›
›
›

Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 7: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (Có lời giải)

docx 48 trang Thu Mai 04/03/2023 1921
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 7: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxon_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_8_dang_7_gia_tri_lon_nhat.docx

Nội dung text: Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 7: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (Có lời giải)

  1. DẠNG 7: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT A.Bài toán Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 1 2x 1 2x2 3x 1 2017 Bài 2: a) Tìm GTLN : x2 5y2 2xy 4x 8y 2015 3 x 1 b) Tìm GTLN : x3 x2 x 1 Bài 3: Cho a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN)của biểu thức A a a2 2b b b2 a Bài 4: Cho a,b,clà các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 1 1 P a b c a b c Bài 5: Cho số thực x thỏa mãn điều kiện 0 x 1.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ x2 1 x2 nhất của biểu thức P 2 x2 1 x2 Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x 2012 2 x 2013 2 2015 Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A , với x là số nguyên. x 3 Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 14x2 8x 9 a) A 3x 1 x 2 4x 3 b) B 3x2 6x 9 2 Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 3x 4 Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A(x) x 1 x 3 x 4 x 6 10 Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 13x2 y2 4xy 2y 16x 2015 Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của 27 ― 12 = 2 + 9 Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A a4 2a3 3a2 4a 5 Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của E 2x2 8x 1 Bài 15: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x2 2xy 2y2 4y 5 3 x 1 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B x3 x2 x 1 Bài 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 2x2 3y2 4xy 8x 2y 18 Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có): M 4x2 4x 5 Bài 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của B 2x2 y2 2xy 8x 2028 x4 2 x2 1 x2 3 Bài 19: Cho biểu thức M x6 1 x4 x2 1 x4 4x2 3
  2. a) Rút gọn M b) Tìm giá trị lớn nhất của M Bài 20: Cho x, y 0 thỏa mãn x 2y 5.Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 24 H x2 2y2 x y Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 4 x y 2010 x2 x x 1 1 2 x2 Bài 23: Cho biểu thức P 2 : x 2x 1 x x 1 x a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 2010x 2680 Bài 24: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 1 Bài 25: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 1 2x 1 2x2 3x 1 2017 x2 x 1 Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức : A x2 x 1 Bài 27: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x2 2xy 2y2 4y 5 3 x 1 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B x3 x2 x 1 Bài 28: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x 2006 x 2007 2006 2010x 2680 Bài 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 1 Bài 30. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A,biết: A x 1 4 x 3 4 6 x 1 2 . x 3 2 Bài 31. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z 1 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 16x 4y z Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất : A x2 2xy 6y2 12x 2y 45 3x2 6x 10 Bài 33.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B x2 2x 3 Bài 34. Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2. 3x2 2x 3 Bài 35. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C . x2 1 Bài 36. Cho a b 3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 b2 x2 8x 7 Bài 37. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x2 1
  3. Bài 38. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C 4 x2 2x Bài 39. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 x y2 y z2 z Bài 40: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x y z 1. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 16x 4y z 1 1 Bài 41: Cho a 0; b 0 và a2 b2 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q a2 b2 Bài 42: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2 x 5 x2 7x 10 Bài 43: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x4 2x3 3x2 2x 1 Bài 44: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a2 b2 a b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: a b S a 1 b 1 Bài 45: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x y z 1. Tìm giá trị nhỏ 1 1 1 nhất của biểu thức P 16x 4y z 2 2 Bài 46: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x 2012 x 2013 Bài 47: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 x4 2 x2 1 x2 3 Bài 48: Cho biểu thức M x6 1 x4 x2 1 x4 4x2 3 a) Rút gọn M b) Tìm giá trị lớn nhất của M Bài 49: Cho x,y 0 thỏa mãn x 2y 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 24 H x2 2y2 x y Bài 50: Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 4 x y 2010 Bài 51: Cho a,b,c 0;1và a b c 2.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a2 b2 c2 Bài 52: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x2 2xy 2y2 4y 5 3 x 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B x3 x2 x 1 2010x 2680 Bài 53: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 1 Bài 54: Tìm các giá trị của x để biểu thức: P x 1 x 2 x 3 x 6 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 55: Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 4 x y 2010
  4. Bài 56: Tìm giá trị nhỏ nhất của E 2x2 – 8x 1. Bài 57: Tìm giá trị nhỏ nhất của M = 4x2 + 4x + 5 x2 2x 3 Bài 58: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A . x2 2 Bài 59: Tìm giá trị của biến x để: 1 x2 x 1 a) P đạt giá trị lớn nhất b) Q đạt giá trị nhỏ nhất x2 2x 6 x2 2x 1 Bài 60: : a) Tìm GTLN của A x 4 2 x 4 9x 2 b) Tìm GTNN của biểu thức B , với 0 x 2 2 x x Bài 61: Tìm GTNN của: 16 x2 2x 2018 a) A x 2007, x 3 ; b) B , x 0 ; x 3 2018x2 x3 2000 c) C , x 0 x Bài 62: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện: 3x y 1 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3x2 y2 ; b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N xy Bài 63: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn 2x 3y 7 . 8 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q x y b) Tìm GTLN của A x2 y2 xy x y Bài 64: a) Cho x y 1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x3 y3 b) Tìm GTNN của B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2023 2 2 Bài 65: a) Tìm GTNN của Abiết x y x y 4 b) Tìm GTNN của B x4 3 x 2 c) Tìm GTNN của C x 1 x 3 x 5 x 7 x d) Tìm GTLN của D x với x 0 x 2019 2 2 Bài 66: Tìm giá trị nhỏ nhất của Q 2x 3 4 2x 3 7và các giá trị của x tương ứng. Bài 67: Cho x, y 0 thỏa mãn x 2y 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 24 H x2 2y2 GTLN x y Bài 68: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a2 b2 a b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: a b S a 1 b 1 Bài 69: Cho hai số dương a,b thỏa mãn: a2 b2 2 a3 b3 Tìm giá trị nhỏ nhất của M 2016a 2017b 2017a 2016b Bài 70: Cho x, y, z là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của: x4 y4 z4 biết x y z 2
