›
›
›

Giáo trình môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 5: Bất đẳng thức

doc 26 trang nhatle22 6620
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 5: Bất đẳng thức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docgiao_trinh_mon_toan_lop_8_chuyen_de_5_bat_dang_thuc.doc

Nội dung text: Giáo trình môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 5: Bất đẳng thức

  1. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CHUYÊN ĐỀ 5: BẤT ĐẲNG THỨC I.LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: Các mệnh đề “ A > B ” hoặc “ A B mà ta biến đổi được thành C > D thì ta nói rằng BĐT C > D là BĐT hệ quả của BĐT A > B. kí hiệu A > B => C > D Nếu BĐT A>B là hệ quả của BĐT C>D và C>D cũng là BĐT hệ quả của BĐT A>B thì ta nói hai BĐT trên tương đương với nhau, Kí hiệu A>B C>D 3. Tính chất: A B A C B C ( Cộng hai vế của BĐT với cùng một số) A B A.C B.C, C 0 (Nhân hai vế của BĐT với cùng một số) A B A.C B.C, C 0 A B,C D A C B D ( Cộng hai BĐT cùng chiều) A B,C D AC BD, A,C 0 (Nhân hai BĐT cùng chiều) A B A2n 1 B2n 1 hoặc A2n B2n Với A > 0, (Nâng hai vế của BĐT lên một lũy thừa) A B A B, A 0 (Khai căn hai vế của một BĐT) a b a b a b (Tính chất giá trị tuyệt đối). II.LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A – B >0, CHÚ Ý BĐT A2 0 Bài 1: CMR : với mọi x,y,z thì x2 y2 z2 xy yz zx HƯỚNG DẪN GIẢI Xét hiệu ta có: 2 x2 y2 z2 xy yz zx 0 x y 2 y z 2 z x 2 0 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z Bài 2: CMR : với mọi x,y,z thì x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx HƯỚNG DẪN GIẢI Xét hiệu ta có: x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 x y z 2 0 Dấu bằng xảy ra khi x+z=y Bài 3: CMR : với mọi x,y,z thì x2 y2 z2 3 2 x y z HƯỚNG DẪN GIẢI Xét hiệu ta có: x 1 2 y 1 2 z 1 2 0 , Dấu bằng khi x=y=z=1 2 a2 b2 a b Bài 4: CMR : với mọi a,b ta có : 2 2 HƯỚNG DẪN GIẢI 1
  2. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 a2 b2 a2 2ab b2 Xét hiệu ta có : 0 2a2 2b2 a2 2ab b2 0 2 4 a2 2ab b2 0 a b 2 0 , Dấu bằng khi a=- b 2 a2 b2 c2 a b c Bài 5: CMR : với mọi a,b,c ta có : 3 3 HƯỚNG DẪN GIẢI a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac Ta có: 3 9 3a2 3b2 3c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 0 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 , Dấu bằng khi a=b=c a b c 2 Bài 6: CMR : a2 b2 c2 3 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có:3a2 3b2 3c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 , Dấu bằng khi a=b=c a b 2 Bài 7: CMR : a2 b2 2ab 2 HƯỚNG DẪN GIẢI a b 2 Ta chứng minh: a2 b2 2a2 2b2 a2 2ab b2 2 a2 b2 2ab 0 a b 2 0 , Dấu bằng khi a=b 2 a b 2 Ta chứng minh 2ab a2 2ab b2 4ab a b 0 , Dấu bằng khi a=b 2 b2 Bài 8: Cho a,b,c là các số thực. CMR: a2 ab 4 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: 4a2 b2 4ab 2a b 2 0 Dấu bằng khi b=2a Bài 9: Cho a,b,c là các số thực. CMR : a2 b2 1 ab a b HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 b2 1 ab a b 0 2a2 2b2 2 2ab 2a 2b 0 a2 2ab b2 a2 2a 1 b2 2b 1 0 a b 2 a 1 2 b 1 2 0 . Dấu bằng khi a=b=1 Bài 10: Cho a,b,c,d là các số thực . CMR : a2 b2 c2 d 2 e2 a b c d e HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 b2 c2 d 2 e2 ab ac ad ae 0 4a2 4b2 4c2 4d 2 4e2 4ab 4ac 4ad 4ae 0 a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 a2 4ad 4d 2 a2 4ae 4e2 0 a 2b 2 a 2c 2 a 2d 2 a 2e 2 0 Dấu bằng xảy ra khi a=2b=2c=2d=2e 2
  3. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 1 1 Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0.CMR: 1 1 9 a b HƯỚNG DẪN GIẢI a b a b b a a b Ta có: VT 1 1 2 2 4 2 1 a b a b b a a b a b 2 2 1 5 2 5 2.2 9 . Dấu bằng khi a b a b b a b a 2 2 x y Bài 12: Cho x, y 0,CMR : xy 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có:x2 y2 2xy 4xy x2 2xy y2 0 x y 2 0 , Dấu bằng khi x=y Bài 13: Cho a > 0, b > 0. CMR: a3 b3 a2b ab2 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a3 a2b b3 ab2 0 a2 a b b2 a b 0 2 a b a2 b2 0 a b a b 0 Dấu bằng khi a=b 1 1 2 Bài 14: Cho a b 1, CMR: 1 a2 1 b2 1 ab HƯỚNG DẪN GIẢI 1 1 1 1 a b a b a b Xét hiệu: 2 2 0 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab 1 a2 1 ab 1 b2 1 ab b a 2 ab 1 0 , Dấu bằng khi a=b hoặc a.b=1 1 ab a2 1 b2 a Bài 15: CMR : với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có : x2 y2 z2 t 2 x y z t HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: x2 y2 z2 t 2 xy xz xt 0 4x2 4y2 4z2 4t 2 4xy 4xz 4xt 0 x2 4xy 4y2 x2 4xz 4z2 x2 4xt 4t 2 x2 0 Dấu bằng khi x= 2y=2z=2t=0 a2 Bài 17: CMR : b2 c2 ab ac 2bc 4 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 4b2 4c2 4ab 4ac 8bc 0 a2 4a b c 4 b2 c2 2bc 0 a2 4a b c 4 b c 2 0 a 2a 2c 2 0 Bài 19: CMR : x2 y2 z2 2xy 2zx 2yz HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 x2 2x y z y2 2 yz z2 0 x2 2x y z y z 2 0 x y z 2 0 Bài 21: CMR : a2 b2 c2 ab bc ca HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có : a2 b2 c2 ab bc ca 0 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 Bài 22: CMR : a2 b2 ab 3
