Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 12: Hình học tổng hợp (Có lời giải)

163 trang Thu Mai 04/03/2023 1271

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 12: Hình học tổng hợp (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

on_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_8_dang_12_hinh_hoc_tong_ho.docx

Nội dung text: Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 12: Hình học tổng hợp (Có lời giải)

DẠNG 12: HÌNH HỌC TỔNG HỢP A.Bài toán Bài 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a.Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA.M là giao điểm của CE và DF. a) Chứng minh: Tứ giác EFGH là hình vuông b) Chứng minh DF  CE và MADcân c) Tính diện tích MDC theo a. Bài 2:Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE AF . Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N 1) Chứng minh rằng tứ giác AEMDlà hình chữ nhật 2) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH.Chứng minh rằng AC 2EF 1 1 1 3) Chứng minh rằng : AD2 AM 2 AN 2 Bài 3:Cho tam giác ABC nhọn. Dựng ra phía ngoài hai tam giác đều ABE; ACF,lại dựng hình bình hành AEPF.Chứng minh rằng PBC là tam giác đều Bài 4: Cho tam giác ABC có BC 15cm, AC 20cm, AB 25cm. a) Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC b) Gọi CD là đường phân giác của ACH.Chứng minh BCD cân c) Chứng minh: BC 2 CD2 BD2 3CH 2 2BH 2 DH 2 Bài 5:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các điểm M,N thứ tự là trung điểm của BC và AC.Các đường trung trực của BC và AC cắt nhau tại O.Qua A kẻ đường thẳng song song với OM, qua B kẻ đường thẳng song song với ON, chúng cắt nhau tại H. a) Nối MN , AHB đồng dạng với tam giác nào? b) Gọi G là trọng tâm ABC , chứng minh AHG đồng dạng với MOG ? c) Chứng minh ba điểm H , O , G thẳng hàng ? Bài 6:Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a.Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và BC. a) Tính diện tích tứ giác AMND. b) Phân giác góc CDM cắt BC tại E.Chứng minh DM AM CE Bài 7:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BD,CE là hai đường cao của tam giác cắt nhau tại điểm H. Chứng minh rằng: a) HD.HB HE.HC b) HDE : HCB c) BH.BD CH.CE BC 2 Bài 8:Cho tam giác ABC.Từ điểm M thuộc cạnh AC kẻ các đường thẳng song song với các cạnh AB và BC cắt BC tại E và ABtại F. Hãy xác định vị trí của M trên AC sao cho hình bình hành BEMF có diện tích lớn nhất Bài 9:Cho tam giác ABC.Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA,CAsao cho BD CE BC.Gọi O là giao điểm của BEvà CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB CK Bài 10: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M bất kỳ, sao cho M khác Avà C.Trên cạnh ABlấy điểm Esao cho AE CM a) Gọi O là trung điểm của cạnh BC.Chứng minh OEM vuông cân
b) Đường thẳng qua Avà song song với ME,cắt tia BM tại N. Chứng minh : CN  AC c) Gọi H là giao điểm của OM và AN. Chứng minh rằng tích AH.AN không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên cạnh AC. Bài 11:Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H HD HE HF a) Tính tổng AD BE CF b) Chứng minh : BH.BE CH.CF BC 2 c) Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF d) Trên các đoạn HB,HC lấy các điểm M , N tùy ý sao cho HM CN.Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 12: Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng ABvẽ tia Ax,By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D. a) Chứng minh AB2 4.AC.BD b) Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC CM c) Từ M kẻ MH vuông góc AB tại I. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH. Bài 13: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng: BD.DC DH.DA HD HE HF b) Chứng minh rằng: 1. AD BE CF c) Chứng minh rằng: H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF d) Gọi M , N,P,Q,I,K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC,CA, AB , EF,FD,DE.Chứng minh rằng ba đường thẳng MQ, NI,PK đồng quy tại một điểm Bài 14: Cho tam giác ABC cân tại Acó AB AC b;BC a.Đường phân giác BD của tam giác ABC có độ dài bằng cạnh bên của tam giác ABC.Chứng minh rằng: 1 1 b . b a a b 2 Bài 15: Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD).Gọi O là giao điểm của AC và BD; các đường kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC tương ứng ở F và E. Chứng minh: EF / / AB a) AB2 EF.CD b) Gọi S1,S2 ,S3 và S 4 theo thứ tự là diện tích của tam giác OAB,OCD,OADvà OBC . Chứng minh S1.S2 S3.S4 Bài 16: Cho tam giác ABC (cân tại A) vẽ đường cao AH, đường cao BK a) Tìm các cặp tam giác vuông đồng dạng ? Giải thích tại sao ? b) Cho AH 10cm,BK 12cm.Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC c) Gọi I là giao điểm của AH và BK, hãy tìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác BCI là tam giác đều ? Bài 17: Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB. Cho biết tia CN cắt tia DA tại E, tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF. a) Chứng minh CE = CF;
b) Chứng minh B, D, M thẳng hàng; c) Chứng minh EAC đồng dạng với MBC; d) Xác định vị trí điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD. Bài 18: Hình vuông ABCD có E và F thuộc tia đối CB và DC sao cho DF BE.Từ Ekẻ đường song song với AF và từ F kẻ đường song song với AE. Hai đường này giao tại I. Tứ giác AFIE là hình gì ? Bài 19: 19.1: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh: a) Tứ giác EGFK là hình thoi. b) AF2 = FK.FC c) Chu vi tam giác EKC không đổi khi E thay đổi trên BC. 19.2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b và đường phân giác của 1 1 2 góc A là AD = d. Chứng minh rằng: . b c d Bài 20: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác AHB và AHC. MN cắt AB, AH, AC lần lượt tại I, E, K a) Chứng minh : BM vuông góc với AN b) Chứng minh : ME.NK MI.NE c) Biết diện tích của tam giác ABC là S. Tính diện tích lớn nhất của tam giác AIK theo S. Bài 21: Cho tam giác ABC cân tại A, có µA 200.Trên AB lấy điểm D sao cho AD BC.Tính số đo B· DC ? Bài 22: Cho tam giác ABC cân tại A, có BC a không đổi. Gọi I là trung điểm của BC.Lấy P AB và Q AC sao cho P· IQ ·ABC . Vẽ IK  AC K AC a) Chứng minh rằng tích BP.CQkhông đổi. b) Chứng minh rằng PI là tia phân giác của góc B· PQ , QI là tia phân giác của P· QC c) Gọi chu vi tam giác APQ là b, chứng minh rằng b 2.AK . Tính b theo a khi B· AC 600 Bài 23: a) Cho tam giác ABC , gọi M, N lần lượt là trung diểm của BC, AC.Gọi O, G, H lần lượt là giao điểm ba đường trung trực, ba đường cao, ba đường trung tuyến của tam giác ABC. Tính tỉ số GH :GO b) Cho hình thang ABCD có hai đáy AB 2a,CD a.Hãy dựng điểm M trên đường thẳng CD sao cho đường thẳng AM cắt hình thang làm hai phần có diện tích bằng nhau. Bài 24: Cho hình thoi ABCD có góc ·ABC 600.Hai đường chéo cắt nhau tại O, E thuộc tia BC sao cho BEbằng ba phần tư BC , AE cắt CD tại F. Trên đoạn thẳng AB và CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho CG song song với FH 3 a) Chứng minh rằng : BG.DH BC 2 4
b) Tính số đo góc GOH Bài 25: Cho tam giác ABC , ba điểm M,N,Plần lượt thuộc các cạnh BC,CA, AB BM CN AP BM 1 sao cho & .Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP BC CA AB BC 2 có cùng Bài 26: Tứ giác ABCD có Bµ Dµ 1800 và CB CD.Chứng minh AC là tia phân giác của góc A. Bài 27: Một tam giác có đường cao và đường trung tuyến chia góc ở đỉnh thành ba phần bằng nhau. Tính các góc của tam giác đó. Bài 28: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm.Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB,BC.Gọi P là giao điểm của AN với DM a) Chứng minh : tam giác APM là tam giác vuông. b) Tính diện tích của tam giác APM c) Chứng minh tam giác CPD là tam giác cân. Bài 29: Cho tam giác ABC,đường trung tuyến AM.Qua điểm D thuộc cạnh BC,vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng ABvà AC lần lượt tại Evà F. a) Chứng minh DE DF 2AM b) Đường thẳng qua Asong song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF 2 Ký hiệu S X là diện tích của hình X.Chứng minh SFDC 16SAMC .SFNA Bài 30: Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không có điểm chung với hình bình hành. Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy. Tìm hệ thức liên hệ độ dài giữa AA’, BB’, CC’ và DD’ . Bài 31: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và một đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác. Từ các đỉnh A, B, C và trọng tâm G ta kẻ các đoạn AA’, BB’, CC’ và GG’ vuông góc với đường thẳng d. Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’. Bài 32: Cho tam giác ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó. HA' HB ' HC ' a) Chứng minh: 1 ; AA' BB ' CC ' AA' BB ' CC ' b) Chứng minh: 9 ; HA' HB ' HC ' Bài 33: Cho tam giác ABC (AC > AB). Lấy các điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE, BC. Cmr: Tỉ số KE : KD không phụ thuộc vào cách chọn điểm D và E. Bài 34: Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME  AB, MF  AD . a) Chứng minh DE = CF; DE  CF b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất? Bài 35: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH  AC . Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD, N là trung điểm của BH. a) Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành; b) Tính góc BMK.
Bài 36: Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trên hai cạnh AB và 1 AC lần lượt lấy hai điểm E và F.Chứng minh rằng S S .Với vị trí nào của DEF 2 ABC hai điểm E và F thì SDEF đạt giá trị lớn nhất? Bài 37: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ là AB, đáy lớn là CD. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD ở E, qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường chéo AC ở F. a) Chứng minh rằng tứ giác DEFC là hình thang cân; b) Tính độ dài EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm. Bài 38: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. a) Chứng minh DE // BC. b) Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh ID = IE. Bài 39: Cho tam giác vuông cân ABC, µA 900 .Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ BD  CM , BD cắt CA ở E. Chứng minh rằng: a) EB.ED = EA.EC; b) BD.BE CA.CE BC 2 c) ·ADE 450 Bài 40: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC.Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F.Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K.Đường thẳng kẻ qua E,song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh rằng: a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi; b) AKF : CAF, AF 2 FK.FC ; c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh: EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi. Bài 41: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau ở E. Các tia phân giác của các góc B· AC B· DC ACE và DBE cắt nhau ở K. Chứng minh rằng: B· KC 2 Bài 42: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, K là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự ở M, N. Cmr: MA MB MA MB a) ; b) ND NC NC ND c) MA MB, NC ND Bài 43: Cho hình thang ABCD (AB // CD). AB = 28, CD=70, AD=35, vẽ một đường thẳng song song với hai cạnh đáy, cắt AD,BC theo thứ tự ở E và F. Tính độ dài EF, biết rằng DE = 10. Bài 44: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường thẳng qua I và song song với AC cắt AB ở K. Đường thẳng qua I và song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng DE =BK. Bài 45: Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của CD,CB. Gọi O là giao 2 điểm của AE và DF ; OA = 4OE; OD OF . Chứng minh rằng ABCD là hình bình 3 hành. Bài 46: Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh đối AB, CD của tứ giác ABCD cắt IA KB các đường thẳng AD, BC theo thứ tự ở I, K. Cmr: . ID KC
Bài 47: Qua M thuộc cạnh BC của tam giác ABC vẽ các đường thẳng song song với hai cạnh kia. Chúng cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự ở H, K. Cmr: AH AK a)Tổng không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh BC. AB AC b)Xét trường hợp tương tự khi M chạy trên đường thẳng BC nhưng không thuộc đoạn thẳng BC. Bài 48: Cho tam giác ABC đều cạnh a, M là một điểm bất kỳ ở trong tam giác ABC. a 3 Chứng minh rằng: MA MB MC 2 Bài 49: Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N sao cho DN = BM. Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM cắt nhau tại F. Cmr: a) Tứ giác ANFM là hình vuông; b) Điểm F nằm trên tia phân giác của M· CN và ·ACF 900 ; c) Ba điểm B, O, D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang ( O là trung điểm của AF ) Bài 50: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD = 2DC. Cmr: BM vuông góc với AD. Bài 51: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh rằng : AE = AB ; b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính ·AHM . Bài 52: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. a) Chứng minh: BD.CE.BC AH 3 ; b) Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân. Bài 53: Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H, trên cạnh BH lấy điểm M và trên đoạn CH lấy điểm N sao cho ·AMC ·ANB 900 . Chứng minh rằng: AM = AN. Bài 54: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD và ACF lần lượt vuông cân tại B và C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF. Cmr: a) AH =AK ; b) AH 2 BH.CK Bài 55: Cho tam giác ABC, một đường thẳng cắt các cạnh BC, AC theo thứ tự ở D và E. và cắt cạnh BA ở F. Vẽ hình bình hành BDEH. Đường thẳng qua F và song song với BC cắt AH ở I. Cmr: FI = DC Bài 56: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD và đường trung tuyến AM. Qua điểm I thuộc AD vẽ IH vuông góc với AB, IK vuông góc với AC. Gọi N là giao điểm của HK và AM. Cmr : NI vuông góc với BC. Bài 57: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H. Một đường thẳng đi qua H cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Cmr: HM vuông góc với PQ. Bài 58: Hình chữ nhật ABCD có M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Gọi E là một điểm bất kỳ thuộc tia đối của tia DC, K là giao điểm của EM và AC. Cmr: MN là tia phân giác của góc KNE .
