Luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề 1: Một số hình phẳng trong thực tiễn - Chủ đề 3: Hình chữ nhật (Có lời giải)

Nội dung text: Luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề 1: Một số hình phẳng trong thực tiễn - Chủ đề 3: Hình chữ nhật (Có lời giải)

1. CHUYÊN ĐỀ 1 – MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TIỄN CHỦ ĐỀ 3: HÌNH CHỮ NHẬT PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Một số tính chất của hình chữ nhật M N Q P Hình chữ nhật MNPQ có: * Hai cạnh đối bằng nhau: MN PQ;MQ NP * Hai cạnh đối MN và PQ song song với nhau; MQ và NP song song với nhau. * Hai đường chéo bằng nhau: MP NQ . M , N,P,Q * Bốn góc ở các đỉnh đều là góc vuông. 2. Công thức tính chu vi, diện tích của hình chữ nhật Hình chữ nhật có chiều dài là a và chiều rộng là b , ta có: * Chu vi hình chữ nhật: C 2 a b * Diện tích hình chữ nhật: S ab Chú ý: * Nếu chiều dài tăng n lần, chiều rộng không đổi thì diện tích hình chữ nhật tăng lên n lần. * Nếu chiều rộng tăng lên n lần, chiều dài không đổi thì diện tích hình chữ nhật tăng lên n lần. * Nếu chiều dài và chiều rộng tăng lên n lần thì diện tích hình chữ nhật tăng n 2 lần. * Nếu một chiều tăng n lần, chiều kia giảm n lần thì diện tích hình chữ nhật không đổi. * Nếu chiều dài của hình chữ nhật tăng thêm m (đvđd), chiều rộng không đổi thì chu vi tăng thêm 2m (đvđd). * Nếu chiều rộng của hình chữ nhật tăng thêm m (đvđd), chiều dài không đổi thì chu vi tăng thêm 2m (đvđd). * Nếu chiều rộng của hình chữ nhật tăng thêm m (đvđd), chiều dài giảm đi m (đvđd) thì chu vi không đổi.
2. * Nếu chiều dài của hình chữ nhật tăng thêm m (đvđd), chiều rộng tăng thêm n (đvđd) thì chu vi tăng thêm 2 m n (đvđd). PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Các bài toán về chu vi hình chữ nhật. I. Phương pháp giải * HS nắm chắc công thức chu vi, các tính chất về cạnh, đường chéo của hình chữ nhật. * HS phân tích kĩ đề bài để tìm mối quan hệ giữa các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm trong đề. II. Bài toán Bài 1: Một miếng bìa hình chữ nhật có chu vi 72cm . Người ta cắt bỏ đi 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc của hình chữ nhật. a) Tìm chu vi miếng bìa còn lại. b) Nếu phần chiều dài còn lại của miếng bìa hơn phần còn lại của chiều rộng miếng bìa là 12 cm thì độ dài các cạnh của miếng bìa hình chữ nhật ban đầu là bao nhiêu xăng-ti-mét? Lời giải: a) Từ hình vẽ ta thấy chu vình của miếng bìa sau khi cắt vẫn bằng chu vi hình chữ nhật ban đầu. Vậy chu miếng bìa còn lại là 72cm b) Gọi chiều dài, rộng miếng bìa ban đầu lần lượt là x cm , y cm , cạnh hình vuông bị cắt đi là a cm Vì miếng bìa chữ nhật có chu vi 72cm nên x y 72 : 2 36 (cm) Chiều dài còn lại của miếng bìa là x 2a cm Chiều rộng còn lại của miếng bìa là y 2a cm Vì phần chiều dài còn lại của miếng bìa hơn phần còn lại của chiều rộng miếng bìa là 12 cm nên x 2a y 2a 12 hay x y 12 mà x y 36 Suy ra x 24 (cm); y 12 (cm) . Vậy các cạnh của miếng bìa là 24 (cm);12 (cm) Bài 2: Một đám đất hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng là các số tự nhiên. Chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Biết hình chữ nhật có diện tích từ 60 m 2 đến 80m2 . Tính chu vi đám đất. Lời giải: Gọi chiều rộng đám đất hình chữ nhật là a m ,a ¥ Vì dài gấp 3 lần chiều rộng nên chiều dài là 3a m
