Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên Toán) - Năm học 2022-2023 - Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên Toán) - Năm học 2022-2023 - Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ (Có đáp án)

1. SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN TOÁN (DÀNH CHO CHUYÊN TOÁN) Ngày thi: 05 tháng 6 năm 2022 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang, 04 câu) Câu I (3,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A 3 2 2 3 2 2 2) Tìm m để các đường thẳng: y 2x 4 (d) ; y 3x 5 (d '); y 2mx m 3 ( ) cùng đi qua một điểm. 3) Cho phương trình: x2 2mx 2m 1 0 ( m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương. Câu II (3,0 điểm) 1) Tìm x, y nguyên thoả mãn: xy 2x y 1 0 2) Một cửa hàng điện máy thực hiện chương trình khuyến mãi giảm giá tất cả các mặt hàng 10 % theo giá niêm yết, và nếu hóa đơn khách hàng trên 10 triệu sẽ được giảm thêm 2% số tiền trên hóa đơn, hóa đơn trên 15 triệu sẽ được giảm thêm 4% số tiền trên hóa đơn, hóa đơn trên 40 triệu sẽ được giảm thêm 8% số tiền trên hóa đơn. Ông An muốn mua một ti vi với giá niêm yết là 9 200 000 đồng và một tủ lạnh với giá niêm yết là 7 100 000 đồng. Hỏi với chương trình khuyến mãi của cửa hàng, ông An phải trả bao nhiêu tiền? 2x2 6y2 xy 3) Giải hệ phương trình: 2 3x 2y xy x Câu III (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại B ( BC AB ) nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AC 2R . Kẻ dây cung BD vuông góc với AC, H là giao điểm của AC và BD. Trên HC lấy điểm E sao cho E đối xứng với A qua H. Đường tròn tâm O’ đường kính EC cắt đoạn BC tại I (I khác C). 1) Chứng minh rằng: CI.CA=CE.CB 2) Chứng minh rằng: Ba điểm D, I, E thẳng hàng. 3) Chứng minh rằng: HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính EC. 4) Khi B thay đổi thì H thay đổi, xác định vị trí của H trên AC để diện tích tam giác O’IH lớn nhất. Câu IV (1,0 điểm) 1) Tìm tất cả các cặp số thực x, y dương thỏa mãn điều kiện: 22x2 36xy 6y2 6x2 36xy 22y2 x2 y2 32 2) Cho a, b là các số thực thỏa mãn: a2 b2 a b. Chứng minh rằng: a3 b3 a2b ab2 4 Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Phòng thi: Giám thị 1: Giám thị 2: SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
2. TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ NĂM HỌC 2022-2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (DÀNH CHO CHUYÊN TOÁN) (Hướng dẫn chấm này gồm có 04 trang) Câu I (3,0 điểm) Phần Nội dung Điểm a) Rút gọn biểu thức: A ( 2 1)2 ( 2 1)2 0,5 1 A 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0,5 2 Tọa dộ giao điểm của (d) và (d’) là A(-1;-2) 0,5 Để ( ), (d) và (d’) cùng đi qua một điểm khi và chỉ khi A thuộc ( ) 1 Khi đó ta có 2m.