Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Bài 4+5: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn (Có đáp án)

Nội dung text: Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Bài 4+5: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn (Có đáp án)

1. Bài 4-5. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG ỨNG DỤNG THỰC TẾ CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng ▪ Tích của cạnh huyền với sin của góc đối hoặc cô-sin của góc kề. ▪ Tích của cạnh góc vuông kia với tang góc đối hoặc cô- tang góc kề. Trong hình bên, ta có b a sin B a cosC; b c  tan B c cot C; c c sin C a cos B; c b tan C bcot B. 2. Giải tam giác vuông ▪ Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc còn lại của tam giác vuông đó khi biết trước hai cạnh hoặc một cạnh và một góc nhọn. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Giải tam giác vuông ▪ Vận dụng các công thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông để tìm cạnh. ▪ Vận dụng công thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông để tìm cạnh. ▪ Vận dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính góc. Lưu ý: ▪ Nếu cho trước 1 góc nhọn thì nên tìm góc nhọn còn lại. ▪ Nếu cho trước hai cạnh thì dùng định lý Py-ta-go tìm cạnh thứ hai. Ví dụ 1. Giải tam giác ABC vuông tại A , biết AB 3,5 và AC 4,2 . Lời giải AC 4,2 Ta có tan B tan 5012 . AB 3,5 Suy ra Bˆ 5012 mà Bˆ Cˆ 90 nênCˆ 90 Bˆ 90 5012 3948 . Mặt khác, theo định lí Py-ta-go ta có BC AB2 AC 2 3,52 4,22 5,5. Ví dụ 2. Giải tam giác ABC vuông tại A , biết AB 3,0 và BC 4,5 . Lời giải
2. AB 3,0 Do giả thiết ta có sin C sin 4149 suy ra BC 4,5 Cˆ 4149 . Mà Bˆ Cˆ 90 nên Bˆ 90 Cˆ 90 4149 4811 . Mặt khác theo định lí Py-ta-go BC 2 AB2 AC 2 AC 2 BC 2 AB2 . suy ra AC BC 2 AB2 4,52 3,02 3,4. Ví dụ 3. Giải tam giác ABC vuông tại A , biết Bˆ 50 và AB 3,7 . Lời giải Ta có Cˆ 90 Bˆ 90 50 40 . Mặt khác AC AB  tan B 3,7 tan 50 4,4 . AB 3,7 Tương tự BC 5,8 . cos B cos50 Ví dụ 4. Giải tam giác ABC vuông tại A , biết Bˆ 57 và BC 4,5 . Lời giải Ta có Cˆ 90 57 33 . Mặt khác AB BC cos B 4,5cos57 2,5 và AC BC sin B 4,5sin 57 3,8 . Ví dụ 5. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết AB 2,5, BH 1,5. Tính Bˆ , Cˆ và AC . Lời giải Xét tam giác ABH vuông tại H , ta có BH 1,5 cos B cos538 suy ra Bˆ 538 . AB 2,5 Mà Bˆ Cˆ 90 nên Cˆ 90 538 3652 . Xét VABC vuông tại A , ta có AC AB  tan B 2,5 tan 538 3,3. Dạng 2: Giải tam giác nhọn
3. ▪ Bước 1: Vẽ đường cao để vận dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông. ▪ Bước 2: Tính đường cao rồi tính các độ dài cạnh hay góc trong tam giác đã cho. Lưu ý: Dùng đường cao làm trung gian để tính các độ dài cạnh hoặc số đo góc. ▪ Nếu tam giác cho trước một cạnh (hoặc một góc) thì khi vẽ đường cao không thể chia đôi cạnh đó (hoặc góc đó) vì như vậy sẽ khó khăn cho việc tính toán. Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có Bˆ 65 , Cˆ 45 và AB 2,8cm . Tính các góc và cạnh còn lại của tam giác đó (gọi là giải tam giác ABC ). Lời giải Ta có Aˆ 180 Bˆ Cˆ 180 65 45 70 . Kẻ đường cao AH . Xét VABH vuông tại H , ta có AH AB sin B 2,8sin 65 2,54 cm . Tương tự BH AB cos B 2,8cos65 1,18 cm . Mặt khác, do giả thiết suy ra tam giác HAC vuông cân tại H nên HA HC . Do đó BC 2,54 1,18 3,7 cm . Xét VAHC vuông tại H , ta có HA 2,54 AC 3,6 cm . sin C sin 45 Ví dụ 7. Giải tam giác ABC biết Bˆ 65 , Cˆ 40 và BC 4,2cm . Lời giải Ta có Aˆ 180 Bˆ Cˆ 180 65 40 75 . Kẻ đường cao BH . Xét VBCH vuông tại H , ta có BH BC sin C 4,2sin 40 2,70 cm . Tương tự, xét VABH vuông tại H , ta có BH 2,70 AB 2,8 cm . sin A sin 75 Mặt khác, ta có AC AH CH BH  cot A cot C 2,70 cot 75 cot 40 3,9 cm Ví dụ 8. Giải tam giác nhọn ABC biết AB 2,1, AC 3,8 và Bˆ 70 .
