›
›
›

Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 6

doc 46 trang nhatle22 3840
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 6", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docde_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_khoi_6.doc

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 6

  1. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Đề số 1 Thời gian làm bài 120 phút a3 2a2 1 Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức A a3 2a2 2a 1 a, Rút gọn biểu thức b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản. Câu 2: (1 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho abc n2 1 và cba (n 2)2 Câu 3: (2 điểm) a. Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số. Câu 4: (2 điểm) a n a a. Cho a, b, n N* Hãy so sánh và b n b 1011 1 1010 1 b. Cho A = ; B = . So sánh A và B. 1012 1 1011 1 Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên bất kỳ : a 1, a2, , a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10. Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng. Đáp án đề số 1 Câu 1: a3 2a2 1 (a 1)(a2 a 1) a2 a 1 Ta có: A = a3 2a2 2a 1 (a 1)(a2 a 1) a2 a 1 Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm). Rút gọn đúng cho 0,75 điểm. b.Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 (0,25đ). Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ Mặt khác, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ]  d Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau. (0,5đ) Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm) Câu 2: abc = 100a + 10 b + c = n2 - 1 (1) cba = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4 (2) (0,25đ) Từ (1) và (2) 99(a – c) = 4 n – 5 4n – 5  99 (3) (0,25đ) Mặt khác: 100 n2-1 999 101 n2 1000 11 n 31 39 4n – 5 119 (4) ( 0,25đ) Từ (3) và (4) 4n – 5 = 99 n = 26 Vậy: abc = 675 ( 0,25đ) 1
  2. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Câu 3: (2 điểm) a) Giả sử n2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a Z) a2 – n2 = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm). + Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm). + Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n) 2 và (a+n)  2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) (0,25 điểm). Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. (0,25 điểm). b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3. Vậy n 2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3. Vậy n2 + 2006 là hợp số. ( 1 điểm). Bài 4: Mỗi câu đúng cho 1 điểm a a a Ta xét 3 trường hợp 1 ; 1 ; 1 (0,5đ). b b b a a n a TH 1: 1 a = b thì 1 . (0,5đ). b b n b a TH 2: 1 a > b a + n > b+ n. b a n a b a a b Mà có phần thừa so với 1 là ; có phần thừa so với 1 là , b n b n b b a b a b a n a vì nên (0,25đ). b n b b n b a TH3: 1 a A< (0,5đ). b b (1012 1) 11 1012 10 1011 10 10(1010 1) 1010 1 Do đó A< = (0,5điểm). 1012 10 10(1011 1) 1011 1 Vây A<B. Bài 5: Lập dãy số . Đặt B1 = a1. B2 = a1 + a2 . B3 = a1 + a2 + a3 B10 = a1 + a2 + + a10 . Nếu tồn tại B i ( i= 1,2,3 10). nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh. ( 0,25 điểm). 2
  3. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Nếu không tồn tại Bi nào chia hết cho 10 ta làm như sau: Ta đen Bi chia cho 10 sẽ được 10 số dư ( các số dư { 1,2.3 9}). Theo nguyên tắc Diriclê, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau. Các số B m -Bn, chia hết cho 10 ( m>n) ĐPCM. Câu 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng có : 2005x 2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần số giao điểm thực tế là: (2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm. Đề số 2 Thời gian làm bài 120 phút Câu1: a. Tìm các số tự nhiên x, y. sao cho (2x + 1)(y – 5) = 12 b.Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 c. Tìm tất cả các số B =62xy427 , biết rằng số B chia hết cho 99 Câu 2. a. chứng tỏ rằng 12n 1 là phân số tối giản. 30n 2 b. Chứng minh rằng : 1 +1 +1 + +1 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3 (0,25đ)  2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25đ) vậy (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25đ) b.(1đ) Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ) để 4n-5 chia hết cho 2n - 1 => 3 chia hết cho 2n - 1 (0,25đ) =>* 2n - 1=1 => n =1 *2n – 1 = 3 => n = 2 (0,25đ) vậy n = 1 ; 2 (0,25đ) c. (1đ) Ta có 99=11.9 B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ) *B chia hết cho 9 => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho 9 3
  4. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 hoặc x+y =15 B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11 x-y=9 (loại) hoặc y-x=2 (0,25đ) y-x=2 và x + y = 6 => y = 4; x = 2 (0,25đ) y-x = 2 và x + y = 15 (loại) vậy B = 6224427 (0,25đ) Câu 2: a. Gọi d là ước chung của 12n + 1và 30n + 2 ta có 5(12n + 1) - 2(30n+2) = 1 chia hết cho d (0,5đ) vậy d = 1 nên 12n + 1 và 30n + 2 nguyên tố cùng nhau do đó 12n 1 là phân số tối giản (0,5đ) 30n 2 b. Ta có 1 <1 =1 - 1 22 2.1 1 2 1 <1 =1 - 1 32 2.3 2 3 1 <1 =1 -1 (0,5đ) 1002 99.100 99 100 Vậy 1 +1 + + 1 <1 -1 +1 -1 + +1 - 1 22 32 1002 1 2 2 3 99 100 1 +1 + + 1 <1-1 =99 <1 (0,5đ) 22 32 1002 100 100 Câu 3.Số cam còn lại sau lần bán thứ 2 là : (24+3/4): 3/3 =33(quả) (1đ) Số cam còn lại sau lần bán thứ nhất . (33+1/3) : 2/3 =50 (quả) (1đ) Số cam bác nông dân mang đi bán . (50+1/2) : 1/2 =1001 ( quả) (1đ) Câu 4(1đ) Mỗi đường thẳng cắt 100 đường tẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm. Có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm . nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có 101.100:2= 5050 ( giao điểm) Đề số 3 Thời gian làm bài: 120’ Bài 1:(1,5đ) Tìm x a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 Bài 2: (1,5đ) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: a 5 5 a 5 Bài 3: (1,5đ) Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng: a. Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương. 4
  5. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 b. Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. c. Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm? Bài 4: (2đ) Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương. Bài 5: (2đ) Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10. Bài 6: (1,5đ) Cho tia Ox. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và xOz bắng 1200. Chứng minh rằng: a. x· Oy x· Oz ·yOz b. Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại. Đáp án đề số 3 Bài 1 (1,5đ) a) 5x = 125 5x = 53 => x = 3 b) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = 4 => x = 2 c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 52x: 53 = 52.3 + 2.52 52x: 53 = 52.5 52x = 52.5.53 52x = 56 => 2x = 6 => x=3 Bài 2. Vì a là một số tự nhiên với mọi a Z nên từ a a = {0,1,2,3,4}. Nghĩa là a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4}. Biểu diễn trên trục số cácc số này đều lớn hơn -5 và nhỏ hơn 5 do đó -5 0 số liền sau a lớn hơn a nên cũng lớn hơn 0 nên là số dương b) Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. Ta có: Nếu a âm thì a<0 số liền trước a nhỏ hơn a nên cũng nhỏ hơn 0 nên là số âm. Bài 4 (2đ). Trong các số đã cho ít nhất có 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết. Tách riêng số dương đó còn 30 số chi làm 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương. Bài 5 (2đ): Vì có 11 tổng mà chỉ có thể có 10 chữ số tận cùng đều là các số từ 0 , 1 ,2, ., 9 nên luôn tìm được hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau nên hiệu của chúng là một số nguyên có tận cùng là 0 và là số chia hết cho 10. 5
  6. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Bài 6 (1,5đ).Ta có: x· 'Oy 600 , x· 'Oz 600 và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên ·yOz ·yOx' x· 'Oz 1200 vậy x· Oy ·yOz z·Ox Do tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz và x· 'Oy x· 'Oz nên Ox’ là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia Oy, Oz. Tương tự tia Oy’ (tia đối của Oy) và tia Oz’ (tia đối của tia Oz) là phân giác của góc xOz và xOy. Đề số 4 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1. Tính: a. A = 4 + 2 2 + 2 3 + 2 4 +. . . + 2 20 b. tìm x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + . . . + ( x + 100) = 5750. Câu 2. a. Chứng minh rằng nếu: ab cd eg  11 thì abcdeg  11. b. Chứng minh rằng: 10 28 + 8  72. Câu 3. Hai lớp 6A; 6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 26 kg còn lại mỗi bạn thu được 11 kg ; Lớp 6B có 1 bạn thu được 25 kg còn lại mỗi bạn thu được 10kg . Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200kg đến 300kg. Câu 4. 6 9 2 Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ 2 và bằng số 7 11 3 thứ 3. Câu 5. Bốn điểm A,B,C,Dkhông nằm trên đường thẳng a. Chứng tỏ rằng đường thẳng a hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD. Đáp án đề số 4 Câu 1. a). 2A = 8 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 21. => 2A – A = 2 21 +8 – ( 4 + 2 2 ) + (2 3 – 2 3) +. . . + (2 20 – 2 20). = 2 21. b). (x + 1) + ( x + 2 ) + . . . . . . . . + (x + 100) = 5750 => x + 1 + x + 2 + x + 3 + . . . . . . . . . . + x + 100 = 5750 => ( 1 + 2 + 3 + . . . + 100) + ( x + x + x . . . . . . . + x ) = 5750 101 . 50 + 100 x = 5750 100 x + 5050 = 5750 100 x = 5750 – 5050 100 x = 700 x = 7 Câu 2. a) abcdeg 10000ab 100 cd eg = 9999 ab 99cd + ab cd eg  11. b) 10 28 + 8  9.8 ta có 10 28 + 8  8 (vì có số tận cùng là 008) nên 10 28 + 8  9.8 vậy 10 28 + 8  72 Câu 3. Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x (Kg) thì ( x-26)  11 và ( x-25)  10. Do đó (x-15) BC(10;11) và 200 x 300 => x-15 = 220 => x = 235. Số học sinh lớp 6A là: (235 – 26) : 11 + 1 = 20. hs 6