  5. Bài 71: Tìm các giá trị của x để biểu thức: P x 1 x 2 x 3 x 6 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 72: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức L x4 4x3 7x2 12x 20 2010x 2680 Bài 73: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 1 Bài 74: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 x y z Bài 75: Cho x, y, z 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P y z z x x y x2 2x 3 Bài 76: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A . x2 2 Bài 77: Tìm giá trị của biến x để: x 2 x 1 a) 1 đạt giá trị lớn nhất b) Q đạt giá trị nhỏ nhất P 2 x 2 2 x 6 x 2x 1 Bài 78: a) Tìm GTLN của A x 4 2 x 4 9x 2 b) Tìm GTNN của biểu thức B , với 0 x 2 2 x x Bài 79: Tìm GTNN của: 16 x2 2x 2018 a) A x 2007, x 3 ; b) B , x 0 ; c) x 3 2018x2 x3 2000 C , x 0 x Bài 80: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện: 3x y 1 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3x2 y2 ; b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N xy Bài 81: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn 2x 3y 7 .Tìm giá trị nhỏ nhất của 8 3 biểu thức Q x y b) Tìm GTLN của A x2 y2 xy x y Bài 82: a) Tìm GTNN của Abiết x 2 y2 x y 4 b) Tìm GTNN của B x4 3 x 2 c) Tìm GTNN của C x 1 x 3 x 5 x 7 x d) Tìm GTLN của D x với x 0 x 2019 2 Bài 83: : a) Cho x y 1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x3 y3 b) Tìm GTNN của B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2023 2 Bài 84: Tìm giá trị nhỏ nhất của Q 2x 3 4 2x 3 7 và các giá trị của x tương ứng. 1 1 Bài 85: Cho a 0;b 0 và a2 b2 10.Tìm giá trị nhỏ nhất của Q a 2 b 2 Bài 86: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x4 +2x3 +3x2 +2x + 1
  6. Bài 87: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a 2 + b2 = a + b. Tính giá trị lớn a b nhất của biểu thức: S = a + 1 + b + 1 Bài 88: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x + y + z =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 biểu thức : P = 16x + 4y + z Bài 89: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = (x ― 2012)2 + (x + 2013)2 2010x 2680 Bài 90: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 1 Bài 91: a. Tìm giá trị lớn nhất của tổng x + y + z biết rằng x + 5y = 21 và 2x + 3z = 51 với x, y, z 0 b. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các phân thức B = 4x 3 x2 1 Bài 92: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x4 2x2 3 x2 1 9 . 2012 Bài 93: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x2 y2 20(x y) 2213 Bài 94: Cho các số a, b,c thỏa mãn a + b + c = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 thức P = a2 + b2 + c2 Bài 95: Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 Q (1 )(1 ) xy x2 y2 Bài 96: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 xy , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: x2013 y2013 2x1006 y1006 . Bài 97: a) Cho a1,a2 , ,a2m ,m N * thoả mãn a1 a2 a2m . Tìm GTNN của biểu thức A x a1 x a2 x a2m 1 x a2m . b) Cho a1,a2 , ,a2m 1,m N,m 2 thoả mãn a1 a2 a2m 1 . Tìm GTNN của biểu thức B x a1 x a2 x a2m 2 x a2m 1 . Bài 98: Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho m2 n2 5 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:Q m n mn 1. 3 4x Bài 99: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K 2x2 2 Bài 100: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: x y z 1. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 16x 4y z Bài 101: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x y z 3 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 x y2 y z2 z 2 Bài 102: Cho hai số x,y thỏa mãn điều kiện x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 y2 Bài 103: Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 4 x y 2010
  7. Bài 104: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z 1. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P . 16x 4y z 1 1 1 Bài 105: Cho a,b,clà 3 số dương thỏa mãn: 2.Tìm giá trị 1 a 1 b 1 c lớn nhất của biểu thức Q abc. Bài 106: Cho 6a 5b 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a2 25b2 Bài 107: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x2 y2 xy x y 1 Bài 108: Cho a,b 0 và a b 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 1 M 1 1 a b Bài 109: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x2 2xy 2y2 4y 5 3 x 1 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B x3 x2 x 1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 2y2 2xy 2x 4y 2013 Bài 110: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 2 x 5 x2 7x 10 B. HƯỚNG DẪN Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 1 2x 1 2x2 3x 1 2017 Lời giải
  8. a)A x 1 2x 1 2x2 3x 1 2017 2x2 3x 1 2x2 3x 1 2017 2 2 2x2 3x 1 2017 2x2 3x 2016 2016 x 0 2 Dấu " "xảy ra 2x 3x 0 x 2x 3 0 3 x 2 x 0 Vậy Amin 2016 3 x 2 Bài 2: a) Tìm GTLN : x2 5y2 2xy 4x 8y 2015 3 x 1 b) Tìm GTLN : x3 x2 x 1 Lời giải a) P= x2 5y2 2xy 4x 8y 2015 P x2 5y2 2xy 4x 8y 2015 P x2 2xy y2 4 x y 4 4y2 4y 1 2010 Bài 1. x y 2 4(x y) 4 2y 1 2 2010 x y 2 2 2y 1 2 2010 2010 3 1 Suy ra MinP 2010 x ; y 2 2 3 x 1 3 x 1 3 x 1 3 b) Q x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x2 1 x 1 x2 1 Q đạt GTLN x2 1đạt GTNN mà x2 1 1 GTLN của C là 3 x 0 Bài 3: Cho a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN)của biểu thức A a a2 2b b b2 a Lời giải 1 1 Do: a b 1 a x,b y với x y 0 2 2 Ta có: A a a2 2b b b2 a a3 b3 ab a2 b2 2 2 1 1 1 2 2 1 x y x y 2 2 2 2 1 1 GTNN A x y 0 a b 2 2 Bài 4: Cho a,b,clà các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
  9. 1 1 1 P a b c a b c Lời giải a a b b c c a b a c b c P 1 1 1 3 b c a c a b b a c a c b P 3 2 2 2 9 Vậy Pmin 9 a b c Bài 5: Cho số thực x thỏa mãn điều kiện 0 x 1.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ x2 1 x2 nhất của biểu thức P 2 x2 1 x2 Lời giải Đặt x2 a,0 a 1.Biểu thức đã cho trở thành: a 1 a a 1 a 2 2 P 1 1 2 2 2 a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a 3 3 2 1 2 1 2 a 1 a 2 a 1 a 3 *) Vì 0 a 1. P 2 1 1 2 a 0 x 0 Đẳng thức xảy ra khi . a 1 x 1 x 0 Vậy MinP 1 x 1 *) 0 a 1nên a và 1 a là hai số không âm Áp dụng BĐT Cô si ta có: a 1 a 1 3 2 a 1 a P 2 1 1 4 4 2 3 4 1 1 1 Đẳng thức xảy ra khi a 1 a a hay x2 x 2 2 2 2 1 Vậy MaxP x 3 2 Bài 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x 2012 2 x 2013 2 Lời giải Ta có:
  10. P x 2012 2 x 2013 2 x2 4024x 4048144 x2 4026x 4052169 2 2 1 2x 2x 8100313 2 x 8100312,5 8100312,5 x 2 1 Vậy MinP 8100312,5 x 2 2015 Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A , với x là số nguyên. x 3 Lời giải - Xét x 3 x 3 0 B 0 - Xét x 3thì do x ¢ nên x 0;1;2 + Khi x 0 B 403 + Khi x 1 x 1 B 503,75 + Khi x 2 x 2 B 2015 Vậy min B 2015 x 2 Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 14x2 8x 9 a) A 3x 1 x 2 4x 3 b) B 3x2 6x 9 Lời giải a) Áp dụng tính chất a a,dấu " "xảy ra a 0,ta có: A 3x 1 x 2 4x 3 3x 1 x 2 4x 3 6 A 6 1 1 Dấu “=” xảy ra 3x 1 0 và x 2 0 x và x 2 x 3 3 1 Vậy min A 6 x 3 2 14x2 8x 9 2 b) Ta có B 3 3x2 6x 9 3 14x2 8x 9 2 x2 2x 3 3 x2 2x 3 2 12x2 12x 3 2x 1 3 x2 2x 3 x 1 2 2 Với mọi x,ta có: 3 2x 1 2 0, x 1 2 2 2 0 2 2x 1 2 2 1 0 B 0 B x x 1 2 2 3 3 2 2 Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 3x 4 Lời giải
  11. 2 2 3 7 7 Ta có: A x 3x 4 x 2 4 4 2 7 49 3 A . Dấu bằng xảy ra x 4 16 2 49 3 Vậy min A x 16 2 Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của : A(x) x 1 x 3 x 4 x 6 10 Lời giải 2 2 A x x 7x 6 x 7x 12 10 2 2 2 Đặt x 7x 6 t A t t t 6 10 t 6t 9 1 t 3 1 1 7 13 x 2 2 Khi đó: t 3 x 7x 6 3 7 13 x 2 7 13 x 2 Vậy MinA x 1 7 13 x 2 Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 13x2 y2 4xy 2y 16x 2015 Lời giải A 13x2 y2 4xy 2y 16x 2015 y2 4xy 2y 13x2 16x 2015 y2 2y 2x 1 2x 1 2 9x2 12x 2015 y 2x 1 2 3x 2 2 2010 2 1 Chứng tỏ A 2010.dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x ; y 3 3 2 x 3 Vậy min A 2010 1 y 3 Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của 27 ― 12 = 2 + 9 Lời giải 2 27 12x x2 9 x2 12x 36 x 6 Ta có: B 1 1 x2 9 x2 9 x2 9 MinB 1 x 6
  12. 2 27 12x 4x2 36 4x2 12x 9 2x 3 Ta có: B 4 4 x2 9 x2 9 x2 9 3 MaxB 4 x 2 Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A a4 2a3 3a2 4a 5 Lời giải Biến đổi để có: A a2 a2 2 2a a2 2 a2 2 3 a2 2 a2 2a 1 3 a2 2 a 1 2 3 Vì a2 2 0a và a 1 2 0a nên a2 2 a 1 2 0a Do đó: a2 2 a 1 2 3 3 a Dấu " "xảy ra khi và chỉ khi a 1 0 a 1 Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của E 2x2 8x 1 Lời giải E 2x2 8x 1 2x2 8x 8 7 2 x 2 2 7 7 x Vậy giá trị nhỏ nhất của E 7 x 2 Bài 15: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x2 2xy 2y2 4y 5 3 x 1 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B x3 x2 x 1 Lời giải a) Ta có: A x2 2xy y2 y2 4y 4 1 x y 2 y 2 2 1 Do x y 2 0; y 2 2 0 Nên A x y 2 y 2 2 1 1 Dấu " "xảy ra 1 x y 2 Vậy GTNN của A là 1 x y 2 3 x 1 3 x 1 3 x 1 3 b) B x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x2 1 x 1 x2 1 3 Do x2 1 1nên B 3.Dấu " "xảy ra x 0 x2 1 Vậy GTLN của B là 3 x 0 Bài 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 2x2 3y2 4xy 8x 2y 18 Lời giải
  13. Ta có: A 2 x2 2xy y2 y2 8x 2y 18 A 2 x y 2 4 x y 4 y2 6y 9 1 A 2 x y 2 2 y 3 2 1 1 x 5 Vậy min A 1 y 3 Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có): M 4x2 4x 5 Lời giải Ta có M 4x2 4x 5 4x2 4x 1 4 2x 1 2 4 Vì 2x 1 2 0 2x 1 2 4 4 M 4 1 Vậy Min 4 x M 2 Bài 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của B 2x2 y2 2xy 8x 2028 Lời giải B 2x2 y2 2xy 8x 2028 x2 2xy y2 x2 8x 16 2012 x y 2 x 4 2 2012 2012 x y 0 x 4 Đẳng thức xảy ra x 4 0 y 4 x 4 Giá trị nhỏ nhất của B là 2012 y 4 x4 2 x2 1 x2 3 Bài 19: Cho biểu thức M x6 1 x4 x2 1 x4 4x2 3 a) Rút gọn M b) Tìm giá trị lớn nhất của M Lời giải a) x 4 2 x 2 1 x 2 3 M x 2 1 x 4 x 2 1 x 4 x 2 1 x 2 1 x 2 3 x 4 2 x 2 1 1 x 2 1 x 4 x 2 1 x 4 x 2 1 x 2 1 4 2 2 4 2 x 2 x 1 x 1 x x 1 x 4 2 x 4 1 x 4 x 2 1 x 2 1 x 4 x 2 1 x 2 1 x 4 x 2 1 2 2 x 4 x 2 x . x 1 x 2 x 2 1 x 4 x 2 1 x 2 1 x 4 x 2 1 x 4 x 2 1 x2 Vậy M với mọi x x4 x2 1 x2 b) Ta có : M với mọi x x4 x2 1 - Nếu x 0 ta có M 0
  14. 1 - Nếu x 0, chia cả tử và mẫu của M cho x2 ta có: M 1 x2 1 x2 2 2 1 2 1 1 1 Ta có: x 2 1 x 2.x. 2 1 x 1 1 x x x x 1 Nên ta có: M 1. Dấu " "xảy ra khi x 1. 1 x2 x2 1 Vậy M lớn nhất là M 1khi x 1 Bài 20: Cho x, y 0 thỏa mãn x 2y 5.Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 24 H x2 2y2 x y Lời giải 1 24 Ta có: H x2 2y2 x y 2 2 1 24 x 2x 1 2y 8y 8 x 2 6y 24 x 2y 17 x y 2 2 2 2 x 1 6 y 2 x 1 2 y 2 x 2y 17 x y 0 0 0 0 5 17 22 2 2 2 2 x 1 6 y 2 Dấu " "xảy ra x 1 2 y 2 0 và x 2y 5 x y x 1và y 2.Vậy H nhỏ nhất là H 22 x 1, y 2 Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 Lời giải B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 *)x2 2x 1 x 1 2 0 x2 2x 3 2 với mọi x ¡ (1) y2 6y 9 y 3 2 0 y2 6y 12 3 với mọi y ¡ (2) B xy x 2 y 6 12x 2 24x 3 y 2 18 y 2045 x 2 2x y 2 6 y 12 x 2 2x 3 y 2 6 y 36 2009 x 2 2x y 2 6 y 12 3 y 2 6 y 12 2009 x 2 2x 3 y 2 6 y 12 2009 (3) Từ 1 , 2 , 3 B 2.3 2009 B 2015 *)B 2015 x 1& y 3 x 1 *)MinB 2015 y 3
  15. Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 4 x y 2010 Lời giải P x2 y2 4 x y 2010 x2 4x 4 y2 4y 4 2018 x 2 2 y 2 2 2018 2018 Vậy Pmin 2018 x y 2 x2 x x 1 1 2 x2 Bài 23: Cho biểu thức P 2 : x 2x 1 x x 1 x a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 Lời giải a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x 1 x x 1 x 1 x 1 x 2 x2 P 2 : x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x2 1 x 2 x2 x x 1 x 1 : : x 1 2 x x 1 x 1 2 x x 1 x x 1 x x 1 x2 . x 1 2 x 1 x 1 b) x2 x2 1 1 x 1 x 1 1 1 P x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 P x 1 x 1 2 x 1 x 1 1 1 Vì x 1nên x 1 0.Áp dụng BĐT Cosi ta có: x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 1 2 Dấu “=” xảy ra x 1 x 1 1 x 1 1 x 2(TM ) x 1 Vậy GTNN của P là 4 x 2 2010x 2680 Bài 24: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 1 Lời giải 2010x 2680 Ta có: A x2 1
  16. 2 335x2 335 335x2 2010x 3015 335 x 3 335 335 x2 1 x2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 335 khi x 3 Bài 25: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 1 2x 1 2x2 3x 1 2017 Lời giải A x 1 2x 1 2x2 3x 1 2017 2x2 3x 1 2x2 3x 1 2017 2 2 2x2 3x 1 2017 2x2 3x 2016 2016 x 0 2 Dấu " " xảy ra 2x 3x 0 x 2x 3 0 3 x 2 x 0 Vậy Amin 2016 3 x 2 x2 x 1 Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức : A x2 x 1 Lời giải 2 2 2 2 x2 x 1 3 x x 1 x x 1 3 x x 1 2x2 4x 2 2 x 1 3 3 3 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 Vậy MaxA 3 x 1 Bài 27: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x2 2xy 2y2 4y 5 b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 3 x 1 B x3 x2 x 1 Lời giải 2 2 a) Ta có: A x2 2xy y2 y2 4y 4 1 x y y 2 1 2 2 2 2 Do x y 0; y 2 0 Nên A x y y 2 1 1 Dấu “=” xảy ra x y 2 Vậy MinA 1 x y 2 3(x 1) 3 x 1 3 b) B x2 x 1 x 1 x 1 x2 1 x2 1 B Do x2 1 1 3 . Đẳng thức xảy ra x 0 x2 1 Vậy MaxB 3 x 0 Bài 28: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x 2006 x 2007 2006 Lời giải Ta có :
