Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 11: Đa thức và tính chia hết của đa thức (Có lời giải)

Nội dung text: Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 11: Đa thức và tính chia hết của đa thức (Có lời giải)

1. DẠNG 11: ĐA THỨC VÀ TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC Dạng 1: Tìm Dư Trong Phép Chia. A.Bài toán Bài 1: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho đa thức x2 10x 21 Bài 2: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức: x 2 x 4 x 6 x 8 2012 cho đa thức x2 10x 21 Bài 3: Tìm số dư trong phép chia của đa thức x 2 x 4 x 6 x 8 2010 cho đa thức x2 10x 21 Bài 4: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức x 2 x 4 x 6 x 8 2015 cho đa thức x2 10x 21. Bài 5: Tìm số dư trong phép chia x 3 x 5 x 7 x 9 2033 cho x2 12x 30 Bài 6: a) Tìm số dư trong phép chia của đa thức x 2 x 4 x 6 x 8 2017 cho đa thức x2 10x 21 b) Cho A n6 10n4 n3 98n 6n5 26 và B 1 n3 n.Chứng minh với mọi n ¢ thì thương của phép chia Acho B là bội số của 6 Bài 7: a) Tìm số dư trong phép chia đa thức x 1 x 3 x 5 x 7 9 cho x2 8x 12. b) Tìm mọi số nguyên x sao cho x3 2x2 7x 7 chia hết cho x2 3 Bài 8: Đa thức f(x) khi chia cho x 1 dư 4, khi chia cho x2 1 dư 2x 3 . Tìm phần dư khi chia f(x) cho (x 1)(x2 1). Bài 9: Tìm dư khi chia x2015 x1945 x1930 x2 x 1cho x2 1 Bài 10: Tìm đa thức dư khi chia đa thức x100 2x51 1 cho x2 1
2. B. HƯỚNG DẪN Bài 1: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho đa thức x2 10x 21 Lời giải Ta có: P(x) x 2 x 4 x 6 x 8 2008 x2 10x 16 x2 10x 24 2008 Đặt t x2 10x 21 t 3;t 7 , Biểu thức P(x) được viết lại P(x) t 5 t 3 2008 t 2 2t 1993 Do đó khi chia t 2 2t 1993cho t ta có số dư là 1993 Bài 2: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức: x 2 x 4 x 6 x 8 2012 cho đa thức x2 10x 21 Lời giải Đặt P(x) x 2 x 4 x 6 x 8 2012 x2 10x 16 x2 10x 24 2012 Đặt x2 10x 21 t Ta có: P x t 5 t 3 2012 t 2 2t 1997 Vậy số dư của phép chia là 1997 Bài 3: Tìm số dư trong phép chia của đa thức x 2 x 4 x 6 x 8 2010 cho đa thức x2 10x 21 Lời giải Ta có: P(x) x 2 x 4 x 6 x 8 2010 x2 10x 16 x2 10x 24 2010 Đặt t x2 10x 21, biểu thức P(x) được viết lại: P(x) t 5 t 3 2010 t 2 2t 1995 Do đó khi chia t 2 2t 1995 cho t ta có số dư là 1995 Bài 4: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức x 2 x 4 x 6 x 8 2015 cho đa thức x2 10x 21. Lời giải P x x 2 x 4 x 6 x 8 2015 x2 10x 16 x2 10x 24 2015
3. Đặt t x2 10x 21 t 3;t 7 , biểu thức P(x) được viết lại P(x) t 5 t 3 t 2 2t 2000 Do đó khi chia t 2 2t 2000cho t ta có số dư là 2000. Bài 5: Tìm số dư trong phép chia x 3 x 5 x 7 x 9 2033 cho x2 12x 30 Lời giải Ta có: x 3 x 5 x 7 x 9 2033 x2 12x 27 x2 12x 35 2033 Đặt x2 12x 30 t, ta có: x 3 x 5 x 7 x 9 2033 t 3 t 5 2033 t 2 2t 15 2033 t t 2 2018 Vậy ta có x 3 x 5 x 7 x 9 2033 x2 12x 30 x2 12x 32 2018 Vậy số dư trong phép chia x 3 x 5 x 7 x 9 2033cho x2 12x 30 là 2018. Bài 6: a)Tìm số dư trong phép chia của đa thức x 2 x 4 x 6 x 8 2017 cho đa thức x2 10x 21 b)Cho A n6 10n4 n3 98n 6n5 26 và B 1 n3 n.Chứng minh với mọi n ¢ thì thương của phép chia Acho B là bội số của 6 Lời giải a) Ta có: P(x) x 2 x 4 x 6 x 8 2017 x2 10x 16 x2 10x 24 2017 Đặt t x2 10x 21 t 3;t 7 , biểu thức P(x) được viết lại: P(x) t 5 t 3 2017 t 2 2t 2002 Do đó khi chia t 2 2t 2000cho t ta có số dư là 2002 b) Thực hiện phép chia , ta được: Thương của A chia cho B là n3 6n2 11n 6 Ta có: n3 6n2 11n 6 n3 n 12n 6n2 6 n 1 n n 1 6 2n n2 1 Vì n 1 n n 1 là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 Và 6 2n n2 1 chia hết cho 6