  7. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Số học sinh lớp 6B là: (235 – 25) : 10 + 1 = 22 hs. 9 6 21 Câu 4. Số thứ nhất bằng: : = (số thứ hai) 11 7 22 9 2 27 Số thứ ba bằng: : = (số thứ hai) 11 3 22 22 21 27 70 Tổng của 3 số bằng (số thứ hai) = (số thứ hai) 22 22 70 21 27 Số thứ hai là : 210 : = 66 ; số thứ nhất là: . 66 = 63 ; số thứ 3 là: .66 = 81 22 22 22 Câu 5. Đường thẳng a chia mặt phẳng ra hai nửa mặt phẳng Xét 3 trường hợp a). Nếu cả 4 điểm A, B, CD thuộc cùng một nửa mặt phẳng thì a không cắt đoạn thẳng nào. b). Nếu có 1 điểm ( Chẳng hạn điểm A thuộc nửa mặt phẳng) ba điểm B, C, D thuộc nửa mặt phẳng đối thì đường thẳng a cắt ba đoạn thẳng AB, AC, AD c). Nếu có 2 điểm chẳng hạn (A và B) thuộc một nửa mặt phẳng hai điểm kia (C và D) thuộc mỗi mặt phẳng đối thì a cắt bốn đoạn thẳng AC, AD, BC, BD Đề số 5 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (3đ): a) So sánh: 222333 và 333222 b) Tìm các chữ số x và y để số 1x8y2 chia hết cho 36 c) Tìm số tự nhiên a biết 1960 và 2002 chia cho a có cùng số dư là 28 Bài 2 (2đ): Cho : S = 30 + 32 + 34 + 36 + + 32002 a) Tính S b) Chứng minh S  7 Bài 3 (2đ): Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số này cho 29 dư 5 và chia cho 31 dư 28 Bài 4 (3đ): Cho góc AOB = 1350. C là một điểm nằm trong góc AOB biết góc BOC = 900 a) Tính góc AOC b) Gọi OD là tia đối của tia OC. So sánh hai góc AOD và BOD Đáp án đề số 5 Bài 1 (3đ): a) Ta có 222333 = (2.111)3.111 = 8111.(111111)2.111111 (0,5đ) 333222 = (3.111)2.111 = 9111.(111111)2 (0,5đ) Suy ra: 222333 > 333222 7
  8. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 b) Để số 1x8y2  36 ( 0 x, y 9 , x, y N ) (1 x 8 y 2)9 (0,5đ) y24 y24 y 1;3;5;7;9 (x+y+2)  9 => x+y = 7 hoặc x+y = 16 => x = 6;4;2;0;9;7 (0,25đ) Vậy ta có các số: 16812; 14832; 12852; 10872; 19872; 17892 (0,25đ) c) Ta có a > 28 => ( 2002 - 1960 )  a => 42  a (0,5đ) => a = 42 (0,5đ) Bài 2 (2đ): a) Ta có 32S = 32 + 34 + + 32002 + 32004 (0,5đ) 2004 Suy ra: 8S = 32004 - 1 => S = 3 1 (0,5đ) 8 b) S = (30 + 32 + 34 ) + 36(30 + 32 + 34 ) + + 31998(30 + 32 + 34 ) = (30 + 32 + 34 )( 1 + 36 + + 31998 ) = 91( 1 + 36 + + 31998 ) (0,75đ) suy ra: S  7 (0,25đ) Bài 3 (2đ): Gọi số cần tìm là: a Ta có a = 29q + 5 = 31p +28 (0,5đ) 29(q - p) = 2p + 23 Vì 2p + 23 lẻ nên( q - p) lẻ => q - p 1. (0,75đ) Vì a nhỏ nhất hay q - p = 1 => p = 3; => a = 121 (0,5đ) Vậy số cần tìm là 121 (0,25đ) Bài 4 (3đ): a) theo giả thiết C nằm trong góc AOB nên tia OC nằm giữa hai tia OB và OA => góc AOC + góc BOC = góc AOB => góc AOC = góc AOB - góc BOC => góc AOC = 1350 - 900 = 450 b) vì OD là tia đối của tia OC nên C, O, D thẳng hàng. Do đó góc DOA + góc AOC = 1800 (hai góc kề bù) => góc AOD = 1800 - góc AOC = 1800 - 450 => góc AOD = 1350 góc BOD = 1800 - 900 = 900 Vậy góc AOD > góc BOD Đề số 6 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1( 8 điểm ) 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a) 571999 b) 931999 2. Cho A= 9999931999 - 5555571997. Chứng minh rằng A chia hết cho 5. 3 . Cho phân số a ( a<b) cùng thêm m đơn vị vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn b hay bé hơn a ? b 8
  9. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 4. Cho số 155*710* 4*16 có 12 chữ số . chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chưc số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ thì số đó luôn chia hết cho 396. 5. chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 99 100 3 a) ; b) 2 4 8 16 32 64 3 3 32 33 34 399 3100 16 Bài 2: (2 điểm ) Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA = a(cm), OB = b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM = 1 (a+b). 2 Đáp án đề số 6 Bài 1: 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: ( 1 điểm ) Để tìm chữ số tận cùng của các số chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng số : a) 571999 ta xét 71999 Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499. 343 Suy ra chữ số tận cùng bằng 3 (0,25đ) Vậy số 571999 có chữ số tận cùng là : 3 b) 931999 ta xét 31999 Ta có: 31999 = (34)499. 33 = 81499.27 Suy ra chữ số tận cùng bằng 7 (0,25đ) 2. Cho A = 9999931999 - 5555571997 . chứng minh rằng A chia hết cho 5 Để chứng minh A chia hết cho 5 , ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng. Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận cùng là 7 Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041499.7 có chữ số tận cùng là 7 (0,25đ) Vậy A có chữ số tận cùng là 0, do đó A chia hết cho 5. (0,25đ) 3 (1 điểm )Theo bài toán cho a < b nên am < bm ( nhân cả hai vế với m) (0,25đ) ab +am < ab + bm ( cộng hai vế với ab) (0,25đ) a(b+m) < b( a+m) a a m b b m 4.(1 điểm ) Ta nhận thấy , vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số đó đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp 1;2;3 nên tổng của chúng luôn bằng 1+2+3=6. Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta cần chứng minh A = 155*710* 4*16 chia hết cho 4 ; 9 và 11. Thật vậy : +A  4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4 ( 0,25đ) + A  9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 : 1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho 9 (0,25đ) + A  11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0, chia hết cho 11. 9
  10. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 {1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)} = 18 – 12 – 6 = 0 (0,25đ) Vậy A  396 Bài 5(4 điểm ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) Đặt A= (0,25đ) 2 4 8 16 32 64 2 22 23 24 25 26 1 1 1 1 1 2A= 1 (0,5đ) 2 22 23 24 25 1 26 1 2A+A =3A = 1- 1 (0,75đ) 26 26 1 3A < 1 A < (0,5đ) 3 1 2 3 4 99 100 2 3 3 4 99 100 b) Đặt A= 3A= 1- (0,5đ) 3 32 33 34 399 3100 3 32 33 33 398 399 1 1 1 1 1 100 1 1 1 1 1 4A = 1- 4A< 1- (1) (0,5đ) 3 32 33 398 399 3100 3 32 33 398 399 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Đặt B= 1- 3B= 2+ (0,5đ) 3 32 33 398 399 3 32 397 398 1 3 4B = B+3B= 3- < 3 B < (2) 399 4 3 3 Từ (1)và (2) 4A < B < A < (0,5đ) 4 16 Bài 2 ( 2 điểm ) a) (1 điểm )Vì OB <OA ( do b<a) nên trên tia Ox thì điểm B nằm giữa điểm O và điểm A. Do đó: OB +OA= OA Từ đó suy ra: AB=a-b. O B A x b)(1 điểm ) Vì M nằm trên tia Ox và 1 a b 2b a b a b OA OB 1 OM = (a b) b = OB + OB AB 2 2 2 2 2 2 M chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = BM Đề số 7 Thời gian làm bài: 120 phút. A – Phần số học : (7 điểm ) Câu 1: (2điểm) a) Các phân số sau có bằng nhau không? Vì sao? 23 23232323 2323 232323 ; ; ; 99 99999999 9999 999999 b) Chứng tỏ rằng: 2x + 3y chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17 Câu 2: (2điểm) Tính giá trị của biểu thức sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = ( + - ):( + - + . . ) + 1:(30. 1009 – 160) 7 23 1009 23 7 1009 7 23 1009 Câu 3: (2điểm) 10
  11. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 1 1 1 23 a) Tìm số tự nhiên x , biết : ( + + . . . + ).x = 1.2.3 2.3.4 8.9.10 45 30 1 b) Tìm các số a, b, c , d N , biết : = 1 43 a 1 b 1 c d Câu 4 : (1điểm) Một số tự nhiên chia cho 120 dư 58, chia cho 135 dư 88. Tìm a, biết a bé nhất. B – Phần hình học (3 điểm) : Câu 1: ( 2 điểm ) Góc tạo bởi 2 tia phân giác của 2 góc kề bù, bằng bao nhiêu? Vì sao? Câu 2: ( 1 điểm) Cho 20 điểm, trong đó có a điểm thẳng hàng. Cứ 2 điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tìm a , biết vẽ được tất cả 170 đường thẳng. Đáp án đề số 7 A. Phần số học Câu 1: a) Ta thấy; 23 23.101 2323 23 23.10101 232323 23 23.1010101 23232323 ; ; 99 99.101 9999 99 99.10101 999999 99 99.1010101 99999999 23 2323 232323 23232323 Vậy; 99 9999 999999 99999999 b) Ta phải chứng minh: 2. x + 3 . y chia hết cho 17, thì 9.x + 5.y chia hết cho 17 Ta có 4 (2x + 3y ) + ( 9x + 5y ) = 17x + 17y chia hết cho 17 Do vậy ; 2x + 3y chia hết cho 17 4 ( 2x +3y ) chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17 Ngược lại ta có 4(2x + 3y) chia hết cho 17 mà (4 ; 17) = 1 2x + 3y chia hết cho 17 Câu 2. Ta viết lại A như sau : 1 1 1 ( ).23.7.1009 1 A=23 7 1009 + 1 1 1 1 1 1 ( . . ).23.7.1009 (23 7).1009 161 1 23 7 1009 23 7 1009 7.1009 23.1009 23.7 1 = + = 1 7.1009 23.1009 23.7 1 23.1009 7.1009 23.7 1 Câu 3: 1 1 1 1 1 1 23 1 1 1 23 a) ( ) . x = .( ) . x = x = 2 2 1.2 2.3 2.3 3.4 9.10 45 2 2 90 45 30 1 1 1 1 b) = 43 13 1 1 43 1 1 1 4 1 30 30 2 2 1 13 3 4 => a =1 ; b = 2 ; c = 3 ; d = 4 11
