Đề kiểm tra học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Nguyễn Văn Hiệp

101 trang nhatle22 2680

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề kiểm tra học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Nguyễn Văn Hiệp", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

de_kiem_tra_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_8_nam_hoc_2018_2019_n.docx

Nội dung text: Đề kiểm tra học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Nguyễn Văn Hiệp

 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  PHềNG GD& ĐT QUẢNG TRẠCH ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8 TRƯỜNG THCS CẢNH HểA Mụn: Toỏn Năm học 2018-2019 Thời gian: 90 phỳt(khụng kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,0 điểm). x 2 1 10 x2 Cho biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 1 a. Rỳt gọn biểu thức A. b. Tớnh giỏ trị của A , Biết x = . 2 c. Tỡm giỏ trị của x để A < 0. d. Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để A cú giỏ trị nguyờn. Bài 2 (2,0 điểm). Giải cỏc phương trỡnh sau: 2 1 1 1 1 a.b) (6x 8)(6x 6)(6x 7) 72 b. x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 Cõu 3. (3,5 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD, trờn cạnh AB lấy điểm E và trờn cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuụng gúc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N. a. Chứng minh rằng tứ giỏc AEMD là hỡnh chữ nhật. b. Biết diện tớch tam giỏc BCH gấp bốn lần diện tớch tam giỏc AEH. Chứng minh rằng: AC = 2EF. 1 1 1 c. Chứng minh rằng: = + . AD2 AM2 AN2 Cõu 4. (1,5 điểm) Cho a,b,c là ba số dương thoả món abc 1 . Chứng minh rằng : 1 1 1 3 . a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) 2 Bài 5 (1,0 điểm). Cho an = 1+2+3+ + n. Chứng minh rằng an + an+1 là một số chớnh phương. Họ và tờn thớ sinh: . Số bỏo danh . Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 1
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  PHềNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH HƯỚNG DẪN CHẤM TRƯỜNG THCS CẢNH HểA ĐỀ KIỂM TRA HSG NĂM HỌC: 2018 -2019 Mụn:Toỏn Lớp: 8 Bài Nội dung Điểm Bài 1 Biểu thức: (2,0đ) x 2 1 10 x2 A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a 1 0.75 Rỳt gọn được kết qủa: A (0.75) x 2 b 1 1 1 2 2 0.5 x x hoặc x A= hoặc A= (0.5) 2 2 2 3 5 c A 0 x >2 0.25 (0.25) 1 d A Z Z x-2 Ư(-1) x-2 { -1; 1} 0,5 (0.75) x 2 x {1; 3} 2 Bài2 (6x 8)(6x 6)(6x 7) 72 2 2 2 4 2 0.25 (2,0đ ) Đặt 6x 7 t. Ta cú (t 1)(t 1)t 72 (t 1)t 72 t t 72 0 t 4 9t 2 8t 2 72 0 t 2 (t 2 9) 8(t 2 9) 0 (t 2 9)(t 2 8) 0 0.25 a 2 5 Mà t 2 8 0 nờn t 2 9 0 t 2 9 t 3 x hoặc x . 0.25 (1.0) 3 3 2 5 PT cú nghiệm là x ;  . 0.25 3 3  2 2 b x +9x+20= ( x+4)( x+5) ; x +11x+30 = ( x+6)( x+5) ; x2+13x+42 = ( x+6)( x+7) ; (1.0) (0,25 điểm) 0.25 ĐKXĐ : x 4;x 5;x 6;x 7 Phương trỡnh trở thành : 1 1 1 1 (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 0.25 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 0.25 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) 0.25 (x+13)(x-2)=0 Từ đú tỡm được x=-13; x=2; Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 2
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  E A B H F 0.5 C Cõu 3 D M (3.5) N a (1.0) Ta cú Dã AM = Ã BF (cựng phụ Bã AH ) AB = AD ( gt) 0.25 Bã AF = Ã DM = 900 (ABCD là hỡnh vuụng) ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nờn. AE = DM 0.25 Lại cú AE // DM ( vỡ AB // DC ) Suy ra tứ giỏc AEMD là hỡnh bỡnh hành 0.25 Mặt khỏc.Dã AE = 900 (gt) Vậy tứ giỏc AEMD là hỡnh chữ nhật 0.25 Ta cú ΔABH : ΔFAH (g.g) AB BH BC BH 0.25 = hay = ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH Lại cú Hã AB = Hã BC (cựng phụ Ã BH ) b 0.25 ΔCBH : ΔEAH (c.g.c) (1.0) 2 2 SΔCBH BC SΔCBH BC 2 2 = , mà = 4 (gt) = 4 nờn BC = (2AE) SΔEAH AE SΔEAH AE 0.25 BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD Do đú: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.25 Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lột, ta cú: AD AM AD CN 0.25 = = CN MN AM MN Lại cú: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lột, ta cú: MN MC AB MC AD MC 0.25 = = hay = c AN AB AN MN AN MN (1.0) 2 2 2 2 2 2 2 AD AD CN CM CN + CM MN + = + = 2 = 2 = 1 AM AN MN MN MN MN 0.25 (Pytago) 2 2 AD AD 1 1 1 + = 1 2 2 2 (đpcm) 0.25 AM AN AM AN AD Cõu 4 Trước tiờn ta chứng minh BĐT: Với  a, b, c R và x, y, z > 0 ta cú Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 3
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  2 (1.5) a2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z a b c Dấu “=” xảy ra x y z Thật vậy, với a, b R và x, y > 0 ta cú 2 a2 b2 a b ( ) x y x y a2 y b2 x x y xy a b 2 bx ay 2 0 (luụn đỳng) a b Dấu “=” xảy ra x y Áp dụng bất đẳng thức ( ) ta cú 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x y z 0.5 a b c Dấu “=” xảy ra x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta cú: a b c a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta cú 2 2 0.25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c (Vỡ abc 1 ) ab ac bc ab ac bc 2(ab bc ac) 1 1 1 2 a b c 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 0.25 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 0.25 Mà 3 nờn a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy (đpcm) 0.25 a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) 2 Ta cú an+1= 1 +2 +3 + + n + n + 1 0.5 Bài 5 an+ an+1 = 2(1+ 2 + 3 + + n) + n + 1 (1.0) n(n 1) = 2. +n+1 = n2 +2n+1=(n+1)2 là một số chớnh phương 0.5 2 HẾT Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 4
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  PHềNG GD&ĐT YấN LẠC ĐỀ KSCL ĐT HSG CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS TRUNG MễN: TOÁN 8 NGUYấN NĂM HỌC 2020-2021 (Thời gian làm bài: 120 phỳt khụng kể thời gian giao đề) Ngày khảo sỏt 30/3/2021 Thớ sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh cầm tay. Cõu 1. (3,0 điểm) x2 2x 2x2 1 2 a) Cho biểu thức A 2 2 3 1 2 . Tỡm giỏ trị nguyờn của x để 2x 8 8 4x 2x x x x A cú giỏ trị nguyờn. b) Cho x, y, z đụi một khỏc nhau thỏa món x + y + z = 0. Tớnh giỏ trị của biểu thức: (xy 2z2 )(yz 2x2 )(zx 2y2 ) B = . (2xy2 2yz2 2zx2 3xyz)2 Cõu 2. (2,5 điểm) a) Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn: x2 xy 2014x 2015y 2016 0 . b) Cho cỏc số nguyờn a, b, c thỏa món 2a + b, 2b + c, 2c + a đều là cỏc số chớnh phương. Biết rằng một trong ba số chớnh phương trờn chia hết cho 3. Chứng minh rằng: P a b 3 b c 3 c a 3 chia hết cho 81. 4 4 4 Cõu 3. (1,0 điểm) Cho ba số a, b, c thỏa món a , b , c và a + b + c = 6. 3 3 3 a b c 6 Chứng minh rằng: + + . a2 +1 b2 +1 c2 +1 5 Cõu 4. (2,5 điểm) Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ là AB vẽ tia Ax, By cựng vuụng gúc với AB. Trờn tia Ax lấy điểm C (khỏc A), qua O kẻ đường thẳng vuụng gúc với OC cắt tia By tại D. AB CA a) Chứng minh = . 4BD AB b) Kẻ OM vuụng gúc với CD tại M, từ M kẻ MH vuụng gúc với AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm của MH. c) Tỡm vị trớ điểm C trờn tia Ax để diện tớch tứ giỏc ABDC nhỏ nhất. Cõu 5. (1,0 điểm) Năm vận động viờn mang số 1; 2; 3; 4 và 5 được chia bằng mọi cỏch thành hai nhúm. Chứng tỏ rằng ở một trong hai nhúm ta luụn cú hai vận động viờn mà hiệu cỏc số họ mang trựng với một trong cỏc số mà người của nhúm đú mang. –––––– Hết –––––– Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 5
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  PHềNG GD&ĐT YấN LẠC HDC TRƯỜNG THCS TRUNG ĐỀ KSCL ĐT HSG CẤP HUYỆN NGUYấN MễN: TOÁN 8 NĂM HỌC 2020-2021 Ngày khảo sỏt 30/3/2021 Hướng dẫn chung : - Hướng dẫn chấm chỉ trỡnh bày những ý cơ bản, nếu học sinh cú cỏch giải khỏc mà đỳng thỡ Giỏm khảo vẫn cho điểm nhưng khụng vượt quỏ thang điểm của mỗi ý đú. - Cõu 4 hỡnh học, học sinh khụng vẽ hỡnh hoặc vẽ hỡnh sai thỡ khụng chấm điểm. - Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của cỏc cõu khụng làm trũn. Đỏp ỏn và thang điểm. Thang Cõu Phần Nội dung điểm x 0 ĐK: 0,25 x 2 x2 2x 2x2 1 2 Ta cú A 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x a. x2 2x 2x2 x2 x 2 0,25 2 2 2 2(x 4) 4(2 x) x (2 x) x x2 2x 2x2 (x 1)(x 2) x(x 2)2 4x2 (x 1)(x 2) 0,25 2 2 2 2 2 2(x 4) (x 4)(2 x) x 2(x 2)(x 4) x x3 4x2 4x 4x2 x 1 x(x2 4)(x 1) x 1 . 0,5 2(x2 4) x2 2x2 (x2 4) 2x Nhận xột : A nguyờn khi x+1 chia hết cho 2x => 2x +2 chia hết cho 2x 0,25 => 2 chia hết cho 2x => 2x là ước của 2 1 1 TH1: 2x = 1 => x = (loại). 2 1 TH2: 2x = -1 => x =- (loại). 2 0,5 TH3: 2x = 2 => x = 1 (thỏa món). TH4: 2x = -2 => x =-1 (thỏa món). KL: Vậy x = 1 thỡ A cú giỏ trị nguyờn . Ta cú: x + y + z = 0 => x + y = -z. Do đú: xy 2z2 =xy z2 z(x y) = (z - x)(z - y) Tương tự : yz 2x2 =(x - y)(x - z) 0,5 zx 2y2 =(y - z)(y - x) b. => Tử số của B là : -(x y)2 (y z)2 (z x)2 Hs cm được : 2xy2 2yz2 2zx2 3xyz =(x-y)(y-z)(z-x) => mẫu số của B là : (x y)(y z)(z x)2 0,25 Vậy B = -1. 0,25 Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 6
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  x2 xy 2014x 2015y 2016 0 x2 xy x 2015x 2015y 2015 1 x(x y 1) 2013(x y 1) 1 (x 2015)(x y 1) 1 0,5 x 2015 1 x 2016 ) ; x y 1 1 y 2016 0,25 a. x 2015 1 x 2014 ) . 0,25 x y 1 1 y 2016 x 2016 x 2014 0,25 KL : Vậy phương trỡnh cú nghiệm là : ; . 2 y 2016 y 2016 -Vỡ 3 số 2a+b, 2b+c, 2c+a đều là cỏc số chớnh phương nờn 3 số này chia 3 chỉ cú thể dư 0 hoặc 1. 0,25 - Chứng minh nếu x+y+z=0 thỡ x3+y3+z3=3xyz 0,25 Vỡ trong 3 số trờn cú 1 số chia hết cho 3 và b. (2a+b)+(2b+c)+(2c+a)=3(a+b+c)M 3 nờn suy ra 3 số cựng chia hết cho 3. 0,25 Mặt khỏc : 2a+b=3a-(a-b) a-bM 3. Tương tự chứng minh được b-c, c-a đều chia hết cho 3. Suy ra: (a-b)(b-c)(c-a)M 27 0,25 Vỡ: (a-b)+(b-c)+(c-a)=0 nờn 0,25 P=(a-b)3+(b-c)3+(c-a)3 =3(a-b)(b-c)(c-a)M 3.27M 81. 4 Vỡ a (3a 4)(a 2)2 0 3 3a3 16a 2 28a 16 0 25a 16a 2 16 3a3 3a 25a (a 2 1)(16 3a) (*) 0,5 2 a 16 3a Chia cả hai vế của (*) cho 25(a 1 ) ta được 2 3. a 1 25 b 16 3b c 16 3c Tương tự ta cú : ; b2 1 25 c2 1 25 a b c 48 3(a b c) 30 6 Do đú : a 2 1 b2 1 c2 1 25 25 5 0,25 Dấu “=” xảy ra a=b=c=2. a b c 6 Vậy . 0,25 a 2 1 b2 1 c2 1 5 y x D I M C 4 K A H O B Chứng minh: ΔOAC∽ΔDBO (g-g) 0,5 a. OA AC OA.OB AC.BD 0,25 DB OB Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 7
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  AB AB AB CA 0,25 . AC.BD (đpcm) 2 2 4BD AB OC AC Theo cõu a ta cú: ΔOAC∽ΔDBO (g-g) OD OB OC AC OC OD Mà OA OB OD OA AC OA 0,25 +) Chứng minh: ΔOAC∽ΔDOC (c-g-c) ACO OCM +) Chứng minh: ΔOAC=ΔOMC (ch-gn) AC MC 0,25 Ta cú ΔOAC=ΔOMC OA OM; CA CM OC là trung trực của AM b. OC  AM, Mặc khỏc OA = OM = OB ∆AMB vuụng tại M OC // BM (vỡ cựng vuụng gúc AM) hay OC // BI +) Xột ∆ABI cú OM đi qua trung điểm AB, song song BI suy ra OM đi 0,25 qua trung điểm AI IC = AC MK BK KH +) MH // AI theo hệ quả định lý Ta-lột ta cú: IC BC AC Mà IC = AC MK = HK BC đi qua trung điểm MH (đpcm) 0,25 Tứ giỏc ABDC là hỡnh thang vuụng 1 S (AC BD).AB ABDC 2 Ta thấy AC, BD > 0, nờn theo BĐT Cụ-si ta cú 0,25 AB2 1 c. AC BD 2 AC.BD 2. AB S AB2 4 ABDC 2 AB Dấu “=” xảy ra AC BD OA 2 0,25 Vậy C thuộc tia Ax và cỏch điểm A một đoạn bằng OA thỡ diện tớch tứ giỏc ABDC nhỏ nhất. Ta chia cỏc số 1; 2; 3; 4; 5 thành hai nhúm sao cho trong một nhúm hiệu hai số khụng trựng với một số nào trong nhúm. Ta cú hai số 2 và 4 khụng thể ở trong cựng một nhúm vỡ 4-2=2. Số 1 0,5 cũng khụng thể ở trong cựng một nhúm với số 2 vỡ 2-1=1 5 Như vậy số 1 phải ở cựng một nhúm với số 4. Số 4-1=3 phải ở cựng nhúm với số 2. Ta cú hai số 1 và 4 cựng nhúm; hai số 2 và 3 cựng một nhúm cũn lại. 0,5 Nhưng cũn lại số 5, số này khụng thể ở trong bất cứ nhúm nào vỡ 5-1=4 và 5-2=3(Mõu thuẫn).Từ đú suy ra điều phải chứng minh. Hết Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 8
