Luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề 3: Điểm, đường thẳng, đoạn thẳng và tam giác - Chủ đề 2: Đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng, trung điểm của đoạn thẳng (Có lời giải)

Nội dung text: Luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề 3: Điểm, đường thẳng, đoạn thẳng và tam giác - Chủ đề 2: Đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng, trung điểm của đoạn thẳng (Có lời giải)

1. HH6. CHUYÊN ĐỀ 3 - ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC CHỦ ĐỀ 2: ĐOẠN THẲNG, ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. ĐOẠN THẲNG, ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG. 1. Đoạn thẳng là hình gồm điểm A , điểm B và tất cả các điểm nằm giữa A và B . A B 2. Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số dương. 3. AB CD AB và CD có cùng độ dài. A B C D AB CD độ dài đoạn thẳng AB nhỏ hơn độ dài đoạn thẳngCD . A B C D AB CD độ dài đoạn thẳng AB lớn hơn độ dài đoạn thẳng CD . A B C D 4. Điểm nằm giữa hai điểm: A M B Nếu điểm M nằm giữa điểm A và điểm B thì AM + MB = AB . Ngược lại, nếu AM + MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B . Nếu AM MB AB thì điểm M không nằm giữa A và . B A M N B Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B ; điểm N nằm giữa hai điểm M và B thì AM MN NB AB 2. VẼ ĐOẠN THẲNG CHO BIẾT ĐỘ DÀI 1. Trên tia Ox bao giờ cũng vẽ được một và chỉ một điểm M sao cho OM a (đơn vị dài). 2. Trên tia Ox , OM a , ON b nếu 0 a b hay OM < ON thì điểm M nằm giữa hai điểm O và N .
2. 3. Trên tia Ox có 3 điểm M , N , P , OM a ; ON b , OP c nếu 0 a b c hay OM ON OP điểm N nằm giữa hai điểm M và P . 3. TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG 1. Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa hai đầu đoạn thẳng và cách đều hai đầu đoạn thẳng đó. A M B 2. Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì: AB Điểm M nằm giữa hai điểm A , B và MA MB . 2 AB 3. Nếu M nằm giữa hai đầu đoạn thẳng AB và MA thì M là trung điểm của đoạn AB . 2 4. Mỗi đoạn thẳng có 1 trung điểm duy nhất. PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng và chứng minh điểm nằm giữa. I.Phương pháp giải ➢ Để tính độ dài đoạn thẳng ta thường sử dụng các nhận xét sau: • Nếu điểm M nằm giữa điểm A và điểm B thì AM MB AB . Ngược lại, nếu AM MB AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B . • Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B ; điểm N nằm giữa hai điểm M và B thì AM MN NB AB . AB • Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA MB . 2 ➢ Để chứng minh điểm nằm giữa hai điểm ta thường sử dụng các nhận xét sau: • Nếu AM MB AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B . • Trên tia Ox , OM a , ON b nếu 0 a b hay OM ON thì điểm M nằm giữa hai điểm O và N . • Nếu tia OM và tia ON là hai tia đối nhau thì điểm O nằm giữa hai điểm M và N . II.Bài toán Bài 1: Cho đoạn thẳng AB 7 cm. Gọi C là điểm nằm giữa A và B , AC 3 cm . M là trung điểm của BC . Tính BM . Lời giải: A C M B Vì điểm C nằm giữa hai điểm A và B
