›
›
›

Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 8: Phương trình (Có lời giải)

docx 116 trang Thu Mai 04/03/2023 2711
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 8: Phương trình (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxon_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_8_dang_8_phuong_trinh_co_l.docx

Nội dung text: Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 8: Phương trình (Có lời giải)

  1. DẠNG 8: PHƯƠNG TRÌNH A. Bài toán Bài 1: Giải phương trình: 2 a) x2 x 4 x2 x 12 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 c) 6x4 5x3 38x2 5x 6 0 (phương trình có hệ số đối xứng bậc 4) Bài 2: Giải phương trình: 6x 8 6x 6 6x 7 2 72 Bài 3: Giải phương trình: x2 y2 z2 y x z 3x 1 2x 5 4 Bài 4: Giải phương trình: 1 x 1 x 3 x2 2x 3 Bài 5: x m x 3 a) Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số) 2 x 3 x m b) Giải phương trình: 2x 8x 1 2 . 4x 1 9 x 241 x 220 x 195 x 166 Bài 6: Giải các phương trình sau: 10 17 19 21 23 Bài 7: Giải các phương trình sau: 15x 12 4 a) x 2 x 1 x 1 x 2 4 b) 1 x2 3x 4 x 4 x 1 Bài 8: Giải phương trình sau: 2 2 2x2 x 2013 4. x2 5x 2012 4. 2x2 x 2013 x2 5x 2012 Bài 9: Giải các phương trình: 2 2 2 x 3 x 3 7 x 9 a) 2x 1 2x 5 4(1) b) 6 2 0 x 2 x 2 x 4 Bài 10: Giải các phương trình: 3 3 1 3 3 3 x 3 x a) x 3 x 4 1 x 0 b) x x 2 4 4 x 1 x 1 Bài 11: 1) Tìm x : a) x 1 x 3 x 5 4x b) x2 5x 6 1 x 0 2) Tìm x, y biết: 7x2 y2 4xy 24x 6y 21 0 Bài 12: Tìm x biết: 2 3 1 a) x 4 12 b) : x 3 3 4 4 x 4 x 3 x 2 x 1 c) 3x 5 4 d) 2011 2012 2013 2014 Bài 13: Giải các phương trình sau:
  2. a) x3 2x2 5x 6 0 b) 5 3x 3x 5 3 2 4 9 c) x2 5x 4 x2 10x 24 3 x2 3x 18 Bài 14: Giải phương trình: 1 1 1 1 1 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 x2 11x 30 8 Bài 15: Giải phương trình: 3 8 5 3 9 a) . x 81 16 8 64 x2 2x 1 x2 2x 2 7 b) x2 2x 2 x2 2x 3 6 Bài 16: Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ với vận tốc theo thứ tự là 10km / h, 30km / h,50km / h. Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe máy và xe đạp ? Bài 17: Năm 2016, số công nhân ở xí nghiệp I và II tỉ lệ với 4 và 5. Năm 2017, xí nghiệp I tăng thêm 60 công nhân nữa, xí nghiệp II tăng thêm 90 công nhân; do đó số công nhân của 2 xí nghiệp tỉ lệ với 5 và 7. Hỏi năm 2017, mỗi xí nghiệp có bao nhiêu công nhân ? Bài 18: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số di 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số mới là nghich đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 19: Giải các phương trình sau: 2 a) x2 x 4 x2 x 12 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 20: Giải phương trình 2 2 x 1 x 1 x 2 12 0 x 2 x 4 x 4 Bài 21: Ký hiệu a(phần nguyên của a ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá a. 34x 19 Tìm x biết rằng: 2x 1 11 Bài 22: Lúc 7 giờ, một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 36km,rồi ngay lập tức quay trở về A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là 6km / h Bài 23 : Giải các phương trình sau: 1) 2x2 x 3 6x 2) x 2 . x2 3x 5 x 2 .x2 Bài 24: Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ Ađến B.Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là1 5km / h;45km / h và 60km / h .
  3. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy. Bài 25 : Giải các phương trình sau: a) 6x 8 6x 6 6x 7 2 72 1 1 1 1 b) x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Bài 26 : Giải các phương trình: x 7 x 6 x 5 x 2025 a) 0 2003 2004 2005 5 b) x4 2x2 400x 9999 Bài 27: Giải phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 Bài 28: Tìm x biết: 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 1 1 1 1 Bài 29: Giải phương trình: x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Bài 30: Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x2 y2 2z2 18x 4z 6y 20 0 Bài 31: Giải phương trình sau: 2010x 2010 2010x 2010 2011 x2 x 1 x2 x 1 x x4 x2 1 Bài 32: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11.Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó Bài 33: Giải các phương trình sau: a) 2x2 x 3 6x b) x 2 . x2 3x 5 x 2 .x2 Bài 34: Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ Ađến B.Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là1 5km / h;45km / h và 60km / h . Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy. Bài 35: Giải các phương trình sau: a)x3 x2 12x 0 x 214 x 132 x 54 b) 6 86 84 82 Bài 36: Tìm giá trị của m để cho phương trình 6x 5m 3 3mxcó nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình: x 1 x 1 x 2 2 3 Bài 37: Giải các phương trình sau: x 2 x 4 x 6 x 8 a) 98 96 94 92
  4. b) x6 7x3 8 0 Bài 38: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm 1 x x 2 2 x m 2 x m x m m2 x2 x 1 x 2 x 3 x 2012 Bài 39: Giải phương trình : 2012 2012 2011 2010 1 Bài 40: Giải các phương trình sau: x 214 x 132 x 54 a) 6 86 84 82 b) 2x 8x 1 2 . 4x 1 9 c) x2 y2 2x 4y 10 0 với x, y nguyên dương. Bài 41: Giải các phương trình sau: 2 a) x2 x 4 x2 x 12 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2 1 2 Bài 42: Giải phương trình: x 2 x x x 2 Bài 43: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất được 50 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất được 57 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành trước kế hoạch một ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày. Bài 44: Giải phương trình: 1)x2 3x 2 x 1 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2)8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x Bài 45: Giải phương trình 15x 1 1 a) 2 1 12 x 3x 4 x 4 3x 3 148 x 169 x 186 x 199 x b) 10 25 23 21 19 c) x 2 3 5 Bài 46: Một người đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm 5km / h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó x 2005 x 2004 x 4 x 5 Bài 47: Giải phương trình: 4 5 2005 2004 Bài 148: Tìm x biết:
  5. a)x2 4x 4 25 x 17 x 21 x 1 b) 4 1990 1986 1004 c)4x 12.2x 32 0 1 3 2 Bài 49: Giải phương trình: 2 x2 x 1 x 1 2 Bài 50: Tìm x biết : a) 3x 6561 b) 2x 1 2012 2x 1 2010 Bài 51: Tìm x, y, z biết: 10x2 y2 4z2 6x 4y 4xz 5 0 2 3 Bài 52: Một khối 8 có số học sinh đội tuyển Toán bằng số học sinh đội tuyển 3 4 4 Anh và bằng số học sinh đội tuyển Văn. Đội tuyển Văn có số học sinh ít hơn 5 tổng số học sinh của hai đội tuyển kia là 38 học sinh. Tính số học sinh của mỗi đội tuyển ? Bài 53: Một người dự định đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30km / h,nhưng sau khi đi được 1 giờ người ấy nghỉ hết1 5 phút, do đó phải tăng vận tốc thêm1 0km / h để đến B đúng giờ đã định. Tính quãng đường AB ? Bài 54: Giải các phương trình sau 15x 1 1 a) 1 12 x2 3x 4 x 4 3x 3 148 x 169 x 186 x 199 x b) 10 25 23 21 19 c) x 2 3 5 Bài 55: Một người đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm 5km / h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó Bài 56: Giải phương trình: 1)x2 3x 2 x 1 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2)8 x 4 x 4 x x x 4 x x2 x2 x Bài 57: Giải phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 Bài 58: Giải phương trình: 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 49 Bài 59: Giải các phương trình sau:
  6. 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a) x2 x 4 x2 x 12; b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 60: Giải các phương trình sau: Lúc 7 giờ, một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 36km, rồi ngay lập tức quay trở về A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là 6km / h Bài 61: Giải các phương trình sau: 1) 2x2 x 3 6x 2) x 2 . x2 3x 5 x 2 .x2 Bài 62: Giải Câu toán bằng cách lập phương trình Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B.Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15km / h; 45km / h và 60km / h . Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy. Bài 63: Giải phương trình 1 2x2 5 4 a) 2 3x 4 2 0 b) x 1 x3 1 x2 x 1 Bài 64: Giải các phương trình sau: 2 a) 6x 8 6x 6 6x 7 72 1 1 1 1 b) x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Bài 65: Giải các phương trình sau: x 7 x 6 x 5 x 2025 a) 0 2003 2004 2005 5 b) x4 2x2 400x 9999 x 241 x 220 x 195 x 166 Bài 66: Giải phương trình: 10 17 19 21 23 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 Bài 67: Tìm biết: x 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 49 Bài 68: Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Năng suất làm việc trong một ngày của người thứ hai chỉ bằng 2 người thứ nhất. Hỏi nếu 3 làm riêng, mỗi người làm trong bao lâu sẽ xong công việc Bài 69: Ký hiệu a (phần nguyên của a ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá a. 34x 19 Tìm x biết rằng: 2x 1 11 Bài 70: Giải các phương trình sau: a) x x 2 x2 2x 2 1 0 b) y2 4x 2y 2x 1 2 0 x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 c) x 2 x 8 x 4 x 6 Bài 71: Giải phương trình: 3x 2 x 1 2 3x 8 16
