Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 2: Số nguyên tố (Có lời giải)

Nội dung text: Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 2: Số nguyên tố (Có lời giải)

1. DẠNG 2: SỐ NGUYÊN TỐ A.Bài toán Câu 1: Chứng minh n ¥ * thì n3 n 2 là hợp số Câu 2: Tìm số tự nhiên n để: A n3 n2 n 1 là số nguyên tố Câu 3: Cho p và 2 p 1là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4 p 1là hợp số. 2012 Câu 4: Số tự nhiên A 1 23 là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích a2 b2 a Câu 5: Cho a,b,c là các số nguyên khác 0, a c sao cho .Chứng minh rằng b2 c2 c a2 b2 c2 không phải là số nguyên tố. 4 Câu 6: Cho P n 4.Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố. Câu 7: Tìm số nguyên a sao cho a4 4 là số nguyên tố Câu 8: Tìm số tự nhiên n để n 18 và n 41là m 5 hai số chính phương m a4 4 Câu 9: Chứng minh rằng nếu m 5 thì m a4 4a không là số nguyên tố Câu 10: Cho số nguyên tố p > 3. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân của số pn có đúng 20 chữ số. Chứng minh rằng trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống nhau. Câu 11: Tìm các số nguyên dương n để n1988 n1987 1 là số nguyên tố. Câu 12: Chứng minh: 9n 2 và 12n 3 n N là hai số nguyên tố cùng nhau Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương một số tự nhiên Câu 13: Cho P n4 4. Tìm tất cả các số tự nhiên nđể P là số nguyên tố. Câu 14: 2012 Số tự nhiên A 1 23 là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích Câu 15: Tìm tất cả các số nguyên dương để là số nguyên tố Câu 16: Tìm số tự nhiên để là số nguyên tố biết: p n3 n2 n 1 Câu 17: Tìm số nguyên sao cho là số nguyên tố Câu 18: Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh n3 n chia hết cho 24 4 Câu 19: Cho A p trong đó p là số nguyên tố. Tìm các giá trị của p để tổng các ước dương của A là số chính phương. Câu 20: Tìm các số nguyên tố x và y sao cho x2 2y2 1 2 Câu 21: Tìm các số tự nhiên n để B n2 8 36 là số nguyên tố Câu 22: Chứng minh rằng: Nếu a N, a > 1 thì A = (a2 + a +1)(a2 + a + 2) – 12 là hợp số Câu 23: Tìm tất cả các số nguyên dương n để(1 + n2017 + n2018) là số nguyên tố Câu 24: Cho P n4 4.Tìm tất cả các số tự nhiên n để là số nguyên tố. Câu 25: Tìm số tự nhiên n để p là số nguyên tố biết: p n3 n2 n 1. Câu 26: Tìm số tự nhiên n để p là số nguyên tố biết: . p n3 n2 n 1. Câu 27: Tìm số nguyên a sao cho a4 4 là số nguyên tố B. HƯỚNG DẪN Câu 1: Chứng minh n ¥ * thì n3 n 2 là hợp số
2. Lời giải Ta có: n3 n 2 n3 1 n 1 n 1 n2 n 1 n 1 n 1 n2 n 2 Do n N * nên n 1 1 và n2 n 2 1 . Vậy n3 n 2 là hợp số Câu 2: Tìm số tự nhiên n để: A n3 n2 n 1 là số nguyên tố Lời giải A n3 n2 n 1 n2 1 n 1 Để A là nguyên tố thì n 1 1 n 2 . Khi đó A 5 Câu 3: Cho p và 2 p 1 là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4 p 1là hợp số Lời giải Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng p 3k 1; p 3k 1 với k 1 + Nếu p 3k 1thì 2 p 1 6k 3 3 2k 1 Suy ra 2 p 1 là hợp số (vô lý) +Nếu p 3k 1,k 1thì 4 p 1 12k 3 3. 