›
›
›

20 Đề thi thử chọn học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

docx 107 trang Kiều Nga 03/07/2023 3860
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "20 Đề thi thử chọn học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docx20_de_thi_thu_chon_hoc_sinh_gioi_cap_huyen_mon_toan_lop_8_co.docx

Nội dung text: 20 Đề thi thử chọn học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

  1. BDHSG Toán 8 ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 1) Câu 1: Cho bốn số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng: a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b Câu 2: Cho a,b là hai số tự nhiên. Biết rằng a chia cho 5 dư 3 và b chia cho 5 dư 2. Hỏi tích a.b chia cho 5 dư bao nhiêu ? Câu 3: Cho a b c 2 p . Chứng minh : 2bc b2 c2 a2 4 p p a 3 3 3 3 Câu 4: Cho các số nguyên a1,a2 ,a3 , ,an . Đặt S a1 a2 a3 an và P a1 a2 a3 an Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6. 1 1 4 1 4 Câu 5: a) Cho x, y > 0. Chứng minh rằng và x y x y xy x y 2 1 1 b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng 16 ac bc x2 2x 3 Câu 6: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A . x2 2 Câu 7: Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không có điểm chung với hình bình hành. Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy. Tìm hệ thức liên hệ độ dài giữa AA’, BB’, CC’ và DD’ . Câu 8: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và một đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác. Từ các đỉnh A, B, C và trọng tâm G ta kẻ các đoạn AA’, BB’, CC’ và GG’ vuông góc với đường thẳng d. Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’. Câu 9: Cho tam giác ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó. HA' HB ' HC ' a) Chứng minh: 1 ; AA' BB ' CC ' AA' BB ' CC ' b) Chứng minh: 9 ; HA' HB ' HC ' Câu 10: Cho tam giác ABC (AC > AB). Lấy các điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE, BC. Cmr: Tỉ số KE : KD không phụ thuộc vào cách chọn điểm D và E. HẾT Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 1
  2. BDHSG Toán 8 ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 2) Câu 1: a) Chứng minh rằng: 2130 3921 chia hết cho 45 b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n ta có: 5n 2 26.5n 82n 1 59 . x5 2x4 2x3 4x2 3x 6 Câu 2: Cho biểu thức M x2 2x 8 a) Rút gọn M b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức M bằng 0. Câu 3: Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số nguyên. 2x3 x2 2x 5 A 2x 1 Câu 4: Cho biểu thức M x a x b x b x c x c x a x2 1 1 1 Tính M theo a,b,c biết rằng x a b c 2 2 2 2 2 Câu 5: Giải phương trình: 2x2 x 2016 4 x2 3x 1000 4 2x2 x 2016 x2 3x 1000 Câu 6: Tìm giá trị của biến x để: 1 x2 x 1 a) P đạt giá trị lớn nhất b) Q đạt giá trị nhỏ nhất x2 2x 6 x2 2x 1 Câu 7: Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME  AB, MF  AD . a) Chứng minh DE = CF; DE  CF b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất? Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH  AC . Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD, N là trung điểm của BH. a) Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành; b) Tính góc BMK. Câu 9: Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy 1 hai điểm E và F.Chứng minh rằng S S .Với vị trí nào của hai điểm E và F thì S đạt giá DEF 2 ABC DEF trị lớn nhất? Câu 10: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ là AB, đáy lớn là CD. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD ở E, qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường chéo AC ở F. a) Chứng minh rằng tứ giác DEFC là hình thang cân; b) Tính độ dài EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm. HẾT Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 2
  3. BDHSG Toán 8 ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 3) 2 x 1 1 2x2 4x 1 x2 x Câu 1: Cho biểu thức R 2 3 : 3 3x x 1 x 1 x 1 x x a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức R được xác định; b) Tìm giá trị của x để giá trị của R bằng 0; c) Tìm giá trị của x để R 1 . Câu 2: Chứng minh: a) A 210 211 212 chia hết cho 7. b) B 6n 1 n 5 3n 5 2n 1 chia hết cho 2, với n Z . c) C 5n3 15n2 10n chia hết cho 30, với n Z . d) Nếu a x2 yz; b y2 xz; c z2 xy thì D ax by cz chia hết cho a b c . e) E x4 4x3 2x2 12x 9 là bình phương của một số nguyên, với x Z . 2018 2018 f) F x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho x 1 . g) G x8n x4n 1 chia hết cho x2n xn 1 , với n N . Câu 3: a) Tìm GTLN của A x 4 2 x 4 9x 2 b) Tìm GTNN của biểu thức B , với 0 x 2 2 x x Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. a) Chứng minh DE // BC. b) Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh ID = IE. Câu 5: Cho tam giác vuông cân ABC, µA 900 .Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ BD  CM , BD cắt CA ở E. Chứng minh rằng: a) EB.ED = EA.EC; b) BD.BE CA.CE BC 2 c) ·ADE 450 Câu 6: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC.Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F.Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K.Đường thẳng kẻ qua E,song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh rằng: a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi; b) AKF : CAF, AF 2 FK.FC ; c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh: EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi. Câu 7: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau ở E. Các tia phân giác của các góc ACE và DBE B· AC B· DC cắt nhau ở K. Chứng minh rằng: B· KC 2 HẾT Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 3
  4. BDHSG Toán 8 ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 4 ) a b c a c b b c a Câu 1: Cho ba số a,b,c khác 0 thỏa mãn đẳng thức: . c b a b c a Tính giá trị của biểu thức: P 1 1 1 a b c 2k 1 Câu 2: Cho a1,a2 ,a3 , ,a2018 là 2018 số thực thoả mãn ak 2 , với k 1,2,3, ,2018 . k 2 k Tính S2018 a1 a2 a3 a2017 a2018 7 7 5a b 3b 2a Câu 3: a) Biết a ,b và 2a b 7 . Tính giá trị của biểu thức P 3 2 3a 7 2b 7 2a b 5b a b) Biết b 3a và 6a2 15ab 5b2 0 . Tính giá trị của biểu thức Q 3a b 3a b Câu 4: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau: x2 y2 z2 t 2 x y z t . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? b) Chứng minh rằng với x, y bất kỳ, ta có: x4 y4 xy3 x3 y Câu 5: Rút gọn: a) M 90.10k 10k 2 10k 1, k N ; b) N 202 182 22 192 172 12 . Câu 6: Tính giá trị của biểu thức P x15 2018x14 2018x13 2018x12 2018x2 2018x 2018 , với.x 2017 Câu 7: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, K là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự ở M, N. Cmr: MA MB MA MB a) ; b) ND NC NC ND c) MA MB, NC ND Câu 8: Cho hình thang ABCD (AB // CD). AB = 28, CD=70, AD=35, vẽ một đường thẳng song song với hai cạnh đáy, cắt AD,BC theo thứ tự ở E và F. Tính độ dài EF, biết rằng DE = 10. Câu 9: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường thẳng qua I và song song với AC cắt AB ở K. Đường thẳng qua I và song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng DE =BK. Câu 10: Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của CD,CB. Gọi O là giao điểm của AE 2 và DF ; OA = 4OE; OD OF . Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành. 3 HẾT Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 4
  5. BDHSG Toán 8 ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 5) Câu 1: Tìm x, y biết : a) x2 2x y2 4y 5 0 b) x 2y x2 2xy 4y2 0 và x 2y x2 2xy 4y2 16 1 1 c) x2 y2 4 x2 y2 Câu 2: Giải và biện luận nghiệm của phương trình m2 x 1 x m theo m . Câu 3: Giải các phương trình: a) x 2 x 2 x2 10 72 2 2 x 2 x 2 x2 4 b) Giải phương trình: 3 25 20 2 0 x 1 x 1 x 1 Câu 4: Giải phương trình: x2 99x 1 x2 99x 2 x2 99x 3 x2 99x 4 x2 99x 5 x2 99x 6 a) 99 98 97 96 95 94 2 x 1 x x b) 1 2017 2018 2019 Câu 5: a) So sánh hai số A 332 1 và B 3 1 32 1 34 1 38 1 316 1 2019 2018 20192 20182 b) C và D 2019 2018 20192 20182 Câu 6: Cho x, y là hai số khác nhau, biết x2 y y2 x . Tính giá trị của biểu thức A x2 2xy y2 3x 3y Câu 7: Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh đối AB, CD của tứ giác ABCD cắt các đường IA KB thẳng AD, BC theo thứ tự ở I, K. Cmr: . ID KC Câu 8: Qua M thuộc cạnh BC của tam giác ABC vẽ các đường thẳng song song với hai cạnh kia. Chúng cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự ở H, K. Cmr: AH AK a)Tổng không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh BC. AB AC b)Xét trường hợp tương tự khi M chạy trên đường thẳng BC nhưng không thuộc đoạn thẳng BC. Câu 9: Cho tam giác ABC đều cạnh a, M là một điểm bất kỳ ở trong tam giác ABC. a 3 Chứng minh rằng: MA MB MC 2 Câu 10: Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N sao cho DN = BM. Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM cắt nhau tại F. Cmr: a) Tứ giác ANFM là hình vuông; b) Điểm F nằm trên tia phân giác của M· CN và ·ACF 900 ; c) Ba điểm B, O, D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang ( O là trung điểm của AF ) HẾT. Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 5
  6. BDHSG Toán 8 ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 6 ) Câu 1: Cho a b c 0 . Chứng minh rằng: a3 b3 a2c b2c abc 0 Câu 2: Cho x2 y2 z2 10 . Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 P xy yz zx 2 x2 yz y2 xz z2 xy . Câu 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x5 x 1 ; b) x5 x4 1 c) x8 x 1 ; d) x8 x7 1 1 1 1 1 Câu 4: Chứng minh rằng nếu ba số a,b,c thỏa mãn điều kiện: a b c 2018 và a b c 2018 thì một trong ba số a,b,c phải có một số bằng 2018. Câu 5: Giải các phương trình sau: b2 x2 a) x a2 x a ( Phương trình ẩn x ) b2 x2 x2 b2 1 1 1 10 b)  x 2000 x 2001 x 2001 x 2002 x 2009 x 2010 11 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 c) 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 Câu 6: a) Cmr : x 1 x 2 x 3 x 4 1 1 1 b) Cho các số dương a và b thỏa mãn điều kiện a b 1 . Cmr : 1 1 9 a b Câu 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD = 2DC. Cmr: BM vuông góc với AD. Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh rằng : AE = AB ; b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính ·AHM . Câu 9:Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. a) Chứng minh: BD.CE.BC AH 3 ; b) Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân. Câu 10: Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H, trên cạnh BH lấy điểm M và trên đoạn CH lấy điểm N sao cho ·AMC ·ANB 900 . Chứng minh rằng: AM = AN. . HẾT. Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 6