Bài 59: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB. Từ đỉnh D kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt đường chéo AC tại M và cắt cạnh đáy AB tại K. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt đường chéo BD tại I và cắt cạnh AB tại F. Qua F kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh bên BC tại P. Cmr: a) MP / / AB . b) Ba điểm M, I, P thẳng hàng. c) DC 2 AB.MI Bài 60: Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD ở E và cắt các đường thẳng BC, DC theo thứ tự ở K, G. CMR: a) AE 2 EK.EG ; 1 1 1 b) AE AK AG c) Khi đường thẳng thay đổi nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi. Bài 61: Cho tam giác ABC đều, các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AC, AB sao cho AD = BE. Gọi M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Vẽ MH // CD, MK //BE (H AB; K AC). Cmr: Khi M chuyển động trên cạnh BC thì tổng MH + MK có giá trị không đổi. Bài 62: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác BD cắt đường cao AH tại I a) Chứng minh: tam giác ADI cân. b) Chứng minh: AD.BD BI.DC c) Từ D kẻ DK vuông góc BC tại K. Tứ giác ADKI là hình gì? Chứng minh điều ấy. Bài 63: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo cùng một tỉ số. Cmr: AE = DF; AE DF. 2 Bài 64: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có diện tích S, AB CD . Gọi E,F theo 3 thứ tự là trung điểm của AB,CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Tính diện tích tứ giác EMFN theo S. Bài 65: Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của BC. Điểm N trên cạnh CD 1 sao cho CN =2 ND. Gọi giao điểm của AM, AN với BD là P, Q. Cmr: S S APQ 2 AMN Bài 66: Cho góc xOy và điểm M cố định thuộc miền trong của góc. Một đường thẳng quay quanh M cắt tia Ox, Oy theo thứ tự ở A,B. Gọi S1,S2 theo thứ tự là diện tích của tam giác MOA, MOB. 1 1 Cmr: không đổi. S1 S2 Bài 67: Cho tam giác ABC. Các điểm D,E,F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo tỉ số 1:2. Các điểm I, K theo thứ tự chia trong các cạnh ED, FE theo tỉ số 1:2. Chứng minh: IK //BC. Bài 68: Cho hình thang ABCD (AB//CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC. a) Chứng minh IK// AB. b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E, F. Cmr: EI =IK = KF. Bài 69: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm K sao cho AH = HK. Vẽ KE  BC E AC .
a) Gọi M là trung điểm của BE. Tính B· HM . GB AH b) Gọi G là giao điểm của AM vói BC. Chứng minh: . BC HK HC Bài 70: Cho tam giác ABC, µA 900 , đường cao AH, đường trung tuyến BM cắt AH tại I. Giả sử BH = AC. Chứng minh: CI là tia phân giac của ·ACB . Bài 71: a) Cho tam giác ABC có µA 1200 , AB 3cm, AC 6cm. Tính độ dài đường phân giác AD. 1 1 1 b) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn . Tính B· AC . AD AB AC Bài 72: Cho tam giác ABC có AB 6cm, AC 8cm , các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Tính độ dài BC. Bài 73: Cho hình vuông ABCD. Trên tia BC lấy điểm M nằm ngoài đoạn BC và trên tia CD lấy điểm N nằm ngoài đoạn CD sao cho BM = DN. Đường vuông góc với MA tại M và đường vuông góc với NA tại N cắt nhau ở F. Chứng minh: a) AMFN là hình vuông; b) CF vuông góc với CA. Bài 74: Cho hình vuông ABCD có giao điểm các đường chéo là O. Kẻ đường thẳng d bất kỳ qua O. Chứng minh rằng: Tổng các bình phương các khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vuông đến đường thẳng d là một số không đổi. Bài 75: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm O ở trong tam giác vẽ OD  BC D BC , OE  CA E CA ,OF  AB F AB . Tìm vị trí của điểm O để tổng OD2 OE 2 OF 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 76: Cho hình thang vuông ABCD có µA Dµ 900 , AB 7cm, DC 13cm, BC 10cm . Đường trung trực của BC cắt đường thẳng AD ở N. Gọi M là trung điểm của BC. Tính MN. Bài 77: Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng AD vuông góc với BC tại D. Đường FD EA phân giác BE cắt AD tại F. Chứng minh: FA EC Bài 78: Cho tam giác ABC. Kẻ phân giác trong và ngoài của góc B cắt AC ở I và D ( lần lượt theo thứ tự A, I, C, D ). Từ I và D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở M và N. a) Tính AB và MN, biết MI = 12cm, BC = 20cm. b) Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt BI tại E và cắt BD tại F. Chứng minh: BI.IC AI.IE và CE CF Bài 79: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vuông góc với cạnh BC. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA, trên tia Cy lấy điểm E sao cho CE = CA. Gọi G là giao điểm của BE và CD, K và L lần lượt là giao điểm của AD, AE với cạnh BC. a) Chứng minh rằng CA = CK ; BA = BL. b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự tại I, J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của G lên BC. Chứng minh IHJ là tam giác vuông cân. Bài 80: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD chia cạnh đối diện thành các đoạn thẳng BD = 2cm, DC = 4cm. Đường trung trực của AD cắt đường thẳng BC tại K. Tính độ dài KD. Bài 81: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, AD là đường phân giác. Biết AC = 9cm, AB = 6cm, diện tích tam giác ABC là 24cm2. Tính diện tích tam giác ADM.
Bài 82: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F. a)Chứng minh khi điểm D chuyển động trên cạnh BC thì tổng DE + DF có giá trị không đổi. b)Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt EF ở K. Chứng minh rằng K là trung điểm của EF Bài 83: Cho các tam giác ABC, I là giao điểm của ba đường phân giác. Đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt AC, BC theo thứ tự ở M, N. Cmr: a) Tam giác AIM đồng dạng với tam giác ABI. 2 AM AI b) . BN BI Bài 84: Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 2a, M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho D· ME Bµ . a) Cmr: BD.CE không đổi. b) Cmr: DM là tia phân giác của góc BDE c) Tính chu vi tam giác AED nếu ABC là tam giác đều. Bài 85: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC, điểm M nằm giữa A và D. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của MB và MC. Gọi E là giao điểm của DI và AB, F là giao điểm của DK và AC. Cmr: EF //IK. Bài 86: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy điểm G, H thứ tự thuộc cạnh BC, CD sao cho G· OH 450 . Gọi M là trung điểm của AB. Cmr: a) Tam giác HOD đồng dạng với tam giác OGB; b) MG //AH Bài 87: Cho tam giác ABC và hình bình hành AEDF có E AB, F AC, D BC . Tính 2 2 diện tích của hình bình hành, biết rằng SEBD 3cm , SFDC 12cm . Bài 88: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, DC. Gọi I, H theo thứ tự là giao điểm của AF với BE, BD. Tính SEIHD Bài 89: Cho hình thang ABCD AB / /CD, AB CD . Gọi O là giao điểm của AC với BD và I là giao điểm của DA với CB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. OA OB IA IB a) Chứng minh: . OC OD IC ID b) Chứng minh: Bốn điểm I;O;M ; N thẳng hàng. c) Giả sử 3AB CD và diện tích hình thang ABCD bằng S. Hãy tính diện tích tứ giác IAOB theo S. Bài 90: Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CD lấy điểm E. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BE tại F, nó cắt DC tại G. Gọi H, I, J, M, K lần lượt là giao điểm của GF với BC, EF với HD, EA với HC, AB với HD, AE với DH. DG GF BC.EF 90.1.a) Chứng minh: ; CE . Từ đó suy ra DG CE 2CD và AD EF GF EG 3CD S b) Tìm GTLN của ABCD SAEG 90.2.a) Chứng minh: BHA CEB và DAE CDH b) Chứng minh: AE  DH c) Chứng minh: AI / /DJ / /GB d) Chứng minh: AFB đồng dạng với ABH ; AFD đồng dạng với ADH
Từ đó có nhận xét gì về A· FD và ·ADH . 90.3.a) Chứng minh: KD2 KI.KH b) Chứng minh: EJ.EK.HJ HK.HD.EC c) Chứng minh: HJ.HC.EK EI.EF.HK BM 90.4. Chứng minh: Khi E thay đổi trên tia đối của tia CD thì là không đổi. CJ 90.5. Qua bài này, các em hãy khai thác thêm nhiều tính chất mới thú vị. Bài 91: Cho ABC cân tại A với A là góc nhọn; CD là đường phân giác ·ACB D AB ; qua D kẻ đường vuông góc với CD , đường này cắt đường thẳngC B tạiE 1 . Chứng minh: BD EC . 2 Bài 92: Cho tứ giácABCD . Đường thẳng qua A song song với BC , cắt BD tại P và đường thẳng qua B song song với AD cắt AC tại Q . Chứng minh PQ //CD . Bài 93: Cho hình thang ABCD, đáy AD và BC, có µA 900 , E là giao điểm của hai đường chéo, F là hình chiếu của E lên AB. a) Chứng minh ∆ ∆BF. C AFD b) Gọi K là giao điểm của AC và DF. Chứng minh KE.FC = CE.FK. Bài 94: Cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn. Vẽ ra phía ngoài hình bình hành các tam giác đều BCE và DCF.Tính số đo E· AF Bài 95: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA',BB',CC 'và H là trực tâm a) Chứng minh BC '.BA CB'.CA BC 2 HB.HC HA.HB HC.HA b) Chứng minh rằng: 1 AB.AC BC.AC BC.AB c) Gọi D là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với DH cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh H là trung điểm của MN. Bài 96: Cho hình vuông ABCD và 2018đường thẳng cùng có tính chất chia hình 2 vuông này thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng .Chứng minh rằng có ít nhất 3 505đường thẳng trong 2018 đường thẳng trên đồng quy. Bài 97: Cho hình vuông ABCD trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE= AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N 4) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật 5) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH . Chứng minh rằng AC = 2EF 1 1 1 6) Chứng minh rằng : 2 = 2 + 2 Bài 98: Cho hình chữ nhật ABCD , AB = 2AD. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm P sao cho AM = CP. Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi Q là trung điểm của CH đường thẳng kẻ qua P song song với MQ cắt AC tại N. a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành. b) Khi M là trung điểm của AD. Chứng minh BQ vuông góc với NP. 1 1 1 c) Đường thẳng AP cắt DC tại điểm F. Chứng minh rằng : 2 = 푃2 + 4 퐹2
Bài 99: Cho đoạn thẳng AB dài a(cm) . Lấy điểm C bất kỳ thuộc đoạn thẳng AB (C khác A và B). Vẽ tia Cx vuông góc với AB. Trên tia Cx lấy hai điểm D và E sao cho CD = CA và CE = CB. a) Chứng minh AE vuông góc với BD b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AE và BD. Tìm vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB để đa giác CMEDN có diện tích lớn nhất c) Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khoảng cách từ I đến AB không phụ thuộc vào vị trí điểm C Bài 100: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết CD = 2AB = 2AD và BC = a 2 a) Tính diện tích hình thang ABCD theo a b) Gọi I là trung điểm của BC , H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC. Chứng minh = 450 Bài 101: Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AB = c.Độ dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A,B,C lần lượt là 푙 ;푙 ;푙 .Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 + + > + + 푙 푙 푙 Bài 102: Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, M là trung điểm của BC. = 600quay quanh đỉnh M cố định sao cho hai tia Mx; My cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: a)∆ ~∆ và tích BD.CE không phụ thuộc vào vị trí của b) DM là phân giác của c) BD.ME + CE.MD > a.DE d) Chu vi ∆ không đổi khi quay quanh M Bài 103: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC> AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD=HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E a) Chứng minh AE = AB b) Gọi M là trung điểm của BE . Tính góc AHM. Bài 104: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh : EA.EB = ED.EC b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi c) Kẻ DH ⊥ BC(H ∈ ).Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, CH. Chứng minh CQ ⊥ 푃 . Bài 105: Cho tam giác ABC có AB AC BC và chu vi bằng 18cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết các độ dài đều là số nguyên dương và BC có độ dài là một số chẵn. Bài 106: Cho tam giác ABC có AC = 3AB và số đo của góc A bằng 60 0. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho ·ADB = 300 . Trên đường thẳng vuông góc với AD tại D lấy điểm E sao cho DE = DC (E và A cùng phía với BC). Chứng minh rằng AE//BC. Bài 107: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AC và các đường thẳng AD, BM và CE đồng qui tại K (K AM ; D BC;E AB) . Hai tam giác AKE và BKE có diện tích là 10 và 20. Tính diện tích tam giác ABC
Bài 108: Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC (Q khác B, C). Trên AQ lấy điểm P (P khác A, Q). Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB, AC tại M, N. AM AN PQ a) Chứng minh rằng: 1. AB AC AQ AM.AN.PQ 1 b) Xác định vị trí điểm Q để . AB.AC.AQ 27 Bài 109: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD. Gọi G là giao điểm của đường thẳng đi qua E vuông góc với AD với đường thẳng đi qua F vuông góc với BC. So sánh GA và GB Bài 110: a) Cho tam giác ABC cân tại A µA 900 , có BH là đường cao, BD là phân BH giác của góc ·ABH H, D AC . Chứng minh rằng: 1. CD b) Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác trong của góc A D BC . Gọi ka là khoảng cách từ D đến AB ( hoặc AC). Tương tự, gọi BE là phân giác trong của góc B E AC và kb là khoảng cách từ E đến BA ( hoặc BC), gọi CF là phân giác trong của góc C F AB và kc là khoảng cách từ F đến CA ( hoặc CB). Gọi ha ,hb ,hc tương ứng là 3 chiều cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác đã cho. Tìm k k k giá trị bé nhất của biểu thức a b c ha hb hc Bài 111: Cho hình bình hành ABCD có µA 900 . Dựng các tam giác vuông cân tại A là BAM và DAN (B và N cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AD, D và M cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng AC vuông góc với MN. Bài 112: Cho hình bình hành ABCD có µA 1200 . Đường phân giác của góc D đi qua trung điểm I của cạnh AB. a) Chứng minh: AB 2AD . b) Kẻ AH  DC (H DC) . Chứng minh: DI 2AH . c) Chứng minh: AC  AD. Bài 113: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, kẻ các đường cao BD và CE. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh AC, đường thẳng này cắt đường thẳng AB tại điểm F. CE BE a) Chứng minh: AB2 AE.AF . b) Chứng minh: . CF BF Bài 114: Cho hình thang vuông ABCD (µA Dµ 900 ) và DC 2AB , H là hình chiếu của D trên AC và M là trung điểm của đoạn HC. Chứng minh: BM  MD . Bài 115: Cho hình bình hành ABCDcó góc ABCnhọn. Vẽ ra phía ngoiaf hình bình hành các tam giác đều BCE và DCF.Tính số đo E· AF Bài 116: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a,biết hai đường chéo cắt nhau tại O.Lấy điểm Ithuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho I·OM 90 (I0 và M không trùng với các đỉnh của hình vuông). Gọi N là giao điểm của AM và CD , K là giao điểm của OM và BN. 1) Chứng minh BIO CMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a 2) Chứng minh B· KM B· CO 1 1 1 Chứng minh CD2 AM2 AN2
Bài 117: Cho tam giác ABC AB AC , trọng tâm G. Qua G vẽ đường thẳng d cắt các AB AC cạnh AB,AC theo thứ tự ở D và E. Tính giá trị biểu thức . AD AE Bài 118: Cho hình chữ nhật ABCD có AB a 12cm,BC b 9cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD b) Tính độ dài đoạn thẳng AH c) Tính diện tích tam giác AHB Bài 119: Cho tam giác đều ABC. Gọi M,N lần lượt là các điểm trên các cạnh AB và BC sao cho BM BN.Gọi G là trọng tâm BMN và I là trung điểm của AN. Tính các góc của tam giác ICG. Bài 120: Cho hình vuông ABCD, gọi E,F thứ tự là trung điểm của AB,BC. a) Chứng minh rằng: CE  DF b) Gọi M là giao điểm của CE và DF.Chứng minh rằng: AM AD Bài 121: Cho tam giác ABC. Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH. a) Chứng minh rằng EC BH;EC  BH b) Gọi M,N thứ tự là tâm của các hình vuông ABDE,ACFH. Gọi I là trung điểm của BC. Tam giác MNI là tam giác gì ? Vì sao ? Bài 122: Chứng minh rằng trong một hình bình hành, khoảng cách từ một điểm trên đường chéo đến hai cạnh kể (hai cạnh kề và đường chéo cùng đi qua một đỉnh của hình bình hành), tỉ lệ nghịch với hai cạnh ấy. Bài 123: Gọi M là diểm nằm trong x· Oy m0 (0 m 90).Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M trên Ox,Oy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của OM,PQ a) Chứng minh HK  PQ b) Tính số đo H· PQ theo m Bài 124: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Trên tia đối của tia AC lấy điểm I sao cho AI AM. a) Chứng minh rằng: CM  BI b) Trên BC lấy điểm P sao cho BP 2CP. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC có chứa điểm A, vẽ tia Px sao cho x· PB 600. Tia Px cắt tia CA tại D. Tính số đo C· BD Bài 125: Cho hình thang ABCD AB / /CD , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Một đường thẳng d qua O song song với 2 đáy cắt hai cạnh bên AD,BClần lượt 1 1 2 tại E và F. Chứng minh rằng . AB CD EF Bài 126: Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M,N theo thứ tự thuộc các cạnh AB,BC sao cho AN CM.Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng KD là tia phân giác của A· KC Bài 127: Cho tam giác đều ABC,gọi M là trung điểm của BC. Một góc x· My 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx,My luôn cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh BC2 a) BD.CE 4 b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc B· DE và C· ED c) Chu vi tam giác ADE không đổi.