3. Nên AC BC AB 3 BC 7 Suy ra BC 7 3 4 (cm) Vì M là trung điểm của đoạn thẳng BC BC 4 Nên BM 2 (cm). 2 2 Bài 2: Cho đoạn thẳng AB 6cm. M là điểm nằm giữa hai điểm A và B . Gọi C và D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AM và MB . Tính độ dài đoạn thẳng CD . Lời giải: A C M D B Vì điểm M nằm giữa hai điểm A và B nên AM MB AB Vì C và D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AM và MB nên ta có: AM MB CM , MD . 2 2 Vì M nằm giữa A và B , C nằm giữa A và M , D nằm giữa M và B , suy ra M nằm giữa C và D AM MB AB 6 Do đó CD CM MD 3 (cm). 2 2 2 2 Bài 3: Trên tia Ox cho 4 điểm A , B , C , D biết rằng A nằm giữa B và C ; B nằm giữa C và D ; OA 5 cm, OD 2 cm, BC 4 cm và độ dài đoạn AC gấp đôi độ dài đoạn BD . Tính độ dài các đoạn BD , AC . Lời giải: O D B A C x Vì A nằm giữa B và C nên BA AC BC BA AC 4 AC 4 AB 1 Vì A nằm giữa B và C ; B nằm giữa C và D B nằm giữa A và D . Trên tia Ox , ta có OD OA ( 2 5 ) Nên điểm D nằm giữa hai điểm O và A . Suy ra : OD DA OA 2 DA 5 DA 3(cm). Vì B nằm giữa hai điểm A và D Nên DB BA DA DB BA 3 BD 3 AB 2
4. Từ 1 và 2 ta có: AC BD 1 3 Theo đề ra: AC 2BD thay vào 3 Ta có 2BD BD 1 BD 1 (cm) AC 2BD AC 2 (cm) Vậy AC 2 (cm), BD 1 (cm). Bài 4: Đoạn thẳng AB 36 cm được chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài không bằng nhau theo thứ tự là các đoạn thẳng AM , MN, NP và PB . Gọi E , F , G , H theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳngAM , MN , NP, PB . Biết độ dài của đoạn thẳng EH 30 cm. Tính độ dài của đoạn thẳng FG . Lời giải: A E M F N G P H B Vì đoạn thẳng AB được chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài không bằng nhau theo thứ tự là các đoạn thẳng AM , MN , NP , PB nên suy ra các điểm M , N , P nằm giữa hai điểm A , B theo thứ tự M nằm giữa A và N , N nằm giữa M và P , P nằm giữa N và B . Mặt khác : E , F , G , H theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AM , MN , NP , PB nên điểm E nằm giữa hai điểm A và H , điểm H nằm giữa hai điểm E và B . Do đó ta có: AE EH HB AB Mà AB 36 , EH 30 . Suy ra: AE 30 HB 36 AE HB=36 – 30 6 1 AM PB Mà AE và HB (do E và H là trung điểm của AM và PB ) 2 2 2 Từ 1 và 2 ta có : AM PB AM PB AE HB 6 2 2 2 AM PB 12 (cm). Vì các điểm M , N , P nằm giữa hai điểm A , B theo thứ tự M nằm giữa A và N , N nằm giữa M và P , P nằm giữa N và B nên ta có: AM MP PB AB Suy ra: MP AB – AM PB =36 –12 MP 24 cm . MN NP Mặt khác F , G lần lượt là trung điểm của MN , NP nên ta có: FN ; NG 2 2
5. MN NP MN NP Do đó ta có: FN NG (*) 2 2 2 Theo đề bài, thứ tự các điểm chia và thứ tự trung điểm các đoạn thẳng thì N là điểm nằm giữa hai điểm F , G và N là điểm nằm giữa hai điểm M , P . Do đó ta có: FN NG FG , MN NP MP MP 24 Thay vào (*) ta có: FG 12 (cm) 2 2 Vậy độ dài đoạn thẳng FG là 12 (cm). Bài 5: Đoạn thẳng AB có độ dài 28 cm được chia thành ba đoạn thẳng không bằng nhau theo thứ tự AC , CD và DB . Gọi E , F là trung điểm của đoạn thẳng AC , DB . Biết độ dài đoạn EF 16 cm. Tìm độ dài đoạn CD . Lời giải: A E C D F B Đoạn AB được chia thành ba đoạn theo thứ tự AC , CD và DB . Vậy hai điểm C , D nằm giữa hai điểm A và B . AC Vì E là trung điểm của AC nên AE 1 2 DB F là trung điểm của DB nên FB 2 2 AC DB AC BD Từ 1 và 2 có : AE FB AE FB 2 2 2 Vì điểm E và điểm F nằm giữa hai điểm A , B và điểm E nằm giữa hai điểm A , F Nên: AE EF FB AB AE FB AB EF AC BD Suy ra AE FB 28 16 12 2 Suy ra: AC BD 24 (cm) Vậy đoạn CD AB - (AC BD) 28- 24 4 (cm) Bài 6: Cho đoạn thẳng AB 6 cm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C . Biết E là trung điểm của đoạn thẳng CA , F là trung điểm của đoạn thẳng CB . a) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn CB lớn hơn độ dài đoạn CA . b) Tìm độ dài đoạn EF . Lời giải: C E A F B