  17. P x 2006 x 2007 2006 x 2006 2007 x 2006 x 2006 2007 x 2006 2007 Vậy min P 2007 2006 x 2007 2010x 2680 Bài 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 1 Lời giải 2010x 2680 A x 2 1 2 335x 2 335 335x 2 2010x 3015 335 x 3 335 335 x 2 1 x 2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 335 khi x 3 Bài 30. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A,biết: A x 1 4 x 3 4 6 x 1 2 . x 3 2 Lời giải Đặt a x 1,b 3 xta có: a b 2 2 A a4 b4 6 ab 2 a2 b2 4a2b2 2 a b 2 2ab 4a2b2 4 2ab 2 4a2b2 8a2b2 16ab 16 8 ab 1 2 8 8 Dấu " "xảy ra a b 2 và ab 1 a b 1 x 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 8 tại x 2 Bài 31. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z 1 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 16x 4y z Lời giải 1 1 1 1 1 1 P x y z 16x 4y z 16x 4y z y x z x z y 21 16x 4y 16x z 4y z 16 y x 1 Theo BĐT Cô si ta có: .Dấu " "xảy ra y 2x 16x 4y 4 z x 1 Tương tự: , dấu “=” xảy ra z 4x 16x z 2 z y 1, dấu " "xảy ra z 2y 4y z 49 1 2 4 P .Dấu " "xảy ra x ; y ; z 16 7 7 7
  18. 49 1 2 4 Vậy MinP khi với x ; y ; z 16 7 7 7 Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất : A x2 2xy 6y2 12x 2y 45 Lời giải A x2 2xy 6y2 12x 2y 45 x2 y2 36 2xy 12x 12y 5y2 10y 5 4 x y 6 2 5 y 1 2 4 4 y 1 0 x 7 Giá trị nhỏ nhất A 4 khi x y 6 0 y 1 3x2 6x 10 Bài 33. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B x2 2x 3 Lời giải 3x2 6x 10 1 1 Ta có: B 3 3 x2 2x 3 x2 2x 3 x 1 2 2 1 1 7 Mà 3 3 x 1 2 2 2 2 7 Vậy giá trị lớn nhất của B là x 1 2 Bài 34. Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2. Lời giải Từ giả thiết 0 ≤ a, b, c ≤ 2 suy ra (2 – a)(2 – b)(2 – c) + abc ≥ 0 8 – 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) ≥ 0 8 – 12 + 2ab + 2bc + 2ac ≥ 0 (vì a + b + c = 3) 2ab + 2bc + 2ac ≥ 4 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac ≥ 4 + a2 + b2 + c2 ( a + b + c)2 ≥ 4 + a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 ≤ 5 (vì a + b + c = 3) Dấu đẳng thức xảy ra (a; b; c) = (0; 1; 2) và các hoán vị của bộ số này. Vậy P có GTLN nhất là 5 (a; b; c) = (0; 1; 2) và các hoán vị của bộ số này. 3x2 2x 3 Bài 35. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C . x2 1 Lời giải 3x2 2x 3 2(x2 1) (x2 2x 1) (x 1)2 C = =2 ≥ 2 x2 1 x2 1 x2 1 Vậy min C = 2 x = 1 3x2 2x 3 4(x2 1) (x2 2x 1) (x 1)2 C = =4 ≤ 4 x2 1 x2 1 x2 1 Vậy max C = 4 x = -1
  19. Bài 36. Cho a b 3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 b2 Lời giải a b 2 0 a2 2ab b2 0 a2 b2 2ab (với mọi a,b) a b 3 a b 2 9 a2 b2 2ab 9 2 a2 b2 9 a2 b2 4,5 Vậy giá trị nhỏ nhất của a2 b2 4,5 x2 8x 7 Bài 37. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x2 1 Lời giải 2 x2 8x 7 2x2 8x 8 x2 1 2 x 2 P 1 1 P 1 x 2 x2 1 x2 1 x2 1 min 2 x2 8x 7 9x2 9 8x2 8x 2 2 2x 1 1 P 9 9 P 9 x x2 1 x2 1 x2 1 max 2 Bài 38. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C 4 x2 2x Lời giải C 4 x2 2x 5 x2 2x 1 5 x 1 2 5 Vậy Cmax 5 x 1 Bài 39. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 x y2 y z2 z Lời giải 1 1 1 1 1 1 a) P x2 x y2 y z2 z x x 1 y y 1 z z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x 1 y y 1 z z 1 x y z x 1 y 1 z 1 Áp dụng BĐT 1 1 1 9 và 1 1 1 1 với a,b,cdương, dấu . a b c a b c a b 4 a b bằng xảy ra a b c Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 ; . 1 ; . 1 x 1 4 x y 1 4 y z 1 4 z Bởi vậy : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P . 1 1 1 x y z x 1 y 1 z 1 x y z 4 x y z 3 1 1 1 3 3 9 3 9 3 3 . . 4 x y z 4 4 x y z 4 4 4 2 3 Vậy MinP x y z 1 2 Bài 40: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x y z 1. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 16x 4y z
  20. Lời giải Vì x y z 1 nên: 1 1 1 1 1 1 M x y z 16x 4y z 16x 4y z 21 x y x z y z 16 4y 16x z 16x z 4y Ta có: 2 2 x y 16x2 4y2 4x 2y 2.4x.2y 4x 2y 1 1 x, y 0 4y 16x 64xy 64xy 64xy 4 4 x z 1 y z Tương tự: ; 1 x, y 0 z 16x 2 z 4y 1 x 7 4x 2y z 21 1 1 49 2 Từ đó M 1 . Dấu " "xảy ra x y z 1 y 16 4 2 16 7 x, y, z 0 4 x 7 49 1 2 4 Vậy GTNN của M là x ; y ; z 16 7 7 7 1 1 Bài 41: Cho a 0; b 0 và a2 b2 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q a2 b2 Lời giải 1 1 1 a2 b2 2ab; 2 a2 b2 ab 2 2 1 1 2 1 1 4 2 a b 2ab. 4 a2 b2 ab a2 b2 10 5 2 Vậy MinQ a b 5 5 Bài 42: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2 x 5 x2 7x 10 Lời giải A x 2 x 5 x2 7x 10 x2 7x 10 x2 7x 10 Đặt x2 7x t, ta có biểu thức: A t 10 t 10 t2 100 100 Dấu " " xảy ra t 0 2 x 0 x 7x 0 x 7
  21. x 0 Với thì A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 100 x 7 Bài 43: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x4 2x3 3x2 2x 1 Lời giải P x4 2x3 3x2 2x 1 x4 2x2 1 2x3 2x x2 2 2 x2 1 2x x2 1 x2 x2 x 1 2 2 2 2 1 1 3 1 3 3 3 9 Vì x x 1 x 2x. x P 2 4 4 2 4 4 4 16 1 Dấu " " xảy ra x 2 Bài 44: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a2 b2 a b. Tính giá trị lớn a b nhất của biểu thức: S a 1 b 1 Lời giải Ta có: a2 1 2a; b2 1 2b a2 b2 2 2a 2b a b 2 1 1 4 Chứng minh được với hai số dương x,y thì x y x y 1 1 4 Do đó: S 2 2 1 a 1 b 1 a 1 b 1 Vậy GTLN của S là 1, dạt được khi a b 1 Bài 45: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x y z 1. Tìm giá trị nhỏ 1 1 1 nhất của biểu thức P 16x 4y z Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1 1 y x z x z y 21 P x y z 16x 4y z 16x 4y z 16x 4y 16x z 4y z 16 y x 1 Theo BĐT cô si ta có: .Dấu “=” xảy ra y 2x 16x 4y 4 z x 1 Tương tự: , dấu “=” xảy ra z 4x 16x z 2 z y 1, dấu “=” xảy ra z 2y; 4y z 49 1 2 4 P . Dấu “=” xảy ra khi x ; y ; z 16 7 7 7 49 1 2 4 Vậy MinP x ; y ; z 16 7 7 7 2 2 Bài 46: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x 2012 x 2013 Lời giải
  22. 2 2 P x 2012 x 2013 x2 4024x 4048144 x2 4026x 4052169 2 2 1 2x 2x 8100313 2 x 8100312,5 8100312,5 x 2 1 Vậy MinP 8100312,5 x 2 Bài 47: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 Lời giải B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 2 *)x2 2x 1 x 1 0 x2 2x 3 2 với mọi x ¡ (1) 2 y2 6y 9 y 3 0 y2 6y 12 3 với mọi y ¡ (2) B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 x2 2x y2 6y 12 x2 2x 3 y2 6y 36 2009 x2 2x y2 6y 12 3 y2 6y 12 2009 x2 2x 3 y2 6y 12 2009 (3) Từ 1 , 2 , 3 B 2.3 2009 B 2015 *)B 2015 x 1& y 3 x 1 *)MinB 2015 y 3 x4 2 x2 1 x2 3 Bài 48: Cho biểu thức M x6 1 x4 x2 1 x4 4x2 3 a) Rút gọn M b) Tìm giá trị lớn nhất của M Lời giải x4 2 x2 1 x2 3 a)M x2 1 x4 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x2 3 x4 2 x2 1 1 x2 1 x4 x2 1 x4 x2 1 x2 1 4 2 2 4 2 x 2 x 1 x 1 x x 1 x4 2 x4 1 x4 x2 1 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x4 x2 1 2 2 x4 x2 x . x 1 x2 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x4 x2 1 x4 x2 1 x2 Vậy M với mọi x x4 x2 1 x2 b) Ta có : M với mọi x x4 x2 1 - Nếu x 0 ta có M 0
  23. 1 - Nếu x 0 , chia cả tử và mẫu của M cho x2 ta có: M 1 x2 1 x2 2 2 1 2 1 1 1 Ta có: x 1 x 2.x. 1 x 1 1 x2 x x2 x 1 Nên ta có: M 1. Dấu " " xảy ra khi x 1. 1 x2 x2 1 Vậy M lớn nhất là M 1khi x 1 Bài 49: Cho x,y 0 thỏa mãn x 2y 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 24 H x2 2y2 x y Lời giải 1 24 Ta có: H x2 2y2 x y 2 2 1 24 x 2x 1 2y 8y 8 x 2 6y 24 x 2y 17 x y 2 2 2 2 x 1 6 y 2 x 1 2 y 2 x 2y 17 x y 0 0 0 0 5 17 22 2 2 2 2 x 1 6 y 2 Dấu " " xảy ra x 1 2 y 2 0 và x 2y 5 x y x 1 và y 2.Vậy H nhỏ nhất là H 22 x 1,y 2 Bài 50: Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 4 x y 2010 Lời giải P x2 y2 4 x y 2010 x2 4x 4 y2 4y 4 2018 2 2 x 2 y 2 2018 2018 Vậy Pmin 2018 x y 2 Bài 51: Cho a,b,c 0;1và a b c 2.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a2 b2 c2 Lời giải Vì a,b,c 0;1 1 a 1 b 1 c 0 Ta có: 1 a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ac abc Vi a b c 2 1 ab bc ac abc 0 ab bc ac abc 1 1(Vi abc 0) 2 ab bc ac 2 Lại có: a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ac P a2 b2 c2 a b c 2 2 ab bc ac 4 2 ab bc ac 4 2 2 Vậy Pmax 2 a,b,c là hoán vị của 0;1;1