  4. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 2 2 2 2 b b 3b b 3b Ta có: a b ab 0 a 2a. 0 a 0 2 4 4 2 4 Bài 23: CMR : x2 xy y2 0 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 2 2 y y 3y y 3y Ta có: x 2x. 0 x 0 2 4 4 2 4 Bài 24: CMR : a a b a c a b c b2c2 0 HƯỚNG DẪN GIẢI a a b c a b a c b2c2 0 a2 ab ac a2 ab ac bc b2c2 0 2 a ab ac x 2 2 2 Đặt , Khi đó ta có: x x y y 0 x xy y 0 bc y 2 Bài 25: CMR : a2 b2 a4 b4 a3 b3 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a6 a2b4 a4b2 b6 a6 2a3b3 b6 a4b2 a3b3 a2b4 a3b3 0 a3b2 a b a2b3 b a 0 2 a b a3b2 a2b3 0 a2b2 a b 0 Bài 26: CMR : a b a3 b3 2 a4 b4 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a4 ab3 a3b b4 2a4 2b4 a4 ab3 b4 a3b 0 2 a3 a b b3 b a 0 a3 b3 a b 0 a b a2 ab b2 0 Bài 27: Cho a,b > 0, CMR : 2 a3 b3 a b a2 b2 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: 2a3 2b3 a3 ab2 a2b b3 a3 a2b b3 ab2 0 a2 a b b2 b a 0 a b 2 a b 0 Bài 28: Cho a, b > 0, CMR: 4 a3 b3 a b 3 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: 4a3 4b3 a3 3a2b 3ab2 b3 3a3 3a2b 3b3 3ab2 0 3a2 a b 3b2 b a 0 3 a b a2 b2 0 3 a b 2 a b 0 Bài 29: Cho a,b,c > 0, CMR: a3 b3 abc ab a b c HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a3 b3 abc a2b ab2 abc a3 a2b b3 ab2 0 a2 a b b2 b a 0 a b 2 a b 0 4
  5. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 2 Bài 30: CMR: a2 b2 ab a b 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a4 2a2b2 b4 ab a2 2ab b2 a3b 2a2b2 ab3 a4 a3b b4 ab3 0 a3 a b b3 b a 0 2 a3 b3 a b 0 a b a2 ab b2 0 Bài 31: CMR: a2 b2 c2 a b c HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 b2 c2 ab ac 0 4a2 4b2 4c2 4ab 4ac 0 a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 2a2 0 a 2b 2 a 2c 2 2a2 0 Bài 32: CMR: a2 b2 c2 d 2 a b c d HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 b2 c2 d 2 ab ac ad 0 4a2 4b2 4c2 4d 2 4ab 4ac 4ad 0 a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 a2 4ad 4d 2 a2 0 a 2b 2 a 2c 2 a 2d 2 a2 0 3 Bài 33: CMR: a2 b2 c2 a b c 4 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 3 2 1 2 1 2 1 Ta có: a a b b c c 0 a a b b c c 0 4 4 4 4 2 2 2 1 1 1 a b c 0 2 2 2 Bài 34: CMR: a4 b4 2 4ab HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a4 b4 4ab 2 0 a4 b4 2a2b2 2a2b2 4ab 2 0 2 2 a2 b2 2 a2b2 2ab 1 0 a2 b2 2 ab 1 2 0 Bài 35: CMR: x4 4x 5 0 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 Ta có: x4 4x2 4 4x2 4x 1 0 x2 2 2x 1 0 Không xảy ra dấu bằng. 1 Bài 36: CMR: x4 x 0 2 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 4 2 1 2 1 2 1 1 Ta có: x x x x 0 x x 0 4 4 2 2 Bài 37: CMR: x3 4x 1 3x2 (x 0) HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: x3 3x2 4x 1 0 x x2 x 4 x2 1 0 x x 2 2 x2 1 0 , Vì x > 0 Bài 39: CMR: x 1 x 2 x 3 x 4 1 HƯỚNG DẪN GIẢI x 1 x 4 x 2 x 3 1 0 x2 5x 4 x2 5x 6 1 0 Đặt x2 5x 5 t , Khi đó ta có: t 1 t 1 1 0 t 2 0 , Dấu bằng khi t=0 5
  6. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Bài 40: CMR: x4 x3 x2 x 1 0 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có : x3 x 1 x 1 x2 0 x 1 x3 1 x2 0 2 x 1 x2 x 1 x2 0 ( ĐPCM) Bài 41: CMR : a2 4b2 4c2 4ab 8bc 4ac HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 4b2 4c2 4ab 8bc 4ac 0 a2 2b 2 2c 2 2.a.2b 2.2b.2c 2.a.2c 0 a b c 2 0 Bài 43: CMR: a b c 3 a3 b3 c3 24abc với a,b,c>0 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a3 b3 c3 3 a b b c c a a3 b3 c3 24abc 3 a b b c c a 24abc a b 2 ab Vì b c 2 bc , Nhân theo vế ta được ĐPCM c a 2 ca x2 y2 x y Bài 44: CMR: Với mọi x, y # 0 ta có: 2 2 4 3 y x y x HƯỚNG DẪN GIẢI 2 Ta có: x4 y4 4x2 y2 3xy x2 y2 x2 y2 xy x2 y2 2x2 y2 2xy x2 y2 0 x2 y2 x2 y2 xy 2xy xy x2 y2 0 x2 y2 xy x2 y2 2xy 0 2 x y x2 xy y2 0 1 Bài 45: CMR : Nếu a b 1 , thì a3 b3 4 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 3 2 3 3 3 2 1 1 1 Ta có:b 1 a b 1 3a 3a a a b 3a 3a 1 3 a 2 4 4 Bài 46: Cho a,b,c > 0, CMR : ab bc ca a2 b2 c2 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 b2 c2 ab bc ca 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 a2 a 1 Bài 47: CMR : 0 a2 a 1 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 1 3 2 2 1 3 Ta có:a a 1 a a 0,a a a 1 a a 0,a 4 4 4 4 Bài 48: CMR : 4a a b a 1 a b 1 b2 0 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có:4a a b 1 a 1 a b b2 0 4 a2 ab a a2 ab a b b2 0 . 2 a ab a x 2 Đặt Khi đó: 4x x y y2 0 4x2 4xy y2 0 2x y 0 , b y 6