  12. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 a 120.q1 58 9a 1080q1 522 Câu 4: Ta có (q1, q2 N ) a 135.q2 88 8a 1080.q2 704 Từ ( 2 ) , ta có 9 . a = 1080 . q2 + 704 + a ( 3 ) Kết hợp ( 1 ) với ( 2 ) , ta được a = 1080 . q – 180 Vì a nhỏ nhất, cho nên, q phải nhỏ nhất y t => q = 1 => a = 898 B- Phần hình học Câu 1; Gọi Ot , Ot, là 2tia phân giác của 2 t, kề bù góc xOy và yOz Giả sử , xOy = a ; => yOz = 180 – a 1 1 Khi đó ; tOy = a t,Oy = ( 180–a) z x 2 2 1 1 => tOt, = a (180 a ) = 900 O 2 2 Câu 2; Giả sử trong 20 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, số đường thẳng vẽ được là; 19 . 20:2 = 190 Trong a điểm, giả sử không có 3 điểm nào thẳng hàng.Số đường thẳng vẽ được là ; (a – 1 ) a : 2 . Thực tế, trong a điểm này ta chi vẽ được 1 đường thẳng. Vậy ta có ; 190 – ( a- 1)a : 2 + 1 = 170 => a = 7 Đề số 8 Thời gian làm bài : 120’ Bài 1 : (3 đ) Người ta viết các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 đến 2006 liền nhau thành một số tự nhiên L . Hỏi số tự nhiên L có bao nhiêu chữ số . Bài 2 : (3đ) Có bao nhiêu chữ số gồm 3 chữ số trong đó có chữ số 4 ? Bài 3 : (4đ) Cho băng ô gồm 2007 ô như sau : 17 36 19 Phần đầu của băng ô như trên . Hãy điền số vào chố trống sao cho tổng 4 số ở 4 ô liền nhau bằng 100 và tính : a) Tổng các số trên băng ô . b) Tổng các chữ số trên băng ô . c) Số điền ở ô thứ 1964 là số nào ? Đáp án đề số 8 Bài 1 : Có 9 số có 1 chữ số từ 1 đến 9 ( 0.25đ) Có 90 số có 2 chữ số từ 10 đến 99 (0.5đ) Có 900 số có 3 chữ số từ 100 đến 999 (0.5đ) Các số có 4 chữ số là từ 1000 đến 2006 có : 2006 - 1000 + 1 = 1007 số (0.5đ) Số chữ số của số tự nhiên L là : 9 + 90.2 + 900.3 + 1007.4 = 6917 (chữ số ) (1.25đ) 12
  13. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Bài 2 : Có 900 số có 3 chữ số từ 100 đến 999 (0.25đ) Ta chia 900 sô thành 9 lớp , mỗi lớp có 100 số có cùng chữ số hàng trăm . (0.25đ) Lớp thứ nhất gồm 100 số từ 100 đến 199 Lớp thứ hai gồm 100 số từ 200 đến 299 Lớp thứ 9 gồm 100 số từ 900 đến 999 (05đ) Xét 9 lớp thì lớp thứ 4 cả 100 số đều có chữ số 4 ở hàng trăm. 8 lớp còn lại hàng trăm khác 4 nên chữ số 4 nếu có thì ở hàng chục và hàng đơn vị (0.25đ) . Xét lớp thứ nhất thì các số có chữ số 4 làm hàng đơn vị gồm : 104, 114 194 (có 10 số ) (05đ) các số có 4 chữ số làm hàng chục là 140,141,142, 149 (có 10 số) (0.5đ) Nhưng số 144 có mặt ở trong cả 2 trờng hợp vậy ở lớp thứ nhất số lợng số có chữ số 4 là : 10 + 10 - 1 = 19 (số) (0.25đ) Bảy lớp còn lại cũng theo quy luật ấy . Vậy số lợng số có 3 chữ số có chữ số 4 là : 100 + 19.8 = 252 số (0.5đ) Bài 3 : Ta dùng các số 1; 2; 3 để đánh số cho các ô phần đầu băng ô (0.25đ) . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 17 19 36 28 17 19 36 28 17 Vì các ô số 4; 5; 6; 7 và 3; 4; 5; 6 có tổng bằng nhau nên số ở ô số 3 và ô số 7 bằng nhau do đó ô số 3 là 19 (0.5đ) 100 - (17 + 19 + 36) = 28 Vậy ô số 1 là số 28 (0.25đ) 100 - (17 + 19 + 36) = 28 . Vậy số điền ô thứ 5 là số 28 ( 0.25đ) số điền ở ô số 6 cũng là số 17 (0.25đ) Ta có : 2007 = 501.4 + 3 Vậy ta có 501 nhóm 4 ô, do đó 3 ô cuối là ô thứ 2005; 2006; 2007 với các số 28; 17; 19 (0.5đ) a) Tổng các số trên băng ô là : 100.501 + 28 +17 +19 = 50164 (1đ) b) Tổng các chữ số ở mỗi nhóm ô là : 2 + 8 +1 + 7 +1 +9 + 3 + 6 = 37 (0.5đ) Tổng các chữ số trên băng ô là : 37.501 + 2 + 8 + 1 + 7 +1 +9 = 18567 c) 1964  4 . vậy số điền ở ô thứ 1964 là số 36 . (0.5đ) Đề số 9 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1:(1,5đ) Tìm x, biết: a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 13
  14. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Bài 2 :(1,5đ) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: a 5 5 a 5 Bài 3: (1,5đ) Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng: a) Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương. b) Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. c) Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm? Bài 4: (2đ) Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương. Bài 5: (2đ). Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10. Bài 6: (1,5đ) Cho tia Ox. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhau có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và xOz bắng 1200. Chứng minh rằng: a) x· Oy x· Oz ·yOz b) Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại. Đáp án đề số 9 Bài 1 (1,5đ) a) 5x = 125  5x = 53 => x= 3 b) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = 4 => x = 2 c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 52x: 53 = 52.3 + 2.52 52x: 53 = 52.5 52x = 52.5.53 52x = 56 => 2x = 6 => x = 3 Bài 2. Vì | a | là một số tự nhiên với mọi a Z nên từ |a| | a | {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}. Nghĩa là a {0 ; 1 ; -1 ; 2 ; -2 ; 3 ; -3 ; 4 ; -4}. Biểu diễn trên trục số cácc số này đều lớn hơn -5 và nhỏ hơn 5 do đó -5 0 số liền sau a lớn hơn a nên cũng lớn hơn 0 nên là số dương b) Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. Nếu a âm thì a<0 số liền trước a nhỏ hơn a nên cũng nhỏ hơn 0 nên là số âm. Bài 4 (2đ). Trong các số đã cho ít nhất có 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết. Tách riêng số dương đó còn 30 số chi làm 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương. Bài 5 (2đ): Vì có 11 tổng mà chỉ có thể có 10 chữ số tận cùng đều là các số từ 0 , 1 ,2, ., 9 nên luôn tìm được hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau nên hiệu của chúng là một số nguyên có tận cùng là 0 và là số chia hết cho 10. Bài 6 (1,5đ).Ta có: x· 'Oy 600 , x· 'Oz 600 và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên ·yOz ·yOx' x· 'Oz 1200 vậy x· Oy ·yOz z·Ox 14
  15. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Do tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz và x· 'Oy x· 'Oz nên Ox’ là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia Oy, Oz. Tương tự tia Oy’ (tia đối của Oy) và tia Oz’ (tia đối của tia Oz) là phân giác của góc xOz và xOy. Đề số 10 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: 1995 a) Chứng tỏ rằng số: 10 8 là một số tự nhiên. 9 b) Tìm 2 số tự nhiên có tổng bằng 432 và ƯCLN của chúng là 36. Câu 2: Tính nhanh: a) 35.34 + 35.86 + 65.75 + 65.45 ; b) 21.72 - 11.72 + 90.72 + 49.125.16 ; Câu 3: So sánh: 920 và 2713 Câu 4: Tìm x biết: a) |2x - 1| = 5 ; b) ( 5x - 1).3 - 2 = 70 Câu 5: Chứng minh tổng sau chia hết cho 7. A = 21 + 22 + 23 + 24 + + 259 + 260 ; Câu 6: Để chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi, một học sinh giải 35 bài toán. Biết rằng cứ mỗi bài đạt loại giỏi được thưởng 20 điểm, mỗi bài đạt loại khá, trung bình được thưởng 5 điểm. Còn lại mỗi bài yếu, kém bị trừ 10 điểm. Làm xong 35 bài em đó được thưởng 130 điểm. Hỏi có bao nhiêu bài loại giỏi, bao nhiêu bài loại yếu, kém. Biết rằng có 8 bài khá và trung bình. Câu 7: Cho 20 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, cứ 2 điểm ta sẽ vẽ một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng. Đề số 11 Thời gian làm bài: 120 phút I. Trắc ngiệm: Điền dấu x vào ô thích hợp:( 1 điểm) Câu Đúng Sai 1 1 a. Số -5 bằng –5 + 5 5 3 80 b. Số 11 bằng 7 7 5 5 c. Số -11 bằng –11- 4 4 1 2 13 d. Tổng -3 + 2 bằng -1 5 3 15 II. Tự luận: Câu 1: Thực hiện các phép tính sau: (4 điểm) 2181.729 243.81.27 1 1 1 1 1 a) b.  32.92.234 18.54.162.9 723.729 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 15
  16. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 1 1 1 1 5.415 99 4.320.89 c.  1 d. 22 32 42 1002 5.29.619 7.229.276 1 Câu 2: (2 điểm) Một quãng đường AB trong 4 giờ. Giờ đầu đi được quãng đường AB. Giờ thứ 2 3 1 1 đi kém giờ đầu là quãng đường AB, giờ thứ 3 đI kém giờ thứ 2 quãng đường AB. Hỏi giờ 12 12 thứ tư đi mấy quãng đường AB? Câu 3: (2 điểm) a. Vẽ tam giác ABC biết BC = 5 cm; AB = 3cm ;AC = 4cm. b. Lấy điểm 0 ở trong tam giác ABC nói trên.Vẽ tia A0 cắt BC tại H, tia B0 cắt AC tại I,tia C0 cắt AB tại K. Trong hình đó có có bao nhiêu tam giác. Câu 4: (1 điểm) a. Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau: 2100; 71991 b.Tìm bốn chữ số tận cùng của số sau: 51992 Đề số 12 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1( 8 điểm ) 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a) 571999 b) 931999 2. Cho A= 9999931999 - 5555571997. Chứng minh rằng A chia hết cho 5. a a 3 . Cho phân số ( a 7 41 42 43 79 80 12 Bài 2 (2,5điểm) Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1 ; 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 1980 trang. Số trang của một quyển vở loại 2 chỉ bằng 2 số trang của 1 quyển vở loại 1. 3 Số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2. Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại. Bài 3: (2điểm). Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 16
  17. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 1+ 2+ 3+ .+ n = aaa Bài 4 (2,5 điểm) a, Cho 6 tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ ? Vì sao. b, Vậy với n tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ. Đề số 14 Thời gian làm bài 120 phút – (không kể thời gianchép đề) Bài 1 (3điểm) a. Tính nhanh: A = 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45 b. Chứng minh : Với k N* ta luôn có : k k 1 k 2 k 1 k k 1 3.k k 1 . áp dụng tính tổng : S = 1.2 2.3 3.4 n. n 1 . Bài 2 (3điểm) a.Chứng minh rằng : nếu ab cd eg 11 thì : abc deg11 . b.Cho A = 2 22 23 260. Chứng minh : A  3 ; 7 ; 15. 1 1 1 1 Bài 3 (2điểm). Chứng minh : < 1. 22 23 24 2n Bài 4(2 điểm). a. Cho đoạn thẳng AB = 8cm. Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng AC. b. Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm của chúng. Đề số 15 Thời gian làm bài 120 phút – (không kể thời gianchép đề) Câu 1: Cho S = 5 + 52 + 53 + + 52006 a) Tính S b) Chứng minh SM 126 Câu 2. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho số đó chia cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2 ; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11. Câu 3. Tìm các giá trị nguyên của n để phân số A = 3n 2 có giá trị là số nguyên. n 1 Câu 4. Cho 3 số 18, 24, 72. a) Tìm tập hợp tất cả các ước chung của 3 số đó. b) Tìm BCNN của 3 số đó 17