  24. Bài 52: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x2 2xy 2y2 4y 5 3 x 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B x3 x2 x 1 Lời giải a) Ta có: A x2 2xy y2 y2 4y 4 1 x y 2 y 2 2 1 Do x y 2 0; y 2 2 0 Nên A x y 2 y 2 2 1 1 Dấu " "xảy ra x y 2 Vậy GTNN của A là 1 x y 2 3 x 1 3 x 1 3 x 1 3 B) B x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x2 1 x 1 x2 1 3 Do x2 1 1nên B 3.Dấu " "xảy ra x 0 x2 1 Vậy GTLN của B là 3 x 0 2010x 2680 Bài 53: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 1 Lời giải 2010x 2680 A x 2 1 2 335x 2 335 335x 2 2010x 3015 335 x 3 335 335 x 2 1 x 2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 335 khi x 3 Bài 54: Tìm các giá trị của x để biểu thức: P x 1 x 2 x 3 x 6 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Lời giải 2 P x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x 6 x2 5x 6 x2 5x 36 2 2 Ta thấy x2 5x 0 nên P x2 5x 36 36 2 x 0 Do dó MinP 36 x 5x 0 x 5 Bài 55: Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 4 x y 2010 Lời giải P x2 y2 4 x y 2010 x2 4x 4 y2 4y 4 2018 x 2 2 y 2 2 2018 2018 Vậy Pmin 2018 x y 2 Bài 56: Tìm giá trị nhỏ nhất của E 2x2 – 8x 1. Lời giải E 2x2 – 8x 1
  25. 2x2 – 8x 8 7 2 x2 – 4x 4 – 7 2 x – 2 2 – 7 7 Vậy giá trị nhỏ nhất của E 7 khi x 2 Bài 57: Tìm giá trị nhỏ nhất của M 4x2 4x 5 Lời giải Ta có : M 4x2 4x 5 2x 2 2.2x.1 1 4 2x 1 2 4 Vì 2x 1 2 0 2x 1 2 4 4 M 4 Vậy GTNN của M 4 x 0,5 x2 2x 3 Bài 58: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A . x2 2 Lời giải: HD: + Tìm GTLN: 2 2 2 x2 2x 3 2 x 2 x 1 x 1 Ta có: A 2 2 x2 2 x2 2 x2 2 Dấu “ =” x 1 2 0 x 1 Suy ra GTLN(A) = 2 x 1 . + Tìm GTNN: 2 2 2 x2 2x 3 2x2 4x 6 x 2 x 2 1 x 2 1 Ta có: A x2 2 2. x2 2 2. x2 2 2 x2 2 2 Dấu “ =” x 2 2 0 x 2 1 Suy ra GTNN(A) = x 2 2 Bài 59: Tìm giá trị của biến x để: 1 x2 x 1 a) P đạt giá trị lớn nhất b) Q đạt giá trị nhỏ x2 2x 6 x2 2x 1 nhất Lời giải: 1 a) P đạt giá trị lớn nhất. x2 2x 6 1 1 1 2 HD: Ta có: P ( Vì 1 > 0 và x 1 5 5 ) 2 2 x 2x 6 x 1 5 5 Dấu « = » x 1 2 0 x 1 1 Suy ra GTLN(P) = x 1 . 5 x2 x 1 b) Q đạt giá trị nhỏ nhất x2 2x 1 HD: ĐKXĐ: x 1 2 x2 x 1 x 1 x 1 1 1 1 Ta có: Q 1 2 2 2 x 2x 1 x 1 x 1 x 1
  26. 2 1 2 1 3 3 Đặt t . Ta có: Q 1 t t t x 1 2 4 4 1 1 1 1 Dấu « = » t 0 t x 1 2 2 x 1 2 3 Suy ra GTNN(Q) = x 1 4 Bài 60 : a) Tìm GTLN của A x 4 2 x 4 9x 2 b) Tìm GTNN của biểu thức B , với 0 x 2 2 x x Lời giải: a) Tìm GTLN của A x 4 2 x 4 2 Ta có: A x 4 2 x 4 2 x 4 x 4 2 Đặt t x 4 0 , khi đó: A 2t t 2 t 1 1 1 x 3 Dấu “=” t 1 0 x 4 1 0 x 5 x 3 Suy ra GTLN A 1 x 5 9x 2 b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B , với 0 x 2 . 2 x x 9x 2 9x 2 x 9x 2 x Ta có: B 1 2  1 2 9 1 7 2 x x 2 x x 2 x x 9x 2 x 1 Dấu “ =” x 2 x x 2 1 Vậy, GTNN(B) =7 x . 2 a b Chú ý: BĐT AM-GM cho 2 số a,b không âm, ta có: ab . Dấu “=” 2 a b 0 9x 2 9x 2 x * Cách biến đổi B : Ta viết B m. n. p . 2 x x 2 x x Biến đổi và đồng nhất thức hai vế, suy ra m 1,n 1, p 1 . Bài 61: Tìm GTNN của: 16 x2 2x 2018 a) A x 2007, x 3 ; b) B , x 0 ; c) x 3 2018x2 x3 2000 C , x 0 x Lời giải: Tìm GTNN của: a) Ta có: 16 16 16 A x 2007 x 3 2010 2. x 3 2010 2.4 2010 2018 x 3 x 3 x 3 16 ( Vì x 3 nên x 3 0 , dùng BĐT Cô-si cho hai số dương x 3 và ) x 3
  27. 16 Dấu « = » x 3 , x 3 x 7 x 3 Suy ra GTNN A 2018 x 7 . x2 2x 2018 b) B , x 0 2018x2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2  2 2  2018 2018 x x x x 2018 2018 2018 2018 2 1 1 2017 2017 2 2 x 2018 2018 2018 1 1 Dấu “=” 0 x 2018 ( thỏa x 0 ) x 2018 2017 Suy ra GTNN B x 2018 20182 x3 2000 c) C , x 0 x 2000 1000 1000 1000 1000 x2 x2 33 x2   3.100 300 x x x x x 1000 Dấu “=” x2 x 10 ( thỏa x 0 ) x Suy ra GTNN C 300 x 10 . Bài 62: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện: 3x y 1 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3x2 y2 ; b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N xy Lời giải: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3x2 y2 Từ 3x y 1 y 3x 1 , Khi đó, M 3x2 y2 3x2 3x 1 2 3x2 9x2 6x 1 2 2 1 1 2 1 1 1 12x 6x 1 12 x x 12 x 2.x 2 12 4 16 48 2 1 1 1 12 x 4 4 4 1 1 Dấu “=” x ; y 4 4 1 1 1 Suy ra GTNN M x ; y 4 4 4 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N xy Từ 3x y 1 y 3x 1 , 2 2 1 Khi đó, N xy x 3x 1 3x x 3 x x 3 2 2 1 1 1 1 1 1 3 x 2.x 3 x 6 36 36 6 12 12
  28. 1 1 Dấu « = » x 0 x 6 6 1 1 Suy ra GTLN N x 12 6 Bài 63: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn 2x 3y 7 . 8 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q x y b) Tìm GTLN của A x2 y2 xy x y Lời giải: 8 3 8 3 a) Ta có : Q 2x 3y 7 x y x y 8 3 2 .2x 2 .3y 7 2.4 2.3 7 7 x y 2x 3y 7 8 2x x x 2 Dấu “=” 3 y 1 3y y x, y 0 Suy ra GTNN(Q) = 7 x 2, y 1 . b) Ta có:A x2 y2 xy x y 2A x2 2xy y2 x2 2x 1 y2 2y 1 2 x y 2 x 1 2 y 1 2 2 2 A 1 Dấu “=” x y 1 Suy ra GTLN(A) = 1 x y 1 Bài 64: a) Cho x y 1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x3 y3 b) Tìm GTNN của B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2023 Lời giải: a) Ta có: A x3 y3 x y x2 xy y2 x2 xy y2 ( Vì x y 1 ) x2 x 1 x 1 x 2 ( Vì y 1 x ) 2 2 1 1 1 1 3 x x 3 x 3 2 4 4 1 Dấu “=” x y 2 1 1 Suy ra GTNN A x y . 4 4 b) Tìm GTNN của B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2023 Ta có: B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2023
  29. 4x2 4xy y2 y2 4y 4 x2 2x 1 2018 2x y 2 y 2 2 x 1 2 2018 2018 2x y 0 x 1 Dấu “=” y 2 0 y 2 x 1 0 Suy ra GTNN B 2018 x 1 và y 2 . 2 2 Bài 65: a) Tìm GTNN của Abiết x y x y 4 b) Tìm GTNN của B x4 3 x 2 c) Tìm GTNN của C x 1 x 3 x 5 x 7 x d) Tìm GTLN của D x với x 0 x 2019 2 Lời giải: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A x2 y2 biết x y 4 2 2 * Cách 1 : Ta có: x + y = 4 x + 2xy + y = 16 (1) 2 2 2 Ta lại có: (x y) 0 x - 2xy + y 0 (2) 2 2 2 2 Từ (1) và (2) suy ra 2x + 2y 16 x + y 8 Vậy giá trị nhỏ nhất của A x2 y2 8 x y 2 * Cách 2: Ta có : x y 4 y 4 x Suy ra A x2 y2 x2 4 x 2 2x2 8x 16 2 x 2 2 8 8 x 2 0 x 2 Dấu “=” y 4 x y 2 Vậy, GTNN A 8 x y 2 . b) Ta có : B x4 3 x 2 x4 2x2 1 3 x2 2x 1 5 2 x2 1 3 x 1 2 5 5 x2 1 0 Dấu “=” x 1 x 1 0 Suy ra GTNN (B ) = 5 x 1 c) Ta có: C x 1 x 3 x 5 x 7 x2 4x 5 x2 4x 21 5 21 Đặt t x2 4x 13 ( chú ý : 13 ) 2 Khi đó, C t 8 t 8 t 2 64 64 2 x 2 17 Dấu “=” t 0 x2 4x 13 0 x 2 17 x 2 17 x d) Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt GTLN: D x với x 0 x 2019 2 *Cách 1: Đặt a 2019