  7. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 2a a 1 Dấu bằng khi 2x y 2a2 2ab 2a b b 2a 1 x y 2 Bài 49: CMR : x2 y2 2xy 2 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 x y 2 x2 y2 2x2 2y2 x2 y2 2xy x y 0 Ta có: 2 2 x y 2 2xy x2 y2 2xy 4xy x y 0 2 1 1 4 Bài 50: CMR : , Với a,b > 0 a b a b HƯỚNG DẪN GIẢI a b 4 2 2 Ta có: a b 4ab a b 0 ab a b Bài 51: CMR : a4 b4 ab a2 b2 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 Ta có: a4 b4 a3b ab3 0 a3 a b b3 a b 0 a b a2 ab b2 0 4 a4 b4 a b Bài 52: CMR : 2 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có:8a4 8b4 a4 b4 4a2b2 2a2b2 4a3b 4ab3 7a4 7b4 4a2b2 2a2b2 4a3b 4ab3 0 a4 b4 2a2b2 6a4 6b4 4ab a2 b2 8a2b2 0 2 a2 b2 4ab a2 b2 4a2b2 6 a4 b4 12a2b2 0 2 2 a2 b2 2ab 6 a4 b4 2a2b2 0 a b 4 6 a2 b2 0 Bài 53: Cho a+b+c=0, CMR : ab bc ca 0 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 b2 c2 2 ab bc ca 0 2 ab bc ca a2 b2 c2 0 Dấu bằng khi a=b=c=0 2 2 2 Bài 54: Cho x,y,z R , CMR : x y y z z x 3 x2 y2 z2 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: 2x2 2y2 2z2 2xy 2yz 2zx 3x2 3y2 3z2 x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 x y z 2 0 x6 y6 Bài 55: CMR : Với mọi x,y khác 0, ta luôn có : x4 y4 y2 x2 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: x2 y2 x4 y4 x8 y8 x8 y8 x6 y2 x2 y6 0 x6 x2 y2 y6 x2 y2 0 x6 y6 x2 y2 0 x2 y2 x4 x2 y2 y4 x2 y2 0 2 x2 y2 x4 x2 y2 y4 0 7
  8. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Bài 56: CMR : 2a2 b2 c2 2a b c HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: 2a2 b2 c2 2ab 2ac 0 a2 2ab b2 a2 2ac c2 0 a b 2 a c 2 0 Bài 57: CMR : a4 a3b ab3 b4 0 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 Ta có: a3 a b b3 a b 0 a3 b3 a b 0 a b a2 ab b2 0 Bài 58: CMR : a4 2a3b 2a2b2 2ab3 b4 0 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 Ta có: a4 2a2.ab a2b2 b4 2ab.b2 a2b2 0 a2 ab b2 ab 0 Bài 59: CMR : a4 b4 c2 1 2a ab2 a c 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a4 b4 c2 1 2a2b2 2a2 2ac 2a 0 2 2 2 a4 b4 2a2b2 a2 2ac c2 a2 2a 1 0 a2 b2 a c a 1 0 Bài 60: CMR : ab bc ca 2 3abc a b c HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2b2 b2c2 c2a2 2ab2c 2abc2 2a2bc 3a2bc 3ab2c 3abc2 0 a2b2 b2c2 c2a2 ab2c abc2 a2bc 0 ab x 2 2 2 2 2 2 Đặt bc y => x y z xy yz zx 0 x y y z z x 0 ca z 1 1 1 1 1 Bài 61: CMR : y x z x z , Với 0 x y z x z y x z HƯỚNG DẪN GIẢI 2 y x z x z x z Ta có: 0 y2 xz y x z 0 y2 xz xy yz 0 xz y xz y x z y 0 1 1 4 Bài 62: Cho a,b dương có tổng 1, CMR : a 1 b 1 3 HƯỚNG DẪN GIẢI Quy đồng 3 a b 2 4 a 1 b 1 4 ab a b 1 9 1 4ab a b 2 4ab a b 2 0 ( đúng) a2 b2 a b Bài 63: CMR : Với a,b,c > 0 thì b2 a2 b a HƯỚNG DẪN GIẢI a2 b2 a b a b a2 b2 a b Ta có: 2 2 2 0 VT 2 2 2 2 b a b a b a b a b a a2 a b2 b 2 2. 1 2 2. 1 0 b b a a a8 b8 c8 1 1 1 Bài 64: CMR : , a,b,c 0 a3b3c3 a b c 8
  9. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 Ta có: a8 b8 c8 a4b4 b4c4 c4a4 a2b2 b2c2 c2a2 VT a2b4c2 b2c4a2 a4b2c2 a2b2c2 a2 b2 c2 a2b2c2 ab bc ca a8 b8 c8 a8 b8 c8 1 1 1 ab bc ca a2b2c2 a3b3c3 a b c Bài 65: CMR : a10 b10 a2 b2 a8 b8 a4 b4 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a12 a10b2 a2b10 b12 a12 a8b4 a4b8 b12 a10b2 a8b4 a2b10 a4b8 0 a8b2 a2 b2 a2b8 b2 a2 0 a2b2 a2 b2 a6 b6 0 2 a2b2 a2 b2 a4 a2b2 b4 0 1 1 1 Bài 66: Cho a,b,c dương có abc=1, và a b c , CMR : a 1 b 1 c 1 0 a b c HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có:a b c ab bc ca , Xét a 1 b 1 c 1 abc ab bc ca a b c 1 => a b c ab bc ca 0 Bài 67: Cho a,b>0, thỏa mãn : a3 b3 a b , CMR : a2 b2 ab 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a3 b3 a3 b3 a b a2 ab b2 a b a b a2 b2 ab a2 b2 ab 1 Bài 68: CMR : 2 a8 b8 a3 b3 a5 b5 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: 2a8 2b8 a8 a3b5 a5b3 b8 a8 a5b3 b8 a3b5 0 a5 a3 b3 b5 a3 b3 0 a5 b5 a3 b3 0 , Giả sử a > b =>a3 b3 ,a5 b5 => ĐPCM Nếu a a3 b3 ,a5 b5 => ĐPCM Bài 69: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh bất đẳng thức sau: a2 b2 c2 ab bc ca(1) HƯỚNG DẪN GIẢI (1)  2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca  (a b)2 (b c)2 (c a)2 0(dung) Dấu “ = ” xảy ra  a b c Bài 70: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh rằng: (ab bc ca)2 3abc(a b c)(1) HƯỚNG DẪN GIẢI (1)  a2b2 b2c 2 c2a2 a2bc ab2c abc2 0  2( ) 0  (ab bc)2 (bc ca)2 (ca ba)2 0 Dấu “ = ” xảy ra  ab bc;bc ca;ca ab  a b c Bài 71: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e)a,b,c,d,e R HƯỚNG DẪN GIẢI a2 a2 a2 a2 a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e)  ab b 2 ac c2 ad d 2 ae e2 0 4 4 4 4 a a  ( b)2 ( e)2 0(dung) 2 2 a b c b a c Bài 72: Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 0 a b c.CMR : b c a a c b HƯỚNG DẪN GIẢI 9
