Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Hình thoi (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Hình thoi (Có đáp án)

1. 11. HÌNH THOI I. KIẾN THỨC CƠ BẢN  Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Nhận xét: Hình thoi cũng là một hình bình hành.  Tính chất: - Hình thoi có tất cả tính chất của hình bình hành. - Trong hình thoi: + Hai đường chéo vuông góc với nhau. + Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh của hình thoi.  Dấu hiệu nhận biết: - Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi. - Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. - Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau. - Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc ở đỉnh là hình thoi. III. BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC có AC 2AB , đường trung tuyến BM. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến tia phân giác của góc A. Chứng minh rằng ABHM là hình thoi. Bài 2: Cho tứ giác ABCD có AD = BC . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình thoi Bài 3: Cho hình thang cân ABCD . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình thoi. Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Đường thẳng AH cắt EF tại D, cắt BC tại G. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của G trên AB và AC. Chứng minh rằng tứ giác DNGM là hình thoi. Bài 5: Cho hình bình hành ABCD . Vẽ AE ^ BC tại E, DF ^ AB tại F. Biết AE = DF . Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thoi. Bài 6: Cho hình thang ABCD gọi M , N, P, Q lần lượt là trung điểm của hai đáy và hai đường chéo của hình thang. a) Chứng minh rằng tứ giác MPNQ là hình bình hành; b) Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện gì để tứ giác MPNQ là hình thoi?
2. Bài 7: Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM DN. Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng MN và BC tại E và F. a) Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua AB; b) Chứng minh tứ giác MEBF là hình thoi; c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác BCNE là hình thang cân. Tự luyện: Bài 8 Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 6cm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. a) Tính độ dài MN? Chứng minh MBNC là hình thang cân. b) Gọi K là điểm đối xứng của B qua N. Chứng minh tứ giác ABCK là hình bình hành. c) Gọi H là điểm đối xứng của P qua M. Chứng minh AHBP là hình chữ nhật. d) Chứng minh AMPN là hình thoi. Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC. a) Chứng minh tứ giác ACED là hình thang vuông. b) Gọi F là điểm đối xứng của E qua D. Chứng minh ACEF là hình bình hành. c) Chứng minh AEBF là hình thoi. d) Gọi H là hình chiếu của điểm E trên AC. Chứng minh ba đường thẳng AE, CF, DH đồng qui. Bài 10: Tứ giác ABCD có AB = CD .Gọi M, N là trung điểm của BC ,AD. Gọi I, K là trung điểm của AC , BD .Chứng minh rằng MN là tia phân giác của góc IMK . Bài 11: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , các đường cao AD, BE .Tia phân giác của góc DAC cắt BE ,BC theo thứ tự ở I, K .Tia phân giác của góc EBC cắt AD, AC theo thứ tự ở M,N . a) Chứng minh rằng AK  BN b) Tứ giác MINK là hình gì ? KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
3. Bài 1: Gọi O là giao điểm của BM và AH. 1 A Tam giác ABM cân tại A (vì AM AC AB ) 2 có tia AH là tia phân giác của góc A, nên AH 1 2 cũng là đường cao hay AH  BM và OB OM M (1). B Tam giác AHC có AM MC và MO PCH (cùng C vuông góc đối với AH) nên OA OH (2). H Tứ giác ABHM có OB OM,OA OH nên ABHM là hình bình hành. Lại có AH  BM nên ABHM là hình thoi. 1 Bài 2: Trong tam giác ABD, MQ là đường trung bình nên MQ = AD và MQ/ / AD (1). 2 1 Trong tam giác ACD, NP là đường trung bình nên NP = AD và NP/ / AD (1). 2 Từ (1) và (2) suy ra MQ = NP và MQ/ / NP . Do A M đó MNPQ là hình bình hành. B Lại có: trong tam giác ABC, MN là đường trung 1 N bình, ta có MN = BC . Theo giả thiết, AD = BC Q 2 1 1 nên MN = BC = AD = MQ 2 2 C D P Tứ giác MNPQ là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau nên MNPQ là hình thoi. Bài 3: 1 Trong tam giác ABC, MN là đường trung bình nên ta có MN = AC và MN / / AC (1). 2 1 Tương tự trong tam giác ACD, PQ = AC và PQ/ / AC (2) 2 Từ (1) và (2) suy ra MN = PQ và MN / / PQ , do vậy MNPQ là hình bình hành (3).
4. Lại xét tam giác ABD, MQ là đường trung bình, suy ra A M B 1 MQ = BD 2 Vì ABCD là hình thang cân nên AC = BD , từ đó suy ra Q N MN = MQ (2). Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là thoi. D P C Bài 4: DABE = DACF (cạnh huyền, góc nhọn) Þ AE = AF và BE = CF . Vì H là trực tâm của ABC nên AH là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến, từ đó GB = GC và DE = DF. Xét EBC có GN / / BE (cùng vuông góc với AC) và GB = GC nên NE = NC. Chứng minh tương tự ta được MF = MB . Dùng định lí đường trung bình của tam giác ta chứng minh được DM // GN và DM = GN nên tứ giác DNGM là hình bình hành. 1 Mặt khác, DM = DN (cùng bằng của hai cạnh bằng nhau) nên DNGM là hình thoi. 2 DEAB DFDA Bài 5: Xét và có: D µ µ E = F = 90°, EA = FD (theo giả thiết), · · A C EBA = FAD (so le trong) F Þ DEAB = DFDA (g.c.g) suy ra AB = DA. B ABCD là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau E nên ABCD là hình thoi.
5. Bài 6: a) Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác cho ABC và DBC ta sẽ có: A M B MQ / /PN / /BC và P Q 1 MQ PN BC MPNQ là hình bình hành. 2 b) Tương tự ta có: D N C 1 QN / / MP/ / AD và QN MP AD. 2 Nên để MNPQ là hình thoi thì MN  PQ khi đó MN  CD và trung trực hay trục đối xứng của AB và CD hình thang ABCD là hình thang cân. Bài 7: a) Do AM DN MADN là hình bình hành µ · · · · · µ D AMN ; AMN EMB ( đối đỉnh) EMB MBC D E Ta có MPE BPE nên EP FP . Vậy MEBF là hình thoi và 2 điểm E,F đối xứng nhau qua AB. A M b) Tứ giác MEBF có MB  EF P ; Lại có P là trung điểm P B BM , P là trung điểm EF ; MB  EF MEBF là hình thoi. · · c) Để BNCE là hình thang cân thì CNE BEN . D N C F · µ · · · Mà CNE D MBC EMB EBM nên MEB có 3 góc · bằng nhau, suy ra điều kiện để BNCE là hình thang cân thì ABC 60.