4. Thương của phép chia Acho B là bội số của 6 Bài 7: a) Tìm số dư trong phép chia đa thức x 1 x 3 x 5 x 7 9 cho x2 8x 12. b) Tìm mọi số nguyên x sao cho x3 2x2 7x 7 chia hết cho x2 3 Lời giải a) Đặt f x x 1 x 3 x 5 x 7 9 Ta có: A x 1 x 7 x 3 x 5 9 x2 8x 7 x2 8x 15 9 2 2 x 8x 7 x 8x 12 3 9 x2 8x 7 x2 8x 12 3 x2 8x 7 9 x2 8x 7 x2 8x 12 3 x2 8x 12 9 15 x2 8x 12 x2 8x 10 6 Vậy số dư trong phép chia f x cho x2 8x 12 là 6 b) Thực hiện phép chia đa thức B x3 2x2 7x 7 cho C x2 3, ta được: Đa thức thương: x 2; đa thức dư: 4x 1 Suy ra : x3 2x2 7x 7 x2 3 x 2 4x 1 Do đó BM x2 3 4x 1 M x2 3 (1) Vì 4x 1 vs 4x 1 nên: 1 4x 1 4x 1 Mx2 3 16x2 1 M x2 3 16 x2 3 49M(x2 3) 49M(x2 3) Vì x2 3 3nên xảy ra một trong hai trường hợp sau: x2 3 49, không có giá trị nào thỏa mãn 2 2 x 2(tm) x 3 7 x 4 x 2(tm) Vậy x 2 Bài 8: Đa thức f(x) khi chia cho x 1 dư 4, khi chia cho x2 1 dư 2x 3 . Tìm phần dư khi chia f(x) cho (x 1)(x2 1). Lời giải
5. Theo định lí bơ-zu ta có: f(x) chia x 1 dư 4 => f(-1) = 4. Do bậc của đa thức chia (x 1)(x2 1) là 3 nên đa thức dư có dạng ax2 bx c . Gọi thương là q(x).Theo định nghĩa phép chia còn dư, ta có : f(x) = (x + 1)(x2 + 1).q(x) + ax2 + bx + c = (x + 1)(x2 + 1).q(x) + ax2 + a - a + bx + c = (x + 1)(x2 + 1).q(x) + a(x2 + 1) + bx + c - a = [(x + 1).q(x) + a].(x2 + 1) + bx + c - a b 2 Mà f(x) chia cho x2 1 dư 2 x 3. (1) c a 3 Mặt khác f(-1)=4 a -b+ c = 4 (2) . Do đó ta có : b 2 b 2 b 2 9 c a 3 c a 3 c 2 a b c 4 a c 6 3 a 2 3 9 Vậy đa thức dư cần tìm có dạng: x2 2x 2 2 Bài 9: Tìm dư khi chia x2015 x1945 x1930 x2 x 1cho x2 1 Lời giải Đặt f x x2015 x1945 x1930 x2 x 1 2 Gọi thương khi chia f x cho x 1 là Q(x), dư là ax b Ta có: f x x2 1 Q(x) ax b Đẳng thức trên đúng với mọi x nên - Với x 1 ta được f 1 a b a b 2 (1) - Với x 1 ta được: f 1 a b a b 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra a 1,b 1, Dư phải tìm là x 1 Bài 10: Tìm đa thức dư khi chia đa thức x100 2x51 1 cho x2 1 Lời giải Gọi đa thức dư trong phép chia là ax b. Khi đó ta có: x100 2x51 1 x2 1 .H x ax b 1 Thay x 1vào 1 ta có: 0 a b (2) Thay x 1vào 1 ta có: 4 a b 3
6. Từ đó suy ra a 2;b 2. Vậy số dư là 2x 2 Dạng 2: Tìm Đa Thức f (x) . A.Bài toán Bài 1: Tìm đa thức f (x) biết rằng: f (x) chia cho x 2 dư 10, f (x) chia cho x 2 dư 24, f (x) chia cho x2 4được thương là 5x và còn dư Bài 2: Tìm đa thức f (x) biết rằng: f (x) chia cho x 2 dư 10, f (x) chia cho x 2 dư 22, f (x) chia cho x2 4được thương là 5x và còn dư Bài 3: Tìm đa thức f (x) biết rằng : f (x) chia cho x 2 dư 10, f x chia cho x 2 dư 26, f x chia cho x2 4được thương là 5x và còn dư Bài 4: Tìm đa thức f x , biết f x chia cho x 3dư 5, f (x) chia cho x 5 dư 7, f (x) chia cho x 3 x 5 được thương là 2x và còn dư. B.Lời giải Bài 1: Tìm đa thức f (x) biết rằng: f (x) chia cho x 2 dư 10, f (x) chia cho x 2 dư 24, f (x) chia cho x2 4được thương là 5x và còn dư Lời giải Giả sử f (x) chia cho x2 4được thương là 5x và còn dư ax b Khi đó : f (x) x2 4 . 5x ax b Theo đề bài, ta có: 7 f (2) 24 2a b 24 a 2 f ( 2) 10 2a b 10 b 17 7 Do đó : f (x) x2 4 .( 5x) x 17 2 47 Vậy đa thức f (x) cần tìm có dạng: f (x) 5x3 x 17 2 Bài 2 : Tìm đa thức f (x) biết rằng: f (x) chia cho x 2 dư 10, f (x) chia cho x 2 dư 22, f (x) chia cho x2 4được thương là 5x và còn dư Lời giải Giả sử f (x) chia cho x2 4được thương là 5x và còn dư là ax b Khi đó: f (x) x2 4 . 5x ax b Theo đề bài, ta có:
7. f (2) 22 2a b 22 a 3 f ( 2) 10 2a b 10 b 16 Do đó: f (x) x2 4 . 5x 3x 16 Vậy đa thức f (x) cần tìm có dạng: f (x) 5x3 23x 16 Bài 3: Tìm đa thức f (x) biết rằng : f (x) chia cho x 2 dư 10, f x chia cho x 2 dư 26, f x chia cho x2 4được thương là 5x và còn dư Lời giải Giả sử f x chia cho x2 4được thương là 5x và còn dư là ax b.Khi đó f (x) x2 4 . 5x ax b Theo đề bài, ta có: f 2 26 2a b 26 a 4 f 2 10 2a b 10 b 18 Do đó f x x2 4 . 5x 4x 18 Vậy đa thức f x cần tìm là f (x) x2 4 . 5x 4x 18 Bài 4: Tìm đa thức f x , biết f x chia cho x 3dư 5, f (x) chia cho x 5 dư 7, f (x) chia cho x 3 x 5 được thương là 2x và còn dư. Lời giải f x x 3 A x 5 f (x) (x 5)B(x) 7 f (x) (x 3)(x 5).2x mx n Từ đó suy ra : f 3 5 3m n 5 f 5 7 5m n 7 Tìm ra m 1;n 2 Thay vào ta có đa thức f x 2x3 16x2 29x 2 Dạng 3: Tính Giá Trị Biểu Thức . A.Bài toán Bài 1: Tính giá trị A = x15 – 8x14 + 8x13 – 8x12 + - 8x2 + 8x + 1 với x = 7
8. Bài 2: Cho đa thức F(x) x3 ax b (với a,b ¡ ). Biết đa thức F(x) chia cho x 2 thì dư 12, F(x) chia cho x 1 thì dư 6 . Tính giá trị của biểu thức: B (6a 3b 11)(26 5a 5b) . Bài 3: Cho a2 b2 c2 a3 b3 c3 1.Tính S a2 b2012 c2013. Bài 4:Đa thức f x 4x3 ax b chia hết cho các đa thức x 2; x 1. Tính 2a 3b Bài 5: Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1) 0; P(3) 0; P(5) 0 . Hãy tính giá trị của biểu thức Q P 2 7P 6 3 Bài 6: Đa thức f x 4x ax b chia hết cho các đa thức x 2;x 1. Tính 2a 3b 5 3 2 Bài 7: Cho hai đa thức P(x) x 5x 4x 1, Q x 2x x 1.Gọi x1, x2 , x3 , x4 , x5 là các nghiệm của P x . Tính giá trị của Q x1 .Q x2 .Q x3 .Q x4 .Q x5 Bài 8: Đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 và thỏa mãn f 1 5; f 2 11; f 3 21 Tính f 1 f 5 Bài 9: Cho đa thức P(x) 6x3 7x2 16x m a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2 x 3 b) Với m vừa tìm được ở câu a, hãy tìm số dư khi chia P(x) cho 3x 2 và phân tích ra các thừa số bậc nhất 1.2) Cho đa thức P(x) x5 ax4 bx3 cx2 dx e Biết P(1) 1;P(2) 4;P(3) 16;P(5) 25.Tính P(6);P(7)? Bài 10: Cho a3 b3 c3 3abc với a,b,c 0 a b c Tính giá trị biểu thức P 1 1 1 b c a M N 32x 19 Bài 11: Cho . Tính M .N ? x 1 x 2 x2 x 2 B.Lời giải Bài 1: Tính giá trị A = x15 – 8x14 + 8x13 – 8x12 + - 8x2 + 8x + 1 với x = 7 Lời giải Thay 8 bằng x + 1 ta có A = x15 – (x+1).x14 + (x+1)x13 – (x+1)x12 + – (x + 1)x2 + (x+1)x + 1 = x15 – x15 – x14 + x14 + x13 – x13 – x12 + – x3 – x2 + x2 + x + 1 = x + 1 = 7 +1 = 8 Bài 2: Cho đa thức F(x) x3 ax b (với a,b ¡ ). Biết đa thức F(x) chia cho x 2 thì dư 12, F(x) chia cho x 1 thì dư 6 . Tính giá trị của biểu thức: B (6a 3b 11)(26 5a 5b) . Lời giải
9. Gọi thương của phép chia F(x) cho x 2 và x 1 lần lượt là P(x) và Q(x) . Suy ra x3 ax b (x 2)P(x) 12 (1) x3 ax b (x 1)Q(x) 6 (2) Thay x 2 vào (1) ta có 8 2a b 12 2a b 4 6a 3b 12 Thay x 1 vào (2) ta có 1 a b 6 a b 5 5a 5b 25 B (6a 3b 11)(26 5a 5b) 1.1 1. Bài 3: Cho a2 b2 c2 a3 b3 c3 1.Tính S a2 b2012 c2013. Lời giải a2 b2 c2 a3 b3 c3 1 a;b;c  1;1 a3 b3 c3 a2 b2 c2 a2 a 1 b2 b 1 c2 c 1 0 a3 b3 c3 1 a;b;cnhận hai giá trị là 0 hoặc 1 b2012 b2;c2013 c2 S a2 b2012 c2013 1 Bài 4: Đa thức f x 4x3 ax b chia hết cho các đa thức x 2; x 1. Tính 2a 3b Lời giải Đa thức f(x) 4x3 ax b chia hết cho các đa thức x 2; x 1 nên: f 2 0 32 2a b 0(1) f( 1) 0 4 a b 0 (2) Từ 1 và 2 ta tìm được a 12; b 8 Vậy 2a 3b 0 Bài 5: Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1) 0; P(3) 0; P(5) 0 . Hãy tính giá trị của biểu thức Q P 2 7P 6 Lời giải Ta có: P(x)M(x 1), x 3 , x 5 Nên P x có dạng P x x 1 x 3 x 5 x a Khi đó: P( 2) 7.P(6) 3 . 5 . 7 . 2 a 7.5.3.1. 6 a 105. 2 a 105. 6 a 105. 2 a 6 a 840 3 Bài 6: Đa thức f x 4x ax b chia hết cho các đa thức x 2;x 1. Tính 2a 3b Lời giải