  7. Bài 72: Giải phương trình: x2 x 1 x2 x 2 12 Bài 73: Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được 4m thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp 8mdừng lai 2 giây, rồi đi tiếp 12m dừng lại 3 giây Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả 155giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc 2m / giây. Tính khoảng cách từ A đến B. Bài 74: Giải phương trình x 43 x 46 x 49 x 52 a) 57 54 51 48 b) 2x 3 x 2 2 2x 5 3 Bài 75. a) Lúc 7 giờ sáng một xe buýt đi từ vị trí A đến vị trí B với độ dài là 60 km. Khi đi tới vị trí C cách vị trí A 39km thì xe bị hỏng. Xe phải dừng lại và sửa chữa mất 15phút, sau đó xe tiếp tục đi từ C đến B với vận tốc giảm hơn so 11 với vận tốc đi từ A tới C là 3km / h.Tổng thời gian xe đi từ A đến B hết 6 giờ (tính cả thời gian dừng lại sửa xe). Hỏi xe buýt bị hỏng lúc mấy giờ ? b) Giải phương trình x2 2x 2 x2 8x 20 x2 4x 6 x2 6x 12 x 1 x 4 x 2 x 3 Bài 76. Giải phương trình: x4 30x2 31x 30 0 Bài 77. Giải phương trình sau: 2 2 2x2 x 2013 4. x2 5x 2012 4. 2x2 x 2013 x2 5x 2012 Bài 78. Giải các phương trình sau: 1) x2 3x 2 x 1 0 9x x 2) 8 2x2 x 3 2x2 x 3 2x 3 2x 5 6x2 9x 9 Bài 79: Giải phương trình : 1 2x 1 2x 7 2x 1 2x 7 Bài 80 Giải phương trình: 1 1 1 x 1.2 2.3 3.4 2006.2007 1.2.3 2.3.4 2005.2006.2007 Bài 81: Giải các phương trình sau: a) x 2008 4 x 2010 4 2 x 1 2 x 2 3 x 3 4 k(x 1) Bài 82. Tìm k để phương trình sau có nghiệm dương: k 1 2x 1 Bài 83. Hưởng ứng ngày chủ nhật xanh – sạch – đẹp. Học sinh khối lớp 8 nhận làm vệ sinh một đoạn đường em chăm. Lớp 8/1 nhận 10 mét và 1/10 của phần còn lại, lớp 8/2 nhận 20 mét và 1/10 của phần còn lại, lớp 8/3 nhận 30 mét và 1/10 của
  8. phần còn lại cứ chia như vậy cho đến lớp cuối cùng thì vừa đủ và phần đường của mỗi lớp dài bằng nhau. Hỏi khối 8 có bao nhiêu lớp và đoạn đường mỗi lớp nhận dài bao nhiêu mét ? Bài 84. Nhân ngày 1/6 một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo. Số kẹo này được chia hết và chia đều cho mọi người trong phân đội. Để đảm bảo nguyên tắc ấy phân đội trưởng đề xuất cách nhận phần kẹo của mỗi người như sau: 1 Bạn thứ nhất 1 cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. Sau khi bạn thứ nhất 11 1 đã lấy phần mình, bạn thứ hai nhận 2 cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. 11 1 Cứ tiếp tục như thế đến bạn cuối cùng thứ n nhận n cái kẹo và được lấy thêm 11 số kẹo còn lại. Hỏi phân đội thiếu niên nói trên có bao nhiêu đội viên và mỗi đội viên nhận bao nhiêu kẹo. Bài 85. Giải các phương trình sau: a)2x4 x3 22x2 15x 36 0 x 2 x 42 x 121 b) 3 2009 1969 1890 x 5x Bài 86: Giải phương trình: 2 x2 4x 4 x2 4 Bài 87 a) Tìm x,biết: 4 x 1 2 2x 1 2 8 x 1 x 1 11 x y y z b) Tìm x, y, z biết: ; và x y z 195 3 2 5 7 Bài 88: a) Giải phương trình: x4 x2 6x 8 0 b) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x2 2x 10 y2 x2 3x 7 3x 2 Bài 89: Giải phương trình sau: x2 5x 6 x 15 Bài 90: 21 1. Giải phương trình: x2 4x 6 0 x2 4x 10 2. Bạn Nam hỏi bạn Bắc: “Năm nay cha và mẹ của bạn bao nhiêu tuổi”. Bắc trả lời: “Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 66 tuổi thì tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi là 10. Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp 3 lần tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi” Tính xem tuổi của cha và tuổi của mẹ bạn Bắc là bao nhiêu? Bài 91: Giải các phương trình sau: 2 a) 2x2 3x 1 3 2x2 3x 5 16 0 x 9 x 10 9 10 b) 10 9 x 10 x 9
  9. Bài 92: Giải phương trình sau: 2 2 2x2 x 2013 4. x2 5x 2012 4. 2x2 x 2013 x2 5x 2012 Bài 93: x m x 3 1. Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số) 2 x 3 x m 2 2. Giải phương trình: 2x 8x 1 . 4x 1 9 Bài 94: Để tham gia ngày chạy Olympic vì sức khỏe toàn dân, trường A đã nhận được một số chiếc áo và chia đều cho các lớp. Biết rằng theo thứ tự, lớp thứ nhất 1 nhận được 4 áo và số còn lại, rồi đến lớp thứ n n 2; 3; 4 nhận được 4n áo và 9 1 số áo còn lại. Cứ như thế các lớp đã nhận hết số áo. Hỏi trường A đã nhận được 9 bao nhiêu chiếc áo? Bài 95: Giải phương trình sau: x 2 x 1 x 1 x 2 4 Bài 96: a) Giải phương trình sau: x2 3x 2 x 1 0 b) Xác định giá trị của m để phương trình: m3 x 2 8 x m 4m2 có nghiệm duy nhất là số không lớn hơn 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Bài 97: Tìm x,biết: 6 0 1000 999 998 997 996 995 2 Bài 98: Giải phương trình: 6x 8 6x 6 6x 7 72 Bài 99: Giải các phương trình sau: a) x x 2 x2 2x 2 1 0 b) y2 4x 2y 2x 1 2 0 x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 x 2 x 8 x 4 x 6 2 Bài 100: Giải phương trình: 3x 2 x 1 3x 8 16 Bài 101: Giải phương trình: x2 x 1 x2 x 2 12 Bài 102: Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được 4m thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp 8m dừng lai 2 giây, rồi đi tiếp 12m dừng lại 3 giây Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả 155 giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc 2m / giây. Tính khoảng cách từ A đến B. Bài 103: Giải phương trình x 43 x 46 x 49 x 52 a) 57 54 51 48 2 b) 2x 3 x 2 2x 5 3 Bài 104: Giải phương trình: 3x 2 x 1 2 3x 8 16 Bài 105: Giải phương trình: x3 6x x 30 0 Bài 106: Tìm m sao cho phương trình ẩn x : m 1 x 3m 2 0 có nghiệm duy nhất thỏa mãn x 1
  10. 9x2 Bài 107: Giải phương trình x2 40 x 3 2 Bài 108: Giải các phương trình sau: 2 2 2 101 x 100 x x 99 2 a) 1 b) 4x 7 2x 5 x 1 1 2015 2016 2017 x 2 1 2 Bài 109: Giải phương trình sau: x 2 x x(x 2) Bài 110: Giải phương trình sau: x 2 x 1 x 1 x 2 4 2x m x 1 Bài 111: Cho phương trình 3 . Tìm m nguyên để phương trình có x 2 x 2 nghiệm dương. Bài 112: Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức: 5x2 5y2 8xy 2y 2x 2 0 1 1 1 1 Bài 113: Giải phương trình: x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Bài 114: x 2015 x 2007 x 2006 x 2018 a) Giải phương trình: 2010 2012 2011 2013 b) Tìm x và y thỏa mãn: y2 2 x2 1 2y x 1 Bài 115: Giải các phương trình sau: x 214 x 132 x 54 a) 6 86 84 82 1 1 1 1 b) x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Bài 116: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 117: Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x2 y2 2z2 18x 4z 6y 20 0 1 1 1 1 Bài 118: Giải phương trình: x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Bài 119: Giải các phương trình sau: a) x x 2 x2 2x 2 1 0 b) y2 4x 2y 2x 1 2 0 x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 c) x 2 x 8 x 4 x 6 1 2x2 5 4 Bài 120: Giải phương trình a) 2 3x 4 2 0 b) x 1 x3 1 x2 x 1 Bài 121: Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Năng suất làm việc trong một ngày của người thứ hai chỉ bằng 2 người thứ nhất. Hỏi nếu 3 làm riêng, mỗi người làm trong bao lâu sẽ xong công việc Bài 122: Giải phương trình sau: (2x2 + x – 2013)2 + 4.(x2 – 5x – 2012)2 = 4.(2x2 + x – 2013)(x2 – 5x – 2012) x ― m x ― 3 Bài 223: Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số): x + 3 + x + m = 2 Bài 124: Giải phương trình: 2x(8x – 1)2(4x-1) = 9 Bài 125: Giải phương trình sau: |x-2|(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 4
  11. Bài 126: a) Giải phương trình sau: x2 – 3x + 2 + |x – 1| = 0 b) Xác định giá trị của m để phương trình: m 3(x - 2) – 8(x + m) =4m2 có nghiệm duy nhất là số không lớn hơn 1 x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 Bài 127: Tìm x biết: 1000 + 999 + 998 + 997 + 996 + 995 +6 = 0 Bài 128: Giải phương trình (6x + 8)(6x + 6)(6x + 7)2 = 72 Bài 129: Giải phương trình: 2 2 2x2 x 2016 4 x2 3x 1000 4 2x2 x 2016 x2 3x 1000 Bài 130: Tìm x, y biết : a) x2 2x y2 4y 5 0 b) x 2y x2 2xy 4y2 0 và x 2y x2 2xy 4y2 16 1 1 c) x2 y2 4 x2 y2 Bài 131: Giải và biện luận nghiệm của phương trình m2 x 1 x m theo m . Bài 132: Giải các phương trình: a) x 2 x 2 x2 10 72 2 2 x 2 x 2 x2 4 b) Giải phương trình: 3 25 20 2 0 x 1 x 1 x 1 Bài 133: Giải phương trình: x2 99x 1 x2 99x 2 x2 99x 3 x2 99x 4 x2 99x 5 x2 99x 6 a) 99 98 97 96 95 94 2 x 1 x x b) 1 2017 2018 2019 Bài 134: Giải các phương trình sau: b2 x2 a) x a2 x a ( Phương trình ẩn x ) b2 x2 x2 b2 1 1 1 10 b)  x 2000 x 2001 x 2001 x 2002 x 2009 x 2010 11 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 c) 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 Bài 135: Giải các phương trình sau: 1 1 1 2017 2016 2 1 a)  .x  ; 2 3 2018 1 2 2016 2017 1 1 1 2 2017 b)  3 6 10 x x 1 2019 59 x 57 x 55 x 53 x 51 x c) 5 ; 41 43 45 47 49 1.2 2.3 3.4  98.99 .x d) 2018 323400 1 1 1 1 1 e) . x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 x2 11x 30 8 Bài 136: Giải các phương trình sau:
  12. a) x 3 3 x 1 3 56 b) x 6 4 x 8 4 16 c) x4 3x3 4x2 3x 1 0 a b x b c x c a x 4x Bài 137: Giải phương trình: 1 c a b a b c 2 2 x 5 Bài 138: Giải phương trình: x x 1 4 Bài 139: Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội A phải lần lượt gặp các đối thủ của đội B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội. Bài 140: Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại. Biết mỗi ô tô chỉ chở không được quá 32 người, hỏi ban đầu có bao nhiêu ô tô và có tất cả bao nhiêu học sinh đi tham quan? 1 1 1 1 Bài 141: Giải phương trình: x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Bài 142: Giải phương trình: 15x 1 1 a) 2 1 12 x 3x 4 x 4 3x 3 148 x 169 x 186 x 199 x b) 10 25 23 21 19 c) x 2 3 5 6 Bài 143: Giải phương trình: y2 2y 3 x2 2x 4 Bài 144: Giải các phương trình sau: a)x3 x2 12x 0 x 214 x 132 x 54 b) 6 86 84 82 Bài 145: Giải phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 Bài 146: Giải phương trình: x4 30x2 31x 30 0 Bài 147: Giải phương trình: x2 x 1 x2 x 2 12 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 Bài 148: Tìm x biết: 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 Bài 149: Tìm x, biết: a) x2 2005x 2006 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 150: Giải phương trình : x2 2xy y2 3x 2y 1 4 2x x2 3x 2 Bài 151: Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được 4m thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp 8mdừng lai 2 giây, rồi đi tiếp 12m dừng lại 3 giây Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả 155giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc 2m / giây. Tính khoảng cách từ A đến B .