  7. BDHSG Toán 8 ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 7) Câu 1: Chứng minh rằng: a) Đa thức M x95 x94 x93 x2 x 1 chia hết cho đa thức N x31 x30 x29 x2 x 1 x3 x2 x b) Đa thức P x 1985. 1979 5. có giá trị nguyên với mọi x là số nguyên. 3 2 6 Câu 2: a)Xác định số hữu tỉ k để đa thức A x3 y3 z3 kxyz chia hết cho đa thức x y z b) Tìm đa thức bậc ba P x , biết rằng khi chia P x cho x 1 , cho x 2 , cho x 3 đều dư 6 và P 1 18 x2 x x 1 1 2 x2 Câu 3: Cho biểu P 2 : 2 x 2x 1 x x 1 x x a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P . 1 b) Tìm x để P . 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 Câu 4: . Rút gọn các phân thức: 2 2 3 2 2 3 2 2 3 x3 y3 z3 3xyz x y y z z x a)A ; b) B 3 3 3 x y 2 y z 2 z x 2 x y y z z x Câu 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a x y3 a y x3 x y a3 Câu 6: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 c b a a) b2 c2 a2 b a c b) x8 x7 x2 x 1 0 Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD và ACF lần lượt vuông cân tại B và C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF. Cmr: a) AH =AK ; b) AH 2 BH.CK Câu 8: Cho tam giác ABC, một đường thẳng cắt các cạnh BC, AC theo thứ tự ở D và E . và cắt cạnh BA ở F. Vẽ hình bình hành BDEH. Đường thẳng qua F và song song với BC cắt AH ở I. Cmr: FI = DC Câu 9: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD và đường trung tuyến AM. Qua điểm I thuộc AD vẽ IH vuông góc với AB, IK vuông góc với AC. Gọi N là giao điểm của HK và AM. Cmr : NI vuông góc với BC. Câu 10: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H. Một đường thẳng đi qua H cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Cmr: HM vuông góc với PQ. HẾT Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 7
  8. BDHSG Toán 8 ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 8) 4 3 2 Câu 1: Chứng tỏ rằng đa thức: Aluôn xkhông2 1 âm9 vớix2 mọi1 21 x2 1 x2 31 giá trị của biến x . x40 x30 x20 x10 1 Câu 2: a) Rút gọn phân thức: A x45 x40 x35  x5 1 x24 x20 x16 x4 1 b) Rút gọn phân thức: B x26 x24 x22 x2 1 1 1 1 Câu 3: Cho các số a,b,c khác 0, thoả mãn a b c 1 . a b c Tính giá trị của biểu thức a23 b23 a5 b5 a2019 b2019 Câu 4: Giải các phương trình sau: 1 1 1 2017 2016 2 1 1 1 1 2 2017 a)  .x  ; b)  2 3 2018 1 2 2016 2017 3 6 10 x x 1 2019 59 x 57 x 55 x 53 x 51 x 1.2 2.3 3.4  98.99 .x c) 5; d) 2018 41 43 45 47 49 323400 1 1 1 1 1 e) . x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 x2 11x 30 8 Câu 5: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y y z z x 8xyz . Chứng minh rằng: x y z Câu 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2a2b 4ab2 a2c ac2 4b2c 2bc2 4abc . Câu 7: Hình chữ nhật ABCD có M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Gọi E là một điểm bất kỳ thuộc tia đối của tia DC, K là giao điểm của EM và AC. Cmr: MN là tia phân giác của góc KNE . Câu 8: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB. Từ đỉnh D kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt đường chéo AC tại M và cắt cạnh đáy AB tại K. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt đường chéo BD tại I và cắt cạnh AB tại F. Qua F kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh bên BC tại P. Cmr: a) MP / / AB . b) Ba điểm M, I, P thẳng hàng. c) DC 2 AB.MI Câu 9: Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD ở E và cắt các đường thẳng BC, DC theo thứ tự ở K, G. CMR: a) AE 2 EK.EG ; 1 1 1 b) AE AK AG c) Khi đường thẳng thay đổi nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi. Câu 10: Cho tam giác ABC đều, các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AC, AB sao cho Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 8
  9. BDHSG Toán 8 AD = BE. Gọi M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Vẽ MH // CD, MK //BE (H AB; K AC). Cmr: Khi M chuyển động trên cạnh BC thì tổng MH + MK có giá trị không đổi. . HẾT. . ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 9) Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a) a b c 2 a b c 2 4b2 ; b) a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 3 3 3 c) a2 b2 c2 a2 b2 c2 Câu 2: Thực hiện phép tính: 1 2.36 1 36 53 a) A . 23.36 23.53 8 93 125 183 103 x3 y xy3 xy b) B x3 y3 x2 y xy2 x y a b c a2 b2 c2 Câu 3: Cho 1 . Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b 1 1 1 1 1 1 Câu 4: Chứng minh rằng nếu 2 và a b c abc thì 2 a b c a2 b2 c2 Câu 5: a) Tìm số có hai chữ sô mà bình phương của nó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng nếu cộng ba tích, mỗi tích của hai trong ba số đó thì được 26. c) Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 120 3 Câu 6: Cmr: a) a2 b2 c2 a b c 4 b) a4 b4 2 4ab Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác BD cắt đường cao AH tại I a) Chứng minh: tam giác ADI cân. b) Chứng minh: AD.BD BI.DC c) Từ D kẻ DK vuông góc BC tại K. Tứ giác ADKI là hình gì? Chứng minh điều ấy. Câu 8: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo cùng một tỉ số. Cmr: AE = DF; AE DF. 2 Câu 9: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có diện tích S, AB CD . Gọi E,F theo thứ tự là trung 3 điểm của AB,CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Tính diện tích tứ giác EMFN theo S. Câu 10: Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của BC. Điểm N trên cạnh CD sao cho Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 9
  10. BDHSG Toán 8 1 CN =2 ND. Gọi giao điểm của AM, AN với BD là P, Q. Cmr: S S APQ 2 AMN HẾT ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 10) Câu 1: Tìm GTNN của: 16 x2 2x 2018 x3 2000 a) A x 2007, x 3 ; b) B , x 0 ; c) C , x 0 x 3 2018x2 x 5n 11 Câu 2: a) Xác định n N để A là số tự nhiên; 4n 13 b) Chứng minh rằng: B n3 6n2 19n 24 chia hết cho 6 1 1 1 c) Tính tổng S n 2.5 5.8 3n 1 . 3n 2 Câu 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2 2 a) x2 x 2 x2 x 15 ; b) x2 2x 9x2 18x 20 ; c) x2 3x 1 x2 3x 2 6 ; d) x2 8x 7 x 3 x 5 15 Câu 4: Tìm tất cả các số tự nhiên k để đa thức f k k 3 2k 2 15 chia hết cho g k k 3 Câu 5: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện: 3x y 1 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3x2 y2 ; b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N xy Câu 6: Cho x, y, z thỏa điều kiện x y z 0 và xy yz zx 0 . Hãy tính giá trị của biểu thức: S x 1 2017 y2018 z 1 2019 Câu 7: Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội A phải lần lượt gặp các đối thủ của đội B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội. Câu 8: Cho góc xOy và điểm M cố định thuộc miền trong của góc. Một đường thẳng quay quanh M cắt tia Ox, Oy theo thứ tự ở A,B. Gọi S1,S2 theo thứ tự là diện tích của tam giác MOA, MOB. 1 1 Cmr: không đổi. S1 S2 Câu 9: Cho tam giác ABC. Các điểm D,E,F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo tỉ số 1:2. Các điểm I, K theo thứ tự chia trong các cạnh ED, FE theo tỉ số 1:2. Chứng minh: IK //BC. Câu 10: Cho hình thang ABCD (AB//CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC. a) Chứng minh IK// AB. b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E, F. Cmr: EI =IK = KF. Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 10
  11. BDHSG Toán 8 HẾT ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 11) x2 y2 x2 y2 Câu 1: Cho P x y 1 y x y 1 x 1 x 1 y a) Tìm ĐKXĐ của P , rút gọn P b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P 2 Câu 2: Xác định các số hữu tỉ a và b sao cho: a) x4 4 chia hết cho x2 ax b ; b) ax4 bx3 1 chia hết cho x 1 2 . Câu 3: Phân tích các đa thức thành nhân tử: 2 a) x2 4x 8 3x x2 4x 8 2x2 ; b) x2 2xy y2 x y 12 Câu 4: Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: A 20n 16n 3n 1 chia hết cho 323 Câu 5: Chứng minh rằng: a) x3 4x 1 3x2 với x 0 ; b) x 1 x 3 x 4 x 6 9 0 ; c) a2 4b2 4c2 4ab 4ac 8bc Câu 6: Rút gọn biểu thức: x 1 x 2 x 3 x 4 1 a) M x2 5x 5 1 1 2 4 8 16 b) N 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 x16 Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm K sao cho AH = HK. Vẽ KE  BC E AC . a) Gọi M là trung điểm của BE. Tính B· HM . GB AH b) Gọi G là giao điểm của AM vói BC. Chứng minh: . BC HK HC Câu 8:Cho tam giác ABC, µA 900 , đường cao AH, đường trung tuyến BM cắt AH tại I. Giả sử BH = AC. Chứng minh: CI là tia phân giac của ·ACB . Câu 9: a) Cho tam giác ABC có µA 1200 , AB 3cm, AC 6cm. Tính độ dài đường phân giác AD. 1 1 1 b) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn . Tính B· AC . AD AB AC Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 11
  12. BDHSG Toán 8 Câu 10: Cho tam giác ABC có AB 6cm, AC 8cm , các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Tính độ dài BC. HẾT ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 12) Câu 1: Cho a + b + c = 0 và a2 b2 c2 1 . Tính giá trị của biểu thức M a4 b4 c4 Câu 2: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn 2x 3y 7 . 8 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q x y b) Tìm GTLN của A x2 y2 xy x y a2 b2 a b Câu 3:Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta luôn có bất đẳng thức sau: 2 2 4 3 b a b a Câu 4: Giải các phương trình sau: a) x 3 3 x 1 3 56 b) x 6 4 x 8 4 16 c) x4 3x3 4x2 3x 1 0 Câu 5: Cho đa thức P x 2x4 7x3 2x2 13x 6 a) Phân tích P x thành nhân tử b) Chứng minh rằng P x 6 với mọi x Z . x4 2x2 1 Câu 6: Cho phân thức A x3 3x 2 a) Rút gọn A. b) Tính x để A 1 Câu 7: Cho hình vuông ABCD. Trên tia BC lấy điểm M nằm ngoài đoạn BC và trên tia CD lấy điểm N nằm ngoài đoạn CD sao cho BM = DN. Đường vuông góc với MA tại M và đường vuông góc với NA tại N cắt nhau ở F. Chứng minh: a) AMFN là hình vuông; b) CF vuông góc với CA. Câu 8: Cho hình vuông ABCD có giao điểm các đường chéo là O. Kẻ đường thẳng d bất kỳ qua O. Chứng minh rằng: Tổng các bình phương các khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vuông đến đường thẳng d là một số không đổi. x y 2 Câu 9: a) Chứng minh BĐT: x2 y2 2 b) Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm O ở trong tam giác vẽ OD  BC D BC , OE  CA E CA ,OF  AB F AB . Tìm vị trí của điểm O để tổng OD2 OE 2 OF 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 12
  13. BDHSG Toán 8 Câu 10: Cho hình thang vuông ABCD có µA Dµ 900 , AB 7cm, DC 13cm, BC 10cm . Đường trung trực của BC cắt đường thẳng AD ở N. Gọi M là trung điểm của BC. Tính MN. HẾT ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 13) a2 Câu 1: a) Chứng minh: b2 c2 ab ac 2bc 4 b) Chứng minh: a4 b4 c4 abc a b c 1 1 1 1 c) Chứng minh: với n N, n 1 . 5 13 n2 n 1 2 2 1 1 1 1 d) Chứng minh: với n N, n 1 9 25 2n 1 2 4 a2 b2 a b e) Cho a và b cùng dấu. Chứng minh: 2 2 0 b a b a Câu 2: a) Cho x y 1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x3 y3 b) Tìm GTNN của B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2023 Câu 3: Phân tích các đa thức thành nhân tử: a) 4x4 4x3 5x2 2x 1 ; b) 3x4 11x3 7x2 2x 1 Câu 4: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số abcd , biết rằng nó là một số chính phương, số abcd chia hết cho 9 và d là một số nguyên tố. x.y 5 x2 2xy y2 Câu 5: a) Cho , hãy tính A x2 y2 8 x2 2xy y2 x y z x2 y2 z2 b) Cho , hãy tính B a b c ax by cz 2 x2 3x 3 1 6x Câu 6: Cho biểu thức: P 3 2 2 : 3 2 x 3x 9x 27 x 9 x 3 x 3x 9x 27 a) Rút gọn P ; b) Với x 0 thì P không nhận những giá trị nào? c)Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên. Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng AD vuông góc với BC tại D. Đường phân giác BE FD EA cắt AD tại F. Chứng minh: FA EC Câu 8: Cho tam giác ABC. Kẻ phân giác trong và ngoài của góc B cắt AC ở I và D ( lần lượt theo thứ tự A, I, C, D ). Từ I và D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở M và N. a) Tính AB và MN, biết MI = 12cm, BC = 20cm. b) Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt BI tại E và cắt BD tại F. Chứng minh: BI.IC AI.IE và CE CF Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vuông góc với cạnh BC. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA, trên tia Cy lấy điểm E sao cho CE = CA. Gọi G là giao điểm của BE và CD, K và L lần lượt là giao điểm của AD, AE với cạnh BC. a) Chứng minh rằng CA = CK ; BA = BL. Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 13