( 1) m 3 2 3m 1 m 3 0,5 1 Vậy m = thì 3 đường thẳng đã cho cùng đi qua điểm A(-1;-2) 3 3 3) Phương trình x2 2mx 2m 1 0 có hai nghiệm dương khi và chỉ ' m2 2m 1 0 0,5 P 2m 1 0 S 2m 0 (m 1)2 0m 1 1 m m 0,5 2 2 m 0 Câu II (3,0 điểm) Phần Nội dung Điểm xy 2x y 1 0 x(y 2) (y 2) 3 0 (y 2)(x 1) 3 0,5 1 Vì x, y nguyên nên (y+2) và (x-1) thuộc Ư(3) = 3; 1;1;3 Học sinh tìm được cặp số nguyên (x;y ) = (-4;-3); (-2;-5);(0;1); (2;-1) 0,5 Tổng giá trị 1 chiếc Tivi và 1 chiếc tủ lạnh ông An mua là 16 300 000 ( đồng) 0,5 Số tiển ông An phải trả khi được giám giá 10% là. 16300000.90% = 14 670 000 (đồng ) 2 Vì số tiền trên hóa đơn của ông An là 14700000( đồng) nên ông An được giảm thêm 2% số tiền in trên hóa đơn. 0,5 Vậy số tiền ông An phải trả là 14670000.98% = 14 376 600(đồng
3. 2x2 6y xy (x 2y)(2x 3y) 0 Giải hệ phương trình: 2 2 3x 2y xy x 3x 2y xy x x 2y Với x = 2y ta có 2 0,5 3x 2y xy x x 2y x 2y x 2y x 0 2 2 2 2 2 12y 2y 2y 2y 12y 2y 0 10y 0 y 0 Với 2x = -3y ta có hệ phương trình 2x y 3 2x 3y 3 3x2 2y xy x 4 2 3x2 x x2 x 3 3 2x y 2x 3 0,5 y 3 x 0 11x2 7x 0 7 x 11 7 14 Học sinh giải hệ 2 và kết luận nghiệm (x;y) = ( 0;0); ( ; ) 11 33 Câu III (3,0 điểm) Phần Nội dung Điểm B I O A C H E O' D Xét hai tam giac CIE và CBA có ICE chung; EIC =ABC =900 0,5 ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 1 CI CE Suy ra CIE : CBA(g g) CI.CA CE.CB(dpcm) 0,5 CB CA 2 Ta có EI  BC ( Do EIC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)(1) 0,5
4. Vì BD  AC tại H, và HA = HE; HB = HD nên tứ giác ABED là hình thoi Suy ra DEPAB, mà AB BC nên DE BC(2) 0,5 Từ (1) và (2) ta có 3 điểm D,E,I thẳng hàng. Ta có tứ giác DHIC nội tiếp đường tròn đường kính DC nên ta có BIH = BDC = (1800 - HIC ) 3 Lại có BAC =IEO’ ( đồng vị ); IEO’ = O’IE 0,5 ( do tam giác O’IE cân tại O’) Suy ra BIH = O’IE mà BIH+HIE = 900 nên HIE+ O’IE=900 suy ra HI  O’I hay HI là tiếp tuyến của (O’) Ta có AC 2 2 2 2 2 2 0,25 O'I HI O'H R R 2S O'I.HI 4 S O 'IH 2 2 2 2 O 'IH 4 4 R2 O'I.HI R Dấu = xảy ra khi 2 O'I HI ( Do O’I > 0, HI > 2 O'I HI 0) R R Ta có O’H = R; mà O’E = O’I = suy ra AH = HE = R - = 0,25 2 2 R( 2 1) 2 R( 2 1) Vậy AH = thì diện tích tam giác O’IH lớn nhất. 2 Câu IV (1,0 điểm) Phần Nội dung Điểm
5. Ta có: 22x2 36xy 6y2 (5x 3y)2 3(x y) 2 (5x 3y)2 22x2 36xy 6y2 5x 3y ( do x, y dương ) Tương tự ta có : 0,25 6x2 36xy 22y2 (3x 5y)2 3(x y) 2 (3x 5y)2 6x2 36xy 22y2 3x 5y ( do x, y dương ) Vậy 22x2 36xy 6y2 22x2 36xy 6y2 8(x y) (1) 1 Ta có (x 4)2 (y 4)2 0(x, y) 0,25 x2 8x 16 y2 8y 16 0 x2 y2 32 8(x y) (2) Vậy 22x2 36xy 6y2 22x2 36xy 6y2 x2 y2 32 x y x 4 0 x y 4 y 4 0 Nếu a b 0 suy ra a2 b2 0 a b 0 khi đó bất đẳng thức 0,25 cần chứng minh đúng. Nếu a b 0 a b a2 b2 0 Ta có : (a b)2 (a b)2 2 a 2 b 2 a b 2(a b) (a b)2 2 2 Suy ra a b 2 Ta có :a3 b3 a2b ab2 (a b)(a2 ab b2 ) ab(a b) (a b)2 0,25 Vì 0 a b 2 nên (a b)2 4 (đpcm) * Chú ý: Các lời giải đúng khác đều được xem xét cho điểm tương ứng.