  18. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Câu 5. Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D. biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D ; OA = 5cm; OD = 2 cm ; BC = 4 cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD. Tìm độ dài các đoạn BD; AC. Đề số 16 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2điểm) Cho 2 tậo hợp A = n N | n (n + 1) ≤12. B = x Z | | x | < 3. a. Tìm giao của 2 tập hợp. b. có bao nhiêu tích ab (với a A; b B) được tạo thành, cho biết những tích là ước của 6. Câu 2: ( 3điểm) a. Cho C = 3 + 32 + 33 + 34 + 3100 chứng tỏ C chia hết cho 40. b. Cho các số 0; 1; 3; 5; 7; 9. Hỏi có thể thiết lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ sáu chữ số đã cho. Câu 3: (3điểm) Tính tuổi của anh và em biết rằng 5/8 tuổi anh hơn 3/4 tuổi em là 2 năm và 1/2 tuổi anh hơn 3/8 tuổi em là 7 năm. Câu 4: (2điểm) a. Cho góc xoy có số đo 100 0. Vẽ tia oz sao cho góc zoy = 350. Tính góc xoz trong từng trường hợp. b. Diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng các cách khác nhau. Đề số 17 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2,5 điểm) Có bao nhiêu số có 3 chữ số trong đó có đúng một chữ số 5? Câu 2: Tìm 20 chữ số tận cùng của 100! Câu 3: Người ta thả một số Bèo vào ao thì sau 6 ngày bèo phủ kín đầy mặt ao. Biết rằng cứ sau một ngày thì diện tích bèo tăng lên gấp đôi. Hỏi : a/. Sau mấy ngày bèo phủ được nửa ao? b/. Sau ngày thứ nhất bèo phủ được mấy phần ao? Câu 4: Tìm hai số a và b ( a < b ), biết: ƯCLN( a , b ) = 10 và BCNN( a , b ) = 900. Câu 5: 18
  19. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Người ta trồng 12 cây thành 6 hàng, mỗi hàng có 4 cây. Hãy vẽ sơ đồ vị trí của 12 cây đó. Đề số 18 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2đ) Với q, p là số nguyên tố lớn hơn 5 chứng minh rằng: p4 – q4  240 8n 193 Câu 2: (2đ) Tìm số tự nhiên n để phân bố A 4n 3 a. Có giá trị là số tự nhiên b. Là phân số tối giản c. Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được. Câu 3: (2đ) Tìm các nguyên tố x, y thỏa mãn : (x-2)2 .(y-3)2 = - 4 Câu 4: (3đ) Cho tam giác ABC và BC = 5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3 cm. a. Tình độ dài BM b. Cho biết góc BAM = 800 , góc BAC = 600 . Tính góc CAM. c. Vẽ các tia ax, Ay lần lượt là tia phân giác của góc BAC và CAM . Tính góc xAy. d. Lấy K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1 cm. Tính độ dài BK. Câu 5: (1đ) 2 2 2 2 Tính tổng: B = 1.4 4.7 7.10 97.100 Đề số 19 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1 (1đ): Hãy xác định tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của nó. a) M: Tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 5 và bé hơn 30. b) P: Tập hợp các số 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81. Câu 2 (1đ): Chứng minh rằng các phân số sau đây bằng nhau. 41 4141 414141 27425 27 27425425 27425 a) ; ; b) ; 88 8888 888888 99900 99900000 Câu 3 (1,5đ): Tính các tổng sau một cách hợp lí. 52 52 52 52 52 52 a) 1+ 6+ 11+ 16+ + 46+ 51 b) 1.6 6.11 11.16 16.21 21.26 26.31 Câu 4 (1,5đ): Tổng kết đợt thi đua kỷ niệm ngày nhà giáo Việt Nam 20/11, lớp 6A có 43 bạn được từ 1 điểm 10 trở lên; 39 bạn được từ 2 điểm 10 trở lên; 14 bạn được từ 3 điểm 10 trở lên; 5 bạn được 4 điểm 10, không có ai trên 4 điểm 10. Tính xem trong đợt thi đua đó lớp 6A có bao nhiêu điểm 10. 19
  20. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Câu 5 (1,5đ): Bạn Nam hỏi tuổi của bố. Bố bạn Nam trả lời: “Nếu bố sống đến 100 tuổi thì 6/7 của 7/10 số tuổi của bố sẽ lớn hơn 2/5 của 7/8 thời gian bố phải sống là 3 năm”. Hỏi bố của bạn Nam bao nhiêu tuổi. Câu 6 (2đ): Cho tam giác ABC có BC = 5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3cm. a) Tính độ dài BM b) Cho biết góc BAM = 800, góc BAC = 600. Tính góc CAM c) Tính độ dài BK nếu K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1cm. Câu 7 (1,5đ): Cho tam giác MON có góc M0N = 1250; 0M = 4cm, 0N = 3cm a) Trên tia đối của tia 0N xác định điểm B sao cho 0B = 2cm. Tính NB. b) Trên nửa mặt phẳng có chứa tia 0M, có bờ là đường thẳng 0N, vẽ tia 0A sao cho góc M0A = 800. Tính góc AON. Đề số 20 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2đ) Thay (*) bằng các số thích hợp để a) 510* ; 61*16 chia hết cho 3. b) 261* chia hết cho 2 và chia 3 dư 1 Câu 2: (1,5đ) Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 Câu 3: (3,5 đ) Trên con đường đi qua 3 địa điểm A; B; C (B nằm giữa A và C) có hai người đi xe máy Hùng và Dũng. Hùng xuất phát từ A, Dũng xuất phát từ B. Họ cùng khởi hành lúc 8 giờ để cùng đến C vào lúc 11 giờ cùng ngày. Ninh đi xe đạp từ C về phía A, gặp Dũng luc 9 giờ và gặp Hùng lúc 9 giờ 24 phút. Biết quãng đường AB dài 30 km, vận tốc của ninh bằng 1/4 vận tốc của Hùng. Tính quãng đường BC Câu 4: (2đ) Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác nhau đặt tên theo thứ từ từ A đến B là A 1; A2; A3; ; A2004. Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB ta nối M với các điểm A; A 1; A2; A3; ; A2004 ; B. Tính số tam giác tạo thành Câu 5: (1đ) 8 56 Tích của hai phân số là . Thêm 4 đơn vị vào phân số thứ nhất thì tích mới là . Tìm hai 15 15 phân số đó. Đề số 21 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (1.5đ) Chứng minh các phân số sau đây bằng nhau: 25 ; 2525 ; 252525 53 5353 535353 Câu 2: (1,5đ) Không quy đồng mẫu hãyáo sánh hai phân số sau: 37 và 377 67 677 Câu 3: (2đ) Tìm số tự nhiên x, biết: 30 20x (x 5) 5 100 100 Câu 4: (3đ) Tuổi trung bình của một đội văn nghệ là 11 tuổi. Người chỉ huy là 17 tuổi. Tuổi trung bình của đội đang tập (trừ người chỉ huy) là 10 tuổi. Hỏi đội có mấy người. 20
  21. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Câu 5: (2đ) Cho góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù nhau. Góc yOz bằng 300 . a.Vẽ tia phân giác Om của góc xOy và tia phân giác On của góc yOz. b.Tính số đo của góc mOn. Đề số 22 Thời gian làm bài: 120 phút. Câu 1 : (3đ) Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí : 1) A = 636363.37 373737.63 1 2 3 2006 12 12 12 4 4 4 12 4 6 124242423 2) B = 1 . 19 37 53 : 17 19 2006 . 41 1 3 3 5 5 5 237373735 3 5 3 37 53 17 19 2006 Câu 2 : (2đ) Tìm các cặp số (a,b) sao cho : 4a5b45 Câu 3 : (2đ) Cho A = 31 +32+33 + + 32006 a) Thu gọn A b) Tìm x để 2A+3 = 3x Câu 4 : (1đ) 2005 2004 So sánh: A = 2005 1 và B = 2005 1 20052006 1 20052005 1 Câu 5: (2đ) 2 Một học sinh đọc quyển sách trong 3 ngày. Ngày thứ nhất đọc được số trang 5 3 sách; ngày thứ 2 đọc được số trang sách còn lại; ngày thứ 3 đọc được 80% số trang 5 sách còn lại và 3 trang cuối cùng. Hỏi cuốn sách có bao nhiêu trang? Đề số 23 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1 (1,5đ): Dùng 3 chữ số 3; 0; 8 để ghép thành những số có 3 chữ số: a. Chia hết cho 2 b. Chia hết cho 5 c. Không chia hết cho cả 2 và 5 Bài 2 (2đ): a. Tìm kết quả của phép nhân A = 33 3 x 99 9 50 chữ số 50 chữ số b. Cho B = 3 + 32 + 33 + + 3100 Tìm số tự nhiên n, biết rằng 2B + 3 = 3n Bài 3 (1,5 đ): Tính a) C = 101 100 99 98 3 2 1 b) D = 3737.43 4343.37 101 100 99 98 3 2 1 2 4 6 100 Bài 4 (1,5đ): Tìm hai chữ số tận cùng của 2100. 21
  22. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Bài 5 (1,5đ): Cho ba con đường a1, a2, a3 đi từ A đến B, hai con đường b 1, b2 đi từ B đến C và ba con đường c1, c2, c3, đi từ C đến D (hình vẽ). a1 b1 c1 A a2 B C c2 D b2 a3 c3 Viết tập hợp M các con đường đi từ A dến D lần lượt qua B và C Bài 6 (2đ): Cho 100 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm ta vẽ một đường thẳng. có tất cả bao nhiêu đường thẳng. Đề số 24 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1(2đ) 2006 2005 a)Tính tổng S =27 4500 135 550.2 b) So sánh: A = 2006 1 và B = 2006 1 2 4 6 14 16 18 2007 2007 1 2006 2006 1 Bài 2 (2đ) a. Chứng minh rằng: C = 2 + 22 + 2 + 3 + + 299 + 2100 chia hết cho 31 b. Tính tổng C. Tìm x để 22x – 1 - 2 = C Bài 3 (2đ) Một số chia hết cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13. Hỏi số đó chia cho1292 dư bao nhiêu Bài 4 (2đ) Trong đợt thi đua, lớp 6A có 42 bạn được từ 1 điểm 10 trở lên, 39 bạn được 2 điểm 10 trở lên, 14 bạn được từ 3 điểm 10 trở lên, 5 bạn được 4 điểm 10, không có ai được trên 4 điểm 10. Tính xem trong đợt thi đua lớp 6A được bao nhiêu điểm 10 Câu 5 (2đ) Cho 25 điểm trong đó không có 3 điểm thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng? Nếu thay 25 điểm bằng n điểm thì số đường thẳng là bao nhiêu. Đề số 25 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1. Tính các giá trị của biểu thức. a. A = 1 + 2 + 3 + 4 + + 100 1 3 3 4 4 4 4(3 ) 4 1 b. B = -1 . 3 7 53 : 17 19 2003 . 5 1 3 3 5 5 5 3 5 3 37 53 17 19 2003 1 1 1 1 1 c. C = 1.2 2.3 3.4 4.5 99.100 Bài 2. So sánh các biểu thức : a. 3200 và 2300 121212 2 404 10 b. A = với B = . 171717 17 1717 17 22
