Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Trực Ninh

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Trực Ninh

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TRỰC NINH NĂM HỌC 2017 -2018 MÔN TOÁN LỚP 6 ĐỀ CHÍNH THỨC Thi ngày 04 tháng 4 năm 2018 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Bài 1 (5,0 điểm). Tính hợp lí a) A 20182 2017.2018 b) B ( 1).( 1)2 .( 1) 3 .( 1) 4 ( 1) 99 .( 1) 100 1 2 3 88 88 c) C 6 7 8 93 1 1 1 1 12 14 16 186 Bài 2 (5,0 điểm) a) Tìm x, y Z biết (2yx 1)( 4) 10 b) Cho x, y N thỏa mãn (3x 5 y )( x 4 y ) 7. Chứng tỏ rằng (3x 5 y )( x 4 y ) 49 52n c) Tìm số tự nhiên n trong khoảng từ 290 đến 360 để phân số ()nN rút gọn được? 27n Bài 3 (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n 1, 21n , 51n đều là số chính phương? b) Cho A 2017 20172 2017 3 2017 2018 Chứng tỏ rằng A 2018 . Tìm chữ số tận cùng của A? Bài 4 (4,0 điểm) a) Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2 cm. Lấy điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC 5 cm . Tính độ dài đoạn thẳng AC? 0 b) Cho xOy 160 . Vẽ tia phân giác Ox1 của xOy . Tính số đo góc xOx1 ? Giả sử Ox2 là tia phân giác của xOx1 , Ox3 là tia phân giác của xOx2 , , Ox 42 là tia phân giác của xOx41 . Tính số đo góc xOx42 ? Bài 5 (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có nn3 6 b) Viết số 43211234 dưới dạng tổng của một số số nguyên dương. Gọi T là tổng các lập phương của tất cả các số đó. Tìm số dư của T trong phép chia cho 6? HẾT Họ và tên thí sinh: Họ, tên chữ ký GT1: Số báo danh: . Họ, tên chữ ký GT2:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6 Bài1(5,0đ) a (1,5 đ) A 2018.(2018 2017) 2018.1 2018 1,5đ b (1,5 đ) B ( 1).1.( 1).1 ( 1).1 (Có 50 thừa số -1) 1,0đ B 1 0,5đ c (2,0đ) 1 2 3 88 0,5đ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) C 6 7 8 93 1 1 1 1 12 14 16 186 5 5 5 5 0,5đ C 6 7 8 93 1 1 1 1 12 14 16 186 1 1 1 1 0,5đ 5.( ) C 6 7 8 93 1 1 1 1 1 .( ) 2 6 7 8 93 C 10 0,5đ Bài 2(5đ) a (1,5đ) 2xy x 8 y 14 0,5đ x(2 y 1) 8 y 4 14 4 x(2 y 1) 4(2 y 1) 10 (2yx 1)( 4) 10 Vì x, y Z nên 2y 1 Z , x 4 Z , suy ra 2yx 1, 4 là ước nguyên của 0,25đ 10 và 21y lẻ Lập bảng 0,5đ 2y+1 1 -1 5 -5 x-4 10 -10 2 -2 x 14 -6 6 2 y 0 -1 2 -3 x 14 x 6 x 6 x 2 0,25đ Vậy ;;; y 0 y 1 y 2 y 3 b (1,5đ) Phải chứng minh 3x 5 y 7 x 4 y 7 0,25đ Đặt A 3 x 5 y , B x 4 y . Xét tổng A 4 B 7 x 21 y 7 Nếu AB7 4 7 , mà (4,7) 1B 7 0,25đ Nếu BBA7 4 7 7. Chứng tỏ 0,25đ 3xy 5 7 0,25đ Vì (3x 5 y )( x 4 y ) 7 xy 47