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ MÃ SỐ Mụn thi: Toỏn Lớp 8 01 Thời gian làm bài: 150 phỳt Cõu 1 (3,0 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 12x3 + 16x2 - 5x - 3 b) (x2 - x + 1)2 - 5x(x2 - x + 1) + 4x2 Cõu 2 (3,0 điểm). a) Chứng minh rằng: Nếu x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx thỡ x = y = z a2 b2 c2 a c b b) Cho ba số a, b, c khỏc 0 thoả món: . b2 c2 a2 c b a Chứng minh rằng a = b = c. Cõu 3 (4,0 điểm). Giải cỏc phương trỡnh: a) 2x 1 2x 5 = 4 (1) 2 2 2 x 3 x 3 7 x 9 b) 6 2 0 x 2 x 2 x 4 Cõu 4 (4,0 điểm). 2 2 1 1 a) Cho x, y > 0 thoả món x + y = 2. Chứng minh rằng: x y 8 x y 2015 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = , với x là số nguyờn. x 3 Cõu 5 (6,0 điểm) Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD ở E và cắt CD ở K. Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC ở F và cắt CD ở I. Chứng minh rằng: a) DK = CI b) EF // CD c) AB2 = CD.EF Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 9
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  PGD & ĐT THỌ XUÂN HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI ĐỀ MÃ SỐ CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 – 2015 01 Mụn : Toỏn Lớp 8 Cõu Nội dung Điểm a) 1,5 12x3 + 16x2 - 5x - 3 = 12x3- 6x2 + 22x2 - 11x + 6x - 3 = 6x2(2x -1) + 11x(2x - 1) + 3(2x - 1) 0,25 = (2x - 1)(6x2 + 11x + 3) 0,5 = (2x - 1)(6x2 + 9x + 2x + 3) = (2x - 1)[3x(2x + 3) + (2x + 3)] 0,25 = (2x - 1)(2x + 3)(3x + 1) 0,5 1 b) 1,5 A = (x2 - x + 1)2 - 5x(x2 - x + 1) + 4x2 Đặt x2 - x + 1 = y, ta có A = 4x2 - 5xy + y2 = (4x - y)(x - y) 0,5 = (4x - x2 + x - 1)(x -x2 + x - 1) = (x2 - 5x + 1)(x2 - 2x + 1) 0,25 2 2 = (x - 1) (x - 5x + 1) 0,25 2 5 21 5 21 = (x - 1) x x 2 2 0,5 a) 1,0 Ta cú: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 + 2y2 + 2z2 = 2xy + 2yz + 2zx x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2zx + x2 = 0 (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = 0 (1) 0,5 Ta cú : (x – y)2 0, (y – z)2 0 , (z – x)2 0 x y 0 Do đú: (1) y z 0 . 0,25 z x 0 x y z 0,25 b) Cú thể chứng minh một trong hai cỏch sau: 2,0 a2 b2 c2 a c b 2 Cỏch 1. Ta cú: b2 c2 a2 c b a a4c2 + b4a2 + c4b2 = abc(a2c + c2a + b2c) 0,5 Đặt x = a2c, y = b2a, z = c2b. Ta được: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 0,25 Áp dụng kết quả cõu a) ta được: (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = 0 0,25 x = y = z 0,25 a2c = b2a = c2b ac = b2; bc = a2; ab = c2 0,25 a = b = c (đpcm). 0,5 a b c Cỏch 2: Đặt x = , y = , z = . Khi đú xyz = 1. b c a 0,25 Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 10
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  a 2 b2 c2 a c b Từ + + = + + suy ra: b2 c2 a 2 c b a 1 1 1 xy + yz + zx 0,5 x2 + y2 + z2 = + + = = xy + yz + zx x y z xyz Áp dụng kết quả cõu a) ta được: (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = 0 0,25 x = y = z 0,25 a b c = = b c a 3 3 3 a b c abc 0,25 = = = 1 b c a abc a b c 0,25 = = = 1 b c a 0,25 a = b = c (đpcm). a) 2,0 2x 1 2x 5 = 4 Cú thể giải bằng một trong cỏc cỏch sau: Cỏch 1: Ta cú: (1) 2x 1 5 2x 2x 1 5 2x 0,5 2x 1 5 2x 0 (ỏp dụng tớnh chất: a b a b ab 0 ). 0,5 1 5 x 0,5 2 2 1 5 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x . 0,5 2 2 Cỏch 2: Ta cú: (1) 2x 1 5 2x 2x 1 5 2x 0,5 2x 1 0 (ỏp dụng tớnh chất a b a b a,b 0 ) 5 2x 0 0,5 1 5 x 3 2 2 0,5 1 5 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x . 2 2 0,5 Cỏch 3: Ta cú: (1) 2x 1 2x 5 (2x 1) (2x 5) 0,5 2x 1 0 (ỏp dụng tớnh chất a b a b a 0;b 0 ) 0,5 2x 5 0 1 5 x 0,5 2 2 1 5 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x . 0, 5 2 2 Cỏch 4: Lập bảng xột dấu: x 1/2 5/2 0,25 2x – 1 - 0 + + 2x – 5 - - 0 + 1 - Trong khoảng x < , ta cú: 2 (1) -2x + 1 – 2x + 5 = 4 Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 11
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  -4x = -2 0,25 1 x 2 0,25 (khụng thuộc khoảng đang xột). 1 5 - Trong khoảng x , ta cú: 2 2 (1) 2x – 1 – 2x + 5 = 4 0,25 0x 0 , 0,25 1 5 phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x . 2 2 5 - Trong khoảng x > , ta cú: 2 (1) 2x – 1 + 2x – 5 = 4 4x 10 0,25 5 x 0,25 2 (khụng thuộc khoảng đang xột). 1 5 0,25 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x . 2 2 Cỏch 5: 0 1 5 0,25 Ta cú: 2x 1 là khoảng cỏch từ điểm 2x đến điểm 1; 0,25 2x 5 là khoảng cỏch từ điểm 2x đến điểm 5. 0,25 2x 1 2x 5 là tổng cỏc khoảng cỏch từ điểm 2x đến điểm 1 và điểm 5. 0,25 Tổng này bằng 4 khi điểm 2x ở giữa điểm 1 và 5 hoặc trựng với điểm 1, hoặc trựng với điểm 5. 0,5 1 5 Khi đú: 1 2x 5 x 2 2 0,5 1 5 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x 2 2 b) 2,0 2 2 2 x 3 x 3 7 x 9 6 2 0 x 2 x 2 x 4 Cú thể giải bằng một trong cỏc cỏch sau: Cỏch 1: ĐKXĐ: x 2 0,25 x 3 x 3 x 3 x 3 x2 9 Đặt a; b , suy ra : ab = . , x 2 x 2 x 2 x 2 x2 4 ta cú: a2 + 6b2 – 7ab = 0 0,25 (a – b)(a – 6b) = 0 a = b hoặc a = 6b 0,25 x 3 x 3 - Với a = b, ta cú: x 2 x 2 (x + 3)(x + 2) = (x – 2)(x – 3) x2 + 5x + 6 = x2 – 5x + 6 Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 12
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  10x = 0 0,25 x = 0 (thoả món ĐKXĐ) 0,25 x 3 x 3 - Với a = 6b, ta cú: 6. x 2 x 2 (x + 3)(x + 2) = 6(x – 2)(x – 3) x2 + 5x + 6 = 6x2 – 30x + 36 5x2 - 35x + 30 = 0 x2 – 7x + 6 = 0 0,25 (x – 1)(x – 6) = 0 x = 1 (thoả món ĐKXĐ) hoặc x = 6 (thoả món ĐKXĐ) 0,25 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S = 0 ;1; 6 0,25 2 2 2 x 3 x 3 7 x 9 Cỏch 2: 6 2 0 (1) x 2 x 2 x 4 ĐKXĐ: x 2 0,25 (1) (x + 3)2(x + 2)2 + 6(x – 3)2(x – 2)2 – 7(x2 – 9)(x2 – 4) = 0 0,25 (x2 + 6x + 9)(x2 + 4x + 4) + (6x2 – 36x + 54)(x2 – 4x + 4) – - (7x2 – 63)(x2 – 4) = 0 x4 + 4x3 + 4x2 + 6x3 + 24x2 + 24x + 9x2 + 36x + 36 + 6x4 – - 24x3 + 24x2 – 36x3 + 144x2 – 144x + 54x2 – 216x + 216 - - 7x4 + 28x2 + 63x2 - 252 = 0 50x3 - 350x2 + 300x = 0 0,25 x3 – 7x2 + 6x = 0 0,25 x(x2 – 7x + 6) = 0 x(x – 1)(x – 6) = 0 0,25 x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = 6. 0,25 Cỏc giỏ trị trờn đều thoả món ĐKXĐ. 0,25 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S = 0 ;1; 6 . 0,25 a) 2,0 1 Bài toỏn phụ: Chứng minh rằng a2 + b2 (a + b)2 (1) 2 Chứng minh: (1) 2a2 + 2b2 a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 0 (a – b)2 0 0,25 Áp dụng bài toỏn phụ (1), ta cú: 2 2 2 1 1 1 1 1 x y x y (2) x y 2 x y 0,25 2 2 2 4 1 1 x y 2 Mà x y 2 2 (vỡ x + y = 2) 0,25 x y xy xy (x + y)2 Với x, y > 0, ta cú 0 < xy 4 (vỡ (x – y)2 0 (x + y)2 4xy) 0,25 1 4 2 8 xy (x y)2 xy (x y)2 0,25 2 2 8 2 2 2 2 2 16 (vỡ x + y = 2) 2 0,25 xy x y Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 13
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  2 1 1 x y 16 (3) 0,25 x y 2 2 1 1 Từ (2) và (3) suy ra: x y 8 0,25 x y b) 2,0 2015 B = với x là số nguyờn x 5 Xột x 3 x 3 0 B > 0 0,5 Xột x 3 thỡ do x Z nờn x 0;1;2 0,5 + Khi x 0 thỡ B = - 403 + Khi x 1 x 1 thỡ B = - 503,75 + Khi x 2 x 2 thỡ B = - 2015 0,5 Vậy min B = -2015 x = 2 . 0,5 A B E F 2,0 D K I C a) Tứ giỏc ABCK cú: 0,25 AB // CK (AB // CD, K CD) 0,25 AK // BC (gt) 0,25 ABCK là hỡnh bỡnh hành 0,5 CK = AB 0,25 5 DK = CD – CK = CD – AB (1) 0,5 Chứng minh tương tự, ta cú DI = AB IC = CD – DI = CD – AB (2) Từ (1) và (2) suy ra: DK = IC b) DEK cú AB // DK, theo hệ quả định lý Ta-let ta cú: 2,0 AE AB = (3) EK DK 0,5 FIC cú AB // IC, theo hệ quả định lý Ta-let ta cú: AF AB = (4) FC IC 0,5 Mà: DK = IC (cõu a) (5) AE AF Từ (3), (4), (5) suy ra: = EK FC 0,5 AE AF AKC cú = EF // KC (định lý Ta-lột đảo) EK FC 0,5 EF // CD Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 14
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  c) AB CK Ta cú: = (vỡ AB = CK) (6) 2,0 CD CD 0,25 BCD cú EK // BC, theo định lý Ta-lột ta cú: CK BE = (7) CD BD 0,25 BDI cú EF // DI, theo định lý Ta-let ta cú: BE EF = BD DI 0,5 Mà DI = AB BE EF Suy ra: = (8) BD AB 0,5 AB CK BE EF Từ (6), (7), (8) suy ra: = = = CD CD BD AB AB EF = AB2 = CD. EE 0,5 CD AB Ghi chỳ: Nếu học sinh làm cỏch khỏc mà đỳng thỡ vẫn cho điểm tối đa. Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 15
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mụn thi: Toỏn Lớp 8 ĐỀ MÃ SỐ Thời gian làm bài: 150 phỳt 02 Cõu 1 (2,0 điểm). x3 y3 z3 3xyz Rỳt gọn biểu thức: B = (x y)2 (y z)2 (x z)2 Cõu 2 (4,0 điểm). a) Tỡm số dư trong phộp chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9 cho x 2 + 8x + 12. b) Tỡm mọi số nguyờn x sao cho x3 - 2x2 + 7x - 7 chia hết cho x2 + 3. Cõu 3 (4,0 điểm). Giải cỏc phương trỡnh: 3 3 1 3 3 a) x 3 x 4 1 x 0 4 4 3 x 3 x b) x x 2 x 1 x 1 Cõu 4 (4,0 điểm). Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của cỏc biểu thức a) A = 3x 1 x 2 4x 3 14x2 8x 9 b) B = 3x2 6x 9 Cõu 5 (4,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A. M, D tương ứng là trung điểm của BC, AM. H là hỡnh chiếu của M trờn CD. AH cắt BC tại N, BH cắt AM tại E. Chứng minh rằng: a) Tam giỏc MHD đồng dạng với tam giỏc CMD. b) E là trực tõm tam giỏc ABN. Cõu 6 (2,0 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh CD và N là một điểm trên đường chéo AC sao cho Bã NM 900 . Gọi F là điểm đối xứng của A qua N. Chứng minh rằng FB  AC. Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 16
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  ĐỀ MÃ SỐ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI 02 Mụn : Toỏn Lớp 8 Cõu Nội dung Điểm 2,0 Ta cú: x3 - y3 - z3 - 3xyz = (x - y)3 + 3xy(x - y) - z3 - 3xyz = (x - y - z)3 + 3(x - y)z(x - y - z) + 3xy(x - y - z) = (x - y - z)[(x - y - z)2 + 3xz - 3yz + 3xy)] 0,25 = (x - y - z)(x2 + y2 + z2 -2xy - 2xz + 2yz + 3xz - 3yz + 3xy) = (x - y - z)(x2 + y2 + z2 + xy - yz + xz) 0,25 2 2 2 1 (x + y) + (y - z) + (x + z) = x2 + 2xy + y2 + y2 - 2yz + z2 + x2 + 2xz + z2 0,25 = 2(x2 + y2 + z2 + xy - yz + xz) 0,25 x y z x2 y2 z2 xy yz xz Vậy B = 2 x2 y2 z2 xy yz xz 0,5 x y z = 0,5 2 a) HS cú thể làm một trong cỏc cỏch sau: 2,0 Cỏch 1: Đặt f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9 Ta cú: A = (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 9 = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 9 0,25 = (x2 + 8x + 7)[(x2 + 8x + 12) + 3] + 9 0,25 = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 7) + 9 0,25 = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 12) + 9 – 15 0,25 = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) - 6 0,5 Vậy số dư trong phộp chia f(x) cho x2 + 8x + 12 là - 6. 0,5 2 Cỏch 2. f(x) = (x2 + 4x + 3)(x2 + 12x + 35) + 9 0,25 = x4 + 4x3 + 3x2 + 12x3 + 48x2 + 36x + 35x2 + 140x + 105 + 9 0,25 = x4 + 16x3 + 86x2 + 176x + 114 0,25 Thực hiện phộp chia đa thức x4 + 16x3 + 86x2 + 176x + 114 cho x2 + 8x + 12 được thương là x2 + 8x + 10 và số dư là - 6. 0,75 Vậy số dư trong phộp chia f(x) cho x2 + 8x + 12 là - 6. 0,5 Cỏch 3. Bậc của đa thức thương là 2 nờn đa thức dư cú dạng ax + b. 0,25 Gọi đa thức thương là Q(x), ta cú: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9 = (x2 + 8x + 12)Q(x) + ax + b 0,25 Cho x = - 2, ta cú: - 1.1.3.5 + 9 = - 2a + b - 2a + b = -6 0,25 Cho x = - 6, ta cú: - 5.(- 3)(-1). 1 + 9 = - 6a + b - 6a + b = - 6 0,25 Ta cú (-2a + b) – (- 6a + b) = 0 a = 0 0,25 Do đú b = - 6. 0,25 Đa thức dư là - 6. 0,5 Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 17