  14. BDHSG Toán 8 b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự tại I, J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của G lên BC. Chứng minh IHJ là tam giác vuông cân. Câu 10: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD chia cạnh đối diện thành các đoạn thẳng BD = 2cm, DC = 4cm. Đường trung trực của AD cắt đường thẳng BC tại K. Tính độ dài KD. HẾT ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 14) Câu 1: Cho a là một số gồm 2n chữ số 1 , b là một số gồm n 1 chữ số 1 , c là một số gồm n chữ số 1 n N * . Cmr: a b 6c 8 là một số chính phương . M N 32x 19 Câu 2: Cho . Tính M.N ? x 1 x 2 x2 x 2 Câu 3: Cho ba số dương a,b,c 1 1 1 a) Chứng minh rằng:; a b c 9 a b c a b c 3 b) Chứng minh rằng: b c c a a b 2 a b x b c x c a x 4x c) Giải phương trình: 1 c a b a b c x 3 8x2 3x 1 Câu 4: Cho biểu thức: Q 1 2 : 3 2 2 x 5x 6 4x 8x 3x 12 x 2 a) Rút gọn Q ; b) Tìm các giá trị của x để Q 0,Q 1 ; c) Tìm các giá trị của x để Q 0 . Câu 5: Cho a b c 0 , chứng minh: P a3 b3 c3 3abc 0 . Câu 6: Tìm số nguyên dương n để n 1 và 4n 29 là số chính phương. Câu 7: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, AD là đường phân giác. Biết AC = 9cm, AB = 6cm, diện tích tam giác ABC là 24cm2. Tính diện tích tam giác ADM. Câu 8: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F. a)Chứng minh khi điểm D chuyển động trên cạnh BC thì tổng DE + DF có giá trị không đổi. b)Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt EF ở K. Chứng minh rằng K là trung điểm của EF Câu 9: Cho các tam giác ABC, I là giao điểm của ba đường phân giác. Đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt AC, BC theo thứ tự ở M, N. Cmr: a) Tam giác AIM đồng dạng với tam giác ABI. 2 AM AI b) . BN BI Câu 10: Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 2a, M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho D· ME Bµ . Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 14
  15. BDHSG Toán 8 a) Cmr: BD.CE không đổi. b) Cmr: DM là tia phân giác của góc BDE c) Tính chu vi tam giác AED nếu ABC là tam giác đều. HẾT ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 15) a2 4a 4 Câu 1: Cho phân thức: A a3 2a2 4a 8 a) Rút gọn A ; b) Tìm a Z để A có giá trị nguyên. 2 1 2 1 4 1 4 1 Câu 2: Cho x 2 : x 2 a . Tính M x 4 : x 4 theo a . x x x x Câu 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau : 2 a b c d a) a c b d ; b) ab bc ca 0 khi a b c 0 . 2 2 Câu 4: Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại. Biết mỗi ô tô chỉ chở không được quá 32 người, hỏi ban đầu có bao nhiêu ô tô và có tất cả bao nhiêu học sinh đi tham quan? ab bc ca Câu 5: a) Cho a,b,c là ba số dương khác 0 thỏa mãn: ( Với giả thiết các tỉ số a b b c c a ab bc ca đều có nghĩa ). Tính: M . a2 b2 c2 2 2 2 2017 n b) Tìm số tự nhiên khác 0, biết: 1 1 1 . 2.3 3.4 n n 1 6045 1 1 1 1 1 c) Tính: M . 1 1 1 1 2 1.3 2.4 3.5 2017.2019 Câu 6: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC, điểm M nằm giữa A và D. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của MB và MC. Gọi E là giao điểm của DI và AB, F là giao điểm của DK và AC. Cmr: EF //IK. Câu 7: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy điểm G, H thứ tự thuộc cạnh BC, CD sao cho G· OH 450 . Gọi M là trung điểm của AB. Cmr: a) Tam giác HOD đồng dạng với tam giác OGB; b) MG //AH Câu 8: Cho tam giác ABC và hình bình hành AEDF có E AB, F AC, D BC . Tính diện tích của 2 2 hình bình hành, biết rằng SEBD 3cm , SFDC 12cm . Câu 9: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, DC. Gọi I, H theo thứ tự là giao điểm của AF với BE, BD. Tính SEIHD Câu 10: Cho hình thang ABCD AB / /CD, AB CD . Gọi O là giao điểm của AC với BD và I là giao điểm của DA với CB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. OA OB IA IB a) Chứng minh: . OC OD IC ID Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 15
  16. BDHSG Toán 8 b) Chứng minh: Bốn điểm I;O;M ; N thẳng hàng. c) Giả sử 3AB CD và diện tích hình thang ABCD bằng S. Hãy tính diện tích tứ giác IAOB theo S. HẾT ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 16) Câu 1: Chứng minh rằng M n8 4n7 6n6 4n5 n4 chia hết cho 16, với n Z a b 2 ab 2 Câu 2: a) Cho a b 1 và ab 0 . Chứng minh: b3 1 a3 1 a2b2 3 2 2 x 5 b) Giải phương trình: x x 1 4 Câu 3: Tìm các số nguyên dương n để n1988 n1987 1 là số nguyên tố. Câu 4: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác a)Chứng minh rằng: ab bc ca a2 b2 c2 2 ab bc ca b)Chứng minh rằng: a b c 2 3 ab bc ca thì tam giác đó là tam giác đều. Câu 5: a) Tìm GTNN của Abiết x2 y2 x y 4 b) Tìm GTNN của B x4 3 x 2 c) Tìm GTNN của C x 1 x 3 x 5 x 7 x d) Tìm GTLN của D x với x 0 x 2019 2 a3 a2 a Câu 6: Cho biểu thức E với a là một số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ E có giá trị nguyên. 24 8 12 Câu 7: a) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn điều kiện: abc 2019 . Chứng minh rằng: 2019a b c 1 ab 2019a 2019 bc b 2019 ca c 1 b) Cho x y 2 . Chứng minh rằng: x2017 y2017 x2018 y2018 . Câu 8: Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CD lấy điểm E. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BE tại F, nó cắt DC tại G. Gọi H, I, J, M, K lần lượt là giao điểm của GF với BC, EF với HD, EA với HC, AB với HD, AE với DH. DG GF BC.EF 8.1.a) Chứng minh: ; CE . Từ đó suy ra DG CE 2CD và EG 3CD AD EF GF S b) Tìm GTLN của ABCD SAEG 8.2.a) Chứng minh: BHA CEB và DAE CDH b) Chứng minh: AE  DH c) Chứng minh: AI / /DJ / /GB d) Chứng minh: AFB đồng dạng với ABH ; AFD đồng dạng với ADH Từ đó có nhận xét gì về A· FD và ·ADH . 8.3.a) Chứng minh: KD2 KI.KH Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 16
  17. BDHSG Toán 8 b) Chứng minh: EJ.EK.HJ HK.HD.EC c) Chứng minh: HJ.HC.EK EI.EF.HK BM 8.4. Chứng minh: Khi E thay đổi trên tia đối của tia CD thì là không đổi. CJ 8.5. Qua bài này, các em hãy khai thác thêm nhiều tính chất mới thú vị. HẾT ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 17) x 2x 3y Bài 1. Cho 3y x 6 . Tính giá trị của biểu thức M y 2 x 6 1 1 1 1 2 Bài 2. a) Chứng minh: Hvới n N, n 2 22 32 42 n2 3 1 1 1 1 1 b) Chứng minh: K với n N, n 3 33 43 53 n3 12 3 5 7 2n 1 Bài 3. Cho biểu thức P 2 2 2 2 ,n N * 1.2 2.3 3.4 n n 1 a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P tại n 99 . Bài 4. Cho đa thức E x4 2017x2 2016x 2017 . a) Phân tích đa thức E thành nhân tử; b) Tính giá trị của E với x là nghiệm của phương trình: x2 x 1 1 . 2017 2016 Bài 5. So sánh A và B , biết: A 20172016 20162016 ; B 20172017 20162017 . Bài 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q 2x 3 2 4 2x 3 7 và các giá trị của x tương ứng. Bài 7. Cho ABC cân tại A với A là góc nhọn; CD là đường phân giác ·ACB D AB ; qua D kẻ 1 đường vuông góc với CD , đường này cắt đường thẳng CB tại E . Chứng minh: BD EC . 2 Bài 8. Cho tứ giácABCD . Đường thẳng qua A song song với BC , cắt BD tại P và đường thẳng qua B song song với AD cắt AC tại Q . Chứng minh PQ //CD . Câu 9. Cho hình thang ABCD, đáy AD và BC, có µA 900 , E là giao điểm của hai đường chéo, F là hình chiếu của E lên AB. a) Chứng minh ∆ B∆F. C AFD b) Gọi K là giao điểm của AC và DF. Chứng minh KE.FC = CE.FK. Câu 10. Cho ba số x, y, z. a) Chứng minh x2 y2 z2 xy yz zx ; x y z b) Khi 673 . Chứng minh xy yz zx 2019 . 3 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 17
  18. BDHSG Toán 8 HẾT ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 18) Câu 1: a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 19x 30 b) Chứng minh: 9n 2 và 12n 3 n N là hai số nguyên tố cùng nhau. c) Chứng minh: số có dạng n6 n4 2n3 2n2 với n N và n 1 không phải là số chính phương. Câu 2. a) Chứng minh rằng: A 2n 1 2n 1 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n . b) Tìm các số nguyên n để B n2 n 13 là số chính phương? Câu 3. Giải các phương trình sau: a) x2 x 2 3x 7 0 b) x 1 2x 3 x 4 Câu 4. Với a,b,c 0 . Hãy chứng minh các BĐT: ab bc ab bc ca a3 b3 b3 c3 c3 a3 a) 2b ; b) a b c ; c) a b c . c a c a b 2ab 2bc 2ca x4 x2 1 Câu 5. a) Cho x2 4x 1 0 . Tính E x2 x x2 b) Cho a . Tính F theo a x2 x 1 x4 x2 1 Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 xy , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: x2013 y2013 2x1006 y1006 . Câu 7. Cho tam giác ABC có AB AC BC và chu vi bằng 18cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết các độ dài đều là số nguyên dương và BC có độ dài là một số chẵn. Câu 8. Cho tam giác ABC có AC = 3AB và số đo của góc A bằng 600. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho ·ADB = 300 . Trên đường thẳng vuông góc với AD tại D lấy điểm E sao cho DE = DC (E và A cùng phía với BC). Chứng minh rằng AE//BC. Câu 9.Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AC và các đường thẳng AD, BM và CE đồng qui tại K (K AM ; D BC;E AB) . Hai tam giác AKE và BKE có diện tích là 10 và 20. Tính diện tích tam giác ABC. Câu 10. Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC (Q khác B, C). Trên AQ lấy điểm P (P khác A, Q). Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB, AC tại M, N. AM AN PQ a) Chứng minh rằng: 1. AB AC AQ Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 18