Bài 128: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ hai tia Ax,By cùng vuông góc với AB. Trên tia A x lấy điểm C (C khác A). Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OC, đường thẳng này cắt By tại D. Từ O hạ đường vuông góc OM xuống CD (M thuộc CD) a) Chứng minh OA2 AC.BD b) Chứng minh tam giác AMB vuông c) Gọi N là giao điểm của BC và AD. Chứng minh MN / /AC Bài 129: Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng A B vẽ hai tia Ax,By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm D bất kỳ, qua O vẽ hai dường thẳng vuông góc với DO tại O cắt By tại C a) Chứng minh BC.AD a2 b) Chứng minh DO và CO lần lượt là tia phân giác của A· DC và B· CD c) Vẽ OH  CD H CD . Gọi I là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm của AH và DO, F là giao điểm của BH và CO. Chứng minh ba điểm E,I,Fthẳng hàng d) Xác định vị trí của điểm D trên tia Axđể tích DO.CO có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 130: Cho tam giác ABC vuông tại A AC AB ,đường cao AH H BC . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD HA.Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng: BEC : ADC. Tính độ dài đoạn BE theo m AB 2. Gọi M là trung điểm của đoạn B E. Chứng minh rằng hai tam giác BHM, BEC đồng dạng. Tính số đo của A· HM GB HD 3. Tia AM cắt BCtại G. Chứng minh : BC AH HC Bài 131: Cho hình chữ nhật ABCDVẽ. BH vuông góc với AC(H AC)Gọi. M là trung điểm của AH,K là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: BM  MK . Bài 132: Một trường học được xây dựng trên khu đất hình chữ nhật ABCD có AB 50m, A M B BC 200m. Ở phía chiều rộng AB tiếp giáp đường chính, người ra sử dụng hai I K lô đất hình vuông AMEH,BMIK để xây H dựng phòng làm việc và nhà để xe. Diện E tích còn lại để xây phòng học và các công trình khác (như hình vẽ). Tính diện tích lớn nhất còn lại để xây phòng học và các cong trình khác. D C Bài 133: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 8cm,AD 6cm.Gọi H là hình chiếu của A trên BD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của DH,BC a) Tính diện tích tứ giác ABCH b) Chứng minh AM  MN. Bài 134: Cho hình vuông ABCD;Trên tia đối của tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE CF a) Chứng minh EDF vuông cân
b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O,C,I thẳng hàng Bài 135:Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD AE.Xác định vị trí điểm D, E sao cho a) DE có độ dài nhỏ nhất b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. Bài 136:Cho O là trung điểm của đoạn AB.Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax,By cùng vuông góc với AB.Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D a) Chứng minh AB2 4AC.BD b) Kẻ OM  CD tại M. Chứng minh AC CM. c) Từ M kẻ MH vuông góc với AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH d) Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất Bài 137:Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm.Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB,BC.Gọi P là giao điểm của AN với DM a) Chứng minh APM là tam giác vuông b) Tính diện tích của tam giác APM c) Chứng minh tam giác CPD là tam giác cân. Bài 138:Cho hình thang cân ABCD có ·ACD 600 ,O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E,F,G theo thứ tụ là trung điểm của OA,OD,BC.Tam giác EFG là tam giác gì ? Vì sao? Bài 139:Cho hình bình hành ABCD có E,F thứ tự là trung điểm của AB,CD. a) Chứng minh rằng các đường thẳng AC,BD,EF đồng quy b) Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N.Chứng minh rằng EMFN là hình bình hành Bài 140:Cho đoạn thẳng AB a.Gọi M là một điểm nằm giữa Avà B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMNP,BMLK có tâm theo thứ tự là C, D. Gọi I là trung điểm của CD. a) Tính khoảng cách từ I đến AB b) Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ABthì điểm I di chuyển trên đường nào ? Bài 141:Cho hình thang ABCD ( AB / /CD, AB CD ). Gọi N và M theo thứ tự là trung điểm của các đường chéo AC,BD.Chứng minh rằng: 1) MN / / AB CD AB 2) MN 2 Bài 142:Cho hình thang ABCD ( AB / /CD và AB CD) ; Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC, BD.Đường thẳng qua A và song song với BC cắt BD tại E, cắt CD tại A’ ; đường thẳng qua B và song song với AD cắt AC tại F, cắt CD tại B'. Gọi diện tích các tam giác OAB,OCD, ACD, ABC lần lượt là S1,S2 ,S3,S4 . Chứng minh: a) EF / / AB AB BE b) và AB2 EF.CD CD BD
S S c) 1 2 1 S4 S3 Bài 143: Cho hình bình hành ABCD.Với AB a, AD b.Từ đỉnh A, kẻ một đường thẳng a bất kỳ cắt đường chéo BDtại E, cắt cạnh BC tại F và cắt tia DC tại G. a) Chứng minh : AE 2 EF.EG b) Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG không đổi Bài 144:Cho hình thang ABCD ( AB / /CD)có AB CD.Qua Avà Bkẻ các đường thẳng song song với BC và AD lần lượt cắt CD ở K và I. Gọi E là giao điểm của AK và BD, F là giao điểm của BI và AC. Chứng minh rằng: a) EF / / AB b) AB2 CD.EF Bài 145:Cho tam giác ABC vuông tại A,D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD 4EF đạt giá trị nhỏ nhất Bài 146:Trong tam giác ABC,các điểm A,E,F tương ứng nằm trên các cạnh BC,CA, AB sao cho ·AFE B· FD;B· DF C· DE;C· ED ·AEF a) Chứng minh rằng: B· DF B· AC b) Cho AB 5,BC 8,CA 7.Tính độ dài đoạn BD. Bài 147:Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi Bài 148:Cho tam giác ABC,đường cao AH, vẽ phân giác Hx của góc ·AHB và phân giác Hy của ·AHC . Kẻ AD vuông góc với Hx , AE vuông góc với Hy Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình vuông. Bài 149:Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Vì sao ? b) Chứng minh rằng : CH.CD CB.CK c) Chứng minh rằng: AB.AH AD.AK AC 2 Bài 150: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của BD,BC,DC a) Chứng minh APQR là hình thang cân b) Biết AB 6cm, AC 8cm.Tính độ dài của AR Bài 151: Cho hình bình hành ABCD.Một đường thẳng qua B cắt cạnh CD tại M, cắt đường chéo AC tại N và cắt đường thẳng AD tại K. Chứng minh: 1 1 1 BN BM BK Bài 152: Cho tam giác ABC phân giác AD.Trên nửa mặt phẳng không chứa Abờ 1 BC,vẽ tia Cxsao cho B· Cx B· AC. Cxcắt AD tại E; I là trung điểm DE. Chứng 2 minh rằng: a) ABD : CED
b) AE 2 AB.AC c) 4AB.AC 4AI 2 DE 2 d) Trung trực của BC đi qua E Bài 153: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C, vẽ hình vuông AHKE. Gọi P là giao điểm của AC và KE a) Chứng minh ABP vuông cân b) Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh H, I, E thẳng hàng c) Tứ giác HEKQ là hình gì? Chứng minh Bài 154: Tính diện tích hình thang ABCD ( AB // CD), biết AB = 42cm, µA 450 ; Bµ 600 và chiều cao của hình thang bằng 18m Bài 155: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi Evà F lần lượt là giao điểm của BN và MQ; CM và NP. Chứng minh rằng a) DE song song với AC b) DE DF; AE AF Bài 156: Cho tam giác vuông cân ABC(AB AC).M là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho NM MA;CN cắt ABtại E. Chứng minh : a) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN NC NB b) 1 AN AB Bài 157: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên AC. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BAtại O. Chứng minh rằng: a)OA.OB OC.OH b) O· HA có số đo không đổi c) Tổng BM.BH CM.CA không đổi Bài 158: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường caao BD,CE cắt nhau tại H a) Chứng minh ABD : ACE b) Chứng minh BH.HD CH.HE c) Nối D với E, cho biết BC a, AB AC b.Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a Bài 159: Cho hình bình hành ABCD(AC BD).Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của C lên AB và AD. Chứng minh a) ABC : HCG b) AC 2 AB.AG AD.AH Bài 160: Cho hình vuông ABCD,M là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Trong nửa mặt phẳng bờ ABchứa C dựng hình vuông AMHN.Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH ở E, cắt DC ở F. a) Chứng minh rằng BM ND b) Chứng minh rằng N,D,C thẳng hàng c) EMFN là hình gì ? d) Chứng minh: DF BM FM và chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi vị trí trên BC.