  10. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Xét hiệu: a b c b a c 1 1 (a2c ab2 bc2 b2c ba2 ac2 ) (a2c b2c) (b2a ab2 ) (c2b ac2 ) b c a a c b abc abc 1 1 c(a b)(a b) ab(a b) c2 (a b) (a b)(b c)(c a) 0(do : 0 a b c) abc abc a b c 1 1 1 Bài 73: Chứng minh rằng: 2( ) với a, b, c > 0 bc ac ab a b c HƯỚNG DẪN GIẢI Xét hiệu: a b c bc ac ab  2( ) 0  a2 b2 c2 2bc 2ca 2ab 0  (a b c)2 0 bc ac ab abc abc abc Bài 74: Chứng minh rằng nếu a b 2 thì a3 b3 a 4 b4 HƯỚNG DẪN GIẢI Xét hiệu: a 4 b4 a3 b3 a3 (a 1) b3 (b 1) a3 (a 1) (a 1) (a 1) b3 (b 1) (b 1) (b 1) (a 1)(a3 1) (b 1)(b3 1) a b 2 (a 1)2 (a2 a 1) (b 1)2 (b2 b 1) a b 2 0 0 0 0 Bài 75: Chứng minh rằng nếu a,b,c ta luôn có: a 4 b4 c4 abc(a b c) HƯỚNG DẪN GIẢI 1 a 4 b4 c4 abc(a b c) a4 b 4 c4 a2bc b2ac c2ab (2a4 2b4 2c4 2a2bc 2b2ac 2c2ab) 2 1 (a4 2a2b2 b4 ) 2a2b2 (a4 2a2c2 c4 ) 2a2c2 (b4 2b2c2 c4 ) 2b2c2 a2bc b2ac c2ab 2 1 (a2 b2 )2 (a2 c2 )2 (b2 c2 )2 (a2b2 b2c2 2ab2c) (b2c2 c2a2 2abc2 ) (a2b2 c2a2 2a2bc) 2 1 (a2 b2 )2 (b2 c2 )2 (c2 a2 )2 (ab bc)2 (bc ca)2 (ab ac)2 0a,b,c 2 Bài 79: CMR : 3 a8 b8 c8 a3 b3 c3 a5 b5 c5 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có:2 a8 b8 a3 b3 a5 b5 2 b8 c8 b3 c3 b5 c5 2 c8 a8 a3 c3 a5 c5 Cộng theo vế ta được: 4 a8 b8 c8 a8 b8 c8 a3 a5 b5 c5 b3 a5 b5 c5 c3 a5 b5 c5 3 a8 b8 c8 a3 b3 c3 a5 b5 c5 Bài 70: Cho a+b=2, CMR : a8 b8 a7 b7 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: 2 a8 b8 a b a7 b7 a8 b8 ab7 a7b a8 b8 a7b ab7 0 a b a7 b7 0 a b 0 a b 0 a b a b Giả sử 7 7 Nếu 7 7 a b 0 a b 0 Bài 71: CMR : a6 b6 c6 a5b b5c c5a, a,b,c 0 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a5 a b b5 b c c5 c a a b a5 b5 c a c5 b5 0 c a 0 a b 0 a b c Giả sử : 5 5 và 5 5 => ĐPCM c b 0 a b 0 10
  11. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 a2 b2 c2 a b c Bài 72: CMR : Với mọi a,b,c > 0 thì b2 c2 c2 a2 a2 b2 b c c a a b HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 a2 a a b c a b c ab a b ac a c Xét b2 c2 b c b c b2 c2 b c b2 c2 Giả sử a b c => Các ngoặc đều dương => ĐPCM Bài 73: Cho a, b là hai số dương, CMR : a b a3 b3 2 a4 b4 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: 2a4 2b4 a4 ab3 a3b b4 0 a4 a3b b4 ab3 0 a3 a b b3 a b 0 Bài 74: Cho a,b là hai số dương, CMR : a b a4 b4 a2 b2 a3 b3 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a5 ab4 a4b b5 a5 a2b3 a3b2 b5 0 a4b a3b2 ab4 a2b3 0 a3b a b ab3 b a 0 a b a3b ab3 0 ab a b a2 b2 0 Bài 75: CMR : a2 b2 4 ab 2 a b HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 b2 4 ab 2a 2b 0 2a2 2b2 8 2ab 4a 4b 0 a2 2ab b2 a2 4a 4 b2 4b 4 0 Bài 76: Cho a,b là hai số có tổng bằng 2, CMR : a4 b4 a3 b3 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: 2 a4 b4 a b a3 b3 2a4 2b4 a4 ab3 a3b b4 0 a4 a3b b4 ab3 0 a3 a b b3 b a 0 a b a3 b3 0 Bài 77: Cho a,b,c là ba số thỏa mãn : a+b+c=3, CMR : a4 b4 c4 a3 b3 c3 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có:3 a4 b4 c4 a b c a3 b3 c3 2 2 b 3 2 2 2 2 2 2 2 a b a b b c b bc c c a c ac a 0 2 4 Bài 78: Cho 0 x, y, z 1 , CMR : 0 x y z xy yz zx 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Xét tích 1 x 1 y 1 z xyz xy yz zx x y z 1 0 x xy Mà y yz x y z xy yz zx 1 xyz , Mà 0 xyz 1 1 xyz 1 z zx Bài 79: Cho 1 x, y, z 2 và x+y+z=0, CMR : x2 y2 z2 6 HƯỚNG DẪN GIẢI x 2 x 1 0 x2 x 2 0 2 Xét y 2 y 1 0 y y 2 0 , Cộng theo vế ta có: 2 z 2 z 1 0 z z 2 0 x2 y2 z2 6 0 x2 y2 z2 6 11
  12. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 1 1 1 1 5 Bài 80: Cho x > 0, y > 0, z > 0, CMR : , Với x2 y2 z2 x y z xyz 3 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: x y z 2 0 x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 5 5 5 2 xy yz zx 0 2 xy yz zx yz zx xy 1 3 3 6 1 1 1 1 x y z xyz Bài 81: Cho 0 1 a2 1 b 0 1 a2b a2 b 0 1 a2b a2 b Mặt khác: 0 a2 a3 ,b b3 a2 b a3 b3 Vậy 1 a2b a3 b3 , Chứng minh tương tự => ĐPCM Bài 82: CMR : a4 b4 c4 abc a b c HƯỚNG DẪN GIẢI Chuyển vế ta có: a4 b4 c4 a2bc ab2c abc2 0 2 2 2 a2 b2 2a2b2 b2 c2 2b2c2 c2 a2 2a2c2 2a2bc 2b2ac 2abc2 0 2 2 2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 a2b2 2a2bc a2c2 a2b2 2ab2c b2c2 a2b2 2ab2c b2c2 a2c2 2abc2 b2c2 0 Bài 84: Cho 0 a,b,c,d 1 , CMR : 1 a 1 b 1 c 1 d 1 a b c d HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: 1 a 1 b 1 a b ab 1 a b ( do ab >0) Do c 1 1 c 0 1 a 1 b 1 c 1 a b 1 c 1 a b c Chứng minh tương tự => ĐPCM a2 Bài 85: Cho a.b.c=1, a3 36 , CMR : b2 c2 ab bc ca 3 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 2 a a 2 2 a 2 2 a Xét hiệu b c ab bc ac 0 b c ab ac 2bc 3bc 0 4 12 4 12 2 3 3 a a 36abc 3 a 36abc b c , Do a 36 0 ĐPCM 2 12a 12a 2 2 2 ab 1 Bài 87: Cho hai số a, b thỏa mãn: a b 0, Chứng minh rằng: a b 2 a b HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 ab 1 2 2 2 2 2 Ta có: a b 2 a b a b ab 1 2 a b a b 2 2 2 2 a b a b 2ab 2 a b ab 1 0 4 2 2 2 a b 2ab a b 2 a b ab 1 0 4 2 2 a b 2 a b ab 1 ab 1 0 12