  19. BDHSG Toán 8 AM.AN.PQ 1 b) Xác định vị trí điểm Q để . AB.AC.AQ 27 HẾT ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 19) Câu 1. a) Cho a2 b2 2 . Chứng minh rằng: a b 2. b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh: 4a a b a 1 a b 1 b2 0 c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh: abc b c a a c b a b c Câu 2. a) Cho a1,a2 , ,a2m ,m N * thoả mãn a1 a2 a2m . Tìm GTNN của biểu thức A x a1 x a2 x a2m 1 x a2m . b) Cho a1,a2 , ,a2m 1,m N,m 2 thoả mãn a1 a2 a2m 1 . Tìm GTNN của biểu thức B x a1 x a2 x a2m 2 x a2m 1 . 14 4 54 4 94 4 214 4 Câu 3. Rút gọn biểu thức: P 34 4 74 4 114 4 234 4 2x 3x Câu 4. Giải phương trình: 1 x2 4x 7 2 x2 5x 7 Câu 5.Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho m2 n2 5 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q m n mn 1. Câu 6.Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương một số tự nhiên. Câu 7. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD. Gọi G là giao điểm của đường thẳng đi qua E vuông góc với AD với đường thẳng đi qua F vuông góc với BC. So sánh GA và GB. Câu 8.Cho tam giác ABC cân tại A µA 900 , có BH là đường cao, BD là phân giác của góc BH ·ABH H, D AC . Chứng minh rằng: 1. CD a b c 3 Câu 9. a) Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng: b c c a a b 2 b) Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác trong của góc A D BC . Gọi ka là khoảng cách từ D đến AB ( hoặc AC). Tương tự, gọi BE là phân giác trong của góc B E AC và kb là khoảng cách từ E đến BA ( hoặc BC), gọi CF là phân giác trong của góc C F AB và kc là khoảng cách từ F đến CA ( hoặc CB). Gọi ha ,hb ,hc tương ứng là 3 chiều cao kẻ từ các đỉnh A, B, C k k k của tam giác đã cho. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức a b c . ha hb hc Câu 10. Cho hình bình hành ABCD có µA 900 . Dựng các tam giác vuông cân tại A là BAM và DAN (B và N cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AD, D và M cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng AC vuông góc với MN. Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 19
  20. BDHSG Toán 8 HẾT ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 20) PHÒNG GD&ĐT HUYỆN TUY AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi : TOÁN (Đề thi có 02 trang) Thời gian: 150 phút. (Không kể thời gian phát đề) Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký thí sinh: . . x 2 1 10 x2 Câu 1.(4,0 điểm) Cho biểu thức M 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 1 a) Rút gọn biểu thức M . b) Tính giá trị của M , biết x . 2 c)Tìm giá trị của x để M 0 . d) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên. Câu 2.(4,0 điểm) a) Phân tích đa thức A a3 b3 c3 3abc thành nhân tử. Từ đó suy ra điều kiện của a,b,c để a3 b3 c3 3abc . 1 1 1 yz zx xy b) Cho 0.Tính giá trị của biểu thức sau: B . x y z x2 y2 z2 c) Cho x, y, z là ba số thực khác 0, thỏa mãn x y z 0 và x3 y3 z3 3xyz . x2019 y2019 z2019 Tính C . x y z 2019 d) Giải phương trình sau: (x- 2018)3 + (x- 2019)3 - (2x- 4037)3 = 0 . 3 4x Câu 3.(4,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K 2x2 2 b) Xác định các hệ số hữu tỉ a và b sao cho f x x4 ax2 b chia hết cho g x x2 x 1. Câu 4.(3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có µA 1200 . Đường phân giác của góc D đi qua trung điểm I của cạnh AB. a) Chứng minh: AB 2AD . b) Kẻ AH  DC (H DC) . Chứng minh: DI 2AH . c) Chứng minh: AC  AD . Câu 5.(3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, kẻ các đường cao BD và CE. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh AC, đường thẳng này cắt đường thẳng AB tại điểm F. CE BE a) Chứng minh: AB2 AE.AF . b) Chứng minh: . CF BF Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 20
  21. BDHSG Toán 8 Câu 6.(2,0 điểm) Cho hình thang vuông ABCD (µA Dµ 900 ) và DC 2AB , H là hình chiếu của D trên AC và M là trung điểm của đoạn HC. Chứng minh: BM  MD . HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 1 Câu 1: Cho bốn số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng: a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b a a a b b b Vì a,b,c,d 0 ta có: 1 ; 2 a b c d a b c a c a b c d b c d b d c c c d d d 3 ; 4 a b c d c d a c a a b c d d a b d b Lấy (1), (2), (3) và (4) cộng vế theo vế, thu gọn ta được điều phải chứng minh. ( Chú ý : Dạng tương tự : Cho bốn số dương a,b,c,d . a b c d Chứng minh rằng: có giá trị không nguyên ) a b c b c d c d a d a b Câu 2: a chia cho 5 dư 3 nên tồn tại số tự nhiên m sao cho a 5m 3 (1) b chia cho 5 dư 2 nên tồn tại số tự nhiên n sao cho b 5n 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra a.b 5m 3 5n 2 5 5mn 2m 3n 1 1 Suy ra a.b chia cho 5 dư 1. Câu 3: Ta có : 2 p a b c Do đó, 4 p p a 2 p 2 p 2a a b c a b c 2a 2bc b2 c2 a2 KL : 3 3 3 3 Câu 4: Cho các số nguyên a1,a2 ,a3 , ,an . Đặt S a1 a2 a3 an và P a1 a2 a3 an Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6. HD: Xét hiệu: S P Chứng minh: a3 a a 1 a a 1 6 với mọi số nguyên a . Sau đó sử dụng tính chât chia hết của một tổng suy ra đpcm. 1 1 4 1 4 Câu 5: a) Cho x, y > 0. Chứng minh rằng và x y x y xy x y 2 HD: Dùng biến đổi tương đương. 1 1 b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng 16 ac bc 1 1 4 1 4 16 Theo câu a, ta có: 4 4 16 ac bc ac bc c a b c a b 1 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 21
  22. BDHSG Toán 8 a,b,c 0 a,b,c 0 1 a b a b c 1 a b 1 c 4 Dấu “ =” ac bc a b 1 c c b a c 1 c 2 x2 2x 3 Câu 6: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A x2 2 HD: + Tìm GTLN: 2 2 2 x2 2x 3 2 x 2 x 1 x 1 Ta có: A 2 2 x2 2 x2 2 x2 2 Dấu “ =” x 1 2 0 x 1 Suy ra GTLN(A) = 2 x 1 . + Tìm GTNN: 2 2 2 x2 2x 3 2x2 4x 6 x 2 x 2 1 x 2 1 Ta có: A x2 2 2. x2 2 2. x2 2 2 x2 2 2 Dấu “ =” x 2 2 0 x 2 1 Suy ra GTNN(A) = x 2 2 Câu 7: Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không có điểm chung với hình bình hành. Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy. Tìm hệ thức liên hệ độ dài giữa AA’, BB’, CC’ và DD’ . A B HD: C/m: AA ' CC ' BB ' DD' 2OO ' O D C y B' O' C' x D' A' Câu 8: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và một đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác. Từ các đỉnh A, B, C và trọng tâm G ta kẻ các đoạn AA’, BB’, CC’ và GG’ vuông góc với đường thẳng d. Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’. A HD: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và GC. Kẻ MM '  d và NN '  d . M 1 1 G Chỉ ra: MM ' AA ' BB ' 1 ; ;GG ' MM ' NN ' 2 N 2 2 B C 1 d NN ' GG ' CC ' 3 2 N' C' A' G' Hãy luônB' Mchiến' thắng chính mình. Trang: 22
  23. BDHSG Toán 8 Từ (1), (2) và (3) biến đổi suy ra đpcm. Câu 9: Cho tam giác ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó. HA' HB ' HC ' a) Chứng minh: 1 AA' BB ' CC ' A HA' S HB ' S HC ' S Ta có: HBC ; HAC ; HAB B' AA ' SABC BB ' SABC CC ' SABC C' HA' HB ' HC ' S S S S H Suy ra HBC HAC HAB ABC 1 AA' BB ' CC ' SABC SABC SABC SABC 1 1 1 b)C/ m BĐT phụ : a b c 9 a b c B A' C Dấu «= » a b c 0 * Chú ý: Dấu «= » ABC đều. Câu 10: A D E K B C KE HD: Để làm xuất hiện một tỉ số bằng ta vẽ qua D đường thẳng DG // AC. Theo hệ quả của đl KD KE KC EC Talet, ta có: KD KG DG Mà BD = EC (gt) KE BD Do đó, 1 KD DG DB DG DB AB Mặt khác, 2 BA AC DG AC KE AB Từ (1) và (2) suy ra ( không đổi) (đpcm) KD AC HẾT Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 23
  24. BDHSG Toán 8 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 2 Câu 1: a) Chứng minh rằng: 2130 3921 chia hết cho 45. HD: Đặt M 2130 3921 Nhận xét 45 = 5.9 mà 5 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau (1) Vậy để c/m M 45 ta cần c/m M5 và M9 Thật vậy, M 2130 3921 2130 130 3921 1 21 5 (2) (Vì 2130 130  21 1 5 và 3921 1 21  39 1 5 ) Mặt khác, 213 2130 9 và 393 3921 9 . Do đó, M9 (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm. * Chú ý: an bn  a b b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n ta có: 5n 2 26.5n 82n 1 59 . Ta có: 5n 2 26.5n 82n 1 51.5n 8.64n 59.5n 8. 64n 5n 59 ( Vì 64n 5n  64 5 ). Suy ra đpcm. x5 2x4 2x3 4x2 3x 6 Câu 2: Cho biểu thức M x2 2x 8 a) Rút gọn M HD: ĐKXĐ: x2 2x 8 0 x 2 x 4 0 x 2 và x 4 . Ta có: x5 2x4 2x3 4x2 3x 6 x4 x 2 2x2 x 2 3 x 2 x 2 x4 2x2 3 2 x 2 x2 1 4 x 2 x3 3 x 1 x 1 x2 3 x 1 x 1 Suy ra M , x 2; x 4 . x 4 b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức M bằng 0. Đề M 0 thì x3 3 x 1 x 1 0 và x 2 ; x 4 Ta có : x3 3 x 1 x 1 0 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 24
  25. BDHSG Toán 8 x 1 ( thỏa ĐKXĐ ) x 1 x 1 Vậy, M 0 x 1 Câu 3: Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số nguyên. 2x3 x2 2x 5 A 2x 1 1 HD: ĐKXĐ: 2x 1 0 x 2 2x3 x2 2x 5 x2 2x 1 2x 1 4 4 Ta có: A x2 1 2x 1 2x 1 2x 1 Để A có giá trị nguyên khi x nguyên thì 2x 1 U 4 4; 2; 1;1;2;4 Lập bảng: 2x +1 -4 -2 -1 1 2 4 2x -5 -3 -2 0 1 3 5 3 1 3 x -1 0 2 2 2 2 Vậy, x 1;0 . Câu 4: Ta có: M x2 ax bx ab x2 bx cx bc x2 ax cx ca 4x2 2x a b c ab bc ca 1 1 1 1 Từ x a b c 2x a b c 2 2 2 2 Thay 2 vào 1 ta được M ab bc ca 2 2 Câu 5: Giải phương trình: 2x2 x 2016 4 x2 3x 1000 4 2x2 x 2016 x2 3x 1000 2 2 Ta có: 2x2 x 2016 4 x2 3x 1000 4 2x2 x 2016 x2 3x 1000 2 2 2x2 x 2016 4 2x2 x 2016 x2 3x 1000 4 x2 3x 1000 0 2 2 2 2 2 2 2x x 2016 2 2x x 2016 2 x 3x 1000 2 x 3x 1000 0 2 2 2 2x x 2016 2 x 3x 1000 0 7x 16 2 0 16 x . 7 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 25
  26. BDHSG Toán 8 Câu 6: Tìm giá trị của biến x để: 1 a) P đạt giá trị lớn nhất. x2 2x 6 1 1 1 2 HD: Ta có: P ( Vì 1 > 0 và x 1 5 5 ) 2 2 x 2x 6 x 1 5 5 Dấu « = » x 1 2 0 x 1 1 Suy ra GTLN(P) = x 1 . 5 x2 x 1 b) Q đạt giá trị nhỏ nhất x2 2x 1 HD: ĐKXĐ: x 1 2 x2 x 1 x 1 x 1 1 1 1 Ta có: Q 1 2 2 2 x 2x 1 x 1 x 1 x 1 2 1 2 1 3 3 Đặt t . Ta có: Q 1 t t t x 1 2 4 4 1 1 1 1 Dấu « = » t 0 t x 1 2 2 x 1 2 3 Suy ra GTNN(Q) = x 1 4 Câu 7: a) Chứng minh DE = CF; DE  CF A E B HD: C/m được EB EM AF . Suy ra AE DF H Khi đó, AED DFC c.g.c . Suy ra DE CF . F I · 0 µ ¶ 0 · µ 0 Ta lại có: FJD 180 F1 D1 180 AED D1 90 1 M Suy ra DE  CF tại J. J 1 D C b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. Tương tự, c/m được EC  BF Ta có MA MC ( BD là trục đối xứng của hình vuông ) và MA EF ( AEMF là hcn ) Do đó, MC EF . Suy ra MFC FDE(c.c.c) . Suy ra F· ED M· CF Ta lại có : F· ED E· FC 900 ( EFJ vuông tại J ) Vì thế M· CF E· FC 900 Gọi H là giao điểm của CM và EF thì E· HC 900 Xét EFC có ED, FB, CM là ba đường cao nên chúng đồng quy. Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 26
  27. BDHSG Toán 8 c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất? 2 x y C/m BĐT phụ: xy . Dấu “ =” x y 2 2 2 AE AF AB 1 Áp dụng BĐT trên, ta có: SAEMF AE.AF SABCD ( không đổi ) 2 2 4 Dấu “ =” AE AF ME MF M là trung điểm của BD. 1 Suy ra GTLN ( S ) S M là trung điểm của BD. AEMF 4 ABCD Câu 8:. A B M N D H K C a) Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành; HD: Ta c/m: MN / /CK và MN CK b) Tính góc BMK. + C/m N là trực tâm của tam giác BMC (?) + Suy ra NC  MB mà MK / /NC ? KL: MK  MB hay B· MK 900 1 Câu 9:Chứng minh rằng S S . DEF 2 ABC Với vị trí nào của hai điểm E và F thì SDEF đạt giá trị lớn nhất? A HD: ( Vẽ điểm phụ ) F Gọi I là điểm đối xứng của E qua D. C/m được: BED CID c.g.c . Suy ra SBED SCID E Ta lại có: SDEF SDFI SDICF B C Suy ra SDEF SDFC SCID SDFC SDBE 1 D Ta lại có : SDEF SAFDE 2 I Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được : 2SDEF SDFC SBED SAEDF SABC 1 Do đó, S S (đpcm) DEF 2 ABC Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi EF trùng với AC hoặc AB. 1 Khi đó, GTLN S S DEF 2 ABC Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 27