  30. Khi đó 2 2 2 2 2 x x a x a 4ax x a x a 1 x a 1 D x x a 2 4a x a 2 4a x a 2 4a 4a x a 2 4a ( Vì a 0, x 0 ). Dấu “=” x a 0 x a . 1 1 Suy ra GTLN D x x a 2019 . 4a 4.2019 *Cách 2: Đặt a 2019 0 2 2 1 1 Ta có: x a 0 x a 4ax ( Vì a 0, x 0 nên 4ax 0 ) x a 2 4ax x x 1 Suy ra D x ( Vì a 0, x 0 ) x a 2 4ax 4a Dấu “=” x a 0 x a . 1 1 Suy ra GTLN D x x a 2019 . 4a 4.2019 2 Bài 66: Tìm giá trị nhỏ nhất của Q 2x 3 4 2x 3 7và các giá trị của x tương ứng. Lời giải: 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của Q 2x 3 4 2x 3 7 và các giá trị của x tương ứng. Ta biết: A 2 A2 . Đặt: X 2x 3 , X 0 . Khi đó biểu thức (*) viết thành: Q X 2 4X 7 X 2 2 3 3 . Dấu “=” xảy ra X 2 2x 3 2 2x 3 2 . 2x 3 2 5 *) 2x 3 2 2x 5 x . 2 1 *) 2x 3 2 2x 1 x . 2 1 x 2 Vậy minP 3 5 x 2 Bài 67: Cho x, y 0 thỏa mãn x 2y 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 24 H x2 2y2 GTLN x y Lời giải 1 24 Ta có: H x2 2y2 x y 2 2 1 24 x 2x 1 2y 8y 8 x 2 6y 24 x 2y 17 x y
  31. 2 2 2 2 x 1 6 y 2 x 1 2 y 2 x 2y 17 x y 0 0 0 0 5 17 22 2 2 2 2 x 1 6 y 2 Dấu " "xảy ra x 1 2 y 2 0 và x 2y 5 x y x 1và y 2.Vậy H nhỏ nhất là H 22 x 1, y 2 Bài 68: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a2 b2 a b. Tính giá trị lớn a b nhất của biểu thức: S a 1 b 1 Lời giải Ta có: a2 1 2a;b2 1 2b a2 b2 2 2a 2b a b 2 1 1 4 Chứng minh được với hai số dương x, y thì x y x y 1 1 4 Do đó: S 2 2 1 a 1 b 1 a 1 b 1 Vậy GTLN của S là 1, dạt được khi a b 1 Bài 69: Cho hai số dương a,b thỏa mãn: a2 b2 2 a3 b3 Tìm giá trị nhỏ nhất của M 2016a 2017b 2017a 2016b Lời giải a3 a 2016a 2017b M 2 2016a 2017b 4033 2 2 b3 b 2017a 2016b 2016 a b 4034ab 2 2 2017a 2016b 4033 4033 2 2 2 2 a b 2 2 2016 a b 4034. 2 2 2a 2b a b 2 2 4033 4033 40332 4033 4033 2 M . Dấu " "xảy ra a b 1 4033 2 Vậy GTNN của M a b 1 4033 Bài 70: Cho x, y, z là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của : x4 y4 z4 biết x y z 2 Lời giải Áp dụng công thức Bunhiacopski ta có: 2 2 x y z 4 x y z 2 3 x y z 2 2 9 x2 y2 z2 27 x4 y4 z4 16 16 27 x4 y4 z4 x4 y4 z4 27 16 2 Vậy GTNN của x4 y4 z4 là x y z 27 3
  32. Bài 71: Tìm các giá trị của x để biểu thức: P x 1 x 2 x 3 x 6 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Lời giải 2 P x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x 6 x2 5x 6 x2 5x 36 2 2 Ta thấy x2 5x 0 nên P x2 5x 36 36 2 x 0 Do dó MinP 36 x 5x 0 x 5 Bài 72: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức L x4 4x3 7x2 12x 20 Lời giải L x4 4x3 7x2 12x 20 x4 4x3 4x2 3x2 12x 12 8 x2 x2 4x 4 3 x2 4x 4 8 x 2 2 x2 3 8 Do x 2 2 0(x); x2 3 0 x L 8 x Đẳng thức xảy ra x 2 2 0 x 2. Vậy với x 2 thì L có giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của L là 8 2010x 2680 Bài 73: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . x2 1 Lời giải 2010x 2680 A x2 1 2 335x2 335 335x2 2010x 3015 335 x 3 335 335 x2 1 x2 1 Vậy GTNN của A là 335 khi x 3 Bài 74: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 Lời giải B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 2 *)x2 2x 1 x 1 0 x2 2x 3 2 với mọi x ¡ (1) 2 y2 6y 9 y 3 0 y2 6y 12 3 với mọi y ¡ (2) B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 x2 2x y2 6y 12 x2 2x 3 y2 6y 36 2009 x2 2x y2 6y 12 3 y2 6y 12 2009 x2 2x 3 y2 6y 12 2009 (3) Từ 1 , 2 , 3 B 2.3 2009 B 2015 *)B 2015 x 1& y 3 x 1 *)MinB 2015 y 3 x y z Bài 75: Cho x, y, z 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P y z z x x y Lời giải
  33. a b c Đặt y z a; z x b; x y c x y z 2 a b c a b c a b c x ; y ; z 2 2 2 a b c a b c a b c P 2a 2b 2c 1 b c a c a b . 1 1 1 2 a a b b c c 1 b a c a b c 3 . 3 2 a b a c c b 2 3 MinP a b c x y z 2 x2 2x 3 Bài 76: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A . x2 2 Lời giải + Tìm GTLN: 2 2 2 x2 2x 3 2 x 2 x 1 x 1 Ta có: A 2 2 x2 2 x2 2 x2 2 Dấu “ =” x 1 2 0 x 1 Suy ra GTLN(A) = 2 x 1 . + Tìm GTNN: 2 2 2 x2 2x 3 2x2 4x 6 x 2 x 2 1 x 2 1 Ta có: A x2 2 2. x2 2 2. x2 2 2 x2 2 2 Dấu “ =” x 2 2 0 x 2 1 Suy ra GTNN(A) = x 2 2 Bài 77: Tìm giá trị của biến x để: 2 1 x x 1 a) P đạt giá trị lớn nhất b) Q đạt giá trị nhỏ x2 2x 6 x 2 2 x 1 nhất Lời giải a) 1 1 1 2 Ta có: P ( Vì 1 > 0 và x 1 5 5 ) 2 2 x 2x 6 x 1 5 5 Dấu « = » x 1 2 0 x 1 1 Suy ra GTLN(P) = x 1 . 5 b) ĐKXĐ: x 1 2 x2 x 1 x 1 x 1 1 1 1 Ta có: Q 1 2 2 2 x 2x 1 x 1 x 1 x 1 2 1 2 1 3 3 Đặt t . Ta có: Q 1 t t t x 1 2 4 4
  34. 1 1 1 1 Dấu « = » t 0 t x 1 2 2 x 1 2 3 Suy ra GTNN(Q) = x 1 4 Bài 78: a) Tìm GTLN của A x 4 2 x 4 9x 2 b) Tìm GTNN của biểu thức B , với 0 x 2 2 x x Lời giải a) Tìm GTLN của A x 4 2 x 4 2 Ta có: A x 4 2 x 4 2 x 4 x 4 2 Đặt t x 4 0 , khi đó: A 2t t 2 t 1 1 1 x 3 Dấu “=” t 1 0 x 4 1 0 x 5 x 3 Suy ra GTLN A 1 x 5 9x 2 b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B , với 0 x 2 . 2 x x 9x 2 9x 2 x 9x 2 x Ta có: B 1 2  1 2 9 1 7 2 x x 2 x x 2 x x 9x 2 x 1 Dấu “ =” x 2 x x 2 1 Vậy, GTNN(B) =7 x . 2 Bài 79: Tìm GTNN của: 16 x2 2x 2018 a) A x 2007, x 3 ; b) B , x 0 ; c) x 3 2018x2 x3 2000 C , x 0 x Lời giải a) Ta có: 16 16 16 A x 2007 x 3 2010 2. x 3 2010 2.4 2010 2018 x 3 x 3 x 3 16 ( Vì x 3 nên x 3 0 , dùng BĐT Cô-si cho hai số dương x 3 và ) x 3 16 Dấu « = » x 3 , x 3 x 7 x 3 Suy ra GTNN A 2018 x 7 . x2 2x 2018 b)Ta có B , x 0 2018x2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2  2 2  2018 2018 x x x x 2018 2018 2018 2018
  35. 2 1 1 2017 2017 2 2 x 2018 2018 2018 1 1 Dấu “=” 0 x 2018 ( thỏa x 0 ) x 2018 2017 Suy ra GTNN B x 2018 20182 x3 2000 c) C , x 0 x 2000 1000 1000 1000 1000 x2 x2 33 x2   3.100 300 x x x x x 1000 Dấu “=” x2 x 10 ( thỏa x 0 ) x Suy ra GTNN C 300 x 10 . Bài 80: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện: 3x y 1 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3x2 y2 ; b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N xy Lời giải c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3x2 y2 Từ 3x y 1 y 3x 1 , Khi đó, M 3x2 y2 3x2 3x 1 2 3x2 9x2 6x 1 2 2 1 1 2 1 1 1 12x 6x 1 12 x x 12 x 2.x 2 12 4 16 48 2 1 1 1 12 x 4 4 4 1 1 Dấu “=” x ; y 4 4 1 1 1 Suy ra GTNN M x ; y 4 4 4 d) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N xy Từ 3x y 1 y 3x 1 , 2 2 1 Khi đó, N xy x 3x 1 3x x 3 x x 3 2 2 1 1 1 1 1 1 3 x 2.x 3 x 6 36 36 6 12 12 1 1 Dấu « = » x 0 x 6 6 1 1 Suy ra GTLN N x 12 6 Bài 81: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn 2x 3y 7 . Tìm giá trị nhỏ nhất 8 3 của biểu thức Q x y e) Tìm GTLN của A x2 y2 xy x y Lời giải
  36. 8 3 8 3 a) Ta có : Q 2x 3y 7 x y x y 8 3 2 .2x 2 .3y 7 2.4 2.3 7 7 x y 2x 3y 7 8 2x x x 2 Dấu “=” 3 y 1 3y y x, y 0 Suy ra GTNN(Q) = 7 x 2, y 1 . b) Ta có:A x2 y2 xy x y 2A x2 2xy y2 x2 2x 1 y2 2y 1 2 x y 2 x 1 2 y 1 2 2 2 A 1 Dấu “=” x y 1 Suy ra GTLN(A) = 1 x y 1 Bài 82: a) Tìm GTNN của Abiết x 2 y2 x y 4 b) Tìm GTNN của B x4 3 x 2 c) Tìm GTNN của C x 1 x 3 x 5 x 7 x d) Tìm GTLN của D x với x 0 x 2019 2 Lời giải 2 2 a) * Cách 1 : Ta có: x + y = 4 x + 2xy + y = 16 (1) 2 2 2 Ta lại có: (x y) 0 x - 2xy + y 0 (2) 2 2 2 2 Từ (1) và (2) suy ra 2x + 2y 16 x + y 8 Vậy giá trị nhỏ nhất của A x2 y2 8 x y 2 * Cách 2: Ta có : x y 4 y 4 x Suy ra A x2 y2 x2 4 x 2 2x2 8x 16 2 x 2 2 8 8 x 2 0 x 2 Dấu “=” y 4 x y 2 Vậy, GTNN A 8 x y 2 . b) Ta có : B x4 3 x 2 x4 2x2 1 3 x2 2x 1 5 2 x2 1 3 x 1 2 5 5 x2 1 0 Dấu “=” x 1 x 1 0 Suy ra GTNN (B ) = 5 x 1 c) Ta có: C x 1 x 3 x 5 x 7 x2 4x 5 x2 4x 21