10. Đa thức f (x) 4x3 ax b chia hết cho các đa thức x 2; x 1nên: f 2 0 32 2a b 0(1) f ( 1) 0 4 a b 0 (2) Từ 1 và 2 ta tìm được a 12;b 8 Vậy 2a 3b 0 5 3 2 Bài 7: Cho hai đa thức P(x) x 5x 4x 1, Q x 2x x 1.Gọi x1, x2 , x3 , x4 , x5 là các nghiệm của P x . Tính giá trị của Q x1 .Q x2 .Q x3 .Q x4 .Q x5 Lời giải 5 3 Ta có : P x x 5x 4x 1 x x1 x x2 x x3 x x4 x x5 1 Q x 2 x 1 x 2 Do đó Q x1 .Q x2 .Q x3 .Q x4 .Q x5 5 1 1 1 1 1 5 2 . x1 x2 x3 x4 x 2 2 2 2 2 1 x1 1 x2 1 x3 1 x4 1 x5 1 1 5 32.P .P 1 32. 2 1 1 5 4 1 77 2 32 8 Bài 8: Đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 và thỏa mãn f 1 5; f 2 11; f 3 21 Lời giải Tính Nhận xét: g(x) 2x2 3thỏa mãn g 1 5; g 2 11; g 3 21 Q(x) f (x) g(x) là đa thức bậc 4 có 3 nghiệm x 1;x 2;x 3 Vậy Q(x) x 1 x 1 x 3 x a ta có: f ( 1) Q 1 2. 1 2 3 29 24a f (5) Q 5 2.52 3 173 24a f ( 1) f (5) 202 Bài 9: Cho đa thức P(x) 6x3 7x2 16x m a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2 x 3 b) Với m vừa tìm được ở câu a, hãy tìm số dư khi chia P(x) cho 3x 2 và phân tích ra các thừa số bậc nhất
11. 1.2) Cho đa thức P(x) x5 ax4 bx3 cx2 dx e Biết P(1) 1;P(2) 4;P(3) 16;P(5) 25.Tính P(6);P(7)? Lời giải P(x) 6x3 7x2 16x m 6x3 9x2 16x2 24x 8x 12 m 12 3x2 2x 3 8x 2x 3 4 2x 3 m 12 2x 3 3x2 8x 4 m 12 Để P(x)M 2x 3 thì m 12 0 m 12 b) Với m 12;P(x) 6x3 7x2 16x 12 6x3 4x2 3x2 2x 18x 12 2x2 3x 2 x 3x 2 6 3x 2 3x 2 2x2 x 6 Phân tích P(x) ra tích các thừa số bậc nhất: P(x) 6x3 7x2 16x 12 2x 3 3x 2 x 2 1.2 ) Vì P(1) 1;P(2) 4;P(3) 9;P(4) 16;P(5) 25 Mà P(x) x5 ax4 bx3 cx2 dx e P(x) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x2 P(6) 5.4.3.2.1 62 156 P(7) 6.5.4.3.2 72 769 Bài 10: Cho a3 b3 c3 3abc với a,b,c 0 a b c Tính giá trị biểu thức P 1 1 1 b c a Lời giải Biến đổi giả thiết về dạng: 1 2 2 2 a b c a b b c c a 0 2 a b c 0 a b c c a b Với a b c 0 tính được: P 1 b c a Với a b c tính được: P 2.2.2 8 M N 32x 19 Bài 11: Cho . Tính M .N ? x 1 x 2 x2 x 2 Lời giải ĐKXĐ : x 1, x 2 . M x 2 N x 1 32x 19 Ta có : x 1 x 2 x 1 x 2
12. M x 2 N x 1 32x 19 M N x N 2M 32x 19 M N 32, 2M N 19 M 17, N 15 M.N 255 Vậy, M.N 255 với .x 1, x 2 Dạng 4: Chứng Minh A.Bài toán 2018 2018 Bài 1: Chứng minh rằng: f (x) x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho g(x) x2 x Bài 2: Chứng minh: 2018 2018 a) F x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho x 1 . b) G x8n x4n 1 chia hết cho x2n xn 1 , với n N . Bài 3:Chứng minh rằng: a) Đa thức M x95 x94 x93 x2 x 1 chia hết cho đa thức N x31 x30 x29 x2 x 1 x3 x2 x b) Đa thức P x 1985. 1979 5. có giá trị nguyên với mọi x là số nguyên. 3 2 6 Bài 4: Chứng minh n3 17n chia hết cho 6với mọi n ¢ Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a3 5a chia hết cho 6 3 3 Bài 6: Chứng minh rằng: Q n3 n 1 n 2 M9 với mọi n ¥ * Bài 7: Cho f (x) ax2 bx c với a,b,clà các số thỏa mãn 13a b 2c 0 Chứng tỏ rằng f 2 . f 3 0 Bài 8: Chứng minh rằng: xm xn 1 chia hết cho x2 x 1 khi và chỉ khi mn 2 M3 Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 x2 1 Bài 9: Chứng minh rằng không có giá trị tự nhiên n nào để giá trị của biểu thức 2n3 3n2 n 3chia hết cho giá trị của biểu thức n2 n 4 3 2 Bài 10: Chứng tỏ rằng đa thức: Aluôn xkhông2 1 âm 9 x2 1 21 x2 1 x2 31 với mọi giá trị của biến x . B.Lời giải 2018 2018 Bài 1: Chứng minh rằng: f (x) x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho g(x) x2 x Lời giải Đa thức g(x) = x2 – x = x(x – 1) có hai nghiệm là x = 0; x = 1.
