A chia hết cho 3 Câu 40: Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng cĩ chia hết cho 5 khơng ? Lời giải Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng cĩ chia hết cho 5 khơng ? Câu 41: Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9 Lời giải Gọi 2 số phải tìm là a và b, ta cĩ a b chia hết cho 3.
19. Ta cĩ: a3 b3 a b a2 ab b2 a b a2 2ab b2 3ab a b a b 2 3ab Vì a b chia hết cho 3 nên a b 2 3ab chia hết cho 3 Do vậy a b a b 2 3ab chia hết cho 9 Câu 42: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y ta cĩ: x5 y xy5 chia hết cho 30. Lời giải Ta cĩ: x5 y xy5 xy x4 y4 xy x4 1 y4 1 xy x4 1 xy y4 1 Ta cĩ: x x4 1 x x 1 x 1 x2 1 chia hết cho 2, 3 và 5 xy x4 1 M30 Tương tự, ta cĩ: xy y4 1 M30 x5 y xy5 M30 Câu 43: Hãy viết thêm vào bên phải số 43 hai chữ số để nhận được một số cĩ 4 chữ số chia hết cho 3 và 7. Lời giải Vì 3,7 1, theo bài tốn ta cĩ 43abM21 Vì 4300 chia 21 dư 16 nên ab  16(mod21) hay ab chia 21 dư 5. Vậy ab 21q 5 Cho q 0 ab 05, số mới là 4305 Cho q 1 ab 26, số mới là 4326 Cho q 2 ab 47,số mới là 4347 Cho q 3 ab 68 , số mới là 4368 Cho q 4 ab 89,số mới là 4389 10n2 9n 4 Câu 44: Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên n thì phân số tối 20n2 20n 9 giản. Lời giải Gọi d là ƯCLN của 10n2 9n 4và 20n2 20n 9 10n2 9n 4Md 20n2 18n 8Md 2n 1Md d là số tự nhiên lẻ 2 2 20n 20n 9Md 20n 20n 9Md Mặt khác: 2n 1Md 4n2 4n 1Md 20n2 20n 5Md 4Md , mà d lẻ nên d 1 Vậy phân số trên tối giản a2 4a 4 Câu 45: a) Cho A .Tìm a ¢ để Alà số nguyên. a3 2a2 4a 8
20. b) Tìm số tự nhiên n để n5 1chia hết cho n3 1 Lời giải 1 a) Rút gọn A a 2 1 a 1 Để A nguyên nguyên 1M a 2 a 2 a 3 b) n5 1Mn3 1 n2 n3 1 n2 1 M n3 1 n 1 n 1 M n3 1 n 1 n 1 M n 1 n2 n 1 n 1 M n2 n 1 (v × n +1 0) +) Nếu n 1 0M1 +) Nếu n 1thì n 1 n n 1 1 n2 n 1 nên khơng thể xảy ra n 1Mn2 n 1 Vậy n 1 Câu 46: Chứng minh tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9. Lời giải Ta cĩ ba số tự nhiên liên tiếp là n,n 1,n 2 n ¥ Khi đĩ ta cĩ: n3 n 1 3 n 2 3 3 n 1 n n 1 9nM9 Câu 47: Cho a, b, c ¢ thỏa mãn a b c 0.Chứng minh: a5 b5 c5 M30 Lời giải Ta cĩ: a5 a a. a2 1 . a2 1 a. a2 1 . a2 4 5 a 2 a 1 a. a 1 . a 2 5 a 1 a. a 1 Do a 2 a 1 a. a 1 . a 2 là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, 3 và 5, do đĩ chia hết cho 30. Lại cĩ a 1 a. a 1 chia hết cho 6 nên 5 a 1 a a 1 chia hết cho 30. Từ đĩ suy ra a5 a chia hết cho 30 Tương tự b5 b chia hết cho 30 và c5 c chia hết cho 30 Từ đĩ suy ra a5 b5 c5 a b c a5 a b5 b c5 c chia hết cho 30 Mà a b c 0 nên a5 b5 c5 chia hết cho 30 Câu 48: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thìA = 5 n+2 + 26.5n + 82n+1 M 59 Lời giải 5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82n = 5n(59 – 8) + 8.64n = 59.5n + 8(64n – 5n)