  37. 5 21 Đặt t x2 4x 13 ( chú ý : 13 ) 2 Khi đó, C t 8 t 8 t 2 64 64 2 x 2 17 Dấu “=” t 0 x2 4x 13 0 x 2 17 x 2 17 x d) Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt GTLN: D x với x 0 x 2019 2 *Cách 1: Đặt a 2019 Khi đó 2 2 2 2 2 x x a x a 4ax x a x a 1 x a 1 D x x a 2 4a x a 2 4a x a 2 4a 4a x a 2 4a ( Vì a 0, x 0 ). Dấu “=” x a 0 x a . 1 1 Suy ra GTLN D x x a 2019 . 4a 4.2019 *Cách 2: Đặt a 2019 0 2 2 1 1 Ta có: x a 0 x a 4ax ( Vì a 0, x 0 nên 4ax 0 ) x a 2 4ax x x 1 Suy ra D x ( Vì a 0, x 0 ) x a 2 4ax 4a Dấu “=” x a 0 x a . 1 1 Suy ra GTLN D x x a 2019 . 4a 4.2019 Bài 83: : a) Cho x y 1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x3 y3 b) Tìm GTNN của B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2023 Lời giải a) Ta có: A x3 y3 x y x2 xy y2 x2 xy y2 ( Vì x y 1 ) x2 x 1 x 1 x 2 ( Vì y 1 x ) 2 1 3 x x 3 2 1 1 1 3 x 2 4 4 1 Dấu “=” x y 2 1 1 Suy ra GTNN A x y . 4 4 b) Tìm GTNN của B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2023 Ta có: B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2023 4x2 4xy y2 y2 4y 4 x2 2x 1 2018 2x y 2 y 2 2 x 1 2 2018 2018
  38. 2x y 0 x 1 Dấu “=” y 2 0 y 2 x 1 0 Suy ra GTNN B 2018 x 1 và y 2 . 2 Bài 84: Tìm giá trị nhỏ nhất của Q 2x 3 4 2x 3 7 và các giá trị của x tương ứng. Lời giải Ta biết: A 2 A2 . Đặt: X 2x 3 , X 0 . Khi đó biểu thức (*) viết thành: Q X 2 4X 7 X 2 2 3 3 . Dấu “=” xảy ra X 2 2x 3 2 2x 3 2 . 2x 3 2 5 *) 2x 3 2 2x 5 x . 2 1 *) 2x 3 2 2x 1 x . 2 1 x 2 Vậy minP 3 5 x 2 2 2 1 1 Bài 85: Cho a 0;b 0 và a b 10.Tìm giá trị nhỏ nhất của Q a 2 b 2 Lời giải Ta có: 1 1 1 a 2 b 2 2ab; 2 a 2 b 2 ab 2 2 1 1 2 1 1 4 2 a b 2 2 2ab. 4 2 2 a b ab a b 10 5 2 Vậy M inQ a b 5 5 Bài 86: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x4 +2x3 +3x2 +2x + 1 Lời giải Ta có: P = x4 +2x3 +3x2 +2x + 1 = (x4 + 2x2 + 1) + (2x3 + 2x) + x2 = (x2 + 1)2 +2x (x2 + 1) + x2 = (x2 + x + 1)2 3 2 3 3 Vì x2 + x + 1 = 2 + 2 . 1 + 1 + = + 1 + ≥ 2 4 4 2 4 4 2 9 Suy ra : 푃 ≥ 3 = 4 16 ―1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = 2 Bài 87: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a 2 + b2 = a + b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: a b S = + a + 1 b + 1 Lời giải
  39. Ta có: 2 +1 ≥ 2 ; 2 +1 ≥ 2 ; 2 +1 ≥ 2 + ≤ 2 1 1 4 Chứng minh được với hai số dương x,y thì + ≥ + 4 Do đó: 푆 = 2 ― 1 + 1 ≤ 2 ― ≤ 1 + 1 + 1 + 1 + + 1 Vậy GTLN của S là 1, dạt được khi a = b = 1 Bài 88: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x + y + z =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 1 1 1 P = + + 16x 4y z Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1 1 y x z x z y P = + + = (x + y + z) + + = + + + + + 16x 4y z 16x 4y z 16x 4y 16x z 4y z 21 + 16 y x 1 Theo BĐT cô si ta có : 16x + 4y ≥ 4. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y = 2x z x 1 Tương tự : 16x + z ≥ 2. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z = 4x z y 4y + z ≥ 1 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z = 2y 49 1 2 4 Suy ra: P ≥ 16. Dấu “=” xảy ra khi x = 7;y = 7;z = 7 49 1 2 4 Vậy: Min P = 16 x = 7;y = 7;z = 7 Bài 89: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = (x ― 2012)2 + (x + 2013)2 Lời giải Ta có: 푃 = ( ― 2012)2 + ( + 2013)2 = 2 ― 4024 + 4048144 + 2 + 4026 + 4052169 1 2 = 2 2 + 2 + 8100313 = 2 + + 8100312,5 ≥ 8100312,5 ∀ 2 1 Vậy Min P = 8100312,5 = ― 2 2010x 2680 Bài 90: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 1 Lời giải 2 2010x 2680 335x2 335 335x2 2010x 3015 335 x 3 A 335 335 x2 1 x2 1 x2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 335 khi x 3 Bài 91: a. Tìm giá trị lớn nhất của tổng x + y + z biết rằng x + 5y = 21 và 2x + 3z = 51 với x, y, z 0 b. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các phân thức B = 4x 3 x2 1 Lời giải a) Cộng vế với vế của các đẳng thức x + 5y = 21 và 2x + 3z =51 ta được 3(x + y + z) + 2y = 72 Như vậy 3(x + y + z) lớn nhất khi và chỉ khi 2y nhỏ nhất . Mặt khác y 0 nên 2y nhỏ nhất khi y = 0 x = 21 và z = 3 Do đó 3(x + y + z) lớn nhất bằng 72 x + y + z lớn nhất bằng 24 khi x = 21; y = 0 và z = 3
  40. 4x 3 x2 4x 4 x2 1 (x 2)2 b) Ta có = 1 1 minB = -1 với x = -2 x2 1 x2 1 x2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của B là B = -1 khi x = -2 Mặt khác ta lại có 4x 3 = x2 1 4x2 4 4x2 4x 1 4(x2 1) (4x2 4x 1) (2x 1)2 4 4 x2 1 x2 1 x2 1 1 maxB = 4 với x = 2 Vậy giá trị lớn nhất của B là B = 4 khi x = 1 2 Bài 92: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x4 2x2 3 x2 1 9 . Lời giải Ta có P x4 2x2 3 x2 1 9 = (x2 1)2 3 x2 1 10 3 49 49 ( x2 1 )2 2 4 4 3 10 Đẳng thức xảy ra khi x2 1 0 x 2 2 49 10 Vậy Min P = khi x 4 2 2012 Bài 93: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x2 y2 20(x y) 2213 Lời giải Ta có x2 y2 20(x y) 2213 (x 10)2 (y 10)2 2013 2013 với mọi x, y. 2012 2012 P (x 10)2 (y 10)2 2013 2013 P = 2012 khi x = 10 và y = 10 2013 Vậy Max P = 2012 khi x = 10 và y = 10. 2013 Bài 94: Cho các số a, b,c thỏa mãn a + b + c = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 thức P = a2 + b2 + c2 Lời giải 2 1 Ta có: a 0 với mọi a 2 1 a2 a 0 với mọi a 4 1 a2 a với mọi a (1) 4 1 Tương tự: b2 b với mọi b (2) 4 1 c2 c với mọi c (3) 4 Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được :
  41. 3 a2 b2 c2 a b c . 4 3 3 Vì a b c nên: P = a2 b2 c2 2 4 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1 . 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 3 đạt được khi và chỉ khi a = b = c = 1 . 4 2 Bài 95: Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 Q (1 )(1 ) xy x2 y2 Lời giải 1 1 Q (1 )(1 ) xy x2 y2 1 1 1 x2 y2 1 = 1 xy 1 xy y2 x2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 (x y)2 2xy 1 1 2xy 1 2 = 1 xy 1 xy 1 xy x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 xy 1 Áp dụng BĐT AM-GM ta có x y 2 xy 1 4xy 4 (*) xy 2 1 31 Q 1 xy 1 (xy ) xy 16xy 16xy Áp dụng BĐT AM-GM và kết hợp (*) ta có: 1 31 37 Q 1 4 2 16 4 1 37 1 Đẳng thức xảy ra x y . Vậy MinQ khi x y . 2 4 2 Bài 96: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 xy , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: x2013 y2013 2x1006 y1006 . Lời giải Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 xy , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: x2013 y2013 2x1006 y1006 . 2 Ta có: x2013 y2013 2x1006 y1006 x2013 y2013 4x2012 y2012 (2) 2 Mặt khác: x2013 y2013 4x2013 y2013 (3) Từ (2) và (3) suy ra: 4x2012 y2012 4x2013 y2013 Hay : 4x2012 y2012 (1 xy) 0 .Do đó P 1 xy 0 . Đẳng thức xảy ra khi: xy 1 x2013 y2013 1 (4). x2013 y2013 1 x 1 Từ (1) và (4) ta có: 2013 2013 . x y 2 y 1 Vậy Min (P) = 0 khi x = y =1.