13. Ta có f (0) 1 2018 12018 2 0 là nghiệm của f(x). Suy ra f (x) chứa thừa số x 2018 2018 Ta có : f (1) 12 1 1 12 1 1 2 0 x 1 là nghiệm của f(x) f(x) chứa thừa số x – 1 mà các thừa số x và x – 1 không có nhân tử chung do đó f(x) chia hết cho x( x – 1). 2018 2018 Vậy f (x) x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho g(x) x2 x Bài 2:Chứng minh: 2018 2018 a) F x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho x 1 . b) G x8n x4n 1 chia hết cho x2n xn 1 , với n N . Lời giải 2018 2018 a) F x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho x 1 . 2018 2018 Ta có : F x2 x 1 x2 x 1 2 x 1 .Q x r 2018 2018 Xét tại x 1 thì r 12 1 1 12 1 1 2 0 2018 2018 Vậy, F x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho x 1 . b) G x8n x4n 1 chia hết cho x2n xn 1 , với n N . 2 2 Ta có: G x8n x4n 1 x8n 2x4n 1 x4n x4n 1 x2n x4n x2n 1 x4n x2n 1 (1) 2 2 Mặt khác, x4n x2n 1 x4n 2x2n 1 x2n x2n 1 xn x2n xn 1 x2n xn 1 2 Từ (1) và (2) suy ra G x8n x4n 1 x2n xn 1 x2n xn 1 x4n x2n 1 Vậy, G x8n x4n 1 chia hết cho x2n xn 1 , với n N . Bài 3: Chứng minh rằng: a) Đa thức M x95 x94 x93 x2 x 1 chia hết cho đa thức N x31 x30 x29 x2 x 1 x3 x2 x b) Đa thức P x 1985. 1979 5. có giá trị nguyên với mọi x là số nguyên. 3 2 6 Lời giải a) Ta có: M x95 x94 x93 x2 x 1 x64 x31 x30 x2 x 1 x32 x31 x30 x2 x 1 x31 x30 x2 x 1
14. x31 x30 x2 x 1 x64 x32 1 M x31 x30 x2 x 1 Vậy, M MN (đpcm) x3 x2 x b)Ta có:P x 1985. 1979 5. 3 2 6 x 1 .x. x 1 3x.x. x 1 661x3 989x2 x 6 Với x Z thì 661x3 989x2 x Z , còn x 1 x x 1 3x2 x 1 là số nguyên chia hết cho 6. Từ đó suy ra P x có giá trị nguyên với mọi x là số nguyên. Bài 4: Chứng minh n3 17n chia hết cho 6với mọi n ¢ Lời giải n3 17n n3 n 18n n n 1 n 1 18n Vì n n 1 n 1 là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, 2,3 1nên chia hết cho 6 18nM6 , suy ra điều phải chứng minh Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a3 5a chia hết cho 6 Lời giải a3 5a a3 a 6a a a2 1 6a a a 1 a 1 6a Vì a(a 1)(a 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 mà 2,3 1nên a a 1 a 1 chia hết cho 6 6a chia hết cho 6 Nên a3 5a chia hết cho 6 3 3 Bài 6: Chứng minh rằng: Q n3 n 1 n 2 M9 với mọi n ¥ * Lời giải Q n3 n 1 3 n 2 3 n3 n3 3n2 3n 1 n3 6n2 12n 8 3 n3 3n2 5n 3 Đặt C n3 3n2 5n 3 n3 n2 2n2 2n 3n 3
15. n2 n 1 2n n 1 3 n 1 n n 1 n 2 3 n 1 Ta thấy n n 1 n 2 chia hết cho 3( vì tích 3 số tự nhiên liên tiếp) Và 3 n 1 M3 C chia hết cho 3 Nên Q 3C chia hết cho 9 Bài 7: Cho f (x) ax2 bx c với a,b,clà các số thỏa mãn 13a b 2c 0 Chứng tỏ rằng f 2 . f 3 0 Lời giải f 2 4a 2b c; f 3 9a 3b c Có f 2 f 3 13a b 2c 0 nên: Hoặc: f 2 0 và f 3 0 f 2 . f 3 0 (1) Hoặc : f 2 và f 3 là hai số đối nhau f 2 . f 3 0(2) Từ 1 và 2 được f 2 . f 3 0 Bài 8: Chứng minh rằng: xm xn 1 chia hết cho x2 x 1 khi và chỉ khi mn 2 M3 Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 x2 1 Lời giải Đặt m 3k r với 0 r 2 ;n 3t s với 0 s 2 xm xn 1 x3k r x3t s 1 x3k xr xr x3t xs xs xr xs 1 xr x3k 1 xs x3t 1 xr xs 1 Ta thấy: x3k 1 M x2 x 1 và x3t 1 M x2 x 1 Vậy xm xn 1 M x2 x 1 xr xs 1 M x2 x 1 với 0 r,s 2 r 2 và s 1 m 3k 2 và n 3t 1 r 1và s 2 m 3k 1và n 3t 2 mn 2 3k 2 3t 1 2 9kt 3k 6t 3 3kt k 2t mn 2 3k 1 3t 2 2 9kt 6k 3t 3 3kt 2k t mn 2 M3,Điều phải chứng minh. Áp dụng: m 7,n 2 mn 2 12M3
