Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn (Có đáp án)

Nội dung text: Phương pháp giải Hình học Lớp 9 - Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn (Có đáp án)

1. Bài 2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa ▪ Với là góc nhọn trong tam giác vuông ta có canh doi canh doi ▪ sin ; ▪ tan ; canh huyen canh ke canh ke canh ke ▪ cos ; ▪ cot . canh huyen canh doi Cách ghi nhớ “Tìm sin lấy đối chia huyền, Cô-sin hai cạnh kề huyền chia nhau, Còn tang thì phải tính sao? Đối trên kề dưới chia nhau ra liền, Cô-tang cũng dễ ăn tiền, Kề trên đối dưới chia liền bạn ơi!” 2. Một số hệ thức và tính chất cơ bản ▪ Với hai góc nhọn ,  và  90 thì sin cos ; cos sin ; tan tan ; cot cot  . Với góc nhọn 0 90 , ta có ▪ 0 sin 1;0 cos 1. ▪ Nếu tăng thì sin và tan tăng; còn cos và cot giảm. sin cos ▪ tan ; ▪ cot ; cos sin ▪ tan cot 1; ▪ sin2 cos2 1. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh ▪ Bước 1: Tính độ dài cạnh thứ ba theo định lý Py-ta-go (nếu cần). ▪ Bước 2: Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn theo yêu cầu đề bài. Ví dụ 1. Tam giác ABC vuông tại A , AB 1,5 ; BC 3,5. Tính tỉ số lượng giác của góc C rồi suy ra các tỉ số lượng giác của góc B . Lời giải Ta có AC 2 BC 2 AB2 3,52 1,52 10 AC 10 . AB 1,5 Do đó cos B sin C 0,4286 BC 3,5
2. AC 10 sin B cosC 0,9035 BC 3,5 AB 1,5 cot B tan C 0,4743 AC 10 AC 10 tan B cot C 2,1082 AB 1,5 Ví dụ 2. Tính tỉ số lượng giác của góc B trong hình bên. Lời giải Ta có BC 2 AB2 AC 2 52 122 169 BC 13 . AC 12 AB 5 Do đó sin B ; cos B ; BC 13 BC 13 AC 12 AB 5 tan B ; cot B . AB 5 AC 12 Ví dụ 3. VABC vuông tại A có BC 2AB . Tính các tỉ số lượng giác của góc C . Lời giải Ta đặt AB m thì BC 2m , suy ra AC 2 BC 2 AB2 4m2 m2 3m2 AC m 3 . AB m 1 AC m 3 3 Ta có sin C ;cosC ; BC 2m 2 BC 2m 2 AB m 1 AC m 3 tan C ;cot C 3 . AC m 3 3 AB m Ví dụ 4. Tam giác ABC cân tại A , có BC 6 , đường cao AH 4 . Tính các tỉ số lượng giác của góc B . Lời giải Ta có BH 6 : 2 3 ; AB 42 32 5. Do đó AH 4 sin B 0,8; AB 5 BH 3 cos B 0,6; AB 5 AH 4 tan B ; AB 3 BH 3 cot B 0,75. AH 4
3. Ví dụ 5. Tính tan C trong hình bên. Lời giải Ta có AH 2 AB2 BH 2 62 32 27 AH 3 3 . BH 3 1 Do đó tan C cot B . AH 3 3 3 Ví dụ 6. Tính sin M cos N trong hình bên. Lời giải Ta có OH 2 HM  HN 13 3 OH 3 ; OM 1 3 2 . OH 3 Do đó sin M . OM 2 3 Mặt khác cos N sin M nên sin M cos N 3 . 2 m Dạng 2: Dựng góc nhọn khi biết tỉ số lượng giác của góc nhọn đó bằng . n ▪ Dựng một tam giác vuông có cạnh là m và n rồi vận dụng định nghĩa để nhận ra góc . Ví dụ 7. Dựng góc , biết sin 0,25. Lời giải 1 Ta có 0,25 . 4 Dựng góc vuông xOy ; Trên cạnh Ox đặt OA 1; Dựng đường tròn (A; 4) cắt cạnh Oy tại B . · OA 1 Khi đó ABO vì sin . AB 4 Ví dụ 8. Dựng góc , biết cos 0,75 . Lời giải 3 Ta có 0,75 . 4 Dựng góc vuông xOy ; Trên cạnh Oy đặt OB 3 ;
