Bài giảng Toán Lớp 7 Sách Kết nối tri thức - Bài 14: Các số đặc trưng. Đo độ phân tán

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 7 Sách Kết nối tri thức - Bài 14: Các số đặc trưng. Đo độ phân tán

1. CHƯƠNG VCHƯƠNG. CÁC SỐ ĐẶC I TRƯNG CỦA MẪU SỐ LIỆU KHÔNG GHÉP NHÓM §12. Số Gần Đúng Và Sai Số §13. Các Số Đặc Trưng Đo Xu Thế Trung Tâm §14. Các Số Đặc Trưng Đo Độ Phân Tán
2. CHƯƠNG V. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNGCHƯƠNG CỦA MẪU I SỐ LIỆU KHÔNG GHÉP NHÓM TOÁN ĐẠI SỐ 14 CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG. ➉ ĐO ĐỘ PHÂN TÁN 1 KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ CÁC KHOẢNG TỨ VỊ 2 PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN 3 PHÁT HIỆN SỐ LIỆU BẤT THƯỜNG 4 HOẶC KHÔNG CHÍNH XÁC BẰNG BIỂU ĐỒ HỘP
3. CHƯƠNG V. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNGCHƯƠNG CỦA MẪU I SỐ LIỆU KHÔNG GHÉP NHÓM TOÁN ĐẠI SỐ 14 CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG. ➉ ĐO ĐỘ PHÂN TÁN Dưới đây là điểm trung bình môn học kỳ I của hai bạn An và Bình: An 9,2 8,7 9,5 6,8 8,0 8,0 7,3 6,5 Bình 8,2 8,1 8,0 7,8 8,3 7,9 7,6 8,1 Điểm trung bình môn học kì của An và Bình đều là 8,0 nhưng rõ ràng Bình “học đều” hơn An. 4 Có thể dùng những số đặc trưng nào để đo mức độ “học đều”? Bài này sẽ giới thiệu một vài số đặc trưng như vậy.
4. HĐ1:HĐ1: MộtMột cổ độngđộng viên viên của của câu câu lạc lạc bộ bộ Everton, Everton, Anh Anh đã thống đã thống kê điểm kê điểmsố mà số hai mà hai hai câu lạc bộ Leicester City và Everton đạt được trong năm mùa giải Ngoại hạng Anh gần haiđây, câu từ mùa lạc bộgiải Leicester 2014 – 2015 City đến và mùaEverton giải 2018 đạt được – 2019 trong như sau:năm mùa giải Ngoại hạngLeicester Anh City: gần đây, từ mùa giải 2014 – 2015 đến mùa giải 2018 – 2019 như 41 81 44 47 52 sau:Everton: Leicester47 47 City:61 49 54. Cổ động viên đó cho rằng, Everton thi đấu ổn định hơn Leicester City. Em có đồng ý 41với nhận81 định44 này không?47 52Vì sao? Everton: 47 47 61 49 54. Cổ động viên đó cho rằng, Everton thi đấu ổn định hơn Leicester City. Em có đồng ý với nhận định này không? Vì sao?
5. Lời Giải. • Trong 5 mùa giải, điểm thấp nhất, cao nhất của Leicester City lần lượt • Ta có câu lạc bộ Leicester City có là 41; 81 trong khi của Everton là điểm cao nhất là 81 và điểm thấp 47; 61. Về trực quan, thành tích của nhất là 41 nên khoảng cách giữa Everton ổn định hơn Leicester City. điểm cao nhất và thấp nhất là 40. Người ta có nhiều cách để đo sự ổn • Câu lạc bộ Everton có điểm cao định này. Cách đơn giải nhất là dung hiệu số (Điểm cao nhất – Điểm thấp nhất là 61 và điểm thấp nhất là 47 nhất). Giá trị này được gọi là khoảng nên khoảng cách giữa điểm cao biến thiên. nhất và thấp nhất là 14. • Ta thấy nên câu lạc bộ Everton thi Khoảng biến thiên, kí hiệu là R, là đấu ổn định hơn. hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu.
6. 1. KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ Định nghĩa Khoảng biến thiên, kí hiệu là R, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu. Ý nghĩa Khoảng biến thiên dùng để đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
7. . Ví dụ 1 Lời Giải. Điểm kiểm tra học kì môn Toán của a) Điểm kiểm tra trung bình của hai các bạn Tổ 1, Tổ 2 lớp 10A được cho tổ đều bằng 8. như sau: b) Đối với Tổ 1: Điểm kiểm tra thấp Tổ 1: 7 8 8 9 8 nhất, cao nhất tương ứng là 7;9. Do 8 8 đó, khoảng biến thiên là: 푹 = − = Tổ 2: 10 6 8 9 9 . 7 8 7 8. Đối với Tổ 2: Điểm kiểm tra thấp nhất, a) Điểm kiểm tra trung bình của hai cao nhất tương ứng là 6;10. Do đó, tổ có như nhau không? khoảng biến thiên là: 푹 = − = ퟒ. b) Tính các khoảng biến thiên của Do 푹 > 푹 nên ta nói các bạn Tổ 1 hai mẫu số liệu. Căn cứ trên chỉ số học đều hơn các bạn Tổ 2. này, các bạn tổ nào học đồng đều hơn?