  28. BDHSG Toán 8 Câu 10: A B O E F 1 1 2 2 C a) Chứng minh rằng tứ giác DEFC là hình thang cân; OE OA Vì AE // BC (gt) nên theo đl Ta-let ta có: 1 OB OC OB OF Vì BF // AD (gt) nên theo đl Ta-let ta có: 2 OD OA OE OB OA OF OE OF Từ (1) và (2) suy ra   hay OB OD OC OA OD OC Theo đl Ta – let đảo suy ra EF // DC. Do đó, DEFC là hình thang (3) Ta c/m được ABC ABD c.c.c µ ¶ · · ¶ ¶ Suy ra C1 D1 mà BCD ADC ? nên C2 D2 4 Từ (3) và (4) suy ra EFCD là hình thang cân. b) Tính độ dài EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm. EF OE OE OA Vì AB // CD và EF // CD nên AB // EF. Theo đl Ta-let ta có: mà (cmt) AB OB OB OC EF OA Suy ra 5 . AB OC AB OA Vì AB // CD nên theo đl Ta-let ta có 6 CD OC EF AB Từ (5) và (6) suy ra AB CD AB2 52 Suy ra EF 2,5 cm CD 10 HẾT Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 28
  29. BDHSG Toán 8 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 3 2 x 1 1 2x2 4x 1 x2 x Câu 1: Cho biểu thức R 2 3 : 3 3x x 1 x 1 x 1 x x a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x 1 . x2 1 b) Rút gọn: R , x 0; x 1; x 1 . x 1 x2 1 Để R 0 0 x  x 1 R 1 c)Ta có: R 1 R 1 x2 1 + Với R 1 , ta có: 1 , x 0; x 1; x 1 x 1 2 x 1 2 x 0 Giải pt 1 x 1 x 1 x x 1 0 ( không thỏa ĐKXĐ ) x 1 x 1 x2 1 + Với R 1 , ta có: 1 , x 0; x 1; x 1 x 1 2 2 x 1 2 2 1 7 Giải pt 1 x 1 x 1 x x 2 0 x 0 ( vô lý ) x 1 2 4 Vậy không có giá trị nào của x để R 1 . Câu 2: Chứng minh: a) A 210 211 212 chia hết cho 7 Ta có: A 210 211 212 210 210.2 210.22 210. 1 2 22 210.77 Vậy, A 210 211 212 chia hết cho 7 . b) B 6n 1 n 5 3n 5 2n 1 chia hết cho 2, với n Z . Ta có: B 6n 1 n 5 3n 5 2n 1 24n 10 2. 12n 5 2 Vậy, B 6n 1 n 5 3n 5 2n 1 chia hết cho 2, với n Z c) C 5n3 15n2 10n chia hết cho 30, với n Z . Ta có: C 5n3 15n2 10n 5n n 1 n 2 Vì 55 và n n 1 n 2 6 mà 5,6 1 nên 5n n 1 n 2 30 Vậy, C 5n3 15n2 10n chia hết cho 30, với n Z . Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 29
  30. BDHSG Toán 8 d) Nếu a x2 yz; b y2 xz; c z2 xy thì D ax by cz chia hết cho a b c . Ta có: D ax by cz x2 yz .x y2 xz .y z2 xy .z x3 y3 z3 3xyz x y z x2 y2 z2 xy yz zx Vậy, D ax by cz chia hết cho a b c e) E x4 4x3 2x2 12x 9 là bình phương của một số nguyên, với x Z . Ta có: E x4 4x3 2x2 12x 9 x4 4x3 4x2 6x2 12x 9 2 2 2 2 2 2 2 x 2x 6 x 2x 3 x 2x 3 x 3 x 1 4 3 2 2 Vậy, E x 4x 2x 12x 9 x 3 x 1 là bình phương của một số nguyên, với x Z . 2018 2018 f) F x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho x 1 . 2018 2018 Ta có : F x2 x 1 x2 x 1 2 x 1 .Q x r 2018 2018 Xét tại x 1 thì r 12 1 1 12 1 1 2 0 2018 2018 Vậy, F x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho x 1 . g) G x8n x4n 1 chia hết cho x2n xn 1 , với n N . 2 2 Ta có: G x8n x4n 1 x8n 2x4n 1 x4n x4n 1 x2n x4n x2n 1 x4n x2n 1 (1) 2 2 Mặt khác, x4n x2n 1 x4n 2x2n 1 x2n x2n 1 xn x2n xn 1 x2n xn 1 2 Từ (1) và (2) suy ra G x8n x4n 1 x2n xn 1 x2n xn 1 x4n x2n 1 Vậy, G x8n x4n 1 chia hết cho x2n xn 1 , với n N . Câu 3: a) Tìm GTLN của A x 4 2 x 4 2 Ta có: A x 4 2 x 4 2 x 4 x 4 Đặt t x 4 0 , khi đó: A 2t t 2 t 1 2 1 1 x 3 Dấu “=” t 1 0 x 4 1 0 x 5 x 3 Suy ra GTLN A 1 x 5 9x 2 b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B , với 0 x 2 . 2 x x 9x 2 9x 2 x 9x 2 x Ta có: B 1 2  1 2 9 1 7 2 x x 2 x x 2 x x 9x 2 x 1 Dấu “ =” x 2 x x 2 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 30
  31. BDHSG Toán 8 1 Vậy, GTNN(B) =7 x . 2 a b Chú ý: BĐT AM-GM cho 2 số a,b không âm, ta có: ab . Dấu “=” a b 0 2 9x 2 9x 2 x * Cách biến đổi B : Ta viết B m. n. p . 2 x x 2 x x Biến đổi và đồng nhất thức hai vế, suy ra m 1,n 1, p 1 . A Câu 4: D E B C a) Chứng minh DE // BC. M DB MB EC MC Theo t/c tia phân giác của tam giác, ta có: 1 và 2 DA MA EA MA Mà MB MC gt 3 DB EC Từ (1), (2) và (3) suy ra . Theo đl Ta-let đảo suy ra DE / /BC DA EA b) Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh ID = IE. DI AI EI AI Vì DE / /BC (cmt) nên DI / /BM và IE / /MC . Do đó, 4 và 5 BM AM MC AM Từ (3), (4) và (5) suy ra ID = IE (đpcm) Câu 5: E A D M B C a) EB.ED = EA.EC; H C/m: EAB đồng dạng EDC (g.g) EA EB Suy ra EA.EC EB.ED (đpcm) ED EC b) BD.BE CA.CE BC 2 Chỉ ra M là trực tâm của tam giác EBC nên EM  BC tại H. BE BH C/m: EHB đồng dạng CDB (g.g) nên BE.BD BH.BC 1 BC BD EC HC Tương tự, C/m: EHC đồng dạng BAC (g.g) nên CE.CA HC.BC 2 BC AC Lấy (1) cộng (2) vế theo vế, ta được: BD.BE CA.CE BH HC .BC BC 2 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 31
  32. BDHSG Toán 8 c) ·ADE 450 EA ED Theo câu a, ta có: EA.EC EB.ED EB EC Từ đó c/m được EAD đồng dạng EBC (c.g.c) Suy ra E· DA E· CB ·ACB 450 ( Vì tam giác ABC vuông cân tại A). Câu 6: A B G E I a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi; C/m: BAE DAF cgv gnk C F D K Suy ra AE AF . x Xét tam giác AEF cân tại A có AI là đường trung tuyến nên cũng là đường cao. Do đó, GK  EF tại I (1) Ta lại c/m được IEG IKF g.c.g . Do đó, GE FK mà GE // FK (gt) Suy ra EKFG là hình bình hành (2) Từ (1) và (2) suy ra EKFG là hình thoi. b) AKF : CAF, AF 2 FK.FC Ta có: K· AF ·ACF 450 và Fµ chung. Do đó, AKF đồng dạng CAF (g.g) AF KF Suy ra AF2 KF.CF . CF AF c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh: EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi. Vì EKFG là hình thoi nên KE KF KD DF KD BE Chu vi của tam giác EKC là : KC EC EK KC CE BE KD = KC KD BE EC CD BC 2BC ( không đổi ) KL : Câu 7: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau ở E. Các tia phân giác của các góc ACE và DBE B· AC B· DC cắt nhau ở K. Chứng minh rằng: B· KC 2 Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AB và CK, của CD và BK. K Sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác, ta lần lượt có : A Kµ Bµ µA Cµ M¶ 1 1 1 1 D N µ ¶ µ ¶ ¶ M K C2 D B2 N1 2 1 1 2 E 1 1 2 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 32 B C
  33. BDHSG Toán 8 µ µ µ ¶ µ µ ¶ µ µ Từ (1) và (2) suy ra 2K A D B2 C1 B1 C2 A D µ ¶ µ ¶ ( Vì theo gt B1 B2 ,C1 C2 ) µA Dµ B· AC B· DC Do đó, Kµ . Vậy, B· KC 2 2 HẾT . HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 4 a b c a c b b c a Câu 1: Từ giả thiết, suy ra 2 2 2 c b a a b c a b c a b c c a b Xét hai trường hợp : a b b c c a c a b + Nếu a b c 0 P   1 a b c a.b.c + Nếu a b c 0 a b c 0 P 2.2.2 8 KL : 2 2k 1 k 1 k 2 1 1 Câu 2: Ta có : ak 2 2 2 2 k 2 k k 2 k 1 k k 1 Do đó, S2018 a1 a2 a3 a2017 a2018 1 1 1 1 1 1 20192 1 2 2 2 2  2 2 2 1 2 2 3 2018 2019 2019 7 7 5a b 3b 2a Câu 3: a) Biết a ,b và 2a b 7 . Tính giá trị của biểu thức P 3 2 3a 7 2b 7 5a b 3b 2a 2a b 3a 2b 2a b 7 3a 2b 7 Ta có: P 1 1 0 3a 7 2b 7 3a 7 2b 7 3a 7 2b 7 7 7 Vậy, P 0 khi a ,b và 2a b 7 . 3 2 2a b 5b a b) Biết b 3a và 6a2 15ab 5b2 0 . Tính giá trị của biểu thức Q 3a b 3a b 2a b 5b a 2a b 3a b 5b a 3a b 3a2 6b2 15ab Ta có: Q 3a b 3a b 3a b . 3a b 3a b . 3a b 2 2 2 2 9a b 6a 5b 15ab 9a2 b2 1 3a b 3a b 9a2 b2 Vậy, Q 1 khi b 3a và 6a2 15ab 5b2 0 Câu 4: a) Ta có: x2 y2 z2 t 2 x y z t 4x2 4y2 4z2 4t 2 4xy 4xz 4xt x2 4xy 4y2 x2 4xz 4z2 x2 4xt 4t 2 x2 0 x 2y 2 x 2z 2 x 2t 2 x2 0 ( đúng ) Dấu “=” x y z t 0 . Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 33
  34. BDHSG Toán 8 b) Ta có: x4 y4 xy3 x3 y x3 x y y3 y x 0 x y x3 y3 0 x y x y x2 xy y2 0 2 2 1 3 2 x y x y y 0 (đúng) 2 4 Dấu “=” x y . Câu 5: Rút gọn: a) M 90.10k 10k 2 10k 1, k N ; 90.10k 100.10k 10.10k 0 b) N 202 182 22 192 172 12 202 192 182 172 22 12 20 19 20 19 18 17 18 17 2 1 2 1 20 19 18 17 2 1 210 Câu 6: Tính giá trị của biểu thức P x15 2018x14 2018x13 2018x12 2018x2 2018x 2018 , với.x 2017 Thay 2018 x 1 vào P ta được: P x15 x 1 x14 x 1 x13 x 1 x12 x 1 x2 x 1 x x 1 x15 x15 x14 x14 x13 x2 x x 1 1 Vậy, P 1 khi x 2017 . Câu 7: K A M B D O C MA MB N a) . ND NC MA KM MB KM Áp dụng đl Ta-let vào tam giác KND, KNC với AB // CD, ta có: , ND KN NC KN MA MB Suy ra 1 ND NC MA MB b) NC ND MA OM MB OM Áp dụng đl Ta-let vào tam giác ONC, OND với AB // CD, ta có: , NC ON ND ON MA MB Suy ra 2 NC ND c) MA MB, NC ND Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 34
  35. BDHSG Toán 8 MA2 MB2 Nhân từng vế (1) với (2) ta được: ND.NC NC.ND Suy ra MA2 MB2 hay MA MB . Từ đó suy ra NC ND . A B Câu 8: E I F HD: Kẻ AK // BC, cắt EF tại I. D K C Lần lượt tính được EI = 30, EF = 58. A Câu 9: E G K D Chứng minh rằng DE =BK. B I M C BK BA DE MG MG BA Kẻ MG // IE, ta có: 1 và 2 ( vì AG GC ) KI AC AE AG GC AC BK DE Từ (1) và (2) suy ra mà KI AE suy ra DE BK (đpcm) KI AE Câu 10: Kẻ EI // DA, lấy K là trung điểm của CF. Đặt OD = 2a, OF = 3a. Tính được OI = 0,5a, A B IF = 2,5a, EK = 2,5a. Từ đó c/m được EIKF là hình bình hành nên FK // IE // AD. Suy ra BC // AD. Ta lại c/m BC = AD ( = 4EI ) I F O K Suy ra ABCD là hình bình hành (đpcm) D C E HẾT Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 35
  36. BDHSG Toán 8 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 5 Câu 1: Tìm x, y biết : a) x2 2x y2 4y 5 0 x 1 2 y 2 2 0 x 1 và y 2 b) x 2y x2 2xy 4y2 0 và x 2y x2 2xy 4y2 16 Ta có: x 2y x2 2xy 4y2 0 x3 8y3 0 1 và x 2y x2 2xy 4y2 16 x3 8y3 16 2 Từ (1) và (2) suy ra 2x3 16 x 2 . Thay x 2 vào (1) suy ra y 1 . Vậy, x 2 và y 1 . 1 1 c) x2 y2 4 ( ĐK: x 0, y 0 ) x2 y2 2 2 1 1 x y 0 x y 1 1 x 0 và y 0 x y x 1 và y 1 Vậy, x 1, y 1 hoặc x 1, y 1 hoặc x 1, y 1 hoặc x 1, y 1 . Câu 2: Giải và biện luận nghiệm của phương trình m2 x 1 x m theo m . Ta có: m2 x 1 x m m2 x x m 1 m2 1 x m 1 m 1 m 1 x m 1 (*) + Nếu m 1 thì pt (*) trở thành 0x 0 x R + Nếu m 1 thì pt (*) trở thành 0x 2 x  1 + Nếu m 1 thì pt (*) có một nghiệm duy nhất x m 1 KL: + Nếu m 1 thì pt (*) có vô số nghiệm. + Nếu m 1 thì pt (*) vô nghiệm. 1 + Nếu m 1 thì pt (*) có một nghiệm duy nhất x m 1 Câu 3: Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 36
  37. BDHSG Toán 8 a) x 2 x 2 x2 10 72 x2 4 x2 10 72 2 2 x 7 3 x 7 3 72 x2 7 9 x 4 x2 7 92 x 4 2 x 7 9 x  Vậy, S 4;4 2 2 x 2 x 2 x2 4 b) Giải phương trình: 3 25 20 2 0 x 1 x 1 x 1 x 2 0 x 1 Điều kiện x 1 . Dễ thấy hệ vô nghiệm nên x 2. x 2 0 x 1 2 x 2 x 2 (x 2)(x 1) x 2 Đặt y : . Chia 2 vế phương trình đã cho cho ta được: x 1 x 1 (x 2)(x 1) x 1 y 5 3y2 20y 25 0 5 . y 3 x 4 (x 2)(x 1) 2 *) Với y = 5, ta có: 5 2x 9x 4 0 1 . (x 2)(x 1) x 2 5 *) Với y ,ta có: 3 (x 2)(x 1) 5 x 6 34 x2 12x 2 0 . (x 2)(x 1) 3 x 6 34 Các nghiệm trên đều thỏa điều kiện. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: 1 x 4, x , x 6 34, x 6 34 . 2 x2 99x 1 x2 99x 2 x2 99x 3 x2 99x 4 x2 99x 5 x2 99x 6 Câu 4: a) 99 98 97 96 95 94 x2 99x 1 x2 99x 2 x2 99x 3 1 1 1 99 98 97 x2 99x 4 x2 99x 5 x2 99x 6 1 1 1 96 95 94 x2 99x 100 x2 99x 100 x2 99x 100 x2 99x 100 x2 99x 100 x2 99x 100 99 98 97 96 95 94 2 1 1 1 1 1 1 x 99x 100 0 99 98 97 96 95 94 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 37
  38. BDHSG Toán 8 1 1 1 1 1 1 x2 99x 100 0 ( Vì 0 ) 99 98 97 96 95 94 x 1 x 1 x 100 0 x 100 2 x 1 x x 2 x 1 x x b) Ta có: 1 1 1 1 2017 2018 2019 2017 2018 2019 2019 x 2019 x 2019 x 1 1 1 2019 x 0 2017 2018 2019 2017 2018 2019 1 1 1 2019 x 0 ( Vì 0 ) 2017 2018 2019 x 2019 Câu 5: a) Ta có: B 3 1 32 1 34 1 38 1 316 1 B. 3 1 3 1 3 1 32 1 34 1 38 1 316 1 B.2 32 1 32 1 34 1 38 1 316 1 B.2 34 1 34 1 38 1 316 1 B.2 38 1 38 1 316 1 B.2 316 1 316 1 B.2 332 1 A Vậy, A 2.B x y x2 y2 x2 y2 b) C/m BĐT phụ: với x y 0 x y x y 2 x2 y2 Xem x 2019 và y 2018 suy ra C D Câu 6: Cho x, y là hai số khác nhau, biết x2 y y2 x . Tính giá trị của biểu thức A x2 2xy y2 3x 3y Ta có : x2 y y2 x x y x y 1 0 Vì x y nên x y 1 0 x y 1 Khi đó, A x2 2xy y2 3x 3y x y 2 3 x y 1 2 3 1 4 Vậy, A 4 khi x2 y y2 x và x y . Câu 7: K Gọi N, M lần lượt là trung điểm của AB, CD. I IA AE BF KB Vẽ AE, BF // DC. Ta có : (đpcm) F B ID DM MC KC A N E D M C Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 38