Bài 161: Cho hình chữ nhật ABCD.Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của C qua P. a) Tứ giác AMDB là hình gì ? b) Gọi Evà F lần lượt là hình chiếu của điểm M lân AB, AD. Chứng minh EF / / AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P PD 9 d) Giả sử CP  BD và CP 2,4cm, .Tính các cạnh của hình chữ nhật PB 16 ABCD. Bài 162: Cho hình thang ABCD vuông tại Avà D.Biết CD 2AB 2ADvà BC a 2 .Gọi E là trung điểm của CD. a) Tứ giác ABEDlà hình gì ? Tại sao ? b) Tính diện tích hình thang ABCD theo a c) Gọi I là trung điểm của BC,H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC. Tính góc H· DI Bài 163: Cho tam giác ABC.Gọi I là một điểm di chuyển trên cạnh BC.Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh ABtại M. Qua I , kẻ đường thẳng song song với cạnh ABcắt cạnh AC tại N 1) Gọi O là trung điểm của AI . Chứng minh rằng ba điểm M,O,N thẳng hàng 2) Kẻ MH, NK, AD vuông góc với BC lần lượt tại H,K,D.Chứng minh rằng MH NK AD 3) Tìm vị trí của điểm I để MN song song với BC. Bài 164: Cho tam giác ABC,các góc Bvà C nhọn. Hai đường cao BEvà CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a) AB.AF AC.AE b) AEF : ABC c) BH.BE CH.CF BC 2 Bài 165: Cho hình vuông ABCDcó hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M 0 MB MA và trên cạnh BClấy N sao cho M· ON 900.Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE. a) Chứng minh MON vuông cân b) Chứng minh MN song song với BE c) Chứng minh CK vuông góc với BE KC KN CN d)Qua K vẽ đường song song với OM cắt BCtại H. Chứng minh: 1 KB KH BH Bài 166: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BD; I và J thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng DH và BC.Tính số đo của góc ·AIJ b) Cho tam giác ABC nhọn trực tâm H, trên đoạn BH lấy điểm M và trên đoạn CH lấy điểm N sao cho ·AMC ·ANB 900 . Chứng minh rằng AM AN Bài 167: Cho hình bình hành ABCD AC BD , hình chiếu vuông góc của C lên AB, AD lần lượt là E và F. Chứng minh: 1) CE.CD CB.CF và ABC đồng dạng với FCE 2) AB.AE AD.AF AC 2
Bài 168: Cho hình vuông ABCDcó hai đường chéo cắt nhâu tại O. Một đường thẳng kẻ qua A cắt cạnh BCtại M và cắt đường thẳng CDtại N. Gọi K là giao của OM và DN.Chứng minh CK vuông góc với BN. Bài 169: Cho tam giác nhọn ABC . Các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC b) BH.BE CH.CF BC 2 BC 2 c) AD.HD 4 d) Gọi I, K,Q, R lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ E xuống AB, AD ,CF, BC . Chứng minh bốn điểm I, K,Q, R cùng nằm trên một đường thẳng. Bài 170: Cho tam giác ABC.Trên tia đối của các tia BA,CA lấy theo thứ tự các điểm D, E sao cho BD CE BC.Gọi Olà giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh AB CK Bài 171: Cho tam giác ABC nhọn, BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng: HED : HBC b) Chứng minh rằng: ADE : ABC c) Gọi M là trung điểm của BC, qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt AB tại I, cắt AC tại K. Chứng minh tam giác IMK là tam giác cân Bài 172: Cho tam giác ABC có B· AC 1200.Các phân giác AD, BE và CF 1 1 1 a) Chứng minh rằng AD AB AC b)Tính F· DE Bài 173: Cho tam giác vuông cân ABC AB AC . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM 2MA , trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đường thẳng Bx vuông 1 góc với AB,trên Bx lấy điểm N sao cho BN AB . Đường thẳng MC cắt NAtại E, 2 đường thẳng BE cắt đường thẳng AC tại F. a) Chứng minh AF AM. b) Gọi H là trung điểm của FC.Chứng minh EH BM Bài 174: Chứng minh rằng trong một hình bình hành, khoảng cách từ một điểm trên đường chéo đến hai cạnh kể (hai cạnh kề và đường chéo cùng đi qua một đỉnh của hình bình hành), tỉ lệ nghịch với hai cạnh ấy. Bài 175: Gọi M là diểm nằm trong x· Oy m0 (0 m 90).Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M trên Ox,Oy.Gọi H, K lần lượt là trung điểm của OM , PQ a) Chứng minh HK  PQ b) Tính số đo H· PQ theo m Bài 176: Cho tam giác ABC vuông tại A AC AB . Vẽ đường cao AH H BC . Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH HA.Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P. a) Chứng minh : Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC b) Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC. AH BC c) Tia AQ cắt BC tại I. Chứng minh 1. HB IB
Bài 177: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC AB), đường cao AH.Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C, vẽ hình vuông AHKE.Gọi P là giao điểm của AC và KE a) Chứng minh ABP vuông cân b) Gọi Qlà đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB,gọi I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh H, I, E thẳng hàng. c) Tứ giác HEKQlà hình gì ? Bài 178: Tính diện tích hình thang ABCD AB / /CD , biết AB 42cm, µA 450 ; Bµ 600 , chiều cao của hình thang bằng 18cm Bài 179: Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CDlấy điểm M bất kỳ CM CD , vẽ hình vuông CMNP(P nằm giữa B và C), DP cắt BM tại H, MP cắt BD tại K. a) Chứng minh: DH vuông góc với BM. PC PH KP b) Tính Q BC DH MK c) Chứng minh: MP.MK DK.BD DM 2 Bài 180: Cho hình vuông ABCDcó cạnh bằng a . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC.M là giao điểm của CEvà DF. a) Chứng minh CEvuông góc với DF CM.CE b) Chứng minh a CF c) Tính diện tích MDCtheo a Bài 181: Cho tam giác ABC có AB 2a; AC 3a;BC 4a.Đường phân giác AD và BEcắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm của AC, G là trọng tâm tam giác ABC a) Tính độ dài đoạn thẳng BD theo a b) Chứng minh IG / / AC c) Tính tỉ số diện tích của tứ giác EIGM và ABC Bài 182: Cho hình bình hành ABCD có AB 2BC, đường phân giác các góc C và D cắt nhau tại M. Chứng minh A,M,Bthẳng hàng Bài 183: Cho tam giác ABC đều. Một đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DE và BE.Gọi O là trọng tâm của tam giác ADE. a) Chứng minh OMN : OEC b) Chứng minh ON vuông góc với NC. Bài 184: Cho hình chữ nhật ABCDcó AB 8cm, AD 6cm.Gọi H là hình chiếu của A trên BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DH, BC c) Tính diện tích tứ giác ABCH d) Chứng minh AM  MN. Bài 185: Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, I, C thẳng hàng Bài 186: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí điểm D, E sao cho a) DE có độ dài nhỏ nhất b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất
Bài 187: Cho ABC vuông tại A, có AB 15 cm, AC 20cm.Kẻ đường cao AH và trung tuyến AM a) Chứng minh ABC : HBA b) Tính BC; AH; BH; CH c) Tính diện tích AHM Bài 188: Cho tam giác ABC vuông tại A AC  AB . Vẽ đường cao AH H BC . Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P. a.Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC. b. Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK. Bài 189: Cho tam giác ABC có Aˆ Bˆ . Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho HAˆC ABˆC . Đường phân giác của góc BAˆH cắt BH ở E. Từ trung điểm M của AB kẽ ME cắt đường thẳng AH tại F. Chứng minh rằng: CF // AE. Bài 190: Từ đỉnh A của ABC ta hạ các đường vuông góc AM, AN với phân giác trong và ngoài tương ứng của góc B. Hạ các đường vuông góc AP, AQ với phân giác trong và ngoài tương ứng của góc C. a. Chứng minh rằng 4 điểm MNPQ thẳng hàng b. Cho QN = 10 cm tính chu vi tam giác ABC c. Cho điểm O chuyển động trên BC tìm vị trí của O sao cho tích khoảng cách từ O đến AB và AC đạt giá trị lớn nhất. Bài 191: Cho hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M bất kỳ trên cạnh BC (M khác B và C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K. 1. Chứng minh KM vuông góc với DB. 2. Chứng minh rằng: KC.KD = KH.KB. 3. Ký hiệu SABM , SDCM lần lượt là diện tích các tam giác ABM và DCM. a) Chứng minh tổng (SABM SDCM ) không đổi. 2 2 b) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để (S ABM S DCM ) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a. Bài 192: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N. a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật. b) Chứng minh ΔCBH đồng dạng với ΔEAH c) Biết diện tích ΔCBH gấp bốn lần diện tích ΔEAH.Chứng minh rằng: AC = 2EF. 1 1 1 d) Chứng minh rằng: = + . AD2 AM2 AN2 Bài 193: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a) Chứng minh rằng OM = ON. 1 1 2 b) Chứng minh rằng . AB CD MN 2 2 c) Biết SAOB= 2015 (đơn vị diện tích); SCOD= 2016 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.
Bài 194: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC). Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HD = HA. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E. 1.Chứng minh CD.CB = CA.CE 2. Tính số đo góc BEC. 3. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Tia AM cắt BC tại G. GB HD Chứng minh: BC AH HC Bài 195: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB AC ), kẻ đường cao AH và đường trung tuyến AM ( H, M BC ). Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC . 1. Chứng minh rằng: a) DE 2 BH.HC . b) AH 2 AD.DB AE.EC c) DE vuông góc với AM . 2. Giả sử diện tích tam giác ABC bằng 2 lần diện tích tứ giác ADHE. Chứng minh tam giác ABC vuông cân. Bài 196: Cho hình chữ nhật ABCD,AB 2AD. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm P sao cho AM CP.Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi Q là trung điểm của CH,đường thẳng kẻ qua P song song với MQ cắt AC tại N. d) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành e) Khi M là trung điểm của AD. Chứng minh BQ vuông góc với NP 1 1 1 f) Đường thẳng AP cắt DC tại điểm F. Chứng minh rằng AB2 AP2 4AF2 Bài 197: Cho tam giác ABCvuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. d) Chứng minh : EA.EB ED.EC e) Chứng minh rằng khi điểm Mdi chuyển trên cạnh ACthì tổng BM.BD CM.CAcó giá trị không đổi f) Kẻ DH  BC H BC . Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH,CH. Chứng minh CQ  PD Bài 198: Cho tam giác ABCvuông ở A có AM là phân giác M BC . Đường thẳng qua M và vuông góc với BC cắt đường thẳng ABtại N. Chứng minh rằng MN MC Bài 199:Cho hình vuông ABCDcó cạnh bằng 20cm. Trên cạnh CD lấy điểm M. Đường thẳng vuông góc với BM tại M cắt ADtại N. a) Cho MC 15cm.Tính diện tích tam giác BMN b) Xác định vị trí của Mtrên cạnh CDđể NDcó độ dài lớn nhất. Bài 200: Cho hình vuông ABCDcó AC cắt BD tại O. Mlà điểm bất kỳ thuộc cạnh BC M B,C . Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE CM. a) Chứng minh : OEMvuông cân b) Chứng minh: ME / /BN c) Từ C kẻ CH  BN H BN . Chứng minh rằng ba điểm O,M,H thẳng hàng. Bài 201: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) . Các đường cao AE,BF,CG cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM,a cắt AB,AC lần lượt tại I và K
a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác EFC b) Qua Ckẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK,bcắt AH, AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh NC ND,HI HK AH BH CH c) Chứng minh 6 HE HF HG Bài 202: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA',BB',CC',H là trực tâm. HA' HB' HC ' a) Tính tổng AA' BB' CC ' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC;IM,IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM BN.IC.AM AB BC CA 2 c) Chứng minh rằng: 4 AA'2 BB'2 CC '2 Bài 203: 1) Cho hình vuông ABCD , gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C, dựng hình vuông AMHN. Qua Mdựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH tại E.Đường thẳng AH cắt DC tại F. a) Chứng minh rằng BM ND. b) Tứ giác EMFN là hình gì c) Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi trên BC 2) Cho tam giác ABC có B· AC 900 , ·ABC 200.Các điểm E và F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho ·ABE 100 và ·ACF 300.Tính C· FE Bài 204: Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC có AD là tia phân giác của B· AC . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC,E là giao điểm của BN và DM, F là giao điểm của CM và DN. 1) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và EF / /BC. 2) Gọi H là giao điểm của BN và CM. Chứng minh ANB đồng dạng với NFAvà H là trực tâm AEF 3) Gọi giao điểm của AH và DM là K, giao điểm của AH và BC là O, giao điểm BI AO DM của BK và AD là I. Chứng minh : 9 KI KO KM B. HƯỚNG DẪN Bài 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a.Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA.M là giao điểm của CE và DF. a) Chứng minh: Tứ giác EFGH là hình vuông b) Chứng minh DF  CE và MADcân c) Tính diện tích MDC theo a. Lời giải