  23. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Bài 3. Cho 1số có 4 chữ số: *26* . Điền các chữ số thích hợp vào dấu (*) để được số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho tất cả 4số : 2; 3 ; 5 ; 9. Bài 4. Tìm số tự nhiên n sao cho : 1! +2! +3! + +n! là số chính phương? Bài 5. Hai xe ôtô khởi hành từ hai địa điểm A,B đi ngược chiều nhau. Xe thứ nhất khởi hành từ A lúc 7 giờ. Xe thứ hai khởi hành từ B lúc 7 giờ 10 phút. Biết rằng để đi cả quãng đường AB . Xe thứ nhất cần 2 giờ , xe thứ hai cần 3 giờ. Hỏi sau khi đi 2 xe gặp nhau lúc mấy giờ? Bài 6. Cho góc xOy có số đo bằng 1200 . Điểm A nằm trong góc xOy sao cho: A· Oy =750 . Điểm B nằm ngoài góc xOy mà :B· Ox =1350 . Hỏi 3 điểm A,O,B có thẳng hàng không? Vì sao? Đề số 26 Thời gian làm bài: 120 phút 1 1 1 1 Câu 1: Tính tổng A 3 32 33 3100 Câu 2: Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho: a 5 b 12 c 6 ; ; b 3 c 21 d 11 Câu 3: Cho 2 dãy số tự nhiên 1, 2, 3, , 50 a) Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho ƯCLN của chúng đạt giá trị lớn nhất. b) Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho BCNN của chúng đạt giá trị lớn nhất. Câu 4: Cho bốn tia OA, OB, OC, OD, tạo thành các góc AOB, BOC, COD, DOA không có điểm chung. Tính số đo của mổi góc ấy biết rằng: B· OC = 3 A· OB ; C· OD = 5 A· OB ; D· OA = 6 A· OB Đề số 27 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (3đ). a. Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy: Có 20 học sinh thích bóng đá, 17 học sinh thích bơi, 36 học sinh thích bóng chuyền, 14 học sinh thích đá bóng và bơi, 13 học sinh thích bơi và bóng chuyền, 15 học sinh thích bóng đá và bóng chuyền, 10 học sinh thích cả ba môn, 12 học sinh không thích môn nào. Tính xem lớp học đó có bao nhiêu học sinh? b. Cho số: A = 123456789101112 .585960. - Số A có bao nhiêu chữ số? - Hãy xóa đi 100 chữ số trong số A sao cho số còn lại là: + Nhỏ nhất + Lớn nhất Câu 2: (2đ). a. Cho A = 5 + 52 + + 596. Tìm chữ số tận cùng của A. b.Tìm số tự nhiên n để: 6n + 3 chia hết cho 3n + 6 23
  24. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Câu 3: (3đ). a. Tìm một số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng khi chia số đó cho 3 dư 2, cho 4 dư 3, cho 5 dư 4 và cho 10 dư 9. b. Chứng minh rằng: 11n + 2 + 122n + 1 Chia hết cho 133. Câu 4: (2đ). Cho n điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng . Cứ qua hai điểm ta vẽ 1 đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tính n? Đề số 28 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1:(2,25 điểm) Tìm x biết 1 7 4 5 a) x + b) x - c) (x – 32).45=0 5 25 9 11 Bài 2:(2,25 điểm) Tính tổng sau bằng cách hợp lý nhất: A = 11 + 12 + 13 + 14 + + 20. B = 11 + 13 + 15 + 17 + + 25. C = 12 + 14 + 16 + 18 + + 26. Bài 3:(2,25 điểm) Tính: 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 A= B = 11.16 16.21 21.26 61.66 2 6 12 20 30 42 1 1 1 1 C = 1.2 2.3 1989.1990 2006.2007 Bài 4:(1 điểm) 102001 1 102002 1 Cho: A= ; B = . Hãy so sánh A và B. 102002 1 102003 1 Bài 5:(2,25 điểm) Cho đoạn thẳng AB dài 7cm. Trên tia AB lấy điểm I sao cho AI = 4 cm. Trên tia BA lấy điểm K sao cho BK = 2 cm. a) Hãy chứng tỏ rằng I nằm giữa A và K. b) Tính IK. Đề số 29 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 3 điểm) a. Chứng tỏ rằng tổng sau khôngm chia hết cho 10: A = 405n + 2405 + m2 ( m,n N; n ≠ 0 ) b. Tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số tự nhiên: 2n 2 5n 17 3n B = n 2 n 2 n 2 c. Tìm các chữ số x ,y sao cho: C = x1995y chia hết cho 55 Bài 2 (2 điểm ) 10 10 10 10 a. Tính tổng: M = 56 140 260 1400 3 3 3 3 3 b. Cho S = . Chứng minh rằng : 1< S < 2 10 11 12 13 14 Bài 3 ( 2 điểm) 24
  25. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Hai người đi mua gạo. Người thứ nhất mua gạo nếp , người thứ hai mua gạo tẻ. Giá gạo tẻ rẻ hơn giá gạo nếp là 20%. Biết khối lượng gạo tẻ người thứ hai mua nhiều hơn khối lượng gạo nếp là 20%. Hỏi người nào trả tiền ít hơn? ít hơn mâya % so với người kia? Bài 4 ( 3 điểm) Cho 2 điểm M và N nằm cùng phía đối với A, năm cùng phía đối với B. Điểm M nằm giữa A và B. Biết AB = 5cm; AM = 3cm; BN = 1cm. Chứng tỏ rằng: a. Bốn điểm A,B,M,N thẳng hàng b. Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng MB c. Vẽ đường tròn tâm N đi qua B và đường tròng tâm A đi qua N, chúng cắt nhau tại C, tính chu vi của ΔCAN . Đề số 30 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) 2 1 1 Bài 1( 2 điểm): a)Tìm x biết: x 0 b) Tìm x, y N biết 2x + 624 = 5y 3 4 Bài 2( 2 điểm): 22 51 2009 2009 1 2009 2010 2 a) So sánh: và b) So sánh: A và B 45 103 2009 2010 1 2009 2011 2 Bài 3( 2 điểm): Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25 ; 28 ; 35 thì được các số dư lần lượt là 5 ; 8 ; 15. Bài 4( 2 điểm): Ba máy bơm cùng bơm vào một bể lớn , nếu dùng cả máy một và máy hai thì sau 1 giờ 20 phút bể sẽ đầy, dùng máy hai và máy ba thì sau 1 giờ 30 phút bể sẽ đầy còn nếu dùng máy một và máy ba thì bể sẽ đầy sau 2 giờ 24 phút. Hỏi nếu mỗi máy bơm được dùng một mình thì bể sẽ đầy sau bao lâu? Bài 5( 2 điểm): Cho góc tù xOy. Bên trong góc xOy, vẽ tia Om sao cho góc xOm bằng 900 và vẽ tia On sao cho góc yOn bằng 900. a) Chứng minh góc xOn bằng góc yOm. b) Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy.Chứng minh Ot cũng là tia phân giác của góc mOn. Đáp án đề số 11 Câu 1: Thực hiện các phép tính. Câu a. 2181.729 243.3 81.9 2181.729 7292 32.92.243 93.2.6.162 723.729 729.243 729.1944 723.729 729(2181 729) 729.2910 1 729(243 1944 723) 729.2910 Câu b. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: ; ; ; ; ; 1.2 1 2 2.3 2 3 3.4 3 4 98.99 98 99 99.100 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vậy   1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 1 2 2 3 3 4 98 99 99 100 25
  26. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 1 99 =1 . 100 100 Câu c. Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; 22 1.2 1 2 32 2.3 2 3 42 3.4 3 4 1002 99.100 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 Vậy   22 32 42 10 02 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 99 1  1 1. 2 2 3 3 4 99 100 2 100 5 .2 3 0 .3 1 8 2 2 .3 2 0 .2 2 7 2 2 9 .3 1 8 (5 .2 3 ) Câu d: 2 5 .2 9 .2 1 9 .3 1 9 7 .2 2 9 .3 1 8 2 2 8 .3 1 8 (5 .3 7 .2 ) Câu 2: Quãng đường đi được trong 3 giờ đầu là: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 3 12 3 12 12 3 3 3 12 12 12 4 4 1 Quãng đường đi trong giờ thứ tư là quãng đường 4 Câu 3: A I K a) Vẽ đoạn thẳng BC = 5cm Vẽ cung tròn (B ; 3cm) B C Vẽ cung tròn (C ; 4cm) H Lấy giao điểm A của hai cung trên. Vẽ các đoạn thẳng AB, AC ta được tam giác ABC. b) Có 6 tam giác” đơn” là AOK; AOI; BOK; BOH; COH; và COI. Có 3 tam giác “ Ghép đôi ” là AOB; BOC; COA. Có 6 tam giác “Ghép ba” Là ABH; BCI; CAK; ABI; BCK; CAH. Có một tam giác “Ghép 6” là tam giác ABC. Vậy trong hình có tất cả 6 + 3 + 1+ 6 = 16(tam giác). Câu 4: a) Tìm hai số tận cùng của 2100. 210 = 1024, bình phương của hai số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76, các số tận cùng bằng 76 nâng lên lũy thừa nào( khác 0) cũng tận cùng bằng 76. Do đó: 2100 = (210)10= 1024 = (10242)5 = ( 76)5 = 76. Vậy hai chữ sè tận cùng của 2100 là 76. * Tìm hai chữ số tận cùng của 71991. Ta thấy: 74 = 2401, số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng 01. Do đó: 71991 = 71988. 73= (74)497. 343 = ( 01)497. 343 = ( 01) x 343 = 43 Vậy 71991 có hai số tận cùng là 43. Tìm 4 số tận cùng của 51992. Ta có : 51992 = (54)498 =0625498= 0625 Đáp án đề số 12 Bài 1: 1) Tìm chữ số tận cùng của các số sau: ( 1 điểm ) Để tìm chữ số tận cùng của các số chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng số : a) 571999 ta xét 71999 26
  27. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499. 343 Suy ra chữ số tận cùng bằng 3 (0,25đ) Vậy số 571999 có chữ số tận cùng là : 3 b) 931999 ta xét 31999 Ta có: 31999 = (34)499. 33 = 81499.27 Suy ra chữ số tận cùng bằng 7 (0,25đ) 2) Cho A = 9999931999 - 5555571997 . chứng minh rằng A chia hết cho 5 Để chứng minh A chia hết cho 5 , ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng. Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận cùng là 7 Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041499.7 có chữ số tận cùng là 7 (0,25đ) Vậy A có chữ số tận cùng là 0, do đó A chia hết cho 5. (0,25đ) 3) (1điểm) Theo bài toán cho a < b nên am < bm ( nhân cả hai vế với m) (0,25đ) ab + am < ab + bm ( cộng hai vế với ab) (0,25đ) a a m a(b + m) < b( a+m) b b m 4.(1 điểm ) Ta nhận thấy , vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số đó đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp 1;2;3 nên tổng của chúng luôn bằng 1+2+3=6. Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta cần chứng minh A = 155*710* 4*16 chia hết cho 4 ; 9 và 11. Thật vậy : +A  4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4 (0,25đ) + A  9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 : 1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*) = 30+ 6 = 36 chia hết cho 9 (0,25đ) + A  11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0, chia hết cho 11. {1+5+7+4+1) – (5+1+6+(*+*+*)} = 18 – 12 – 6 = 0 (0,25đ) Vậy A  396 5(4 điểm ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) (2 điểm ) Đặt A= (0,25đ) 2 4 8 16 32 64 2 22 23 24 25 26 1 1 1 1 1 2A= 1 (0,5đ) 2 22 23 24 25 1 26 1 2A+A =3A = 1- 1 (0,75đ) 26 26 1 3A < 1 A < (0,5đ) 3 1 2 3 4 99 100 2 3 3 4 99 100 b) Đặt A= 3A= 1- (0,5đ) 3 32 33 34 399 3100 3 32 33 33 398 399 1 1 1 1 1 100 1 1 1 1 1 4A = 1- 4A< 1- (1) 0,5đ) 3 32 33 398 399 3100 3 32 33 398 399 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Đặt B= 1- 3B= 2+ (0,5đ) 3 32 33 398 399 3 32 397 398 1 3 4B = B+3B= 3- < 3 B < (2) 399 4 27