  13. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 2 2 a b ab 1 0 (ĐPCM) Bài 89: Cho x, y > 0 thỏa mãn điều kiện: x2 y3 x3 y4 , Chứng minh rằng: x3 y3 2 , Dấu bằng xảy ra khi nào? HƯỚNG DẪN GIẢI Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có: x x3 2x2 , y2 y4 2y3 , Do vậy x x3 y2 y4 2x2 2y3 x y2 x2 y3 x2 y3 x3 y4 x2 y3 ,(x2 y3 x3 y4 ) Mà: x2 1 2x, y4 1 2y2 , nên 1 x2 1 y4 2x 2y2 2x2 2y3 x2 y3 x3 y4 Do vậy x3 y3 2 Dấu bằng xảy ra khi: x y 1 Bài 90: Chứng minh BĐT sau: x2 y2 xy x y 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: x2 y2 xy x y 1 2 x2 y2 xy 2 x y 1 2x2 2y2 2xy 2x 2y 2 x2 2xy y2 x2 2x 1 y2 2y 1 0 Bài 91: Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a3 b3 a5 b5 , Chứng minh rằng: a2 b2 1 ab HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 b2 1 ab a2 b2 ab 1 a b a2 b2 ab a b a3 b3 a b a3 b3 a3 b3 a b a5 b5 2a3b3 ab5 a5b 2 ab a4 2a2b2 b4 0 ab a2 b2 0,a,b 0 2 3 Bài 92: Cho các số a, b, c 0;1 , chứng minh rằng: a b c ab bc ca 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Do a, b,c 0;1 , nên: 1 a 1 b 1 c 0 1 a b c ab bc ca abc 0 a b c ab bc ca 1 abc 1 2 3 Do a,b,c 0;1 b b,c c , từ đó ta có: a b2 c3 ab bc ca a b c ab bc ca 1 Dạng 2: Dùng các phép biến đổi tương đương Ta biến đổi các bất đẳng thức cần chứng minh tương đường với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh là đúng Nếu A B  C D , với C < D luôn đúng Bài 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực, CMR: b2 a. a 2 ab b. a2 b2 1 ab a b 4 a2 b2 c2 a b c c. a2 4b2 4c2 4ab 4ac 8bc d. ( )2 3 3 HƯỚNG DẪN GIẢI b2 a.  a 2 ab 0  4a2 b2 4ab  (2a b)2 0(dung) 4 b. a2 b2 1 ab a b  2(a2 b2 1) 2(ab a b)  (a b)2 (a 1)2 (b 1)2 0  a b 1 13
  14. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 c.  (a2 4ab 4b2 ) 4c2 (4ac bc) 0  (a 2b)2 2(a 2b).2c (2c)2 0  (a 2b 2c)2 0 a2 b2 c2 a b c d. ( )2  3(a2 b2 c2 ) (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 3 3  (a b)2 (b c)2 (c a)2 0(dung) 1 1 1 Bài 2: Cho ba số a,b,c R thỏa mãn: abc = 1 và a b c a b c a. Chứng minh rằng: (a 1)(b 1)(c 1) 0 b. Chứng minh răng luôn tồn tại 1 trong ba số a, b, c nhỏ hơn 1 HƯỚNG DẪN GIẢI (a 1)(b 1)(c 1) 0  abc ab bc ca a b c 0 a. Ta có:  abc (a b c) (ab bc ca) 0 1 (a b c) (ab bc ca) 0(1) 1 1 1 ab bc ca Và a b c  a b c  a b c ab bc ca(2) a b c abc Từ (1)(2) ta có điều phải chứng minh b. Giả sử tồn tại cả ba số a, b, c lớn hơn 1 abc 1 ( mâu thuẫn với giả thiết ) Vậy luôn tồn tại 1 số nhỏ hơn 1. Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: (a10 b10 )(a2 b2 ) (a8 b8 )(a4 b4 )(1) HƯỚNG DẪN GIẢI (1)  (a10 b10 )(a2 b2 ) (a8 b8 )(a4 b4 ) 0  a12 a10b2 a2b10 b12 a12 a8b a4b8 b12 0  (a10b2 a8b4 ) (a2b10 a4b8 ) 0  a8b2 (a2 b2 ) a2b8 (a2 b2 ) 0  (a2 b2 )2 a2b2 (a4 a2b2 b4 ) 0 a b c Bài 4: Chứng minh rằng: 1 2(a,b,c 0) a b b c c a HƯỚNG DẪN GIẢI 1 1 a a Ta có: a b a b c a b a b c a b a b c b b c c a b c Tương tự: ; . Vậy 1(*) b c a b c a c a b c a b b c c a a a c b a b c c b Lại có: a a b ; ; a b a b c b c a b c c a a b c a b c Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được: 2( ) dpcm a b b c c a Bài 5: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a3b2 b3c2 c3a2 a2b3 b2c3 c2a3 HƯỚNG DẪN GIẢI a3b2 b3c2 c3a2 a2b3 b2c3 c2a3  a3b2 a2b3 b3c2 c2a3 c3a2 b2c3 0  a2b2 (a b) c2 (b 3 a3 ) c3 (a2 b2 ) 0 2 2 2 2 2 3  (a b) a b c (b ab a ) c (a b) 0  (a b)(b c)(c a)(ab bc ca) 0(luon.dung) a 5(a2 1) 11 Bài 6: Chứng minh rằng: a2 1 2a 2 14
  15. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 HƯỚNG DẪN GIẢI a 5(a2 1) 11 a2 1 2a 2 a 1 5(a2 1)  5 0 a2 1 2 2a (a 1)2 5a2 a 5  . 0 2(a2 1) a(a2 1) (a 1)2 (a 1)2 9(a2 1)  . 2 2a(a2 1) (nhan.voi.2) 0,dau" "  a 1 Bài 8: Cho a 4,b 4.CMR : a2 b 2 ab 6(a b) HƯỚNG DẪN GIẢI Do a 4,b 4 a 4 0;b 4 0 Đặt x a 4(x 0); y b 4(y 0) (1)  (x 4)2 (y 4)2 (x 4)(y 4) 6(x y 8)  x 2 y2 xy 6(x y) 0(dung.do : x, y 0)  x y 0  a b 4 4x2 y2 x2 y2 Bài 9: Cho hai số thực x, y 0,CMR : 3(1) (x2 y2 )2 y2 x2 HƯỚNG DẪN GIẢI 4x2 y2 x2 y2 (1)  1 2 0 (x2 y2 )2 y2 x2 4x2 y2 (x2 y2 )2 x4 y4 2x2 y2  0 (x2 y2 )2 x2 y2 (x2 y2 )2 (x2 y2 )2  0 (x2 y2 )2 x2 y2 2 2 2 1 1  (x y ) . 2 2 2 2 2 0 x y (x y ) (x2 y2 )2 x2 y2  (x2 y2 )2. 0 x2 y2 (x2 y2 )2 x4 y4 x2 y2  (x2 y2 )2. 0 x2 y2 (x2 y2 )2  x y Dạng 3: Bất đẳng thức dạng nghịch đảo ( Cô si cộng mẫu ) 1 1 4 1 1 1 9 a b a b a b c a b c 1 1 1 n2  a1 a2 ana,a1, ,an 0 a1 a2 an a1 a2 an 1 1 1 3 3 3 Bài 1: Cho a, b, c > 0. CMR: a b c a 2b b 2c c 2a HƯỚNG DẪN GIẢI 1 1 1 9 Áp dụng bất đẳng thức dạng: ( tự chứng minh bđt) a b c a b c 1 1 1 9 1 1 1 9 1 1 1 9 ; ; a b b a 2b b c c b 2c c a a c 2a 15