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  Cỏch 4. f(x) = (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 9 = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 9 0,25 = [(x2 + 8x + 12)- 5][(x2 + 8x + 12) + 3] + 9 0,25 = (x2 + 8x + 12)2 - 2(x2 + 8x + 12) – 15 + 9 0,5 = (x2 + 8x + 12)2 - 2(x2 + 8x + 12) – 6 0,25 = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) - 6 0,25 Vậy số dư trong phộp chia f(x) cho x2 + 8x + 12 là - 6. 0,5 2 b) 2,0 Thực hiện phộp chia đa thức B = x3 - 2x2 + 7x - 7 cho C = x2 + 3, ta được: Đa thức thương: x – 2; đa thức dư: 4x – 1. 0, 5 Suy ra: x3 - 2x2 + 7x - 7 = (x2 + 3)(x - 2) + 4x - 1 0,25 Do đú: B  (x2 + 3) (4x 1) (3x2 3) (1) Vỡ 4x 1 và 4x 1 nờn (1) (4x - 1)(4x + 1)  (x2 + 3) (16x2 - 1)  (x2 + 3) 16(x2 - 3) - 49  (x2 + 3) 49  (x2 + 3) 0,5 Vỡ x2 + 3 3 nờn chỉ xảy ra một trong hai trường hợp sau: x 2 + 3 = 49, khụng cú gớa trị nào thoả món. x 2 + 3 = 7 x2 = 4 x = 2 (thoả món (1)) hoặc x = -2 (loại do khụng thoả món (1)) 0,5 Vậy x = 2. 0,25 a) 2,0 HS cú thể làm một trong hai cỏch sau: Cỏch 1: 1 3 0,25 Đặt a = x 3 ; b = x 4 a + b = x - 1 1 - x = -(a + b) 4 4 0,25 Ta cú (1) a3 + b3 - (a + b)3 = 0 3 3 3 3 3 a + b - a - b - 3ab(a + b) = 0 0,25 -3ab(a + b) = 0 1 x 3 0 4 a 0 3 b 0 x 4 0 0,5 4 a b 0 x 1 0 x 12 16 x 0,5 3 x 1 16  0,25 Tập nghiệm của phương trỡnh là S = 12; ;1 . 3  3 3 1 3 3 Cỏch 2: x 3 x 4 1 x 0 4 4 3 2 1 1 1 2 x 3. x .3 3 x .3 + 27 + 4 4 4 Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 18
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  3 2 3 3 3 2 3 2 3 + x 3 x .4 3 x .4 4 + 1 – 3x + 3x – x = 0 4 4 4 x3 9 27 27 27 x2 + x + 27 + x3 - x2 + 36x – 64 + 64 16 4 64 4 + 1 – 3x + 3x2 – x3 = 0 9 51 159 0,5 x3 - x2 +x - 36 = 0 16 16 4 - 9x3 - 51x2 + 636x – 576 = 0 0,25 3x3 + 17x2 – 212x + 192 = 0 0,5 (x – 1)(x + 12)(3x – 16) = 0 3 x 12 16 x 3 0,5 x 1 16  0,25 Tập nghiệm của phương trỡnh là S = 12; ;1 . 3  b) 2,0 3 x 3 x x x 2 x 1 x 1 HS cú thể làm một trong hai cỏch sau: Cỏch 1: ĐKXĐ: x 1 0,25 3 x 3x x2 3 - x x2 + 3 Đặt a x , b = x + = x 1 x 1 x + 1 x + 1 ab = 2 (1) Ta cú: 3x - x2 x2 + 3 a + b = + = 3 (2) 0,25 x + 1 x + 1 (2) a = 3 - b (3) Thay (3) và (1) ta được: (3 - b)b = 2 b2 – 3b + 2 = 0 (b – 1)(b – 2) = 0 0,25 b = 1 hoặc b = 2 - Với b = 1, từ (3) ta cú a = 2. Suy ra: 3x x2 x2 + 3 2 và 1 x 1 x + 1 Ta cú phương trỡnh: x2 – x + 2 = 0 2 0,25 1 5 x 0 , phương trỡnh vụ nghiệm. 2 4 0,25 - Với b = 2, từ (3) ta cú a = 1. Suy ra: 3x x2 x2 + 3 1 và 2 x 1 x + 1 Ta cú phương trỡnh: x2 – 2x + 1 = 0 2 0,25 x 1 0 x 1 (thoả món ĐKXĐ) 0,25 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S = 1  0,25 3 Cỏch 2: ĐKXĐ: x 1 . Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 19
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  3 x 3 x 3x x2 x2 x 3 x 0,25 x x 2 . 2 x 1 x 1 x 1 x 1 3x x2 x2 3 2 2 x 1 0,25 3x3 + 9x – x4 – 3x2 = 2x2 + 4x + 2 x4 – 3x3 + 5x2 – 5x + 2 = 0 (x – 1)2(x2 – x + 2) = 0 0,25 x – 1 = 0 hoặc x2 – x + 2 = 0 0,5 1) x – 1 = 0 x = 1 (thoả món ĐKXĐ) 2) x2 – x + 2 = 0 0,25 2 1 5 x 0 , phương trỡnh vụ nghiệm. 2 4 0,25 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S = 1  0,25 a) 2,0 HS cú thể làm một trong hai cỏch sau: Cỏch 1: Áp dụng tớnh chất a a , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a 0 , ta cú: A = 3x 1 x 2 4x 3 0,5 3x + 1 + x + 2 - 4x + 3 = 6 0,25 A 6 . 4 0,25 Dấu “=” xảy ra 3x + 1 0 và x + 2 0 1 1 0,25 x và x 2 x 3 3 1 0,5 Vậy min A = 6 x 3 Cỏch 2: Lập bảng xột dấu: x - 2 -1/3 3x + 1 - - 0 + x + 2 - 0 + + 0,25 - Trong khoảng x 16 A > 16 0,25 1 0,25 - Trong khoảng 2 x , ta cú: 3 A = - 3x – 1 + x + 2 – 4x + 3 = -6x + 4 1 0,25 Do 2 x nờn 2 6x 12 6 6x+4 18 3 0,25 - Trong khoảng x > -1/3, ta cú: A = 3x + 1 + x + 2 – 4x + 3 = 6 A = 6 0,25 Như vậy, với mọi x ta cú A 6, dấu “=” xảy ra khi và chỉ 1 0,25 khi x 3 1 Vậy min A = 6 x . 3 0,25 b) 2,0 4 HS cú thể làm một trong hai cỏch sau: Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 20
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  14x2 8x 9 2x2 4x 6 12x2 12x 3 Cỏch 1: Ta cú: B = = 3x2 6x 9 3x2 6x 9 2(x2 2x 3) 3 4x2 4x 1 = 3(x2 2x 3) 2 2 2 3 2x 1 2 2x 1 = = 0,5 3 x2 2x 3 3 x 1 2 2 Với mọi x, ta cú; 3(2x – 1)2 0, (x + 1)2 + 2 2 > 0 2 2x 1 2 2 0 B 0,5 x 1 2 3 1 Dấu “=” xảy ra khi 2x – 1 = 0 x = 0,5 2 2 1 Vậy minB = x 0,5 3 2 2 14x2 8x 9 2 Cỏch 2: Ta cú: B - = - 3 3x2 6x 9 3 (14x2 8x 9) 2(x2 2x 3) 12x2 12x 3 (2x 1)2 = = 0,5 3(x2 2x 3) 3(x2 2x 3) x 1 2 2 Với mọi x, ta cú; 3(2x – 1)2 0, (x + 1)2 + 2 2 > 0 2 2x 1 2 2 0,5 0 B - 0 B x 1 2 2 3 3 0 ,5 1 Dấu “=” xảy ra khi 2x – 1 = 0 x = 2 0,5 2 1 Vậy minB = x 3 2 A 1,25 D 0,25 H E 5 B M N C a) Vỡ M là trung điểm của BC nờn AM là đường trung tuyến của tam giỏc ABC. 0,25 Mà ABC cõn tại A (gt) Suy ra: AM là đường cao của ABC Xột MHD và CMD cú: Mã HD Cã MD (= 900) 0,75 Mã DH Cã DM 2,0 Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 21
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  Suy ra: MHD CMD (g.g). b) MHD CMD (cõu a) HD HM 0,25 MD CM HD HM (vỡ MD = AD, CM = BM) 0,25 AD BM Mặt khỏc ta cú: 0,25 ã 0 ã ã ADH 90 DMH BMH . 0,25 Suy ra HDA HMB (trường hợp đồng dạng thứ hai) 0,25 Do đú: ãAHD Bã HM 0,25 Từ đú: ãAHB Dã HM 900 hay BH  AN 0,5 Kết hợp với AM  BC ta suy ra E là trực tõm của tam giỏc ABN. B E C I M F N A D Gọi I là trung điểm của BF, đường thẳng NI cắt BC tại E. Ta cú: F đối xứng với A qua N (gt) N là trung điểm của AF. 0,25 6 Mà I là trung điểm của BF NI là đường trung bỡnh của tam giỏc ABF 0,25 1 NI // AB và NI = AB . 2 Mặt khỏc AB // CD; AB = CD (ABCD là hỡnh chữ nhật và M 0,5 là trung điểm của CD) 0,25 CD AB  BC; CM = 0,25 2 Suy ra NI  BC; NI // CM và NI = CM Tứ giỏc CINM là hỡnh bỡnh hành. CI // MN 0,25 Mà MN  BN Bã NM 1v CK  BN tại K. 0,25 Do đú I là trực tõm của tam giỏc BCN BF  AC. Ghi chỳ: Nếu học sinh làm cỏch khỏc mà đỳng thỡ vẫn cho điểm tối đa. Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 22
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  Mụn thi: Toỏn Lớp 8 ĐỀ MÃ SỐ Thời gian làm bài: 150 phỳt 03 Bài 1: (2 điểm)Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015. 2 x 2 1 10 x Bài 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 1 a. Rỳt gọn biểu thức A. b. Tớnh giỏ trị của A , Biết x = . 2 c. Tỡm giỏ trị của x để A < 0. d. Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để A cú giỏ trị nguyờn. 1 1 1 1 Bài 3 : (2 điểm) a) Giải phương trỡnh : x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giỏc . Chứng minh rằng : a b c A = 3 b c a a c b a b c Bài 4: (3,5 điểm) Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đường chộo AC lớn hơn đường chộo BD. Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hỡnh chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giỏc BEDF là hỡnh gỡ ? Hóy chứng minh điều đú ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 23
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ MÃ SỐ 03Bài 1: (2 điểm) a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = x y z 3 x3 y3 z3 = y z x y z 2 x y z x x2 y z y2 yz z2 2 = y z 3x 3xy 3yz 3zx = 3 y z x x y z x y = 3 x y y z z x . (1 điểm) b)x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 = (x4 - x) + (2015x2+2015x+2015) = x(x3- 1) + 2015 (x2+x+1) = x(x -1) (x2+x+1) )+ 2015 (x2+x+1) = (x2+x+1) [x(x -1) + 2015] = (x2+x+1) (x2 –x + 2015) (1 điểm) x 2 1 10 x2 Bài 2: (2,5 điểm) Biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 1 a) Rỳt gọn được kết qủa: A (0,75 điểm) x 2 1 1 1 b) x x hoặc x (0,25 điểm) 2 2 2 2 2 A= hoặc A= (0,75 điểm) 3 5 c) A 0 x >2 (0,25 điểm) 1 d) A Z Z x-2 Ư(-1) x-2 { -1; 1} x {1; 3} (0,5 điểm) x 2 Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) x2+9x+20= ( x+4)( x+5) ; x2+11x+30 = ( x+6)( x+5) ; x2+13x+42 = ( x+6)( x+7) ; (0,25 điểm) ĐKXĐ : x 4;x 5;x 6;x 7 (0,25 điểm) 1 1 1 1 Phương trỡnh trở thành : (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 (0,25 điểm) x 4 x 7 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ đú tỡm được x=-13; x=2; (0,25 điểm) b) (1đ) Đặt b+c-a = x >0; c+a-b = y >0; a+b-c = z >0 (0,25 điểm) y z x z x y Từ đú suy ra a=;b ;c ; (0,25 điểm) 2 2 2 y z x z x y 1 y x x z y z Thay vào ta được A= ( ) ( ) ( ) (0,25 điểm) 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đú suy ra A (2 2 2) hay A 3 (0,25 điểm) 2 Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 24
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  Bài 4: (3,5 điểm) a)Ta cú : BE AC (gt); DF AC (gt) BE // DF (0,25 điểm) Chứng minh : BEO DFO(g c g) BE = DF (0,5 điểm) Suy ra : Tứ giỏc : BEDF là hỡnh bỡnh hành (0,25 điểm) b) Chứng minh: ABC=  ADC  HBC=  KDC (0,25 điểm) CH CB CHB ∽ CKD(g-g) CH.CD CK.CB (1 điểm) CK CD c)Chứng minh : AFD ∽ AKC(g-g) (0,25 điểm) AF AD AD.AK AF .AC (0,25 điểm) AK AC CF CD Chứng minh : CFD ∽ AHC(g-g) (0,25 điểm) AH AC CF AB Mà : CD = AB AB.AH CF.AC (0,25 điểm) AH AC Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (0,25 điểm) H B C F O E A K D Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 25
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  PHềNG GD&ĐT THỌ XUÂN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015 TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ MễN THI: TOÁN LỚP 8 – VềNG 4 Thời gian làm bài 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề Cõu 1. (4,0 điểm) 1. Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử: .x4 2013x2 2012x 2013 x2 2x 2x2 1 2 2. Rỳt gọn biểu thức sau: A 2 2 3 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x Cõu 2. (4,0 điểm) 1. Giải phương trỡnh sau: (2x2 x 2013)2 4(x2 5x 2012)2 4(2x2 x 2013)(x2 5x 2012) 2. Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món x3 2x2 3x 2 y3. Cõu 3. (4,0 điểm) 1. Tỡm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f(x) chia cho x 2dư 24, f(x) chia cho x2 4 được thương là 5x và cũn dư. 2. Chứng minh rằng: a(b c)(b c a)2 c(a b)(a b c)2 b(a c)(a c b)2 Cõu 4. (6,0 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD, trờn cạnh AB lấy điểm E và trờn cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuụng gúc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N. 1. Chứng minh rằng tứ giỏc AEMD là hỡnh chữ nhật. 2. Biết diện tớch tam giỏc BCH gấp bốn lần diện tớch tam giỏc AEH. Chứng minh rằng: AC = 2EF. 1 1 1 3. Chứng minh rằng: = + . AD2 AM2 AN2 Cõu 5. (2,0 điểm) Cho a,b,c là ba số dương thoả món abc 1 . Chứng minh rằng : 1 1 1 3 . a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) 2 Hết Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 26