4k 1 Do k 1 nên 4k 1 3. Do đó 4 p 1 là hợp số. 2012 Câu 4: Số tự nhiên A 1 23 là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích Lời giải 32012 M3 nên có thể viết 32012 3n ¥ 2012 3 2 A 1 23 13 23n 13 2n 1 2n 1 2n 2n A là hợp số a2 b2 a Câu 5: Cho a,b,c là các số nguyên khác 0, a c sao cho .Chứng minh rằng b2 c2 c a2 b2 c2 không phải là số nguyên tố. Lời giải 2 2 a b a 2 2 Ta có: 2 2 a c b ac 0 b ac b c c Mà a2 b2 c2 a2 ac c2 a2 2ac c2 b2 a c 2 b2 a c b a c b Ta thấy a2 b2 c2 3do đó nếu a2 b2 c2 là các số nguyên tố thì xảy ra các trường hợp sau: 1)a c b 1;a c b a2 b2 c2 a2 b2 c2 2a 2c 1 a 1 2 c 1 2 b2 1 a c 1,b 1 (ktm) 2)a c b 1,a c b a2 b2 c2 a2 b2 c2 2a 2c 1 a 1 2 c 1 2 b2 1 a c 1,b 1 (ktm) 3)a c b 1,a c b a2 b2 c2 a2 b2 c2 2a 2c 1 a 1 2 c 1 2 b2 1 a c 1,b 1 (ktm)
3. 4)a c b 1,a c b a2 b2 c2 a2 b2 c2 2a 2c 1 a 1 2 c 1 2 b2 1 a c 1,b 1 (ktm) Câu 6: Cho P n4 4.Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố. Lời giải 2 P n4 4 n4 4n2 4 4n2 n2 2 2n 2 n2 2n 2 n2 2n 2 n 1 2 1 n 1 2 1 2 Vì n là số tự nhiên nên n 1 1 2.Như vậy muốn P là số nguyên tố thì ta phải có n 1 2 1 0 n 1 2 0 n 1 Khi đó P 5 là số nguyên tố . Câu 7: Tìm số nguyên a sao cho a4 4 là số nguyên tố Lời giải Ta có: a4 4 a2 2a 2 . a2 2a 2 Vì a ¢ a2 2a 2 ¢ ;a2 2a 2 ¢ Có: a2 2a 2 a 1 2 1 1a và a2 2a 2 a 1 2 1 1(a) a2 2a 2 1 a 1(tm) Vậy a4 4 là số nguyên tố thì 2 a 2a 2 1 a 1(tm) Câu 8: Tìm số tự nhiên n để n 18 và n 41là hai số chính phương Lời giải Để n 18 và n 41 là hai số chính phương n 18 p2 và n 41 q2 p,q ¥ p2 q2 n 18 n 41 59 p q p q 59 p q 1 p 30 Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: p q 59 q 29 Từ n 18 p2 302 900 n 882 Thay vào n 41, ta được 882 41 841 292 q2 Vậy với n 882 thì n 18 và n 41là hai số chính phương Câu 9: Chứng minh rằng nếu m 5 thì m a4 4 không là số nguyên tố Lời giải m a4 4 a4 4a2 4 2a 2 a2 2 2a a2 2 2a a2 2a 1 1 a2 2a 1 1 a 1 2 1 a 1 2 1 Vì a 1 2 1a, a 1 2 0a nên giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ nhất là 1 khi a 1 Giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ hai là 1nếu a 1 Còn các trường hợp khác là tích 1 a 1 Vậy ngoài khi đó m 5 thì có thể phân tích thành tích của hai thừa số lớn hơn 1 a 1 nên m không thể là số nguyên tố. Câu 10: Cho số nguyên tố p > 3. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân của số pn có đúng 20 chữ số. Chứng minh rằng trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống nhau.
4. Lời giải Do p là số nguyên tố và p > 3 nên p không chia hết cho 3. (*) pn có 20 chữ số. Các chữ số chỉ có thể là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gồm 10 chữ số đôi một khác nhau. Nếu không có quá nhiều hơn 2 chữ số giống nhau thì mỗi chữ số phải có mặt đúng 2 lần trong cách viết số pn. Như vậy tổng các chữ số của số pn là: 2(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 90M3 nên pn .M.3 Điều này mâu thuẫn (*). Vậy trong số pn phải có ít nhất 3 chữ số giống nhau. Câu 11: Tìm các số nguyên dương n để n1988 n1987 1 là số