  16. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được: VT VP  a b c 2 3 4 5 6 7 Bài 2: Cho a, b, c > 0. CMR: 4( ) a b c a b c a b c HƯỚNG DẪN GIẢI Áp dụng bất đẳng thức dạng: 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 2. 2( ); 3. 3.( ); x y x y a b a b a b a b c a c a a c c a b c b c 4 1 1 4. 4( ) b c b c Cộng vế ba bất đẳng thức trên ta được: 2 3 4 5 6 7 4( ) a b c a b c a b c a b c 1 Bài 3: Cho a, b, c > 0. CMR: (1) a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b 3 HƯỚNG DẪN GIẢI 3a 3b 3c (1) 1 a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b 3a 3b  ( 1) ( 1) ( ) 4 a 4b 4c b 4c 4a 1 1 1 4(a b c)( ) 4 a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b 1 1 1 1  (2) a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b a b c 1 1 1 9 Áp dụng bất đẳng thức: x y z x y z 9 1 Ta được: VT (2) . dpcm 9(a b c) a b c a b c Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a b c 3. Tìm GTLN của A 1 2a 1 2b 1 2c HƯỚNG DẪN GIẢI 2a 2b 2c 1 1 1 Cách 1: 2A 1 1 1 3 B 1 2a 1 2b 1 2c 1 2a 1 2b 1 2c 1 1 1 9 B 1 1 2a 1 2b 1 2c 3 2(a b c) 2A 3 B 2 A 1  a b c Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức: 9 1 1 1 9 1 1 1 1 1 2 a a 2 (1 ) x y z x y z 1 a a 1 a a 1 2a 9 a 1 2a 9 9 b b 2 c c 2 Tương tự: ; 1 2b 9 9 1 2c 9 9 a b c 6 Cộng ba vế của bất đẳng thức ta được: A 1  a b c 9 9 ab bc ca a b c Bài 5: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a b 2c b c 2a c a 2b 4 HƯỚNG DẪN GIẢI 4 1 1 Áp dụng bất đẳng thức: x y x y 16
  17. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 1 1 1 1 1 1 1 1 VT ab. bc. ca. ab( ) bc( ) ca.( ) (a c) (b c) 4 a c b c 4 4 1 bc ca ab bc ab bc a b c ( ) 4 a b b c a c 4 1 1 Bài 6: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm GTNN: A abc a2 b2 c2 HƯỚNG DẪN GIẢI 1 a b c 1 1 1 9 1 1 1 9 ; 9 abc abc ab bc ca ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca (a b c)2 1 7 Lại có: 3(ab bc ca) (a b c)2 1 3 21 ab bc ca ab bc ca 9 9 1 Cộng theo vế ba bất đẳng thức: A 30 A 30  a b c ab cb ca ab bc ca 3 1 1 1 4 4 4 Bài 7: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng: a b c a b 2c b c 2a c a 2b HƯỚNG DẪN GIẢI 4 1 1 4 4 4 2 2 2 Ta có: ; (1) (a c)(b c) a c b c a b 2c a c b c a b 4 1 1 4 1 1 4 1 1 ; ; a c a c b c b c a b a b 4 4 4 2 2 2 Lại có: a c b c a b a b c 2 2 2 1 1 1  2( ) 2( )(2) a c b c a b a b c Từ (1)(2) ta có điều phải chứng minh. 7 4 7 1 2 3 Bài 2: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng: 9( ) a b c a 2b b 2c c 2a HƯỚNG DẪN GIẢI 9 1 1 1 9 1 1 1 9 2 2 2 ; 2. Ta có: a b b a b c b c c b c c b c c b c c 9 1 1 1 9 3 3 3 3. a c c c a a c a a c a a Cộng vế với vế các bất đẳng thức ta được đpcm a b c 1 Bài 3: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng: (1) 2a 5b 5c 2b 5c 5a 2c 5a 5b 4 HƯỚNG DẪN GIẢI 3 15 (1) 3.VT  3.VT 3 4 4 1 1 1 9 45 15 3.VT 3 (5a 5b 5c)( ) 5(a b c). 2a 5b 5c 12(a b c) 12 4 Dạng 4 : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ Các BĐT phụ hay dùng : 17
  18. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 2 a b 2 x y a2 b2 x y 4xy 2 2 y x x2 y2 xy , x y 0 x3 y3 xy(x y) (x y)(y z)(z x) 8xyz 1 Bài 1: Cho a+b > 1, CMR : a4 b4 8 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 a b 2ab 1 1 Ta có: a b 1 a2 b2 2 2 a b 2ab 0 2 4 4 2 2 1 2 2 2 1 a b 2a b 4 4 1 4 4 1 => a b 4 2a 2b , Vậy a b 4 4 2 2 2 4 8 a b 2a b 0 1 Bài 2: Cho a+b = 1, CMR : a2 b2 2 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 a 2ab b 1 1 Ta có: a b 1 2a2 2b2 1 a2 b2 2 2 a 2ab b 0 2 Bài 3: Cho a+b > 2, CMR : a2 b2 2 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 a 2ab b 4 Ta có: a b 4 2a2 2b2 4 a2 b2 2 2 2 a 2ab b 0 Bài 4: Cho a2 b2 2 , CMR: a b 2 HƯỚNG DẪN GIẢI a2 b2 2 Ta có: 2 2 2 2 a b 2ab 2ab a b 2 Cộng theo vế ta được: a2 b2 2ab 4 a b 2 4 a b 2 Bài 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: a2 b2 c2 2 ab bc ca HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên ta có: 2 a b c a ab ac 2 2 2 2 b a c b ab bc a b c 2 ab bc ac c a b 2 c ac bc 1 Bài 6: Cho a,b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1, CMR: a3 b3 4 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a b 1 b 1 a b3 1 a 3 => a3 b3 a3 1 3a 3a2 a3 3a2 3a 1 2 2 1 3 1 1 1 3 a a 3 a 4 4 2 4 4 1 1 1 1 Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR : a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a3 b3 a b a2 ab b2 a b ab , Do a2 ab b2 ab 18