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  PHềNG GD&ĐT THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG XUÂN NĂM HỌC 2014-2015 MễN THI: TOÁN LỚP 8 – VềNG 4 TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ Thời gian làm bài 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề Cõu 1 Hướng dẫn giải (4.0 điểm) Ta cú x4 2013x2 2012x 2013 0,5 x4 x 2013x2 2013x 2013 1 2 2 0.5 (2.0 x x 1 x x 1 2013 x x 1 điểm) x2 x 1 x2 x 2013 0.5 Kết luận x4 2013x2 2012x 2013 x2 x 1 x2 x 2013 0.5 x 0 ĐK: 0.25 x 2 x2 2x 2x2 1 2 Ta cú A 2 2 3 1 2 0.25 2x 8 8 4x 2x x x x x2 2x 2x2 x2 x 2 2 2 2 0.25 2(x 4) 4(2 x) x (2 x) x 2 (2.0 điểm) x2 2x 2x2 (x 1)(x 2) x(x 2)2 4x2 (x 1)(x 2) 0.5 2 2 2 2 2 2(x 4) (x 4)(2 x) x 2(x 2)(x 4) x x3 4x2 4x 4x2 x 1 x(x2 4)(x 1) x 1 . 0.5 2(x2 4) x2 2x2 (x2 4) 2x x 1 x 0 Vậy A với . 0.25 2x x 2 Cõu 2 (4.0 điểm) a 2x2 x 2013 Đặt: 0.25 2 b x 5x 2012 Phương trỡnh đó cho trở thành: 0.5 1 a2 4b2 4ab (a 2b)2 0 a 2b 0 a 2b (2.0 Khi đú, ta cú: 0.5 điểm) 2x2 x 2013 2(x2 5x 2012) 2x2 x 2013 2x2 10x 4024 2011 11x 2011 x . 0.5 11 2011 Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x . 0.25 11 2 2 3 3 2 3 7 Ta cú y x 2x 3x 2 2 x 0 x y (1) 0.5 (2.0 điểm) 4 8 Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 27
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  2 3 3 2 9 15 (x 2) y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 (2) 0.5 4 16 Từ (1) và (2) ta cú x < y < x+2 mà x, y nguyờn suy ra y = x + 1 0.25 Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trỡnh tỡm được x = -1; từ đú tỡm được hai cặp số (x, y) thỏa món bài toỏn là: 0.5 (-1 ; 0) KL 0.25 Cõu 3 (4 điểm) Giả sử f(x) chia cho x2 4 được thương là 5x và cũn dư là ax b . 0.5 Khi đú: f (x) (x2 4).( 5x) ax+b Theo đề bài, ta cú: 7 f (2) 24 2a b 24 a 0.5 1 2 f ( 2) 10 2a b 10 (2.0 điểm) b 17 7 Do đú: f (x) (x2 4).( 5x) x+17 0.5 2 47 Vậy đa thức f(x) cần tỡm cú dạng: f (x) 5x3 x 17. 0.5 2 Ta cú: a(b c)(b c a)2 c(a b)(a b c)2 b(a c)(a c b)2 0 (1) x z a 2 a b c x x y 0.25 Đặt: b c a y b 2 a c b z y z c 2 Khi đú, ta cú: 2 0.5 (2.0 điểm) x z x y y z 2 y z x z x y 2 1 2 VT(1) .y .x (x y)(x y).z 2 2 2 2 2 2 4 x z x z y z z y 1 . .y2 . .x2 (x2 y2 )z2 0.5 2 2 2 2 4 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 0.25 (x z ).y (z y ).x (x y ).z 4 4 4 1 1 (x2 y2 ).z2 (x2 y2 ).z2 0 VP (đpcm) 0.25 4 4 (1) KL: . 0.25 Cõu 4 (6 điểm) Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 28
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  E A B H F C D M N 1 (2.0 điểm) Ta cú Dã AM = Ã BF (cựng phụ Bã AH ) AB = AD ( gt) 0.75 Bã AF = Ã DM = 900 (ABCD là hỡnh vuụng) ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nờn. AE = DM 0.5 Lại cú AE // DM ( vỡ AB // DC ) Suy ra tứ giỏc AEMD là hỡnh bỡnh hành 0.5 Mặt khỏc.Dã AE = 900 (gt) Vậy tứ giỏc AEMD là hỡnh chữ nhật 0.25 Ta cú ΔABH : ΔFAH (g.g) AB BH BC BH 0.5 = hay = ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH Lại cú Hã AB = Hã BC (cựng phụ Ã BH ) 2 0.5 ΔCBH : ΔEAH (c.g.c) (2.0 điểm) 2 2 SΔCBH BC SΔCBH BC 2 2 = , mà = 4 (gt) = 4 nờn BC = (2AE) SΔEAH AE SΔEAH AE 0.5 BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD Do đú: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.5 Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lột, ta cú: AD AM AD CN 0.5 = = CN MN AM MN Lại cú: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lột, ta cú: MN MC AB MC AD MC 0.5 = = hay = 3 AN AB AN MN AN MN (2.0 điểm) 2 2 2 2 2 2 2 AD AD CN CM CN + CM MN + = + = 2 = 2 = 1 AM AN MN MN MN MN 0.5 (Pytago) 2 2 AD AD 1 1 1 + = 1 2 2 2 (đpcm) 0.5 AM AN AM AN AD Cõu 5 2 điểm Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 29
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  Trước tiờn ta chứng minh BĐT: Với  a, b, c R và x, y, z > 0 ta cú 2 a2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z a b c Dấu “=” xảy ra x y z Thật vậy, với a, b R và x, y > 0 ta cú 2 a2 b2 a b ( ) x y x y 2 a2 y b2 x x y xy a b 0.75 bx ay 2 0 (luụn đỳng) a b Dấu “=” xảy ra x y Áp dụng bất đẳng thức ( ) ta cú 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x y z a b c Dấu “=” xảy ra 2.0 điểm x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta cú: a b c a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta cú 2 2 0.5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c (Vỡ abc 1 ) ab ac bc ab ac bc 2(ab bc ac) 1 1 1 2 a b c 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 0.25 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 0.25 Mà 3 nờn a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy (đpcm) 0.25 a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) 2 Điểm toàn bài (20 điểm) Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 30
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  TRƯỜNG THCS XUÂN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG - PHÚ VềNG 2 MễN: TOÁN Thời gian: 150 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Bài 1) (2 điểm). a) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: (x2 -2x)( x2 -2x- 1) - 6 b) Đa thức f(x) = 4x3 +ax +b chia hết cho cỏc đa thức x-2; x+1. Tớnh 2a-3b. Bài 2) (2 điểm). a) Cho an = 1+2+3+ + n. Chứng minh rằng an + an+1 là một số chớnh phương. 10n2 9n 4 b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiờn n thỡ phõn số tối giản. 20n2 20n 9 Bài 3) (3 điểm). xyz a) Cho x3 +y3+z3 =3xyz. Hóy rỳt gọn phõn thức P x y y z z x 14 4 54 4 94 4 174 4 b) Tỡm tớch: M=    34 4 74 4 114 4 194 4 Bài 4) (4 điểm). a) Cho x = by +cz; y = ax +cz; z = ax+by và x +y + z 0; xyz 0. CMR: 1 1 1 2 1 a 1 b 1 c 1 1 1 yz xz xy b) Cho 0 , tớnh giỏ trị của biểu thức: P x y z x2 y2 z2 x2 x x 1 1 2 x2 Bài 5: (3 điểm).Cho biểu thức: P 2 : 2 x 2x 1 x 1 x x x a) Rỳt gọn biểu thức P b) Tỡm x để P 1. Bài 6: (3 điểm).Cho hỡnh vuụng ABCD, gọi E, F thứ tự là trung điểm của AB, BC. a) CMR: CE vuụng gúc với DF b) Gọi M là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng AM = AD. Bài 7: (3 điểm).Cho tam giỏc ABC. Vẽ ở ngoài tam giỏc cỏc hỡnh vuụng ABDE, ACFH. a) Chứng minh rằng EC = BH; EC  BH b) Gọi M, N thứ tự là tõm của cỏc hỡnh vuụng ABDE, ACFH. Gọi I là trung điểm của BC. Tam giỏc MNI là tam giỏc gỡ? Vỡ sao? Hết Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 31
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài í Nội dung Điểm a (x+1)(x-3)(x2 -2x +2) 1 điểm 1 điểm Đa thức f(x) = 4x3 +ax +b chia hết cho cỏc đa thức x-2; x+1 nờn: f(2) = 0 => 32+2a+b =0(1) 1 b f(-1) = 0 => -4 –a +b = 0 (2) Từ (1) và (2) ta tỡm được a = -12; b = -8 Vậy 2a-3b = 0 Ta cú an+1= 1 +2 +3 + + n + n + 1 1 điểm an+ an+1 = 2(1+ 2 + 3 + + n) + n + 1 n(n 1) a = 2. +n+1 = n2 +2n+1=(n+1)2 là một số chớnh 2 phương 2 2 2 Gọi d là ƯCLN của 10n +9n+4 và 20n +20n+9 1 điểm 10n2 9n 4d 20n2 18n 8d 2n 1d 20n2 20n 9d 20n2 20n 9d b => d là số tự nhiờn lẻ. Mặt khỏc 2n+1 d => 4n2 +4n +1  d => 20n2 +20n+5 d=> 4 d mà d lẻ nờn d = 1. Vậy phõn số trờn tối giản. Từ x3 +y3+z3 =3xyz chỉ ra được x + y +z = 0 hoặc x=y=z 1.5 TH1: x + y +z =0=> x+y = -z; x+z= -y; y +z = -x. Khi đú P = -1 điểm a 1 TH2: x=y=z. Khi đú P = 3 8 Nhận xột được n4 +4 = [(n-1)2 +1][(n+1)2 +1]. Do đú: 1.5 2 2 2 2 2 1. 2 1 4 1 6 1 16 1 18 1 1 1 điểm b M =   22 1 42 1 62 1 82 1 182 1 202 1 202 1 401 Từ gt => 2cz+z = x +y => 2cz = x+y –z => 2 điểm x y z x y z 1 2z c c 1 2z 2z c 1 x y z a 1 2x 1 2y Tương tự ; Khi đú 1 a x y z 1 b x y z 1 1 1 2 4 1 a 1 b 1 c 1 1 1 1 1 1 3 2 điểm Từ 0 => x y z x3 y3 z3 xyz b Khi đú: yz xz xy xyz xyz xyz 1 1 1 3 P 2 2 2 3 3 3 xyz. 3 3 3 xyz. 3 x y z x y z x y z xyz Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 32
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  ĐKXĐ: x 0 và x 1; x -1 1 điểm a x2 Với x 0 và x 1; x -1, rỳt gọn P ta cú P = x 1 x2 1điểm P 1 thỡ x-1>0. Áp dụng bđt Cosi, ta cú : x 1 2 , dấu x 1 ô = ằ xảy ra khi x =2. Vậy GTNN của P bằng 4 khi x = 2 1.5 A E B điểm M F N a 1 1 2 D K C à ả C/M được CBE = DCF (c-g-c) =>C1 D1 6 à ả 0 ả ả 0 Lại cú : C1 C2 90 D1 C2 90 => ĐPCM Gọi K là trung điểm của CD. c/m được Tứ giỏc AECK là hbh suy 1.5 điểm ra AK // CE. Goi N là giao điểm của AK và DF. Tam giỏc DCM cú DK = KC và b KN //CM nờn N là trung điểm của DM. Vỡ CM DM (cõu a), KN //CM nờn KN  DM. Tam giỏc ADM cú AN là đường cao đồng thời là trung tuyến nờn là tam giỏc cõn tại A => AM = AD Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 33
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  1.5 H điểm E A N F K M O a D B I C 7 C/m được EAC= BAH(c-g-c) => EC = BH, ãAEC ãABH . Gọi K và O thứ tự là giao điểm của EC với BA và BH. Xột AEK và OBK cú ãAEK Oã BK; ãAKE Oã KB nờn Eã AK Bã OK => Bã OK 900 . Vậy EC BH Ta cú MI//EC, MI = 1/2EC 1.5 điểm IN//BH ; IN=1/2 BH b Mà EC  BH và EC = BH nờn MI = IN và MI  IN. Vậy MIN vuụng cõn tại I. Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 34
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VềNG 3 NĂM HỌC 2013- 2014 MễN THI: TOÁN - LỚP 8 Thời gian: 150 phỳt (khụng tớnh thời gian giao đề) Cõu 1: (2,5 điểm ) a) Phõn tớch đa thức a2(b c) b2(c a) c2(a b) thành nhõn tử. b) Cho cỏc số nguyờn a,b,c thoả món (a b)3 (b c)3 (c a)3 210 . Tớnh giỏ trị của biểu thức. Cõu 2: (2,5 điểm) a) Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn: x2 y2 3 xy. b) Giải phương trỡnh: (6x 8)(6x 6)(6x 7)2 72 . Cõu 3: (2,5 điểm) a) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P (x 2012)2 (x 2013)2 . b) Cho cỏc số thực dương x, y, z thỏa món x y z 3 . Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . x2 x y2 y z2 z 2 Cõu 4: (2,5 điểm)Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC. b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD+CM.CA cú giỏ trị khụng đổi. c) Kẻ DH  BC H BC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ  PD . Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 35
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  Cõu Nội dung chớnh Điểm a) Ta cú a2(b c) b2(c a) c2(a b) a2(b c) b2(c a) c2(b c c a) 0,5 2 2 2 2 (b c)(a c ) (c a)(b c ) (b c)(a c)(a c) (c a)(b c)(b c) 0,5 (b c)(a c)(a c b c) (b c)(a c)(a b) . 0,25 1 b) Đặt a b x; b c y ; c a z x y z 0 z (x y) 0,25 (2,5đ) Ta cú: x3 y3 z3 210 x3 y3 (x y)3 210 3xy(x y) 210 xyz 70. Do x, y, z là số nguyờn cú tổng bằng 0 và xyz 70 ( 2).( 5).7 0,5 nờn 0,5 x, y, z 2; 5;7 A a b b c c a 14. a) x2 y2 3 xy Ta cú: (x y)2 0 x2 y2 2xy 3 xy 2xy xy 1 0,25 Lại cú: (x y)2 0 x2 y2 2xy 3 xy 2xy xy 3. 0,5 Suy ra 3 xy 1 . Mà x, y Z xy 3; 2; 1;0;1 0,5 Lần lượt thử ta được (x, y) ( 2;1);(1; 2);(2; 1);( 1;2);(1;1) là nghiệm của 2 phương trỡnh. (2,5đ) b) (6x 8)(6x 6)(6x 7)2 72 Đặt 6x 7 t. Ta cú (t 1)(t 1)t 2 72 (t 2 1)t 2 72 t 4 t 2 72 0 4 2 2 2 2 2 2 2 0,5 t 9t 8t 72 0 t (t 9) 8(t 9) 0 (t 9)(t 8) 0 0,5 2 5 Mà t 2 8 0 nờn t 2 9 0 t 2 9 t 3 x hoặc x . 3 3 2 5 PT cú nghiệm là x ;  . 0,25 3 3  a) Ta cú: P (x 2012)2 (x 2013)2 x2 4024x 4048144 x2 4026x 4052169 0,5 2 2 1 2x 2x 8100313 2 x 8100312,5 8100312,5 x 0,5 2 1 Vậy Min P 8100312,5 x . 0,25 2 1 1 1 1 1 1 b) Đặt P x2 x y2 y z2 z x(x 1) y(y 1) z(z 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x 1 y y 1 z z 1 x y z x 1 y 1 z 1 0,25 1 1 1 9 1 1 1 1 Áp dụng BĐT và . với a,b,c dương, dấu a b c a b c a b 4 a b 3 bằng xảy ra a b c. (2,5đ) 0,25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta cú . 1 ; . 1 ; . 1 x 1 4 x y 1 4 y z 1 4 z Bởi vậy 0,5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P . 1 1 1 x y z x 1 y 1 z 1 x y z 4 x y z Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 36