16. x7 x2 1 M x2 x 1 x7 x2 1 : x2 x 1 x5 x4 x2 x 1 Bài 9: Chứng minh rằng không có giá trị tự nhiên n nào để giá trị của biểu thức 2n3 3n2 n 3chia hết cho giá trị của biểu thức n2 n Lời giải Chia 2n3 3n2 n 3cho n2 n dư 3 Vì n2 n n n 1 là số chẵn nên n n 1 Ư(3). 4 3 2 Bài 10: Chứng tỏ rằng đa thức: Aluôn xkhông2 1 âm 9 x2 1 21 x2 1 x2 31 với mọi giá trị của biến x . Lời giải Đặt x2 1 y , ta có: A y4 9y3 21y2 y 30 y 1 y 2 y 3 y 5 Khi đó, A x2 x2 3 x2 4 x2 6 0 với mọi giá trị của x (Đpcm ) Dạng 5: Xác định số A.Bài toán Bài 1:a)Xác định số hữu tỉ k để đa thức A x3 y3 z3 kxyz chia hết cho đa thức x y z b) Tìm đa thức bậc ba P x , biết rằng khi chia P x cho x 1 , cho x 2 , cho x 3 đều dư 6 và P 1 18 Bài 2:Tìm tất cả các số tự nhiên k để đa thức f k k 3 2k 2 15 chia hết cho g k k 3 Bài 3:Xác định các số hữu tỉ a và b sao cho: a) x4 4 chia hết cho x2 ax b ; 2 b) ax4 bx3 1 chia hết cho x 1 . Bài 4:Xác định các hệ số hữu tỉ a và b sao cho f x x4 ax2 b chia hết cho g x x2 x 1 Bài 5: Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) x4 3x3 ax b chia hết cho đa thức B(x) x2 3x 4 Bài 6: Tìm a,b sao cho f (x) ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g(x) x2 x 2 . 3 2 Bài 7: Tìm giá trị nguyên của x để đa thức f (x) x 3x 3x 1 chia hết cho g(x) x2 x 1
17. Bài 8: Cho đa thức f (x) x3 3x2 3x 4.Với giá trị nguyên nào của x thì giá trị của đa thức f (x) chia hết cho giá trị của đa thức x2 2 Bài 9: Tìm giá trị của a để 21x 2 9x3 x x 4 a M x 2 x 2 Bài 10: Tìm a nguyên để a3 2a2 7a 7 chia hết cho a2 3 Bài 11: Tìm giá trị nguyên của x để AMB biết A 10x2 7x 5 và B 2x 3. Bài 12: a) Tìm a,bsao cho f (x) ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g(x) x2 x 2 b) Tìm số nguyên a sao cho a4 4 là số nguyên tố Bài 13: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho: 4n3 n 3 chia hết cho 2n2 n 1 Bài 14: Cho đa thức h(x) bậc 4, hệ số của bạ cao nhất là 1, biết h 1 2;h 2 5 ; h 4 17;h 3 10. Tìm đa thức h x Bài 15: Cho đa thức A ax2 bx c . Xác định hệ số b biết rằng khi chia A cho x 1 , chia A cho x 1đều có cùng một số dư Bài 16: Với giá trị nào của a và b thì đa thức x a x 10 1 phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có hệ số nguyên 4x2 16 A Bài 17: Tìm đa thức A, biết rằng x2 2x x Bài 18: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2 2 là ước số của n6 206. Bài 19: 2 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 x2 7 36x b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh : 2 A n3 n2 7 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n 1 2 5 x 1 2x Bài 20: Cho biểu thức: A 2 : 2 1 x 1 x 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức Anhận giá trị nguyên c) Tìm x để A A
18. x3 x2 x Bài 21: Đa thức P x 1985. 1979 5. có giá trị nguyên với mọi x là số nguyên. 3 2 6 a3 a2 a Bài 22: Cho biểu thức E với a là một số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ E có giá 24 8 12 trị nguyên. B.Lời giải Bài 1:a)Xác định số hữu tỉ k để đa thức A x3 y3 z3 kxyz chia hết cho đa thức x y z b) Tìm đa thức bậc ba P x , biết rằng khi chia P x cho x 1 , cho x 2 , cho x 3 đều dư 6 và P 1 18 Lời giải a) Gọi thương của phép chia A x3 y3 z3 kxyz cho đa thức x y z là Q , ta có : x3 y3 z3 kxyz = x y z Q . Đẳng thức trên đúng với mọi x, y, z nên với x 1, y 1, z 2 ta có: 3 13 13 2 k 2 1 1 2 Q 6 2k 0 k 3 Vậy, A x3 y3 z3 kxyz chia hết cho đa thức x y z thì k 3 . b) Từ đề bài suy ra P x 6 chia hết cho x 1 , cho x 2 , cho x 3 Do đó, P x 6 chia hết cho x 1 x 2 x 3 . Đặt P x 6 m. x 1 x 2 x 3 với m Q . ( vì P x có bậc là ba ) Suy ra P x 6 m. x 1 x 2 x 3 với m Q . Theo giả thiết P 1 18 , do đó 18 6 2 3 4 m m 1 Vậy, P x 6 x 1 x 2 x 3 Bài 2:Tìm tất cả các số tự nhiên k để đa thức f k k 3 2k 2 15 chia hết cho g k k 3 Lời giải ĐKXĐ: k 3 Áp dụng định lí Bézout: Số dư của f x chia cho g x là f 3 27 18 15 6 Để f x chia hết cho g x thì 6Mk 3 , suy ra k 0;3 Bài 3:Xác định các số hữu tỉ a và b sao cho: a) x4 4 chia hết cho x2 ax b ; 2 b) ax4 bx3 1 chia hết cho x 1 . Lời giải