  39. BDHSG Toán 8 AH AK CM BM BC Câu 8: a) Ta có : 1 A AB AC CB BC BC không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh BC. H K AK AH b) + Nếu M thuộc tia đối của tia CB thì 1 AC AB AH AK + Nếu M thuộc tia đối của tia BC thì 1 B M C AB AC ( Chú ý : Vẽ hình theo từng trường hợp rồi giải ) Câu 9: Kẻ MH  AB; MK  BC; MI  AC. Ta có : MA MB MC MH MK MI (1) A 2S 2S 2S 2 Ta lại có : MH MK MI MAB MBC MAC  S S S AB BC AC a MAB MBC MAC H I 2 2 a2 3 a 3  SABC  (2) M a a 4 2 a 3 Từ (1) và (2) suy ra MA MB MC (đpcm) 2 B K C Câu 10: A B a)Tứ giác ANFM là hình vuông Xét DAN và BAM có AD = AB (gt), ·ADN ·ABM 900 , BM = DN (gt) Suy ra DAN = BAM (c.g.c) Khi đó, AM AN và N· AD M· AB . H C Ta có: N· AM N· AD D· AM M· AB D· AM D· AB 900 . N D Tứ giác ANFM có MF // AN, AM // NF và N· AM 900 O M nên tứ giác ANFM là hình chữ nhật. Mặt khác, AN = AM Suy ra ANFM là hình vuông. b) Điểm F nằm trên tia phân giác của M· CN và ·ACF 900 F K Kẻ FH  CN và FK  BM . Suy ra tứ giác CHFK là hình chữ nhật, do đó FH  FK Suy ra N· FH M· FK ( cặp góc có các cạnh tương ứng vuông góc) Xét HFN và KFM có : N· FH M· FK (cmt), NF = MF ( ?) N· HF M· KF 900 Do đó, HFN = KFM (ch-gn) Suy ra FH = FK Vậy, CF là tia phân giác của M· CN , nghĩa là F thuộc tia phân giác của M· CN Do tứ giác ABCD là hình vuông nên CA là phân giác của N· CB . Suy ra ·ACF 900 ( hai tia phân giác của hai góc kề bù ). c) Ba điểm B, O, D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang ( O là trung điểm của AF ) Hình vuông ANFM có hai đường chéo AF và MN cắt nhau tại O nên O là trung điểm của AF cũng là trung điểm của MN. MN Xét CMN có Cµ 900 , ON OM OC OA 2 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 39
  40. BDHSG Toán 8 Do đó O nằm trên đường trung trực của AC, suy ra O thuộc BD là đường trung trực của AC, nghĩa là ba điểm O, B, D thẳng hàng. Ta có: BD  AC ( t/c đường chéo của hình vuông ) CF  AC (cmt ) Khi đó, OB // CF Vậy tứ giác BOFC là hình thang. HẾT. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 6 Câu 1: Ta có: a3 b3 a2c b2c abc a3 b3 a2c b2c abc a b a2 ab b2 c a2 ab b2 a2 ab b2 a b c 0 ( Vì a b c 0 ) 2 2 2 Câu 2: Ta có: P xy yz zx 2 x2 yz y2 xz z2 xy . x2 y2 y2 z2 x2 z2 2xy2 z 2x2 yz 2xyz2 x4 y2 z2 2x2 yz y4 x2 z2 2xy2 z z4 x2 y2 2xyz2 2 2 x4 2x2 y2 y4 2y2 z2 2x2 z2 z4 x2 y2 2 x2 y2 z2 z4 x2 y2 z2 102 100 ( Vì x2 y2 z2 10 ). Vậy, P 100 khi x2 y2 z2 10 . Câu 3: a) Ta có: x5 x 1 x5 x2 x2 x 1 x2 x3 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x3 x2 1 b) Ta có: x5 x4 1 x5 x4 x3 x3 1 x3 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x3 x 1 c) Ta có: x8 x 1 x8 x2 x2 x 1 x2 x6 1 x2 x 1 x2 x3 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x6 x5 x3 x2 1 d) Ta có: x8 x7 1 x8 x2 x7 x x2 x 1 x2 x3 1 x 1 x2 x 1 x x3 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x6 x4 x3 x 1 . 1 1 1 1 1 1 1 1 Câu 4: Từ a b c 2018 và suy ra a b c 2018 a b c a b c 1 1 1 1 a b a b 0 0 a b c a b c ab c a b c a b c a b c ab 0 a b b c c a 0 a b 0 mà b c 0 a b c 2018 c a 0 Do đó, trong ba số a,b,c phải có một số bằng 2018. Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 40
  41. BDHSG Toán 8 Câu 5: Giải các phương trình sau: b2 x2 a) x a2 x a ( Phương trình ẩn x ) ( ĐK: x b ) b2 x2 x2 b2 2 2 2 x b 1 a x 2 2 2 2 a x b x b x2 b2 1 a 2 1 a x 2 2 x b 1 a2 x 1 a ( Vì x2 b2 0 ) + Nếu a 1 , phương trình có vô số nghiệm x R, x b . + Nếu a 1 , phương trình vô nghiệm , S  . 1  + Nếu a 1 , phương trình có nghiệm duy nhất , S . 1 a  1 1 1 10 b)  x 2000 x 2001 x 2001 x 2002 x 2009 x 2010 11 ĐKXĐ: x 2000; 2001; ; 2010 1 1 1 10 Ta có:  x 2000 x 2001 x 2001 x 2002 x 2009 x 2010 11 1 1 1 1 1 1 10  x 2000 x 2001 x 2001 x 2002 x 2009 x 2010 11 1 1 10 x 2000 x 2010 11 10 10 x 2000 x 2010 11 x 2000 x 2010 11 x2 2011x 1999x 2011.1999 0 x 2011 x 1999 0 x 2011 ( Thỏa ĐKXĐ ) x 1999 Vậy, S 2011; 1999 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 c) ( ĐKXĐ: x 2009, x 2010 ) 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 Đặt a x 2010 khi đó a 0 , ta có pt viết theo ẩn a là: 2 a 1 a 1 a a2 19 a2 a 1 19 a 1 2 a 1 a a2 49 3a2 3a 1 49 49a2 49a 49 57a2 57a 19 3 a 2 2 2 2 8a 8a 30 0 2a 1 4 0 2a 3 2a 5 0 5 a 2 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 41
  42. BDHSG Toán 8 3 3 4023 + Với a , ta có: x 2010 x 2 2 2 5 5 4015 + Với a , ta có: x 2010 x 2 2 2 4015 4023 Vậy, S ;  2 2  Câu 6: a) Xét hiệu : A x 1 x 2 x 3 x 4 1 = x2 5x 4 x2 5x 6 1 Đặt x2 5x 5 y . Khi đó, A y 1 y 1 1 y2 0 . Vậy, x 1 x 2 x 3 x 4 1 . Dấu « = » y 0 x2 5x 5 0 ( giải tiếp tìm x ) 1 1 a b a b b a a b a b c) Ta có: 1 1 1 1 2 2 5 2 5 2.2 . 9 a b a b a b b a b a ( Vì các số dương a và b thỏa mãn điều kiện a b 1 ) 1 1 1 Vây, 1 1 9 . Dấu « = » a b a b 2 Câu 7: K BA BD Kẻ CK // AD ( hình vẽ). Ta có : . AK DC A Ta lại có : BA AC 2AM (gt) Suy ra AK AM . Từ đó c/m được CAK BAM c.g.c nên ·ABM ·ACK M Suy ra ·ABM B· AD ·ACK Kµ 900 . Vậy, AD  BM . B D C Câu 8: a) Chứng minh rằng : AE = AB Kẻ EF  AH , suy ra tứ giác HDEF là hình chữ nhật A EF HD mà AH HD (gt) EF AH . Xét HBA và FAE có Hµ Fµ 900 , EF AH (cmt) · · · F E FEA HAB ( cùng phụ với FAE ) Do đó, HBA = FAE (g.c.g) M Suy ra AE AB B H D C b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính ·AHM . BE Do tam giác ABE vuông cân tại A nên AM . 2 BE Lại có tam giác BDE vuông tại D, có DM là đường trung tuyến nên MD 2 Suy ra AM MD . Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 42
  43. BDHSG Toán 8 Xét AHM và DHM có HM cạnh chung, AM MD (cmt), AH HD (gt). Do đó, AHM = DHM (c.c.c) ·AHD 900 Suy ra M· HA M· HD 450 . 2 2 Câu 9: a) Chứng minh: BD.CE.BC AH 3 : C/m được HAB đồng dạng HCA (g.g) AH HB Suy ra AH 2 HB.HC . HC AH A E C/m được BHD đồng dạng BHA (g.g) D BD HB Suy ra BH 2 BD.AB . BH AB B C C/m được CEH đồng dạng CHA (g.g) H CE CH Suy ra CH 2 CE.CA . CH CA Mặt khác, tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao, ta có: AH.BC AB.AC 2SABC Từ các điều kiện trên, ta có: AH 2 HB.HC AH 4 BH 2.HC 2 BD.AB.CE.AC BD.CE . AB.AC BD.CE.BC.AH AH 3 BD.CE.BC (đpcm) b) Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân. BC Gọi M là trung điểm của BC suy ra AM . 2 µ µ µ 0 Tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( vì A D E 90 ) nên SADHE 2SADH mà SABC 2SADHE (gt) SADH 1 Do đó, SABC 4SADH 1 . SABC 4 Ta lại c/m được DAH đồng dạng ABC (g.g) 2 2 SADH AH AM 1 2 SABC BC BC 4 Từ (1) và (2) suy ra AH AM H  M ABC vuông cân tại A. Vậy, nếu SABC 2SADHE thì tam giác ABC vuông cân tại A. Câu 10: Gọi BD và CI là hai đường cao của tam giác ABC A + C/m: AIN đồng dạng ANB g.g , suy ra: AN 2 AI.AB 1 D 2 I + C/m: ADM đồng dạng AMC g.g , suy ra: AM AD.AC 2 IAC DAB H Mặt khác, đồng dạng (g.g) AI AD M N Suy ra hay AI.AB AD.AC 3 AC AB Từ (1), (2) và (3) suy ra AM 2 AN 2 AM AN (đpcm) B C Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 43
  44. BDHSG Toán 8 HẾT. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 7 Câu 1: a) Ta có: M x95 x94 x93 x2 x 1 x64 x31 x30 x2 x 1 x32 x31 x30 x2 x 1 x31 x30 x2 x 1 x31 x30 x2 x 1 x64 x32 1  x31 x30 x2 x 1 Vậy, MN (đpcm) x3 x2 x b)Ta có:P x 1985. 1979 5. 3 2 6 x 1 .x. x 1 3x.x. x 1 661x3 989x2 x 6 Với x Z thì 661x3 989x2 x Z , còn x 1 x x 1 3x2 x 1 là số nguyên chia hết cho 6. Từ đó suy ra P x có giá trị nguyên với mọi x là số nguyên. Câu 2: a) Gọi thương của phép chia A x3 y3 z3 kxyz cho đa thức x y z là Q , ta có : x3 y3 z3 kxyz = x y z Q . Đẳng thức trên đúng với mọi x, y, z nên với x 1, y 1, z 2 ta có: 3 13 13 2 k 2 1 1 2 Q 6 2k 0 k 3 Vậy, A x3 y3 z3 kxyz chia hết cho đa thức x y z thì k 3 . b) Từ đề bài suy ra P x 6 chia hết cho x 1 , cho x 2 , cho x 3 Do đó, P x 6 chia hết cho x 1 x 2 x 3 . Đặt P x 6 m. x 1 x 2 x 3 với m Q . ( vì P x có bậc là ba ) Suy ra P x 6 m. x 1 x 2 x 3 với m Q . Theo giả thiết P 1 18 , do đó 18 6 2 3 4 m m 1 Vậy, P x 6 x 1 x 2 x 3 Câu 3: a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x 1 x x 1 x 1 x 1 x 2 x2 Ta có: P 2 : x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x2 1 x 2 x2 x x 1 x 1 : : x 1 2 x x 1 x 1 2 x x 1 x x 1 x x 1 x2  x 1 2 x 1 x 1 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 44
  45. BDHSG Toán 8 x2 Vậy, P với x 0; x 1; x 1 . x 1 1 x2 1 b) Để Pvới x 0; x 1 ;suyx ra1 với x 0; x 1; x 1 2 x 1 2 1 x 2x2 x 1 2x 1 x 1 0 2 x 1 1 Vìx 0; x 1; x 1 nên chọn x 2 1 1 Vậy, P x 2 2 x2 x2 1 1 x 1 x 1 1 1 1 c) Ta có: P x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 Với x 1 nên x 1 0 và 0 . Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x 1 và ta có : x 1 x 1 1 P 2 x 1 2 2 2 4 x 1 1 Dấu « = » x 1 với x 1 x 2 ( thỏa ĐKXĐ) x 1 Vậy, GTNN P 4 x 2 1 2 2 2 Câu 4: * Nhớ : a3 b3 c3 3abc a b c a b b c c a 2 Do đó, nếu a b c 0 hoặc a b c thì a3 b3 c3 3abc . 1 2 2 2 3 3 3 x y z x y y z z x x y z 3xyz 1 a) A 2 x y z x y 2 y z 2 z x 2 x y 2 y z 2 z x 2 2 3 3 3 x2 y2 y2 z2 z2 x2 b) B x y 3 y z 3 z x 3 Ta có : x2 y2 y2 z2 z2 x2 0 3 3 3 Do đó, x2 y2 y2 z2 z2 x2 3 x2 y2 y2 z2 z2 x2 1 Ta lại có: x y y z z x 0 Do đó, x y 3 y z 3 z x 3 3 x y y z z x 2 3 x2 y2 y2 z2 z2 x2 Từ (1) và (2) suy ra B x y y z z x 3 x y y z z x Câu 5: Ta có: a x y3 a y x3 x y a3 3 3 3 a x y a x x y x x y a a x y3 a x x3 x y x3 x y a3 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 45
  46. BDHSG Toán 8 a x y3 x3 a3 x3 x y x a x y x2 xy y2 x a x2 ax a2 x y x a x y x2 xy y2 x2 ax a2 x y x a y2 ax a2 xy x y x a x y a y a y a x y x a y a x y a a2 b2 c2 c b a Câu 6: a) b2 c2 a2 b a c Áp dụng BĐT x2 y2 2xy . Dấu “=” x y . 2 2 a2 b2 a b a b a Ta có: 2 2 2 . 2. 1 b c b c b c c b2 c2 b c2 a2 c Tương tự, 2. 2 và 2. 3 c2 a2 a a2 b2 b Lấy (1), (2) và (3) cộng vế theo vế ta được đpcm. Dấu “=” a b c 0 . b) Đặt A x8 x7 x2 x 1 x 1 x7 x 1 x2 x 1 x7 1 x2 + Nếu x 1 thì x7 1 , do đó x 1 x7 1 0 , còn x2 0 nên A 0 + Nếu x 1 thì x7 1 , do đó x 1 x7 1 0 , còn x2 0 nên A 0 Vậy, A x8 x7 x2 x 1 0 với mọi x . F Câu 7: A D H K B C a) Cmr: AH =AK AH AC AH AC AH AC Ta có: BD // CA mà BD AB nên HB BD HB AB AH HB AC AB AH AC AC.AB AH 1 AB AC AB AC AB AB.AC Cũng từ CE // AB và CE = AB, tương tự như trên, ta tính được AK 2 AB AC Từ (1) và (2) suy ra AH AK b) AH 2 BH.CK AH AC CK AC AH CK Ta có: và AH.AK BH.CK AH 2 BH.CK ( VìAH AK ) HB AB AK AB BH AK Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 46