3. Diện tích đám đất hình chữ nhật là 3a.a 3a2 m2 Vì đám đất hình chữ nhật có diện tích từ 60 cm 2 đến 80cm2 nên 60 3a2 80 80 20 a2 27 a2 5 hay a 5 3 Chu vi đám đất là 2. 3.5 5 40 m Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi 100 cm ( AB AD ). Lấy điểm M trên cạnh AB , điểm N trên cạnh CD sao cho AMND là hình vuông còn BMNC là hình chữ nhật có chu vi 60cm . a) Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD b) Tính diện tích tam giác DMC Lời giải: a) Nửa chu vi hình chữ nhật ABCD là AB BC 100 : 2 50 cm Nửa chu vi hình chữ nhật BMNC là BM BC 60 : 2 30 cm Suy ra AB BC BM BC 20 hay AM 20 (cm) Chiều rộng hình chữ nhật ABCD là AD AM 20 (cm) (do AMND là hình vuông) Chiều dài hình chữ nhật ABCD là AB 50 20 30 (cm) b) Ta có MN AM 20 (cm) (do AMND là hình vuông) DC AB 30 (cm) (do ABCD là hình chữ nhật) Diện tích tam giác DMC là 30.20 : 2 300 (cm 2 ) Bài 4: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 45 m thì được chiều dài của hình chữ nhật mới có chiều dài vẫn gấp 4 lần chiều rộng. Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu. Lời giải: Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là a (m) , a 0 Vì chiều dài gấp 4 chiều rộng nên chiều dài là 4.a (m) Chiều rộng mới là a 45 (m) Khi tăng chiều rộng thêm 45 m thì khi đó chiều rộng sẽ trở thành chiều dài của hình chữ nhật mới, còn chiều dài ban đầu sẽ trở thành chiều rộng của hình chữ nhật mới. Theo đề bài thì hình chữ nhật mới có chiều dài vẫn gấp 4 lần chiều rộng (tức là chiều dài cũ) nên ta có a 45 4.4a
4. a 45 16a 15a 45 hay a 3 Chu vi hình chữ nhật ban đầu là 2.(3 4.3) 30 (m) Bài 5: Người ta ngăn thửa đất hình chữ nhật thành hai mảnh, một mảnh hình vuông, một mảnh hình chữ nhật. Biết chu vi thửa đất hình chữ nhật ban đầu hơn chu vi thửa đất hình vuông là 28 m . Diện tích của thửa đất ban đầu hơn diện tích thửa đất hình vuông là 224 m 2 . Tính chu vi thửa đất ban đầu. Lời giải: Nửa chu vi hình ABCD hơn nửa chu vi hình AMND là 28: 2 14 m . Nửa chu vi hình ABCD là AD AB . Nửa chu vi hình AMND là AD AM . Do đó MB AB AM 14 cm . Diện tích hình ABCD là AB.AD AB.AM (do AD AM ) Diện tích hình AMND là AM.AM Theo đề ta có AB.AM AM.AM 224 hay AM AB AM 224 AM.14 224 AM 16 Chiều rộng BC của hình ABCD là: AD AM 16 m Chiều dài AB của hình ABCD là: 14 16 30 m Chu vi hình chữ nhật ABCD là: 2. 30 16 92 m . Bài 6: Một miếng bìa hình chữ nhật, có chiều rộng 30 cm , chiều dài 40cm . Người ta muốn cắt đi một hình chữ nhật nằm chính giữa miếng bìa trên sao cho cạnh của hai hình chữ nhật song song và cách đều 1 nhau, đồng thời diện tích cắt đi bằng diện tích miếng bìa ban đầu. Hỏi hai cạnh tương ứng của hai 2 hình chữ nhật ban đầu và cắt đi cách nhau bao nhiêu? Lời giải:
5. Chia miếng bìa ABCD thành các ô vuông, mỗi ô vuông có cạnh là 5 cm . Số ô vuông của miếng bìa đó là: 8.6 48 (ô vuông). Số ô vuông của hình chữ nhật MNPQ là: 6.4 24 (ô vuông) Vì 48: 24 2 (lần) nên hình chữ nhật MNPQ có diện tích đúng bằng diện tích hình cắt đi. Mặt khác các cạnh của hình chữ nhật MNPQ song song và cách đều các cạnh tương ứng của miếng bìa ABCD . Vì vậy hình MNPQ đúng là hình chữ nhật bị cắt đi. Mỗi cặp cạnh tương ứng của hình ABCD và MNPQ cách nhau 5 cm . Bài 7: Cho một hình chữ nhật, biết nếu tăng chiều dài, chiều rộng mỗi chiều 2 cm thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 50cm2 . Tìm chu vi hình chữ nhật ban đầu. Lời giải: Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu lần lượt là a (cm), b (cm) . Diện tích ban đầu hình chữ nhật là ab(cm2 ) Diện tích sau khi tăng mỗi chiều 2 cm là (a 2)(b 2) ab 2a 2b 4(cm2 ) 2 Theo bài ra chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật tăng thêm 2 cm thì diện tích tăng thêm 50cm nên: 2a 2b 4 50 2 a + b = 46 Vậy chu vi hình chữ nhật ban đầu là 46 cm. Dạng 2: Các bài toán về diện tích hình chữ nhật. I. Phương pháp giải * HS nắm chắc công thức diện tích của hình chữ nhật. * HS phân tích kĩ đề bài để tìm mối quan hệ giữa các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm trong đề. * HS vận dụng tốt tính chất tỉ số diện tích của hai tam giác có cùng chiều cao (chiều cao bằng nhau) hoặc cùng cạnh đáy (cạnh đáy bằng nhau). II. Bài toán Bài 1: Cho mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 180 m2 , chu vi 58 m . Hãy tính chiều dài và chiều rộng mảnh đất đó (biết số đo các cạnh là số tự nhiên)? Lời giải: Cách 1: Ta có tổng của chiều rộng và chiều dài là: 58 : 2 29 m 1 Ta phân tích diện tích hình chữ nhật thành tích của số đo chiều rộng và chiều dài được như sau: 180 = 1.180 = 2.90 = 3.60 = 4.45 = 5.36 = 6.30 = 9.20 = 10.18 = 12.15 2 Dùng phương pháp đối chiếu, từ 1 ta thấy tổng số đo của chiều rộng và chiều dài là 29 m , đem đối chiếu với kết quả cặp số đo chiều rộng và chiều dài ở 2 ta thấy cặp số 9 và 20 thỏa mãn yêu cầu. Như vậy chiều rộng là 9 m ; chiều dài là 20 m . Cách 2:
6. Gọi số đo chiều rộng là a m ; số đo chiều dài là b m a,b ¥ ,a b Theo đề bài ta có: a b 58: 2 29 1 , suy ra 0 a 15; 14 b 29 Lại có ab 180 2 , suy ra a hoặc b phải chia hết cho 9. Xét TH1: a chia hết cho 9. Vì a chia hết cho 9 và 0 a 15 nên a 9 . Với a 9 b 20 mà 9.20 180 (thỏa mãn 2 ). Xét TH2: b chia hết cho 9; 14 b 29 nên b 18 hoặc b 27 . – Nếu b 18 thì a 11 mà 11.18 198 (không thỏa mãn 2 ) nên TH này ta loại. – Nếu b 27 thì a 2 mà 2.27 54 (không thỏa mãn 2 ) nên TH này ta cũng loại. Vậy chiều rộng là 9 m ; chiều dài là 20 m . 2 Bài 2: Cho hình chữ nhật JKML có LO OM NM MK (như hình vẽ). Tính diện tích hình chữ 3 nhật JKML biết diện tích tam giác NJO là 18 cm2 J L O K N M Lời giải: 2 Từ đề bài: LO OM MN MK ta suy ra nếu OM NM LO a cm thì LM 2a;KM 3a 3 3 1 Ta có S S S S S a2 a2 2a2 18 4a2 18 hcn JLO MNO JKN JNO 2 2 2 2 2 2 Mà Shcn LM.KM 6a 6a 4a 18 2a 9 a 3 Vậy 2 . Shcn 6.3.3 54 cm Bài 3: Một hình chữ nhật có chu vi là 60 m . Tính diện tích của nó, biết rằng giữ nguyên chiều rộng của hình chữ nhật đó và tăng chiều dài lên 2 m thì ta được một hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 24 mét vuông. Lời giải: Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu lần lượt là a (m), b (m) . Diện tích ban đầu hình chữ nhật là ab (m2 ) Diện tích sau khi giữ nguyên chiều rộng và tăng chiều dài lên 2m là (a 2)b ab 2b (m2 ) Vì diện tích mới tăng 24 mét vuông nên 2b 24 b 12
7. Chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là: 12 m Chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là 60 : 2 -12 = 18 m Diện tích của hình chữ nhật là: 12.18 = 216 m2 . Bài 4: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp rưỡi chiều rộng. Nếu mỗi chiều tăng thêm 1 m thì được hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 26 mét vuông. Tính các kích thước của hình chữ nhật ban đầu. Lời giải: Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu lần lượt là a (m), b (m) . Diện tích ban đầu hình chữ nhật là ab (m2 ) Diện tích sau khi tăng mỗi chiều 1 m là (a 1)(b 1) ab a b 1 (m2 ) 2 Theo bài ra chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật tăng thêm 1m thì diện tích tăng thêm 26 m nên a + b +1 = 26 a + b = 25 Theo bài ra: a = 1,5.b 1,5b + b = 25 2,5b = 25 b = 10 Từ đó a = 15 Vậy hình chữ nhật ban đầu có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 15 m và 10 m . MB Bài 5: Tính tỉ số diện tích hình MBND với hình chữ nhật ABCD . Biết AM , BN = NC . 