19. a) x4 4 chia hết cho x2 ax b ; Ta có: x4 4 x4 4x2 4 4x2 x2 2x 2 x2 2x 2 Do đó, để x4 4 chia hết cho x2 ax b thì a 2,b 2 . 2 b) ax4 bx3 1 chia hết cho x 1 . 2 Ta có ax4 bx3 1 chia hết cho x 1 được thương có dạng ax2 cx 1 Ta viết: ax4 bx3 1 x2 2x 1 ax2 cx 1 với mọi x Tính x2 2x 1 ax2 cx 1 ax4 cx3 x2 2ax3 2cx2 2x ax2 cx 1 ax4 c 2a x3 1 2c a x2 2 c x 1 Khi đó, ax4 bx3 1 ax4 c 2a x3 1 2c a x2 2 c x 1 với mọi x b c 2a a 3 Đồng nhất thức hai vế, ta được 1 2c a 0 b 4 2 c 0 c 2 Vậy, a 3,b 4 . Bài 4:Xác định các hệ số hữu tỉ a và b sao cho f x x4 ax2 b chia hết cho g x x2 x 1. Lời giải Phép chia hết của f x x4 ax2 b cho g x x2 x 1 có đa thức thương dạng h x x2 cx b . Ta viết x4 ax2 b x2 x 1 x2 cx b với mọi x Ta có: x2 x 1 x2 cx b x4 c3 x bx2 x3 cx2 bx x2 cx b x4 c 1 x3 b c 1 x2 b c x b Suy ra x4 ax2 b x4 c 1 x3 b c 1 x2 b c x b với mọi x Đồng nhất thức hai vế, ta được: c 1 0, b c 1 a, b c 0 Suy ra a b c 1 Vậy, a b 1 Bài 5: Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) x4 3x3 ax b chia hết cho đa thức B(x) x2 3x 4 Lời giải Ta có: A(x) B(x). x2 1 a 3 x b 4
20. a 3 0 a 3 Để A(x)MB(x) thì b 4 0 b 4 Bài 6: Tìm a,b sao cho f (x) ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g(x) x2 x 2 Lời giải Ta có: g(x) x2 x 2 x 1 x 2 Vì f (x) ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g x x2 x 2 Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f (x) g(x).q(x) ax3 bx2 10x 4 x 2 . x 1 q(x) Với x 1 a b 6 0 b a 6 1 Với x 2 2a b 6 0 2 Thay 1 vào 2 ta có: a 4và b 2 Bài 7: Tìm giá trị nguyên của x để đa thức f (x) x3 3x2 3x 1chia hết cho g(x) x2 x 1 Lời giải Thực hiện phép chia x3 3x2 3x 1 cho x2 x 1 Ta được thương là x 4, dư là 3 Để f x Mg x thì 3Mx2 x 1 mà x2 x 1 0 nên x2 x 1 1 x 1; x 0 2 x x 1 3 x 1; x 2 Vậy x 0; 1;1; 2thì f x Mg(x) Bài 8: Cho đa thức f (x) x3 3x2 3x 4.Với giá trị nguyên nào của x thì giá trị của đa thức f (x) chia hết cho giá trị của đa thức x2 2 Lời giải Chia f (x) cho x2 2 được thương là x 3dư x 2 Để f (x) chia hết cho x2 2 thì x 2 chia hết cho x2 2 x 2 x 2 chia hết cho x2 2 x2 4 chia hết cho x2 2 x2 2 6 chia hết cho x2 2
21. 6 chia hết cho x2 2 mà x2 2 2 x2 2 3;6 x 1; 2 Thử lại ta thấy x 1;x 2thỏa mãn Vậy với x 1;x 2thì f (x) chia hết cho x2 2 Bài 9: Tìm giá trị của a để 21x 2 9x3 x x 4 a M x 2 x 2 Lời giải Thương: x2 8x 15 và dư: a 30 Phép chia hết nên a 30 0 a 30 Bài 10: Tìm a nguyên để a3 2a2 7a 7 chia hết cho a2 3 Lời giải Thực hiện phép chia a3 2a2 7a 7 cho a2 3 được kết quả: a3 2a2 7a 7 a2 3 a 2 4a 1 Để phép chia hết thì 4a 1phải chia hết cho a2 3 4a 1 M a2 3 4a 1 4a 1 M a2 3 (a ¢ 4a 1 ¢ ) 16a2 1 M a2 3 49M a2 3 Tìm a, thử lại và kết luận a 2;2 Bài 11: Tìm giá trị nguyên của x để AMB biết A 10x2 7x 5 và B 2x 3. Lời giải A 10x2 7x 5 7 Xét 5x 4 B 2x 3 2x 3 7 với x ¢ thì AMB khi ¢ 7M 2x 3 2x 3 Mà Ư(7)= 1;1; 7;7 x 5; 2;2;1thì AMB Bài 12: a) Tìm a,bsao cho f (x) ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g(x) x2 x 2 b) Tìm số nguyên a sao cho a4 4 là số nguyên tố Lời giải a) Ta có: g(x) x2 x 2 x 1 x 2