  19. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Khi đó 3 b3 abc a b ab abc ab a b c Chứng minh tương tự ta có: b3 c3 abc bc a b c và c3 a3 abc ac a b c 1 1 1 1 1 a b c 1 Khi đó ta có: VT . a b c ab bc ca a b c abc abc a b c 3 Bài 10: Cho a,b,c > 0, CMR : b c c a a b 2 HƯỚNG DẪN GIẢI x a b 1 1 1 Từ x y z 9 , Đặt y b c x y z z c a 1 1 1 => 2 a b c 9 a b b c c a a b c a b c a b c 9 c a b 9 3 => 3 a b b c c a 2 a b b c c a 2 2 a b 1 3 Bài 11: Cho a,b > 0, CMR : b 1 a 1 a b 2 HƯỚNG DẪN GIẢI a b 1 1 1 1 9 3 Ta có: 1 1 1 3 a b 1 3 3 b 1 a 1 a b a b a 1 b 1 2 2 3 Bài 15: CMR : a2 b2 c2 a b c 4 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 1 2 1 2 1 Ta có: a a b b c c 0 4 4 4 1 1 1 Bài 16: Cho a,b,c dương có tổng là 1, CMR : 9 a b c HƯỚNG DẪN GIẢI 1 1 1 Vì a b c 1 a b c 9 a b c x4 y4 x2 y2 x y Bài 18: Cho x,y,z > 0, CMR : 2 y4 x4 y2 x2 y x HƯỚNG DẪN GIẢI x4 y4 x y x2 y2 2 Ta có: 4 4 2 , Tương tự và 2 2 2 y x y x y x Cộng theo vế ta có: VT 2 2 2 2 Bài 19: Cho a,b là các số dương thỏa mãn: a+b 4 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 a b 4 a b ab 4 Ta có: a b 4ab Do a b ab 1 1 a b 4 ab a b ab ab a b Bài 21: Cho a,b,c thỏa mãn: a2 b2 c2 3 , CMR: ab bc ca a b c 6 HƯỚNG DẪN GIẢI a2 b2 2ab 2 2 2 2 2 Ta có: b c 2bc 2 a b c 2 ab bc ca 2.3 2 ab bc ca 2 2 c a 2ac 19
  20. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 =>ab bc ca 3 (1) a2 1 2a 2 Mặt khác: b 1 2b 3 3 2 a b c a b c 3 (2) 2 c 1 2c Cộng (1) và (2) theo vế ta được ĐPCM x2 y2 1 Bài 22: CMR: , với mọi x,y là số thực 1 16x4 1 16y4 4 HƯỚNG DẪN GIẢI x2 1 Ta có: 1 16x4 2. 16x4 2.4x2 8x2 (1) 1 16x4 8 y2 y2 1 Tương tự: (2) 1 16y4 8y2 8 1 Cộng theo vế ta được : VT 4 a b a2 b2 Bài 24: CMR: với a,b > 0 và a > b > 0 thì a b a2 b2 HƯỚNG DẪN GIẢI a b a b a b a2 b2 Ta có: , Mà a2 2ab b2 a2 b2 a b a b 2 a b 2 a2 b2 Khi đó VT a2 b2 Bài 25: Cho 3 số a,b,c dương thoă mãn: a+b+c = 4, CMR : a b abc HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 Ta có: a b 4ab a b c 4 a b c 16 4 a b c 2 4 a b c 4 a b a b 2 c 4 a b 2 ab c 4abc => a b abc Bài 26: Cho 2 số x,y > 0 thỏa mãn: x3 y3 x y , CMR : x2 y2 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: x3 y3 0 x y 0 x2 y2 1 x y x2 y2 x3 y3 x3 xy2 x2 y y3 x3 y3 2y3 x2 y xy2 0 y 2y2 x2 xy 0 1 Bài 27: Cho a+b = 1, CMR: a2 b2 2 HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 a 2ab b 1 1 Ta có: a b 1 2a2 2b2 1 a2 b2 2 2 a 2ab b 0 2 1 Bài 28: Cho a+b=1, CMR: a4 b4 8 HƯỚNG DẪN GIẢI a2 2ab b2 1 1 Ta có: 2a2 2b2 1 a2 b2 2 2 a 2ab b 0 2 20
  21. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 4 4 2 2 1 a b 2a b 4 4 1 4 4 1 Mặt khác: 4 2a 2b a b 4 4 2 2 4 8 a b 2a b 0 Bài 30: Cho a,b,c thỏa mãn: a2 b2 c2 1, CMR: abc 2 1 a b c ab bc ca 0 HƯỚNG DẪN GIẢI Vì a2 b2 c2 1 a , b , c 1 1 x, y, z 1 Khi đó: a 1 b 1 c 1 0 abc ab bc ca a b c 1 0 (1) Mà a b c 1 2 a b c 2 2 a b c 1 0 a2 b2 c2 2 ab bc ca 2 a b c 1 0 ab bc ca a b c 1 0 (2) Cộng (1) và (2) theo vế ta được: abc 2 ab bc ca a b c 1 0 a2 b2 c2 c b a Bài 3: Chứng minh rằng: b2 c2 a 2 b a c HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: (x y)2 0 x2 y 2 2xy( x y) a2 b2 a b a b2 c2 b a 2 c 2 b Áp dụng: 2 . 2 ; 2. ; 2. b2 c2 b c c c2 a2 a b2 a2 c a b c  2VT 2( ) VT VP(dpcm) c a b Bài 4: Cho a, b, c, d, > 0 và abcd = 1. CMR: a2 b2 c2 d 2 a(b c) b(c d) d(c a) 10 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: a2 b2 2ab;c 2 d 2 2cd a2 b2 c2 d 2 2(ab cd) 1 1 1 1 1 1 1 Từ : abcd 1 ab ;ac ;ad ;bc ;bd ;cd ;ad cd bd bc ad ac ab bc 1 ab 1 1 Có: 2(ad bc) 2(ab ) 2.2. 4 do : ( )2 0  ab 2 ab 1 ab ab Vậy a2 b2 c2 d 2 4 Lại có: 1 1 1 ab ac bc bd cd ad (ad bc) (ac bd) (bc ad) (ab ) (ac ) (bc ) 6 ab ac bc 2 2 2 VT 10 Bài 5: Cho x, y, z 0 . CMR: (x y)(y z)(z x) 8xyz(1) HƯỚNG DẪN GIẢI (1)  (x y)2 (y z)2 (z x)2 64x2 y2 z2 (x y)2 4xy;(y z)2 4yz;(z x)2 4xz Lại có: (x y)2 (y z)2 (z x)2 64x2 y2 z2 dpcm  x y z Bài 6: Cho a,b,c 0;abc 1 . CMR: (a 1)(b 1)(c 1) 8 HƯỚNG DẪN GIẢI 21
  22. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 (a 1)2 4a;(b 1)2 4b;(c 1)2 4c Ta có: (a 1)(b 1)(c 1)2 (8abc)2 (a 1)(b 1)(c 1) 8abc Bài 7: Cho a,b,c,d 0;abcd 1 . CMR: a2 b2 c2 d 2 ab cd 6 HƯỚNG DẪN GIẢI Có: a2 b2 c2 d 2 ab cd 2ab 2cd ab cd 3(ab cd) 1 Lại có: 3(ab cd) 3(ab ) 3.2 6(dpcm) ab Bài 8: Cho x y z 1 . 1 1 a. CMR: x2 y2 z2 b. xy yz zx 3 3 HƯỚNG DẪN GIẢI (x y)2 0x, y a. Ta có: x2 y 2 2xy; y2 z2 2yz; x2 z2 2xz 2x2 2y2 2z2 2(xy yz zx) 3x2 3y2 3z2 x2 y2 z2 2(xy yz xz) (x y z)2 (x y z)2 1 x2 y2 z2 3 3 1  x y z 3 b. Theo chứng minh trên: 2x2 2y2 2z2 2(xy yz zx) x2 y2 z2 xy yz zx (x y )2 3(xy yz zx) 1 3(xy yz zx) 1 1 xy yz zx  x y z . 3 3 Bài 9: Cho a,b,c 0 thỏa mãn: a b c 1 . Chứng minh rằng: a b 2c 4(1 a)(1 b)(1 c) HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: (x y) 2 4xy  4xy (x y)2 0 a,b,c 1 1 c 0 4(1 a)(1 b) (1 a 1 b)2 (1 c)2 Áp dụng ta được: VP (1 c)2 (1 c) (1 c2 )(1 c) 1 c 1 a b Mà: 1 a b c VP a b 2c  2 c 0 1 1 1 Bài 10: Cho a,b,c 0 thỏa mãn: abc 1 . Chứng minh rằng: 1 a3 b3 1 b3 c3 1 c3 a3 1 HƯỚNG DẪN GIẢI x3 y 3 xy(x y)  (x y)(x y)2 0x, y 0 Áp dụng ta có: 1 1 abc c a3 b3 1 ab(a b) abc ab(a b c) a3 b3 1 ab(a b c) ab(a b c) a b c 1 a 1 b Tương tự: ; b3 c3 1 a b c c3 a3 1 a b c 22