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  3 1 1 1 3 3 9 3 9 3 3 = . . . (ĐPCM) 4 x y z 4 4 x y z 4 4 4 2 0,25 E D A M Q B C P I H a) Chứng minh EA.EB = ED.EC. Chứng minh EBD đồng dạng với 0,25 ECA (g-g) 4 EB ED 0,25 - Từ đú suy ra EA.EB ED.EC EC EA b) Kẻ MI vuụng gúc với BC (I BC) . Ta cú BIM đồng dạng với BDC (g-g) BM BI 0,5 BM.BD BI.BC (1) BC BD CM CI 0,25 Tương tự: ACB đồng dạng với ICM (g-g) CM.CA CI.BC BC CA (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra BM.BD CM.CA BI.BC CI.BC BC(BI CI) BC 2 (khụng đổi) c) Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (g-g) 0,25 BH BD 2BP BD BP BD DH DC 2DQ DC DQ DC 0,25 - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (c-g-c) Bã DP Dã CQ 0,25 mà Bã DP Pã DC 90o Dã CQ Pã DC 90o CQ  PD 0,25 Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 37
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  PHềNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Mụn thi: Toỏn - Lớp 8 Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) (Gồm cú 01 trang) Ngày thi Cõu 1. (4 điểm) 2 x 4 x 2 2 x x 2 3 x Cho biểu thức : A ( ) : ( ) 2 x x 2 4 2 x 2 x 2 x 3 a) Tỡm ĐKXĐ rồi rỳt gọn biểu thức A ? b) Tỡm giỏ trị của x để A > 0? c) Tớnh giỏ trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Cõu 2. (4 điểm) a) Chứng minh rằng f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + 1 chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + 1 b) Tỡm một số chớnh phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau một đơn vị. Cõu 3. (4 điểm) a) Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn dương: x 2 4xy 5y 2 169 1 1 1 1 b) Giải cỏc phương trỡnh sau: x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 Cõu 4. (6 điểm) Cho tam giỏc ABC nhọn, cỏc đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tõm. HA' HB' HC' a) Tớnh tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phõn giỏc của tam giỏc ABC; IM, IN thứ tự là phõn giỏc của gúc AIC và gúc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB BC CA)2 c) Chứng minh rằng: 4 . AA'2 BB'2 CC'2 Cõu 5. (2 điểm) Cho a,b,c là ba số dương thoả món abc 1 . Chứng minh rằng : 1 1 1 3 . a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) 2 HẾT Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 38
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  PHềNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018 – 2019 Mụn: Toỏn - Lớp 8 Cõu Nội dung Điểm a) ĐKXĐ : 2 x 0 2 x 4 0 x 0 2 x 0 x 2 0.5đ 2 x 3 x 3x 0 2 3 2x x 0 2 x 4x2 2 x x2 3x (2 x)2 4x2 (2 x)2 x2 (2 x) 0.5đ A ( ) : ( ) . 2 x x2 4 2 x 2x2 x3 (2 x)(2 x) x(x 3) 4x2 8x x(2 x) . 0.25đ (2 x)(2 x) x 3 4x(x 2)x(2 x) 4x2 1 (2 x)(2 x)(x 3) x 3 0.5đ (4,0đ) 4x2 Vậy với x 0, x 2, x 3 thỡ A . x 3 0.25đ 4x2 0.5đ b) Với x 0, x 3, x 2 : A 0 0 x 3 x 3 0 x 3(TMDKXD) Vậy với x > 3 thỡ A > 0. 0.5đ x 7 4 c) x 7 4 0.25đ x 7 4 x 11(TMDKXD) x 3(KTMDKXD) 0.25đ Với x = 11 thỡ A = 121 2 0.5đ a) Ta cú: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + + x11 – x 0.5đ + 1 – 1 = x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + + x(x10 – 1) chia hết cho x10 – 1 0.5đ Mà x10 – 1 = (x – 1)(x9 + x8 + x7 + + x + 1) chia hết cho x9 + x8 + 0.5đ x7 + + x + 1 Suy ra f(x) – g(x) chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + 1 2 0.5đ (4,0đ) Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 39
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  Nờn f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + 1 chia hết cho g(x) = x9 + x+ x7 + + x + 1 0.5đ b) Đặt abcd k 2 ta cú ab cd 1 và k N, 32 k < 100 0.5đ 2 Suy ra : 101cd = k – 100 = (k – 10)(k + 10) 0.5đ k + 10  101 hoặc k – 10  101 Mà (k – 10; 101) = 1 k + 10  101 0.5đ Vỡ 32 k < 100 nờn 42 k + 10 < 110 k + 10 = 101 k =91 abcd = 912 = 8281 a) 2 2 2 2 2 2 2 2 x 4xy 5y 169 x 2y y 169 13 0 12 5 0.75đ 2 2 Do x, y Z y 0 y 0 bị loại, xột ba khả năng: 0.25đ x 2 y 0; y 13 x; y 26;13 0.25đ 3 x 2y 5; y 12 x; y 29;12 va 19;12 0.25đ (4,0đ) x 2y 12; y 5 x; y 22;5 va 2;5 loại 0.25đ Vậy phương trỡnh cú 4 nghiệm. (26;13), (29;12), (19;12), (22;5) 0.25đ b) x2+9x+20= ( x+4)( x+5) ; x2+11x+30 = ( x+6)( x+5) ; x2+13x+42 = ( x+6)( x+7) ; 0.5đ (0,25 điểm) ĐKXĐ : x 4;x 5;x 6;x 7 0.25đ Phương trỡnh trở thành : 1 1 1 1 (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 0.5đ 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 0.25đ x 4 x 7 18 0.25đ 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 x=-13; x=2 ( TM) Từ đú tỡm được x=-13; x=2. 0.25đ Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 40
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  A C’ B’ x H N M I A’ C B 0.5đ D 1 .HA'.BC S HA' HBC 2 4 a) S 1 AA' ; 0.5đ ABC .AA'.BC (6,0đ) 2 SHAB HC' Tương tự: ; SABC CC' 0.5đ SHAC HB' SABC BB' HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC 1 0.5đ AA' BB' CC' SABC SABC SABC 0.5đ b) Áp dụng tớnh chất phõn giỏc vào cỏc tam giỏc ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC 0.5đ ; ; IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC 0.5đ . . . . . 1 IC NB MA AC BI AI AC BI 0.5đ BI.AN.CM BN.IC.AM c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx -Chứng minh được gúc BAD vuụng, CD = AC, AD = 2CC’ 0.5đ A C’ B’ x H N M I A’ C B D - Xột 3 điểm B, C, D ta cú: BD BC + CD Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 41
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  - BAD vuụng tại A nờn: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 0.25đ 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 0.5đ (AB BC CA)2 4 AA'2 BB'2 CC'2 (Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều) 0.5đ 0.25đ Trước tiờn ta chứng minh BĐT: Với  a, b, c R và x, y, z > 0 ta cú 2 a2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z a b c Dấu “=” xảy ra 5 x y z 0.5đ (2,0đ) Thật vậy, với a, b R và x, y > 0 ta cú 2 a2 b2 a b ( ) x y x y a2 y b2 x x y xy a b 2 bx ay 2 0 (luụn đỳng) a b Dấu “=” xảy ra x y Áp dụng bất đẳng thức ( ) ta cú 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c 0.5đ x y z x y z x y z a b c Dấu “=” xảy ra x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta cú: a b c a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta cú 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.5đ 2 2 2 a b c a b c a b c (Vỡ abc 1 ) ab ac bc ab ac bc 2(ab bc ac) 1 1 1 2 a b c Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 42
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 0.5đ Mà 3 nờn a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy Dấu bằng xảy ra khi a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) 2 a=b=c=1 (đpcm) Chỳ ý: 1. Thớ sinh cú thể làm bài bằng cỏch khỏc, nếu đỳng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thớ sinh chứng minh bài hỡnh mà khụng vẽ hỡnh thỡ khụng chấm điểm bài hỡnh. 3. Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng cỏc điểm thành phần khụng làm trũn. Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 43
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  UBND HUYỆN GIA VIỄN ĐỀ THI KHẢO SÁT PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8 TẠO Mụn: Toỏn Năm học: 2014- 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt ( khụng kể thời gian giao đề) x2 2x 2x2 1 2 Cõu 1. (5 điểm) Cho biểu thức: A 2 2 3 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x a) Tỡm x để giỏ trị của A được xỏc định. Rỳt gọn biểu thức A. b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A nhận giỏ trị nguyờn. Cõu 2. (4 điểm) Giải các phương trình sau: a) x(x 2)(x2 2x 2) 1 = 0 b) y 2 4 x 2y 2 x 1 2 0 x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 c) x 2 x 8 x 4 x 6 Cõu 3. (3 điểm) 1) Tỡm số tự nhiờn n để số p là số nguyờn tố biết: p = n3 - n2 + n - 1 2) Tỡm a,b sao cho f x ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g x x2 x 2 ab 3) Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a b 0.Tính: P 4a 2 b 2 Cõu 4. (6,5 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD, trờn tia đối của tia CD lấy điểm M bất kỡ (CM 0. Chứng minh rằng: 2 2 y x y x 2) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: B xy(x 2)(y 6) 12x2 24x 3y2 18y 2045 Hết Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 44
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  UBND HUYỆN GIA VIỄN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8 PHềNG GD&ĐT GIA VIỄN Năm học 2014 - 2015 Mụn thi : TOÁN Thời gian: 150 phỳt khụng kể thời gian giao đề (Hướng dẫn này gồm 05 cõu, 05 trang) CHÚ í : - Nếu HS làm cỏch khỏc mà đỳng thỡ vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đú - Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo biểu điểm của ý đú Cõu Đỏp ỏn Biểu điểm x2 2x 2x2 1 2 Cho biểu thức: A 2 2 3 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x a) (3,5 điểm) * ĐKXĐ: 1,0 điểm 2x2 8 0 2 3 0,25 điểm Giỏ trị của A được xỏc định 8 4x 2x x 0 x 0 2x2 8 x2 4 2 2 x 2 4(2 x) x (2 x) 0 (2 x)(4 x ) 0 0,5 điểm x 0 x 0 x 0 - ĐKXĐ : x 2; x 0 0,25 điểm (Nếu HS chỉ nờu ĐKXĐ: cho 0,25 điểm) * Rỳt gọn : 3,0 điểm x2 2x 2x2 1 2 Ta cú A 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x 1 x2 2x 2x2 x2 x 2 (5 điểm) 2 2 2 2(x 4) 4(2 x) x (2 x) x 0,75 điểm (x 2 2x)(2 x) 4x 2 x 2 x 2x 2 . 2(x 2 4)(2 x) x 2 2x 2 x 3 4x 2x 2 4x 2 x(x 1) 2(x 1) . 0,75 điểm 2(x 2 4)(2 x) x 2 x(x2 4) (x 1)(x 2) x 1 . 0,75 điểm 2(x2 4)(2 x) x2 2x 0,75 điểm b) (1,0 điểm) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A nhận giỏ trị nguyờn. x 1 * Z x +1  2x 2x + 2  2x Mà 2x  2x 2x 0,5 điểm 2  2x 1  x x = 1 hoặc x = -1 0,25 điểm * Ta thấy x = 1 hoặc x = -1 (TMĐKXĐ) Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 45
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  x 1 Vậy A= Z x = 1 hoặc x = -1 2x 0,25 điểm Giải các phương trình sau: a) (1,5 điểm) x(x 2)(x2 2x 2) 1 = 0 (x2 + 2x) (x2 + 2x + 2) + 1 = 0 0,5 điểm (x2 + 2x)2 + 2(x2 + 2x) + 1 = 0 (x2 + 2x + 1)2 = 0 0,5 điểm (x+1)4 = 0 x + 1 = 0 x = -1 0,25 điểm Vậy PT đó cho cú 1 nghiệm duy nhất x = -1 0,25 điểm b) (1,5 điểm) y 2 4 x 2y 2 x 1 2 0 y2 2y 1 (2x )2 2.2x 1 0 0,5 điểm 2 x 2 0,25 điểm (y 1) (2 1) 0 0,25 điểm y + 1 = 0 hoặc 2x 1 = 0 y = -1 hoặc x = 0 0,25 điểm Vậy PT đó cho cú 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (0; -1) 0,25 điểm c) (1,0 điểm) 2 x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 (1) (4 điểm) x 2 x 8 x 4 x 6 - ĐKXĐ: x ≠ -2; x ≠ -4; x ≠ -6; x ≠ -8 0,25 điểm (x 2)2 2 (x 8)2 8 (x 4)2 4 (x 6)2 6 - PT (1) x 2 x 8 x 4 x 6 2 8 4 6 x 2 x 8 x 4 x 6 x 2 x 8 x 4 x 6 2 4 6 8 0,25 điểm x 2 x 4 x 6 x 8 2x 8 4x 8 6x 48 8x 48 (x 2)(x 4) (x 6)(x 8) 2x 2x 0,25 điểm (x 2)(x 4) (x 6)(x 8) x = 0 hoặc (x 2)(x 4) =(x 6)(x 8) 0,25 điểm x = 0 hoặc x2 + 6x + 8 = x2 + 14x + 48 x = 0 hoặc 8x = - 40 x = - 5 (thỏa món ĐKXĐ) Vậy PT đó cho cú 2 nghiệm : x1 = 0; x2 = - 5 1) (1,0 điểm) Tỡm số tự nhiờn n để số p là số nguyờn tố biết: p = n3 - n2 + n - 1 - HS biến đổi được : p = (n2 + 1)(n - 1) 0,25 điểm - Nếu n = 0; 1 khụng thỏa món đề bài - Nếu n = 2 thỏa món đề bài vỡ p = (22 + 1)(2 - 1) = 5 0,25 điểm - Nếu n > 3 khụng thỏa món đề bài vỡ khi đú p cú từ 3 ước trở lờn là 1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1 0,25 điểm - Vậy n = 2 thỡ p = n3 - n2 + n - 1 là số nguyờn tố 0,25 điểm Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 46