22. Vì f (x) ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g(x) x2 x 2 Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f (x) g x .q(x) ax3 bx2 10x 4 x 2 . x 1 .q(x) Với x 1 a b 6 0 b a 6 (1) Với x 2 2a b 6 0 (2) Thay (1) vào (2), ta có: a 2;b 4 b) Ta có: a4 4 a2 2a 2 . a2 2a 2 Vì a ¢ a2 2a 2 ¢ ;a2 2a 2 ¢ 2 2 Có: a2 2a 2 a 1 1 1a và a2 2a 2 a 1 1 1(a) a2 2a 2 1 a 1(tm) Vậy a4 4 là số nguyên tố thì 2 a 2a 2 1 a 1(tm) Bài 13: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho: 4n3 n 3 chia hết cho 2n2 n 1 Lời giải 4n3 n 3 4 Ta có: 2n 1 2n2 n 1 2n2 n 1 Vì n là số nguyên nên 2n 1là số nguyên. Do đó để 4n3 n 3 chia hết cho 2n2 n 1thì 2n2 n 1phải là ước số của 4 2 2 2 1 1 1 7 Mặt khác: 2n n 1 2 n n 2 n 0 2 2 4 16 Do đó: 2n2 n 1 1hoặc 2n2 n 1 2 hoặc 2n2 n 1 4 n 0 Giải từng trường hợp suy ra: n 1 n 1 Bài 14: Cho đa thức h(x) bậc 4, hệ số của bạ cao nhất là 1, biết h 1 2;h 2 5 ; h 4 17;h 3 10. Tìm đa thức h x Lời giải Xét g(x) x2 1có g 1 2; g 2 5; g 4 17; g 3 10 Ta có f (x) h(x) g(x) thì f (x) bậc 4 hệ số của x4 là 1 và f 1 f 2 f 4 f 3 f (x) x 1 x 2 x 4 x 3
23. f (x) x2 3x 2 x2 x 12 x4 4x3 7x2 34x 24 h(x) x4 4x3 6x2 34x 23 Vậy h(x) x4 4x3 6x2 34x 23 Bài 15: Cho đa thức A ax2 bx c . Xác định hệ số b biết rằng khi chia A cho x 1, chia A cho x 1đều có cùng một số dư Lời giải Giả sử A ax2 bx c x 1 P R (1) A ax2 bx c x 1 Q R (2) Cho x 1thì từ 1 ta có: a b c R Cho x 1thì từ 2 ta có: a b c R Do đó : a b c a b c 2b 0 b 0 Bài 16: Với giá trị nào của a và b thì đa thức x a x 10 1 phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có hệ số nguyên Lời giải Giả sử : x a x 10 1 x m x n m,n ¢ x2 a 10 x 10a 1 x2 m n x mn m n a 10 mn 10a 1 Khử a ta có: mn 10 m n 10 1 mn 10m 10n 100 1 m(n 10) 10(n 10) 1 m 10 1 m 10 1 a 12 Vì m,n nguyên ta có: & n 10 1 n 10 1 a 8 4x2 16 A Bài 17: Tìm đa thức A, biết rằng x2 2x x Lời giải 2 x 4x 16 x 2x 4 2x 4 4x(x 2)(x 2) A 4(x 2) 4x 8 x2 2x x x 2 x(x 2)
24. Bài 18: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2 2 là ước số của n6 206. Lời giải n6 206 n6 8 198 n2 2 là ước số của n6 206 ¢ ¢ n2 2 n2 2 198 n4 2n2 4 ¢ n2 2 Điều nảy xảy ra khi n2 2 là ước nguyên dương của 198 2.32.11gồm: 2;3;6;9;11;18;22;33;66;99;198 Từ đó ta tìm được n 1;2;3;4;8;14 Bài 19: 2 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 x2 7 36x b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh : 2 A n3 n2 7 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n Lời giải 2 2 a) x3 x2 7 36x x x3 7x 36 x x3 7x 6 x3 7x 6 x x3 x 6x 6 x3 x 6x 6 x x 1 x 1 x 3 x 2 x 2 x 3 2 b) Theo phần a ta có: A n3 n2 7 36n n 3 n 2 n 1 n n 1 n 2 n 3 Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên có một bộ của 2, 1 bội của 3, 1 bội của 5, 1 bội của 7. Mà 2, 3, 5,7 1 nên AM 2.3.5.7 AM210 1 2 5 x 1 2x Bài 20: Cho biểu thức: A 2 : 2 1 x 1 x 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức Anhận giá trị nguyên c) Tìm x để A A Lời giải
25. 1 a) ĐKXĐ: x 1; x 2 1 x 2 1 x 5 x x2 1 A 2 . 1 x 1 2x 2 x2 1 2 . 1 x2 1 2x 1 2x x 1(ktm) b) Anguyên, mà x nguyên nên 2M 1 2x , từ đó tìm được x 0(tm) Vậy x 0 c) Ta có: 1 A A A 0 1 2x 0 x 2 1 Kết hợp với điều kiện : 1 x 2 x3 x2 x Bài 21: Đa thức P x 1985. 1979 5. có giá trị nguyên với mọi x là số nguyên. 3 2 6 Lời giải x3 x2 x Ta có:P x 1985. 1979 5. 3 2 6 x 1 .x. x 1 3x.x. x 1 661x3 989x2 x 6 Với x Z thì 661x3 989x2 x Z , còn x 1 x x 1 3x2 x 1 là số nguyên chia hết cho 6. Từ đó suy ra P x có giá trị nguyên với mọi x là số nguyên. a3 a2 a Bài 22: Cho biểu thức E với a là một số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ E có giá 24 8 12 trị nguyên. Lời giải Vì a là một số tự nhiên chẵn nên a 2k,k N . a3 a2 a 8k 3 4k 2 2k 2k 3 3k 2 k k k 1 2k 1 Do đó E 24 8 12 24 8 12 6 6 Ta có: k k 1 M2 k k 1 2k 1 M2 Ta cần c/m: k k 1 2k 1 M3 . Thật vậy:
26. + Nếu k 3n,n N kM3 thì k k 1 2k 1 M3 + Nếu k 3n 1, n N 2k 1 2 3n 1 1 6n 3M3 thì k k 1 2k 1 M3 + Nếu k 3n 2,n N k 1 3n 3M3 thì k k 1 2k 1 M3 Mà 2,3 1 k k 1 2k 1 M6 a3 a2 a Vậy, E có giá trị nguyên với a là một số tự nhiên chẵn. 24 8 12