6. a) Điểm C thuộc tia đối của tia AB nên điểm A nằm giữa hai điểm B , C Suy ra BC BA AC Mà BA, AC, BC 0 Suy ra độ dài đoạn CB lớn hơn độ dài đoạn CA . CB b) Vì F là trung điểm của đoạn CB , nên : CF 1 2 CA Vì E là trung điểm của đoạn CA , nên : CE 2 2 Mà CA CB ( câu a), nên CE CF , chứng tỏ điểm E nằm giữa hai điểm C , F Suy ra : CF CE EF EF CF -CE 3 CB CA CB CA AB 6 Thay 1 và 2 vào 3 , ta có : EF 3 (cm). 2 2 2 2 2 Vậy EF 3 (cm). Bài 7: Vẽ tia Ax . Trên tia Ax xác định hai điểm B và C sao cho B nằm giữa A , C và AC 8 cm, AB 3BC . Tính độ dài các đoạn AB, BC . (Đề thi HSG huyện Hưng Hà 2020-2021) Lời giải: A B C x Vì điểm B nằm giữa hai điểm A , C nên AB BC AC Mà AB 3BC , AC 8 cm Suy ra: 3BC BC 8 4BC 8 BC 2 (cm) Do đó: AB 2.3 6 (cm). Vậy AB 6 (cm), BC 2 (cm). Bài 8: Trên tia Ox lấy các điểm A và B sao cho OA 2 cm, OB 8 cm. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng OA , K là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tính độ dài các đoạn thẳng AB , IK . (Đề thi HSG huyện Nông Cống 2020 - 2021) Lời giải: O I A K B x
7. Trên tia Ox , ta có OA OB 2 8 nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B . Do đó: OA AB OB 2 AB 8 AB 8 2 6 (cm) Vì I là trung điểm của đoạn thẳng OA OA 2 Nên OI IA 1 (cm) 2 2 Vì K là trung điểm của đoạn thẳng AB AB 6 Nên AK KB 3 (cm) 2 2 Mà điểm A nằm giữa hai điểm O và B , điểm I nằm giữa hai điểm O và A , K nằm giữa hai điểm A và B nên suy ra A nằm giữa hai điểm I và K . Suy ra: AI AK IK IK 1 3 4 (cm). Vậy AB 6 (cm), IK 4 (cm). Bài 9: Cho ba điểm A , O , B sao cho OA 2 cm, OB 3 cm và AB 5 cm. Lấy điểm M nằm trên đường thẳng AB sao cho OM 1 cm. Tính độ dài đoạn thẳng AM ? (Đề thi HSG huyện Hoa Lư 2020-2021) Lời giải: Vì OA OB AB do 2 3 5 nên điểm O nằm giữa hai điểm A và B . O nằm trên đường thẳng AB và hai tia OA , OB đối nhau. +) Trường hợp 1: M nằm trên tia OB A O M B Ta có: OM và OA là hai tia đối nhau nên O nằm giữa A và M Khi đó: AM AO OM 2 1 3 (cm) +) Trường hợp 2: M nằm trên tia OA A M O B Trên tia OA , ta có OM OA(do 1 2 ) nên điểm M nằm giữa hai điểm O và A Khi đó: OM MA OA
8. AM OA OM 2 1 1 (cm) Vậy AM 3 (cm), AM 1 (cm) . Bài 10: Cho đoạn thẳng AB biết AB 10 cm. Lấy 2 điểm C , D trên đoạn AB (C , D không trùng với A , B ) sao cho AD BC 13 cm. 1. Chứng minh rằng: ĐiểmC nằm giữa hai điểm A và D . 2. Tính độ dài đoạn thẳng CD . (Đề thi HSG huyện Gia Bình 2020-2021) Lời giải: A C D B 1) Vì điểm C nằm trên đọan AB nên điểm C nằm giữa hai điểm A , B Suy ra AC CB AB AC CB 10 AC 10 CB 1 Theo bài ra ta có: AD BC 13 AD 13 BC 2 Từ 1 và 2 suy ra AC AD . Trên tia AB có AC AD nên điểm C nằm giữa hai điểm A và D . 2) Vì điểm C nằm giữa A và D nên AC CD AD Ta có: AD BC 13 AC CD BC 13 (AC BC) CD 13 AB CD 13 CD 13 AB CD 13 10 3 (cm) Vậy CD 3 (cm) Dạng 2: Chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng, chứng minh đẳng thức độ dài có liên quan. I.Phương pháp giải Để chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB , ta thường làm như sau: Cách 1. Bước 1: Chứng tỏ điểm M nằm giữa A và B .