21. 59.5n M 59 và 8(64n – 5n) M(64 – 5) = 59 Vậy 5n+2 + 26.5n + 82n+1 M 59 Câu 49: a. Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B A = 3xn-1y6 - 5xn+1y4 và B = 2x3yn b. Xác định các giá trị của a,b và c để đa thức P(x) = x 4 + ax2 + bx + c chia hết cho (x – 3)3 Lời giải a) Điểu kiện để A chia hết cho B là n 1 3 n 1 3 n 4 n 4 6 n n 4 4 n Vậy với n = 4 thì đa thức A chia hết cho đơn thức B 3 5 Khi đĩ A:B = (3x3y6 – 5x5y4)(2x3y4) = y2 x2 2 2 b) Chia P(x) cho (x – 3)3 ta được thương là x + 9 và dư là R(x) = (a + 54)x2 + (b-216)x + 243 + c P(x)  (x - 3)3 R (x)  0 cho ta a + 54 = 0 a = -54; b – 216 = 0 b = 216; c + 243 = 0 c = -243 Câu 50: Chứng minh rằng số cĩ dạng A n4 6n3 11n2 6n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n. Lời giải A n4 6n3 11n2 6n = n(n 1)(n 2)(n 3) Vì n;n 1;n 2 là ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 3. Do đĩ n(n 1)(n 2)M3 Vì n;n 1;n 2;n 3 là bốn số tự nhiên liên tiếp nên cĩ 2 số chẵn liên tiếp, trong 2 số chẵn liên tiếp cĩ 1 số chia hết cho 2, số kia chia hết cho 4. Vậy n(n 1)(n 2)(n 3) M8 Vì ƯCLN(3;8) =1 nên A n4 6n3 11n2 6n chia hết cho 24. Câu 51: Chứng minh rằng n4 7(7 2n2 ) chia hết cho 64 với mọi n là số nguyên lẻ. Lời giải Ta cĩ x2 y2 20(x y) 2213 (x 10)2 (y 10)2 2013 2013 với mọi x, y. 2012 2012 P (x 10)2 (y 10)2 2013 2013
22. P = 2012 khi x = 10 và y = 10 2013 Vậy Max P = 2012 khi x = 10 và y = 10. 2013 Câu 52: Chứng minh rằng khơng tồn tại số nguyên a thỏa mãn (20172017 1) chia hết a3 11a Lời giải Giả sử tồn tại số nguyên a thỏa mãn (20172017 1) chia hết a3 11a A a3 11a = (a3 a) 12a a(a 1)(a 1) 12a ta cĩ (a 1);a;(a 1) là 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 3 suy ra (a 1)a(a 1)M3 Vì 12a chia hết cho 3 nên AM3 (1) Mặt khác 20172017 1 (2016 1)2017 1 chia cho 3 dư 2 (2) Từ (1) và (2) dẫn đến điều giả sử trên là sai, tức là khơng cĩ số nguyên nào thỏa mãn điều kiện bài tốn đã cho. Câu 53: Cho số tự nhiên n 3. Chứng minh rằng nếu 2 n 10a b (a, b N , 0 b 10) thì tích ab chia hết cho 6. Lời giải Ta cĩ 2n  10a  b  b M 2  ab M 2 (1) Ta chứng minh ab M 3 (2) Thật vậy, từ đẳng thức 2n  10a  b  2n cĩ chữ số tận cùng là b. Đặt n  4k  r (k, r N, 0 r 3) ta cĩ: 2n  16k2r. Nếu r  0 thì 2n  16k tận cùng là 6  b  6  ab M6. Nếu 1 r 3 thì 2n  2r  2r(16k  1) M 10  2n tận cùng là 2r suy ra b  2r  10a  2n  2r  2r(16k  1) M 3  a M 3  ab M 3. Từ (1) và (2) suy ra ab M 6. 3 Câu 54: Chứng minh n ¥ *thì n n 2 là hợp số Lời giải Ta cĩ: n3 n 2 n3 1 n 1 n 1 n2 n 1 n 1 n 1 n2 n 2
23. n 1 1 Do n *nên .Vậy n3 n 2là hợp số. ¥ 2 n n 2 1. Câu 55: : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên x thì biểu thức A x5 x luơn chia hết cho 30. Lời giải A x5 x x x4 1 x x2 1 x2 1 x 1 x x 1 x2 1 Vì x 1 x x 1 là tích ba số nguyên liên tiếp nên AM6 (1) +) Nếu xM5 AM5 +)Nếu x :5dư 1 thì x 1 M5 AM5 +)Nếu x :5dư 4 thì x 1 M5 AM5 +)Nếu x :5dư 2 hoặc 3 thì x2 :5 dư 4 x2 1 M5 AM5 Vậy AM5 với mọi x và 5,6 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra AM30 Câu 56: Chứng minh rằng: 85 211 chia hết cho 17 1919 6919 chia hết cho 44 Lời giải 5 Ta cĩ: 85 211 23 211 215 211 211. 24 1 211.17 Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17 Áp dụng hằng đẳng thức an bn a b an 1 an 2b an 3b2 abn 2 bn 1 với mọi n lẻ Ta cĩ: 1919 6919 19 69 1918 1917.69 6918 88. 1918 1917.69 6918 chia hết cho 44 Câu 57: Lời giải Ta cĩ: n3 ―n = n(n ― 1)(n + 1) Vì (n ― 1);n;(n + 1)là ba số tự nhiên liên tiếp nên cĩ một trong ba số đĩ chia hết cho 3 (1) Do đĩ (n3 ― n)⋮8 (2) Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với (1); (2) suy ra (n3 ― n)⋮24 3 3 Câu 58: n 17n n n 18n n n 1 n 1 18n