4. Lời giải Vẽ AH  BC . Xét VABH vuông tại H , ta có AH AB sin B 2,1sin 70 1,97 . Tương tự, xét BH AB cos B 2,1cos70 0,72 . Mặt khác, xét VAHC vuông tại H , ta có AH 1,97 sin C sin 3114 do đó Cˆ 3114 . AC 3,8 Mà Aˆ 180 70 3114 7846 . Ta có HC AC cosC 3,80cos3114 3,25. Mà BC BH HC 0,72 3,25 3,97 . Dạng 3: Tính diện tích tam giác, tứ giác ▪ Tính các yếu tố cần thiết rồi thay vào công thức tính diện tích và thực hiện phép tính. Ví dụ 9. Cho tam giác ABC như hình vẽ bên. Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC có diện tích 1 là S bc sin . 2 Lời giải Vẽ đường cao BH của tam giác ABC . Xét VABH vuông tại H , ta có BH AB sin A c sin . 1 1 Do đó diện tích S của tam giác ABC là S  AC  BH bc sin . 2 2 Nhận xét: Qua ví dụ này ta có thêm một cách tính diện tích tam giác. Diện tích tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn xen giữa hai đường thẳng chứa hai cạnh đó.
5. Ví dụ 10. Tứ giác ABCD như hình vẽ phía dưới. Biết AC 3,8 , BD 5,0 và 65 . Tính diện tích của tứ giác đó. Lời giải Vẽ AH  BD và CK  BD . Xét VOAH ta có AH OAsin . Tương tự, xét VOCK ta có CK OC sin . 1 1 Mà S  BD  AH  BD OAsin . V ABD 2 2 1 1 Tương tự S  BD CK  BD OC sin . VBCD 2 2 Gọi S là diện tích tứ giác ABCD ta có 1 1 S S S  BD OAsin  BD OC sin V ABD VBCD 2 2 1  BD sin  OA OC 2 1 1  BD  AC sin 5,03,8sin 65 8,6 . 2 2 Ví dụ 11. Tam giác ABC có Bˆ Cˆ 60 , AB 3 , AC 6 . Tính độ dài đường phân giác AD . Lời giải Do giả thiết Bˆ Cˆ 60 nên B· AC 180 60 120 . Mà AD là đường phân giác nên B· AD C· AD 60 . Mà 1 1 18 S  AB  AC sin B· AC 36sin120 sin 60 . V ABC 2 2 2 Mặt khác 1 1 S  AB  AD sin B· AD  AB  AD sin 60 V ABD 2 2 1 1 và S  AC  AD sin D· AC  AC  AD sin 60 V ACD 2 2
6. Ví dụ 12. Hình bình hành ABCD có AC  AD và AD 3,5 , Dˆ 50 . Tính diện tích của hình bình hành. Lời giải Xét VADC vuông tại A , ta có AC AD  tan ·ADC 3,5 tan 50 . Khi đó gọi S là diện tích hình bình hành ABCD , ta có S AD  AC 3,53,5 tan 50 14,6. Dạng 4: Ứng dụng thực tế của hệ thức lượng trong tam giác vuông ▪ Vẽ lại hình vẽ theo yêu cầu bài toán (chú ý tạo ra tam giác vuông). ▪ Xác định các yếu tố cần thiết rồi tính theo các hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác hoặc sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tìm góc. Ví dụ 13. Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trên một bờ hồ nước sâu, biết Cˆ 58 , CB 13m , CH 44m như hình bên. Lời giải Xét VHAC vuông tại H , ta có HC 44 AC 83 m . cosC cos58 Mà AB AC BC 83 13 70 m . Ví dụ 14. Trong hình vẽ bên dưới, tính chiều rộng AB của con sông, biết OC 47m , ·AOC 74 , B· OC 23 . Lời giải Xét VAOC vuông ở C , ta có AC OC  tan 74 và BC OC  tan 23 . Do đó