3 Lời giải: SABCD Ta có SABD SCBD . 2 MB 3 3 1 3 Ta có AM S .S  S S 3 MBD 4 ABD 4 2 ABCD 8 ABCD 1 1 1 1 Tương tự BN NC S .S  S S NBD 2 CBD 2 2 ABCD 4 ABCD 1 3 5 SDMBN SMBD S S S CBD 4 8 ABCD 8 ABCD S 5 Vậy DMBN . SABCD 8
8. Bài 6: Một miếng bìa hình vuông cạnh 24cm . Cắt miếng bìa đó dọc theo một cạnh ta được hai hình chữ 4 nhật có tỉ số chu vi là . Tìm diện tích mỗi hình chữ nhật đó. 5 Lời giải: A a E 24-a B 24 D F C Gọi hình vuông là ABCD . Cắt miếng bìa theo đường EF . Không mất tính tổng quát ta giả sử hình chữ nhật AEFD có chu vi lớn hơn. Gọi độ dài AE là a (cm) Khi đó EB 24 a (cm) 24 a 24 4 48 a 4 Theo bài ra ta có: 9a 144 a 16 . 24 a 5 24 a 5 Diện tích hình chữ nhật AEFD là 24.a 24.16 386 (cm 2 ) Diện tích hình chữ nhật BEFC là 24 24 a 24.8 192 (cm2 ) Vậy diện tích mỗi hình chữ nhật là 16.24 384 cm2 và 8.24 192 cm2 Bài 7: Cho (1), (2), (3), (4) là các hình thang vuông có kích thước bằng nhau. Biết rằng PQ 4 cm . Tính diện tích hình chữ nhật ABCD . Lời giải: Vì các hình thang vuông PQMA , QMBC , QPNC , PNDA bằng nhau nên: MQ NP QP 4 cm và CN AD . Mặt khác AD NP QM 4 4 8 cm . Do đó CN AD 8 cm . Diện tích hình thang vuông PQCN là: CN PQ NP : 2 8 4 .4 : 2 24 cm2 Suy ra diện tích hình chữ nhật ABCD là: 24.4 96 (cm2 ) . Bài 8: Một thửa ruộng hình chữ nhật được chia thành 2 mảnh, một mảnh nhỏ trồng rau và mảnh còn lại trồng ngô (hình vẽ). Diện tích của mảnh trồng ngô gấp 6 lần diện tích của mảnh trồng rau. Chu vi
9. mảnh trồng ngô gấp 4 lần chu vi mảnh trồng rau. Tính diện tích thửa ruộng ban đầu, biết chiều rộng của nó là 5 mét. Lời giải: Diện tích mảnh trồng ngô gấp 6 lần diện tích mảnh trồng rau mà hai mảnh có chung một cạnh nên cạnh còn lại của mảnh trồng ngô gấp 6 lần cạnh còn lại của mảnh trồng rau. Gọi cạnh còn lại của mảnh trồng rau là a (m) thì cạnh còn lại của mảnh trồng ngô là 6a (m). Chu vi mảnh trồng rau là 2 a 5 (m) Chu vi mảnh trồng ngô là 2 6a 5 (m) Vì chu vi mảnh trồng ngô gấp 4 lần chu vi mảnh trồng rau nên 2 6a 5 4.2 a 5 12a 10 8a 40 4a 30 a 7,5 Độ dài cạnh còn lại của mảnh trồng rau là: 7,5 (m) Độ dài cạnh còn lại của mảnh trồng ngô là: 7, 5.6 45 (m) Diện tích thửa ruộng ban đầu là: 7,5 45 .5 262,5 (m 2 ) . Bài 9: Một tờ giấy hình chữ nhật được gấp theo đường chéo như hình vẽ. Diện tích hình nhận được bằng 5 diện tích hình chữ nhật ban đầu. Biết diện tích phần tô màu là 18 cm2 . Tính diện tích tờ giấy ban 8 đầu. Lời giải: Khi gấp tờ giấy hình chữ nhật theo đường chéo (đường nét đứt) thì phần hình tam giác được tô màu bị xếp chồng lên nhau. Do đó diện tích hình chữ nhật ban đầu lớn hơn diện tích hình nhận được chính là diện tích tam giác được tô màu. 5 3 Diện tích hình chữ nhật ban đầu giảm đi bằng 1 diện tích hình chữ nhật ban đầu. 8 8 3 3 Do vậy diện tích tam giác tô màu bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu, hay diện tích hình chữ 8 8 nhật ban đầu bằng 18cm2 .