4. Dựng đường tròn (B; 4) cắt cạnh Ox tại A . · OB 3 Khi đó ABO vì cos . AB 4 Ví dụ 9. Dựng góc , biết tan 1,5 . Lời giải 3 Ta có 1,5 . 2 Dựng góc vuông xOy ; Trên cạnh Ox đặt OA 3; Trên cạnh Oy đặt OB 2 . · OA 3 Khi đó ABO vì tan . OB 2 Ví dụ 10. Dựng góc , biết cot 2 . Lời giải Dựng góc vuông xOy ; Trên cạnh Ox đặt OA 1; Trên cạnh Oy đặt OB 2 . · OB Khi đó ABO vì cot 2 . OA Dạng 3: Chứng minh hệ thức lượng giác ▪ Sử dụng định nghĩa và một số hệ thức lượng giác cơ bản để chứng minh. Ví dụ 11. Cho góc nhọn . Chứng minh rằng a) sin tan ; b) cos cot . Lời giải a) Xét VABC vuông tại A , Cˆ (hình bên). AB AB Ta có sin ; tan . BC AC AB AB Vì BC AC nên , suy ra sin tan . BC AC AC AC b) Ta có cos ; cot . BC AB
5. AC AC Vì BC AB nên , suy ra cos cot . BC AB Ví dụ 12. Chứng minh các hệ thức 1 1 a) 1 tan2 ; b) 1 cot2 . cos2 sin2 Lời giải 2 2 2 2 sin cos sin 1 a) 1 tan 1 2 2 . cos cos cos 2 2 2 2 cos sin cos 1 b) 1 cot 1 2 2 . sin sin sin Ví dụ 13. Chứng minh rằng 1 cos sin tan 1 1 cot a) ; b) . sin 1 cos tan 1 1 cot Lời giải 1 cos sin a) Ta có (1 cos )(1 cos ) sin2 sin 1 cos 1 cos2 sin2 sin2 sin2 . Đẳng thức cuối cùng đúng nên đẳng thức đã cho là đúng. tan 1 1 cot b) Xét vế trái T ; vế phải P . tan 1 1 cot 1 1 1 cot 1 cot 1 cot T 1 : 1 : cot cot cot cot 1 cot Rõ ràng T P . Ví dụ 14. Chứng minh rằng tan2 sin2 tan2 sin2 . Lời giải Ta biến đổi vế trái 2 2 sin2 sin 1 cos sin2 sin2 T tan2 sin2 sin2 tan2 sin2 cos2 cos2 cos2 Ta thấy vế trái bằng vế phải. 2 2 1 4sin cos 2 Ví dụ 15. Chứng minh rằng sin cos . sin cos 2 Lời giải
6. Xét vế trái (1 2sin cos )(1 2sin cos ) T (sin cos )2 sin2 cos2 2sin cos sin2 cos2 2sin cos (sin cos )2 (sin cos )2 (sin cos )2 (sin cos )2 (sin cos )2 Ta thấy vế trái đúng bằng vế phải. Dạng 4: Biết một giá trị lượng giác của góc nhọn, tính các tỉ số lượng giác khác của góc đó ▪ Vận dụng các hệ thức cơ bản đã học. Ví dụ 16. Cho biết sin 0,6; tính cos , tan , cot . Lời giải Ta có cos 1 sin2 1 (0,6)2 0,8 sin 0,6 cos 0,8 4 tan 0,75;cot . cos 0,8 sin 0,6 3 2 Ví dụ 17. Cho biết cos ; tính sin , tan , cot . 3 Lời giải 2 2 2 5 Ta có sin 1 cos 1 3 3 sin 5 2 5 cos 2 5 2 tan : ;cot : . cos 3 3 2 sin 3 3 5 1 Ví dụ 18. Cho biết tan , tính cot , sin , cos . 3 Lời giải 2 1 1 1 2 1 2 Ta có cot 1: 3 ; 1 tan 1 . tan 3 cos 3 3 2 3 2 3 1 Do đó cos ; sin 1 cos 1 . 2 2 2 Ví dụ 19. Cho biết cot x 2, tính tan x , sin x , cos x . Lời giải