  23. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh. 1 1 1 3 Bài 11: Cho a,b,c 1 . Chứng minh rằng: 1 a2 1 b2 1 c2 1 abc HƯỚNG DẪN GIẢI Chứng minh: 1 1 2 x, y 0; xy 1 1 x2 1 y2 1 xy  (2 x2 y2 )(1 xy) 2(1 x2 )(1 y2 )  2xy xy(x2 y2 ) x2 y2 2x2 y2  (x y)2 (xy 1) 0(do : xy 1) 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 Áp dụng: ; ; 1 a2 1 b2 1 ab 1 abc 1 b2 1 c2 1 abc 1 c2 1 a2 1 abc Cộng vế các bất đẳng thức thức ta được điều phải chứng minh. x2 (y z) y2 (z x) z2 (x y) Bài 12: Cho x, y, z 0; x y z 1 . Tìm GTNN: A yz zx xy HƯỚNG DẪN GIẢI x2 y2 x2 z 2 y2 z2 A y x z x z y Ta có: a3 b3 (a b)aba,b 0 Thật vậy  (a b)(a 2 ab b2 ) (a b)ab 0  (a b)(a b)2 0a,b 0 Hoặc: a2 b2 ab aba,b  (a b)(a2 ab b2 ) ab(a b)  a3 b3 ab(a b) x2 y2 x3 y3 y2 z2 z2 x2 Áp dụng: x yx, y 0; y z; x z y x xy z y x z 1 Cộng vế ba bất đẳng thức ta được: A 2(x y z0 2 min A 2  x y z 3 xy yz xz Bài 13: Cho x, y, z 0; x2 y2 z2 1 . Tìm GTNN: A z x y HƯỚNG DẪN GIẢI x2 y2 y2 z2 x2 z2 A2 2 . mà: a 2 b2 2ab z2 x2 y2 x2 y2 y2 z2 Áp dụng: 2y2 z2 x2 3 Tương tự ta có: A 2 3  x y z min A 3 3 Dạng 5: SẮP SẾP CÁC BIẾN VÀ BĐT TAM GIÁC: a b c Bài 1: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 2 b c c a a b HD : a a 2a Ta có : 1 b c b c a b c b b 2b c 2c 2(a b c) Tương tự ta có: 1 , , cộng theo vế VT 2 c a c a a b c a b a b c a b c a b c Bài 2: Cho a,b,c > 0, CMR: 1 2 a b b c c a HD : 23
  24. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 a a a c b b b a c c c b Ta có : và và a b c a b a b c a b c b c a b c a b c c a a b c Cộng theo vế ta được : a b c a b b c c a M a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c 2 a b c M 1 M 2 a b c a b c a b c d Bài 3: Cho a,b,c,d > 0, CMR: 1 2 a b c b c d c d a d a b HD : a a a d b b a b Ta có : và a b c d a b c a b c d a b c d b c d a b c d c c c b d d d c và a b c d c d a a b c d a b c d d a b a b c d Cộng theo vế ta có : a b c d 2 a b c d M 1 M 2 a b c d a b c d a b b c c d d a Bài 4: Cho a,b,c,d > 0, CMR: 2 3 a b c b c d c d a d a b HD : a b a b a b d Ta có : a b c d a b c a b c d Chứng minh tương tự : b c b c b c a c d c d c d b , a b c d b c d a b c d a b c d c d a a b c d d a d a d a c Và a b c d d a b a b c d Cộng theo vế ta có : 2 a b c d 3 a b c d M a b c d a b c d a b c Bài 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:1 2 b c c a a b HD : a a a a b b b b c c c c Ta có : và và a b c b c a b c a b c c a a b c a b c a b a b c a b c 2 a b c Cộng theo vế ta được : M a b c a b c a b c 3 Bài 6: CMR nếu a,b,c > 0 thì b c c a a b 2 HD : b c x 1 1 1 Áp dung BĐT : x y z 9 , Đặt c a y x y z 2 a b c x y z a b z 1 1 1 a b c a b c a b c 9 Khi đó ta có : 2 a b c 9 a b b c c a a b b c c a 2 => ĐPCM 24
  25. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 a b c Bài 7: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 3 b c a a c b a b c HD : b c a x x y 2c y z x z x y Đặt : a c b y y z 2a , Khi đó : 2A x y z a b c z z a 2b x y z x z y 6 A 3 y x x z y z Bài 8: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, 1 1 1 1 1 1 CMR: a b c b c a c a b a b c HD : 1 1 4 2 Áp dụng BĐT Schawzr : a b c b c a 2b b Tương tự ta có : 1 1 2 1 1 2 và , Cộng theo vế ta được : ĐPCM b c a c a b c c a b a b c a Bài 9: CMR với a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó thì: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c HD : 1 1 4 4 Ta có : p a p b 2 p a b c 1 1 4 1 1 4 Tương tự ta có : và p b p c a p c p a b Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh 1 Bài 17: Cho a b c 1,CMR : a2 b2 c2 3 HD : 1 2 1 a x a2 x2 .x 3 3 9 1 2 2 2 1 b y b y .y Đặt 3 3 9 Cộng theo vế ta được : 1 2 2 2 1 c z c z .z 3 3 9 2 1 a2 b2 c2 x2 y2 z2 x y z (1) 3 3 Mà : a b c x y z 1 x y z 0 , Thay vào (1) 1 1 => a2 b2 c2 x2 y2 z2 3 3 Bài 18: Cho a,b,c là dộ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: a2 b2 c2 2 ab bc ca HD : 25
  26. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 2 a b c a ab ac 2 Ta có : b c a b ab bc , Cộng theo vế ta được ĐPCM c a b 2 c ac bc Dạng 5: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Muốn chứng minh bất đẳng thức A B đúng, ta giả sử A B là sai, tức là A < B là đúng Sau đó chứng minh A < B là sai A B là đúng Bài 1: Cho a2 b2 2 . CMR: a b 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Giả sử a b 2 , bình phương hai vế ta được: (a b)2 4  a2 2ab b2 4(1) Mặt khác ta lại có: a 2 b2 2ab 2(a2 b2 ) (a b) 2 Mà 2(a2 b2 ) 4(do, gt) (a b) 2 4 Điều này mâu thuẫn với (1) nên a b 2 a2 Bài 2: Với mọi số thực a, b, c hãy chứng tỏ: b 2 c 2 b(a c) c(a b) . 4 HƯỚNG DẪN GIẢI Giả sử: a2 a2 a2 b 2 c 2 b(a c) c(a b)  b2 c2 ab bc ac bc 0  b 2 c2 ab ac 2bc 0 4 4 4 a  ( b c) 2 0(vo.ly) 2 a2 Vậy điều giả sử là sai b 2 c 2 b(a c) c(a b) 4 Bài 3: Cho: a 3 b3 2.CMR : a b 2 . HƯỚNG DẪN GIẢI a b 2  (a b)3 8  a3 b3 3ab(a b) 8  3ab(a b) 6  ab(a b) 2  ab(a b) a3 b3  0 (a b)(a2 ab b2 ) ab(a b)  0 (a b)(a b)2 (voly) 26