8. Luyện tập 1. Mẫu số liệu sau cho biết chiều cao (đơn vị cm) của các bạn trong tổ: 163 159 172 167 165 168 170 161 Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu này. Lời Giải. Chiều cao thấp nhất, cao nhất tương ứng là ; . Do đó, khoảng biến thiên là: 푹 = − = . Nhận Xét: Sử dụng khoảng biến thiên có ưu điểm là đơn giản, dễ tính toán song khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mà bỏ qua thông tin từ tất cả các giá trị khác. Do đó, khoảng biến thiên rất dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.
9. • HĐ2: Trong một tuần, nhiệt độ cao nhất trong ngày (đơn vị °C) tại hai thành phố Hà Nội và Điện Biên được cho như sau: • Hà Nội: 23 25 28 28 32 33 35 • Điện Biên: 16 24 26 26 26 27 28 • a) Tính các khoảng biến thiên của mỗi mẫu số liệu và so sánh. • b) Em có nhận xét gì về sự ảnh hưởng của giá trị 16 đến khoảng biến thiên của mẫu số liệu về nhiệt độ cao nhất trong ngày tại Điện Biên? • c) Tính các tứ phân vị và hiệu cho mỗi mẫu số liệu. Có thể dùng hiệu này để đo độ phân tán của mẫu số liệu không? Lời Giải. a) Ở Hà Nội, nhiệt độ thấp nhất, cao nhất trong ngày tương ứng là: 23; 35. Do đó, khoảng biến thiên là 푹 = − = . Ở Điện Biên, nhiệt độ thấp nhất, cao nhất trong ngày tương ứng là 16; 28. Do đó, khoảng biến thiên là 푹 = − = .
10. Lời Giải. b) Số 16 làm cho khoảng biến thiên về nhiệt độ tại Điện Biên lớn hơn c) Ở Hà Nội: 23 25 28 28 32 33 35. Mẫu số liệu gồm 7 giá trị nên số trung vị là 푸 = . Nửa số liệu bên trái gồm 23; 25; 28 gồm 3 giá trị nên 푸 = . Nửa số liệu bên phải gồm 32; 33; 35 gồm 3 giá trị nên 푸 = . Khi đó, 푸 − 푸 = − = . Ở Điện Biên: 16 24 26 26 26 27 28. Mẫu số liệu gồm 7 giá trị nên số trung vị là 푸 = . Nửa số liệu bên trái gồm 16; 24; 26 gồm 3 giá trị nên 푸 = ퟒ. Nửa số liệu bên phải gồm 26; 27; 28 gồm 3 giá trị nên 푸 = . Khi đó, 푸 − 푸 = − ퟒ = . Ta có thể dùng hiệu này để đo độ phân tán của mẫu số liệu.
11. 1. KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ Định Nghĩa Khoảng tứ phân vị, kí hiệu 휟푸, là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất, túc là:휟푸 = 푸 − 푸 Ý Nghĩa Khoảng tứ phân vị cũng là một số đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán Chú Ý Một số tài liệu gọi khoảng biến thiên là biên độ và khoảng tứ phân vị là độ trải giữa.
12. Ví dụ 2. Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống tại một rạp chiếu phim trong 9 ngày: 7 8 22 20 15 18 19 13 11. Tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này. Lời Giải. • Trước hết, ta sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: • 7 8 11 13 15 18 19 20 22. • Mẫu số liệu gồm 9 giá trị nên trung vị là số ở vị trí chính giữa 푸 = . • Nửa số liệu bên trái là 7, 8, 11, 13 gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 8, 11. • Do đó, 푸 = ( + ): = , . • Nửa số liệu bên phải là 18, 19, 20, 22 gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 19, 20. • Do đó, 푸 = ( + ): = , . • Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là: 휟푸 = , − , = .