  47. BDHSG Toán 8 Câu 8: Gọi K là giao điểm của AC và FI, M là giao điểm của AB và EH. FI MH DC DE Ta có: 1 ; 2 ; FK ME FK FE BD FD BD ME FD FE MH DE 3 F ME FE ME FE ME FE FI DC I Từ (1), (2) và (3) suy ra nên FI DC (đpcm) A FK FK H E CâuB 9: D C Qua N kẻ EF // BC, c/m được NE = NF (?)(1) Kẻ EG // HK, c/m được KG = KF (?) (2) C/m AH = AK, AE = AG ( Vì AHI AKI (ch-gn), AHK cân có EG//HG nên AEG cũng cân) do đó EH = GK (3) A Từ (2) và (3) suy ra EH = KF, IHE IKF (c.g.c) IE IF (4) Từ (1) và (4) suy ra IEF cân tại I, có IN là đường trung tuyến nên IN  EF G K Do đó, IN  BC E N F H I B D M C Câu 10: Qua C kẻ đường thẳng song song với PQ, cắt AB ở N, cắt AH ở K. Do HP = HQ nên KN = KC (?). Từ đó, KM là đường trung bình của CBN Suy ra KM // NB và KM  CH . Khi đó, M là trực tâm của CHK nên HM  NC Suy ra HM  PQ A H Q P M B C K N HẾT Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 47
  48. BDHSG Toán 8 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 8 4 3 2 Câu 1: Chứng tỏ rằng đa thức: Aluôn xkhông2 1 âm9 vớix2 mọi1 21 x2 1 x2 31 giá trị của biến x . Đặt x2 1 y , ta có: A y4 9y3 21y2 y 30 y 1 y 2 y 3 y 5 Khi đó, A x2 x2 3 x2 4 x2 6 0 với mọi giá trị của x (Đpcm ) x40 x30 x20 x10 1 x40 x30 x20 x10 1 Câu 2: a) A x45 x40 x35  x5 1 x5 x40 x30 x20 x10 1 x40 x30 x20 x10 1 x40 x30 x20 x10 1 1 x40 x30 x20 x10 1 x5 1 x5 1 x24 x20 x16 x4 1 x24 x20 x16 x4 1 b) B x26 x24 x22 x2 1 x24 x2 1 x20 x2 1  x4 x2 1 x2 1 x24 x20 x16 x4 1 1 x2 1 x24 x20 x16 x4 1 x2 1 1 1 1 1 1 1 1 Câu 3: Từ a b c 1 a b c a b c a b c a b 0 ( Xem lại cách giải bài 4 đề 6 )  a b b c c a 0 b c 0 c a 0 Đặt P a23 b23 a5 b5 a2019 b2019 + Nếu a b 0 thì a b a23 b23 a23 b23 0 . Vậy, P 0 . + Nếu b c 0 thì b c b5 c5 b5 c5 0 . Vậy, P 0 . + Nếu c a 0 thì c a c2019 a2019 c2019 a2019 0 . Vậy, P 0 . Kết luận: Với điều kiện đã cho P 0 . Câu 4: Giải các phương trình sau: 1 1 1 2017 2016 2 1 a)  .x  2 3 2018 1 2 2016 2017 1 1 1 2016 2 1  .x 1  1 1 1 2 3 2018 2 2016 2017 1 1 1 2018 2018 2018 2018  .x  2 3 2018 2 3 2017 2018 1 1 1 1 1 1  .x 2018  2 3 2018 2 3 2018 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 48
  49. BDHSG Toán 8 x 2018 1 1 1 2 2017 b)  3 6 10 x x 1 2019 2 2 2 2 2017  2.3 3.4 4.5 x x 1 2019 1 1 1 1 1 1 2017 2. 2 3 4 5 x x 1 2019 1 1 2017 1 1 2017 1 1 2. x 2018 2 x 1 2019 x 1 2 2.2019 x 1 2019 59 x 57 x 55 x 53 x 51 x c) 5 41 43 45 47 49 59 x 57 x 55 x 53 x 51 x 1 1 1 1 1 0 41 43 45 47 49 1 1 1 1 1 x 100 0 41 43 45 47 49 x 100 (?) 1.2 2.3 3.4  98.99 .x d) 2018 323400 n 1 n n 1 * Nhớ công thức: 1.2 2.3 3.4 n 1 .n ( HS suy nghĩ c/m) 3 98.99.100 Ta có: 1.2 2.3 3.4 98.99 323400 3 1.2 2.3 3.4  98.99 .x 2018 323400 323400 .x 2018 x 2018 323400 e)ĐKXĐ: x 2; 3; 4; 5; 6 1 1 1 1 1 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 x2 11x 30 8 1 1 1 1 1 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 x 5 x 6 8 1 1 1 4 1 2 x 2 x 8x 20 0 ( thỏa ĐKXĐ ) x 2 x 6 8 x 2 x 6 8 x 10 Câu 5: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y y z z x 8xyz . Chứng minh rằng: x y z Ta có: x y y z z x 8xyz x x y 2 y z x 2 z x y 2 0 Vì x, y, z 0 nên y z 2 z x 2 x y 2 0 x y z 0 KL: Câu 6: Ta có : 2a2b 4ab2 a2c ac2 4b2c 2bc2 4abc Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 49
  50. BDHSG Toán 8 2a2b 4ab2 a2c 2abc ac2 2bc2 4b2c 2abc 2ab a 2b ac a 2b c2 a 2b 2bc a 2b a 2b 2ab ac c2 2bc a 2b a 2b c c 2b c a 2b 2b c c a Câu 7: Gọi I là giao điểm của MN và AC, H là giao điểm của A B KN và DC. C/m MI = NI (?) rồi suy ra EC = CH (?) K Lí luận chỉ ra NEH cân tại N ( ?) rồi suy ra NC là tia M · · · N phân giác của ENH mà MN  NC , ENH và KNE kề bù I Suy ra NM là tia phân giác của K· NE E D C H Câu 8: A F K B a) MP / / AB . CP AF Ta có: FP / / AC ; PB FB I CM DC M P AK / /DC AM AK Tứ giác ADCF là hình bình hành nên AF = DC D C Tứ giác BCDK là hình bình hành nên FB = AK CP CM Từ các điều kiện ở trên ta có: MP / / AB 1 PB AM b) Ba điểm M, I, P thẳng hàng. CP CM DC DC Ta có: ( Vì AK = FB ) ; PB AM AK FB DC DI CP DI FB / /DC IP / /DC hay IP / / AB 2 FB IB PB IB Từ (1) và (2) theo tiên đề Ơ-clit suy ra ba điểm M, I, P thẳng hàng. c) DC 2 AB.MI AK AM AK DC AM MC AB AC C/m MDC đồng dạng KMA ( ?) 3 DC MC DC MC DC MC AC AF AC DC MI / /AF 4 MC MI MC MI AB DC Từ (3) và (4) suy ra DC 2 AB.MI (đpcm) DC MI A B Câu 9: E K Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 50 D C G
  51. BDHSG Toán 8 a) AE 2 EK.EG EK EB AE C/m AE 2 EK.EG ( ?) AE ED EG 1 1 1 AE AE b) Ta có: 1 AE AK AG AK AG AE DE AE BE AE AE DE BE BD Ta có: ; nên 1 AK DB AG BD AK AG BD BD BD 1 1 1 Vậy, (đpcm) AE AK AG c) Khi đường thẳng thay đổi nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi. BK AB BK CK KC CG AD KC Ta có: ? 1 và ? 2 KC CG AB CG AD DG DG CG BK AD Từ (1) và (2) ta được BK.DG AB.AD (không đổi) AB DG Vậy, Câu 10: MH MK BM MC A Ta có : 1 ? CD BE BC BC C/m ACD CEB ( ?) CD BE E MH MK MH MK Khi đó, 1 MH MK CD ( không đổi) ( ?) CD BE CD CD D H K B M C HẾT Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 51
  52. BDHSG Toán 8 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 9 Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a) a b c 2 a b c 2 4b2 a b c 2 a b c 2b a b c 2b a b c 2 a b c a 3b c a b c a b c a 3b c 2 a b c a b c b) a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 ab2 ac2 bc2 ab2 ac2 b2c ab a b c2 a b c a b a b a b ab c2 ca cb a b b c a c 3 3 3 3 3 3 c) a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 C/m: Nếu x y z 0 thì x3 y3 z3 3xyz ( tự giải ) Ta có: a2 b2 c2 a2 b2 c2 0 3 3 3 3 3 3 Suy ra a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 3 a2 b2 b2 c2 a c a c Câu 2: Thực hiện phép tính: 1 2.36 1 36 53 1 2.36 1 36 53 a) A 23.36 23.53 8 93 125 183 103 23 36 53 23 36 53 23 36 53 1 2.36 1 36 53 36 53 1 23 36 53 23 36 53 8 x3 y xy3 xy b) B x3 y3 x2 y xy2 x y 2 2 xy x y 1 xy x y x2 y2 1 x y xy Vậy, B , x y x y a b c Câu 3: Nhân cả hai vế của 1 với a b c 0 , ta được: b c c a a b a2 a b c b2 b c a c2 c a b a b c b c c a a b a2 b2 c2 a b c a b c b c c a a b a2 b2 c2 0 b c c a a b KL: Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 52
  53. BDHSG Toán 8 1 1 1 1 1 1 a b c Câu 4: Bình phương hai vế 2 , ta được 2. 4 a b c a2 b2 c2 abc 1 1 1 1 1 1 Suy ra 2.1 4 ( Vì a b c abc ) hay 2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 KL: Câu 5: a) Số cần tìm có dạng ab , với a,b N;1 a 9;0 b 9 2 Theo đề bài ta có: ab a b 3 10a b 2 a b 3 1 Hệ thức (1) chứng tỏ ab phải là một số lập phương và a b phải là một số chính phương. Do 10 ab 99 ab 27 hoặc ab 64 +Nếu ab 27 a b 9 32 ( chính phương ) +Nếu ab 64 a b 10 ( không chính phương nên loại ) Vậy, số cần tìm là ab 27 . b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là x 1 , x, x 1 ( ĐK : x 1, x N ) Ta có : x 1 x x x 1 x 1 x 1 26 3x2 1 26 x 3 ( Vì x 1, x N ) Vậy, ba số tự nhiên liên tiếp phải tìm là 2, 3, 4. c) Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là x 1 , x, x 1 , x 2 ( ĐK : x 2, x Z ) Ta có : x 1 x x 1 x 2 120 x x 1 x 1 x 2 120 2 2 2 2 x x x x 2 120 x x 2 x x 1 121 2 x2 x 1 112 Vì x 2, x Z nên x2 x 1 11 x 3 x 4 0 x 3 ( Vì x 4 0 ) Vậy, bốn số nguyên dương liên tiếp phải tìm là 2, 3, 4, 5 2 2 2 3 2 1 2 1 2 1 Câu 6: Cmr: a) a b c a b c a a b b c c 0 4 4 4 4 2 2 2 1 1 1 a b c 0 ( Đúng ) 2 2 2 1 Dấu “=” a b c 2 b) a4 b4 2 4ab a4 2a2b2 b4 2a2b2 4ab 2 0 2 a2 b2 2 ab 1 2 0 Dấu “=” a b 1 hoặc a b 1 Câu 7: A a) Chứng minh: tam giác ADI cân . D Ta có: ·AID B· IH ( hai góc đối đỉnh ) I · · 0 BIH HBI 90 ( tam giác HBI vuông tại H ) B C H K Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 53
  54. BDHSG Toán 8 Suy ra ·AIB I·BH 900 Mặt khác, ·ADI I·BA 900 ( tam giác ABD vuông tại A ) ·ABI H· BI ( BD là phân giác ) Suy ra ·AID ·ADI , do đó tam giác AID cân tại A. b) Chứng minh: AD.BD BI.DC Xét IAB và DCB có ·ABI C· BD, I·AB D· CB ( cùng phụ với ·ABC ) AB BI Do đó, IAB đồng dạng DCB (1) BC BD AB AD Mặt khác, ABC có BD là đường phân giác nên (2) BC DC BI AD Từ (1) và (2) suy ra AD.BD BI.DC BD DC c) Từ D kẻ DK vuông góc BC tại K. Tứ giác ADKI là hình gì? Chứng minh điều ấy. Vì BD là tia phân giác của ·ABC nên DA = DK (?) Mà IA = DA ( câu a) nên IA = DK. Tứ giác ADKI có IA = DK và IA // DK ( cùng vuông góc với BC ) Suy ra ADKI là hình bình hành Ta lại có: IA = DA ( câu a) Suy ra ADKI là hình thoi. Câu 8: + Cmr: AE = DF HE BE AD Vẽ EH  AB . Ta có : , mà AC AB nên HE AD . AC BC AB A AD BE CF D Từ giả thiết mà AC AB nên AD CF . AB BC CA F Suy ra được AD EH BH nên AH AF . H Ta c/m được AHE FAD (c.g.c) AE DF . + Cmr: AE  DF B E C (HS tự giải ) Câu 9: Đặt SAEM x ( ĐK: x 0 ) MF MD DF 3 3 Do nên SEMF x (1) MA ME AE 2 2 A E B 3 3 9 x SAMD x; SDMF .SAMD x 2 2 4 M N 25 Từ đó, S x (2) AEFD 4 6 Từ (1) và (2) suy ra S S . D F C EMF 25 AEFD Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 54
  55. BDHSG Toán 8 6 Tương tự, S S . ENF 25 BEFC 6 6 Suy ra S S S EMFN 25 ABCD 25 1 Câu 10: Cmr: S S A B APQ 2 AMN P S S S AQ AP Trước hết ta có: APQ APQ  APN  ? SAMN SAPN SAMN AN AM Q M AQ AP Do đó, ta cần tính: , D AN AM N C AQ AB AQ 3 AQ 3 Ta có: 3 ? QN DN AQ QN 4 AN 4 AP AD AP 2 AP 2 Và 2 PM BM AP PM 3 AM 3 SAPQ AQ AP 3 2 1 1 Do đó,   SAPQ SAMN . SAMN AN AM 4 3 2 2 HẾT Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 55
  56. BDHSG Toán 8 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 10. Câu 1: Tìm GTNN của: 16 16 16 a) Ta có: A x 2007 x 3 2010 2. x 3 2010 2.4 2010 2018 x 3 x 3 x 3 16 ( Vì x 3 nên x 3 0 , dùng BĐT Cô-si cho hai số dương x 3 và ) x 3 16 Dấu « = » x 3 , x 3 x 7 x 3 Suy ra GTNN A 2018 x 7 . x2 2x 2018 b) B , x 0 2018x2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2  2 2  2018 2018 x x x x 2018 2018 2018 2018 2 1 1 2017 2017 2 2 x 2018 2018 2018 1 1 Dấu “=” 0 x 2018 ( thỏa x 0 ) x 2018 2017 Suy ra GTNN B x 2018 20182 x3 2000 c) C , x 0 x 2000 1000 1000 1000 1000 x2 x2 33 x2   3.100 300 x x x x x 1000 Dấu “=” x2 x 10 ( thỏa x 0 ) x Suy ra GTNN C 300 x 10 . 5n 11 Câu 2: a) Xác định n N để A là số tự nhiên 4n 13 5n 11 Để A là số tự nhiên 4n 13 5n 11  4n 13 4 5n 11  4n 13 5 4n 13 21  4n 13 21 4n 13 4n 13 U 21 1; 3; 7; 21 Lập bảng : 4n 13 -21 -7 -3 -1 1 3 7 21 4n -8 6 10 12 14 16 20 34 n -2 3 5 3 7 4 5 17 2 2 2 2 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 56
  57. BDHSG Toán 8 Vì n N nên chọn n 3;4;5 Thử lại: 5.3 11 + Với n 3 , ta có: A 4 N ( Loại ) 4.3 13 5.4 11 + Với n 4 , ta có: A 3 N ( Nhận ) 4.4 13 5.5 11 + Với n 5 , ta có: A 2 N ( Nhận ) 4.5 13 KL : n 4;5 b) Chứng minh rằng: B n3 6n2 19n 24 chia hết cho 6 Ta có: B n3 6n2 19n 24 n3 n 6n2 18n 24 n n2 1 6 n2 3n 4 n 1 n n 1 6 n2 3n 4 Vì n 1 n n 1 6 ? và 6 n2 3n 4 6 nên B6 (đpcm) 1 1 1 c) Tính tổng S n 2.5 5.8 3n 1 . 3n 2 1 1 1 1 3 3 3 Ta có: S n 2.5 5.8 3n 1 . 3n 2 3 2.5 5.8 3n 1 . 3n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 3 2 5 5 8 3n 1 3n 2 3 2 3n 2 2 3n 2 Câu 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2 a) x2 x 2 x2 x 15 Đặt x2 x y , ta có: y2 2y 15 y 5 y 3 2 Vậy, x2 x 2 x2 x 15 x2 x 5 x2 x 3 2 b) x2 2x 9x2 18x 20 Đặt x2 2x y , ta có: y2 9y 20 y 4 y 5 2 Vậy, x2 2x 9x2 18x 20 x2 2x 4 x2 2x 5 c) x2 3x 1 x2 3x 2 6 Đặt x2 3x 1 y , ta có: y2 y 6 y 2 y 3 Vậy, x2 3x 1 x2 3x 2 6 x2 3x 1 x2 3x 4 d) x2 8x 7 x 3 x 5 15 Đặt x2 8x 7 y , ta có: y2 8y 15 y 3 y 5 Vậy, x2 8x 7 x 3 x 5 15 x2 8x 10 x2 8x 12 Câu 4: Tìm tất cả các số tự nhiên k để đa thức f k k 3 2k 2 15 chia hết cho g k k 3 ĐKXĐ: k 3 Áp dụng định lí Bézout: Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 57