  13. Bài 152: Lúc 7 giờ, một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 36km,rồi ngay lập tức quay trở về A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là 6km / h Bài 153: Một người đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm 5km / h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó. Bài 154 Giải phương trình: x2 x 1 x2 x 2 12 Bài 155: Giải các phương trình và bất phương trình sau: 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 8. x 4. x 2 . x x 4 4. x 2 x x x x Bài 156: Giải phương trình 2x 3 3 3x 5 3 5x 2 3 5x 2 17x2 2016x 2063 Bài 157: Giải các phương trình sau: 1)x2 3x 2 x 1 0 9x x 2) 8 2x2 x 3 2x2 x 3 2 2 2 x 3 x 3 7 x 9 Bài 158: Giải phương trình : 6 2 x 2 x 2 x 4 Bài 159: Giải phương trình : x 1 x x 1 1 1 1 1 Bài 160: Giải phương trình: x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Bài 161 x2 5x 1 x2 4x 1 a) Giải phương trình: 2 2x 1 x 1 b) Giải phương trình: x6 7x3 8 0 Bài 162: Giải các phương trình sau: x 1 x 2 x 3 x 4 3 3 3 a) b) 2x 5 x 2 x 3 2013 2012 2011 2010 Bài 163: Giải phương trình sau: 2 2 a. 2x2 x 2013 4. x2 5x 2012 4. 2x2 x 2013 . x2 5x 2012 b) x 1 x 3 4 Bài 164: Giải phương trình sau: 2 2 2x2 x 2013 4. x2 5x 2012 4. 2x2 x 2013 x2 5x 2012 Bài 165: Giải phương trình: 15x 1 1 a) 2 1 12 x 3x 4 x 4 3x 3
  14. 148 x 169 x 186 x 199 x b) 10 25 23 21 19 c) x 2 3 5 Bài 166: Giải các phương trình sau: a)x3 x2 12x 0 x 214 x 132 x 54 b) 6 86 84 82 Bài 167: Giải phương trình sau: 2 2 2x2 x 2013 4. x2 5x 2012 4. 2x2 x 2013 x2 5x 2012 Bài 168: Giải các phương trình sau: 2 a) 2x2 3x 1 3 2x2 3x 5 16 0 x 9 x 10 9 10 b) 10 9 x 10 x 9 Bài 169: Giải phương trình: 1)x2 3x 2 x 1 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2)8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x 2 1 2 1 Bài 170: Giải phương trình: x 4 x x 1,5 3 x x x 1,5 2 2 Bài 171: Giải các phương trình sau : 2 2 2 101 x 100 x x 99 2 a) 1 b) 4x 7 2x 5 x 1 1 2015 2016 2017 Bài 172: Giải các phương trình sau 2 a) x2 x 4 x2 x 12 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2 1 2 Bài 173: Giải phương trình : x 2 x x x 2 Bài 174: Giải các phương trình sau : x 214 x 132 x 54 a) 6 86 84 82 1 1 1 1 b) x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Bài 175: Giải phương trình : x3 6x2 x 30 0 Bài 176: Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức 5x2 5y2 8xy 2y 2x 2 0 Bài 177: Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: x2 y2 4x 2y 5 0 Bài 178: Giải các phương trình sau: x 1 x 2 x 3 x 2012 a) 2012 . 2013 2012 2011 2
  15. b) (x2 4x)2 2(x 2)2 43. Bài 179: Giải các phương trình và bất phương trình sau: a) x 3 7 2x . b) 1 5x x2 2 0 . Bài 180: Giải các phương trình sau: a) x2 2x 1 14 . 5x 150 5x 102 5x 56 5x 12 5x 660 b) 0 . 50 49 48 47 46 Bài 181: Giải các phương trình sau: a) ( x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12 x 5 x 4 x 3 x 100 x 101 x 102 b) 100 101 102 5 4 3 Bài 182: Giải các phương trình sau: a, x2 2 (2x 3)(x 5) 23 b, 1 + 1 + 1 = 1 x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Bài 183Giải các phương trình sau: a) x 2 3x 9 0 b) (x2 - 5x +1)2 – 2x2 + 10x = 1 Bài 184: Giải các phương trình sau: 6 7 12 3x2 16 a) 1 . x2 2 x2 3 x2 8 x2 10 b) 2x(8x 1)2 (4x 1) 9 . Bài 185: Giải phương trình: x4 30x2 31x 30 0 Bài 186: Giải các phương trình sau: 2x 3 2x 5 6x2 9x 9 a.) 1 . b. 2x 1 2x 7 (2x 1)(2x 7) x 11 x 22 x 33 x 44 115 104 93 82 Bài 187: Giải phương trình: 2 2 2x2 x 2016 4 x2 3x 1000 4 2x2 x 2016 x2 3x 1000 Bài 188: Giải các phương trình: a) x 2 x 2 x2 10 72 2 2 x 2 x 2 x2 4 b) Giải phương trình: 3 25 20 2 0 x 1 x 1 x 1 Bài 189: Giải phương trình: x2 99x 1 x2 99x 2 x2 99x 3 x2 99x 4 x2 99x 5 x2 99x 6 a) 99 98 97 96 95 94 2 x 1 x x b) 1 2017 2018 2019 Bài 190: Giải các phương trình sau: b2 x2 a) x a2 x a ( Phương trình ẩn x ) b2 x2 x2 b2
  16. 1 1 1 10 b)  x 2000 x 2001 x 2001 x 2002 x 2009 x 2010 11 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 c) 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 Bài 191: Giải các phương trình sau: 1 1 1 2017 2016 2 1 a)  .x  ; 2 3 2018 1 2 2016 2017 1 1 1 2 2017 b)  3 6 10 x x 1 2019 59 x 57 x 55 x 53 x 51 x c) 5 ; 41 43 45 47 49 1.2 2.3 3.4  98.99 .x d) 2018 323400 1 1 1 1 1 e) . x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 x2 11x 30 8 2 2 x 5 Bài 192: Giải phương trình: x x 1 4 x2 3x 7 3x 2 Bài 193: Giải phương trình sau: x2 5x 6 x 15 21 Bài 194: Giải phương trình: x2 4x 6 0 x2 4x 10 Bài 195: Giải các phương trình sau: a) x 3 3 x 1 3 56 b) x 6 4 x 8 4 16 c) x4 3x3 4x2 3x 1 0 Bài 196: Tìm x, y biết : a) x2 2x y2 4y 5 0 1 1 c) x2 y2 4 x2 y2 Bài 197: Giải và biện luận nghiệm của phương trình m2 x 1 x m theo m . Bài 198: Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại. Biết mỗi ô tô chỉ chở không được quá 32 người, hỏi ban đầu có bao nhiêu ô tô và có tất cả bao nhiêu học sinh đi tham quan? Bài 199: Bạn Nam hỏi bạn Bắc: “Năm nay cha và mẹ của bạn bao nhiêu tuổi”. Bắc trả lời: “Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 66 tuổi thì tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi là 10. Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp 3 lần tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi”. Tính xem tuổi của cha và tuổi của mẹ bạn Bắc là bao nhiêu ? Bài 200: Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội A phải lần lượt gặp các đối thủ của đội B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội.
  17. Bài 201: Giải các phương trình sau: a) x2 x 2 3x 7 0 b) x 1 2x 3 x 4 2x 3x Bài 202: Giải phương trình: 1 x2 4x 7 2 x2 5x 7 Bài 203:Giải phương trình sau: (x- 2018)3 + (x- 2019)3 - (2x- 4037)3 = 0 . 2 Bài 204: Giải phương trình: 6x 8 6x 6 6x 7 72 Bài 205: Giải phương trình: x4 x2 6x 8 0 Bài 206: Tìm x : a) 3x 6561 2012 2010 b) 2x 1 2x 1 Bài 207: Giải phương trình : x2 2xy y2 3x 2y 1 4 2x x2 3x 2 Bài 208: Giải phương trình: 59 x 57 x 55 x 53 x 51 x 5 41 43 45 47 49 1 1 1 1 Bài 209: Giải phương trình: x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Bài 2100: Giải phương trình sau: 2010x 2010 2010x 2010 2011 x2 x 1 x2 x 1 x x4 x2 1 Bài 211: Giải phương trình: 3 8 5 3 9 1. . x 81 16 8 64 x2 2x 1 x2 2x 2 7 2. x2 2x 2 x2 2x 3 6 Bài 212: Giải phương trình: 1)x2 3x 2 x 1 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2)8 x 4 x 4 x x x 4 x x2 x2 x B. HƯỚNG DẪN Bài 1: Giải phương trình: 2 a) x2 x 4 x2 x 12
  18. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 c) 6x4 5x3 38x2 5x 6 0 (phương trình có hệ số đối xứng bậc 4) Lời giải 2 a) x2 x 4 x2 x 12 Giải phương trình được tập nghiệm S 2;1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1 1 1 1 1 1 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1 x 2009( 0) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 c) 6x4 5x3 38x2 5x 6 0 2 x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả 2 vế cho x ta được: 2 5 6 2 1 1 6x 5x 38 2 0 6 x 2 5 x 38 0 (*) x x x x 1 1 Đặt x y x2 y2 2 x x2 Thay vào phương trình (*) rồi giải phương trình ta được: 1 1 S 2; ;0;  2 3 Bài 2: Giải phương trình: 6x 8 6x 6 6x 7 2 72 Lời giải 2 2 2 4 2 Đặt 6x 7 t. Ta có: t 1 t 1 t 72 t 1 t 72 t t 72 0 2 x 3 t 3 5 x 3 2 5 Vậy phương trình có tập nghiệm S ;  3 3  Bài 3: Giải phương trình : x2 y2 z2 y x z Lời giải x2 y2 z2 xy yz 2x2 2y2 2z2 2xy 2yz 0
  19. x y 2 y z 2 x2 z2 0 x y y z x z 0 x y z 0 3x 1 2x 5 4 Bài 4: Giải phương trình: 1 x 1 x 3 x2 2x 3 Lời giải ĐKXĐ: x 1; x 3 3x 1 2x 5 4 1 x 1 x 3 x2 2x 3 3x 1 x 3 x2 2x 3 2x 5 x 1 4 x 1 x 3 x 1 x 3 3x 1 x 3 x2 2x 3 2x 5 x 1 4 3x2 8x 3 x2 2x 3 2x2 3x 5 4 3x 9 x 3(tm) Bài 5: x m x 3 a) Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số) 2 x 3 x m b) Giải phương trình: 2x 8x 1 2 . 4x 1 9 Lời giải a) ĐKXĐ: x 3; x m ta có: x m x 3 2 x2 m2 x2 9 2 x 3 x m x 3 x m 2x2 m2 9 2 x2 3x 3m mx 2 m 3 x m 3 2 (1) Với m 3thì 1 có dạng 0x 0. Nghiệm đúng mọi x thỏa mãn điều kiện x 3, x m,do đó tập nghiệm của phương trình là x 3 2 m 3 m 3 Với m 3thì phương trình 1 có nghiệm x 2 m 3 2 Để giá trị này là nghiệm của phương trình thì ta phải có: m 3 m 3 3và m tức là m 3. 2 2 m 3 Vậy nếu m 3thì x là nghiệm. 2 m 3 Kết luận: với m 3thì S x / x 3.Với m 3thì S  2  b) Ta có: 2x 8x 1 2 4x 1 9
  20. 64x2 16x 1 8x2 2x 9 64x2 16x 1 64x2 16x 72 * Đặt 64x2 16x t ta có: t 9 * t t 1 72 0 t 8 Với t 9 ta có: 64x2 16x 9 64x2 16x 9 0 8x 1 2 8 0 (Vô nghiệm vì 8x 1 2 8 0) 1 x 2 2 2 Với t 8 ta có 64x 16x 8 64x 16x 8 0 1 x 4 x 241 x 220 x 195 x 166 Bài 6: Giải các phương trình sau: 10 17 19 21 23 Lời giải x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 4 0 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 1 1 1 1 x 258 0 x 258 17 19 21 23 Bài 7: Giải các phương trình sau: 15x 12 4 a) x 2 x 1 x 1 x 2 4 b) 1 x2 3x 4 x 4 x 1 Lời giải a) *) Nếu x 2, phương trình đã cho trở thành x 2 x 1 x 1 x 2 4 x2 1 x2 4 4 x4 5x2 0 x 0(ktm) 2 2 x x 5 x 5(tm) x 5(ktm) *) Nếu x 2, phương trình đã cho trở thành 2 x x 1 x 1 x 2 4 x 2 x 1 x 1 x 2 4 2 2 2 4 2 2 5 7 x 1 x 4 4 x 5x 8 0 x 0(VN) 2 4 Vậy S 5 b) ĐKXĐ: x 4; x 1