  28. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 3 3 Từ (1)và (2) 4A và > > > (2) 41 42 60 61 62 80 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có : ( .+ ) + ( + + .+ ) 60 60 60 60 80 80 80 80 20 20 1 1 4 3 7 = (3) 60 80 3 4 12 12 Từ (1) , (2), (3) Suy ra: 1 1 1 1 1 1 7 > 41 42 43 78 79 80 12 Bài 2: Vì số trang của mỗi quyển vỡ loại 2 bằng 2 số trang của 1 quyển loại 1. 3 Nên số trang của 3 quyển loại 2 bằng số trang của 2 quyển loại 1 Mà số trang của 4 quyển loại 3 bằng 3 quyển loại 2. Nên số trang của 2 quyển loại 1 bằng số trang của 4 quyển loại 3 Do đó số trang của 8 quyển loại 1 bằng : 4 .8 : 2 = 16 ( quyển loại 3) Số trang của 9 quyển loại 2 bằng 9 .4 : 3 = 12 (quỷên loại 3) Vậy 1980 chính là số trang của 16 + 12+ 5 = 33(quyển loại 3) Suy ra: Số trang 1 quyển vở loại 3 là 1980 : 33 = 60 ( trang) 60.4 Số trang 1 quyển vở loại 2 là 80 (trang) 3 80.3 Số trang 1 quyển vở loại1 là; 120 ( trang) 2 28
  29. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Bài 3: Từ 1; 2; ; n có n số hạng Suy ra 1 +2 + + n = (n 1).n 2 Mà theo bài ra ta có 1 +2 +3+ +n = aaa (n 1).n Suy ra = aaa = a . 111 = a . 3.37 2 Suy ra: n(n + 1) = 2.3.37.a Vì tích n(n + 1) Chia hết cho số nguyên tố 37 nên n hoặc n + 1 Chia hết cho 37 (n 1).n Vì số có 3 chữ số Suy ra n+1 < 74 n = 37 hoặc n + 1 = 37 2 37.38 +) Với n = 37 thì 703 ( loại) 2 36.37 +) Với n + 1 = 37 thì 666 ( thoả mãn) 2 Vậy n =36 và a = 6. Ta có: 1+2+3+ + 36 = 666 Bài 4 : a) (1,5điểm) Vì mỗi tia với 1 tia còn lại tạo thành 1 góc. Xét 1 tia, tia đó cùng với 5 tia còn lại tạo thành 5 góc. Làm như vậy với 6 tia ta được 5.6 góc. Nhưng mỗi góc đã được tính 2 5.6 lần do đó có tất cả là 15 góc 2 b) (1điểm). Từ câu a suy ra tổng quát. Với n tia chung gốc có n( n 1 ) (góc). 2 Đáp án đề số 14 Bài 1. 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 1.5.6 1 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.5.6 a. = 2 . 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45 1.3.5 1 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.3.5 b.Biến đổi : k k 1 k 2 k 1 k k 1 k k 1 k 2 k 1 3k k 1 áp dụng tính : 3. 1.2 1.2.3 0.1.2. 3. 2.3 2.3.4 1.2.3. 3. 3.4 3.4.5 2.3.4. 3.n n 1 n n 1 n 2 n 1 n n 1 n n 1 n 2 Cộng lại ta có : 3.S n n 1 n 2 S . 3 Bài 2. a) Tách như sau : abc deg 10000ab 100cd eg 9999ab 99cd ab cd eg . Do 999911 ; 9911 9999ab 99cd 11 Mà : ab cd eg 11 (theo bài ra) nên : abc deg11. b) Biến đổi : 29
  30. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 *A = 2 22 23 24 23 24 259 260 2 1 2 23 1 2 259 1 2 =3 2 23 259 3. *A = 2 22 23 24 25 26 258 259 260 = =2. 1 2 22 24. 1 2 22 258. 1 2 22 = 7 2 24 258 7 . *A = 2 22 23 24 25 26 27 28 257 258 259 260 = =2 1 2 22 23 25 1 2 22 23 257 1 2 22 23 =15. 2 25 257 15. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Bài 3. Ta có : . Áp dụng : 1 ; ; ; . n2 n n 1 n 1 n 22 2 32 2 3 n2 n 1 n 1 1 1 1 1 BC) AC + BC = AB AC = AB - BC = 4 cm. b) - Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại nên tạo ra 100 giao điểm. - Có 101 đường thẳng nên có : 101.100 = 10100 giao diểm. - Do mỗi giao điểm được tính hai lần nên số giao điểm là: 10100:2=5050 giao điểm. Đáp án đề số 15 Câu 1. (2đ). a) Ta có: 5S = 52 + 53 +54 + +52007 5S – S = (52 + 53 +54 + +52007) – (5 + 52 + 53 + + 52006) 52007 5 4S = 52007 – 5. Vậy S = 4 b) S = (5 + 54) + (52 + 55) + (53 + 56) + + (52003 +52006) Biến đổi được S = 126.(5 + 52 + 53 + + 52003). Vì 126 M 126 S M 126 Câu 2. (3đ) Gọi số phải tìm là x. Theo bài ra ta có x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6. x + 2 là bội chung của 3, 4, 5, 6 BCNN(3; 4; 5; 6) = 60 nên x + 2 = 60.n . Do đó x = 60.n – 2 (n = 1; 2; 3 ) Mặt khác xM 11 lần lượt cho n = 1; 2; 3 .Ta thấy n = 7 thì x = 418 M 11 Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 418. 3n 2 3n 3 5 3(n 1) 5 5 Câu 3. (1đ). Ta có 3 n 1 n 1 n 1 n 1 5 5 Để A có giá trị nguyên nguyên. Mà nguyên 5 M (n – 1) hay n – 1 là n 1 n 1 ước của 5. Do Ư5 = 1 ; 5 Ta tìm được n = 2 30
  31. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 n = 0 n = 6 n = -4 Câu 4 (2đ) a) Tìm được các Ư(18); Ư (24) ; Ư(72) đúng cho 0,5đ ƯC (18; 24; 72) = 1; 2; 3; 6 b) Ta có 72 B(18) ; 72 B(24) BCNN (18;24;72) = 72. Câu 5. (2đ) O D B A C x Vì A nằm giữa B và C nên BA +AC = BC BA +AC = 4 (1) Lâp. luân B nằm giữa A và D. Theo gt OD < OA D nằm giữa O và A. (0,5đ) Mà OD + DA = OA 2 + DA =5 DA =3 cm Ta có DB + BA = DA DB +BA = 3 (2) (0,25đ) Lấy (1) – (2): AC – DB = 1 (3) (0,25đ) theo đề ra : AC = 2BD thay và (3) Ta có 2BD – BD = 1 BD = 1 (0,25đ) AC = 2BD AC = 2 cm (0,25đ) Đáp án đề số 16 Câu 1: Liệt kê các phần từ của 2 tập hợp a. A = 0, 1, 2, 3 B = - 2, -1, 0, 1, 2,  0,5đ A ∩ B = 0, 1, 2, 0,5đ. b. Có 20 tích được tạo thành -2 -1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 -2 -1 0 1 2 2 -4 -2 0 2 4 3 -6 -3 0 3 6 Những tích là ước của 6: ±1; ±2 ; ±3 ; ±6 0,5đ Câu 2: a. B = (3 + 32 + 33+ 34) + + (397+398+399+3100) = 3 (1 + 3 + 32+33)+ .+ 397(1+3+32+33) 0,5đ = 40. (3 + 35 +39 + +397 ) : 40 0,5đ b. Mỗi số có dạng: abc0 , abc5 . Với abc0 - Có 5 cách chọn chữ số hạng nghìn (vì chữ số hàng nghìn không phải là số 0). - Có 6 cách chọn chữ số hàng trăm. - Có 6 cách chọn chữ số hàng chục. Vậy 5.6.6 = 180 số. 31
  32. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Với abc5 . Cách chọn tương tự và cũng có 180 số. Vậy ta thiết lập được 360 số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ 6 chữ số đã cho 0,5đ. Câu 3: 1/2 tuổi anh thì hơn 3/8 tuổi em là 7 năm. Vậy tuổi anh hơn 6/8 tuổi em là 14 năm 0,5đ. Mà 5/8 tuổi anh lớn hơn 3/4 tuổi em là 2 năm, nên 1 – 5/8 = 3/8 tuổi anh = 14 – 2 = 12 năm. 1đ Vậy tuổi anh là: 12 : 3/8 = 32 tuổi. 0,5đ 3/4 tuổi em bằng 32 – 14 = 18 tuổi 0,5đ Tuổi em là: 18:3/4 = 24 tuổi 0,5đ Câu 4: a, Có 2 cách vẽ tia OZ (có hình vẽ) Góc XOZ = 650 hoặc 1350 1đ b, Có thể diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng 3 cách khác nhau M là trung điểm MA+MB=AB MA=MB=AB/2 Của đoạn thẳng AB MA=MB Đáp án đề số 17 Câu 1: (2,5 điểm) Chia ra 3 loại số: * 5ab . Trong đó số a có 9 cách chọn ( từ 0 đến 9, trừ số 5 ). Số b cũng vậy.Nên các số thuộc loại này có : 9.9 = 81 ( số ) (1đ) * a5b . Trong đó số a có 8 cách chọn ( từ 1 đến 8, trừ số 5 ).Số b có 9 cách chọn. Nên các số thuộc loại này có: 9.8 = 72 ( số ) (0,5đ) * ab5 . Trong đó số a có 8 cách chọn , số b có 9 cách chọn.Nên các số thuộc loại này có : 8.9 = 72 ( số ) (0,5 điểm) Vì 3 dạng trên bao gồm tất cả các dạng số phải đếm và 3 dạng là phân biệt.Nên số lượng các số tự nhiên có 3 chữ số trong đó có đúng một chữ số 5 là: 81 + 72 + 72 = 225 ( số ) Đáp số: 225 ( số ) (0,5đ) Câu 2: ( 2,5 điểm) * Các thừa số 5 trong 100! ( khi phân tích các thừa số chia hết cho 5 ) là: 100 100 24 ( thừa số) (1đ) 5 25 * Các thừa số 2 có trong 100! là: 100 100 100 100 100 100 = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1= 97 ( số ) (1đ) 2 4 8 16 32 64 Tích của mỗi cặp thừa số 2 và 5 tận cùng bằng một chữ số 0. Do đó: 100! Có tận cùng bằng 24 chữ số 0. Vậy 20 chữ số tận cùng của 100! là 20 chữ số 0. Câu 3: (1,5 điểm) a) Vì 6 ngày bèo phủ kín ao và cứ sau 1 ngày diện tích bèo tăng lên gấp đôi nên để phủ kín nửa ao thì phảI sau ngày thứ 5. (0,5đ) b) Sau ngày thứ x số phần ao bị che phủ là: 32
  33. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Với x = 5, ta có: 1 : 2 = 1 (ao) 2 Với x = 4, ta có: 1 : 2 = 1 (ao) 2 4 Với x = 3, ta có: 1 : 2 = 1 (ao) 4 8 Với x = 2, ta có: 1 : 2 = 1 (ao) 8 16 Với x = 1, ta có: 1 : 2 = 1 (ao) (0,5đ) 16 32 Vậy sau ngày thứ nhất thì bèo phủ được: 1 (ao) (0,5đ) 32 Câu 4: (1,5 điểm) Vì ƯCLN(a,b) = 10, suy ra : a = 10x ; b = 10y (với x 5 nên p là số lẻ (0,25đ) + Mặt khác: p4 –1 = (p –1) (p + 1) (p2 +1) (0,25đ) > (p-1 và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp => (p – 1) (p+1)  8 (0,25đ) + Do p là số lẻ nên p2 là số lẻ -> p2 +1  2 (0,25đ) - p > 5 nên p có dạng: + p = 3k +1 > p – 1 = 3k + 1 – 1 = 3k  3 > p4 – 1  3 + p = 3k + 2 > p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k +3  3 > p4 – 1  3 (0,25đ) - Mặt khác, p có thể là dạng: + P = 5k +1 > p – 1 = 5k + 1 – 1 = 5k  5 > p4 – 1  5 + p = 5 k+ 2 > p2 + 1 = (5k +2)2 +1 = 25k2 + 20k +5  5 > p4 – 1  5 (0,25 đ) + p = 5k +3 > p2 +1 = 25k2 + 30k +10 > p4 –1  5 33