9. Bước 2: Chứng tỏ MA MB . AB Cách 2. Chứng minh MA MB 2 Cách 3. Bước 1: Chứng tỏ điểm M nằm giữa A và B . AB AB Bước 2: Chứng tỏ MA hoặc MB . 2 2 II. Bài toán Bài 1: Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA 4 cm, OB 6 cm. Trên tia BA lấy điểm C sao cho BC 3 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AB và AC . Lời giải: C O A B x Trên tia Ox , ta có: OA OB (4 6) nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B Suy ra AB OA OB AB OB OA; Mà OA 4 cm, OB 6 cm Nnên AB 6 4 2 (cm) Trên tia BA , ta có BA BC (2 3) nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C Suy ra AC BA BC AC BC BA Mà BC 3 cm, AB 2 cm. Do đó: AC 3 2 1 (cm) Vậy AB 2 (cm), AC 1 (cm). Bài 2: Trên tia Ox cho 4 điểm A , B , C , D . Biết rằng A nằm giữa B và C ; B nằm giữa C và D ; OA 7 cm, OD 3 cm, BC 8 cm và AC 3BD . a) Tính độ dài AC . b) Chứng tỏ rằng: Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AD . Lời giải: B C O D A x a) Đặt BD x (cm) AC 3x (cm) Trên tia Ox có OD OA ( vì 3 7 ) Nên điểm D nằm giữa hai điểm O và A Suy ra: OD DA OA DA OA OD 7 3 4 (cm)
10. Vì điểm B nằm giữa hai điểm D và C , điểm A nằm giữa hai điểm B và C Nên điểm B nằm giữa hai điểm D và A . Suy ra DB BA DA DB BA 4 x BA 4 1 Vì A nằm giữa B và C nên: BA AC BC hay 3x BA 8 2 Từ 1 và 2 ta có: (3x BA) (x BA) 8 4 2x 4 x 2 AC 3.2 6 (cm) Vậy AC 6 (cm) b) Theo 1 ta có: x BA 4 mà x 2 BA 2 . Mà BD x 2 BD BA . Mặt khác điểm B nằm giữa 2 điểm D và A . Suy ra B là trung điểm của đoạn thẳng AD . Bài 3: Trên tia Ox lấy hai điểm M và N , sao cho OM 3 cm và ON 7 cm. a) Tính độ dài đoạn thẳng MN . b) Lấy điểm P trên tia Ox , sao cho MP 2 cm. Tính độ dài đoạn thẳng OP . c) Trong trường hợp M nằm giữa O và P . Chứng tỏ rằng P là trung điểm của đoạn thẳng MN . Lời giải: O M N x a) Trên tia Ox , ta có: OM ON (3 7 ) nên M nằm giữa hai điểm O và N OM MN ON 3 MN 7 MN 7 3 4 (cm) Vậy MN 4 (cm). b)TH1: P nằm giữa M và N . O M P N x Vì P nằm giữa M và N mà M nằm giữa hai điểm O và N Nên M nằm giữa O và P OP OM MP OP 3 2 5 (cm)
11. TH2: P nằm giữa O và M . O P M N x Vì P nằm giữa O và M Nên OM OP PM 3 OP 2 OP 1 (cm). c)Vì M nằm giữa O và P nên MO MP OP OP 3 2 5(cm) O M P N x Trên tia Ox , ta có OP ON (5 7 ) nên P nằm giữa O và N OP PN ON 5 PN 7 PN 2 (cm). Do đó: MP PN 1 Trên tia Ox , ta có: OM OP ON 3 5 7 nên P nằm giữa M và N 2 Từ 1 và 2 suy ra P là trung điểm của MN Bài 4: Cho các điểm A , B , C nằm trên cùng một đường thẳng. Các điểm M , N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB , AC . Chứng tỏ rằng: BC 2MN . Bài toán có mấy trường hợp, hãy chứng tỏ từng trường hợp đó? Lời giải: - Trường hợp 1: Hai điểm B , C ở cùng phía với A , tức là hai tia AB , AC trùng nhau. A M N B C * Trường hợp này có thể chia làm hai trường hợp nhỏ là : AB AC, AC AB (hai trường hợp chứng minh tương tự). Giả sử: AC AB . AC Vì N là trung điểm của AC , nên: AN NC 1 2 AB Vì M là trung điểm của AB , nên: AM MB 2 2 Từ 1 và 2 ta có :
