Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Tính chất đường phân giác của tam giác (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Tính chất đường phân giác của tam giác (Có đáp án)

1. 3. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN  Định lý: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy. DB AB  AD là phân giác trong của ABC Þ = A DC AC  Tính chất trên vẫn đúng với phân giác ngoài AE EB AB (DABC không cân ở A) = EC AC E B D C II. BÀI TẬP Bài 1: Tính độ dài x , y trong các hình vẽ sau: A A 32 cm 16 cm 24 cm y D B C C B 15 cm M x Hình 1 Hình 2 Bài 2: Cho tam giác ABC có AB 4cm,AC 5cm,BC 6cm, các đường phân giác BD và CE cắt nhau ở I . a) Tính các độ dài AD,DC. b) Tính các độ dài AE,BE. Bài 3: Cho tam giác cân ABC có AB BC. Đường phân giác góc A cắt BC tại M , đường phân giác góc C cắt BA tại N. Chứng minh MN // AC. Bài 4: Cho ΔABC có AD , BE , CF là các đường phân giác. Chứng minh rằng: AE CD BF . . = 1. EC DB FA Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Phân giác của Aµ và Dµ cắt các đường chéo BD và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh: MN song song với AD. Bài 6: Cho ΔABC có phân giác AD , biếtAB = m,AC = n . a) Tính tỉ số diện tích của ΔABD và ΔACD theo m và n . b) Vẽ phân giác DE của ADB và vẽ phân giác DF của ADC . Chứng minh rằng: AF.CD.BE = AE.BD.CF .
2. Bài 7: Cho ΔABC , trung tuyến AM , đường phân giác của A· MB cắt AB ở D , đường phân giác của A· MC cắt AC ở E. a) Chứng minh rằng DE / /BC . b) Gọi I là giao điểm của AM và DE . Chứng minh rằng DI IE. c) Tính DE , biết BC 30cm,AM 10cm. d) ΔABC phải thêm điều kiện gì để ta có DE AM ? e) Chứng minh rằng ΔABC cân nếu biết MD ME . Bài 8: Cho ∆ABC vuông cân tại A. Đường cao AH và đường phân giác BE cắt nhau tại I. Chứng minh rằng: CE = 2.HI . Tự luyện Bài 1: Cho tam giác ABC , đường phân giác AD. Biết rằng BC = 10cm và 2AB = 3AC. Tính độ dài đoạn thẳng BD và CD. KQ: BD = 6 cm; CD = 4cm. Bài 2: Gọi AI là đường phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là các đường phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI .CM = BN. IC.AM . Bài 3: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 18cm. Đường phân giác của góc B cắt AC tại M , MA 1 NA 3 đường phân giác của góc C cắt AB tại N. Biết rằng = ; = , tính độ dài các MC 2 NC 4 cạnh của tam giác ABC. KQ: AB = 4cm; AC = 6cm, BC = 8 cm. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB 6cm,AC 8cm, đường phân giác BD. a) Tính các độ dài DA, DC. b) Tia phân giác của Cµ cắt BD ở I. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh B· IM 900 KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ Bài 1:
3. A A 32 cm 16 cm 24 cm y D B C C B 15 cm M x Hình 1 Hình 2 MB AB a) Xét ΔABC có AM là đường phân giác trong nên: = MC AC 15 24 3 15.4 Hay = = Þ x = = 20( cm) x 32 4 3 DB AB b) Xét ΔABC có AD là đường phân giác ngoài nên: (1) DC AC DB 1 Mà là trung điểm của đoạn thẳng DC nên: (2) DC 2 1 y Từ (1) và (2) suy ra: y 8 cm 2 16 AD BA 2 AD CD Bài 2: a) Theo tính chất đường phân giác: 1. DC BC 3 2 3 Do đó, AD 2cm,CD 3cm. A b) Ta có: Theo tính chất đường phân giác: AE CA 5 AE EB 4 . D EB CB 6 5 6 11 E I 20 24 Do đó, AE cm,BE cm. B 11 11 C µ BM AB B Bài 3: AM là phân giác của A nên . CM AC µ BN BC CN là phân giác của C nên . AN AC N M Lại có: AB BC. AB BC BN BM Suy ra: MN // AC. AC AC AN CM A C
4. Bài 4: Xét ΔABC , áp dụng tính chất đường phân giác ta có: AE AB A (1) EC BC CD AC E (2) F DB AB BF BC (3) FA AC B C Nhân (1), (2), (3) theo vế ta được: D AE CD BF AB AC BC . . . . 1. EC DB FA BC AB AC Bài 5: Gọi O là giao điểm của BD và AC. AB BM Xét tam giác ABD, phân giác AM, ta có: AD DM CD CN Tương tự, ; A D AD AN BM CN Mà AB = CD , suy ra O DM AN M Từ đó, ta có: N BM CN BD CA DO AO B 1 1 C DM AN DM AN DM AN Suy ra MN / / AD. Bài 6: a) Vẽ đường cao AH của ABC .Vì ΔABC có phân giác AD nên: 1 .AH.BD A BD AB m S BD m = = . Vậy DABD = 2 = = CD AC n S 1 CD n DACD .AH.CD 2 AF AD b) Ta có: = (do DF là phân giác A· DC ) B H D C CF CD BE BD A = (do DE là phân giác A· DB ) AE AD F AF CD BE AD CD BD E Þ . . = . . = 1 CF BD AE CD BD AD Þ AF.CD.BE = AE.BD.CF B H D C
5. Bài 7: a) Ta có A BD MB (do MD là phân giác của A· MB ) AD MA CE MC (do ME là phân giác của A· MC ) D E AE MA I Mà MB = MC ( M là trung điểm của BC ) C B M BD CE DE / /BC AD AE b) Xét ABM và ACM lần lượt có DI / /BM và EI / /CM . DI EI AI Mà BM CM DI EI BM CM AM BD MB BD IM BM IM c) Ta có: . Mà (do DI / /BM ) AD MA AD AI AM AI BM AM Ta lại có: ( do DI / /BM ) DI AI BM AI + IM IM BM AM + BM = = 1+ = 1+ = DI AI AI AM AM BM .AM 15.10 150 Þ DI = = = = 6 AM + BM 10 + 15 25 1 Þ ED = 2DI = 2.6 = 12 (do DI IE DE ) 2 d) Để DE AM ta cần tứ giác ADME là hình chữ nhật Hay DM / /AE,EM / /AD,B· AC 900 Khi B· AC 900 thì AM MB MC (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC ) ABM, ACM cân tại M MD  AB,ME  AC (đường phân giác của tam giác cân đồng thời là đường cao Mà AB  AC . Suy ra DM / /AE,EM / /AD . Suy ra tứ giác ADME là hình chữ nhật Vậy ABC vuông tại A thì DE AM . e) Khi DM EM thì DME cân tại M có MI là trung tuyến ( DI IE ) nên đồng thời là đường cao MI  DE Mà DE / /BC (cmt) nên MI  BC
6. ABC có AI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên là tam giác cân. · · · 1 µ µ 1 µ 1 µ · Bài 8: Ta có AIE = BAH + ABI = (A + B) = 45° + B = 45° + C = AEI . 2 2 2 Suy ra ∆AIE cân tại A AI = AE (1). B Áp dụng tính chất đường phân giác của ∆ABH và ∆BAC ta có: IH BH AB BH EC BC AB BC (2); (3) IA BA AI IH EA BA AE EC H BH BC Từ (2) và (3) suy ra: (4) IH EC I Vì ∆ABC vuông cân tại A nên BC = 2.BH A E C Từ đó kết hợp với (4) suy ra EC = 2.IH .