A E B H M F N D G C a) Chứng minh EFGH là hình thoi Chứng minh có 1 góc vuông nên EFGH là hình vuông b) BEC CFD E· CB F· DC mà CDF vuông tại C nên: C· DF D· FC 900 D· FC E· CB 900 CMF vuông tại M hay CE  DF Gọi N là giao điểm của AG và DF.Chứng minh tương tự: AG  DF GN / /CM mà G là trung điểm của DC nên N là trung điểm DM. Trong MADcó AN vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến MAD cân tại A CD CM c) CMD : FCD(g.g) FD FC 2 2 SCMD CD CD Do đó : SCMD .SFCD SFCD FD FD 1 1 Mà S CF.CD CD2 . FCD 2 4 CD2 1 Vậy S . CD2 CMD FD2 4 Trong DCF theo định lý Pytago ta có: 2 2 2 2 1 2 2 1 2 5 2 DF CD CF CD BC CD CD CD 2 4 4 CD2 1 1 Do đó: S . CD2 a2 MCD 5 CD2 4 5 4 Bài 2:Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE AF . Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N
1) Chứng minh rằng tứ giác AEMDlà hình chữ nhật 2) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH.Chứng minh rằng AC 2EF 1 1 1 3) Chứng minh rằng : AD2 AM 2 AN 2 Lời giải A E B H F D M C N 1) Ta có: D· AM ·ABF (cùng phụ với B· AH ) AB AD (gt);B· AF ·ADM 900 (ABCD là hình vuông) ADM BAF g.c.g DM AF,mà AF AE(gt) nên AE DM Lại có: AE / /DM (vì AB / /DC) Suy ra tứ giác AEMDlà hình bình hành . Mặt khác D· AE 900 (gt) Vậy tứ giác AEMDlà hình chữ nhật 2) Ta có ABH : FAH (g.g) AB BH BC BH hay AB BC; AE AF AF AH AE AH Lại có: H· AB H· BC (cùng phụ với ·ABH ) CBH : AEH (c.g.c) 2 2 SCBH BC SCBH BC 2 2 ,mà 4(gt) 4 BC 2AE SEAH AE SEAH AE BC 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD Do đó: BD 2EF hay AC 2EF(dfcm) 3) Do AD / /CN(gt).Áp dụng hệ quả định lý Ta let ta có: AD AM AD CN CN MN AM MN Lại có: MC / / AB gt .Áp dụng hệ quả định lý Ta let ta có: MN MC AB MC AD MC hay AN AB AN MN AN MN
2 2 2 2 AD AD CN CM CN 2 CM 2 MN 2 2 2 1 AM AN MN MN MN MN (Pytago) 2 2 AD AD 1 1 1 1 2 2 2 (dfcm) AM AN AM AN AD Bài 3:Cho tam giác ABC nhọn. Dựng ra phía ngoài hai tam giác đều ABE; ACF,lại dựng hình bình hành AEPF.Chứng minh rằng PBC là tam giác đều Lời giải A 1 2 3 E 1 2 P F B C Ta có: AEPF là hình bình hành nên ·AEP ·AFP Xét EPBvà FPC có: EB FP AE ;EP FC AF ;P· EB P· FC(vi 600 ·AEP 600 ·AFP) EPB FPC c.g.c PB PC (1) · · 0 µ µ 0 µ ¶ 0 µ ¶ Ta có: EAP AEP 180 A3 E1 60 mà E1 E2 60 A3 E2 EPB ABC(cgc) PB BC 2 Từ (1) và (2) suy ra PB PC BC . Vậy PBC đều Bài 4:Cho tam giác ABC có BC 15cm, AC 20cm, AB 25cm. a) Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC b) Gọi CD là đường phân giác của ACH.Chứng minh BCD cân Chứng minh: BC 2 CD2 BD2 3CH 2 2BH 2 DH 2 Lời giải
C B A H D a) Dùng định lý Pytago đảo chứng minh được: ABC vuông tại C 1 1 AC.BC 20.15 Ta có: S AC.BC AB.CH CH 12cm. ABC 2 2 AB 25 b) Dễ dàng tính được: HA 16cm,BH 9cm CD là tia phân giác của ACH nên suy ra AD 10cm,HD 6cm. Do đó: BC BD 15cm Vậy BDC cân tại B c) Xét các vuông: CBH,CAH Ta có: BC 2 BH 2 CH 2 (Pytago) CD2 DH 2 CH 2 Pytago BD2 BC 2 BH 2 CH 2 Pytago Từ đó suy ra BC 2 CD2 BD2 3CH 2 2BH 2 DH 2 Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các điểm M,N thứ tự là trung điểm của BC và AC.Các đường trung trực của BC và AC cắt nhau tại O.Qua A kẻ đường thẳng song song với OM, qua B kẻ đường thẳng song song với ON, chúng cắt nhau tại H. d) Nối MN , AHB đồng dạng với tam giác nào? e) Gọi G là trọng tâm ABC , chứng minh AHG đồng dạng với MOG ? f) Chứng minh ba điểm H , O , G thẳng hàng ? Lời giải ý a : 2 ®iÓm Chøng minh ®îc 1 1.0 cÆp gãc b»ng nhau Nªu ®îc cÆp gãc 0,5 b»ng nhau cßn l¹i ChØ ra ®îc hai tam 0,5 gi¸c ®ång d¹ng ý b : 2 ®iÓm Tõ hai tam gi¸c 0,5 ®ång d¹ng ë ý a suy
ra ®óng tØ sè cÆp A c¹nh AH / OM TÝnh ®óng tØ sè cÆp 0,5 c¹nh AG / GM ChØ ra ®îc cÆp gãc 0,5 b»ng nhau H KÕt luËn ®óng 2 0,5 N tam gi¸c ®ång d¹ng ý c : 2 ®iÓm G O C B M - Tõ hai tam gi¸c ®ång 0,5 d¹ng ë c©u b suy ra gãc AGH = gãc MGO (1) - MÆt kh¸c gãc MGO + 0,5 Gãc AGO = 1800(2) - Tõ (1) vµ (2) suy ra gãc 0,5 AGH + gãc AGO = 1800 - Do đó H, G, O thẳng hàng 0,5 Bài 6:Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a.Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và BC. c) Tính diện tích tứ giác AMND. d) Phân giác góc CDM cắt BC tại E.Chứng minh DM AM CE A M B E N C D K Lời giải a) S AMND S ABCD S BMN S NCD a Ta có: BMN vuông tại B có BM BN CN 2 NCDvuông tại C có DC a 1 a a 1 a a2 a2 5a2 S a2 . . a. a2 AMND 2 2 2 2 2 8 4 8 b) Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho CK AM. Dễ dàng chứng minh được ADM CDK c.g.c AM CK;DM DK 1
Và ·ADM C· DK Ta có: ·ADE ·ADM M· DE E· DC C· DK E· DK(ViM· DE E· DC) Mặt khác ·ADE D· EK (so le trong) E· DK D· EK.Vậy DKE cân tại K DK KE CK CE(2) Từ (1) và (2) suy ra DM AM CE Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BD,CE là hai đường cao của tam giác cắt nhau tại điểm H. Chứng minh rằng: d) HD.HB HE.HC e) HDE : HCB f) BH.BD CH.CE BC 2 B.Lời giải Bài 1: . Lời giải A D E H C B F a) Chứng minh BHE : CHD vì Eµ Dµ 900;E· BH D· CH (cùng phụ góc A) H E H B H D .H B H E .H C H D H C HE HB HE HD b) Từ và E· HD C· HB (đối đỉnh) HDE : HCB HD HC HB HC c) Vì H là giao điểm của hai đường cao BDvà CE nên H là trực tâm của tam giác AH là đường cao thứ ba. Gọi F là giao điểm của AH với BC. Ta có: AF  BC BH BF BHF : BCD(g.g) BH.BD BF.BC(*) BC BD CH CF CHF : BCE(g.g) CH.CE CF.BC CB CE Cộng theo vế * , : BH.BD CH.CE BC. BF CF BC 2
Bài 8: Cho tam giác ABC.Từ điểm M thuộc cạnh AC kẻ các đường thẳng song song với các cạnh AB và BC cắt BC tại E và ABtại F. Hãy xác định vị trí của M trên AC sao cho hình bình hành BEMF có diện tích lớn nhất Lời giải A x F I M y B H E C Ta có tứ giác BEMF là hình bình hành . Kẻ AH  BC, AH cắt MF tại I AI  MF. Gọi S ' là diện tích hình bình hành BEMF và S là diện tích tam giác ABC 1 S ' IH.MF và S BC.AH 2 S ' IH.MF MF IH Ta có: 2 . 1 1 S BC.AH BC AH 2 Đặt AM x,MC y MF AM x IH MC y Vì MF / /BC nên ta có: ; BC AC x y AH AC x y S ' x y 2xy Thay vào (1) ta có: 2. . S x y x y x y 2 2 Vì x, y là hai số không âm nên ta có: x y 2 xy x y 4xy S ' 2xy 2xy 1 S ' 1 1 S ' S S x y 2 4xy 2 S 2 2 Dấu " " xảy ra khi x y, tức là khi M là trung điểm cạnh AC thì diện tích hình 1 bình hành BEMF đạt giá trị lớn nhất là S không đổi 2 Bài 9:
Cho tam giác ABC.Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA,CA sao cho BD CE BC.Gọi O là giao điểm của BEvà CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB CK Lời giải A 2 K 1 1 C B 1 O E M D Vẽ hình bình hành ABMC ta có: AB CM Để chứng minh AB KC ta cần chứng minh KC CM. µ µ Thật vậy, xét tam giác BCE có BC CE gt CBE cân tại C B1 E Vì góc C1 là góc ngoài của tam giác BCE 1 1 Cµ Bµ Eµ Bµ Cµ mà AC / /BM (ta vẽ) Cµ C· BM Bµ C· BM nên 1 1 1 2 1 1 1 2 BO là tia phân giác của C· BM.Hoàn toàn tương tự ta có CD là tia phân giác của B· CM . Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy tại O MO là tia phân giác của C· MB Mà B· AC,B· MC là hai góc đối của hình bình hành BMCA MO / / với tia phân giác của góc A theo giả thiết tia phân giác của góc A còn song song với OK K,O,M thẳng hàng 1 Ta lại có: M¶ B· MC(cmt); µA M¶ M¶ µA mà µA K¶ (2 góc đồng vị) 1 2 1 2 2 1 ¶ ¶ K1 M1 CKM cân tại C CK CM. Kết hợp AB CM AB CK dfcm Bài 10: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M bất kỳ, sao cho M khác Avà C.Trên cạnh ABlấy điểm Esao cho AE CM a) Gọi O là trung điểm của cạnh BC.Chứng minh OEM vuông cân
b) Đường thẳng qua Avà song song với ME,cắt tia BM tại N. Chứng minh : CN  AC c) Gọi H là giao điểm của OM và AN. Chứng minh rằng tích AH.AN không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên cạnh AC. Lời giải H A N E M C O B a. Vì tam giác ABC vuông cân tại A và O là trung điểm của cạnh BC nên AO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC. Suy ra OA OC OB và O· AB ·ACO 450 Xét OEAvà OMC có: OA OC;O· AB ·ACO 450; AE CM gt OEA OMC c.g.c OE OM & E· OA M· OC (1) Vì AO là đường trung tuyến của tam giác cân ABC nên AO cũng là đường cao AO  BC ·AOM M· OC ·AOC 900 (2) Từ (1) và (2) suy ra : ·AOM ·AOE E· OM 900 Vì OE OM & E· OM 900 nên OEM vuông cân tại O BM BE b. Vì ME / / AN nên theo định lý Ta – let ta có: (3) MN EA Vì tam giác ABC cân tại A nên AB AC,mà AE CM nên BE AM Do đó, ở (3) ta thay BE bởi AM , thay EA bởi MC ta được: BM AM (4) AB / /CN (Theo định lý Ta let đảo) MN MC Mà AB  AC CN  AC c. Từ ME / / AN O· ME O· HA(cặp góc đồng vị) Mà O· ME 450 (vì OEM vuông cân tại O) suy ra O· HA 450 ·ACB Hay M· HA ·ACB.Kết hợp với O· MC ·AHM (đối đỉnh) (1) OM MC , kết hợp O· MA C· MH (hai góc đối đỉnh) AM MH OMA : CMH (c.g.c) O· AM M· HC (2) Từ (1) và (2) suy ra ·AHC M· HA M· HC 900 , suy ra CH  AN Xét tam giác AHC và tam giác CAN sẽ đồng dạng theo trường hợp góc góc
AH AC AH.AN AC.HC không đổi HC AN Bài 11: Lời giải A E F H N M B D C O HD S a) Trước hết chứng minh HBC AD S ABC HE S HF S Tương tự ta có: HCA ; HAB BE SABC CF SABC HD HE HF S S S HD HE HF Nên HBC HCA HAB 1 1 AD BE CF SABC AD BE CF b) Trước hết chứng minh BDH : BEC BH.BE BD.BC Và CDH : CFB CH.CF CD.CB BH.BE CH.CF BC. BD CD BC 2 (dfcm) c) Chứng minh AEF : ABC ·AEF ·ABC Và CDE : CAB C· ED C· BA ·AEF C· ED Mà EB  AC nên EBlà phân giác của góc DEF Tương tự : DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE Vậy H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF Nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm) d) Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của hai đoạn MN và HC , ta có OMH ONC c.c.c O· HM O· CN (1) Mặt khác ta cũng có OCH cân tại O nên O· HC O· CH (2) Từ 1 và 2 ta có: O· HC O· CH HO là phân giác của góc B· HC Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và phân giác của B· HC nên O là điểm cố định
Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O . Bài 12: Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng ABvẽ tia Ax,By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D. a) Chứng minh AB2 4.AC.BD b) Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC CM c) Từ M kẻ MH vuông góc AB tại I. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH. y x I D M C K A H O B Lời giải a) Chứng minh OAC : DBO g.g OA AC OA.OB AC.BD DB OB AB AB . AC.BD AB2 4.AC.BD(dfcm) 2 2 OC AC b) Theo câu a ta có OAC : DBO g.g OD OB OC AC OC OD Mà OA OB OD OA AC OA Chứng minh OCD : ACO c.g.c O· CD ·ACO Chứng minh OAC OMC ch gn AC MC(dfcm) c) Ta có: OAC OMC OA OM;CA CM OC là trung trực của AM OC  AM Mặt khác : OA OM OB AMB vuông tại M OC / /BM (Vì cùng vuông góc với AM ) hay OC / /BI Chứng minh được C là trung điểm của AI MK BK KH Do MH / / AI theo hệ quả Ta let ta có: IC BC AC Mà IC AC MK HK BC đi qua trung điểm của MH (đpcm) Bài 13: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. e) Chứng minh rằng: BD.DC DH.DA
HD HE HF f) Chứng minh rằng: 1. AD BE CF g) Chứng minh rằng: H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF h) Gọi M , N,P,Q,I,K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC,CA, AB , EF,FD,DE.Chứng minh rằng ba đường thẳng MQ, NI,PK đồng quy tại một điểm Lời giải BD DH a) Chỉ ra được BDH : ADC(g.g) BD.DC DH.DA AD DC 1 S HD.BC HD b) Ta có: HBC 2 S 1 AD ABC AD.BC 2 HE S HF S Tương tự HAC ; HAB BE SABC CF SABC HD HE HF S S S S Do đó: HBC HAC HAB ABC 1 AD BE CF SABC SABC c) Chứng minh được AEF : ABC c.g.c ·AEF ·ABC Tương tự: D· EC ·ABC. Do đó: ·AEF D· EC Mà ·AEF H· EF D· EC H· ED 900 nên H· EF H· ED EH là phân giác ngoài của góc EFD Do đó H là giao các đường phân giác của tam giác DEF 1 d) Do BEC vuông tại E, M là trung điểm BC nên EM BC (trung tuyến ứng 2 1 với cạnh huyền), Tương tự: FM BC 2 Do đó: EMF cân tại M, mà Q là trung điểm EF nên MQ  EF MQ là đường trung trực của EF hay MQ là đường trung trực của tam giácDEF. Hoàn toàn tương tự, chứng minh được NI và PK cũng là đường trung trực của tam giác DEF nên ba đường thẳng MQ, NI,PK đồng quy tại một điểm. Bài 14: Cho tam giác ABC cân tại A có AB AC b;BC a.Đường phân giác BD của tam giác ABC có độ dài bằng cạnh bên của tam giác ABC.Chứng minh rằng: 1 1 b . b a a b 2 Lời giải