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  3 2) (1,0 điểm) Tỡm a,b sao cho f x ax3 bx2 10x 4 chia hết (3 điểm) cho đa thức g x x2 x 2 2 * g x x x 2 = (x -1)(x - 2) 0,25 điểm 3 2 * f x ax bx 10x 4  g x f x ax3 bx2 10x 4 = (x – 1)(x - 2).Q(x) (1) (mọi x R) 0,25 điểm - Thay x1 = 1, x2 = 2 vào (1) ta cú: a + b + 6 = 0 và 8a + 4b + 16 = 0 0,25 điểm a = 2 và b = -8 0,25 điểm 3 2 Vậy f x ax bx 10x 4  g x a = 2 và b = -8 3) (1,0 điểm) ab Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a b 0.Tính: P 4a 2 b 2 - HS biến đổi được : 4a2 + b2 = 5ab (4a - b)(a -b) = 0 b = 4a hoặc b = a 0,25 điểm - Mà 2a b 0 4a > 2b > b nờn a = b 0,25 điểm a2 1 - Ta cú : =P 4a2 a2 3 0,25 điểm 1 - Vậy 4a2 + b2 = 5ab và 2a b 0 thỡ P 3 0,25 điểm - Hỡnh vẽ 0,25 điểm A B K H P N D C M 4 a) (2,25 điểm) Chứng minh: DH vuụng gúc với BM (6,5 điểm) - HS CM : CD = BC, PC = CM, DCB = BCM = 900 0,75 điểm 0,75 điểm - CM: DPC = BMC (cgc) - Chứng minh được BHP = 900 0,75 điểm PC PH KP b) (2,0 điểm) Tớnh Q = BC DH MK - HS CM : MP  BD 0,5 điểm 1 .DM .PC PC S - 2 PDM ; BC 1 S .DM .BC BDM 0,5 điểm 2 Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 47
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  1 1 .DB.KP .DB.KP PH S PH S Tương tự : 2 PBM 2 PBD DH 1 S DH 1 S .DB.MK BDM .DB.MK BDM 0,5 điểm 2 2 S S S Q = PDM PBM PBD 1 S BDM 0,5 điểm c) (2,0 điểm) Chứng minh: MP . MK + DK . BD = DM2 - CM: MCP  MKD (g.g) 0,5 điểm MP . MK = MC . MD (1) 0,25 điểm - CM: DBC  DKM (g.g) 0,5 điểm DK . BD = DC. DM (2) 0,25 điểm - Từ (1) và (2) MP . MK + DK . BD = DM .(MC + DC) 0,25 điểm MP . MK + DK . BD = DM2 0,25 điểm 1) (0,75 điểm) x y - HSCM: ≥ 2 với mọi x, y > 0 0,25 điểm y x x y x y -2 ≥ 0; - 1 ≥ 1 y x y x x y x y ( -2)( -1) ≥ 0 y x y x 0,25 điểm x2 y2 x y x y 2 ( ) 2( ) 2 0 y2 x2 y x y x x 2 y 2 x y 4 3 2 2 y x y x Dấu “=” xảy ra x = y > 0 0,25 điểm 2) (0,75 điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 5 B xy(x 2)(y 6) 12x2 24x 3y2 18y 2045 (1,5 điểm) *) x2 - 2x +1 = (x-1)2 ≥ 0 x2 -2x +3 ≥ 2 mọi x R (1) 0,25 điểm y2 + 6y +9 = (y+3)2 ≥ 0 y2 + 6y + 12 ≥ 3 mọi y R (2) 2 2 + B xy(x 2)(y 6) 12x 24x 3y 18y 2045 0,25 điểm = (x2 - 2x)( y2 + 6y) + 12(x2 - 2x) + 3(y2 + 6y) + 36 + 2009 = (x2 - 2x)( y2 + 6y + 12) + 3(y2 + 6y +12) + 2009 = (x2 - 2x + 3)( y2 + 6y + 12) + 2009 (3) 0,25 điểm + Từ (1) ; (2) và (3) B ≥ 2.3 + 2009 B ≥ 2015 *) B = 2015 x = 1 và y = -3 *) Min B = 2015 x = 1 và y = - 3 Hết Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 48
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Mụn: Toỏn 8 Thời gian làm bài: 120 phỳt Đề gồm 01 trang Cõu 1 (2,0 điểm): Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử: a) x 2 x 6 b) x3 + y3 + z3 – 3xyz Cõu 2 (2,0 điểm): a) Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tớnh giỏ trị của biểu thức N = a4 + b4 + c4 b) Tỡm GTNN: x 2 5y 2 2xy 4x 8y 2015 Cõu 3 (2,0 điểm): a) Tỡm số tự nhiờn n để số p là số nguyờn tố biết: p = n3 - n2 + n - 1 100 55 2 2 b) Tỡm đa thức dư của phộp chia đa thức f(x) = x + x + x + x + 5 cho đa thức x - 1 Cõu 4 (3,0 điểm): Cho hỡnh vuụng ABCD, M là điểm bất kỡ trờn cạnh BC. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C dựng hỡnh vuụng AMHN.Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH ở E, cắt DC ở F. a) Chứng minh rằng: BM = ND. b) EMFN là hỡnh gỡ? c) Chứng minh: DF + BM = FM và chu vi tam giỏc MFC khụng đổi khi M thay đổi vị trớ trờn BC. Cõu 5 (1,0 điểm): Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: B xy(x 2)(y 6) 12x2 24x 3y2 18y 2045 Hết Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 49
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH HƯỠNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA HSG MễN: Toỏn 8 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Cõu Đỏp ỏn Điểm 1 a. (1,0 điểm) (2,0 điểm) a) x 2 x 6 (1 điểm) = x 2 2x 3x 6 0,5 = x(x 2) 3(x 2) 0,25 = (x 3)(x 2) 0,25 b. (1,0 điểm) x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 – 3xy(x + y) + z3 – 3xyz 0,25 = (x + y + z)3 – 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z) 0,25 0,25 = (x + y + z)[(x + y + z)2 – 3z(x + y) – 3xy] 0,25 = (x + y + z)[x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx – 3zx – 3zy – 3xy] = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) 2 a. (1,0 điểm) (2,0 điểm) Từ a2 + b2 + c2 = 14 (a2 + b2 + c2)2 = 196 4 4 4 2 2 2 2 2 2 a + b + c = 196 – 2(a b + b c + c a ) 0,25 Ta lại cú: a + b + c = 0 (a + b + c)2 = 0 a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 (ab + bc + ca) = -7 2 (ab + bc + ca) = 49 0,25 a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c) = 49 a2b2 + b2c2 + c2a2 = 49 0,25 Do đú N = a4 + b4 + c4 = 196 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 196 – 2.49 = 98 0,25 b. (1 điểm) P = x 2 5y 2 2xy 4x 8y 2015 P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015 0,25 P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 2010 0,25 P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 2010 0,25 3 1 => Giỏ trị nhỏ nhất của P = 2010 khix ; y 0,25 2 2 3 a) (1,0 điểm) (2,0 điểm) p = n3 - n2 + n - 1 0,25 - HS biến đổi được : p = (n2 + 1)(n - 1) 0,25 - Nếu n = 0; 1 khụng thỏa món đề bài 0,25 - Nếu n = 2 thỏa món đề bài vỡ p = (22 + 1)(2 - 1) = 5 Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 50
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  - Nếu n > 3 khụng thỏa món đề bài vỡ khi đú p cú từ 3 ước trở lờn 0,25 là 1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1 - Vậy n = 2 thỡ p = n3 - n2 + n - 1 là số nguyờn tố b) (1,0 điểm) vỡ đa thức chia coa bậc là 2 nờn đa thức dư cú dạng ax + b. Gọi thương của phộp chia f(x) cho x2 -1 là Q(x) 0,25 f(x) = (x2-1).Q(x) +ax + b Thay x = 1 a + b = 9 (1) 0,25 Thay x = -1 -a + b = 5 (2) 0,25 Từ (1), (2) a = 2, b= 7 Vậy đa thức dư là 2x + 7 0,25 4 A B (3,0 điểm) 1 2 E d M 0,25 3 1 O 2 1 2 N D F C H a. (0,75 điểm) a) ABCD là hỡnh vuụng ( gt) 0 A1 + MAD = 90 ( gt) (1) Vỡ AMHN là hỡnh vuụng ( gt) 0 A2 + MAD = 90 (2) Từ (1) và (2) suy ra: A1 = A2 0,25 Ta cú: AND AMB ( c.g.c) 0,25 0 0,25 B = D1 = 90 và BM= ND b. (1,0 điểm) Gọi O là giao điểm của hai đường chộo AH và MN của hỡnh vuụng AMHN O là tõm đối xứng của hỡnh vuụng AMHN 0,25 AH là đường trung trực của đoạn MN, mà E;F AH EN = EM và FM = FN (3) 0,25 Tam giỏc vuụng EOM = tam giỏc vuụng FON ( OM= ON; N1=M3) O1 = O 2 Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 51
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  EM = NF (4) 0,25 Từ (3) và (4) EM=NE=NF=FM MENF là hinh thoi (5) 0,25 c. (1,0 điểm) Từ (5) suy ra: FM = FN = FD +DN 0,25 Mà DN = MB ( cmt) MF=DF+BM 0,25 Gọi chu vi tam giỏc MCF là p và cạnh hỡnh vuụng ABCD là a P = MC + CF + MF = MC +CF +BM + DF (Vỡ MF = DF+MB) = (MC + MB) + ( CF + FD) = BC + CD = a + a = 2a 0,25 Hỡnh vuụng ABCD cho trước a khụng đổi p khụng đổi 0,25 5 *) x2 - 2x +1 = (x-1)2 ≥ 0 x2 -2x +3 ≥ 2 mọi x R (1) (1,0 điểm) y2 + 6y +9 = (y+3)2 ≥ 0 y2 + 6y + 12 ≥ 3 mọi y R (2) 0,25 + B xy(x 2)(y 6) 12x2 24x 3y2 18y 2045 = (x2 - 2x)( y2 + 6y) + 12(x2 - 2x) + 3(y2 + 6y) + 36 + 2009 = (x2 - 2x)( y2 + 6y + 12) + 3(y2 + 6y +12) + 2009 = (x2 - 2x + 3)( y2 + 6y + 12) + 2009 (3) 0,25 + Từ (1) ; (2) và (3) B ≥ 2.3 + 2009 B ≥ 2015 0,25 *) B = 2015 x = 1 và y = -3 *) Min B = 2015 x = 1 và y = - 3 0,25 * Ghi chỳ: HS làm cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 52
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2013-2014 MễN THI : TOÁN 8 Ngày thi: 12/4/2014 Thời gian làm bài: 120 phỳt. Cõu 1: (4 điểm). 2 2 x 1 x 1 Cho biểu thức: A . x 1 : 3x x 1 3x x a) Rỳt gọn biểu thức A b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A nhận giỏ trị nguyờn Cõu 2: (4 điểm). 3 2 2 a) Chứng minh rằng A = n (n 7) 36n 7 với n Z . b) Cho P = n4 + 4. Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố. Cõu 3: (4 điểm). 1 1 1 1 a) Giải phương trỡnh : x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giỏc . Chứng minh rằng : a b c A = 3 b c a a c b a b c Cõu 4: (6 điểm). Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB . Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ hai tia Ax và By cựng vuụng gúc với AB . Trờn tia Ax lấy điểm C (C khỏc A). Từ O kẻ đường thẳng vuụng gúc với OC, đường thẳng này cắt By tại D. Từ O hạ đường vuụng gúc OM xuống CD (M thuộc CD) a) Chứng minh OA2 = AC.BD b) Chứng minh tam giỏc AMB vuụng c) Gọi N là giao điểm của BC và AD . Chứng minh MN//AC Cõu 5: (2 điểm). Cho a, b, c là cỏc số thực dương thoả món a + b +c = 1. Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 . b c c a a b Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 53
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Kè THI NGÀY 12/4/2014 MễN THI : TOÁN 8 Ghi chỳ: Đỏp ỏn chỉ là sơ lược từng bước giải và cỏch cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yờu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, hỡnh vẽ sai khụng chấm điểm. Nếu HS giải cỏch khỏc đỳng thỡ chấm điểm từng phần tương ứng. HƯỚNG DẪN CÁC BƯỚC LÀM ĐIỂM Cõu 1 2 2 x 1 x 1 a) A . x 1 : 3x x 1 3x x 0,5đ 2 2 (x 1) 3x(x 1) x 1 A . : 0,5đ 3x x 1 3x x 2 2(1 3x) x A . 3x 3x x 1 0,5đ x 2x A 2. x 1 x 1 0,5đ 2x 2 b) Với x 0; x 1 Ta cú A 2 0,5đ x 1 x 1 Để A Z thỡ (x-1) phải là ước của 2 0,5đ Suy ra x 1 1; 2 0,5đ Xột từng trường hợp tỡm x Đối chiếu điều kiện tỡm được x = 2 hoặc x = 3 thỏa món và kết luận 0,5đ Cõu 2 3 2 2 a) Ta cú: A = n (n 7) 36n 0,5đ A n n(n2 7) 6 n(n2 7) 6 n(n3 7n 6)(n3 7n 6) 3 3 2 2 n(n n 6n 6)(n n 6n 6) n n(n 1) 6(n 1) n(n 1) 6(n 1) 0,5đ 2 2 n(n 1) n n 6 n 1 n n 6 n n 1 n 2 n 3 n 1 n 2 n 3 0,5đ Do đú A là tớch của 7 số nguyờn liờn tiếp => A  7 với n Z . 0,5đ b) b) P = n4 + 4 = n4 + 4n2 + 4 - 4n2 = (n2 + 2)2 - (2n)2 0,5đ = (n2 - 2n + 2)(n2 + 2n + 2) = [(n - 1)2 + 1][(n + 1)2 + 1]. Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 54