24. Vì n n 1 n 1 là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, 2,3 1nên chia hết cho 6 18nM6 , suy ra điều phải chứng minh Câu 59: Học sinh biến đổi được a5 a a 2 a 1 a a 1 a 2 5a a 1 a 1 Lập luận được a5 aM30; b5 bM30; c5 cM30, kết luận Câu 60: A a b cM3 2AM6;B a3 b3 c3 3a2 3b2 3c2 C B 2A a3 3a2 2a b3 3b2 2b c3 3c2 2c a a 1 a 2 b b 1 b 2 c c 1 c 2 a a 1 a 2 ,b(b 1)(b 2) ,c(c 1)(c 2)là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 CM6 BM6 Gọi 2 số phải tìm là a và b, ta cĩ a b chia hết cho 3 Ta cĩ: a3 b3 a b a2 ab b2 a b a b 2 3ab Vì a b chia hết cho 3 nên a b 2 3ab chia hết cho 3. Do vậy, a b a b 2 3ab chia hết cho 9 n5 1M n3 1 n5 n2 n2 1 M n3 1 n2 n3 1 n2 1 M n3 1 n 1 n 1 M n 1 n2 n 1 n 1Mn2 n 1 n n 1 Mn2 n 1 n2 nMn2 n 1 n2 n 1 1M n2 n 1 Hay 1Mn2 n 1 Xét hai trường hợp: 2 2 n 0 )n n 1 1 n n 0 n 1 )n2 n 1 1 n2 n 2 0,khơng cĩ giá trị của n thỏa mãn Câu 61: A 5n 5n 1 6n 3n 2n 25n 5n 18n 12n A 25n 18n 12n 5n .Achia hết cho 7
25. A 25n 12n 18n 5n .Achia hết cho 13 Do 13,7 1nên Achia hết cho 91 1110 1 11 1 119 118 11 1 10. 119 118 11 1 Câu 62: Vì 10M10 Và 119 118 11 1 cĩ chữ số tận cùng (hàng đơn vị ) bằng 0 Nên 119 118 11 1 chia hết cho 10 Vậy1110 1chia hết cho 10. Câu 63: Ta cĩ: 20092008 20112010 20092008 1 20112010 1 Vì 20092008 1 2009 1 20092007 2010. chia hết cho 2010 (1) Vì 20112010 1 2011 1 20112009 2010. chia hết cho 2010 (2) Từ (1) và (2) ta cĩ điều phải chứng minh. Câu 64: Dễ thấy a3 a a(a 1)(a 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 3 3 3 Xét hiệu B a1 a2 a2013 a1 a2 a2013 a1 a2 a2013 3 3 3 a1 a1 a2 a2 a2013 a2013 chia hết cho 3 2014 Mà a1,a2 , ,a2013 là các số tự nhiên cĩ tổng bằng 2013 Do vậy B chia hết cho 3. Câu 65: Tìm a,b sao cho f (x) ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g(x) x2 x 2 Lời giải *g(x) x2 x 2 x 1 x 2 * f (x) ax3 bx2 10x 4Mg(x) f (x) ax3 bx2 10x 4 x 1 x 2 Q x (1) x ¡ Thay x1 1; x2 2 vào 1 ta cĩ: a b 6 0 và 8a 4b 16 0 a 2và b 8 3 2 a 2 Vậy f x ax bx 10x 4Mg x b 8 Câu 66: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a3 5a chia hết cho 6 Lời giải a3 5a a3 a 6a a a2 1 6a a a 1 a 1 6a Vì a(a 1)(a 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên cĩ 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 mà 2,3 1nên a a 1 a 1 chia hết cho 6
26. 6a chia hết cho 6 Nên a3 5a chia hết cho 6 3 3 Câu 67: Chứng minh rằng: Q n3 n 1 n 2 M9 với mọi n ¥ * Lời giải Q n3 n 1 3 n 2 3 n3 n3 3n2 3n 1 n3 6n2 12n 8 3 n3 3n2 5n 3 Đặt C n3 3n2 5n 3 n3 n2 2n2 2n 3n 3 n2 n 1 2n n 1 3 n 1 n n 1 n 2 3 n 1 Ta thấy n n 1 n 2 chia hết cho 3( vì tích 3 số tự nhiên liên tiếp) Và 3 n 1 M3 C chia hết cho 3 Nên Q 3C chia hết cho 9