  21. 15x 12 4 1 x2 3x 4 x 4 x 1 15x 12 4 1 x 4 x 1 x 4 x 1 15x 12 x 1 4 x 4 x2 3x 4 x2 4x 0 x x 4 0 x 0 (tm) x 4(ktm) Vậy S 0 Bài 8: Giải phương trình sau: 2 2 2x2 x 2013 4. x2 5x 2012 4. 2x2 x 2013 x2 5x 2012 Lời giải a 2x2 x 2013 Đặt 2 b x 5x 2012 Phương trình đã cho trở thành: a2 4b2 4ab a 2b 2 0 a 2b 0 a 2b Khi đó ta có: 2x2 x 2013 2. x2 5x 2012 2x2 x 2013 2x2 10x 4024 2011 11x 2011 x 11 2011 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 11 Bài 9: Giải các phương trình: 2 2 2 x 3 x 3 7 x 9 a) 2x 1 2x 5 4(1) b) 6 2 0 x 2 x 2 x 4 Lời giải a) 2x 1 2x 5 4 1 Ta có: 1 2x 1 5 2x 2x 1 5 2x 2x 1 5 2x 0 (Áp dụng tính chất: a b a b ab 0 ) 1 5 x 2 2 2 2 2 x 3 x 3 7 x 9 b) 6 2 0 (2) x 2 x 2 x 4 ĐKXĐ: x 2
  22. 2 x 3 2 x 2 2 6 x 3 2 x 2 2 7 x2 9 x2 4 0 x2 6x 9 x2 4x 4 6x2 36x 54 x2 4x 4 7x2 63 x2 4 0 50x3 350x2 300x 0 x3 7x2 6x 0 x 0 (tm) x 1 (tm) x 6 (tm) Bài 10: Giải các phương trình: 3 3 1 3 3 3 x 3 x a) x 3 x 4 1 x 0 b) x x 2 4 4 x 1 x 1 Lời giải 1 3 a) Đặt a x 3;b x 4 a b x 1 1 x a b 4 4 Ta có (pt đề) a3 b3 a b 3 0 a 3 b 3 a 3 b 3 3ab a b 0 3ab a b 0 1 x 3 0 4 x 12 a 0 3 16 b 0 x 4 0 x 4 3 a b 0 x 1 0 x 1 16  Vậy S 12; ;1 3  b) ĐKXĐ: x 1 3 x 3 x 3x x2 x2 x 3 x x x 2 . 2 x 1 x 1 x 1 x 1 3x x2 x2 3 2 x 1 2 3 4 2 2 3x 9x x 3x 2x 4x 2 x4 3x3 5x2 5x 2 0 x 1 2 . x2 x 2 0 x 1 0 x 1(tm) 2 VN x x 2 0 Vậy S 1
  23. Bài 11: 1) Tìm x : a) x 1 x 3 x 5 4x b) x2 5x 6 1 x 0 2) Tìm x, y biết: 7x2 y2 4xy 24x 6y 21 0 Lời giải 1a) x 1 x 3 x 5 4x (1) Vế trái luôn luôn không âm nên x ta luôn có 4x 0 x 0 x 0nên x 1 0, x 3 0, x 5 0 x 1 x 1; x 3 x 3; x 5 x 5 Do đó 1 x 1 x 3 x 5 4x x 9 1b) x2 5x 6 1 x 0 (1) Điều kiện : 1 x 0 x 1(*) x 2(ktm) x2 5x 6 0 1 x 3(ktm) . Vậy x 1 1 x 0 x 1(tm) 2) 7x2 y2 4xy 24x 6y 21 0 y2 4xy 6y 7x2 24x 21 0 y2 2y 2x 3 2x 3 2 3x2 12x 12 0 y 2x 3 2 3 x 2 2 0 y 2x 3 0 x 2 x 2 0 y 1 Vậy x 2; y 1 Bài 12: Tìm x biết: 2 3 1 a) x 4 12 b) : x 3 3 4 4 x 4 x 3 x 2 x 1 c) 3x 5 4 d) 2011 2012 2013 2014 Lời giải 2 a) x 4 12 x 24 3 3 1 1 b) : x 3 x 4 4 15
  24. 5 3x 5 4(x ) x 3(tm) 3 c) 3x 5 4 1 5 x (tm) 3x 5 4 x 3 3 x 4 x 3 x 2 x 1 x 4 x 3 x 2 x 1 d) 1 1 1 1 2011 2012 2013 2014 2011 2012 2013 2014 x 2015 x 2015 x 2015 x 2015 2011 2012 2013 2014 1 1 1 1 x 2015 0 2011 2012 2013 2014 1 1 1 1 x 2015 0 (Vi 0) 2011 2012 2013 2014 Vậy x 2015 Bài 13: Giải các phương trình sau: a) x3 2x2 5x 6 0 b) 5 3x 3x 5 3 2 4 9 c) x2 5x 4 x2 10x 24 3 x2 3x 18 Lời giải x 1 a) x3 2x2 5x 6 0 x 1 x 2 x 3 0 x 2 x 3 5 b) 5 3x 3x 5 3x 5 3x 5 3x 5 0 x 3 c) ĐKXĐ: x 1; 4; 6;3 3 2 4 9 x2 5x 4 x2 10x 24 3 x2 3x 18 3 2 4 9 x 1 x 4 x 4 x 6 3 x 3 x 6 1 1 1 1 4 1 1 x 1 x 4 x 4 x 6 3 x 3 x 6 1 4 1 3 x 3 4 x 1 x 3 3 x 1 x 1 3 x 3 3 x 1 x 3 3 x 1 x 3 3 x 1 x 3 2 x 0(tm) 4x 8x 0 4x x 2 0 x 2(tm) S 0;2
  25. Bài 14: Giải phương trình: 1 1 1 1 1 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 x2 11x 30 8 Lời giải Ta có điều kiện x 2,3,4,5,6 . Khi đó ta có: 1 1 1 1 1 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 x2 11x 30 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 x 5 x 6 8 1 1 1 2 x 10 x 8x 20 0 (TM ) x 2 x 6 8 x 2 Vậy S 2;10 Bài 15: Giải phương trình: 3 8 5 3 9 x2 2x 1 x2 2x 2 7 a) . x b) 2 2 81 16 8 64 x 2x 2 x 2x 3 6 Lời giải 3 3 3 8 5 3 9 5 3 9 81 9 a) . x x . 81 16 8 64 16 8 64 8 8 9 5 5 3 9 23 x x 8 16 3 16 8 8 6 8 x2 2x 1 x2 2x 2 7 b) x ¡ x2 2x 2 x2 2x 3 6 Đặt t x2 2x 3 x2 2x 2 t 1, DK :t 2 t 2 t 1 7 Phương trình trở thành: t 1 t 6 6t t 2 6 t 1 t 1 7t(t 1) 6t 2 12t 6t 2 12t 6 7t 2 7t t t 1 t 6t t 1 5t 2 17t 6 0 t 3(TM ) 2 t 3 t 0 2 5 t (ktm) 5 2 x 0 Với t 3 x 2x 3 3 x 2 Vậy nghiệm của phương trình là : x 0; x 2
  26. Bài 16: Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ với vận tốc theo thứ tự là 10km / h, 30km / h,50km / h.Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe máy và xe đạp ? Lời giải Gọi thời gian ô tô đi đến vị trí cách đều xe đạp và xe máy là x(h) (x 0) Thời gian xe đạp đi là x 2(h) ; Thời gian xe máy đi là : x 1(h) Quãng đường ô tô đi là 50x km Quãng đường xe đạp đi là 10 x 2 (km) Quãng đường xe máy đi là 30(x 1)(km) Vì đến 10 giờ thì xe máy đã vượt trước xe đạp nên ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy nên ta có phương trình 5 50x 10 x 2 30 x 1 50x x 50'(tm) 6 Vậy đến 10 giờ 50 phút thì ô tô ở vị trí cách đều xe dạp và xe máy Bài 17: Năm 2016, số công nhân ở xí nghiệp I và II tỉ lệ với 4 và 5. Năm 2017, xí nghiệp I tăng thêm 60 công nhân nữa, xí nghiệp II tăng thêm 90 công nhân; do đó số công nhân của 2 xí nghiệp tỉ lệ với 5 và 7. Hỏi năm 2017, mỗi xí nghiệp có bao nhiêu công nhân ? Lời giải Gọi số công nhân xí nghiệp I năm 2016 là x ( x ¥ *) 5 Số công nhân xí nghiệp II năm 2016 là x 4 Theo bài toán, năm 2017 số công nhân xí nghiệp I và xí nghiệp II tăng 60, 90 5 x 60 x 90 người nên ta có phương trình: 4 x 40(tm) 5 7 Vậy số công nhân năm 2017 của xí nghiệp I và xí nghiệp II lần lượt là 100 và 140 công nhân. Bài 18: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số di 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số mới là nghich đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Lời giải Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x 11 x Phân số cần tìm là x 11 x 11 x 7 Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số x 15 x x 15 Theo bài ta có phương trình: x 11 x 7 Giải phương trình và tìm được x 5(thỏa mãn) 5 Vậy phân số cần tìm là 6
  27. Bài 19: Giải các phương trình sau: 2 a) x2 x 4 x2 x 12 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Lời giải 2 a) x2 x 4 x2 x 12, đặt y x2 x 2 y 6 y 4y 12 0 y 6 y 2 0 y 2 2 VN x x 6 x 2 2 x x 2 x 1 Vậy S 2;1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1 1 1 1 1 1 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 Bài 20: Giải phương trình 2 2 x 1 x 1 x 2 12 0 x 2 x 4 x 4 Lời giải 2 2 x 1 x 1 x 2 12 0 (*) x 2 x 4 x 4 x 1 x 2 x 1 Đặt a và b ab x 2 x 4 x 4 Phương trình (*) trở thành: a2 ab 12b2 0 a 3b a 3b a 4b 0 a 4b x 1 x 2 2 +Nếu a 3b thì 3. x 1 x 4 3 x 2 (VN) x 2 x 4
  28. x 3(tm) x 1 x 2 2 +Nếu a 4bthì 4. x 1 x 4 4 x 2 4 x 2 x 4 x (tm) 5 4 Vậy S 3;  5 Bài 21: Ký hiệu a(phần nguyên của a ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá a. 34x 19 Tìm x biết rằng: 2x 1 11 Lời giải 34x 19 34x 19 2x 1 0 2x 1 1vả 2x 1 ¢ 11 11 4 1 1 3 0 12x 8 11 8 12x 3 2x 2x 1 3 2 3 2 1 2x 1 0 x Do 2x 1 ¢ 2 2x 1 1 x 0 Bài 22: Lúc 7 giờ, một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 36km,rồi ngay lập tức quay trở về A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là 6km / h Lời giải Gọi x(km / h) là vận tốc ca nô xuôi dòng x 12 Vận tốc ca nô khi nước lặng: x 6(km / h) Vận tốc ca nô khi ngược dòng: x 12(km / h) Thời gian cả đi và về của ca nô là 4,5 giờ nên ta có phương trình: 36 36 9 x 4(ktm) (x 4)(x 24) 0 x x 12 2 x 24(tm) Vậy vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là 24km / h Bài 23: Giải các phương trình sau: 1) 2x2 x 3 6x 2) x 2 . x2 3x 5 x 2 .x2 Lời giải 1) 2x2 x 3 6x 2x 1 x 3 0 1 x 2x 1 0 hoặc x 3 0 2 x 3 1 Vậy x hoặc x 3 2
  29. 2) x 2 . x2 3x 5 x 2 .x2 x 2 x 2 0 x 2 5 3x 0 5 5 3x 0 x 3 5 Vậy x 2;  3 Bài 24: Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ Ađến B.Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là1 5km / h;45km / h và 60km / h . Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy. Lời giải - Gọi thời gian để ô tô cách đều xe đạp và xe máy kể từ lúc xe đạp chạy là x (giờ). Điều kiện x 2 Khi đó: Xe đạp đi được : 15x km Xe máy đi được : 45 x 1 km Ô tô đi được: 60 x 2 km Khi ô tô bắt đầu chạy thì xe đạp đã bị xe máy vượt qua Hiệu quãng đường đi được của xe máy và ô tô là: 45 x 1 60 x 2 Hiệu quãng đường đi được của ô tô và xe đạp: 60. x 2 15x Theo đề bài ta có phương trình: 45 x 1 60 x 2 60 x 2 15x Giải phương trình tìm được x 3,25giờ 3 giờ 15 phút Vậy lúc 8 giờ 15 phút thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy. Bài 25: Giải các phương trình sau: a) 6x 8 6x 6 6x 7 2 72 1 1 1 1 b) x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Lời giải a) Đặt 6x 7 t . Ta có: t 1 t 1 t 2 72 t 2 1 t 2 72 2 2 x 4 2 t 8(ktm) t 3 3 t t 72 0 t 2 9(tm) t 3 5 x 3 2 5 Vậy x ;  3 3  x2 9x 20 x 4 x 5 ; x2 11x 30 x 6 x 5 ; b) x2 13x 42 x 6 x 7 DKXD : x 4; 5; 6; 7 Phương trình trở thành:
  30. 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 Bài 26: Giải các phương trình: x 7 x 6 x 5 x 2025 a) 0 2003 2004 2005 5 b) x4 2x2 400x 9999 Lời giải x 7 x 6 x 5 x 2025 a) 0 2003 2004 2005 5 x 7 x 6 x 5 x 2005 1 1 3 0 2003 2004 2005 5 x 2010 x 2010 x 2010 x 2010 0 2003 2004 2005 5 1 1 1 1 x 2010 0 2003 2004 2005 5 x 2010 0 x 2010 b)x4 2x2 400x 9999 x4 2x2 1 4x2 400x 10000(thêm 4x2 1vào 2 vế) 2 x2 1 2x 100 2 x2 1 2x 100 x2 1 2x 100 0 2 VN x 2x 101 0 x 9 2 x 2x 99 0 x 11 Vậy S 11; 9 Bài 27: Giải phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 Lời giải x 2 4 1 x 2 2 0 x 1 9 5 x 1 6 6 1 0 1 7 1 9 2 1 2 3 x 2 4 1 x 2 2 0 x 1 9 5 x 1 6 6 1 2 3 4 0 1 7 1 9 2 1 2 3 x 2 5 8 x 2 5 8 x 2 5 8 x 2 5 8 0 1 7 1 9 2 1 2 3 1 1 1 1 x 2 5 8 0 1 7 1 9 2 1 2 3 x 2 5 8