7. 1 1 1 Ta có tan x ; 1 cot2 x 1 22 5 . cot x 2 sin x 2 1 2 1 2 Do đó sin x ; cos x 1 sin x 1 . 5 5 5 Dạng 5: Tính giá trị lượng giác với các góc đặc biệt (không dùng máy tính hoặc bảng số) ▪ Căn cứ vào bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 30 ;45 ;60 . ▪ Căn cứ vào tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau. ▪ Căn cứ vào các hệ thức lượng giác cơ bản. Ví dụ 20. Tính giá trị của biểu thức a) M 4cos2 45 3 cot 30 16cos3 60 ; 2sin 30 sin 60 b) N . cos2 30 cos60 Lời giải 2 3 2   3  2 1 a) M 4cos 45 3 cot 30 16cos 60 4 3  3 16 2 3 2 3 . 2 2 1 3 3   2 1 2sin 30 sin 60 b) N 2 2 2 4 2 3 . 2   2 3 1 cos 30 cos60 3 1 4 2 2 2 Ví dụ 21. Tính giá trị của biểu thức a) P sin2 30 sin2 40 sin2 50 sin2 60 ; b) Q cos2 25 cos2 35 cos2 45 cos2 55 cos2 65 . Lời giải a) P sin2 30 sin2 40 sin2 50 sin2 60 sin2 30 sin2 60 sin2 40 sin2 50 sin2 30 cos2 30 sin2 40 cos2 40 1 1 0 b) Q cos2 25 cos2 35 cos2 45 cos2 55 cos2 65
8. cos2 25 cos2 65 cos2 35 cos2 55 cos2 45 2 2  2  2  2  2 cos 25 sin 25 cos 35 sin 35 2 1 1 1 1 2 2 Ví dụ 22. Tính giá trị của biểu thức sau với 00 90 : A cos2 tan 60 cot 45 2sin 30 cos2  tan2 . Lời giải A cos2 tan 60 cot 45 2sin 30 cos2  tan2 1 cos2 cos2  tan2 3 1 2 2 cos2 1 tan2 3 1 1 1 cos2  3 cos2 1 3. Ví dụ 23. Rút gọn các biểu thức sau với 0 90 a) B sin4 cos4 2sin2 cos2 ; b) C sin6 cos6 3sin2 cos2 . Lời giải 2 a) B sin4 cos4 2sin2 cos2 sin2 cos2 1. C sin6 cos6 3sin2 cos2 b) sin6 cos6 3sin2 cos2 sin2 cos2 3 sin2 cos2 1 sin2 cos2 Ví dụ 24. Cho biểu thức A . 1 2sin cos sin cos a) Chứng minh rằng A ; sin cos 2 b) Tính giá trị của A , biết tan . 3 Lời giải sin2 cos2 (sin cos )(sin cos ) sin cos a) A . 1 2sin cos (sin cos )2 sin cos
9. b) Chia cả tử và mẫu của A cho cos ta được sin cos 2 1 tan 1 1 A cos cos 3 . sin cos 2 tan 1 1 5 cos cos 3 Dạng 6: So sánh các tỉ số lượng giác mà không dùng máy tính hoặc bảng số ▪ Ví dụ 25. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần a) sin 70 ,cos30 ,cos 40 ,sin 51 ; b) cos34 ,sin 57 ,cot 32 . Lời giải a) Ta có cos30 sin 60 ; cos 40 sin 50 . Vì sin 50 sin 51 sin 60 sin 70 nên cos 40 sin 51 cos30 sin 70 . b) Ta có cos34 sin 56 ; cot 32 tan 58 . Vì sin 56 sin 57 sin 58 tan 58 nên cos34 sin 57 cot 32 . Ví dụ 26. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần a) cot 40 ,sin 40 ,cot 43 , tan 42 ; b) tan 52 ,cot 63 , tan 72 ,cot 31 ,sin 27 . Lời giải a) Ta có cot 40 tan 50 ; cot 43 tan 47 . Vì sin 40 tan 40 tan 42 tan 47 tan 50 nên sin 40 tan 42 cot 43 cot 40 . b) Ta có cot 63 tan 27 ; cot 31 tan 59 . Vì sin 27 tan 27 tan 52 tan 59 tan 72 nên sin 27 cot 63 tan 52 cot 31 tan 72 . Ví dụ 27. Cho 25 50 , hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự giảm dần: sin ; cos 40 ; tan 10 . Lời giải Vì 25 50 nên 10 50 . Mặt khác góc 50 phụ với góc a 40 . Ta có tan 10 sin 10 sin sin 50 , do đó tan 10 sin cos 40 . sin 50 cot 70 Ví dụ 28. So sánh hai số m và n , biết m ; n . cos65 tan 35
