Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn - Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn (Có đáp án)

Nội dung text: Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn - Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn (Có đáp án)

1. Bài 2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. So sánh độ dài của đường kính và dây ▪ Trong các dây của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất. 2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung ▪ Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. ▪ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: So sánh các đoạn thẳng ▪ Sử dụng kiến thức liên hệ giữa đường kính và dây. Ví dụ 1. Cho tam giác nhọn ABC , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . Chứng minh a) ốn điểm B , E , D , C cùng thuộc một đường tròn; b) DE BC ; c) DE AH . Lời giải a) Gọi O là trung điểm của BC . Ta có BC OD OE OB OC . Vậy B , E , C , D thuộc đường 2 tròn đường kính BC . b) Xét (O) có DE , BC lần lượt là dây không đi qua tâm và đường kính suy ra DE BC . c) Ta có ·ADH ·AEH 90 nên A , H , D , E cùng thuộc đường tròn đường kính AH . Từ đó suy ra DE AH . Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Ví dụ 2. Cho đường tròn tâm O , đường kính AB . Dây CD cắt đường kính AB tại I . Gọi H , K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD . Đường thẳng đi qua O vuông góc với CD tại M cắt AK tại N . Chứng minh a) AN NK ; b) MH MK ; c) CH DK . Lời giải a) VABK có O là trung điểm của AB , ON  BK suy ra N là trung điểm của AK . b) VAHK có N là trung điểm của AK , MN P AH suy ra M là trung điểm của HK . c) OM  CD suy ra M là trung điểm của CD , suy ra MC MD CH DK .
2. Ví dụ 3. Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính MN , dây CD . Các đường vuông góc với CD tại C và D tương ứng cắt MN ở H và K . Chứng minh MH NK . Lời giải Kẻ OI  CD ( I CD ) suy ra I là trung điểm của CD . CHKD là hình thang vuông có OI PCH  KD mà I là trung điểm của CD . Suy ra O là trung điểm của HK . OH OK MH NK . C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho đường tròn tâm O , có bán kính OA 4 cm. Dây BC vuông góc với OA tại trung điểm của OA . Tính độ dài BC . Lời giải Áp dụng định lý Py-ta-go, tính được MB 2 3 cm. Từ đó tính được BC 2MB 4 3 cm. Bài 2. Cho đường tròn (O; R) và điểm I nằm bên trong đường tròn. a) Hãy nêu cách dựng dây CD nhận I làm trung điểm; b) Tính độ dài dây CD khi R 5 cm, OI 3 cm. Lời giải a) Vẽ dây CD  OI tại I suy ra I là trung điểm của CD . b) Dùng định lý Py-ta-go tính được CD 8 cm. Bài 3. Cho đường tròn tâm O có bán kính OA 11cm. Lấy M thuộc OA sao cho OM 7 cm. Qua M vẽ dây CD 18 cm. Kẻ OH  CD ( H CD ). Tính a) OH , HM ; b) MC , MD . Lời giải a) Vì OH  CD nên H là trung điểm của CD suy ra HC HD 9 cm. Áp dụng định lý Py-ta-go ta được OH 2 10 cm, HM 3 cm. b) MC CH MH 6 cm, MD MH HD 12 cm.
3. Bài 4. Cho đường tròn (O) đường kính AB 2R . Vẽ cung tròn tâm B , bán kính R , cung này cắt đường tròn (O) ở C và D . a) Tứ giác OCBD là hình gì? Vì sao? b) Tính số đo các góc C· DB , C· DO , O· DA ; c) Chứng minh VACD là tam giác đều. Lời giải a) Ta có OC BC BD OD( R) suy ra OCBD là hình thoi. b) Vì OB OD BD nên VBOD đều, suy ra O· DB 60 mà CD là đường chéo của hình thoi suy ra C· DB C· DO 30 . Ta có ·AOD 180 D· OB 120 , mà OA OD nên VAOD 180 ·AOD cân tại O nên O· DA 30 . 2 c) VABC VABD (cạnh huyền-cạnh góc vuông) suy ra AC AD VACD cân tại A , mà ·ADC 60 VACD là tam giác đều. Bài 5. Cho đường tròn (O) , dây cung MN . Kẻ OI  MN ( I MN ), lấy hai điểm H , K đối xứng với nhau qua I . Chứng minh tứ giác MHNK là hình bình hành. Lời giải Vì OI  MN nên I là trung điểm MN , từ đó tứ giác MHNK là hình bình hành. D. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 6. Cho tứ giác ABCD có Aˆ Cˆ 90 . a) Chứng minh bốn điểm A , B , C , D cùng thuộc một đường tròn; b) So sánh độ dài AC và BD ; c) Nếu AC BD thì tứ giác ABCD là hình gì? Lời giải
4. a) Vì VABD vuông tại A nên trung điểm BD là tâm đường BD tròn ngoại tiếp VABD với bán kính . Tương tự ta cũng có 2 trung điểm BD là tâm đường tròn ngoại tiếp VCBD với bán BD kính . Do dó bốn điểm A , B , C , D cùng thuộc một đường 2 tròn. b) Vì BD là đường kính nên BD AC . c) Nếu AC BD thì AC cũng là đường kính của đường tròn. Suy ra ABCD là hình chữ nhật. Bài 7. Cho đường tròn (O) đường kính AK , dây MN không cắt đường kính AK . Gọi I , P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A và K đến MN . Chứng minh MI NP . Lời giải Kẻ OH  MN ( H MH ) suy ra H là trung điểm MN . ta có AI  MN , PK  MN nên KP PIA hay PKAI là hình thang. Mặt khác OH  MN nên OH PIA , OH PPK , O là trung điểm của AK nên OH là đường trung bình của hình thang PKAI hay H là trung điểm của IP . Suy ra HI HP IM NP . Bài 8. Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính MN . Trên MN lấy điểm H , K sao cho MH NK . Qua H , K kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt tại C và D . Chứng minh HC và KD vuông góc với CD . Lời giải Kẻ OI  CD ( I CD ) suy ra I là trung điểm của CD . Ta có OM ON , MH NK OH OK . Ta có CHKD là hình thang mà OI là đường trung bình của hình thang OI PHC PKD mà OI  CD nên ta có đpcm. HẾT