A H D B C Vẽ BH là đường cao của tam giác ABC Tam giác BAD cân tại B BA BD có BH là đường cao nên cũng là đường trung tuyến AD AH 2 Tam giác ABC có BD là đường phân giác, ta có: DA AB b DA DC DA DC AC b b2 DA DC BC a b a a b a b a b a b Tam giác HAB vuông tại H, theo định lý Pytago ta có: AD2 AB2 BH 2 AH 2 BH 2 b2 (1) 4 Tam giác HBC vuông tại H, theo định lý Pytago, ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 AD BC BH HC BH BC AC AH a b 2 AD2 BH 2 a2 b2 b.AD (2) 4 Từ (1) và (2) ta có: AD2 AD2 b2 a2 b2 b.AD b2 a2 b.AD b2 4 4 ab2 a b b 1 1 b b a b a a b ab a b 2 b a a b 2 Vậy bài toán được chứng minh Bài 15: Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD).Gọi O là giao điểm của AC và BD; các đường kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC tương ứng ở F và E. Chứng minh: EF / / AB c) AB2 EF.CD
d) Gọi S1,S2 ,S3 và S 4 theo thứ tự là diện tích của tam giác OAB,OCD,OAD và OBC . Chứng minh S1.S2 S3.S4 Lời giải A B O K E H F D B1 A1 C OE OA OB OC a) Do AE / /BC và BF / / AD OF OB OA OD OA OB OE OF Mặt khác AB / /CD ta lại có: nên EF / / AB OC OD OB OA b)ABCA1 và ABB1D là hình bình hành A1C DB1 AB EF AB Vì EF / / AB / /CD nên AB2 EF.CD AB DC 1 1 1 1 c) Ta có: S AH.OB;S CK.OD;S AH.OD;S .OK.OD 1 2 2 2 3 2 4 2 1 1 S .AH.OB AH S .AH.OD AH 1 2 ; 3 2 S 1 CK S 1 CK 4 .CK.OB 2 .CK.OD 2 2 S1 S3 S1.S2 S3.S4 S4 S2 Bài 16: Cho tam giác ABC (cân tại A) vẽ đường cao AH, đường cao BK a) Tìm các cặp tam giác vuông đồng dạng ? Giải thích tại sao ? b) Cho AH 10cm,BK 12cm. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC c) Gọi I là giao điểm của AH và BK, hãy tìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác BCI là tam giác đều ? Lời giải
A K I C B H a) Các cặp tam giác vuông đồng dạng là : ABH : ACH (Vì có B· AH C· AH ) ABH : BCK (vì có ·ABH B· CK) ACH : BCK (vì cùng đồng dạng với ABH ) AB AH 10 5 b) Từ ABH : BCK BC BK 12 6 AB 5 3 BH AB (H là chân đường cao, trung tuyến) 2BH 6 5 Ta lại có: AB2 BH 2 AH 2 (Định lý Pytago) 2 2 3 2 AB AB 10 AB 12,5cm 5 AC AB 12,5cm ;BC 15cm c) Chỉ ra được BIC cân tại I BIC cân tại I trở thành tam giác đều khi I·BC 600 Mà I·BC H· AB H· AB 600 B· AC 1200. Vậy để BIC là tam giác đều thì ABC phải cân tại A và µA 1200 Bài 17: Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB. Cho biết tia CN cắt tia DA tại E, tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF. a) Chứng minh CE = CF; b) Chứng minh B, D, M thẳng hàng; c) Chứng minh EAC đồng dạng với MBC; d) Xác định vị trí điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD. Lời giải a) Chứng minh được CDE = CBF (g.c.g)
CE = CF. 1 b) Chỉ ra AM MC EF M thuộc đường trung trực BD của đoạn AC. Vậy B, D, 2 M thẳng hàng c) Chỉ ra ACE = BCM EAC ~ MBC (g.g). Chỉ ra CAE = CBM d) Đặt BN = x AN = a – x. 1 1 *)Tính S = S + S = DC.AE CE 2 AEFC ACE ECF 2 2 - Tính AE: Lý luận để có AE AN AE AN AE a x AE.a AE(a x) a(a x) ED DC AE AD DC AE a a a(a x) AE x - Tính CE2: Lý luận để có CE2 = CD2 + DE2 = a2 + (a + AE)2 2 a a x a 4 CE 2 a 2 a a 2 x x 2 a 3 a x Do đó SAEFC = 2x 2 2 *) Tính SABCD = a . Lý luận với SAEFC = 3SABCD để có a 6x2 – ax – a2 = 0 (2x – a)(3x + a) = 0 x (vì a, x > 0). 2 KL: N là trung điểm của AB thì SAEFC = 3SABCD. Bài 18: Hình vuông ABCD có E và F thuộc tia đối CB và DC sao cho DF BE.Từ E kẻ đường song song với AF và từ F kẻ đường song song với AE. Hai đường này giao tại I. Tứ giác AFIE là hình gì ? Lời giải Ta có AE song song với FI (gt); AF song song với EI (gt) AFEI là hình bình hành (các cặp cạnh đối song song ) (1) Chứng minh ADF ABE(c.g.c) F· AD B· AE Mà B· AE D· AE 900 (gt) F· AD D· AE 900 (2) Từ (1) và (2) suy ra AFIE là hình chữ nhật Ta lại có : AF AE (vì hai tam giác bằng nhau theo cmt) nên AFIE là hình vuông. Bài 19: 19.1: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh: a) Tứ giác EGFK là hình thoi. b) AF2 = FK.FC c) Chu vi tam giác EKC không đổi khi E thay đổi trên BC. 19.2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b và đường phân giác của 1 1 2 góc A là AD = d. Chứng minh rằng: . b c d Lời giải
19.1a) Xét ABE và ADF có: A· BE =A· DF (=900) AB = AD (ABCD là hình vuông) B· AE =D· AF (cùng phụ D· AE ) Do đó ABE = ADF (g-c-g) AE = AF AEF vuông cân tại A. Mà AI là trung tuyến của AI cũng là đường cao của AEF AI  EF hay GK  EF Xét IEG và IFK có: G· IE = K· IF (đối đỉnh) IE = IF (gt) I·EG = I·FK (so le trong) Do đó IEG = IFK (g-c-g) IG = IK Tứ giác EGFK có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (IE=IF(gt); IG=IK(cmt) đồng thời vuông góc với nhau (GK  EF) nên là hình thoi. b) Xét AFK và CAF có:K· AF = F· CA (=450) F : góc chung Do đó AFK ∽ CAF (g-g) AF KF AF2 = KF.CF. CF AF c) Đặt a là độ dài cạnh hình vuông ABCD a không đổi ABE = ADF (theo a) BE = DF Ta có: EGFK là hình thoi (theo a) nên KE = KF = KD + DF = KD + BE Chu vi EKC là: CEKC = KC + EK + EC = KC + KD + BE + CE = CD + BE = 2a không đổi. 19.2: Kẻ DE  AB, DF  AC, E AB, F AC Dễ thấy AEDF là hình chữ nhật Mà AD là tia phân giác E· AF Nên AEDF là hình vuông Biến đổi qua Pi-ta-go ta được: AD DE = DF = 2 Vì AB // DF (cùng vuông góc với AC) DFC ∽ BAC (tính chất đồng dạng) DF CD (1) AB BC DE BD Tương tự chứng minh (2) AC CD DF DE CD+BD Cộng hai vế tương ứng của (1) và (2) ta được: AB AC BC AD AD 2 2 BC AD 1 1 1 1 2 1 1 2 1 AB AC BC 2 AB AC AB AC AD b c d (đpcm)
Bài 20: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác AHB và AHC. MN cắt AB, AH, AC lần lượt tại I, E, K d) Chứng minh : BM vuông góc với AN e) Chứng minh : ME.NK MI.NE f) Biết diện tích của tam giác ABC là S. Tính diện tích lớn nhất của tam giác AIK theo S. Lời giải A F K N I M P E B H D C a) Gọi F là giao điểm của BM và AN ·ABH H· AC (cùng phụ với B· AH ) · · · 1 · · 1 · ABF CAN ABF ABH;CAN BAH 2 2 ·ABF B· AF 900 (vì C· AN B· AF 900 ) ABF vuông tại F BM  AN b) Gọi P là giao điểm của BM và CN AP là phân giác B· AC nên AP là phân giác AIK Chứng minh tương tự câu a ta có: CN  AM P là trực tâm AMN AP  IK; AP là đường cao AIK AIK vuông cân tại A AI AK. Áp dụng tính chất đường phân giác vào AIE và AEK ta có: MI AI NK AK MI NK ; (Do AI AK) ME AE NE AE ME NE ME.NK MI.NE 1 c) Gọi D là trung điểm BC; AD BC 2 AMI AMH (g.c.g) AI AH
1 1 S AI.AK AH 2 AIK 2 2 1 1 S AH.BC AH.2AD AH.AD ABC 2 2 1 1 Vì AH AD S S S S AIK 2 ABC AIK 2 1 Vậy diện tích lớn nhất của AIK là S 2 Bài 21: Cho tam giác ABC cân tại A, có µA 200. Trên AB lấy điểm D sao cho AD BC. Tính số đo B· DC ? Lời giải A D E B C Ở miền trong tam giác ABC ta dựng tam giác đều BCE khi đó: ABE ACE c.c.c B· AE C· AE 100 ·ABE 200 và ·AEB 1500 suy ra ADC BEA c.g.c ·ADC B· EA 1500 B· DC 300 Bài 22: Cho tam giác ABC cân tại A, có BC a không đổi. Gọi I là trung điểm của BC. Lấy P AB và Q AC sao cho P· IQ ·ABC . Vẽ IK  AC K AC a) Chứng minh rằng tích BP.CQ không đổi. b) Chứng minh rằng PI là tia phân giác của góc B· PQ , QI là tia phân giác của P· QC c) Gọi chu vi tam giác APQ là b, chứng minh rằng b 2.AK . Tính b theo a khi B· AC 600 Lời giải
A P M 2 Q 1 2 1 K N C B I · µ µ a) Theo tính chất góc ngoài tam giác thì PIC B P1 Mặt khác , P· IC P· IQ Q· IC Bµ Q· IC. µ · Suy ra P1 QIC BPI : CIQ BP CI a2 BP.CQ BI.CI không đổi BI CQ 4 PI BP PI BP b) Từ BPI : CIQ BPI : IPQ Pµ Pµ QI CI QI BI 1 2 Do đó PI là tia phân giác của B· PQ Chứng minh tương tự , cũng có QI là tia phân giác P· QC c) Kẻ IM  PQ M PQ ,IN  AB N AB . Vì PI,QI, AI là các tia phân giác và ABC cân tại A nên suy ra IM IN IK, AN AK,PM PN,QK QM Có b AP PQ AQ AP PM QM AQ AP PN AQ QK AN AK 2.AK CI a Nếu B· AC 600 thì AB BC CA a và CK 2 4 a 3a Suy ra b 2.AK 2. AC CK 2. a (đơn vị dài) 4 2 Bài 23:
a) Cho tam giác ABC , gọi M, N lần lượt là trung diểm của BC, AC.Gọi O, G, H lần lượt là giao điểm ba đường trung trực, ba đường cao, ba đường trung tuyến của tam giác ABC. Tính tỉ số GH :GO b) Cho hình thang ABCD có hai đáy AB 2a,CD a. Hãy dựng điểm M trên đường thẳng CD sao cho đường thẳng AM cắt hình thang làm hai phần có diện tích bằng nhau. Lời giải a) A H M G O C B N Ta có: OM / / AH (vì cùng vuông góc với BC) ON / /BH (vì cùng vuông góc với AC) NM / / AB (đường trung bình của tam giác) Xét ABH và MNO Có: B· AH N· MO (góc có cạnh tương ứng song song) ·ABH M· NO (góc có cạnh tương ứng song song) NM OM 1 ABH : MNO g.g BA AH 2 Xét AGH và MOG có: G· AH G· MO (so le trong) (1) GM 1 (tính chất trọng tâm ) (2) GA 2 OM 1 (cmt) AH 2 Từ 1 ; 2 ; 3 AHG : MOG c.g.c ·AGH M· GO(4) Mặt khác : A,G,M thẳng hàng (5) GH AH Từ (4),(5) H,G,O thẳng hàng và 2 GO OM b)
D a C K M N x A H B Gọi h là đường cao của hình thang ABCD Giả sử đã dựng được điểm M thuộc CD sao cho đường thẳng AM cắt hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau. Gọi N là giao điểm của AM và BC Đặt S1 S ADCN ;S2 S ANB ;S S ABCD . s1 s2 s Ta có: S2 S : 2 (1) s1 s2 Kẻ đường cao NH của tam giác ANB và đặt NH x ta có: 1 3ah s 2a a h 2 2 1 s .2a.x ax 2 2 1 3ah 3h Thay vào (1) : ax . x 2 2 4 NB 1 Áp dụng định lý Talet suy ra cách dựng: NC 3 1 Chia đoạn BC làm 4 phần bằng nhau, lấy điểm N trên BC sao cho NC BC 4 Đường thẳng AN cắt đường thẳng CD tại điểm M cần dựng Bài 24: Cho hình thoi ABCD có góc ·ABC 600. Hai đường chéo cắt nhau tại O, E thuộc tia BC sao cho BEbằng ba phần tư BC , AE cắt CD tại F. Trên đoạn thẳng AB và CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho CG song song với FH 3 a) Chứng minh rằng : BG.DH BC 2 4 b) Tính số đo góc GOH Lời giải
A H D G O F B C E BC BG a) Chứng minh BCG : DHF BC.DF DH.BG DH DF Theo định lý Ta let tính được: 3 3 3 DF DC BC BG.DH BC 2 4 4 4 b) Theo định lý Pytago tính được: 3 BG BO BO2 BC 2 CO2 BC 2 BG.DH BO2 BO2 BO.DO 4 DO DH Ta có G· BO H· DO 300. Nên BGO : DOH G· HO 300 c) Tính số đo góc GOH Bài 25: Cho tam giác ABC , ba điểm M,N,P lần lượt thuộc các cạnh BC,CA, AB sao cho BM CN AP BM 1 & .Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng BC CA AB BC 2 A P G N K B M I Q C Lời giải Qua N kẻ NQ / / AB Q AB , theo định lý Talet ta có: QC CN QC BM (gt) QC BM BC CA BC BC QN CQ QN AP (gt) AB QN AB CB AB AB
Gọi I,K là trung điểm của MQ và MN. Suy ra IK là đường trung bình của tam giác QN AP MNQ , vậy IK / /QN,IK IK / / AP;IK 2 2 GI GK KI 1 Gọi G là giao điểm của AI và PK , theo Ta let ta có: GA GP PA 2 Suy ra G là trọng tâm của tam giác MNP và G là trọng tâm của tam giác ABC Bài 26: Tứ giác ABCD có Bµ Dµ 1800 và CB CD.Chứng minh AC là tia phân giác của góc A. Lời giải C B 1 2 1 2 A D E Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE BA µ µ 0 µ ¶ 0 µ ¶ Ta có: B D1 180 và D1 D2 180 B D2 µ ¶ Xét CBA và CDE có: CB CD(gt);B D2;BA DE µ µ CBA CDE c.g.c A1 E 1 ;CA CE µ µ Xét CAE có CA CE nên là tam giác cân A2 E (2) µ µ Từ (1) và (2) suy ra A1 A2 AC là tia phân giác của góc A Bài 27: Một tam giác có đường cao và đường trung tuyến chia góc ở đỉnh thành ba phần bằng nhau. Tính các góc của tam giác đó. Lời giải
A 3 1 2 K 2 B 1 3 H M C Kẻ MH  BC. Khi đó AMH AKM (cạnh huyền – góc nhọn) MK MH (1) Xét ABM có AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên nó cân tại A 1 1 AH cũng là đường trung tuyến MH BH BM MC (2) 2 2 1 Từ (1) và (2) MK MC MKC là nửa tam giác đều 2 µ 0 ¶ 0 · 0 Do đó: C 30 M 3 60 HMK 120 1 1 Vì AHM AKM nên M¶ M¶ M· HK .1200 600 1 2 2 2 µ 0 µ µ 0 0 Suy ra A3 30 A 3.A3 3.30 90 Vậy ABC vuông tại A,Bµ 600;Cµ 300 Bài 28: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB,BC.Gọi P là giao điểm của AN với DM a) Chứng minh : tam giác APM là tam giác vuông. b) Tính diện tích của tam giác APM c) Chứng minh tam giác CPD là tam giác cân. A M B P N I H D C Lời giải