10. 3 Vậy diện tích hình chữ nhật ban đầu là: 18: 48 (cm2 ) 8 Bài 10: Tính diện tích hình chữ nhật ABCD . Biết rằng diện tích tứ giác AIKD là 20 cm2 và I là điểm chia AB thành 2 phần bằng nhau. Lời giải: Kí hiệu S X là diện tích của hình X . Nối D với I . Qua I và C vẽ các đường thẳng IP và CQ vuông góc với BD , IH vuông góc với DC . 1 1 1 Ta có S S S ;S S (vì có chung đường cao DA , IB AB ) ADB CDB 2 ABCD DIB 2 ADB 2 1 1 1 S S mà hai tam giác này có chung đáy DB nên IP .CQ S S IDB 2 DBC 2 IDK 2 CDK 1 (vì có chung đáy DK và IP .CQ ) S S S 3.S . 2 CDI IDK DKC DIK 1 1 DC Ta có S .AD.AI , S .IH.DC mà IH AD , AI S 2.S ADI 2 DIC 2 2 DIC ADI 3 nên S .S ADI 2 DIK 2 2 2 Vì SAIKD 20(cm ) SDAI SIDK 20 SDAI SDAI 20 SDAI 20.3:5 12 (cm ) 3 1 AB 1 Mặt khác S S (cùng chung chiều cao AD , AI ) S DAI 2 ADB 2 4 ABCD 2 Suy ra SABCD 4.SDAI 4.12 48 (cm ) . Bài 11: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 120 m . Người ta mở rộng khu vườn như hình vẽ để được một vườn hình chữ nhật lớn hơn. Tính diện tích phần mới mở thêm. Lời giải:
11. Nếu ta “dịch chuyển” khu vườn cũ ABCD vào một góc của khu vườn mới EFHD ta được hình vẽ bên. Kéo dài EF về phía F lấy M sao cho FM BC thì diện tích hình chữ nhật BKHC đúng bằng diện tích hình chữ nhật FMNK . Do đó phần diện tích mới mở thêm chính là diện tích hình chữ nhật EMNA . Ta có AN AB KN BK , vì AB KN 120 : 2 60 (m) ; BK 10 (m) nên AN 70 (m) . Vậy 2 diện tích phần mới mở thêm là: 70.10 700 (m ) . Bài 12: Một mảnh đất hình chữ nhật được chia thành 4 hình chữ nhật nhỏ hơn có diện tích được ghi như hình vẽ. Tính diện tích hình chữ nhật còn lại . Lời giải: Hai hình chữ nhật AMOP và MBQO có chiều rộng bằng nhau và có diện tích hình MBQO gấp 3 lần diện tích hình AMOP ( 24 gấp 8 là 3 lần), do đó chiều dài hình chữ nhật MBQO gấp 3 lần chiều dài hình chữ nhật AMOP OQ 3.PO (1) . Hai hình chữ nhật POND và OQCN có chiều rộng bằng nhau và có chiều dài hình OQCN gấp 3 lần chiều dài hình POND (do (1) ). Do đó diện tích hình OQCN gấp 3 lần diện tích hình POND . Vậy diện tích hình chữ nhật OQCN là: 16.3 48 (cm 2 ) . Bài 13: Một vườn trường hình chữ nhật có chu vi 360m . Tính diện tích của mảnh vườn đó biết nếu xóa chữ số 1 ở bên trái số đo chiều dài ta được số đo chiều rộng. Lời giải: Vì xóa chữ số 1 ở bên trái số đo chiều dài ta được số đo chiều rộng nên chiều dài hơn chiều rộng là 100 m Nửa chu vi hình chữ nhật là 360 : 2 180 (m) Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là a (m) , a 0 thì chiều dài hình chữ nhật là a 100 (m) Ta có a a 100 180 2a 100 180 2a 80 hay a 40 Diện tích của mảnh vườn là 40(100 40) 5600 (m 2 ) Bài 14: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu giảm chiều dài đi 28 m , tăng chiều rộng thêm 10 m thì khu vườn đó trở thành hình vuông. Tính diện tích khu vườn ban đầu. Lời giải: Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là a (m) , a 0