  31. 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 Bài 28: Tìm x biết: 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 Lời giải 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 ĐKXĐ: x 2009; x 2010. Đặt a x 2010 a 0 , ta có hệ thức: 2 a 1 a 1 a a2 19 a2 a 1 19 a 1 2 a 1 a a2 49 3a 49 49a2 49a 49 57a2 57a 19 8a2 8a 30 0 3 a (tm) 2 2 2 2a 1 4 0 2a 3 2a 5 0 5 a (tm) 2 4023 x 2 (TMDK) 4015 x 2 1 1 1 1 Bài 29: Giải phương trình: x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Lời giải x2 9x 20 x 4 x 5 x2 11x 30 x 6 x 5 x2 13x 42 x 6 x 7 ĐKXĐ: x 4; x 5; x 6; x 7 Phương trình trở thành: 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 18 x 7 18 x 4 x 7 x 4 x 13 x 13 x 2 0 x 2
  32. Bài 30: Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x2 y2 2z2 18x 4z 6y 20 0 Lời giải 9x2 y2 2z2 18x 4z 6y 20 0 9x2 18x 9 y2 6y 9 2 z2 2z 1 0 9 x 1 2 y 3 2 2 z 1 2 0(*) Do x 1 2 0; y 3 2 0; z 1 2 0 Nên : x 1; y 3; z 1 Bài 31: Giải phương trình sau: 2010x 2010 2010x 2010 2011 x2 x 1 x2 x 1 x x4 x2 1 Lời giải 2010x 2010 2010x 2010 2011 (1) x2 x 1 x2 x 1 x x4 x2 1 2 2 Ta có: 2 1 3 2 1 3 x x 1 x 0  x ; x x 1 x 0  x 2 4 2 4 Điều kiện xác định của phương trình (1) là : x 0 Ta có: x4 x2 1 x4 2x2 1 x2 x2 x 1 x2 x 1 Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu: 1 2010x x 1 x2 x 1 2010x x 1 x2 x 1 2011 2010x x3 1 2010x x3 1 2011 2010x x3 1 x3 1 2011 2011 2010x.2 2011 x (TM ) 4020 Bài 32: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11.Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó Lời giải Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x 11 x Phân số cần tìm là x 11 x 11 x 7 Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì ta được phân số x 15 x x 15 Theo bài ta có phương trình : x 11 x 7 Giải phương trình và tìm được x 5(tm) 5 Từ đó phân số cần tìm là 6
  33. Bài 33: Giải các phương trình sau: a) 2x2 x 3 6x b) x 2 . x2 3x 5 x 2 .x2 Lời giải a) 2x2 x 3 6x 2x 1 x 3 0 1 x 2x 1 0 hoặc x 3 0 2 x 3 1 Vậy x hoặc x 3 2 b) x 2 . x2 3x 5 x 2 .x2 x 2 x 2 0 x 2 5 3 x 0 5 5 3 x 0 x 3 5 Vậy x 2;  3 Bài 34: Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ Ađến B.Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là1 5km / h;45km / h và 60km / h . Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy. Lời giải Gọi thời gian để ô tô cách đều xe đạp và xe máy kể từ lúc xe đạp chạy là x (giờ). Điều kiện x 2 Khi đó: Xe đạp đi được : 15x km Xe máy đi được : 45 x 1 km Ô tô đi được: 60 x 2 km Khi ô tô bắt đầu chạy thì xe đạp đã bị xe máy vượt qua Hiệu quãng đường đi được của xe máy và ô tô là: 45 x 1 60 x 2 Hiệu quãng đường đi được của ô tô và xe đạp: 60. x 2 15x Theo đề bài ta có phương trình: 45 x 1 60 x 2 60 x 2 15x Giải phương trình tìm được x 3,25giờ 3 giờ 15 phút Vậy lúc 8 giờ 15 phút thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy. Bài 35: Giải các phương trình sau: a)x3 x2 12x 0 x 214 x 132 x 54 b) 6 86 84 82 Lời giải x 0 a) x 3 x 2 12 x 0 x x 4 x 3 0 x 4 x 3
  34. x 214 x 132 x 54 b) 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 1 2 3 0 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 86 84 82 1 1 1 x 300 x 300 0 x 300 86 84 82 Bài 36: Tìm giá trị của m để cho phương trình 6x 5m 3 3mxcó nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình: x 1 x 1 x 2 2 3 Lời giải x 1 x 1 x 2 2 3 x2 1 x2 4x 4 3 4x 8 x 2 Để phương trình 6x 5m 3 3mxcó nghiệm gấp ba lần nghiệm của phương trình x 1 x 1 x 2 2 3hay x 6 Ta có 6. 6 5m 3 3m. 6 5m 18m 39 13m 39 m 3 Vậy với m 3 thì phương trình 6x 5m 3 3mxcó nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình x 1 x 1 x 2 2 3 Bài 37: Giải các phương trình sau: x 2 x 4 x 6 x 8 a) 98 96 94 92 b) x6 7x3 8 0 Lời giải a) Ta có: x 2 x 4 x 6 x 8 98 96 94 92 x 2 x 4 x 6 x 8 1 1 1 1 98 96 94 92 1 1 1 1 x 100 . 0 98 96 94 92 1 1 1 1 Vì 0 98 96 94 92 Do đó: x 100 0 x 100 Vậy phương trình có nghiệm : x 100
  35. b) Ta có: x6 7x3 8 0 x3 1 x3 8 0 x 1 x2 x 1 x 2 x2 2x 4 0 * 2 2 1 3 2 2 Do x x 1 x 0 và x 2x 4 x 1 3 0 với mọi x 2 4 Nên * x 1 x 2 0 x 1;2 Bài 38: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm 1 x x 2 2 x m 2 x m x m m2 x2 Lời giải 1 x x 2 2 x m 2 (1) x m x m m2 x2 ĐKXĐ: x m 0 và x m 0 x m 1 x x m x 2 x m 2 2 x m 2m 1 x m 2 * 1 3 +Nếu 2m 1 0 m ta có: * 0x (vô nghiệm) 2 2 1 m 2 +Nếu m ta có * x 2 2m 1 - Xét x m m 2 m m 2 2m2 m 2m 1 2 2 2 1 3 2m 2m 2 0 m m 1 0 m 0 2 4 (Không xảy ra vì vế trái luôn dương) Xét x m m 2 m m 2 2m2 m 2m 1 m2 1 m 1 1 Vậy phương trình vô nghiệm khi m hoặc m 1 2 x 1 x 2 x 3 x 2012 Bài 39: Giải phương trình : 2012 2012 2011 2010 1 Lời giải x 1 x 2 x 3 x 2012 1 1 1 1 0 2012 2011 2010 1 x 2013 x 2013 x 2013 x 2013 0 2012 2011 2010 1 1 1 1 1 x 2013 x 2013 2012 2011 2010 1
  36. Bài 40: Giải các phương trình sau: x 214 x 132 x 54 d) 6 86 84 82 e) 2x 8x 1 2 . 4x 1 9 f) x2 y2 2x 4y 10 0 với x, y nguyên dương. Lời giải a) x 214 x 132 x 54 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 1 2 3 0 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 86 84 82 1 1 1 x 300 0 x 300 0 x 300 86 84 82 Vậy S 300 b) 2x 8x 1 2 . 4x 1 9 64x2 16x 1 8x2 2x 9 64x2 16x 1 64x2 16x 72 1 Đặt 64x2 16x k 2 Ta có: k 0,5 k 0,5 72 k 2 72,25 k 8,5 Với k 8,5 ta có phương trình : 1 x 2 2 6 4 x 1 6 x 8 0 2 x 1 4 x 1 0 1 x 4 Với k 8,5 ta có phương trình: 64x2 16x 9 0 8x 1 2 8 0(vô nghiệm) 1 1 Vậy S ;  2 4 c) x2 y2 2x 4y 10 0 x2 2x 1 y2 4y 4 7 0 x 1 2 y 2 2 7 x y 1 x y 3 7 Vì x, y nguyên dương nên x y 3 x y 1 x 3 x y 3 7và x y 1 1 y 1 Phương trình có nghiệm dương duy nhất x; y 3;1
  37. Bài 41: Giải các phương trình sau: 2 a) x2 x 4 x2 x 12 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Lời giải 2 a) x2 x 4 x2 x 12 Đặt y x2 x y2 4y 12 0 y2 6y 2y 12 0 y 6 y 6 y 2 0 y 2 *x2 x 6 vô nghiệm vì x2 x 6 0với mọi x *x2 x 2 x2 x 2 0 x2 2x x 2 0 x x 2 x 2 0 x 2 x 1 0 x 2; x 1 b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1 1 1 1 1 1 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1 Vì 0 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2 1 2 Bài 42: Giải phương trình: x 2 x x x 2 Lời giải ĐKXĐ: x 0; x 2 x x 2 x 2 2 x2 2x x 2 2 x x 2 x x 2 2 x 0 (ktm) x x 0 x 1(tm) Vậy S 1
  38. Bài 43: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất được 50 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất được 57 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành trước kế hoạch một ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày. Lời giải Gọi số ngày tổ dự định sản xuất là : x (ngày) Điều kiện x nguyên dương và x 1 Vậy số ngày tổ đã thực hiện là : x 1(ngày) Số sản phẩm làm theo kế hoạch là : 50x (sản phẩm) Số sản phẩm thực hiện là : 57(x 1) (sản phẩm) Theo đề bài ta có phương trình: 57(x 1) 50x 13 57x 57 50x 13 7x 70 x 10 (tm) Vậy số ngày dự định sản xuất là : 10 ngày Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch: 50.10 500 (sản phẩm) Bài 44: Giải phương trình: 1)x2 3x 2 x 1 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2)8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x Lời giải 2.1 x2 3x 2 x 1 0 1 Nếu x 1: 1 x 1 2 0 x 1(thỏa mãn điều kiện x 1) x 1: 1 x2 4x 3 0 x2 x 3 x 1 0 Nếu x 1 (ktm) x 1 x 3 0 x 3 (ktm) Vậy phương trình 1 có một nghiệm duy nhất x 1 2.2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 (2) x x x x Điều kiện để phương trình có nghiệm: x 0 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 8 x 4 x 2 x 2 x x 4 x x x x 2 1 2 1 2 2 8 x 8 x 2 x 4 x 4 16 x x x 0(ktm) x 8(tm) Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x 8
  39. Bài 45: Giải phương trình 15x 1 1 a) 2 1 12 x 3x 4 x 4 3x 3 148 x 169 x 186 x 199 x b) 10 25 23 21 19 c) x 2 3 5 Lời giải a) 15x 1 1 2 1 12 x 3x 4 x 4 3x 3 15x 1 1 1 12. . DK : x 4; x 1 x 4 x 1 x 4 3 x 1 3.15x 3 x 4 x 1 3.12 x 1 12 x 4 3x 0 x 0 (tm) 3x x 4 0 x 4 0 x 4(tm) Vậy S 0 b) 148 x 169 x 186 x 199 x 10 25 23 21 19 148 x 169 x 186 x 199 x 1 2 3 4 0 25 23 21 19 1 1 1 1 123 x 0 25 23 21 19 1 1 1 1 Do 0 nên 123 x 0 x 123 25 23 21 19 Vậy S 123 c) x 2 3 5 Ta có: x 2 0x x 2 3 0 nên x 2 3 x 2 3 Phương trình được viết dưới dạng: x 2 3 5 x 2 2 )x 2 2 x 4 )x 2 2 x 0 S 0;4