12. AC AB AC AB 3 A N A M 2 2 2 Ta xét AC AB , nên điểm B nằm giữa hai điểm A và C . Suy ra: AC AB BC BC AC AB 4 AB AC AM AN nên điểm M nằm giữa hai điểm A và N . Suy ra: AN AM MN MN AN AM 5 BC Thay 4 và 5 vào 3 , ta có: MN hay BC 2MN 2 * Trường hợp 2: Hai tia AB và AC đối nhau Mà điểm M thuộc tia AB , điểm N thuộc tia AC Nên AM và AN là hai tia đối nhau B M A N C AB M là trung điểm của AB , nên: AM MB 6 2 AC N là trung điểm của AC , nên: AN NC 7 2 Từ 6 và 7 có: AB AC AM AN 8 2 Vì AB , AC là hai tia đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm B , C . Suy ra: BC BA AC 9 Vì M và N thuộc hai tia đối nhau AB , AC nên điểm A nằm giữa hai điểm M , N Suy ra: MN AM AN 10 BC Thay 9 và 10 vào 8 , ta có : MN hay BC 2MN . 2 Bài 5: Đoạn thẳng AB có độ dài bằng a được chia thành ba đoạn thẳng bởi hai điểm chia P , Q theo thứ tự là đoạn AP , PQ , QB sao cho AP 2PQ 2QB . Tìm khoảng cách giữa: a) Điểm A và điểm I với I là trung điểm của QB . b) Điểm E và điểm I với E là trung điểm của đoạn AP . Lời giải: A E P Q I B
13. a) Đoạn AB được chia thành ba đoạn theo thứ tự AP , PQ , QB nên suy ra AB AP PQ QB . Mà AP 2PQ 2QB 1 Suy ra: PQ QB 2 Vậy AB 2QB BQ QB 4QB 3 QB Vì I là trung điểm của QB , nên : QI IB 4 2 I là trung điểm của QB , mà Q nằm giữa hai điểm A , B nên I cũng nằm giữa hai điểm A , B . Suy ra: AB AI IB 5 Từ 3 ta có: AB QB AB QB AB AB 4QB QB IB QI 6 4 2 8 2 8 Thay 6 vào 5 có: AB AB AI 8 AB 8AB AB AI AB 8 8 7AB 7a AI (cm) 8 8 b) Theo 3 ta có: AB 4QB . Theo 1 ta có: 2QB AP . AB Vậy ta suy ra: AB 2AP AP 2 AP AB Mà E là trung điểm của AP , nên EP . 7 2 4 mà PQ QB , AB Vậy : PQ QB . 8 4 Theo đầu bài, đoạn AB được chia thành ba đoạn thẳng theo thứ tự AP , PQ , QB Suy ra EI EP PQ QI 9 AB AB AB Thay 6 , 7 , 8 vào 9 có: EI 4 4 8 5AB 5a EI EI (cm). 8 8
14. Bài tập 6: Trên tia Ox vẽ các điểm A , B , C sao cho OA 12cm , OB 19cm , OC 26cm . Điểm B có là trung điểm của đoạn thẳng AC hay không? Vì sao? Lời giải: O A B C x Trên tia Ox ta có OA OB (12 19 ) nên A nằm giữa hai điểm O và B Suy ra: OA AB OB AB OB OA 19 12 7 (cm) 1 Trên tia Ox ta có OB OC (19 26 ) nên điểm B nằm giữa hai điểm O vàC Suy ra: OB BC OC BC OC OB 26 19 7 (cm) 2 Từ 1 và 2 suy ra AB BC . 3 Mặt khác Trên tia Ox ta có OA OB OC 12 19 26 suy ra điểm B nằm giữa hai điểm A và C . 4 Từ 3 và 4 B là trung điểm của đoạn thẳng AC . Bài tập 7: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc đoạn thẳng CA CB MB thì CM . 2 Lời giải: A M C B Vì điểm M nằm giữa hai điểm A và C nên: CA MA CM 1 Vì điểm C nằm giữa hai điểm M và B nên: CM CB MB CB MB CM 2 AB Vì M là trung điểm của AB nên MA MB 3 2 Từ 1 , 2 và 3 ta được: CA CB 2CM CA CB Suy ra: CM 2 Bài tập 8: Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA a (cm), OB b (cm).