12. Vì chiều dài gấp ba chiều rộng nên chiều dài là 3.a (m) Vì giảm chiều dài đi 28 m nên chiều dài mới là 3.a 28 (m) Vì tăng chiều rộng thêm 10 m nên chiều rộng mới là a 10 (m) Theo đề bài thì mảnh vườn trở thành hình vuông nên ta có 3a 28 a 10 3a a 10 28 2a 38 hay a 19 Diện tích hình chữ nhật ban đầu là 19.(3.19) 1083 (m 2 ) Bài 15: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Nếu thêm vào chiều dài 15 m , thêm vào chiều rộng 20 m thì chiều dài mảnh đất mới gấp rưỡi chiều rộng mảnh đất khi đó. Tính diện tích mảnh đất hình chữ nhật ban đầu. Lời giải: Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là a (m) , a 0 Vì chiều dài gấp đôi chiều rộng nên chiều dài là 2.a (m) Chiều dài mới là 2.a 15 (m) Chiều rộng mới là a 20 (m) Theo đề ta có 2a 15 1,5(a 20) 2a 15 1,5a 30 2a 1,5a 30 15 0, 5a 15 hay a 3 Diện tích hình chữ nhật ban đầu là 3.(2.3) 18 (m 2 ) Bài 16: Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi là 60cm và chiều dài AB gấp rưỡi chiều rộng BC . Lấy một điểm M trên cạnh BC sao cho MB 2MC . Nối A với M kéo dài cắt DC kéo dài tại điểm E . Nối B với E . Nối D với M . a) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD . b) Chứng tỏ rằng tam giác MBE và tam giác MCD có diện tích bằng nhau. OB c) Gọi O là giao điểm của AM và BD . Tính tỷ số OD Lời giải: a) Gọi chiều rộng BC của hình chữ nhật là a (m) Vì chiều dài AB gấp rưỡi chiều rộng BC nên chiều dài AB là 1, 5.a (m)
13. Ta có 2.(a 1,5.a) 60 5a 60 hay a 12 Diện tích của hình chữ nhật ABCD là: 12.1, 5.12 216 (cm 2 ) b) Ta có S EAB S BCD (vì có chiều cao hạ từ E lên đáy AB bằng chiều cao BC của tam giác BCD hạ từ B lên đáy CD , đáy CD AB ) Ta có S ABM S DBM (vì có chiều AB CD , chung đáy BM ) Do đó S EAB S ABM S BCD S DBM hay S BME S DMC 2 c) Ta có S S (vì có đường cao AB bằng đường cao hạ từ đỉnh M của ta giác MAD , đáy ABM 3 MAD 2 2 BM BC AD ) 3 3 Mà 2 tam giác này chung đáy AM nên suy ra chiều cao hạ từ đỉnh B lên AM của tam giác 2 MAB bằng chiều cao hạ từ đỉnh D của tam giác MAD lên đáy AM . Đây cũng là chiều cao từ các 3 đỉnh hạ lên đáy MO của tam giác MBO và tam giác MDO 2 Chiều cao hạ từ B lên đáy MO của tam giác MBO bằng chiều cao hạ từ đỉnh D lên đáy MO 3 của tam giác MDO 2 OB 2 S S mà hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ M lên BD . MBO 3 MDO OD 3 Dạng 3: Các bài toán có nội dung thực tiễn. I. Phương pháp giải * HS phân tích kỹ đề bài để tìm mối liên hệ giữa đề bài và các yếu tố thực tiễn. * Áp dụng công thức tính chu vi, diện tích hình chữ nhật vào giải toán. II. Bài toán Bài 1: Một người rào xung quanh khu đất hình chữ nhật có chiều dài 28 m , chiều rộng 15 m hết 43 chiếc cọc. Hỏi người đó rào xung quanh khu đất hình vuông có cạnh 25 m thì hết bao nhiêu chiếc cọc? Biết khoảng cách giữa hai cọc là như nhau. Lời giải: Chu vi hình chữ nhật là 2. 