  40. Bài 46: Một người đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm 5km / h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó Lời giải Gọi khoảng cách giữa A và B là x km (x 0) x 3x 1 Vận tốc dự định của người đi xe gắn máy là: km / h 3h20' 3 h 1 3 10 3 3 3x Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên 5km / h là: 5 km / h 10 Theo đề bài ta có phương trình: 3x 5 .3 x x 150 (tm) 10 Vậy khoảng cách giữa A và B là 150 km 3.150 Vận tốc dự định là 45 km / h 10 x 2005 x 2004 x 4 x 5 Bài 47: Giải phương trình: 4 5 2005 2004 Lời giải x 2005 x 2004 x 4 x 5 4 5 2005 2004 x 2005 x 2004 x 4 x 5 1 1 1 1 4 5 2005 2004 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0 4 5 2005 2004 1 1 1 1 x 2009 0 4 5 2005 2004 1 1 1 1 Vì 0 x 2009 0 x 2009 4 5 2005 2004 Vậy phương trình có nghiệm x 2009 Bài 48: Tìm x biết: a)x2 4x 4 25 x 17 x 21 x 1 b) 4 1990 1986 1004 c)4x 12.2x 32 0 Lời giải 4x 12.2x 32 0 2x.2x 4.2x 8.2x 4.8 0 2x. 2x 4 8. 2x 4 0 2x 8 2x 4 0 2x 8 x 3 x 2 4 x 2
  41. 1 3 2 Bài 49: Giải phương trình: 2 x2 x 1 x 1 2 Lời giải Điều kiện x 0; x 1 1 3 2 1 3 2 2 1 1 0 x2 x 1 x 1 2 x2 x 1 x 1 2 2 x2 1 x 1 3 x 1 2 0 x2 x 1 2 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 2 2 0 x 1 2 2 0 x x 1 x x 1 x 1 3 3 x 1 x 1 x 0 1(tm) x 2 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;  2  Bài 50: Tìm x biết : a) 3x 6561 b) 2x 1 2012 2x 1 2010 Lời giải a) 3x 6561hay 3x 38 x 8 b) 2 x 1 2012 2 x 1 2010 2 x 1 2012 2 x 1 2010 0 2 x 1 2010 . 1 2 x 1 2 0 2 x 1 2010 . 1 2 x 1 1 2 x 1 0 1 x 2 x 1 0 2 2 2 x 0 x 1 2 x 0 x 0 Bài 51: Tìm x, y, z biết: 10x2 y2 4z2 6x 4y 4xz 5 0 Lời giải 10x2 y2 4z2 6x 4y 4xz 5 0 9x2 6x 1 y2 4y 4 4z2 4xz x2 0 3x 1 2 y 2 2 2z x 2 0 1 x 3 x 1 0 3 y 2 0 y 2 2 z x 0 1 z 6
  42. 2 3 Bài 52: Một khối 8 có số học sinh đội tuyển Toán bằng số học sinh đội tuyển 3 4 4 Anh và bằng số học sinh đội tuyển Văn. Đội tuyển Văn có số học sinh ít hơn 5 tổng số học sinh của hai đội tuyển kia là 38 học sinh. Tính số học sinh của mỗi đội tuyển ? Lời giải Gọi số học sinh đội tuyển Toán, Anh, Văn thứ tự là x, y, z x, y, z ¥ 2 3 4 x y z x y z 38 Ta có: x y z 2 3 4 5 18 16 15 18 16 15 19 Tính đúng x 36; y 32; z 30 và kết luận Bài 53: Một người dự định đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30km / h,nhưng sau khi đi được 1 giờ người ấy nghỉ hết1 5 phút, do đó phải tăng vận tốc thêm1 0km / h để đến B đúng giờ đã định. Tính quãng đường AB ? Lời giải Gọi x km là độ dài quãng đường AB. ĐK: x 0 x Thời gian dự kiến đi hết quãng đường AB: (giờ) 30 Quãng đường đi được sau 1 giờ: 30(km) Quãng đường còn lại : x 30 km x 30 Thời gian đi quãng đường còn lại: (giờ) 40 x 1 x 30 Theo bài ta có phương trình: 1 30 4 40 4x 30.5 3. x 30 x 60(thỏa mãn) Vậy quãng đường AB là 60km. Bài 54: Giải các phương trình sau 15x 1 1 a) 1 12 x2 3x 4 x 4 3x 3 148 x 169 x 186 x 199 x b) 10 25 23 21 19 c) x 2 3 5 Lời giải 15x 1 1 a) 1 12 x2 3x 4 x 4 3x 3 15x 1 1 1 12 (DK : x 4; x 1) x 4 x 1 x 4 3 x 1 3.15x 3 x 4 x 1 3.12 x 1 12 x 4
  43. x 0(tm) 3x x 4 0 x 4(ktm) S 0 148 x 169 x 186 x 199 x b) 10 25 23 21 19 148 x 169 x 186 x 199 x 1 2 3 4 0 25 23 21 19 1 1 1 1 123 x 0 25 23 21 19 x 123 c) Ta có: x 2 0x x 2 3 0 nên x 2 3 x 2 3 x 2 2 x 4 Phương trình được viết lại: x 2 3 5 x 2 2 x 2 2 x 0 Vậy S 0; 4 Bài 55: Một người đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm 5km / h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó Lời giải Gọi khoảng cách giữa A và B là x(km / h)(x 0) x 3x 1 Vận tốc dự định của người đi xe máy là (km / h) 3h20' 3 h 1 10 3 3 3 3x Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên 5km / h : 5(km / h) 10 Theo đề Câu ta có phương trình : 3x 5 .3 x x 150(tm) 10 Vậy khoảng cách giữa A và B là : 150km 3.150 Vận tốc dự định: 45km / h 10 Bài 56: Giải phương trình: 1)x2 3x 2 x 1 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2)8 x 4 x 4 x x x 4 x x2 x2 x Lời giải Ta có: 2.1 x2 3x 2 x 1 0 1 2 Nếu x 1: 1 x 1 0 x 1(thỏa mãn điều kiện x 1) Nếu x 1: 1 x2 4x 3 0 x2 x 3 x 1 0 x 1 (ktm) x 1 x 3 0 x 3 (ktm)
  44. Vậy phương trình 1 có một nghiệm duy nhất x 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2.2 Ta có: 8 x 4 x 4 x x x 4 (2) x x2 x2 x Điều kiện để phương trình có nghiệm: x 0 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 8 x 4 x 2 x 2 x x 4 x x x x 2 1 2 1 2 2 8 x 8 x x 4 x 4 16 x x2 x 0 (ktm) x 8 (tm) Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x 8 Bài 57: Giải phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 Lời giải x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 4 0 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 1 1 1 1 x 258 0 17 19 21 23 x 258 Bài 58: Giải phương trình: 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 49 Lời giải 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 Ta có: 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 49 ĐKXĐ: x 2009; x 2010. 2 2 a 1 a 1 a a 19 a2 a 1 19 Đặt a x 2010 a 0 , ta có hệ thức: 2 a 1 a 1 a a2 49 3a 49 49a2 49a 49 57a2 57a 19 8a2 8a 30 0 3 4023 a (tm) x 2 2a 1 42 0 2a 3 2a 5 0 2 2 (TMDK) 5 4015 a (tm) x 2 2 Bài 59: Giải các phương trình sau: 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a) x2 x 4 x2 x 12; b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003
  45. Lời giải 2 a) x2 x 4 x2 x 12 , đặt y x2 x VN 2 2 y 6 x x 6 y 4y 12 0 y 6 y 2 0 x 2 2 y 2 x x 2 x 1 Vậy S 2;1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1 1 1 1 1 1 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 Bài 60: Giải các phương trình sau: Lúc 7 giờ, một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 36km, rồi ngay lập tức quay trở về A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là 6km / h Lời giải Gọi x(km / h) là vận tốc ca nô xuôi dòng x 12 Vận tốc ca nô khi nước lặng: x 6(km / h) Vận tốc ca nô khi ngược dòng: x 12(km / h) Thời gian cả đi và về của ca nô là 4,5 giờ nên ta có phương trình: 36 36 9 x 4(ktm) (x 4)(x 24) 0 x x 12 2 x 24(tm) Vậy vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là 24km / h Bài 61: Giải các phương trình sau: 1) 2x2 x 3 6x 2) x 2 . x2 3x 5 x 2 .x2 Lời giải 1) 2x2 x 3 6x 2x 1 x 3 0 1 x 2x 1 0 hoặc x 3 0 2 x 3 1 Vậy x hoặc x 3 2 2) x 2 . x2 3x 5 x 2 .x2 x 2 x 2 0 x 2 5 3x 0 5 5 3x 0 x 3
  46. 5 Vậy x 2;  3 Bài 62: Giải Câu toán bằng cách lập phương trình Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B.Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là1 5km / h; 45km / h và 60km / h . Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy. Lời giải - Gọi thời gian để ô tô cách đều xe đạp và xe máy kể từ lúc xe đạp chạy là x (giờ). Điều kiện x 2 Khi đó: Xe đạp đi được : 15x km Xe máy đi được : 45 x 1 km Ô tô đi được: 60 x 2 km Khi ô tô bắt đầu chạy thì xe đạp đã bị xe máy vượt qua Hiệu quãng đường đi được của xe máy và ô tô là: 45 x 1 60 x 2 Hiệu quãng đường đi được của ô tô và xe đạp: 60. x 2 15x Theo đề Câu ta có phương trình: 45 x 1 60 x 2 60 x 2 15x Giải phương trình tìm được x 3,25 giờ 3 giờ 15 phút Vậy lúc 8 giờ 15 phút thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy. Bài 63: Giải phương trình 1 2x2 5 4 a) 2 3x 4 2 0 b) x 1 x3 1 x2 x 1 Lời giải a) 2 3x 4 2 0 3x 4 1(khẳng định sai vì 3x 4 0x ) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 1 2x2 5 4 b) ĐKXĐ: x 1 x 1 x3 1 x2 x 1 x 2 x 1 2x 2 5 4 x 1 x 3 1 x 3 1 x 3 1 x 2 x 1 2x 2 5 4 x 1 x 3 1 x 3 1 3x 2 3x 0 3x x 1 0 x 0 (tm) x 1 (ktm) Vậy S 0 Bài 64: Giải các phương trình sau: 2 a) 6x 8 6x 6 6x 7 72 1 1 1 1 b) x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18
  47. Lời giải a) Đặt 6x 7 t . Ta có: t 1 t 1 t2 72 t2 1 t2 72 2 2 x 4 2 t 8(ktm) t 3 3 t t 72 0 t2 9(tm) t 3 5 x 3 2 5 Vậy x ;  3 3  x2 9x 20 x 4 x 5 ; x2 11x 30 x 6 x 5 ; b) x2 13x 42 x 6 x 7 DKXD : x 4; 5; 6; 7 Phương trình trở thành: 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 18(x 7) 18(x 4) x 7 x 4 x 13 x 2 0 x 13(tm) x 2(tm) Bài 65: Giải các phương trình sau: x 7 x 6 x 5 x 2025 a) 0 2003 2004 2005 5 b) x4 2x2 400x 9999 Lời giải x 7 x 6 x 5 x 2025 a) 0 2003 2004 2005 5 x 7 x 6 x 5 x 2 0 0 5 1 1 3 0 2 0 0 3 2 0 0 4 2 0 0 5 5 x 2 0 1 0 x 2 0 1 0 x 2 0 1 0 x 2 0 1 0 0 2 0 0 3 2 0 0 4 2 0 0 5 5 1 1 1 1 x 2 0 1 0 0 2 0 0 3 2 0 0 4 2 0 0 5 5 x 2 0 1 0 0 x 2 0 1 0 b) x4 2x2 400x 9999 x4 2x2 1 4x2 400x 10000 (thêm 4x2 1vào 2 vế) 2 2 x 2 1 2x 100 x 2 1 2x 100 x 2 1 2x 100 0 VN x 2 2x 101 0 2 x 9 x 2x 99 0 x 11 Vậy S 11; 9
  48. Bài 66: Giải phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 Lời giải x 241 x 220 x 195 x 166 Ta có: 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 4 0 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 1 1 1 1 x 258 0 x 258 17 19 21 23 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 Bài 67: Tìm biết: x 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 49 Lời giải 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 49 ĐKXĐ: x 2009; x 2010. Đặt a x 2010 a 0 , ta có hệ thức: 2 2 a 1 a 1 a a 19 a2 a 1 19 2 a 1 a 1 a a2 49 3a 49 49a2 49a 49 57a2 57a 19 8a2 8a 30 0 3 a (tm) 2 2a 1 42 0 2a 3 2a 5 0 2 5 a (tm) 2 4023 x 2 (TMDK) 4015 x 2 Bài 68: Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Năng suất làm việc trong một ngày của người thứ hai chỉ bằng 2 người thứ nhất. Hỏi nếu 3 làm riêng, mỗi người làm trong bao lâu sẽ xong công việc Lời giải Gọi x (ngày) là thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc x 0 . Một ngày người thứ nhất làm được 1 (công việc) x Một ngày người thứ hai làm được 2 (công việc) 3x