15. a) Tính độ dài đoạn thẳng AB , biết b a . 1 b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM (a b) . 2 Lời giải: O B M A x a) Trên tia Ox , ta có: OB OA do b a nên điểm B nằm giữa điểm O và điểm A . Suy ra: OB AB OA Suy ra: AB OA OB a b. 1 a b 2b a b a b b) Vì M nằm trên tia Ox và OM (a b) b 2 2 2 2 OA OB 1 OB OB AB 2 2 M là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM BM . Bài 9: 1. Trên tia Oy , lấy điểm M và H sao cho OM 5cm, OH 10 cm. Tính độ dài đoạn thẳng HM . Điểm M có là trung điểm của đoạn thẳng OH không? Vì sao? 2. Cho đoạn thẳng AB . Điểm C thuộc tia đối của tia BA . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của AB CA CB BC và AC . Chứng minh rằng: CM và MN . 2 2 (Đề thi HSG huyện Ninh Bình 2020-2021) Lời giải: 1) Chứng minh được M nằm giữa O và H . H O M y Ta có OM MH OH MH 10 5 5cm Điểm M có là trung điểm của đoạn thẳng OH vì : M nằm giữa O và H và MH MO ( 5cm) CA CB BC 2) Chứng minh rằng: CM và MN . 2 2 A M N B C Vì M là trung điểm của AB , điểm C thuộc tia đối của tia BA nên M nằm giữa A và C .
16. Suy ra: CA CM AM CM AC AM 1 Lại có B nằm giữa M và C CM CB BM 2 Từ 1 và 2 2CM AC AM BC MB AC BC do AM MB CA CB Vậy CM 2 AC Lại có N là trung điểm của AC CN 2 Có AB AC , M , N theo thứ tự là trung điiểm của AB và AC AM AN M nằm giữa A và N AN AM MN AC AB BC MN AN AM 2 2 Bài 10: Trên tia Ox lấy hai điểm A , B sao cho OA 3 cm, OB 5 cm. a) Tính độ dài đoạn thẳng AB . b) Trên tia đối của tia Ox lấy điểm C sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng AC . Lấy điểm M thuộc 1 đoạn thẳng OA sao cho OM OA . Hỏi M có là trung điểm của đoạn thẳng BC không? Vì sao? 2 Lời giải: C O M A B x a) Trên tia Ox có OA OB , (3 5) nên điểm A nằm giữa hai điểm B và O. Suy ra OA AB OB AB OB OA AB 5 3 2 (cm) Vậy AB 2 (cm) . b) Vì điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AC nên OC OA 3 (cm). 1 Vì điểm M thuộc đoạn thẳng OA và OM OA 2 Nên điểm M là trung điểm của đoạn thẳng OA . Suy ra OM MA 3: 2 1,5 (cm). Vì hai điểm C , M nằm trên hai tia đối nhau gốc O nên điểm O nằm giữa hai điểm C , M . Suy ra: CO OM CM
17. 3 1,5 CM CM 4,5 (cm) Trên tia Ox có OM OB (1,5 5) nên điểm M nằm giữa hai điểm O và B . Suy ra:OM MB OB MB OB OM MB 5 1,5 3,5 (cm). Ta thấy MB MC (3,5 4,5) nên điểm M không là trung điểm của đoạn thẳng BC .