28 15 86 (m) Khoảng cách giữa hai cọc là 86 : 43 2 (m) Chu vi hình vuông là 4.25 100 (m) Số cọ cần để rào xung quanh hình vuông là 100 : 2 50 (cọc) Bài 2: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 24,2m2 , chiều dài gấp 1, 25 lần chiều rộng. Hỏi người ta cần bao nhiêu cọc để đóng xung quanh khu vườn? Biết cứ 1m chôn một cọc và hai bên cửa ra vào rộng 0,8 m đều có cọc. Lời giải:
14. Gọi chiều rộng hình chữ nhật là x (m) , x 0 Vì chiều dài gấp 1, 25 lần chiều rộng nên chiều dài hình chữ nhật là 1, 25x (m) Theo đề diện tích hình chữ nhật là 24,2m2 , ta có x.1,25x 24,2 hay 1,25x2 24,2 484 22 x2 19,36 , suy ra x 25 5 22 22 Chu vi hình cữ nhật là 2. 1,25. 19,8 (m) 5 5 Chu vi vườn cần đóng cọc là 19,8 0,8 19 (m) Số cọ cần để đóng xung quanh vườn là 19 :1 1 20 (cọc) Bài 3: Một tấm biển quảng cáo hình chữ nhật có chiều dài gấp bốn lần chiều rộng và diện tích bằng 1 m2 . Hỏi phải dùng bao nhiêu mét nhôm để viền xung quanh tấm biển đó? Lời giải: Gọi chiều rộng hình chữ nhật là x (m) , x 0 Vì chiều dài gấp bốn lần chiều rộng nên chiều dài hình chữ nhật là 4x (m) Theo đề diện tích hình chữ nhật là 1m2 , ta có x.4x 1 hay 4x2 1 1 1 x2 , suy ra x 4 2 Số mét nhôm để viền xung quanh tấm biển chính là chu vi của tấm biển quảng cáo đó là 1 1 2. 4. 5 (m) 2 2 Bài 4: Hợp tác xã Hòa Bình dự định xây dựng một khu vui chơi cho trẻ em trong xã. Vì thế họ đã mở rộng một mảnh đất hình chữ nhật để diện tích gấp ba lần diện tích ban đầu. Chiều rộng mảnh đất chỉ có thể tăng lên gấp đôi nên phải mở rộng thêm chiều dài. Khi đó mảnh đất trở thành hình vuông. Hãy tính diện tích khu vui chơi sau khi mở rộng. Biết rằng chu vi mảnh đất ban đầu là 56 m . Lời giải: Gọi mảnh đất hình chữ nhật lúc đầu là ABCD , khi mở rộng mảnh đất hình chữ nhật để được mảnh đất hình vuông APMN có cạnh hình vuông gấp hai lần chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ABCD và diện tích gấp 3 lần diện tích mảnh đất hình chữ nhật ấy. Khi đó diện tích của các mảnh đất hình chữ nhật ABCD , DCHN , BPMH bằng nhau. Mảnh đất hình chữ nhật BPMH có độ dài cạnh BH gấp 2 lần độ dài cạnh AD
15. 1 2 nên BP AB hay AB AP 2 3 1 1 2 3 Ta lại có AD AP nên AD : AB AP : AP 2 2 3 4 Nửa chu vi mảnh đất ban đầu là 56 m nên AD AB 56 : 2 28 (m) . Ta có : Chiều rộng mảnh đất ban đầu ( AD ) là: 28 : (3 4).3 12 (m) . Cạnh hình vuông APMN là: 12.2 24 (m) . Diện tích khu vui chơi là: 24.24 576 (m2 ) . 