µ µ a) Chứng minh ADM BAN c.g.c A1 D1 µ ¶ 0 Mà D1 M1 90 ( ADM vuông tại A) µ ¶ 0 · 0 Do đó: A1 M1 90 APM 90 . Hay APM vuông tại A 4 5 2 5 4 2 b) Tính được: AP cm, AM cm SAPM cm 5 5 5 c) Gọi I là trung điểm của AD. Nối C với I; CI cắt DM tại H Chứng minh tứ giác AICN là hình bình hành AN / /CI mà AN  DM nên CI  DM Hay CH là đường cao trong tam giác CPD 1 Vận dụng định lý về đường trung bình trong ADPchứng minh được H là trung điểm của DP CH là trung tuyến trong CPD (2) Từ 1 và 2 suy ra CPD cân tại C. Bài 29: Cho tam giác ABC,đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh B C, vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng AB và AC lần lượt tại E và F. a) Chứng minh DE DF 2AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF 2 c) Ký hiệu S X là diện tích của hình X.Chứng minh SFDC 16SAMC .SFNA Lời giải F A N E C B D M DF DC a) Lập luận được: do AM / /DF (1) AM MC DE BD (do AM / /DE) (2) AM BM DE DF BD DC BC Từ (1) và (2) 2(MB MC) AM BM BM DE DF 2AM b)AMDN là hình bình hành NE AE Ta có: ND AB
NF FA DM AE NE NF NE NF ND AC BM AB ND ND 2 2 SAMC AM ND c) AMC : FDC Do AM ND SFDC FD FD 2 SFNA FN FNA : FDC SFDC FD 2 2 4 SAMC SFNA ND FN 1 ND FN 1 Do đó . . SFDC SFDC FD FD 16 FD FD 16 2 SFDC 16SAMC .SFNA 2 2 4 Do x y 0 x y 4xy x y 16x2 y2 với x 0; y 0) Bài 30: Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không có điểm chung với hình bình hành. Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy. Tìm hệ thức liên hệ độ dài giữa AA’, BB’, CC’ và DD’ . Lời giải A B HD: C/m: AA ' CC ' BB ' DD' 2OO ' O D C Bài 31: Cho tam giác ABC có G là y B' O' C' trọng tâm và một đường thẳng d x D' A' không cắt cạnh nào của tam giác. Từ các đỉnh A, B, C và trọng tâm G ta kẻ các đoạn AA’, BB’, CC’ và GG’ vuông góc với đường thẳng d. Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’. Lời giải HD: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và GC. A Kẻ MM '  d và NN '  d . 1 Chỉ ra: MM ' AA ' BB ' 1 ; M 2 G 1 N ;GG ' MM ' NN ' 2 B C 2 d 1 NN ' GG ' CC ' 3 2 C' G' N' B' M ' A ' Từ (1), (2) và (3) biến đổi suy ra đpcm. Bài 32: Cho tam giác ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó. HA' HB ' HC ' a) Chứng minh: 1 ; AA' BB ' CC ' AA' BB ' CC ' b) Chứng minh: 9 ; HA' HB ' HC ' Lời giải HA' HB ' HC ' a) Chứng minh: 1 AA' BB ' CC ' HA' S HB ' S HC ' S A Ta có: HBC ; HAC ; HAB AA ' SABC BB ' SABC CC ' SABC B' C' H B A' C
Suy ra HA' HB ' HC ' S S S S HBC HAC HAB ABC 1 AA' BB ' CC ' SABC SABC SABC SABC 1 1 1 b)C/ m BĐT phụ : a b c 9 a b c Dấu «= » a b c 0 * Chú ý: Dấu «= » ABC đều. Bài 33: Cho tam giác ABC (AC > AB). Lấy các điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE, BC. Cmr: Tỉ số KE : KD không phụ thuộc vào cách chọn điểm D và E. Lời giải A D E K KE HD: Để làm xuất hiện mộtB tỉ số bằng C ta vẽ qua D đường thẳng DG // AC. Theo KD KE KC EC hệ quả của đl Talet, ta có: KD KG DG Mà BD = EC (gt) KE BD Do đó, 1 KD DG DB DG DB AB Mặt khác, 2 BA AC DG AC KE AB Từ (1) và (2) suy ra ( không đổi) (đpcm) KD AC Bài 34: Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME  AB, MF  AD . a) Chứng minh DE = CF; DE  CF b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất? Lời giải A E B a) Chứng minh DE = CF; DE  CF H HD: C/m được EB EM AF . Suy ra AE DF F I Khi đó, AED DFC c.g.c . Suy ra DE CF . 1 M Ta lại có: · 0 µ ¶ 0 · µ 0 FJD 180 J F1 D1 180 AED D1 90 Suy ra DE  CF tại J. 1 b)D Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. Tương tự, c/m đượcC EC  BF Ta có MA MC ( BD là trục đối xứng của hình vuông ) và MA EF ( AEMF là hcn ) Do đó, MC EF . Suy ra MFC FDE(c.c.c) . Suy ra F· ED M· CF Ta lại có : F· ED E· FC 900 ( EFJ vuông tại J )
Vì thế M· CF E· FC 900 Gọi H là giao điểm của CM và EF thì E· HC 900 Xét EFC có ED, FB, CM là ba đường cao nên chúng đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất? 2 x y C/m BĐT phụ: xy . Dấu “ =” x y 2 2 2 AE AF AB 1 Áp dụng BĐT trên, ta có: SAEMF AE.AF SABCD ( 2 2 4 không đổi ) Dấu “ =” AE AF ME MF M là trung điểm của BD. 1 Suy ra GTLN ( S ) S M là trung điểm của BD. AEMF 4 ABCD Bài 35: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH  AC . Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD, N là trung điểm của BH. a) Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành; b) Tính góc BMK. Lời giải A B M N D H K C a) Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành; HD: Ta c/m: MN / /CK và MN CK b) Tính góc BMK. + C/m N là trực tâm của tam giác BMC (?) + Suy ra NC  MB mà MK / /NC ? KL: MK  MB hay B· MK 900 Bài 36: Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trên hai cạnh AB và 1 AC lần lượt lấy hai điểm E và F. Chứng minh rằng S S .Với vị trí nào của DEF 2 ABC hai điểm E và F thì SDEF đạt giá trị lớn nhất? Lời giải 1 Chứng minh rằng S S . DEF 2 ABC Với vị trí nào của hai điểm E và F thì SDEF đạt giá trị lớn nhất? A HD: ( Vẽ điểm phụ ) F Gọi I là điểm đối xứng của E qua D. C/m được: BED CID c.g.c . Suy ra SBED SCID E Ta lại có: SDEF SDFI SDICF B C Suy ra SDEF SDFC SCID SDFC SDBE 1 D Ta lại có : S S 2 I DEF AFDE
Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được : 2SDEF SDFC SBED SAEDF SABC 1 Do đó, S S (đpcm) DEF 2 ABC Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi EF trùng với AC hoặc AB. 1 Khi đó, GTLN S S DEF 2 ABC Bài 37: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ là AB, đáy lớn là CD. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD ở E, qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường chéo AC ở F. a) Chứng minh rằng tứ giác DEFC là hình thang cân; b) Tính độ dài EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm. Lời giải A B O E F 1 1 2 2 C a) Chứng minh rằng tứ giác DEFC là hình thang cân; OE OA Vì AE // BC (gt) nên theo đl Ta-let ta có: 1 OB OC OB OF Vì BF // AD (gt) nên theo đl Ta-let ta có: 2 OD OA OE OB OA OF OE OF Từ (1) và (2) suy ra   hay OB OD OC OA OD OC Theo đl Ta – let đảo suy ra EF // DC. Do đó, DEFC là hình thang (3) Ta c/m được ABC ABD c.c.c µ ¶ · · ¶ ¶ Suy ra C1 D1 mà BCD ADC ? nên C2 D2 4 Từ (3) và (4) suy ra EFCD là hình thang cân. b) Tính độ dài EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm. EF OE Vì AB // CD và EF // CD nên AB // EF. Theo đl Ta-let ta có: mà AB OB OE OA (cmt) OB OC EF OA Suy ra 5 . AB OC AB OA Vì AB // CD nên theo đl Ta-let ta có 6 CD OC EF AB Từ (5) và (6) suy ra AB CD AB2 52 Suy ra EF 2,5 cm CD 10 Bài 38: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. a) Chứng minh DE // BC. b) Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh ID = IE. A D E B C M
Lời giải a) Chứng minh DE // BC. DB MB EC MC Theo t/c tia phân giác của tam giác, ta có: 1 và 2 DA MA EA MA Mà MB MC gt 3 DB EC Từ (1), (2) và (3) suy ra . Theo đl Ta-let đảo suy ra DE / /BC DA EA b) Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh ID = IE. DI AI EI AI Vì DE / /BC (cmt) nên DI / /BM và IE / /MC . Do đó, 4 và 5 BM AM MC AM Từ (3), (4) và (5) suy ra ID = IE (đpcm) Bài 39: Cho tam giác vuông cân ABC, µA 900 .Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ BD  CM , BD cắt CA ở E. Chứng minh rằng: a) EB.ED = EA.EC; b) BD.BE CA.CE BC 2 · 0 c) ADE 45 E Lời giải a) EB.ED = EA.EC; A D C/m: EAB đồng dạng EDC (g.g) EA EB M Suy ra EA.EC EB.ED (đpcm) ED EC b) BD.BE CA.CE BC 2 Chỉ ra M là trực tâm của tam giác EBC nên EM  BCB tại H. C BE BH C/m: EHB đồng dạng CDB (g.g) nên BE.BD BHH.BC 1 BC BD EC HC Tương tự, C/m: EHC đồng dạng BAC (g.g) nên CE.CA HC.BC 2 BC AC Lấy (1) cộng (2) vế theo vế, ta được: BD.BE CA.CE BH HC .BC BC 2 c) ·ADE 450 EA ED Theo câu a, ta có: EA.EC EB.ED EB EC Từ đó c/m được EAD đồng dạng EBC (c.g.c) Suy ra E· DA E· CB ·ACB 450 ( Vì tam giác ABC vuông cân tại A). Bài 40: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC.Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F.Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K.Đường thẳng kẻ qua E,song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh rằng: a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi; b) AKF : CAF, AF 2 FK.FC ; c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh: EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi.
Lời giải A B G E I C F D K x a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi; C/m: BAE DAF cgv gnk Suy ra AE AF . Xét tam giác AEF cân tại A có AI là đường trung tuyến nên cũng là đường cao. Do đó, GK  EF tại I (1) Ta lại c/m được IEG IKF g.c.g . Do đó, GE FK mà GE // FK (gt) Suy ra EKFG là hình bình hành (2) Từ (1) và (2) suy ra EKFG là hình thoi. b) AKF : CAF, AF 2 FK.FC Ta có: K· AF ·ACF 450 và Fµ chung. Do đó, AKF đồng dạng CAF (g.g) AF KF Suy ra AF2 KF.CF . CF AF c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh: EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi. Vì EKFG là hình thoi nên KE KF KD DF KD BE Chu vi của tam giác EKC là : KC EC EK KC CE BE KD = KC KD BE EC CD BC 2BC ( không đổi ) KL : Bài 41: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau ở E. Các tia phân giác của các góc B· AC B· DC ACE và DBE cắt nhau ở K. Chứng minh rằng: B· KC 2 Lời giải Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AB và CK, của CD và BK. Sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác, ta lần lượt có : Kµ Bµ µA Cµ M¶ 1 1 1 1 K µ ¶ µ ¶ ¶ K C2 D B2 N1 2 A µ µ µ ¶ µ µ ¶ µ µ D Từ (1) và (2) suy ra 2K A D B2 C1 B1 C2 A D N µ ¶ µ ¶ M ( Vì theo gt B B ,C C ) 1 1 2 1 2 1 2 E 1 1 2 B C
µA Dµ B· AC B· DC Do đó, Kµ . Vậy, B· KC 2 2 Bài 42: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, K là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự ở M, N. Cmr: MA MB MA MB a) ; b) ND NC NC ND c) MA MB, NC ND K Lời giải : A M B MA MB a) . ND NC D O C Áp dụng đl Ta-let vào tam giác KND, KNC với ABN // CD, ta có: MA KM MB KM , ND KN NC KN MA MB Suy ra 1 ND NC MA MB b) NC ND Áp dụng đl Ta-let vào tam giác ONC, OND với AB // CD, ta có: MA OM MB OM , NC ON ND ON MA MB Suy ra 2 NC ND c) MA MB, NC ND MA2 MB2 Nhân từng vế (1) với (2) ta được: ND.NC NC.ND Suy ra MA2 MB2 hay MA MB . Từ đó suy ra NC ND . Bài 43: Cho hình thang ABCD (AB // CD). AB = 28, CD=70, AD=35, vẽ một đường thẳng song song với hai cạnh đáy, cắt AD,BC theo thứ tự ở E và F. Tính độ dài EF, biết rằng DE = 10. Lời giải A B HD: Kẻ AK // BC, cắt EF tại I. E I F Lần lượt tính được EI = 30, EF = 58. D K C Bài 44: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường thẳng qua I và song song với AC cắt AB ở K. Đường thẳng qua I và song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng DE =BK. Lời giải A E G K D B I M C
Chứng minh rằng DE =BK. BK BA DE MG MG BA Kẻ MG // IE, ta có: 1 và 2 ( vì AG GC ) KI AC AE AG GC AC BK DE Từ (1) và (2) suy ra mà KI AE suy ra DE BK (đpcm) KI AE Bài 45: Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của CD,CB. Gọi O là giao 2 điểm của AE và DF ; OA = 4OE; OD OF . Chứng minh rằng ABCD là hình bình 3 hành. Lời giải Kẻ EI // DA, lấy K là trung điểm của CF. Đặt OD = 2a, OF = 3a. Tính được OI = 0,5a, A B IF = 2,5a, EK = 2,5a. Từ đó c/m được EIKF là hình bình hành nên FK // IE // AD. Suy ra BC // I F AD. O K D C E Ta lại c/m BC = AD ( = 4EI ) Suy ra ABCD là hình bình hành (đpcm) Bài 46: Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh đối AB, CD của tứ giác ABCD IA KB cắt các đường thẳng AD, BC theo thứ tự ở I, K. Cmr: . K ID KC Lời giải I Gọi N, M lần lượt là trung điểm của AB, CD. F B IA AE BF KB Vẽ AE, BF // DC. Ta có : A N ID DM MC KC (đpcm) E D M C Bài 47: Qua M thuộc cạnh BC của tam giác ABC vẽ các đường thẳng song song với hai cạnh kia. Chúng cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự ở H, K. Cmr: AH AK a)Tổng không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh BC. AB AC b)Xét trường hợp tương tự khi M chạy trên đường thẳng BC nhưng không thuộc đoạn thẳng BC. Lời giải AH AK CM BM BC a) Ta có : 1 A AB AC CB BC BC không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh BC. H K AK AH b) + Nếu M thuộc tia đối của tia CB thì 1 AC AB AH AK + Nếu M thuộc tia đối của tia BC thì 1 B M C AB AC ( Chú ý : Vẽ hình theo từng trường hợp rồi giải ) Bài 48: Cho tam giác ABC đều cạnh a, M là một điểm bất kỳ ở trong tam giác ABC.