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  Vì n là số tự nhiên nên (n + 1)2 + 1 2; Nh- vậy muốn P là số nguyên tố thì 0,5đ phải có (n - 1)2 + 1 = 1 hay (n - 1)2 = 0, suy ra n = 1. 0,5đ Khi đó P = 5 là số nguyên tố. 0,5đ Cõu 3: a) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; 2 x +11x+30 =(x+6)(x+5) ; 0,5đ x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; TXĐ : x 4; x 5; x 6; x 7 Phương trỡnh trở thành : 1 1 1 1 (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 0,5đ 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) 0,5đ (x+13)(x-2)=0 Từ đú tỡm được x=-13; x=2 (thỏa món) 0,5đ Kết luận b) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0. Ta cú x, y, z >0 y z x z x y 0,5đ Từ đú suy ra a=;b ;c ; 2 2 2 y z x z x y Thay vào ta được A= 0,5đ 2x 2y 2z 1 y x x z y z ( ) ( ) ( ) 2 x y z x z y 0,5đ 1 Từ đú suy ra A (2 2 2) hay A 3 2 0,5đ Cõu 4 (6 điểm) Hỡnh vẽ Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 55
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  D M C N A B O a) Xột ACO và BOD cú àA Bà = 900 ; 0,5đ Cã OA Oã DB (cựng phụ với Dã OB ) Nờn ACO đồng dạng với BOD 0,5đ AO BD => => AO.BO = AC.BD AC BO 0,5đ mà AO=BO Nờn AO2 = AC.BD 0,5đ b) Xột CMO và OMD cú 0,5đ Cã MO = Oã MD = 900 Oã CM Dã OM (cựng phụ với Cã OM ) CO OM => CMO đồng dạng với OMD => (1) 0,5đ OD MD CO AO Mà ACO đồng dạng với BOD => OD BD CO OB => (2) (Do AO = OB) 0,5đ OD BD OM OB Từ (1) và (2) ta cú => tam giỏc OMD và tam giỏc OBD đồng MD BD dạng 0,5đ => Mã OD Bã OD => OMD OBD (cạnh huyền , gúc nhọn) => OM = OB = OA suy ra tam giỏc AMB vuụng tại M c) Ta cú AC // BD (cựng vuụng gúc với AB) 0,5đ CN AC => NB BD Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 56
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  mà BD = MD (hai cạnh tương ứng của hai tam giỏc bằng nhau) 0,5đ Tương tự ta chứng minh AC = CM 0,5đ CN CM Nờn => MN// BD//AC 0,5đ BN DM Cõu 5: - Nhận xột: Cú a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a) Tương tự cú b + ca = (b + a)(b + c) 0,5đ c + ab = (c + a)(c + b) (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) do đú: VT b c c a a b 0,5đ ỏp dụng bất đẳng thức Cụ-si ta cú (a b)(a c) (b a)(b c) 2(a b) b c c a (a b)(a c) (c a)(c b) 0,5đ 2(a c) b c a b (b a)(b c) (c a)(c b) 2(b c) a c a b Vậy 2. VT 4(a b c) 4 hay VT 2 ĐPCM Đẳng thức xảy ra  a = b 1 = c = 0,5đ 3 Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 57
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VềNG HUYỆN ĐỀ CHÍNH Mụn thi: TOÁN LỚP 8 THỨC Thời gian: 150 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) Bài 1. (3.5 điểm) 1 3 x 2 1 Cho biểu thức A : 2 2 3 x 3x 27 3x x 3 a) Rỳt gọn A. b) Tỡm x để A < -1. c) Với giỏ trị nào của x thỡ A nhận giỏ trị nguyờn. Bài 2. (3.5 điểm) a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc. Chứng minh rằng: 2 2 2 a + b +c < 2(ab + bc + ca) 1 6y 2 b) Giải phương trỡnh: 3y 2 10y 3 9y 2 1 1 3y Bài 3. (2 điểm) 3x2 6x 17 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A x2 2x 5 Bài 4. (3 điểm) Một người đi xe đạp, một người đi xe mỏy và một người đi ụ tụ cựng đi từ A đến B, khởi hành lần lượt lỳc 7 giờ, 8 giờ, 9 giờ với vận tốc theo thứ tự bằng 10 km/h, 30 km/h, 50 km/h. Hỏi đến mấy giờ thỡ ụ tụ ở vị trớ cỏch đều xe đạp và xe mỏy? Bài 5. (4.0 điểm) Gọi M là điểm bất kỳ trờn đoạn thẳng AB. Vẽ về một phớa của AB cỏc hỡnh vuụng AMCD, BMEF. a) Chứng minh rằng BE//MD, từ đú suy ra AE  BC . b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng ba điểm D, H, F thẳng hàng. c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luụn đi qua một điểm cố định khi M chuyển động trờn đoạn thẳng AB cố định. Bài 6. (4.0 điểm) Cho hỡnh thoi ABCD cú cạnh AB = a, À 60o . Một đường thẳng bất kỡ đi qua C cắt tia đối của cỏc tia BA và DA theo thứ tự tại M và N. a) Chứng minh rằng tớch BM.DN cú giỏ trị khụng đổi. b) Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tớnh số đo gúc BKD. Hết Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 58
PHềNG Nguyễn Văn GDHiệp – ĐT TRÀ Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  CÚHƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI VềNG HUYỆN MễN: TOÁN LỚP 8 Bài Đỏp ỏn Điểm 1.a ĐK: x 0; x 3 0.25 (1.5đ) 2 2 1 3 x 1 x(x 3) 9 x 3(3 x) A : : 2 2 0.5 3 x 3x 27 3x x 3 3x(x 3) 3(3 x)(3 x) x(x 3) 9 3(3 x)(3 x) x2 3x 9 3(x 3)(x 3) A   0.5 3x(x 3) x2 3(3 x) 3x(x 3) x2 3x 9 x 3 A 0.25 x 1.b x 3 Với x 0 , ta cú: A < -1 1 0.25 (1,0đ) x 3 1 1 0.25 x 3 0 0.25 x x 0 0.25 1.c x 3 3 Ta cú A = 1 (1,0đ) x x 3 A nhận giỏ trị nguyờn khi nhận giỏ trị nguyờn 0.25 x x là ước của 3 0.25 x 1; x 3 0.5 2.a a, b, c là ba cạnh của một tam giỏc a < b+c, b < a+c, c < a+b 0.25 (1,5đ) Suy ra: a2 < ab + ac 0.25 b2 < ab + bc 0.25 c2 < ac + bc 0.25 Cộng từng vế cỏc bất đẳng thức trờn, ta cú : a2+b2+c2 < ab+ac+ab+bc+ac+bc a2+b2+c2 < 2(ab + bc + ca) 0.5 2.b 1 6y 2 Giải phương trỡnh: (1) (2.0đ) 3y 2 10y 3 9y 2 1 1 3y 2 2 Phõn tớch: 3y – 10y + 3 = (3y – 1)(y-3) ; 9y – 1 = (3y – 1)(3y + 1) 1 ĐKXĐ: y 3; y 0.5 3 1 6y 2 (1) 0.5 3y – 1 y 3 3y – 1 3y 1 3y 1 3y + 1 = 6y(y – 3) – 2(y - 3)(3y + 1) 0.5 y = 1 (TMĐK) 0.25 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S 1 0.25 3 3x2 6x 17 3(x2 2x 5) 2 2 A = 3 0.5 (2.0đ) x2 2x 5 x2 2x 5 x2 2x 5 Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 59
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  Bài Đỏp ỏn Điểm 3 2 A đạt GTLN lớn nhất x2 – 2x+5 nhỏ nhất 0.5 (2.0đ) x2 2x 5 Ta cú: x2 – 2x + 5 = (x - 1)2 + 4 4 0.5 1 Dấu “=” xảy ra khi x = 1, khi đú A 3 0.25 2 1 Vậy maxA 3 khi x = 1 0.25 2 4 Gọi x(h) là số giờ kể từ lỳc ụ tụ khởi hành đến khi ụ tụ ở vị trớ cỏch đều 0.5 (3.0đ) xe đạp và xe mỏy (x > 0) Quóng đường người đi xe đạp đi được: (x+2).10 (km) 0.25 Quóng đường ụ tụ đi được: 50x (km) 0.25 Quóng đường người đi xe mỏy đi được: (x+1).30 (km) 0.25 Ta cú phương trỡnh: 50x - (x+2).10 = (x+1).30 – 50x 0.5 5 Giải ra: x (TMĐK) 0.5 6 5 Sau khi khởi hành giờ (= 50’) thỡ ụ tụ cỏch đều xe đạp và xe mỏy 0.25 6 Vậy đến 9 h 50’ thỡ ụ tụ ở vị trớ cỏch đều xe đạp và xe mỏy 0.5 5.a D C Xột tam giỏc ABC cú: (1.0đ) . CM AB (Do AMCD là hv) (1) 0.25 F E . Ã MD Mã BE 45o (t/c đ.chộo hv) BE//MD 0.25 A M B BE  AC (Do MD AC) (2) 0.25 Từ (1), (2) E là trực tõm ABC AE BC 0.25 5.b D C .Gọi O là giao điểm của AC và DM (2.0đ) H o AC F Do Ã HC 90 (cm a) nờn OH 0.25 O E 2 DM O' OH 0.25 A M B 2 MHD cú trung tuyến OH bằng nửa cạnh DM 0.5 nờn Dã HM 90o (3) MF .Gọi O’ là giao điểm của BE và MF, C/m tương tự cú O'H 0.25 2 Fã HM 90o (4) 0.5 Từ (3) và (4) suy ra D,H,F thẳng hàng 0.25 5.c D C Gọi I là giao điểm của DF và AC. I (1.0đ) H .Kẻ IK AB thỡ IK//AD//BF (5) 0.25 F O E . DMF cú: OI//MF (do Cã AM Fã MB ) O' OD = OM (t/c đường chộo hv) A K M B Nờn I là trung điểm DF (6) 0.25 Từ (5), (6) suy ra K là trung điểm của AB Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 60
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  Bài Đỏp ỏn Điểm 5.c AD BF AM MB AB Và IK 0.25 (1.0đ) 2 2 2 Do đú I là điểm cố định (I nằm trờn đường trung trực AB, cỏch AB một AB khoảng bằng ) 2 Vậy khi M chuyển động trờn đoạn thẳng AB thỡ DF luụn đi qua 1 điểm 0.25 cố định. 6.a M Cú BC//AD và AB//DC (t/c hỡnh thoi) 0.25 (2.0đ) 1 Nờn Mã BC À Cã DN (Cỏc cặp gúc đv) 0.5 B Bã CM Dã NC (gúc đồng vị) 0.5 a 1 Suy ra MBC : CDN (g g) 0.25 A 60° C BM BC K 0.25 DC DN D BM.DN BC.DC a 2 (Khụng đổi) 0.25 N 6.b . BCD đều (Do BC = CD và Cà 60o ) nờn BD = DC = BC 0.25 (2.0đ) BM BC BM DB Ta cú: (cm a) 0.25 DC DN BD DN Lại cú Mã BD Bã DN 120o (kề bự với cỏc gúc của tam giỏc đều ABD) 0.25 Suy ra BMD : DBN (c g c) 0.25 Mà 1 Bà 1 0.25 . BKD và MBD cú: Mà 1 Bà 1 (cmt) ; Bã DM là gúc chung 0.25 BKD : MBD (g g) 0.25 Bã KD Mã BD 120o 0.25 (Mọi cỏch giải khỏc nếu đỳng và lập luận chặt chẽ đều được hưởng trọn số điểm) Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 61
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 1. x2 7x 6 2. x4 2008x2 2007x 2008 Bài 2: (2điểm) Giải phương trình: 1. x2 3x 2 x 1 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2. 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x Bài 3: (2điểm) 1. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64 6 4 Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó. 2. Tìm số dư trong phép chia của biểu thức x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho đa thức x2 10x 21 . Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m AB . 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM GB HD 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: . BC AH HC Hết UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đáp án và thang điểm: Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 62
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  Câu Điểm Nội dung Bài 1 2,0 1.1 1. (0,75 điểm) 0.5 x2 7x 6 x2 x 6x 6 x x 1 6 x 1 x 1 x 6 0,5 1.2 (1,25 điểm) x4 2008x2 2007x 2008 x4 x2 2007x2 2007x 2007 1 0,25 2 x4 x2 1 2007 x2 x 1 x2 1 x2 2007 x2 x 1 0,25 x2 x 1 x2 x 1 2007 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2008 0,25 2. 2,0 2.1 x2 3x 2 x 1 0 (1) 2 + Nếu x 1 : (1) x 1 0 x 1 (thỏa mãn điều kiện x 1 ). 0,5 + Nếu x 1 : (1) x2 4x 3 0 x2 x 3 x 1 0 x 1 x 3 0 x 1; x 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại) 0,5 Vậy: Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là x 1 . 2.2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 (2) x x x x Điều kiện để phương trình có nghiệm: x 0 2 2 1 2 1 2 1 1 2 (2) 8 x 4 x 2 x 2 x x 4 0,25 x x x x 2 1 2 1 2 2 8 x 8 x 2 x 4 x 4 16 0,5 x x x 0 hay x 8 và x 0 . 0,25 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x 8 Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 63
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  3 2.0 3.1 Gọi số cần tìm là ab 10a b (a, b là số nguyên và a khác 0) Theo giả thiết: 10a b a b là số nguyên, nên ab và b là các số chính phương, do đó: b chỉ có thể là 1 hoặc 4 hoặc 9 Ta có:10a b a b 10a b a2 2a b b 2a 5 b a2 2 5 b a (vì a 0 ) 0,5 Do đó a phải là số chẵn: a 2k , nên 5 b k Nếu b 1 a 8 81 8 1 9 (thỏa điều kiện bài toán) Nếu b 4 a 6 64 6 4 8 (thỏa điều kiện bài toán) 0,5 Nếu b 9 a 4 49 4 9 7 (thỏa điều kiện bài toán) 3.2 Ta có: P(x) x 2 x 4 x 6 x 8 2008 x2 10x 16 x2 10x 24 2008 0,5 Đặt t x2 10x 21 (t 3; t 7) , biểu thức P(x) được viết lại: P(x) t 5 t 3 2008 t 2 2t 1993 Do đó khi chia tcho2 2tt ta 1có99 số3 dư là 1993 0,5 4 4,0 4.1 + Hai tam giác ADC và BEC có: Góc Cà chung. CD CA (Hai tam giác CE CB vuông CDE và CAB đồng 1,0 dạng) Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). Suy ra: Bã EC ãADC 1350 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết). ã 0 Nên AEB 45 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra: 0,5 BE AB 2 m 2 4.2 BM 1 BE 1 AD Ta có:   (do BEC : ADC ) 0,5 BC 2 BC 2 AC mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H) BM 1 AD 1 AH 2 BH BH 0,5 nên   (do ABH : CBA ) BC 2 AC 2 AC AB 2 BE Do đó BHM : BEC (c.g.c), suy ra: Bã HM Bã EC 1350 ãAHM 450 0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC. GB AB AB ED AH HD Suy ra: , mà ABC : DEC ED // AH 0,5 GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do đó: GC HC GB GC HD HC BC AH HC 0,5 Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 64