  49. 1 2 Một ngày hai người làm chung được (công việc) x 3x 1 2 1 Theo Câu ta có phương trình x 20 x 3x 12 Vậy người thứ nhất làm xong trong 20 ngày Người thứ hai làm xong trong 30 ngày. Bài 69: Ký hiệu a (phần nguyên của a ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá a. 34x 19 Tìm x biết rằng: 2x 1 11 Lời giải 34x 19 34x 19 2x 1 0 2x 1 1vả 2x 1 ¢ 11 11 4 1 1 3 0 12x 8 11 8 12x 3 2x 2x 1 3 2 3 2 1 2x 1 0 x Do 2x 1 ¢ 2 2x 1 1 x 0 Bài 70: Giải các phương trình sau: a) x x 2 x2 2x 2 1 0 b) y2 4x 2y 2x 1 2 0 x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 c) x 2 x 8 x 4 x 6 Lời giải a) x x 2 x2 2x 2 1 0 x2 2x x2 2x 2 1 0 2 x2 2x 2 x2 2x 1 0 2 x2 2x 1 0 x 1 4 0 x 1 0 x 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1 b) y2 4x 2y 2x 1 2 0 2 y2 2y 1 2x 2.2x 1 0 y 1 2 2x 1 0 y 1 0 y 1 x 2 1 0 x 0 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x; y 0; 1 c)
  50. x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 (1) x 2 x 8 x 4 x 6 ĐKXĐ: x 2; x 4; x 6; x 8 x 2 2 2 x 8 2 8 x 4 2 4 x 6 2 6 1 x 2 x 8 x 4 x 6 2 8 4 6 x 2 x 8 x 4 x 6 x 2 x 8 x 4 x 6 2 4 6 8 x 2 x 4 x 6 x 8 2x 8 4x 8 6x 48 8x 48 x 2 x 4 x 6 x 8 2x 2x x 2 x 4 x 6 x 8 x 0 x 0 x 0 (tm) x 2 x 4 x 6 x 8 8x 40 x 5 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x 0; x 5 Bài 71: Giải phương trình: 3x 2 x 1 2 3x 8 16 Lời giải Ta có: 3x 2 x 1 2 3x 8 16 3x 2 3x 3 2 3x 8 144 Đặt 3x 3 t 3x 2 t 5;3x 8 t 5 Ta có phương trình: t 5 t 2 t 5 144 t 4 25t 2 144 0 t 2 9 t 2 16 0 t 2 9 t 3 2 t 16 t 5 2 8 Xét các trường hợp ta tìm được x 0; x 2; x ; x 3 3 Bài 72: Giải phương trình: x2 x 1 x2 x 2 12 Lời giải x2 x 1 x2 x 2 12 Đặt x2 x 1 X có X 2 X 12 0 X 2 4X 3X 12 0 X X 4 3 X 4 0 X 3 X 3 X 4 0 X 4
  51. 2 2 1 19 X 4 x x 5 0 x 0 (VN) 2 4 X 3 x2 x 2 0 x2 2x x 2 0 x 1 x 1 x 2 0 x 2 Bài 73: Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được 4m thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp 8mdừng lai 2 giây, rồi đi tiếp 12m dừng lại 3 giây Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả 155giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc 2m / giây. Tính khoảng cách từ A đến B. Lời giải Gọi x là số lần đi x ¥ , x 0 , số lần dừng là x 1 Thời gian đi 4 8 12 4x 2 4 6 2x 2 2 2 2 2 1 2 3 x x x 1 Thời gian dừng: x 1 1 x 1 x(x 1) 1 2 3 x 1 2 2 Lập được phương trình x 10 (tm) x(x 1) 2 x(x 1) 155 3x x 310 31 2 x (ktm) 3 Khoảng cách AB là 10. 10 1 .2 220(m) Bài 74: Giải phương trình x 43 x 46 x 49 x 52 a) 57 54 51 48 b) 2x 3 x 2 2 2x 5 3 Lời giải x 43 x 46 x 49 x 52 a) pt 1 1 1 1 57 54 51 48 x 100 x 100 x 100 x 100 0 57 54 51 48 1 1 1 1 x 100 0 x 100 57 54 51 48 b) 2x 3 x 2 2 2x 5 3 2x 3 2x 5 x 2 2 3 4x2 16x 15 x2 4x 4 3(2) Đặt y x2 4x 4 4x2 16x 16 4y 1
  52. y 1 Khi đó 2 y 4y 1 3 0 y 1 4y 3 0 4y 3 0 2 x 1 y 1 x 4x 4 1 x 3 4y 3 4x2 16x 16 3 0(VN) Vậy S 1; 3 Bài 75. a) Lúc 7 giờ sáng một xe buýt đi từ vị trí A đến vị trí B với độ dài là 60 km. Khi đi tới vị trí C cách vị trí A 39km thì xe bị hỏng. Xe phải dừng lại và sửa chữa mất 15phút, sau đó xe tiếp tục đi từ C đến B với vận tốc giảm hơn so 11 với vận tốc đi từ A tới C là 3km / h.Tổng thời gian xe đi từ A đến B hết 6 giờ (tính cả thời gian dừng lại sửa xe). Hỏi xe buýt bị hỏng lúc mấy giờ ? b) Giải phương trình x2 2x 2 x2 8x 20 x2 4x 6 x2 6x 12 x 1 x 4 x 2 x 3 Lời giải a) Gọi vận tốc của xe buýt khi đi từ Ađến C là x km / h; x 3 thì vận tốc của xe buýt khi đi từ C đến B là x 3 km / h 39 Thời gian để xe buýt đi hết quãng đường AC là (h), thời gian để xe buýt đi hết x 21 1 quãng đường CB là h . Thời gian dừng lại sửa xe là 15 phút (h) x 3 4 39 21 1 11 Theo bài ta có phương trình: x x 3 4 6 x 39(tm) Giải ra được 36 x (ktm) 19 Vậy khi đi từ Atới C xe buýt đi với vận tốc 39km / h , suy ra thời gian để xe buýt đo đi hết quãng đường AC là : 39:39 1(giờ) Do đó đúng 8 giờ sáng thì xe buýt bị hỏng. b) Giải phương trình
  53. x 2 2x 2 x 2 8x 20 x 2 4x 6 x 2 6x 12 x 1; 2; 3; 4 x 1 x 4 x 2 x 3 x 1 2 1 x 4 2 4 x 2 2 2 x 3 2 3 x 1 x 4 x 2 x 3 1 4 2 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 1 4 2 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 4 4x 4 2x 6 3x 6 x 2 5x 4 x 2 5x 6 5x 8 x 2 5x 6 5x 12 x 2 5x 4 5x 3 33x 2 70x 48 5x 3 37 x 2 80x 48 4x 2 10x 0 x 0(tm) 5 x (tm) 2 Bài 76. Giải phương trình: x4 30x2 31x 30 0 Lời giải x4 30x2 31x 30 0 x2 x 1 x 5 x 6 0 * 2 2 1 3 Vì x x 1 x 0x 2 4 x 5 * x 5 x 6 0 x 6 Bài 77. Giải phương trình sau: 2 2 2x2 x 2013 4. x2 5x 2012 4. 2x2 x 2013 x2 5x 2012 Lời giải a 2x2 x 2013 Đặt 2 b x 5x 2012 Phương trình đã cho trở thành: a2 4b2 4ab a 2b 2 0 a 2b 0 a 2b Khi đó ta có: 2x2 x 2013 2. x2 5x 2012 2x2 x 2013 2x2 10x 4024 2011 11x 2011 x 11 2011 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 11
  54. Bài 78. Giải các phương trình sau: 1) x2 3x 2 x 1 0 9x x 2) 8 2x2 x 3 2x2 x 3 Lời giải 1. * Với x 1 * ta có phương trình x2 3x 2 x 1 0 x2 2x 1 0 x 1 2 0 x 1 (Thỏa *) *Với x 1 ta có phương trình x2 3x 2 1 x 0 x2 4x 3 0 x 1 x 3 0 + x 1 0 x 1(không thỏa mãn điều kiện ) x 3 0 x 3 (không thỏa mãn điều kiện ) Vậy nghiệm của phương trình là x 1 2. Xét x 0 không phải là nghiệm Xét x 0 9x x 8 2x2 x 3 2x2 x 3 9 1 8 3 3 2x 1 2x 1 x x 3 Đặt 2x t, ta có phương trình: x 9 1 8 t 1 t 1 2 1 PT 8t 2 8t 2 0 2 2t 1 0 t 2 3 1 2x x 2 4x2 x 6 0 2 1 95 2x 0 4 16 Suy ra phương trình vô nghiệm. 2x 3 2x 5 6x2 9x 9 Bài 79:Giải phương trình : 1 2x 1 2x 7 2x 1 2x 7 Lời giải 1 7 a) ĐK: x ; x 2 2
  55. 2x 3 2x 7 2x 5 2x 1 2x 7 2x 1 6x2 9x 9 2x 1 2x 7 2x 7 2x 1 2x 7 2x 1 2x 7 2x 1 4x2 20x 21 4x2 12x 5 4x2 16x 7 6x2 9x 9 2x 7 2x 1 2x 7 2x 1 8x 16 2x2 7x 16 2x 7 2x 1 2x 7 8x 16 2x2 7x 16 2x2 x 0 x 2x 1 0 x 0 (tm) 1 x (ktm) 2 Vậy phương trình có một nghiệm x 0 Bài 80: Giải phương trình: 1 1 1 x 1.2 2.3 3.4 2006.2007 1.2.3 2.3.4 2005.2006.2007 Lời giải 1 1 1 x 1.2 2.3 3.4 2006.2007 1.2.3 2.3.4 2005.2006.2007 Nhân cả 2 vế với 6ta được: 2 2 2 3. x 2 1.2. 3 0 2.3. 4 1 2006.2007. 2008 2005 1.2.3 2.3.4 2005.2006.2007 1 1 1 1 1 3. x 1.2 2.3 2.3 3.4 2006.2007 2. 1.2.3 2.3.4 1.2.3 2006.2007.2008 2005.2006.2007 1 1 1003.1004.669 3. x 2.2006.2007.2008 x 1.2 2006.2007 5.100.651 Bài 81: Giải các phương trình sau: 4 4 a) x 2008 x 2010 2 b) x 1 2 x 2 3 x 3 4 Lời giải a) x 2008 4 x 2010 4 2(I) Đặt y x 2009 ta có: I y 1 4 y 1 4 2 2y4 12y2 0 2y2 y2 6 0 y 0 x 2009 0 x 2009 b) x 1 2 x 2 3 x 3 4 (II)
  56. +Nếu x 1ta có II 2x 6 4 x 1 (ktm) +Nếu 1 x 2ta có: II 0.x 4 4, Phương trình nghiệm đúng với 1 x 2 +Nếu 2 x 3ta có: II 4x 8 x 2(thỏa mãn) +Nếu 3 xta có: II 2x 10 x 5(thỏa mãn) Vậy nghiệm của phương trình II là x 5hoặc 1 x 2. k(x 1) Bài 82. Tìm k để phương trình sau có nghiệm dương: k 1 2x 1 Lời giải Ta có phương trình tương đương: 2k 1 k(x 1) (k 1)(2x 1) kx k 2xk k 2x 1 x k 2 Vậy x 0thì k phải thỏa mãn 2 điều kiện sau: *)k(x 1) (k 1)(2x 1) kx k 2xk k 2x 1 2k 1 x và k 2 0 hoặc 2k 1 0 và k 2 0 k 2 1 *)k 0 (vì x ) 2 1 Vậy x 0 k 2 hoặc k và k 0 2 Bài 83. Hưởng ứng ngày chủ nhật xanh – sạch – đẹp. Học sinh khối lớp 8 nhận làm vệ sinh một đoạn đường em chăm. Lớp 8/1 nhận 10 mét và 1/10 của phần còn lại, lớp 8/2 nhận 20 mét và 1/10 của phần còn lại, lớp 8/3 nhận 30 mét và 1/10 của phần còn lại cứ chia như vậy cho đến lớp cuối cùng thì vừa đủ và phần đường của mỗi lớp dài bằng nhau. Hỏi khối 8 có bao nhiêu lớp và đoạn đường mỗi lớp nhận dài bao nhiêu mét ? Lời giải Gọi x(m) là chiều dài đoạn đường cả khối 8 là vệ sinh ( x 0) Lớp 8/1 nhận đoạn đường dài : 10 0,1 x 10 0,1x 9 Sau khi lớp 8 /1nhận, đoạn đường còn lại: x 0,1x 9 0,9x 9 Lớp 8/2 nhận đoạn đường dài : 20 0,1. 0,9x 9 20 0,09x 17,1 Ta có phương trình : 0,1x 9 0,09x 17,1 Giải ra : x 810 (thích hợp) Khối 8 có 9 lớp Bài 84. Nhân ngày 1/6 một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo. Số kẹo này được chia hết và chia đều cho mọi người trong phân đội. Để đảm bảo nguyên tắc ấy phân đội trưởng đề xuất cách nhận phần kẹo của mỗi người như sau:
  57. 1 Bạn thứ nhất 1 cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. Sau khi bạn thứ nhất 11 1 đã lấy phần mình, bạn thứ hai nhận 2 cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. 11 1 Cứ tiếp tục như thế đến bạn cuối cùng thứ n nhận n cái kẹo và được lấy thêm 11 số kẹo còn lại. Hỏi phân đội thiếu niên nói trên có bao nhiêu đội viên và mỗi đội viên nhận bao nhiêu kẹo. Lời giải Gọi số kẹo phân đội được tặng là x (cái) ; x ¥ * 1 x 10 Số kẹo bạn thứ nhất nhận: 1 (x 1) (cái) 11 11 11 x 10 10x 10 Số kẹo còn lại sau khi bạn thứ nhất nhận x (cái) 11 11 11 11 1 10x 10 10x 210 Số kẹo bạn thứ hai nhận : 2 . 2 (cái) 11 11 11 121 121 Vì số kẹo của mỗi bạn bằng nhau nên ta có phương trình: x 10 10x 210 11x 10x 210 110 x 100 11 11 121 121 121 121 121 121 100 10 Số kẹo mỗi đội viên nhận là: 10 11 11 Số đội viên là : 100:10 10(bạn) Bài 85. Giải các phương trình sau: a)2x4 x3 22x2 15x 36 0 x 2 x 42 x 121 b) 3 2009 1969 1890 Lời giải PT x 3 2x3 7x2 x 12 0 a) x 3 x 4 2x2 x 3 0 Do 2x2 x 3 0 với mọi x nên phương trình có tập nghiệm S 3; 4 x 2 x 42 x 121 b) PT 1 1 1 0 2009 1969 1890 x 2011 x 2011 x 2011 0 2009 1969 1890 x 2011 0 x 2011 Bài 86 x 5x Giải phương trình: 2 x2 4x 4 x2 4 Lời giải Điều kiện x 2