7. AB AC BC OC  tan 74 OC  tan 23 OC  tan 74 tan 23 47 tan 74 tan 23 144,0 m . Vậy AB bằng 144,0m . Ví dụ 15. Khoảng cách giữa hai chân tháp AB và MN là a như hình vẽ bên dưới. Từ đỉnh A của tháp AB nhìn lên đỉnh M của tháp MN ta được góc . Từ đỉnh A nhìn xuống chân N của tháp MN ta được góc  (so với phương nằm ngang AH ). Hãy tìm chiều cao MN nếu a 120m , 30 ,  20 . Lời giải Xét VMAH vuông tại H , ta có HM AH  tan . Tương tự, xét VMAH vuông tại H , ta có HN AH  tan  . Mà MN HM HN AH  tan AH  tan  AH  tan tan  120 tan 30 tan 20 113,0 m . Vậy chiều cao MN là 113,0m . C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Giải tam giác ABC vuông tại A , biết a) AB 2,7 và AC 4,5 ; b) AC 4,0 và BC 4,8 . Lời giải a) Xét VABC vuông ở A , ta có AC 4,5 tan B tan 5904 AB 2,7 Suy ra Bˆ 5904 mà Bˆ Cˆ 90 nên Cˆ 90 Bˆ 90 5904 3056 . Mặt khác, theo định lí Py-ta-go ta có BC AB2 AC 2 2,72 4,52 5,25.
8. b) Xét VABC vuông ở A , ta có AC 4,0 sin B sin 5644 BC 4,8 Suy ra Bˆ 5644 mà Bˆ Cˆ 90 nên Cˆ 90 Bˆ 90 5644 3316 . Mặt khác, theo định lí Py-ta-go ta có AB BC 2 AC 2 4,82 4,02 2,65. Bài 2. Giải tam giác ABC vuông tại A , biết a) BC 4,5 và Cˆ 35 ; b) AB 3,1 và Bˆ 65 . Lời giải a) Xét VABC vuông ở A , ta có AB BC sin C 4,5sin 35 2,58 . Tương tự, AC BC cosC 4,5cos35 3,69 . Do Bˆ Cˆ 90 nên Bˆ 90 Cˆ 90 35 55. b) Xét VABC vuông ở A , ta có AB 3,1 BC 7,34 . cos B cos65 Tương tự, AC AB  tan B 3,1 tan 65 6,65 . Do Bˆ Cˆ 90 nên Cˆ 90 Bˆ 90 65 25. Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao BH . Biết Aˆ 50 , BH 2,3. Tính chu vi của ABC . Lời giải Do giả thiết suy ra Bˆ Cˆ nên
9. 1 1 Cˆ 180 Aˆ 180 50 65. Xét VAHB vuông tại H , ta có 2 2 AH BH cot H· AB 2,3cot 50 1,92. Tương tự, xét VCHB vuông tại H , ta có CH BH cot H· CB 2,3cot 65 1,07. BH 2,3 và BC 2,54 . sin H· CB sin 65 Mà AC AH HC 1,92 1,07 2,99 . Do đó chu vi tam giác ABC bằng AB BC CA 22,99 2,54 8,52. Bài 4. Hình thang ABCD có Aˆ Dˆ 90 . Biết AB 2,6 , CD 4,7 và Cˆ 35 . Tính diện tích hình thang. Lời giải Vẽ BH  CD , do giả thiết suy ra ABHD là hình chữ nhật nên AB DH 2,6 . Mà CD DH HC HC DC DH 4,7 2,6 2,1. Xét VBHC vuông tại H , ta có BH HC  tan B· CH 2,1 tan 35 1,5. Gọi S là diện tích hình thang ABCD . AB CD  BH 2,6 4,7 1,5 Ta có S 5,5. 