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  PHềNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI KĐCL MŨI NHỌN ĐỀ CHÍNH THỨC Mụn thi: TOÁN 8 (Đề gồm 1 trang) Thời gian: 90 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) Cõu 1. a. Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử: x2 - 2xy + y2 + 4x - 4y - 5 b. Chứng minh n N * thỡ n3 n 2 là hợp số. c. Cho hai số chớnh phương liờn tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đú cộng với tớch của chỳng là một số chớnh phương lẻ. Cõu 2. x 1 x 2 x 3 x 2012 a. Giải phương trỡnh: 2012 2012 2011 2010 1 b. Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. Tớnh S = a2 + b 2012 + c 2013. Cõu 3. a. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x2 + 3y2 + 4xy - 8x - 2y +18 b. Cho a; b; c là ba cạnh của tam giỏc. ab bc ac Chứng minh: a b c a b c a b c a b c Cõu 4. Cho hỡnh vuụng ABCD cú cạnh bằng a. Gọi E; F;G;H lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB, BC; CD; DA. M là giao điểm của CE và DF. a. Chứng minh: Tứ giỏc EFGH là hỡnh vuụng. b. Chứng minh DF  CE và MAD cõn. c .Tớnh diện tớch MDC theo a. Hết./. Họ và tờn: Số bỏo danh: Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 65
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  PHềNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐÁP ÁN THI KĐCL MŨI NHỌN Mụn thi: TOÁN 8 Thời gian: 90 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) Cõu í Nội dung Điể m 2 2 2 a. 1 = (x - y) +4(x - y) - 5 = (x - y) + 4(x - y) + 4 -9 0.5 2 2 điểm = (x - y + 2) - 3 = ( x - y + 5)(x - y -1) 0,5 3 3 2 b. 1 Ta cú: n + n + 2 = n + 1+ n+1= (n + 1)( n - n + 1) + (n + 1) 0.25 điểm =(n+1)( n2 - n + 2) 0,25 * 0.5 Cõu 1 Do n N nờn n + 1 > 1 và n2 - n + 2 >1 Vậy n3 + n + 2 là hợp số 2 2 3 c. 1 Gọi hai số lần lượt là a và (a+1) 0.25 điểm điểm Theo bài ra ta cú: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 1 0.25 = (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + 1 0.25 = ( a2 + a + 1)2 là một số chớnh phương lẻ vỡ a2 + a = a(a + 1) là số 0.25 chẵn a2 + a + 1 là số lẻ a. Phương trỡnh đó cho tương đương với: x 1 x 2 x 3 x 2012 1.5 1 1 1 1 2012 2012 0.5 2012 2011 2010 1 điểm x 2013 x 2013 x 2013 x 2013 0. 5 0 2012 2011 2010 1 Cõu 2 1 1 1 1 (x 2013)( ) 0 x = 2013 0. 5 2 2012 2011 2010 1 b. a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1 a; b; c  1;1 điểm 0.5 a3 + b3 + c3 - (a2 + b2 + c2) = a2(a - 1) + b2(b - 1) + c2(c - 1) 0 0.25 3 3 3 điểm a + b + c 1 a;b;c nhận hai giỏ trị là 0 hoặc 1 b2012 = b2; c2013 = c2; S = a2 + b 2012 + c 2013 = 1 0.25 2 2 2 a. 1 Ta cú: A = 2(x + 2xy + y ) + y -8x -2y + 18 0.25 2 2 điểm A = 2[(x+y) - 4(x + y) +4] + ( y + 6y +9) + 1 0.25 2 2 A = 2(x + y - 2) + (y+3) + 1 1 0.25 Vậy minA = 1 khi x = 5; y = -3 0.25 Cõu 3 b. vỡ a; b; c là ba cạnh của tam giỏc nờn: a + b - c > 0; - a + b + c > 0; 1.5 0.5 a - b + c > 0. Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0; z = a + b - c >0 điểm y z x z x y điểm ta cú: x + y + z = a + b + c; a ;b ;c 2 2 2 0.25 ab bc ac (y z)(x z) (x z)(x y) (x y)(y z) a b c a b c a b c 4z 4x 4y Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 66
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  1 xy yz xz 1 1 xy yz xz ( 3x 3y 3z) 3(x y z) (2 2 2 ) 4 z x y 4 2 z x y 1 y x z x y z z x y 3(x y z) ( ) ( ) ( ) 4 2 z x 2 z y 2 y x 1 3(x y z) x y z x y z 0.25 4 Mà x + y + z = a + b + c nờn suy ra điều phải chứng minh Cõu 4 Hỡn A E B 3.5 h vẽ điểm 0. 5 đ 0.5 F H M N C D G a. Chứng minh: EFGH là hỡnh thoi 0. 5 1.25 Chứng minh cú 1 gúc vuụng. 0. 5 điểm Kết luận Tứ giỏc EFGH là Hỡnh vuụng 0.25 b. 1 VBEC VCFD(c.g.c) Eã CB Fã DC mà VCDF vuụng tại C 0.25 điểm Cã DF Dã FC 900 Dã FC Eã CB 900 VCMF vuụng tại M 0.25 Hay CE  DF. Gọi N là giao điểm của AG và DF. Chứng minh tương tự: AG  DF 0.25 GN//CM mà G là trung điểm DC nờn N là trung điểm DM. Trong MAD cú AN vừa là đường cao vừa là trung tuyến MAD cõn tại 0.25 A. c. CD CM 0.75 VCMD : VFCD(g.g) 0.25 FD FC điểm 2 2 SVCMD CD CD Do đú : SVCMD .SVFCD 0.25 SVFCD FD FD 1 1 CD2 1 Mà : S CF.CD CD2 . Vậy : S . CD2 . VFCD 2 4 VCMD FD2 4 Trong VDCF theo Pitago ta cú : 2 2 2 2 1 2 2 1 2 5 2 DF CD CF CD BC CD CD .CD . 2 4 4 CD2 1 1 1 0.25 Do đú : S . CD2 CD2 a2 VMCD 5 CD2 4 5 5 4 Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 67
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  PHềNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, 8. HUYỆN ANH SƠN CẤP THCS - HUYỆN ANH SƠN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2013-2014 MễN THI: TOÁN – LỚP 8 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) Cõu 1 (2.5 điểm) 10x - 5 3 - x x + 2 Cho biểu thức A= 2 - : x - 9 x + 3 x +3 a/ Nờu ĐKXĐ và rỳt gọn biểu thức A. 5 b/ Tớnh giỏ trị của biểu thức A tại x = 2 c/ Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A nhận giỏ trị nguyờn. Cõu 2 (2.5 điểm) a/ Giải phương trỡnh: x3 - 4x + 1= x - 1 2 2 b/ Chứng minh rằng biểu thức S = n 2 + n - 1 - 1 chia hết cho 24 với mọi số nguyờn n. c/ Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x 2 + 2y2 + 2xy - 6x - 8y + 2024 Cõu 3 (2.0 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD cú M, N, P lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh BC, CD, DA. Gọi H là giao điểm của AN và DM. Chứng minh rằng: a/ Tứ giỏc BMDP là hỡnh bỡnh hành. b/ BA = BH Cõu 4 (2 điểm) Cho ΔABC cú 3 gúc nhọn. Cỏc đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng: a/ AEB : AFC ã ã b/ AEF ABC 2 c/ BH.BE CH.CF BC Cõu 5 (1 điểm) 1 1 1 Cho 3 số a, b, c R* thỏa món điều kiện: a + b + c = 1 và 1 . a b c Chứng minh rằng cú ớt nhất một số bằng 1. - HẾT - Cỏn bộ coi thi khụng được giải thớch gỡ thờm! Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 68
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  Đỏp ỏn và biểu điểm chấm thi học sinh giỏi cấp huyện mụn Toỏn 8 Năm học 2013 – 2014 Bài Cõu Nội dung cần đạt Điểm 1 a ĐKXĐ: x 2;x 3 0,5đ 10x - 5 3 - x x + 2 A= 2 - : = x - 9 x + 3 x +3 (10x 5) (x 3)2 x 2 =: 0,25đ (x 3) x 3 x 3 x2 4x 4 x 2 = : 0,25đ (x 3) x 3 x 3 (x 2)2 x 3 x 2 =  (x 3) x 3 x 2 x 3 0,25đ b 5 Với x ( ĐKXĐ) 2 0,25đ 5 5 9 1 9 Thay vào A ta cú A =( 2) : 3 : 9 0,5đ 2 2 2 2 1 c Với x ĐKXĐ. x 2 A cú giỏ trị nguyờn cú giỏ trị nguyờn x 3 khi đú x + 2  x – 3 nờn ( x + 2) – ( x – 3)  x – 3 5 x – 3 0,25đ x – 3 5; 1;1;5 Do đú x 2;2;4;8 Đối chiếu với ĐKXĐ ta thấy cú 3 giỏ trị thỏa món đề bài là x = 2; x = 4; x = 8 0,25đ 2 a Giải phương trỡnh x3 - 4x + 1= x - 1 2 x3 4x 1 x2 2x 1 0,25đ x3 x2 2x 0 0,25đ x x 1 x 2 0 0,25đ 0,25đ x 0;x 1;x 2 2 b S = n 2 + n - 1 - 1= n 2 + n n 2 + n - 2 0,25đ = n n + 1 n - 1 n + 2 0,25đ S là tớch của bốn số nguyờn liờn tiếp nờn S chia hết cho 3 vỏ S chi hết cho 8, mà 3 và 8 là hai số nguyờn tố cựng nhau nờn S 0,25đ chia hết cho 24 Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 69
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  c P = x 2 + 2y2 + 2xy - 6x - 8y + 2024 0,25đ = x 2 + y2 + 9 + 2xy - 6x - 6y + y2 -2y+1 + 2014 = x + y - 3 2 + y - 1 2 + 2014 2014 0,25đ P = 2014 x = 2; y = 1. 0,25đ Vậy Pmin = 2014 khi x = 2; y = 1. M C B N H Q D A P a Xột tứ giỏc BMDP ta cú: 1 1 BM//=DP( Vỡ BM=DP = BC= AD) 2 2 1,0đ Nờn tứ giỏc BMDP là hỡnh bỡnh hành b Xột tam giỏc ADH Ta cú P là trung điểm của AD mà PQ //DH Nờn theo tớnh chất của đường trung bỡnh ta cú Q là trung điểm của AH(1) 0,25đ Mặt khỏc: ABP DAN (c – g – c) Nờn Ã BP Dã AN mà Dã AN Bã AQ 900 ( Do Bã AD 900 ) Vỡ vậy Ã BP Bã AQ 900 Do đú ABQ vuụng tại Q nờn BQ AH (2) Từ (1) và (2) Tam giỏc ABH cõn tại B ( Vỡ BQ vừa là 0,5đ đường cao vừa là trung tuyến). Nờn AB = BH 0,25đ 4 A E F H B D C a Xột AEB ; và AFC ta cú Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 70
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  À chung 0,5đ Ã EB Ã FC ( 900 ) Do đú AEB: AFC (g –g) b Vỡ AEB: AFC (g –g) AE AB Nờn kết hợp với Ã BC AF AC 0,75đ Do vậy AEF: ABC (c- g- c) Vỡ vậy Ã EF Ã BC c CH CD Vỡ CHD : CBF (g –g) nờn CH.CF CD.CB CB CF BH BD 0,75đ Vỡ BHD : BCE (g –g) nờn BH.BE BD.CB CB BE Do đú BH.BE + CH.CF = BC (CD +BD) =BC.BC =BC2 1 1 1 Vỡ a b c 1 và 1 5 a b c 1 1 1 1 Nờn a b c a b c Biến đổi hệ thức trờn ta cú (a + b)( b +c)(c +a) = 0 0,5đ Nờn a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc c + a = 0 Nếu a + b = 0 thỡ c = 1 Nếu b + c = 0 thỡ a = 1 Nếu c + a = 0 thỡ b = 1 0,5đ Vậy trong 3 số a, b, c cú ớt nhất một số bằng 1 Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 71
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 HUYỆN SƠN DƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016 Mụn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm cú 01 trang) Cõu 1.(4 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x(x 2)(x2 2x 2) 1 3 5 7 2n 1 b) Rỳt gọn biểu thức: A = (1.2) 2 (2.3) 2 (3.4) 2 n(n 1)2 Cõu 2.(4 điểm) 1 1 1 yz xz xy a) Cho 0. Tớnh A x y z x 2 y 2 z 2 b) Tỡm tất cả cỏc số x, y, z nguyờn thỏa món: x2 y2 z2 – xy – 3y – 2z 4 0. Cõu 3: (4 điểm) a) Chằng minh rằng vằi mằi sằ nguyờn x, y thỡ : A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chớnh phương. b) Cho a1,a2 , ,a2016 là cỏc số tự nhiờn cú tổng chia hết cho 3. 3 3 3 Chứng minh rằng: A a1 a2 a2016 chia hết cho 3. Cõu 4. (6 điểm) Cho điểm M di động trờn đoạn thẳng AB. Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ cỏc hỡnh vuụng AMCD, BMEF. a) Chứng minh rằng: AE  BC. b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng. c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luụn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trờn đoạn thẳng AB. Cõu 5. (2 điểm) Cho a;b;c là ba số đụi một khỏc nhau thỏa món: (a b c)2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Tớnh giỏ trị của biểu thức: P= a2 2bc b2 2ac c2 2ab Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm - SBD: Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 72
 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển tập Đề thi Học sinh giỏi Toỏn 8 Cú đỏp ỏn  PHềNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HUYỆN SƠN DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2015 - 2016 Mụn thi : Toỏn Cõu Phần Nội dung Điểm a x(x 2)(x2 2x 2) 1 (x2 2x)(x2 2x 2) 1 0.5 2đ 2 2 2 Cõu 1 (x 2x) 2(x 2x) 1 0.5 (4 = (x2 2x 1)2 0.5 điểm) 0.5 (x 1)4 b 2n 1 (n 1) 2 n 2 1 1 1 Ta cú : 2đ n(n 1)2 n 2 (n 1) 2 n 2 (n 1) 2 1 n(n 2) => B = =1- (n 1) 2 (n 1) 2 1 Ta có a b c 0 thì a 3 3 3 3 3 3 3 0.5 a b c a b 3ab a b c c 3ab c c 3abc 2đ (vì a b c 0 nên a b c ) 0.5 1 1 1 1 1 1 3 Theo giả thiết 0. . Cõu 2 x y z x 3 y 3 z 3 xyz ( 4 yz xz xy xyz xyz xyz 0.5 A điểm ) x2 y2 z2 x3 y3 z3 1 1 1 3 xyz 3 3 3 xyz. 3 0.5 x y z xyz b x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + 4 = 0 2đ y 2 3 (x2 – xy + ) + (z2 – 2z + 1) + ( y2 – 3y + 3) = 0 4 4 1 y 3 0,5 (x - )2 + (z – 1)2 + (y – 2)2 = 0 2 4 0.5 Cú cỏc giỏ trị x,y,z là: (1;2;1) a) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn x, y thỡ a A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chớnh phương. 2đ 4 Ta cú A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 0.5 Cõu 3 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 (4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thỡ 0.5 điểm) A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 0.5 V ỡ x, y, z Z nờn x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z 0.5 Vậy A là số chớnh phương. Xem thờm tài liệu khỏc tại nhúm Toỏn thầy Hiệp: Trang 73