  42. Bài 97: a) Cho a1,a2 , ,a2m ,m N * thoả mãn a1 a2 a2m . Tìm GTNN của biểu thức A x a1 x a2 x a2m 1 x a2m . b) Cho a1,a2 , ,a2m 1,m N,m 2 thoả mãn a1 a2 a2m 1 . Tìm GTNN của biểu thức B x a1 x a2 x a2m 2 x a2m 1 . Lời giải a) Ta có: A x a1 x a2 x a2m 1 x a2m x a1 x a2 x am am 1 x am 2 x a2m x x a1 x a2 x am am 1 x am 2 x a2m x am 1 am 2 a2m a1 a2 am Dấu “=” am x am 1 . Vậy, GTNN A am 1 am 2 a2m a1 a2 am . Dấu “=” am x am 1 . b) Ta có: B x a1 x a2 x a2m 2 x a2m 1 x a1 x a2 x am am 1 x am 2 x a2m 1 x x a1 x a2 x am 1 0 am 1 x am 2 x a2m 1 x am 1 am 2 a2m 1 a1 a2 am 1 Dấu “=” x am . Vậy, GTNN B am 1 am 2 a2m 1 a1 a2 am 1 . Dấu “=” x am . Bài 98: Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho m2 n2 5 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:Q m n mn 1. Lời giải Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho m2 n2 5 (1). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:Q m n mn 1 (2). Từ (2) ta có: 2Q 2 m n 2mn 2 Do đó: 2Q m2 n2 m2 n2 2m 2n 2mn 2 2 m n 1 1 1 Suy ra:2Q 1 m2 n2 4 (do (1)) Q 2 . m 2 m2 n2 5 n 1 Dấu “=” xảy ra . m n 1 0 m 1 n 2 Vậy Min Q = -2 khi m =-2, n =1 hoặc m =1, n = -2. Bài 99:
  43. 3 4x Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K 2x2 2 Lời giải 2 2 2 3 4x x2 4x 4 x2 1 x 2 x 1 x 2 1 1 Ta có: K 2x2 2 2 x2 1 2 x2 1 2 x2 1 2 2 Dấu “=” x 2 0 x 2 1 Suy ra GTNN K x 2 2 2 2 3 4x 4x2 4 4x2 4x 1 4x 4 4x 4x 1 Ta có: K 2x2 2 2 x2 1 2 x2 1 2 4 x2 1 2x 1 2x 1 2 2 2 2 x2 1 2 x2 1 1 Dấu “=” 2x 1 0 x 2 1 Suy ra GTLN K 2 x 2 Bài 100: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: x y z 1. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 16x 4y z Lời giải 1 1 1 1 1 1 Vì x y z 1 nên: M x y z 16x 4y z 16x 4y z 21 x y x z y z 16 4y 16x z 16x z 4y 2 2 x y 16x2 4y2 4x 2y 2.4x.2y 4x 2y 1 1 Ta có: x,y 0 4y 16x 64xy 64xy 64xy 4 4 x z 1 y z Tương tự: ; 1 x,y 0 z 16x 2 z 4y 1 x 4x 2y z 7 21 1 1 49 2 Từ đó M 1 . Dấu " " xảy ra x y z 1 y 16 4 2 16 7 x,y,z 0 4 x 7 49 1 2 4 Vậy GTNN của M là x ; y ; z 16 7 7 7 Bài 101: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x y z 3 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 x y2 y z2 z
  44. Lời giải 1 1 1 1 1 1 a) P x2 x y2 y z2 z x x 1 y y 1 z z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x 1 y y 1 z z 1 x y z x 1 y 1 z 1 1 1 1 9 1 1 1 1 Áp dụng BĐT và . với a,b,c dương, dấu a b c a b c a b 4 a b bằng xảy ra a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: . 1 ; . 1 ; . 1 x 1 4 x y 1 4 y z 1 4 z Bởi vậy : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P . 1 1 1 x y z x 1 y 1 z 1 x y z 4 x y z 3 1 1 1 3 3 9 3 9 3 3 . . 4 x y z 4 4 x y z 4 4 4 2 3 Vậy MinP x y z 1 2 2 Bài 102: Cho hai số x,y thỏa mãn điều kiện x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 y2 Lời giải 2 x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0 x4 y4 2x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0 2 x4 2x2 y2 y4 x2 2y2 0 x2 y2 2 x2 y2 1 3x2 1 2 x2 y2 1 3x2 1 2 Ta có: 3x2 1 1x x2 y2 1 1 1 x2 y2 1 1 0 A 2 x 0 A 0 2 2 x y 0.Vậy min A 0 x y 0 x y 0 x 0 x 0 x 0 A 2 2 2 2 . Vậy max A 2 2 x y 2 y 2 y 2 Bài 103: Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 4 x y 2010 Lời gải P x2 y2 4 x y 2010 x2 4x 4 y2 4y 4 2018 x 2 2 y 2 2 2018 2018 Vậy Pmin 2018 x y 2 Bài 104: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z 1.
  45. Lời gải 1 1 1 1 1 1 y x z x z y 21 P x y z 16x 4y z 16x 4y z 16x 4y 16x z 4y z 16 y x 1 Theo BĐT cô si ta có: y 2x 16x 4y 4 z x 1 z y Tương tự z 4x; 1 z 2y 16x z 2 4y z 49 1 2 4 P . Dấu bằng xảy ra khi x ; y ; z 16 7 7 7 1 1 1 Bài 105: Cho a,b,clà 3 số dương thỏa mãn: 2.Tìm giá trị 1 a 1 b 1 c lớn nhất của biểu thức Q abc. Lời gải 1 1 1 b c bc Ta có: 1 1 2 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c 1 b 1 c 1 ac 1 ab Tương tự: 2 ; 2 1 b 1 a 1 c 1 c 1 a 1 b 1 a2b2c2 8 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 abc 8 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c a b c 1 Dấu " "xảy ra 1 1 1 a b c 2 2 1 a 1 b 1 c Bài 106: Cho 6a 5b 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a2 25b2 Lời gải Đặt x 2a, y 5b . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 2 1 1 3x y x2 y2 9 1 x2 y2 hay 4a2 25b2 Dấu bằng xảy ra 10 10 1 b 3 1 50 3y x 15b 2a 6a 45b x y 3 a 20 Bài 107: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x2 y2 xy x y 1 Lời giải 4M 4x2 4y2 4xy 4x 4y 4
  46. 2x y 1 2 3y2 2y 3 2 2 2 1 8 2x y 1 3 y y 3 9 3 2 2 1 8 2x y 1 3 y 3 3 1 y 8 3 Giá trị nhỏ nhất của 4M là 3 2 x 3 2 x 2 3 Nên giá trị nhỏ nhất của M là 3 1 y 3 Bài 108: Cho a,b 0 và a b 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 1 M 1 1 a b Lời giải 2 2 a b a b M 1 1 (Vi a b 1) a b 2 2 b a M 2 2 a b 4b b2 4a a2 M 4 4 a a2 b b2 b2 a2 a b M 8 2 2 4 8 2 4.2 18(Co si) a b b a 1 Dấu " "xảy ra a b & a b 1 a b 2 1 Vậy MinM 18 a b 2 Bài 109: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x2 2xy 2y2 4y 5 3 x 1 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B x3 x2 x 1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 2y2 2xy 2x 4y 2013 Lời giải a) Ta có: A x2 2xy y2 y2 4y 4 1 x y 2 y 2 2 1
  47. Do x y 2 0; y 2 2 0 Nên A x y 2 y 2 2 1 1 Dấu " "xảy ra x y 2 Vậy GTNN của Alà 1 x y 2 3 x 1 3 x 1 3 x 1 3 b) B x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x2 1 x 1 x2 1 3 Do x2 1 1nên B 3.Dấu " "xảy ra x 0 x2 1 Vậy GTLN của B là 3 x 0 c) Ta có: A x2 2y2 2xy 2x 4y 2013 x2 2x y 1 y2 2y 1 y2 6y 9 2003 x y 1 2 y 3 2 2003 Nhận thấy với mọi x, y ta có: x y 1 2 0; y 3 2 0 A 2003 Dấu " "xảy ra khi x 4, y 3 Vậy Giá trị nhỏ nhất của Alà 2003đạt được khi x 4, y 3 Bài 110: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2 x 5 x2 7x 10 Lời giải A x 2 x 5 x2 7x 10 x2 7x 10 x2 7x 10 Đặt x2 7x t,ta có biểu thức: A t 10 t 10 t 2 100 100 Dấu " "xảy ra t 0 2 x 0 x 7x 0 x 7 x 0 Với thì Ađạt giá trị nhỏ nhất bằng 100 x 7