2 2 Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC , AB AC , đường cao AH và đường trung tuyến AM . Gọi là số đo góc H· AM . a) Chứng minh rằng HB HC 2HM ; cot B cot C b) Chứng minh rằng tan . 2 Lời giải a) Do giả thiết AM là trung tuyến nên BM MC . Mà HB HC HM BM MC MH 2 MH. b) Đặt AH h , xét VAHB , ta có HB AH cot ·ABH hcot ·ABH . Tương tự, xét VAHC , ta có HC AH cot ·ACH hcot ·ACH .
10. Suy ra HB HC h cot ·ABH cot ·ACH hay 2HM h cot B cot C . (1) Mặt khác, xét VAMH vuông tại H , ta có HM h tan M· AH h tan hay 2HM 2h tan . (2) cot B cot C Từ (1) và (2) suy ra 2h tan h cot B cot C tan . 2 Bài 6. Giải tam giác nhọn ABC biết Bˆ 60 , AB 3,0 và BC 4,5 . Lời giải Kẻ đường cao AH  BC . Xét VABH vuông tại H , ta có AH AB sin B 3,0sin 60 2,6 . Tương tự, xét BH AB cos B 3,0cos60 1,5 . Mà HC BC BH 4,5 1,5 3,0 . Theo định lí Py-ta-go ta có AB2 BH 2 AH 2 3,02 2,62 15,76 suy ra AB 15,76 4,0 . AH 2,6 Xét VAHC vuông tại H ta có tan ·ACH tan 4055 . HC 3,0 Do Aˆ 180 Bˆ Cˆ 180 60 4055 795 . Bài 7. Hình thang ABCD ( AB PCD ) có Dˆ 90 , Cˆ 38 , AB 3,5 , AD 3,1. Tính diện tích hình thang đó. Lời giải Vẽ BH  CD , do giả thiết suy ra ABHD là hình chữ nhật. Do đó BH 3,1, DH 3,5 . Xét VBHC vuông tại H , ta có HC BH cot C 3,1cot 38 4,0. Mà CD DH HC 3,5 4,0 7,5 . Gọi S là diện tích hình thang ABCD khi đó AB CD  BH 3,5 7,5 3,1 S 17,1. 2 2 D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 8. Các cạnh của một tam giác vuông có độ dài 4cm; 6cm và 6cm. Hãy tính góc nhỏ nhất của tam giác đó. Bài 9. Tam giác ABC vuông tại A có AB 21cm, Cˆ 40 . Hãy tính các độ dài
11. a) AC ; b) BC ; c) Phân giác BD . Bài 10. Cho hình bên, biết: AB AC 8 cm, CD 6 cm, B· AC 34 và C· AD 42 . Hãy tính a) Độ dài cạnh BC ; b) ·ADC ; c) Khoảng cách từ điểm B đến cạnh AD . Bài 11. Trong một tam giác ABC có AB 11cm, ·ABC 38 , ·ACB 30 , N là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC . Hãy tính AN , AC . Bài 12. Tìm x và y trong các hình sau Bài 13. Cho tam giác BCD đều cạnh 5 cm và D· AB 40 . Hãy tính a) AD ; b) AB . HẾT