  34. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 + p = 5k +4 > p + 1 = 5k +5  5 > p4 – 1  5 (0,25đ) Vậy p4 – 1  8 . 2. 3 . 5 hay p4 – 1  240 Tương tự ta cũng có q4 – 1  240 (0,25đ) Vậy: (p4 – 1) – (q4 –1) = p4 – q4  240 Câu 2: (2đ) 8n 193 2(4n 3) 187 187 a) A 2 4n 3 4n 3 4n 3 Để A N thì 187  4n + 3 => 4n +3 17;11;187 (0,5đ) + 4n + 3 = 11 -> n = 2 + 4n +3 = 187 > n = 46 + 4n + 3 = 17 -> 4n = 14 -> không có n N (0,5đ) Vậy n = 2 ; 46 b) A là tối giản khi 187 và 4n + 3 có UCLN bằng 1 -> n 11k + 2 (k N) -> n 17m + 12 (m N) (0,5đ) 77 c) n = 156 -> A ; 19 89 n = 165 -> A 39 139 n = 167 -> A (0,5đ) 61 Câu 3: (2đ) Do –4 = 12 . (- 4) = 22.(-1) nê có các trường hợp sau: (x 2) 2 1 x 2 1 x 3 a) (0,5đ) y 3 4 y 1 y 1 x 2 1 x 1 hoặc (0,5đ) y 1 y 1 (x 2) 2 2 2 x 2 2 x 4 b) (0,5đ) y 3 1 y 2 y 2 x 2 2 x 0 hoặc (0,5đ) y 2 y 2 A Câu 4: (3đ) a) M, B thuộc 2 tia đối nhau CB và CM -> C nằm giữa B và M. ->BM = BC + CM = 8 (cm) (0,5đ) M B K C x y b) C nằm giữa B,M -> Tia AC nằm giữa tia AB, AM ->  CAM = BAM -  BAC = 200 (0,75đ) 1 1 c. Có  xAy =  x AC +  CAy =  BAC +  CAM 2 2 34
  35. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 1 1 1 = ( BAC +  CAM) =  BAM = .80 = 400 (0,75đ) 2 2 2 d. + Nếu K tia CM -> C nằm giữa B và K1 -> BK1 = BC + CK1 = 6 (cm) (0,5đ) + Nếu K tia CB -> K2 nằm giữa B và C -> BK2 = BC = CK2 =4 (cm) (0,5đ) Câu 5: (1đ) 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 Ta có ( ) ( ) ( ); ( ) ; ; 1.4 3 1 4 1.4 3 1 4 4.7 3 4 7 7.10 3 7 10 2 2 1 1 ( ) (0,5đ) 97.100 3 99 100 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 99 33 B = ( ) B = ( ) . (0,5đ) 3 1 4 4 7 7 10 99 100 3 1 100 3 100 50 Đáp án đề số 20 Câu 1 a) Để 510* ; 61*16 chia hết cho 3 thì: 5 + 1 + 0 + * chia hết cho 3; từ đó tìm được * {0; 3; 6; 9} (1đ) b) Để 261* chia hết cho 2 và chia 3 dư 1 thì: * chẵn và 2 + 6 + 1 + * chia 3 dư 1; từ đó tìm được * = 4 (1đ) Câu 2 S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 3.S = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100).3 (0,5đ) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 99.100.3 = 1.2.3 +2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + + 99.100.(101 - 98) (0,5đ) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - - 98.99.100 + 99.100.101 S = 99.100.101: 3 = 33. 100 . 101 = 333300 (0,5đ) Câu 3 Thời gian đi từ A đến C của Hùng là: 11 - 8 = 3 (giờ) Thời gian đi từ B đến C của Dũng là: 11 - 8 = 3 (giờ) Quãng đường AB là 30 km do đó cứ 1 giờ khoảng cách của Hùng và Dũng bớt đi 10 km. Vì vậy lúc 9 giờ Hùng còn cách Dũng là 20 km, lúc đó Ninh gặp Dũng nên Ninh cũng cách Hùng 20 km. Đến 9 giờ 24 phút, Ninh gặp Hùng do đó tổng vận tốc của Ninh và Hùng là: 24 20.60 20 : 50(km / h) 60 24 Do vận tốc của Ninh bằng 1/4 vận tốc của Hùng nên vận tốc của Hùng là: [50 : (1 + 4)] . 4 = 40 (km/h) Từ đó suy ra quãng đường BC là: 40 . 3 - 30 = 90 (km) Đáp số: BC = 90 km Câu 4: (2đ) Trên đoạn thẳng AB có các điểm A; A 1; A2; A3; ; A2004 ; B do đó, tổng số điểm trên AB là 2006 điểm suy ra có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm đó. 35
  36. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) có thể kết hợp với 2005 đoạn thẳng còn lại và các đoạn thẳng tương ứng trên AB để tạo thành 2005 tam giác. Do đó 2006 đoạn thẳng sẽ tạo thành 2005 . 2006 = 4022030 tam giác (nhưng lưu ý là MA kết hợp với MA 1 để được 1 tam giác thì MA 1 cũng kết hợp với MA được 1 tam giác và hai tam giác này chỉ là 1) Do đó số tam giác thực có là: 4022030 : 2 = 2011015 Câu 5: (1đ) Tích của hai phân số là 8 . Thêm 4 đơn vị vào phân số thứ nhất thì tích mới là 56 15 15 suy ra tích mới hơn tích cũ là 56 - 8 = 48 đây chính là 4 lần phân số thứ hai. Suy ra 15 15 15 phân số thứ hai là 48 : 4 = 12 = 4 . 15 15 5 Từ đó suy ra phân số thứ nhất là: 8 : 4 = 2 15 5 3 Đáp án đề số 21 Câu 1: 2525 25.101 25 (0.5đ) 5353 53.101 53 252525 25.10101 25 (0.5đ) 535353 53.10101 53 25 2525 252525 Vậy (0.5đ) 53 5353 535353 Câu 2: 300 300 300 30 30 300 mà (1) (0.5đ) 670 677 670 67 67 677 37 30 377 300 Ta có : 1 và 1 (2) (0.5đ) 67 67 677 677 377 37 Từ (1) và (2) (0.5đ) 677 67 Câu 4: Giả sử đội văn nghệ có n người. Tổng số tuổi đội văn nghệ trừ người chỉ huy là m. m 17 m Ta có: 11 (1) và 10 (2) (1đ) n n 1 Từ (1) m = 11n – 17 (3) (2) m = 10n – 10 (4) (1đ) Từ (3) và (4) 11n – 17 = 10n –10 n =7 (1đ) Đáp số: Số người trong đội văn nghệ là: 7 Câu 5: a.Tính được yOn = 150 ; mOy = 750 (1đ) Chỉ ra cách vẽ và vẽ đúng. (0.5đ) b.Tính được mOn = 900 (0.5đ) 36
  37. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 m y n x O z Đáp án đề số 22 Câu 1 : 636363.37 373737.63 63.(10101.37) 37.(10101.63) 37.63.(10101 10101) 1) A = = = 0 1 2 3 2006 1 2 3 2006 1 2 3 2006 12 12 12 4 4 4 12 4 6 124242423 2) B = 1 . 19 37 53 : 17 19 2006 . 41 1 3 3 5 5 5 237373735 3 5 3 37 53 17 19 2006 1 1 1 1 1 1 12. 1 4 1 47 19 37 53 17 19 2006 41.3.1010101 = . : . 41 1 1 1 1 1 1 47.5.1010101 3 1 5 1 19 37 53 17 19 2006 47 5 41.3 = .(4. ). = 3 (1,5đ) 41 4 47.5 Câu 2: 2đ b = 0 => 9+a  9 => a = 0 b =5 => 14+a  9 => a = 4 Câu 3: 2 đ a) A = 31 +32+33 + + 32006 3A =32+33 +34+ + 32007 32007 3 3A – A = 32007 -3 A = (1đ) 2 32007 3 b) Ta có : 2. +3 = 3x 32007 -3 +3 = 3x 32007 = 3x x = 2007 (1đ) 2 Câu 4: 1đ 2005 2005 2004 2004 A = 2005 1 < 2005 1 2004 = 2005(2005 1) = 2005 1 = B. Vậy A < B 20052006 1 20052006 1 2004 2005(20052005 1) 20052005 1 Câu 5 : 2đ Gọi x là số trang sách, x N 2 Ngày 1 đọc được là x trang 5 2 3 Số trang còn lại là x- x = x trang 5 5 3 3 9 Ngày 2 đọc được là x. = x trang 5 5 25 3 9 6 Số trang còn lại là x - x =x trang 5 25 25 37
  38. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 6 24x Ngày thứ 3 đọc được là : x .80% +30 = + 30 25 125 2 9 24x Hay : x + x + + 30 =x => x =625 trang 5 25 125 ĐS 625 trang Đáp án đề số 23 Bài 1 (1,5đ): a. 308; 380; 830 (0,5đ) b. 380 830 (0,5đ) c. 803 Bài 2 (2đ): a) (1đ) A = 333. 3 . 1 0 0 0 -1 = 3 3 30 0 0 - 3 3 3 (0,5đ) 50 chu so 50 chu so 50 chu so 50 chu so 50 chu so 33 33 00 00 33 33 = (0,25đ). Vậy A = 3 3 3266 . 67 (0,25đ) 3 3 32 66 . 67 49 chu so 49 chu so 49 chu so 49 chu so b) (1 đ) B = 3 + 32 + 33 + + 399 + 3100 (1) 3B = 32 + 33 + + 3100 + 3101 (2) (0,25đ) Lấy (2) trừ (1) ta được: 2B = 3101 - 3 (0,25đ) Do đó: 2B + 3 = 3101 (0,25đ) Theo đề bài 3B + 3 = 3n . Vậy n = 101 (0,25đ) Bài 3 (1,5đ): a) (0,75đ) C = 101 100 99 98 3 2 1 101 100 99 98 3 2 1 Ta có: TS = 101 + (100 + 99 + + 3 + 2 + 1) =101 + 101.100 : 2 = 101 + 5050 = 5151 (0,25đ) MS = 101 - 100 + 99 - 98 + + 3 – 2 + 1 (101 - 100) + (99 - 98) + + (3 - 2) + 1 = = 50 + 1 = 51 (0,25đ) 50 cap 5151 Vậy C = 101 (0,25đ) 51 b) (0,75đ) B = 3737.43 4343.37 2 4 6 100 Ta có: 3737.43 - 4343.37 = 34.43.101 - 43.101.37 = 0 (0,5đ) Vậy B = 0 ( vì 2 = 4 + 6 + + 100 0) (0,25đ) Bài 4 ( 1,5đ): Ta có: 210 = 1024 (0,25đ) 10 5 2100 = 210 = 102410 = 10242 (0,75đ) = ( 76)5 = 76 (0,5đ) Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76 38
  39. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Bài 5 (1,5đ): Nếu đi từ A đến D bằng con đường a1: a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; (0,5đ) Đi từ A đến D bằng con đường a2: a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; (0,5đ) Đi từ A đến D bằng con đường a3: a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3; (0,5đ) Vậy tập hợp M: M = { a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3;} Bài 6 ( 2đ): Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong 99 điểm còn lại, ta vẽ được 99 đường thằng (0,5đ) Làm như vậy với 100 điểm ta được 99.100 đường thẳng (0,5đ) Nhưng mỗi đường thẳng được tính 2 lần, do đó tất cả có 99.100 : 2 = 4950 đường thẳng (1đ) Đáp án đề số 24 Bài 1 270.450 270.550 270(450 550) 270000 a. S = 3000 (2 18).9 90 90 2 a a a n b. Ta có nếu 1 thì (n N * ) b b b n 20062006 1 20062006 1 2005 20062006 2006 2006(20062005 1) 20062005 1 A B . 20062007 1 20062007 2005 1 20062007 2006 2006(20062006 1) 20062006 1 Vậy A < B Bài 2 2 3 99 100 a. C = 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 = 2(1 +2 + 22+ 23+ 24) + 26(1 + 2 + 22+ 23+ 24)+ + (1 + 2 + 22+ 23+ 24).296 = 2 . 31 + 26 . 31 + + 296 . 31 = 31(2 + 26 + +296). Vậy C chia hết cho 31 2 3 99 100 2 3 4 100 101 b. C = 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 2C = 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 Ta có 2C – C = 2101 – 2 2101 = 22x-1 2x – 1 = 101 2x = 102 x = 51 Bài 3: Gọi số cần tìm là A: A = 4q1 + 3 = 17q2 + 9 = 19q3 + 13 (q1, q2, q3 thuộc N) A + 25 = 4(q1 +7) = 17(q2 +2) = 19(q3 + 2) A + 25 chia hết cho 4; 17; 19 A + 25 =1292k A = 1292k – 25 = 1292(k + 1) + 1267 khi chia A cho 1292 dư 1267 Bài 4 Tổng số điểm của 10 lớp 6A là 39
