Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 2 - Năm học 2020-2021

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 2 - Năm học 2020-2021

1. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học 2020-2021 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút. ( Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) Câu1 (4,0 điểm) 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 6x 5 b) x4 2020x2 2019x 2020 x2 2x 2x2 1 2 2. Cho biểu thức: A 2 2 3 1 2 (x 0;x 2) 2x 8 8 4x 2x x x x a) Rút gọn biểu thức A. b)Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Câu 2(4,0 điểm) 1 1 1 1 1. Giải phương trình : x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 13x2 y2 4xy – 2y –16x 2015 Câu 3 (4,0 điểm) 1.Tìm số dư trong phép chia của biểu thức x 2 x 4 x 6 x 8 2015 cho đa thức x2 10x 21 . 2. a. Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : a b c 3 b c a a c b a b c b.Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a b 1. 1 Chứng minh: a3 b3 ab 2 Câu 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A AC AB ,đường cao AH (H BC ). Trên tia HC lấy điểm D sao choHD HA . Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a, Chứng minh rằng: BEC : ADC . Tínhđộdài đoạn BE theom AB ? b, Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng: BHM : BEC . Tính số đo của góc AHM? GB HD c, Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: . BC AH HC Câu 5 (2,0 điểm)Tìm các cặp số nguyên x ; y thỏa mãn: x4 y4 3y2 1 Hết (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học 2020-2021 MÔN: TOÁN (Hướngdẫnchấmgồm 04 trang) Câu Đápán Điểm 1. (1.5 điểm) a) x2 + 6x + 5 = x2 + x + 5x + 5 0,5 = x(x + 1) + 5(x + 1) = x 1 x 5 b) x4 2020x2 2019x 2020 4 2 0,5 = x x 2020x 2020x 2020 = x x 1 x2 x 1 2020 x2 x 1 0,25 2 2 = x x 1 x x 2020 0,25 2. (2.5 điểm) a. x2 2x 2x2 1 2 A 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x Câu 1 (4,0 x2 2x 2x2 x2 x 2 điểm) 2 2 2 4 2 x x 2 x x 0,5 2 x 4 x2 2x 2 x 4x2 x x 1 2 x 1  2 x2 4 2 x x2 0,5 2 x x 4 x 1 x 2 x 1  2 x2 4 2 x x2 2x 0,5 b,Tìmgiátrịnguyêncủa x để A nhậngiátrịnguyên. x 1 0,5 * ¢ x 1  2x 2x 2  2x Mà 2x2x 2x 2  2x 1  x x 1hoặc x 1 0,25 * Ta thấy x 1 hoặc x 1(TMĐKXĐ) x 1 0,25 +Vậy ¢ khi x 1 hoặc x 1 2x 1. (2,0 điêm) ĐKXĐ: x 4;x 5;x 6;x 7 0,25 Phươngtrìnhtrởthành :
3. 1 1 1 1 0,5 (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 0,25 1 1 1 Câu 2 x 4 x 7 18 0,25 (4,0 0,25 điểm) 18 x 7 18 x 4 x 7 x 4 x 13 x – 2 0 0,25 Từ đó tìm được: x= -13; x=2 và kết luận đúng 0,25 2. (2,0 điểm) A 13x2 y2 4xy 2y 16x 2015 y2 4xy 2y 13x2 16x 2015 0,5 y2 2y 2x 1 2x 1 2 9x2 12 x 2015 0,5 y 2x 1 2 3x 2 2 2010 0,5 2 1 0,5 Chứngtỏ A 2010, dấu " =" xảyrakhivàchỉkhi (x = ; y = ) 3 3 2 1 Vậy min A = 2010 khi (x = ; y = ) 3 3 1. ( 1,5 điểm) P(x) x 2 x 4 x 6 x 8 2015 x2 10x 16 x2 10x 24 2015 0,5 Đặt t x2 10x 21 (t 3; t 7) , biểu thức P(x) được viết lại: 0,25 P(x) t 5 t 3 2015 t 2 2t 2000 0,5 Do đókhi chia t 2 2t 2000 cho t ta cósốdưlà 2000 0,25 2. (2,5 điểm) a, Câu 3 Đặt: b c a x 0; c a – b y 0; a b – c z 0 0,5 ( 4.0 y z x z x y điểm) Từ đó suy ra: a ;b ;c ; 2 2 2 y z x z x y 1 y x x z y z 0,5 A= ( ) ( ) ( ) 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 0,25 Từđósuyra A (2 2 2) hay A 3 2 1 1 0,25 b, Ta có a3 b3 ab 1 a3 b3 ab 0 2 2
4. 1 1 0,25 a b a 2 b2 ab ab 0 a 2 b2 0 vì a b 1 2 2 0,25 2a 2 2b2 1 0 2a 2 2 1 a 2 1 0 vì b 1 a 2a 2 2 4a 2a 2 1 0 0,25 2 0,25 2 1 1 4(a a ) 0 4 a 0 a (2) 4 2 .ĐPCM 0,5 a,Hai tam giác ADC và BEC có: Cµ là góc chung. CD CA (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng) 0,75 CE CB Do đó, BEC : ADC (c.g.c). Suy ra:B· EC A· DC 1350 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết), nênA· EB 450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. 0,75 Câu 4 Suy ra: BE AB 2 m 2 (6,0 BM 1 BE 1 AD 0,75 điểm) b,Ta có:   (vì BEC : ADC ) BC 2 BC 2 AC mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H) 0,75 BM 1 AD 1 AH 2 BH BH nên   (do ABH : CBA ) BC 2 AC 2 AC AB 2 BE Do đó: BHM : BEC (c.g.c), suyra: 0,5 B· HM B· EC 1350 A· HM 450 c, Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác B· AC 0,5 GB AB GC AC Mà : 0,25 AB ED ( ABC : DEC) (1) AC DC ED AH 0,25 (ED / /AH) (2) DC HC AH HD 0,25 (AH DH) (3) HC HC
5. AB HD 0,25 Từ (1), (2), (3) suy ra: AC HC GB HD GB HD GB HD 0,5 Do đó: GC HC GB GC HD HC BC AH HC Ta có x2 y2 2y 13 x2 y 1 2 12 0,5 x y 1 x y 1 12 0,25 Câu 5 Do x y 1 x y 1 2y 2 là số chẵn và x, y ¥ * nên 0,5 (2,0 x y 1 x y 1 điểm) Do đó: x y 1 và x y 1 là hai số nguyên dương chẵn. 0,5 Từ đó suy ra chỉ có một trường hợp: x y 1 6 và x y 1 2 x 4 và y 1 . Vậy: x;y 4;1 0,25