a 3 Chứng minh rằng: MA MB MC 2 Lời giải Kẻ MH  AB; MK  BC; MI  AC. A Ta có : MA MB MC MH MK MI (1) Ta lại có : I H 2SMAB 2SMBC 2SMAC 2 MH MK MI  SMAB SMBC SMAC M AB BC AC a 2 2 a2 3 a 3  S  (2) a ABC a 4 2 B K C a 3 Từ (1) và (2) suy ra MA MB MC (đpcm) 2 Bài 49: Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N sao cho DN = BM. Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM cắt nhau tại F. Cmr: a) Tứ giác ANFM là hình vuông; b) Điểm F nằm trên tia phân giác của M· CN và ·ACF 900 ; c) Ba điểm B, O, D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang ( O là trung điểm của AF ) Lời giải a)Tứ giác ANFM là hình vuông Xét DAN và BAM có AD = AB (gt), · · 0 A B ADN ABM 90 , BM = DN (gt) Suy ra DAN = BAM (c.g.c) Khi đó, AM AN và N· AD M· AB . Ta có: N· AM N· AD D· AM M· AB D· AM D· AB 900 . H C Tứ giác ANFM có MF // AN, AM // NF và N D · 0 NAM 90O M nên tứ giác ANFM là hình chữ nhật. Mặt khác, AN = AM Suy ra ANFM là hình vuông. b) Điểm F nằm trên tia phân giác của M· CN và F K ·ACF 900 Kẻ FH  CN và FK  BM . Suy ra tứ giác CHFK là hình chữ nhật, do đó FH  FK Suy ra N· FH M· FK ( cặp góc có các cạnh tương ứng vuông góc) Xét HFN và KFM có : N· FH M· FK (cmt), NF = MF ( ?) N· HF M· KF 900 Do đó, HFN = KFM (ch-gn) Suy ra FH = FK Vậy, CF là tia phân giác của M· CN , nghĩa là F thuộc tia phân giác của M· CN Do tứ giác ABCD là hình vuông nên CA là phân giác của N· CB .
Suy ra ·ACF 900 ( hai tia phân giác của hai góc kề bù ). c) Ba điểm B, O, D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang ( O là trung điểm của AF ) Hình vuông ANFM có hai đường chéo AF và MN cắt nhau tại O nên O là trung điểm của AF cũng là trung điểm của MN. MN Xét CMN có Cµ 900 , ON OM OC OA 2 Do đó O nằm trên đường trung trực của AC, suy ra O thuộc BD là đường trung trực của AC, nghĩa là ba điểm O, B, D thẳng hàng. Ta có: BD  AC ( t/c đường chéo của hình vuông ) CF  AC (cmt ) Khi đó, OB // CF Vậy tứ giác BOFC là hình thang. Bài 50: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD = 2DC. Cmr: BM vuông góc với AD. Lời giải K BA BD Kẻ CK // AD ( hình vẽ). Ta có : . AK DC A Ta lại có : BA AC 2AM (gt) Suy ra AK AM . Từ đó c/m được CAK BAM c.gM.c nên ·ABM ·ACK B D C Suy ra ·ABM B· AD ·ACK Kµ 900 . Vậy, AD  BM . Bài 51: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh rằng : AE = AB ; b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính ·AHM . Lời giải a) Chứng minh rằng : AE = AB Kẻ EF  AH , suy ra tứ giác HDEF là hình chữ nhật A EF HD mà AH HD (gt) EF AH . Xét HBA và FAE có Hµ Fµ 900 , EF AH (cmt) F E F· EA H· AB ( cùng phụ với F· AE ) Do đó, HBA = FAE (g.c.g) M Suy ra AE AB · b)B Gọi M làH trung điểmD của BE. TínhC AHM . BE Do tam giác ABE vuông cân tại A nên AM . 2 BE Lại có tam giác BDE vuông tại D, có DM là đường trung tuyến nên MD 2 Suy ra AM MD . Xét AHM và DHM có HM cạnh chung, AM MD (cmt), AH HD (gt). Do đó, AHM = DHM (c.c.c) ·AHD 900 Suy ra M· HA M· HD 450 . 2 2
Bài 52: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. a) Chứng minh: BD.CE.BC AH 3 ; b) Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân. Lời giải a) Chứng minh: BD.CE.BC AH 3 : C/m được HAB đồng dạng HCA (g.g) AH HB Suy ra AH 2 HB.HC . HC AH A E C/m được BHD đồng dạng BHA (g.g) D BD HB Suy ra BH 2 BD.AB . BH AB B C C/m được CEH đồng dạng CHA (g.g) H CE CH Suy ra CH 2 CE.CA . CH CA Mặt khác, tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao, ta có: AH.BC AB.AC 2SABC Từ các điều kiện trên, ta có: AH 2 HB.HC AH 4 BH 2.HC 2 BD.AB.CE.AC BD.CE . AB.AC BD.CE.BC.AH AH 3 BD.CE.BC (đpcm) b) Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân. BC Gọi M là trung điểm của BC suy ra AM . 2 µ µ µ 0 Tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( vì A D E 90 ) nên SADHE 2SADH mà SABC 2SADHE (gt) SADH 1 Do đó, SABC 4SADH 1 . SABC 4 Ta lại c/m được DAH đồng dạng ABC (g.g) 2 2 SADH AH AM 1 2 SABC BC BC 4 Từ (1) và (2) suy ra AH AM H  M ABC vuông cân tại A. Vậy, nếu SABC 2SADHE thì tam giác ABC vuông cân tại A. Bài 53: Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H, trên cạnh BH lấy điểm M và trên đoạn CH lấy điểm N sao cho ·AMC ·ANB 900 . Chứng minh rằng: AM = AN. Lời giải Gọi BD và CI là hai đường cao của tam giác ABCA D I + C/m: AIN đồng dạng ANB g.g , suy ra: AN 2 AI.AB 1 H ADM AMC g.g M N + C/m: đồng dạng , suy ra: AM 2 AD.AC 2 B C
Mặt khác, IAC đồng dạng DAB (g.g) AI AD Suy ra hay AC AB AI.AB AD.AC 3 Từ (1), (2) và (3) suy ra AM 2 AN 2 AM AN (đpcm) Bài 54: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD và ACF lần lượt vuông cân tại B và C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF. Cmr: a) AH =AK ; b) AH 2 BH.CK Lời giải F A D H K B C a) Cmr: AH =AK AH AC AH AC AH AC Ta có: BD // CA mà BD AB nên HB BD HB AB AH HB AC AB AH AC AC.AB AH 1 AB AC AB AC AB AB.AC Cũng từ CE // AB và CE = AB, tương tự như trên, ta tính được AK 2 AB AC Từ (1) và (2) suy ra AH AK b) AH 2 BH.CK AH AC CK AC AH CK Ta có: và AH.AK BH.CK AH 2 BH.CK ( Vì HB AB AK AB BH AK AH AK ) Bài 55: Cho tam giác ABC, một đường thẳng cắt các cạnh BC, AC theo thứ tự ở D và E. và cắt cạnh BA ở F. Vẽ hình bình hành BDEH. Đường thẳng qua F và song song với BC cắt AH ở I. Cmr: FI = DC Lời giải Gọi K là giao điểm của AC và FI, M là giao điểm của AB và EH. F FI MH DC DE I Ta có: 1 ; 2 ; A FK ME FK FE BD FD BD ME FD FE MH DE 3 ME FE ME FE ME FE E FI DC H Từ (1), (2) và (3) suy ra nên FI DC (đpcm) FK FK BàiB 56: Cho DtamC giác ABC, đường phân giác AD và đường trung tuyến AM. Qua điểm I thuộc AD vẽ IH vuông góc với AB, IK vuông góc với AC. Gọi N là giao điểm của HK và AM. Cmr : NI vuông góc với BC. Lời giải Qua N kẻ EF // BC, c/m được NE = NF (?)(1) A G K E N F H I B D M C
Kẻ EG // HK, c/m được KG = KF (?) (2) C/m AH = AK, AE = AG ( Vì AHI AKI (ch-gn), cân có EG//HG nên AEG cũng cân) do đó EH = GK (3) Từ (2) và (3) suy ra EH = KF, IHE IKF (c.g.c) IE IF (4) Từ (1) và (4) suy ra IEF cân tại I, có IN là đường trung tuyến nên IN  EF Do đó, IN  BC Bài 57: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H. Một đường thẳng đi qua H cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Cmr: HM vuông góc với PQ. Lời giải Qua C kẻ đường thẳng song song với PQ, cắt AB ở N, cắt AH ở K. Do HP = HQ nên KN = KC (?). Từ đó, KM là đường trung bình của CBN Suy ra KM // NB và KM  CH . Khi đó, M là trực tâm của CHK nên HM  NC A Suy ra HM  PQ H Q P M B C K N Bài 58: Hình chữ nhật ABCD có M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Gọi E là một điểm bất kỳ thuộc tia đối của tia DC, K là giao điểm của EM và AC. Cmr: MN là tia phân giác của góc KNE . A B Lời giải K Gọi I là giao điểm của MN và AC, H là giao điểm của KN và DC. M 2 N C/m MI = NI (?) rồi suy ra EC = CH (?) DC AB.MI I Lí luận chỉ ra NEH cân tại N ( ?) rồi suy ra NC là tia phân giác của E· NH mà MN  NC , E· NH và K· NE kề bù E K· NE Suy ra NM là tia phân giác của D C H Bài 59: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB. Từ đỉnh D kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt đường chéo AC tại M và cắt cạnh đáy AB tại K. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt đường chéo BD tại I và cắt cạnh AB tại F. Qua F kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh bên BC tại P. Cmr: a) MP / / AB . b) Ba điểm M, I, P thẳng hàng. c) DC 2 AB.MI Lời giải a) MP / / AB . CP AF Ta có: FP / / AC ; PB FB A F K B M I P D C
CM DC AK / /DC AM AK Tứ giác ADCF là hình bình hành nên AF = DC Tứ giác BCDK là hình bình hành nên FB = AK CP CM Từ các điều kiện ở trên ta có: MP / / AB 1 PB AM b) Ba điểm M, I, P thẳng hàng. CP CM DC DC Ta có: ( Vì AK = FB ) ; PB AM AK FB DC DI CP DI FB / /DC IP / /DC hay IP / / AB 2 FB IB PB IB Từ (1) và (2) theo tiên đề Ơ-clit suy ra ba điểm M, I, P thẳng hàng. c) DC 2 AB.MI C/m MDC đồng dạng KMA ( ?) AK AM AK DC AM MC AB AC 3 DC MC DC MC DC MC AC AF AC DC MI / /AF 4 MC MI MC MI AB DC Từ (3) và (4) suy ra DC 2 AB.MI (đpcm) DC MI Bài 60: Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD ở E và cắt các đường thẳng BC, DC theo thứ tự ở K, G. CMR: a) AE 2 EK.EG ; 1 1 1 b) AE AK AG c) Khi đường thẳng thay đổi nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi. Lời giải a) AE 2 EK.EG EK EB AE C/m AE 2 EK.EG ( ?) A B AE ED EG 1 1 1 AE AE E b) Ta có: 1 AE AK AG AK AG K AE DE AE BE AE AE DE BE BD Ta có: ; nên 1 AK DB AG BD AK AG BD BD BD D C G 1 1 1 Vậy, (đpcm) AE AK AG c) Khi đường thẳng thay đổi nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi. BK AB BK CK KC CG AD KC Ta có: ? 1 và ? 2 KC CG AB CG AD DG DG CG BK AD Từ (1) và (2) ta được BK.DG AB.AD (không đổi) AB DG Vậy, Bài 61: Cho tam giác ABC đều, các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AC, AB sao cho