  58. BDHSG Toán 8 Số dư của f x chia cho g x là f 3 27 18 15 6 Để f x chia hết cho g x thì 6k 3 , suy ra k 0;3 Câu 5: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện: 3x y 1 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3x2 y2 Từ 3x y 1 y 3x 1 , Khi đó, M 3x2 y2 3x2 3x 1 2 3x2 9x2 6x 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 12x 6x 1 12 x x 12 x 2.x 12 x 2 12 4 16 48 4 4 4 1 1 Dấu “=” x ; y 4 4 1 1 1 Suy ra GTNN M x ; y 4 4 4 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N xy Từ 3x y 1 y 3x 1 , 2 2 1 Khi đó, N xy x 3x 1 3x x 3 x x 3 2 2 1 1 1 1 1 1 3 x 2.x 3 x 6 36 36 6 12 12 1 1 Dấu « = » x 0 x 6 6 1 1 Suy ra GTLN N x 12 6 Câu 6: Ta có: x y z 0 x y z 2 0 x2 y2 z2 2 xy yz zx 0 x2 y2 z2 0 ( Vì xy yz zx 0 ) x y z 0 Suy ra S 0 1 2017 02018 0 1 2019 0 Vậy, S 0 khi x y z 0 và xy yz zx 0 . Câu 7: Gọi a và b lần lượt là số đấu thủ ở đội trường A và trường B, với a,b N * . Theo đề bài, ta có: ab 2 a b a 2 b 2 4 Nhận xét : Do a,b N * a 2 Z; b 2 Z Lập bảng : a 2 -4 -2 -1 1 2 4 b 2 -1 -2 -4 4 2 1 a -2 0 1 3 4 6 b 1 0 -2 6 4 3 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 58
  59. BDHSG Toán 8 KL : a 4; b 4 hoặc a 3; b 6 hoặc a 6; b 3 Câu 8: Vẽ MK / /OA , ta có : OK AM S S B MOK MOA K OB AB SMOB SAOB M SMOK S1 S1 S2 1 1 1 1 ( không đổi ) O S2 S1 S2 S1S2 SMOK S1 S2 SMOK A ( Vì M cố định nên K cố định, do đó SMOK không đổi ) A Câu 9: Chứng minh: IK //BC. Gọi M là trung điểm của AF, N là giao điểm của DM và EF D M AD AM 1 N Ta có: nên DM // BC ( đl Ta-let đảo ) (1) DB MC 2 F MN // EC mà MF = FC nên EF = FN EK EK EF 2 1 1 EI 1 I K Ta có :   mà B C EN EF EN 3 2 3 ED 3 E EK EI Do đó, suy ra IK // DN ( đl Ta-let đảo ) (2) EN ED Từ (1) và (2) suy ra IK // BC (đpcm ). Câu 10: a) Chứng minh IK// AB. MI ID DM MC MK Ta có: IK / / AB ( đl Ta-let đảo ) A B IA IB AB AB KB E F b) Cmr: EI =IK = KF. I K EI IK AI D C Ta có : mà DM = MC nên EI = IK. DM MC AM C/m tương tự, IK = KF. Vậy, EI =IK = KF ( đpcm) HẾT Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 59
  60. BDHSG Toán 8 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 11 x2 y2 x2 y2 Câu 1: Cho P x y 1 y x y 1 x 1 x 1 y a) Tìm ĐKXĐ của P , rút gọn P + ĐKXĐ : x y 0,1 y 0,1 x 0 x y, y 1, x 1 x2 1 x y2 1 y x y x2 y2 + Rút gọn : P x xy y x y 1 y 1 x Vậy, P x xy y với x y, y 1, x 1 . b)Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P 2 Ta có : P 2 x xy y 2 x 1 y 1 y 1 1 y x 1 1 1 y 1 1 y 1 hoặc x 1 1 x 1 1 x 2 x 0 hoặc ( thỏa ĐKXĐ ) y 0 y 2 x 2 x 0 Vậy, P 2 hoặc y 0 y 2 Câu 2: Xác định các số hữu tỉ a và b sao cho: a) x4 4 chia hết cho x2 ax b ; Ta có: x4 4 x4 4x2 4 4x2 x2 2x 2 x2 2x 2 Do đó, để x4 4 chia hết cho x2 ax b thì a 2,b 2 . b) ax4 bx3 1 chia hết cho x 1 2 . Ta có ax4 bx3 1 chia hết cho x 1 2 được thương có dạng ax2 cx 1 Ta viết: ax4 bx3 1 x2 2x 1 ax2 cx 1 với mọi x Tính x2 2x 1 ax2 cx 1 ax4 cx3 x2 2ax3 2cx2 2x ax2 cx 1 ax4 c 2a x3 1 2c a x2 2 c x 1 Khi đó, ax4 bx3 1 ax4 c 2a x3 1 2c a x2 2 c x 1 với mọi x b c 2a a 3 Đồng nhất thức hai vế, ta được 1 2c a 0 b 4 2 c 0 c 2 Vậy, a 3,b 4 . Câu 3: Phân tích các đa thức thành nhân tử: Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 60
  61. BDHSG Toán 8 2 a) x2 4x 8 3x x2 4x 8 2x2 ; Đặt x2 4x 8 y ta được: 2 x2 4x 8 3x x2 4x 8 2x2 y2 3xy 2x2 y2 2xy x2 xy x2 y x y 2x x2 5x 8 x 2 x 4 2 Vậy, x2 4x 8 3x x2 4x 8 2x2 x2 5x 8 x 2 x 4 b) x2 2xy y2 x y 12 Ta có: x2 2xy y2 x y 12 x y 2 x y 12 x y 3 x y 4 Vậy, x2 2xy y2 x y 12 x y 3 x y 4 . Câu 4: Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: A 20n 16n 3n 1 chia hết cho 323 . Ta có: 323 17.19 và 17,19 1 . Ta cần c/m: A17 và A19 . Ta có : A 20n 16n 3n 1 20n 3n 16n 1 Mà 20n 3n  20 3 hay 20n 3n 17 1 Và 16n 1  16 1 ( vì n là số chẵn ) hay 16n 1 17 2 Từ (1) và (2) suy ra A17 . Tương tự, A 20n 16n 3n 1 20n 1 16n 3n Mà 20n 1  20 1 hay 20n 1 19 3 Và 16n 3n  16 3 ( vì n là số chẵn ) hay 16n 3n 19 4 Từ (3) và (4) suy ra A19 . Vì A17 và A19 mà 17,19 1 suy ra A323 (đpcm) Câu 5: Chứng minh rằng: a) x3 4x 1 3x2 với x 0 2 x x 2 x2 1 0 với x 0 ( Đúng ) b) Xét x 1 x 3 x 4 x 6 9 x2 7x 6 x2 7x 12 9 Đặt x2 7x 9 a . Khi đó, ta có: a 3 a 3 9 a2 0 Vậy, x 1 x 3 x 4 x 6 9 0 (đpcm) c) a2 4b2 4c2 4ab 4ac 8bc a2 4ab 4b2 4c2 4ac 8bc 0 a 2b 2 2. a 2b . 2c 2c 2 0 a 2b 2c 2 0 ( Đúng ) Câu 6: Rút gọn biểu thức: x 1 x 2 x 3 x 4 1 x2 5x 4 x2 5x 6 1 a) M x2 5x 5 x2 5x 5 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 61
  62. BDHSG Toán 8 2 2 x2 5x 4 2 x2 5x 4 1 x2 5x 5 x2 5x 5 x2 5x 5 x2 5x 5 1 1 2 4 8 16 b) N 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 x16 2 2 4 8 16 1 x2 1 x2 1 x4 1 x8 1 x16 4 4 8 16 1 x4 1 x4 1 x8 1 x16 8 8 16 1 x8 1 x8 1 x16 16 16 1 x16 1 x16 32 1 x32 Câu 7: a) Tính B· HM . A 1 Ta có: AM BE MK ? 2 I E C/m được MAH MKH c.c.c M 1 ·AHM K· HM ·AHK 450 2 B H G K C B· HM 1800 M· HK 1800 450 1350 GB AH b) Chứng minh: BC HK HC Kẻ EI // BC I AH , C/m được IHKE là hình chữ nhật. IE HK AH AIE BHA cgv gn AB AE Tam giác ABE vuông cân tại A có BM = ME nên AG là tia phân giác của B· AC BG AB BG AB Do đó, 1 GC AC BC AB AC HK AE HK AE Vì KE // AH nên HC AC HK HC AE AC AH AB Hay 2 ( Vì AH = HK, AB = AE ) HK HC AB AC Từ (1) và (2) suy ra đpcm. A Câu 8: Chứng minh: CI là tia phân giác của ·ACB . M Kẻ MK  BC tại K. I IB BH AC Vì IH // MK nên 1 ( Vì BH = AC ) IM HK HK C/m được ABC đồng dạng HAC (g.g ) BC AC B H K C Do đó, AC HC Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 62
  63. BDHSG Toán 8 BC AC BC AC 2 2CM 2HK CM HK IB CB Từ (1) và (2) suy ra IM CM Hay CI là tia phân giac của ·ACB . Câu 9: a) Tính độ dài đường phân giác AD. A x Kẻ DE // AB, c/m ADE đều E Đặt AD DE EA x 0 DE CE x 6 x x Ta có : AB CA 3 6 B D Giải ra x 2cm . Vậy, AD 2cm. C 1 1 1 b) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn . Tính B· AC . AD AB AC Kẻ DE //AB. Đặt DE EA x 0 . Ta có : DE CE x AC x x 1 AB CA AB AC AC x x 1 1 1 1 1 AB AC AB AC x 1 1 1 Theo đề bài, ta có : (2) AD AB AC Từ (1) và (2) suy ra AD x . Khi đó, ADE đều suy ra B· AC 1200 . Câu 10: A Gọi G là giao điểm của BD và CE. Đặt GD = x, GE = y thì GB = 2x, GC = 2y. Áp dụng định lý Pytago cho các tam giác vuông BGE, CGD ta có : EG2 BG2 EB2 9 y2 4x2 9 E y G D 2 2 2 2 2 Và DG CG DB 16 x 4y 16 x 2 2 B 2x Suy ra x y 5 1 2y Áp dụng định lý Pytago cho các tam giác vuông BGC, ta có : BC 2 BG2 CG2 2x 2 2y 2 4 x2 y2 2 C Từ (1) và (2) suy ra BC 2 4.5 20 BC 2 5 (cm) HẾT Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 63
  64. BDHSG Toán 8 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 12 2 Câu 1: Ta có : 12 a2 b2 c2 1 a4 b4 c4 2 a2b2 b2c2 c2a2 a4 b4 c4 1 2 a2b2 b2c2 c2a2 (1) Ta lại có : a b c 0 a b c 2 0 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 0 ab bc ca 2 1 2 1 ab bc ca ab bc ca 2 4 1 a2b2 b2c2 c2a2 2abc a b c 4 1 a2b2 b2c2 c2a2 4 1 1 Do đó, M a4 b4 c4 1 2. 4 2 8 3 8 3 Câu 2: a) Ta có : Q 2x 3y 7 x y x y 8 3 2 .2x 2 .3y 7 2.4 2.3 7 7 x y 2x 3y 7 8 2x x x 2 Dấu “=” 3 y 1 3y y x, y 0 Suy ra GTNN(Q) = 7 x 2, y 1 . b) Ta có:A x2 y2 xy x y 2A x2 2xy y2 x2 2x 1 y2 2y 1 2 x y 2 x 1 2 y 1 2 2 2 A 1 Dấu “=” x y 1 Suy ra GTLN(A) = 1 x y 1 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 64
  65. BDHSG Toán 8 a2 b2 a b Câu 3:Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta luôn có bất đẳng thức sau: 2 2 4 3 b a b a 2 2 a2 b2 a b a b a b a b Ta có: 2 2 4 3 2 2 1 1 0 b a b a b a b a b a 2 2 a b a b 2 a b a b a b 2 1 1 0 1 1 0 b a b a b a b a b a a b a b a2 b2 ab a2 b2 2ab 1 2 0 . 0 b a b a ab ab 2 1 3 2 2 a b b . a b 2 4 0 ( Đúng ) ab 2 Dấu “ =” a b 0 . a2 b2 a b Vậy, 2 2 4 3 với a,b 0 . Dấu “ =” a b 0 . b a b a Câu 4: Giải các phương trình sau: a) x 3 3 x 1 3 56 HD: Chú ý: x + 2 là giá trị trung bình cộng của x + 1 và x + 3, ta đặt x + 2 = y. Khi đó phương trình trở thành y 1 3 y 1 3 56 y3 3y2 3y 1 y3 3y2 3y 1 56 6y2 2 56 y 3 + Với y 3 thì x = 1 + Với y 3 thì x = -5 Vậy S 1; 5 b) x 6 4 x 8 4 16 Đặt x 7 y , phương trình đã cho trở thành: y 1 4 y 1 4 16 Rút gọn ta được: 2y4 12y2 2 16 y4 6y2 7 0 Đặt y2 z 0 , ta có: z2 6z 7 0 Giải phương trình trên z 1 ( nhận ) và z 7 ( loại ) Với z 1 thì y2 1 y 1 Khi đó, x 8 hoặc x 6 Vậy S 6;8 4 4 a b * Chú ý: Khi giải pt bậc bốn dạng x a x b c c 0 , ta thường đặt y x 2 c) x4 3x3 4x2 3x 1 0 Ta thấy x 0 không là nghiệm của pt đã cho. Chia hai vế của pt cho x2 0 , ta được : Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 65
  66. BDHSG Toán 8 2 3 1 2 1 1 x 3x 4 2 0 x 2 3 x 4 0 x x x x 1 1 Đặt x y thì x2 y2 2 , ta được y2 3y 2 0 . x x2 Giải pt trên y 1 hoặc y 2 2 1 2 1 3 +Với y 1 , ta có : x 1 nên x x 1 0 x 0 ( vô nghiệm ) x 2 4 1 2 +Với y 2 , ta có : x 2 nên x 1 0 x 1 x Vậy, S 1 Câu 5: a) Ta có : P x 2x4 7x3 2x2 13x 6 2x4 6x3 x3 3x2 5x2 15x 2x 6 2x3 x 3 x2 x 3 5x x 3 2 x 3 x 3 2x3 x2 5x 2 x 3 2x3 4x2 3x2 6x x 2 2 x 3 2x x 2 3x x 2 x 2 x 3 x 2 2x2 3x 1 x 3 x 2 2x2 2x x 1 x 3 x 2 2x x 1 x 1 x 3 x 2 x 1 2x 1 b)Chứng minh rằng P x 6 với mọi x Z . Ta có: P x 3 x 2 x 1 2x 1 x 3 x 2 x 1 2x 2 3 2 x 3 x 2 x 1 x 1 3 x 3 x 2 x 1 Vì x 3 , x 2 là hai số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 Do đó, 3(1) x 3 x 2 x 1 6 Và x 3 , x 2 , x 1 là ba số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3 mà UCLN 2,3 1 và 2.3 =6. Suy ra 2(2) x 3 x 2 x 1 x 1 6 Từ (1) và (2) suy ra P x 6 với mọi x Z . x4 2x2 1 Câu 6: Cho phân thức A x3 3x 2 a) Rút gọn A. Ta có x3 3x 2 x 1 2 x 2 2 ĐKXĐ: x3 3x 2 0 x 1 x 2 0 x 1 và x 2 Ta lại có: x4 2x2 1 x 1 2 x 1 2 Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 66
  67. BDHSG Toán 8 x 1 2 x 1 2 x 1 2 Suy ra A x 1 2 x 2 x 2 x 1 2 Vậy, A với x 1 và x 2 x 2 b) Tính x để A 1 2 x 1 x2 2x 1 Ta có: A 1 1 1 0 x 2 x 2 x2 2x 1 x 2 x2 3x 3 0 0 x 2 x 2 2 3 3 x 2 2 4 3 3 0 x 2 0 ( Vì x 0 ) x 2 2 4 A B x 2 Kết hợp với ĐKXĐ, ta được A 1 x 2 và x 1 . Câu 7: a) AMFN là hình vuông; N H C Theo đl Pi-ta-go, trong tam giác vuông CMN ta có : D 2 2 2 MN CM CN M CM 2 BM BC 2 BM 2 BC 2 2BM.BC CN 2 CD DN 2 CD2 DN 2 2CD.DN Mà BM DN, AB BC CD DA (gt) K F Do đó, MN 2 CM 2 CN 2 BM 2 AB2 DN 2 AD2 AM 2 AN 2 Theo đl Pi-ta-go đảo, suy ra tam giác AMN vuông tại A. Tứ giác AMFN có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Ta c/m: ABM ADN (c.g.c) suy ra AM AN . Khi đó, AMFN là hình vuông. b) CF vuông góc với CA. Kẻ FH  DN, FK  CM kéo dài. C/m : HFN KFM ( ch-gn) FH FK Do đó, F nằm trên tia phân giác của N· CM A B Khi đó, CF và CA là hai tia phân giác của hai góc kề bù. d Vậy, CF  CA ( đpcm ). N P Câu 8: Gọi chân các đường vuông góc kẻ từ các đỉnh A, B, C, D của hình vuông đến đường thẳng d qua O O lần lượt là M, N, P, Q. Vì do đối xứng ta có : Q M AM CP, BN DQ, AO OC, BO DO 2 2 2 2 2 2 AM BN CP DQ 2 AM BN 1 D C C/m : AOM OBN ? , suy ra BN OM . Hãy luôn chiến thắng chính mình. Trang: 67