1 Bài 5: Bác Hà có hai tấm kính hình chữ nhật. Chiều rộng của mỗi tấm kính bằng chiều dài của nó và 2 chiều dài của tấm kính nhỏ đúng bằng chiều rộng của tấm kính to. Bác ghép hai tấm kính sát vào nhau và đặt lên bàn có diện tích 90dm2 thì vừa khít. Hãy tính kích thước của mỗi tấm kính đó. Lời giải: Theo đầu bài, coi chiều rộng của tấm kính nhỏ là 1 đoạn thì chiều dài của nó là 2 đoạn như vậy và chiều rộng của tấm kính to cũng là 2 đoạn, khi đó chiều dài của tấm kính to là 4 đoạn như vậy. Nếu bác Hà ghép khít hai tấm kính lại với nhau sẽ được hình chữ nhật ABCD (hình vẽ), trong đó AMND là tấm kính nhỏ, MBCN là tấm kính to. Diện tích ABCD là 90 dm2. Chia hình chữ nhật ABCD thành 10 hình vuông nhỏ, mỗi cạnh là chiều rộng của tấm kính nhỏ thì diện tích của mỗi hình vuông nhỏ là 90 :10 9 dm2 . Ta có 9 3.3 , do đó cạnh hình vuông là 3 dm . Tấm kính nhỏ có chiều rộng 3 dm , chiều dài là 3.2 6 dm . Tấm kính to có chiều rộng là 6 dm , chiều dài là 6.2 12 dm . Bài 6: Bác Phong có một mảnh đất hình chữ nhật, chiều rộng mảnh đất dài 8 m . Bác ngăn mảnh đó 1 thành hai phần, một phần để làm nhà, phần còn lại để làm vườn. Diện tích phần đất làm nhà bằng 2 2 diện tích mảnh đất còn chu vi phần đất làm nhà bằng chu vi mảnh đất. Tính diện tích mảnh đất của 3 bác Phong. Lời giải: Có hai cách chia mảnh đất hình chữ nhật thành hai phần có diện tích bằng nhau. Cách chia 1: Như Hình 1.
16. Hình 1 Gọi mảnh đất hình chữ nhật là ABCD và phần đất làm nhà là AMND . Vì diện tích phần đất làm nhà bằng nửa diện tích mảnh đất nên M , N lần lượt là điểm chính giữa của AB và CD . Do đó AM MB CN ND . Chu vi của phần đất làm nhà là: AM AD .2 AM 8 .2 2.AM 16 AB 16. Chu vi của mảnh đất là: AB AD .2 AB 8 .2 2.AB 16 . Hiệu chu vi mảnh đất và chu vi phần đất làm nhà là: 2.AB 16 AB 16 AB . 2 1 Hiệu này so với chu vi mảnh đất thì chiếm: 1 (chu vi mảnh đất) 3 3 2 Do đó ta có: AB.3 AB.2 16 hay AB 16 . Vậy diện tích mảnh đất là: 16.8 128 (cm ) Cách chia 2 : Như Hình 2. Hình 2 Lập luận tương tự trường hợp trên, ta tìm được AB 4 m . Điều này vô lí vì AB là chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là 8 m. Do đó trường hợp này bị loại. Bài 7: Trên một mặt bàn hình vuông, người ta đặt một lọ hoa có đáy cũng là hình vuông sao cho một cạnh của đáy lọ hoa trùng với một cạnh của bàn tại chính giữa bàn ấy (như hình vẽ). Khoảng cách ngắn nhất từ cạnh mặt bàn đến đáy lọ hoa là 35 m , biết diện tích còn lại của mặt bàn là 6300 cm2 . Tính cạnh của mặt bàn. Lời giải: Ta có thể chuyển lọ hoa vào góc bàn, khi đó ta có AGFE và FHCI là hình vuông; GBHF và EFID là các hình chữ nhật có diện tích bằng nhau.
17. A G 70 B S E H F 70 S D I C Độ dài cạnh GB, FH, FI, ED là: 35.2 70 (cm) Diện tích hình vuông FHCI là 70.70 4900 (cm2 ) Diện tích hình chữ nhật GBHF là 6300 4900 :2 700 (cm2 ) Độ dài các cạnh hình vuông AGFE là 700:70 10 (cm) Vậy cạnh mặt bàn là: 70 10 80 (cm)  HẾT 