  40. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 (42 - 39) . 1 + (39 - 14) . 2 + (14 - 5) . 3 + 5 . 4 = 100(điểm 10) 24 25 n(n 1) Bài 5: Có 300 đường thẳng. Với n điểm có đường thẳng 2 2 Đáp án đề số 25 Câu 1 : Tính giá trị biểu thức : a) Tổng : S =1 +2 +3 + +100 có 100 số hạng . S = ( 1+ 100) + (2 +99) + (3 + 98) + + 950 + 51) có 50 cặp. = 50 . 10 = 5050 1 3 3 4 4 4 4(3 ) 4 1 b) A = 1 . 3 37 53 : 17 19 2003 5 1 3 3 5 5 5 (3 ) 5 3 37 53 17 19 2003 1 1 1 4(1 ) 6 4 6 4 4 6 4.5 Ta có : A = - . : 17 19 2003 = - . : . 6 5 1 1 1 1 5 1 5 5 4 5(1 ) 17 19 2003 c) B = 1 + 1 +1 + 1 + + 1 2.3 3.4 4.5 5.6 99.100 Ta có : B = 1 - 1 +1 -1 + 1 -1 + + 1 -1 = 1 - 1 = 99 2 2 3 3 4 99 100 100 100 2) Câu 2. So sánh . a) Ta có : 3200 =(32)100 = 9100 ; 2300 =(23)100 = 8100 Vì 9100 > 8100 Nên 3200 > 2300 121212 2 404 121212 :10101 2 404 :101 12 2 4 12 2 4 b) A = A 171717 17 1717 171717 :10101 17 1717 :101 17 17 17 17 Vậy A = 10 hay A =B = 10 17 17 3) Bài 3. Để số có 4 chử số *26* , 4chữ số khác nhau mà 4 chữ số *26* chia hết cho cả 4 số 2; 5; 3; 9. Ta cần thoả mản : Số đó đảm bảo chia hết cho 2 nên số đó là số chẳn. Số đó chia hết cho 5 nên số đó phải có chữ số tận cùng là số 0 hoặc 5.Số đó vừa chia hết cho 3 và 9.Nên số đó phải có tổng các chữ số chia hết cho 9. Vậy : Chữ số tận cùng của số đó là 0 *260 . Chữ số đầu là số 1 Do đó số đã cho là 1260 Bài 4. Tìm số tự nhiên n. Mà 1! +2!+3! + +n! là bình phương của một số tự nhiên. Xét : n = 1 1! = 12 n = 2 1! +2! = 3 n=3 1! + 2! + 3! = 9 =32 n = 4 1!+ 2! +3! + 4! =33 Với n >4 thì n! = 1.2.3 n là mội số chẳn .Nên 1!+2!+ +n! =33 cộng với một số chẳn bằng sốcó chữ số tận cùng của tổng đó là chữ số 3 .Nên nó không phải là số chính phương. 40
  41. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Vậy chỉ có hai giá trị n=1 hoặc n=3 thì 1! +2! + 3! +4! + +n!là số chính phương. Bài 5 Giải 1 giờ xe thứ nhất đi đươc 1 quảng đường AB. 2 1 giờ xe thứ 2 đi được 1 quảng đường AB . 3 1 giờ cả 2 xe đi được 1 +1 = 5 quảng đương AB. 2 3 6 Sau 10 phút = 1 giờ : Xe thứ nhất đi được 1 . 1 = 1 quảng đường AB. 6 6 2 12 Quảng đường còn lại là: 1 11 1 - (của AB) 12 12 Thời gian hai xe cùng đi quảng đường còn lại là: 11 :5 = 11 giờ = 1 giờ 6 phút. 12 6 10 Hai xe gặp nhau lúc 7 giờ 10 phút + 1 giờ 6 phút = 8 giờ 16 phút . Đáp án : 8 giờ 16 phút. (0,25đ) Bài 6. Hình học. (tự vẽ hình) (2đ) Vì : x· Oy = 1200 , A· Oy = 750, điểm A nằm trong góc xOy nên tia OA nằm giữa hai tia Ox và Oy. Ta có : x· OA = x· Oy - A· Oy =1200 - 750 = 450 Điểm B có thể ở hai vị trí : B và B’. (0,75đ) +, Tại B thì tia OB nằm ngoài hai tia Ox, OA nên B· Ox + x· OA = 1350 + 450 = 1800 . Do đó ·BOA = B· Ox + x· OA =1800 . Nên 3 điểm A,O,B thẳng hàng. (0,75đ) +, Còn tại B’ thì : x· OB' = 1350 b. a) Gọi d thuộc ƯC(a,b) thì a – b  d ta sẽ chứng minh d ≤ 25 thật vậy giả sử d > 25 thì b>25 ta có a ≤ 50 mà b >25 nên 0< a – b < 25, không thể xảy ra a – b d ; d = 25 xảy ra khi a = 50; b = 25 vậy hai số có ƯCLN đạt giá trị lớn nhất là 50 và 25 c) BCNN(a,b) ≤ a.b ≤ 50.49=2450. 41
  42. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Vậy hai số có BCNN đạt giá trị lớn nhất là 50 và 49 Câu 4: (Học sinh tự vẽ hình) Ta thấy : A· OB + B· OC + A· OD >1800 vì nếu trái lại thì góc AOD có điểm trong chung với ba góc kia. Đặt A· OB = α ta có: A· OB + B· OC + A· OD + C· OD = 3600 α +3α+5α+6α=3600 α = 240. Vậy: A· OB = 240 ; B· OC =720 ; C· OD = 1200 ; D· OA = 1440 Đáp án đề số 27 Câu 1: (3đ). a. Vẽ được sơ đồ cho (1,5đ). - Số học sinh thích đúng 2 môn bóng đá và bơi: 14 – 10 = 4 (hs) - Số học sinh thích đúng hai môn bơi và bóng chuyền: 13 – 10 = 3 (hs). - Số học sinh thích đúng hai môn bóng đá và bóng chuyền: 15 – 10 = 5 (hs) - Số học sinh chỉ thích bóng đá: 20 – (4 + 10 + 5) = 1 (hs) - Số học sinh chỉ thích bơi: 17 – (4 + 10 + 3) = 0 (hs). - Số học sinh chỉ thích bóng chuyền: 36 – (5 + 10 + 3) = 18 (hs). Vậy: Số học sinh của lớp là: 1 + 0 + 18 + 4 + 10 + 5 + 3 + 12 + = 53 (hs). b. (1,5 đ) A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 58 59 60. * Từ 1 đến 9 có : 9 chữ số Từ 10 đến 60 có: 51 . 2 = 102 chữ số. Vậy: Số A có 9 + 102 = 111 chữ số. (0,5đ) * Nếu xóa 100 chữ số trong số A thì số A còn 11 chữ số. Trong số A có 6 chữ số 0 nhưng có 5 chữ số 0 đứng trước các chữ số 51 52 53 . 58 59 60. Trong số nhỏ nhất có 5 chữ số 0 đứng trước số nhỏ nhất là số có 6 chữ số. Số nhỏ nhất là 00000123450 = 123450 (0,5đ). * Trong số A có 6 chữ số 9. Nếu số lớn nhất có 6 chữ số 9 đứng liền nhau thì số đó là: 99999960 Số này chỉ có 8 chữ só không thỏa mãn. Số lớn nhất chỉ có 5 chữ số 9 liền nhau số đó có dạng 99999 . Các chữ số còn lại 78 59 60. Vậy số lớn nhất: 99999785860. Câu 2: (2,5đ). a.(1,5đ). A = 5 + 52 + + 596 5A =52 + 53 + + 596 + 597 597 - 5 5A – A = 597 - 5 A = 4 Tacó: 597 có chữ số tận cùng là 5 597 – 5 có chữ số tận cùng là 0. Vậy: Chữ số tận cùng của A là 0. b. (1đ). Có: 6n + 3 = 2(3n + 6) – 9 6n + 3 chia hết 3n + 6 2(3n + 6) – 9 chia hết 3n + 6 9 chia hết 3n + 6 3n + 6 = 1 ; 3 ; 9 3n + 6 - 9 - 3 - 1 1 3 9 n - 5 - 3 - 7/3 - 5/3 - 1 1 Vậy; Với n = 1 thì 6n + 3 chia hết cho 3n + 6. Câu 3: (2,5đ). a. (1đ). 42
  43. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Gọi số tự nhiên cần tìm là a (a > 0, a N) Theo bài ra ta có: - a chia cho 3 dư 2 a – 2 chia hết cho 3 - a chia cho 4 dư 3 a – 3 chia hết cho 4 - a chia cho 5 dư 4 a – 4 chia hết cho 5 - a chia cho 10 dư 9 a – 9 chia hết cho 10 a = BCNN(3, 4, 5, 10) = 60. b.(1,5đ). 11n + 2 + 122n + 1 = 121 . 11n + 12 . 144n =(133 – 12) . 11n + 12 . 144n = 133 . 11n + (144n – 11n) . 12 Tacó: 133 . 11n chia hết 133; 144n – 11n chia hết (144 – 11) 144n – 11n chia hết 133 11n + 1 + 122n + 1 Câu 4: (2đ). n n 1 Số đường thẳng vẽ được qua n điểm: 105 2 n .(n – 1) = 210 = 2 . 5 . 3 . 7 = 10 . 14 n. (n – 1) = 6 . 35 = 15 . 14. Vì n và n – 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên: n = 14 Vậy n = 14. Đáp án đề số 28 Bài 1:(2,25 điểm) 7 1 2 5 4 45 44 89 a) x= ; b) x= ; c) x = 32 25 5 25 11 9 99 99 Bài 2:(2,25 điểm) Tính tổng sau bằng cách hợp lý nhất: a) A = (11 + 20) + (12 + 19) + (13 + 18) + (14 + 17) + (15+ 16) = 31 + 31 + 31 +31+ 31 = 31.5= 155 b) B = (11+25)+(13+23)+(15 + 21)+(17 +19) = 36.4 = 144. c) C = (12 +26)+(14+24)+(16 +22)+(18 +20) = 38.4 = 152. Bài 3:(2,25 điểm) Tính: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 A= 11 16 16 21 21 26 61 66 11 66 66 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 B= 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2006 C = 1 1 2 2 3 1989 1990 2006 2007 2007 2007 Bài 4:(1 điểm) 102002 10 9 Ta có: 10A = = 1 + (1) 102002 1 102002 1 102003 10 9 Tương tự: 10B = = 1 + (2) 102003 1 102003 1 9 9 Từ (1) và (2) ta thấy : 10A > 10B A > B 102002 1 102003 1 Bài 5:(2,25 điểm) A 43
  44. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 a) Trên tia BA ta có BK = 2 cm. BA = 7cm nên BK n+2 ư ( 18) = 1;2;3;6;9;18 (0,25đ) +, n + 2= 1 n= - 1 (loại) +, n + 2= 2 n= 0 +, n + 2= 3 n= 1 +, n + 2= 6 n= 4 +, n + 2= 9 n= 7 +, n + 2= 18 n= 16 Vậy n 0;1;4;7;16 thì B N (0,25đ) c. (1 điểm) Ta có 55 =5.11 mà (5 ;1) = 1 (0,25đ) C5 1 Do đó C =x1995y 55 (0.25đ) C11 2 (1) => y = 0 hoặc y = 5 +, y= 0 : (2) => x+ 9+5 – ( 1+9 +0) 11 => x = 7 (0,25đ) +, y =5 : (2) = > x+9 +5 – (1+9+5 )  11 => x = 1 (0,25đ) Baì 2 (2 điểm) a( 1điểm) 10 10 10 10 5 5 5 5 M = = (0,25đ) 56 140 260 1400 4.7 7.10 10.13 25.28 5 1 1 1 1 1 1 1 1 =. (0,25đ) 3 4 7 7 10 10 13 25 28 5 1 1 5 6 5 = . . (0,5đ) 3 4 28 3 28 14 44
  45. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 b. (1 điểm) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 S = => S > 1 (1) (0,5đ) S= 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 20 => S 1 BN ( 2 > 1) => N năm giữa B và M. ( 0,25đ) MN = BM – BN = 1 cm = BN.=> N là đường trung điểm của BM . (0,5đ). c. Đường tròn tâm N đi qua B nên CN = NB = 1 cm (0,25đ) Đường tròn tâm A đi qua N nên AC = AN = AM + MN = 4 cm (0.25đ) Chu vi ΔCAN = AC + CN = NA = 4 + 4+1= 9 (cm) (0,5đ) Đáp án đề số 30 Bài 1( 2 điểm): 2 1 1 a)- Từ giả thiết ta có: x (1) (0,25đ) 3 4 1 1 1 1 x hoặc x (0,25đ) 3 2 3 2 5 1 - Từ đó tìm ra kết quả x = ; x (0,5đ) 6 6 b) Nếu x = 0 thì 5y = 20 + 624 = 1 + 624 = 625 = 54 y = 4 ( y N) (0,5đ) Nếu x 0 thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi x, y N : vô lý (0,25đ) Vậy: x = 0, y = 4 (0,25đ) Bài 2( 2 điểm): 22 22 1 51 51 22 51 22 51 a) (1đ) 45 44 2 102 101 45 101 45 101 20092010 2 20092010 2 20092010 2 2011 20092010 2009 b) B 1 B 20092011 2 20092011 2 20092011 2 2011 20092011 2009 45
  46. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 2009(20092009 1) 20092009 1 A. Vậy: A > B (1đ) 2009(20092010 1) 20092010 1 Bài 3( 2 điểm): Gọi số tự nhiên phải tìm là x. - Từ giả thiết suy ra (x 20)25 và (x 20)28 và (x 20)35 x+ 20 là bội chung của 25; 28 và 35. (0,5đ) - Tìm được BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700 k N . (0,5đ) - Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ra x 999 x 20 1019 k = 1 (0,5đ) x + 20 = 700 x = 680. (0,5đ) Bài 4( 2 điểm): Máy một và máy hai bơm 1 giờ 20 phút hay 4 giờ đầy bể nên một giờ máy một và 3 3 hai bơm được bể . (0,25đ) 4 Máy hai và máy ba bơm 1 giờ 30 phút hay 3 giờ đầy bể nên một giờ máy hai và ba 2 2 bơm được bể. (0,25đ) 3 Máy một và máy ba bơm 2 giờ 24 phút hay 12 giờ đầy bể nên một giờ máy một và ba 5 5 bơm được bể. (0,25đ) 12 3 2 5 11 Một giờ cả ba máy bơm :2 bể. (0,25đ) 4 3 12 12 11 3 1 Một giờ:máy ba bơm được bể . Máy ba bơm một mình 6 giờ đầy bể 12 4 6 (0,25đ) 11 2 1 máy một bơm được bể Máy một bơm một mình 4 giờ đầy bể (0,25đ) 12 3 4 11 5 1 máy hai bơm được bể Máy hai bơm một mình 2 giờ đầy bể(0,25 đ) 12 12 2 Kết luận x (0,25 đ) Bài 4( 2 điểm): Hình vẽ (0,25đ) a)Lập luận được: xÔm + mÔy = xÔy hay:900 +mÔy = xÔy (0,25đ) yÔn + nÔx = xÔy hay:900 + nÔx = xÔy (0,2đ) xÔn = yÔm (0,25 đ) b) Lập luận được : xÔt = tÔy (0,25đ) xÔt = xÔn + nÔt (0,25đ) tÔy = yÔm + mÔt (0,25đ) nÔt = mÔt (0,25đ) Ot là tia phân giác của góc mOn (0,25 đ) 46