3. Nếu (3x 5)7 y ( x 4)7 y (3 x 5)( y x 4)49 y 0,25đ Nếu (x 4)7 y (3 x 5)7 y (3 x 5)( y x 4)49 y 0,25đ c (2,0đ) Gọi d là ước nguyên tố chung của 52n và 27n 0,25đ 5n 2 d 2(5 n 2) d 0,5đ Ta có: (10n 35) (10 n 4) d 31 d . 2n 7 d 5(2 n 7) d Vì d nguyên tố nên d = 31 0,25đ 5n 2 31 5 n 2 62 31 5 n 60 31 5( n 12) 31 0,25đ Khi đó 2n 7 31 2 n 7 31 31 2 n 24 31 2( n 12) 31 Mà (5,31) 1;(2,31) 1 suy ra n 12 31 n 31 k 12( k N ) 0,25đ Do 290 n 360 290 31 k 12 360 9 k 11, mà k là số tự nhiên 0,25đ nên k 9;10;11 Từ đó tìm được n 291;322;353 0,25đ Bài3(4,0đ) a (1,5đ) Do n 1 là số chính phương nên khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. 0,25đ Nếu n 13thì n chia cho 3 dư 2 21n chia cho 3 dư 2, vô lí. 0,25đ Do đó n 1 chia cho 3 sẽ dư 1 n 3 Do 21n là số chính phương lẻ nên 21n chia cho 8 dư 1, suy ra 28n , từ đó 0,25đ n 4 . Do đó n 1 là số chính phương lẻ nên n 1 chia cho 8 dư 1, suy ra n 8 Ta thấy n 3, n 8 mà (3,8) 1 nên n 24 , mà n là số nguyên dương 0,25đ Với n 24 thì n 1 25 52 ; 2n 1 49 72 ; 5n 1 121 112 0,25đ Vậy n 24 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề bài. 0,25đ b (2,5đ) Ta có A 2017 20172 2017 3 2017 2018 (tổng A có 2018 số hạng, 0,25đ 2018 2 ) A (2017 20172 ) (2017 3 2017 4 ) (2017 2017 2017 2018 ) 0,25đ A 2017(1 2017) 20173 (1 2017) 2017 2017 (1 2017) 3 2017 1,0đ A 2018(2017 2017 2017 ) 2018 A 2017 20172 (2017 3 2017 4 2017 5 2017 6 ) 0,25đ (20172015 2017 2016 2017 2017 2017 2018 ) A ( 6) 20173 ( 0) 2017 2015 ( 0) ( 6) 0,75đ Bài4(4,0đ) a (2,0đ) Trường hợp điểm C thuộc tia đối của tia BA 0,25đ A B C Điểm C thuộc tia đối của tia BA nên hai tia BA và BC đối nhau, suy ra 0,25đ
4. điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Ta có: AB BC AC 0,25đ Thay số tính được AC 7 cm 0,25đ Trường hợp điểm C thuộc tia BA 0,25đ C A B Trên tia BA, BA BC(2 cm 5 cm ) nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C. 0,25đ Ta có: AB AC BC 0,25đ Thay số tính được AC 3 cm 0,25đ b (2,0đ) xOy 1600 1,0đ Tia Ox là tia phân giác của xOy nên xOx 800 1 1 22 xOx 1600 0,25đ Tia Ox là tia phân giác của xOx nên xOx 1 2 1 2 222 xOx 1600 0,25đ Tia Ox là tia phân giác của xOx nên xOx 2 3 2 3 223 0,5đ Tương tự như trên, tia Ox 42 là tia phân giác của xOx41 nên xOx 1600 xOx 41 42 2242 Bài5(2,0đ) a (0,75đ) Ta có nnnn3 ( 2 1) nnnn ( 2 1) nnn ( 1) ( n 1) nn ( 1)( n 1) 0,25đ Với mọi số nguyên dương n thì (n 1) n ( n 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp 0,5đ sẽ chia hết cho 2 và 3 mà (2,3) 1 nên n( n 1)( n 1) 6 b (1,25đ) 43211234 a a a a 0,25đ Ta có 1 2 3 n 3 3 3 3 T a1 a 2 a 3 an 1234 3 3 3 3 0,25đ Xét hiệu T 4321 ( a1 a 2 a 3 ann ) ( a 1 a 2 a 3 a ) 1234 3 3 3 3 T 4321 ( a1 a 1 ) ( a 2 a 2 ) ( a 3 a 3 ) ( ann a ) 3 3 3 3 0,25đ Theo câu a ta có aa11 6 , aa22 6, aa33 6, , aann 6 nên
5. T 43211234 6 Suy ra T và 43211234 cùng dư khi chia cho 6 0,25đ Mặt khác 4321 chia 6 dư 1 nên 43211234 chia cho 6 cũng dư 1. Vậy T chia 0,25đ 6 dư 1.