10. Lời giải sin 50 sin 50 sin 25 Ta có m 1; (1) cos65 sin 25 sin 25 cot 70 tan 20 tan 35 n 1. (2) tan 35 tan 35 tan 35 Từ (1) và ( 2 ) suy ra m n . Dạng 7: Tìm góc nhọn thỏa đẳng thức cho trước ▪ Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản để biến đổi về dạng cơ bản ▪ Dùng MTBT hoặc bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt để tìm. Cách dùng MTBT tìm khi biết sin (tương tự đối với cos và tan ) Nếu sin m thì bấm các phím sau shift sin m ''' . Ví dụ 29. Tìm góc nhọn x , biết a) 4sin x 1 1; b) 2 3 3tan x 3 . Lời giải a) 4sin x 1 1 b) 2 3 3tan x 3 1 3 4sin x 2 sin x 3tan x 3 2 3 tan x 2 3 sin x sin 30 x 30. tan x tan 30 x 30. C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho hình bên. Tính sin C và tan B . Lời giải Ta có AB2 BC  BH 31 suy ra AB 3 . Tương tự AH 2 BH CH 12 suy ra AH 2 . AB 3 AH 2 Do đó sin C và tan B 2 . BC 3 BH 1 1 2cos2 sin cos Bài 2. Chứng minh đẳng thức . 1 2sin cos sin cos Lời giải Ta có
11. 1 2cos2 cos2 sin2 2cos2 sin2 cos2 1 2sin cos cos2 sin2 2sin cos cos sin 2 sin cos sin cos sin cos . cos sin 2 sin cos Vậy đẳng thức được chứng minh. Bài 3. Cho góc nhọn . 1 a) Biết cos , hãy tính sin và tan . 3 b) Biết tan 2 , hãy tính sin và cos . Lời giải 1 a) Do cos2 sin2 1 mà cos nên 3 2 2 2 sin 1 2 2 8 3 sin 1 sin 3 9 2 2 sin 3 2 2 vì là góc nhọn nên sin 0 do đó sin . 3 2 2 sin Mặt khác tan 3 2 2 . cos 1 3 1 cos 1 1 1 5 b) Do 1 tan2 mà tan 2 nên 1 22 suy ra cos2 . cos2 cos2 5 1 cos 5 1 Vì là góc nhọn nên cos 0 do đó cos . 5 Bài 4. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy a) Tính giá trị của biểu thức M sin2 20 cos2 30 sin2 40 sin2 50 cos2 60 sin2 70 . b) Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần sin 41 ; cos58 ; cot 49 ; cos75 ; sin 25 . Lời giải a) Ta có sin2 70 sin2 90 20 cos2 20 .
12. Tương tự sin2 50 sin2 90 40 cos2 40 và cos2 60 cos2 90 30 sin2 30 . Do đó M sin2 20 cos2 30 sin2 40 cos2 40 sin2 60 cos2 20 sin2 20 cos2 20 cos2 30 sin2 30 sin2 40 cos2 40 1 1 1 1. b) Ta có cos58 sin 32 , cos 49 sin 41 và cos75 sin 25 . Mà sin 25 sin 32 sin 41 mà cos 49 cot 49 nên sin 25 cos75 cos58 sin 41 cos 49 cot 49. Vậy sin 25 cos75 cos58 sin 41 cot 49. Bài 6. Cho tam giác nhọn ABC , độ dài các cạnh BC , CA , AB lần lượt bằng a , b , c . a b c a) Chứng minh rằng . sin A sin B sin C b) Chứng minh rằng nếu a b 2c thì sin A sin B 2sin C . Lời giải CH CH a) Kẻ CH  AB . Ta có sin A ; sin B . AC BC sin A CH CH BC a Do đó và . sin B AC BC AC b a b Suy ra . sin A sin B b c b) Chứng minh tương tự . sin B sin C a b c Vậy . sin A sin B sin C a b c 2c a b Theo chứng minh trên suy ra . sin A sin B sin C 2sin C sin A sin B Vì a b 2c thì sin A sin B 2sin C . HẾT