nguyên tố. Lời giải: + Với n 1 ta có n1988 n1987 1 1 1 1 3 là số nguyên tố. + Với n 2,n Z ta có n1988 n1987 1 n2 n 1 662 662 Mặt khác, ta có n1988 n2 n2 n1986 1 n2 n3 13 M n3 13 * Chú ý : an bn Ma b Mà n3 13 n 1 n2 n 1 M n2 n 1 Suy ra n1988 n2 M n2 n 1 Tương tự, n1987 n n n1986 1 M n2 n 1 Khi đó, n1988 n1987 1 n1988 n2 n1987 n n2 n 1 M n2 n 1 Suy ra với n 2,n Z thì n1988 n1987 1 là hợp số. Vậy, n 1 thì n1988 n1987 1 là số nguyên tố. Câu 12: Chứng minh: 9n 2 và 12n 3 n N là hai số nguyên tố cùng nhau Lời giải Chứng minh: 9n 2 và 12n 3 n N là hai số nguyên tố cùng nhau. Gọi d UCLN 9n 2,12n 3 , d N * 9n 2 Md 36n 8 Md Khi đó, 36n 9 36n 8 Md 1Md d 1 12n 3 Md 36n 9 Md Vậy, và 12n 3 n N là hai số nguyên tố cùng nhau. Câu 13: Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương một số tự nhiên Lời giải Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương một số tự nhiên. Giả sử 7 p 1 m3 m ¥ , mà p 2 m 3 Khi đó 7 p m3 1 m 1 m2 m 1 (*) Vì 7, p là các số nguyên tố, m 1 1,m2 m 1 1 nên từ (*) suy ra m 1 7 hoặc m2 m 1 7 . a) m 1 7 m 8 p 73; m3 512 7.73 1, đúng. b) m2 m 1 7 m2 m 6 0 . Giải ra ta được m = 2 hoặc m = -3 đều không thỏa mãn điều kiện m 3 . Vậy chỉ có số nguyên tố p = 73 là số cần tìm. Câu 14:
5. Cho P n4 4. Tìm tất cả các số tự nhiên nđể P là số nguyên tố. Lời giải 2 2 P n4 4 n4 4n2 4 4n2 n2 2 2n 2 2 n2 2n 2 n2 2n 2 n 1 1 n 1 1 2 Vì n là số tự nhiên nên n 1 1 2.Như vậy muốn P là số nguyên tố thì ta phải có 2 2 n 1 1 0 n 1 0 n 1 Khi đó P 5 là số nguyên tố 2012 Câu 15: Số tự nhiên A 1 23 là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích Lời giải 32012 M3nên có thể viết 32012 3n ¥ 2012 3 2 A 1 23 13 23n 13 2n 1 2n 1 2n 2n A là hợp số Câu 16: Tìm tất cả các số nguyên dương để 1 n2017 n2018 là số nguyên tố Lời giải Đặt: A 1 n2017 n2018 n n 1Với thì A 3là số nguyên tố Với n 1,ta có: 1 n2017 n2018 n2018 n2 n2017 n n2 n 1 n2 n2016 1 n n2016 1 n2 n 1 n2016 1 n2 n n2 n 1 672 671 670 Ta lại có: n2016 1 n3 1 n3 1 n3 n3 n3 1 M n3 1 n2016 1 M n2 n 1 . Suy ra AM n2 n 1 , mà 1 n2 n 1 A nên A là hợp số. Vậy n 1là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn điều kiện Câu 17: Tìm số tự nhiên n để p là số nguyên tố biết: p n3 n2 n 1 Lời giải Biến đổi được p n2 1 n 1 Nếu n 0;1 không thỏa mãn đề Câu Nếu n 2 thỏa mãn đề Câu vì p 22 1 2 1 5 Nếu n 3không thỏa mãn đề Câu vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là 1;n 1 1 và n2 1 n 1 1 Vậy n 2 thì p n3 n2 n 1là số nguyên tố. Câu 18: Tìm số nguyên a sao cho a4 4 là số nguyên tố Lời giải Ta có: a4 4 a2 2a 2 . a2 2a 2 Vì a ¢ a2 2a 2 ¢ ;a2 2a 2 ¢ Có: a2 2a 2 a 1 2 1 1a và a2 2a 2 a 1 2 1 1(a) a2 2a 2 1 a 1(tm) Vậy a4 4 là số nguyên tố thì 2 a 2a 2 1 a 1(tm)