13. Luyện tập 2. Mẫu số liệu sau đây cho biết số bài hát ở mỗi album trong bộ sưu tập của An: 12 7 10 9 12 9 10 11 10 14. Hãy tìm khoảng tứ phân bị cho mẫu số liệu này. Lời Giải. Trước hết, ta sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: • 7 9 9 10 10 10 11 12 12 14. + • Mẫu số liệu gồm 10 giá trị nên trung vị là 푸 = = . • Nửa số liệu bên trái là 7; 9; 9 ; 10 gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 9; 9. • Do đó, 푸 = ( + ): = . • Nửa số liệu bên phải là 11; 12; 12; 14 gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 12; 12. • Do đó, 푸 = ( + ): = . • Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là:휟푸 = − = . .
14. 2. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN • Khoảng biến thiên chỉ sử dụng •Phương sai là giá trị 풔 = thông tin của giá trị lớn nhất và 풙 −풙 + 풙 −풙 + + 풙풏−풙 . nhỏ nhất của mẫu số liệu (bỏ qua 풏 thông tin của tất cả các giá trị •Căn bậc hai của phương sai, 풔 = 풔 , khác), còn khoảng tứ phân vị chỉ sử được gọi là độ lệch chuẩn. dụng thông tin của 50% số liệu chính giữa. Có một vài số đặc trưng Chú Ý khác đo độ phân tán sử dụng thông Người ta còn sử dụng đại lượng để đo tin của tất cả các giá trị trong mẫu độ phân tán của mẫu số liệu: số liệu. Hai trong số đó là phương 풙 −풙 + 풙 −풙 + + 풙 −풙 • 풔ො = 풏 . sai và độ lệch chuẩn. 풏− • Cụ thể là với mẫu số liệu Ý Nghĩa 풙 , 풙 , . . . , 풙풏, nếu gọi số trung bình là Nếu số liệu càng phân tán thì phương 풙 thì với mỗi giá trị 풙풊, độ lệch của sai và độ lệch chuẩn càng lớn. nó so với giá trị trung bình là 풙풊 − 풙.
15. Ví dụ 3. Mẫu số liệu sau đây cho biết sĩ số của 5 lớp khối 10 tại một trường Trung học: 43 45 46 41 40 Tìm phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này. Giá trị Độ lệch Bình phương độ Lời Giải. lệch 43 43 – 43 = 0 0 • Số trung bình của mẫu số liệu là ퟒ +ퟒ +ퟒ +ퟒ +ퟒ • 풙 = = ퟒ . 45 45 – 43 = 2 4 • Ta có bảng sau: 46 46 – 43 = 3 9 41 41 – 43 = - 2 4 10 40 – 43 = - 3 9 Tổng 26
16. 2. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN Lời Giải. • Mẫu số liệu gồm 5 giá trị nên n=5. Do đó phương sai là 풔 = = , . Giá trị Độ lệch Bình phương độ lệch • Độ lệch chuẩn là: 풔 = , ≈ , . 43 43 – 43 = 0 0 • 45 45 – 43 = 2 4 46 46 – 43 = 3 9 41 41 – 43 = - 4 2 10 40 – 43 = - 9 3 Tổng 26
17. Luyện tập 3. Dùng đồng hồ đo thời gian có độ chia nhỏ nhất đến 0,001 giây để đo 7 lần thời gian rơi tự do của một vật bắt đầu từ điểm (푣 = 0) đến điểm . Kết quả đo như sau: 0,398 0,399 0,408 0,410 0,406 0,405 0,402 (Theo Bài tập Vật lí 10, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2018) Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này. Qua các đại lượng này, em có nhận xét gì về độ chính xác của phép đo trên? Giải 0,398+0,399+0,408+0,410+0,406+0,405+0,402 • Số trung bình của số liệu là: = = 0,404 7 • Ta có bảng sau: Giá trị Độ lệch Bình phương độ lệch 0,398 −0,006 3,6.10−5 0,399 −0,005 2,5.10−5 0,408 0,004 1,6.10−5 0,410 0,006 3,6.10−5 0,406 0,002 4.10−6 0,405 0,001 10−6 0,402 −0,002 4.10−6 Tổng 1,22.10−4 1,22.10−4 • Mẫu số liệu gồm 7 giá trị nên 푛 = 7. Do đó phương sai là: 푠2 = ≈ 7 1,74.10−5 • Độ lệch chuẩn là 푠 = 1,74.10−5 ≈ 4,17.10−3
18. 3 PHÁT HIỆN SỐ LIỆU BẤT THƯỜNG HOẶC KHÔNG CHÍNH XÁC BẰNG BIỂU ĐỒ HỘP. Trong mẫu số liệu thống kê, có khi gặp những giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ so với đa số các giá trị khác. Những giá trị này được gọi là giá trị bất thường. Chúng xuất hiện trong mẫu số liệu có thể do nhầm lẫn hay sai sót nào đó. Ta có thể dùng biểu đồ hộp để phát hiện những giá trị bất thường này. Các giá trị lớn hơn 푄3 + 1,5. 훥푄 hoặc bé hơn 푄1 − 1,5. 훥푄 được xem là giá trị bất thường.