6. Câu 19: Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh n3 n chia hết cho 24 Lời giải Ta có: n3 n n n 1 n 1 Vì n 1;n;n 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong ba số đó chia hết cho 3. Do đó n3 n M8 (2) Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với 1 ; 2 suy ra n3 n M24 dpcm 4 Câu 20: Cho A p trong đó p là số nguyên tố. Tìm các giá trị của p để tổng các ước dương của . A . là số chính phương. Lời giải Các ước dương của A là 1; p; p2 ; p3; p4 Tổng các ước là 1 p p2 p3 p4 n2 n ¥ 4 4 p 4 p2 4 p3 4 p4 4n2 Ta có: 4 p4 4 p3 p2 4n2 4 p4 p2 4 4 p3 8p2 4 p 2 2 2 2 p2 p 2n 2 2 p2 p 2 2n 2 2 p2 p 1 Do đó : 4 p4 4 p3 4 p2 4 p 4 4 p4 4 p3 5p2 2 p 1 2 p1 1(ktm) p 2 p 3 0 p2 3(tm) Vậy p 3 Câu 21: Tìm các số nguyên tố x và y sao cho x2 2y2 1 Lời giải Ta có: x2 2y2 1 2y2 x2 1M2 x 1 x 1 M2 Xét trường hợp : x 1M2 x 1 2k k ¥ x 2k 1 Khi đó ta có 2y2 M4 y2 M2 y 2 (do y nguyên tố) . Từ đó suy ra x 3 Xét trường hợp x 1M2 x 1 2t t ¥ x 2t 1 Khi đó ta có: 2y2 M4 y2 M2 y 2 (do y nguyên tố) suy ra x 3 Câu 22: Ta có: 2 B n2 8 36 n4 16n2 64 36 n4 20n2 100 36n2 2 n2 10 6n 2 n2 6n 10 n2 6n 10 Với n ¥ thì 0 n2 6n 10 n2 6n 10 Nên để B là số nguyên tố thì trước hết n2 6n 10 1 Hay n 3 2 0 n 3 2 Thử lại , với n 3thì B 32 8 36 37 37 là số nguyên tố nên n 3là giá tị cần tìm Câu 23: Đặt a2+ a + 1 = x (1)
7. A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12= x2 – 3x + 4x – 12 = (x2 – 3x) + (4x – 12) = x(x - 3) + 4(x - 3) = (x - 3)(x + 4) Thay (1) vào biểu thức A, ta có A = (a2 + a - 2)(a2 + a + 5) = (a2 + 2a – a - 2)(a2 + a + 5) = (a - )( a + 2)(a2 + a + 5) Ta thấy AMa 1; AMa 2; AMa2 a 5 Vậy A là hợp số Câu 24: Lời giải Đặt:A = 1 + n2017 + n2018 Với n = 1thì A = 3là số nguyên tố Với n > 1ta có: 1 + n2017 + n2018 = (n2018 ― n2) + (n2017 ― n) + (n2 + n + 1) = n2(n2016 ― 1) + n(n2016 ― 1) + (n2 + n + 1) = (n2016 ― 1)(n2 + n) + (n2 + n + 1) Ta lại có: n2016 ―1 = (n3)672 ―1 = (n3 ― 1) (n3)671 + (n3)670 + + n3 + 1 ⋮ (n3 ― 1) (n2016 ― 1)⋮(n2 + n + 1) Suy ra A⋮(n2 + n + 1), mà 1 < n2 +n + 1 < A nên A là hợp số Vậy n =1 là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn điều kiện. Câu 25: Cho P n4 4.Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố. Lời giải P n4 4 n4 4n2 4 4n2 n2 2 2n 2 n2 2n 2 n2 2n 2 n 1 2 1 . n 1 2 1 Vì n là số tự nhiên nên n 1 2 1 2 . Như vậy muốn P là số nguyên tố thì phải có n 1 2 1 1hay n 1 2 0 n 1 Khi đó P 5là số nguyên tố. Câu 26: Tìm số tự nhiên n để p là số nguyên tố biết: p n3 n2 n 1. Lời giải Biến đổi được p n2 1 n 1 Nếu n 0;1 không thỏa mãn đề bài Nếu n 2 thỏa mãn đề bài vì p 22 1 2 1 5 Nếu n 3không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là 1;n 1 1 và n2 1 n 1 1 Vậy n 2 thì p n3 n2 n 1là số nguyên tố. Câu 27: Tìm số tự nhiên n để p là số nguyên tố biết: p n3 n2 n 1 Lời giải 1) Biến đổi được p n2 1 n 1 Nếu n 0;1 không thỏa mãn đề bài Nếu n 2 thỏa mãn đề bài vì p 22 1 2 1 5
8. Nếu n 3không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là 1;n 1 1 và n2 1 n 1 1 Vậy n 2 thì p n3 n2 n 1là số nguyên tố. Câu 28: Tìm số nguyên a sao cho a4 4 là số nguyên tố Lời giải Ta có: a4 4 a2 2a 2 . a2 2a 2 Vì a ¢ a2 2a 2 ¢ ;a2 2a 2 ¢ Có: a2 2a 2 a 1 2 1 1a và a2 2a 2 a 1 2 1 1(a) a2 2a 2 1 a 1(tm) Vậy a4 4 là số nguyên tố thì 2 a 2a 2 1 a 1(tm)