19. Ví dụ 4. Hàm lượng Natri (đơn vị mg) trong 100 g một số loại ngũ cốc được cho như sau: 0 340 70 140 200 180 210 150 100 130 140 180 190 160 290 50 220 180 200 210. Tìm giá trị bất thường trong mẫu số liệu trên bằng cách sử dụng biểu đồ hộp. Giải Từ mẫu số liệu ta tính được 푄1 = 135 và 푄3 = 205. Do đó, khoảng tứ phân vị là: 훥푄 = 205 − 135 = 70 Biểu đồ hộp cho mẫu số liệu này là: Ta có 푄1 − 1,5. 훥푄 = 30 và 푄3 + 1,5. 훥푄 = 310 nên trong mẫu số liệu có hai giá trị được xem là bất thường là 340 mg (lớn hơn 310 mg) và 0 mg (bé hơn 30 mg).
20. Luyện tập 4. Một mẫu số liệu có tứ phân vị thứ nhất là 56 và từ phân vị thứ ba là 84. Hãy kiểm tra xem trong hai giá trị 10 và 100 giá trị nào được xem là giá trị bất thường. Giải Theo đề bài ta có 푄1 = 56 và 푄3 = 84, do đó, khoảng tứ phân vị là: 훥푄 = 84 − 56 = 28 Ta có 푄1 − 1,5. 훥푄 = 14 và 푄3 + 1,5. 훥푄 = 126 nên cả hai giá trị 10 và 100 đều không phải hai giá trị bất thường.
21. BÀI TẬP 5.11. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? (1) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn. (2) Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại. (3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất. (4) Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp. (5) Các số đo độ phân tán đều không âm. Giải Các khẳng định đúng: (2), (5). Các khẳng định sai: (1), (3), (4).
22. 5.12. Cho hai biểu đồ chấm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B như sau: Không tính toán, hãy cho biết: a) Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình không? b) Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn? Giải a) Khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu bằng nhau. Số trung bình của hai mẫu số liệu bằng nhau. b) Mẫu số liệu A có phương sai lớn hơn mẫu số liệu B.
23. 5.13. Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu: a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2. b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.Giải a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 thì: Khoảng biến thiên tăng gấp 2 lần. Khoảng tứ phân vị tăng gấp 2 lần. Độ lệch chuẩn tăng gấp 4 lần. b). Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 thì: Khoảng biến thiên giữ nguyên. Khoảng tứ phân vị giữ nguyên. Độ lệch chuẩn giữ nguyên.
24. 5.14. Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá Giải của 51 thành phố tại một quốc gia, a) Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 51 người ta tính được: thành phố tại một quốc gia, người ta tính Giá trị nhỏ nhất bằng 2,5; 푄1 = 36; 푄2 = được 푄1 = 36 nên có 12 thành phố có 60; 푄3 = 100; giá trị lớn nhất bằng 205. thuế thuốc lá lớn hơn 36. a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn Vì vậy, tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn 12 4 hơn 36 là bao nhiêu? hơn 36 là: = . 51 7 b) Chỉ ra hai giá trị sao cho có 50% giá b) Hai giá trị có 50% giá trị của mẫu số trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị liệu nằm giữa là 36 và 100. này. c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số 훥 = 푄 − 푄 = 100 − 36 = 64. liệu. 푄 3 1
25. 5.15. Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg): 2,977 3,155 3,920 3,412 4,236 2,593 3,270 3,813 4,042 3,387 Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này. Giải Trước hết, ta sẽ sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 2,593 2,977 3,155 3,270 3,387 3,412 3,813 3,920 4,042 4,236 Khoảng biến thiên là 푅 = 4,236 − 2,593 = 1,643. Ta có: 푄2 = 3,3995; 푄1 = 3,155; 푄3 = 3,920 Khoảng tứ phân vị là 훥푄 = 푄3 − 푄1 = 0,765. Độ lệch chuẩn là 푠 ≈ 0,52.
26. 5.16. Tỉ lệ thất nghiệp ở một số quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) được cho như sau: 7,8 3,2 7,7 8,7 8,6 8,4 7,2 3,6 5,0 4,4 6,7 7,0 4,5 6,0 5,4. Hãy tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên. Giải Từ mẫu số liệu ta tính được 푄1 = 4,5 và 푄3 = 7,8. Do đó, khoảng tứ phân vị là: 훥푄 = 7,8 − 4,5 = 3,3 Ta có 푄1 − 1,5훥푄 = −0,45 và 푄3 + 1,5훥푄 = 12,75 nên trong mẫu số liệu trên không có giá trị bất thường.