  58. x 5x Với x 0không phải là nghiệm của phương trình : 2 x2 4x 4 x2 4 x 5x Với x 0phương trình 2trở thành: x2 4x 4 x2 4 1 5 4 2 * . Đặt y x 2phương trình * trở thành: 4 4 x 4 x x x x 1 5 2 y 2 y 2 Điều kiện : y 2 2 y 0 Phương trình trở thành: y 3y 0 y y 3 0 y 3 4 2 Với y 0thì x 2 0 x2 2x 4 0 x 1 3 0 VN x Với y 3 thì 4 2 x 1 x 2 3 x 5x 4 0 x 1 x 4 0 (TMDK) x x 4 Vậy tập nghiệm phương trình là S 1; 4 Bài 87 a) Tìm x,biết: 4 x 1 2 2x 1 2 8 x 1 x 1 11 x y y z b) Tìm x, y, z biết: ; và x y z 195 3 2 5 7 Lời giải a) 4 x 1 2 2x 1 2 8 x 1 x 1 11 4 x2 2x 1 4x2 4x 1 8 x2 1 11 4x2 8x 4 4x2 4x 1 8x2 8 11 4x 13 11 4x 2 x 0,5 x y x y y z y z b) ; 3 2 15 10 5 7 10 14 x y z Do đó: và x y z 195 15 10 14 x y z x y z 195 5 15 10 14 15 10 14 39 Vậy x 5.15 75; y 5.10 50; z 5.14 70 Bài 88: a) Giải phương trình: x4 x2 6x 8 0 b) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x2 2x 10 y2
  59. Lời giải a) Phân tích được x 1 x3 x2 2x 8 0 x 1 x 2 x2 x 4 0 (1) 2 x 1 0 x 1 Vì x x 4 0 1 x 2 0 x 2 x2 2x 10 y2 x 1 2 y2 11 b) Ta có: x 1 y x 1 y 11 (2) Vì x, y ¥ nên x 1 y x 1 y 0 (2) viết thành: x 1 y x 1 y 11.1 x 1 y 11 x 5 x 1 y 1 y 5 Vậy x; y 5;5 x2 3x 7 3x 2 Bài 89: Giải phương trình sau: x2 5x 6 x 15 Lời giải a) ĐKXĐ: x 15; x 1; x 6 2 x2 3x 7 3x 2 x2 3x 7 3x 2 x2 6x 9 x 3 2 2 2 2 x 5x 6 x 15 x 5x 6 x 15 x 6x 9 x 3 Thay x 3 vào phương trình và kết luận nghiệm của phương trình Với x 3 ta có: 2 x2 3x 7 3x 2 x 3 13 2 2 1 3x 2 x 15 x (tm) x 5x 6 x 15 x 3 2 13  Vậy S ; 3 2  Bài 90: 21 1. Giải phương trình: x2 4x 6 0 x2 4x 10 2. Bạn Nam hỏi bạn Bắc: “Năm nay cha và mẹ của bạn bao nhiêu tuổi”. Bắc trả lời: “Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 66 tuổi thì tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi là 10. Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp 3 lần tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi” Tính xem tuổi của cha và tuổi của mẹ bạn Bắc là bao nhiêu ? Lời giải 1. Điều kiện xác định x ¡ , đặt t x2 4x 8 21 21 x2 4x 6 0 t 2 0 t 2 x2 4x 10 t 2 21 t 2 t 2 0 21 t2 4 0 t2 25 t 5 x2 4x 8 5 x2 4x 3 0 giải ra x 1; x 3 x2 4x 8 5 x2 4x 13 0 vô nghiệm vì x2 4x 13 0
  60. Vậy x 1; x 3 2. Gọi x là tuổi của mẹ bạn Bắc khi tổng số tuổi của cha và mẹ là6 6 ( x nguyên dương) Ta có: x x 4 66 2x 62 x 31 Gọi y là số tuổi thêm từ khi mẹ Bắc 31 tuổi đến nay ( y nguyên dương) Tổng số tuổi hiện nay của hai người là 66 2y Tổng số tuổi của hai người con hiện nay là 10 2y Ta có phương trình: 3 10 2y 66 2y 30 6y 66 2y y 9 Tuổi của mẹ Bắc hiện nay là 9 31 40 tuổi Tuổi của cha Bắc hiện nay là 9 35 44 tuổi Bài 91: Giải các phương trình sau: 2 a) 2x2 3x 1 3 2x2 3x 5 16 0 x 9 x 10 9 10 b) 10 9 x 10 x 9 Lời giải 2 a) 2x2 3x 1 3 2x2 3x 5 16 0 2 2x2 3x 1 3 2x2 3x 1 4 0(*) Đặt t 2x2 3x 1 2 t 1 Pt * t 3t 4 0 t 4 x 0 3 2 x 2x 3x 1 1 x 2x 3 0 2 2x2 3x 1 4 x 1 2x 5 0 x 1 5 x 2 3 5 Vậy S 1;0; ;  2 2  x 9 x 10 9 10 b) * 10 9 x 10 x 9 ĐKXĐ: x 9; x 10 * x x 19 19x 181 0 x 0 x 19 (TMDK) 181 x 19 181 Vậy S 0; 19;  19  Bài 92: Giải phương trình sau:
  61. 2 2 2x2 x 2013 4. x2 5x 2012 4. 2x2 x 2013 x2 5x 2012 Lời giải 2 Đặt a 2x x 2013 2 b x 5x 2012 Phương trình đã cho trở thành: 2 a2 4b2 4ab a 2b 0 a 2b 0 a 2b Khi đó ta có: 2x2 x 2013 2. x2 5x 2012 2x2 x 2013 2x2 10x 4024 2011 11x 2011 x 11 2011 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 11 Bài 93: x m x 3 1. Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số) 2 x 3 x m 2 2. Giải phương trình: 2x 8x 1 . 4x 1 9 Lời giải 1) ĐKXĐ: x 3; x m ta có: x m x 3 2 x2 m2 x2 9 2 x 3 x m x 3 x m 2 2x2 m2 9 2 x2 3x 3m mx 2 m 3 x m 3 (1) Với m 3 thì 1 có dạng 0x 0. Nghiệm đúng mọi x thỏa mãn điều kiện x 3 x m,do đó tập nghiệm của phương trình là x 3 2 m 3 m 3 Với m 3 thì phương trình 1 có nghiệm x 2 m 3 2 Để giá trị này là nghiệm của phương trình thì ta phải có: m 3 m 3 m 3 3 và m tức là m 3. Vậy nếu m 3 thì x là 2 2 2 nghiệm. m 3 Kết luận : với m 3 thì S x / x 3.Với m 3 thì S  2  2 2) Ta có: 2x 8x 1 4x 1 9 64x2 16x 1 8x2 2x 9 64x2 16x 1 64x2 16x 72 * Đặt 64x2 16x t ta có: t 9 * t t 1 72 0 t 8 2 Với t 9 ta có: 64x2 16x 9 64x2 16x 9 0 8x 1 8 0 2 (Vô nghiệm vì 8x 1 8 0)
  62. 1 x Với t 8 ta có 64x2 16x 8 64x2 16x 8 0 2 1 x 4 Bài 94: Để tham gia ngày chạy Olympic vì sức khỏe toàn dân, trường A đã nhận được một số chiếc áo và chia đều cho các lớp. Biết rằng theo thứ tự, lớp thứ nhất 1 nhận được 4 áo và số còn lại, rồi đến lớp thứ n n 2; 3; 4 nhận được 4n áo và 9 1 số áo còn lại. Cứ như thế các lớp đã nhận hết số áo. Hỏi trường A đã nhận được 9 bao nhiêu chiếc áo ? Lời giải Gọi số lớp của trường A được nhận áo là x Vì lớp thứ x nhận áo cuối cùng và số áo được phát hết nên số áo lớp thứ x nhận được là 4x . 1 Lớp thứ x 1nhận số áo là 4 x 1 .4x 4,5x 4 8 Vì số áo các lớp nhận được như nhau nên ta có phương trình: 4,5x 4 4x x 8 Suy ra số áo mỗi lớp nhận được: 4.8 32 (áo) Suy ra số áo trường A nhận được: 32.8 256 (áo) Bài 95: Giải phương trình sau: x 2 x 1 x 1 x 2 4 Lời giải +Nếu x 2,phương trình đã cho trở thành : x 2 x 1 x 1 x 2 4 x2 1 x2 4 4 x4 5x2 0 x2 . x2 5 0 x 0(ktm) x 5(tm) x 5(ktm) +)Nếu x 2,phương trình đã cho trở thành: 2 x x 1 x 1 x 2 4 x 2 x 1 x 1 x 2 4 x2 1 x2 4 4 x4 5x2 8 0 2 2 5 7 x 0 vô nghiệm 2 4 Phương trình có một nghiệm x 5 Bài 96: a) Giải phương trình sau: x2 3x 2 x 1 0
  63. b) Xác định giá trị của m để phương trình: m3 x 2 8 x m 4m2 có nghiệm duy nhất là số không lớn hơn 1 Lời giải a) x2 3x 2 x 1 0 1 2 + Nếu x 1: 1 x 1 0 x 1(TM) +Nếu x 1: 1 x2 4x 3 0 x2 x 3 x 1 0 x 1 x 3 0 x 1(ktm) x 3(ktm) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1 m3 x 2 8 x m 4m2 m3 8 x 2m m2 2m 4 b)Ta có: 2 2 m 2 m 2m 4 x 2m m 2m 4 2m x (Do m2 2m 4 0) m 2 2m Để nghiệm này không lớn hơn 1 thì 1 2 m 2(TM) m 2 Vậy 2 m 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất và nghiệm đó không lớn hơn 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Bài 97: Tìm x,biết: 6 0 1000 999 998 997 996 995 Lời giải x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 6 0 1000 999 998 997 996 995 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1 1 1 1 1 1 0 1000 999 998 997 996 995 x 1001 x 1001 x 1001 x 1001 x 1001 x 1001 0 1000 999 998 997 996 995 1 1 1 1 1 1 x 1001 0 x 1001 1000 999 998 997 996 995 2 Bài 98: Giải phương trình: 6x 8 6x 6 6x 7 72 Lời giải Đặt 6x 7 t . Ta có: t 1 t 1 t2 72 t2 1 t2 72 t4 t2 72 0 2 2 x t 8 0(VN) t 3 3 t2 9 0 t 3 5 x 3 Bài 99: Giải các phương trình sau: a) x x 2 x2 2x 2 1 0 b) y2 4x 2y 2x 1 2 0 x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 x 2 x 8 x 4 x 6
  64. Lời giải a) x x 2 x2 2x 2 1 0 x2 2x x2 2x 2 1 0 2 x2 2x 2 x2 2x 1 0 2 x2 2x 1 0 4 x 1 0 x 1 0 x 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1 b) y2 4x 2y 2x 1 2 0 2 y2 2y 1 2x 2.2x 1 0 2 y 1 2x 1 0 y 1 0 y 1 x 2 1 0 x 0 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x; y 0; 1 c) x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 (1) x 2 x 8 x 4 x 6 ĐKXĐ: x 2; x 4; x 6; x 8 2 2 2 2 x 2 2 x 8 8 x 4 4 x 6 6 1 x 2 x 8 x 4 x 6 2 8 4 6 x 2 x 8 x 4 x 6 x 2 x 8 x 4 x 6 2 4 6 8 x 2 x 4 x 6 x 8 2x 8 4x 8 6x 48 8x 48 x 2 x 4 x 6 x 8 2x 2x x 2 x 4 x 6 x 8 x 0 x 0 x 0 (tm) x 2 x 4 x 6 x 8 8x 40 x 5 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x 0; x 5 2 Bài 100: Giải phương trình: 3x 2 x 1 3x 8 16 Lời giải 2 2 Ta có: 3x 2 x 1 3x 8 16 3x 2 3x 3 3x 8 144 Đặt 3x 3 t 3x 2 t 5; 3x 8 t 5 Ta có phương trình: t 5 t2 t 5 144
  65. t4 25t2 144 0 t2 9 t2 16 0 t2 9 t 3 2 t 16 t 5 2 8 Xét các trường hợp ta tìm được x 0; x 2; x ; x 3 3 Bài 101: Giải phương trình: x2 x 1 x2 x 2 12 Lời giải x2 x 1 x2 x 2 12 Đặt x2 x 1 X có X2 X 12 0 X2 4X 3X 12 0 X X 4 3 X 4 0 X 3 X 3 X 4 0 X 4 2 2 1 1 9 X 4 x x 5 0 x 0 ( V N ) 2 4 X 3 x 2 x 2 0 x 2 2 x x 2 0 x 1 x 1 x 2 0 x 2 Bài 102: Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được 4m thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp 8m dừng lai 2 giây, rồi đi tiếp 12m dừng lại 3 giây Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả 155 giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc 2m / giây. Tính khoảng cách từ A đến B. Lời giải Gọi x là số lần đi x ¥ ,x 0 , số lần dừng là x 1 Thời gian đi: 4 8 12 4x 2 4 6 2x 2 1 2 3 x x x 1 2 2 2 2 x 1 1 x 1 x(x 1) Thời gian dừng: 1 2 3 x 1 2 2 x 10 ( tm ) Lập được phương trình: x( x 1) 2 x( x 1) 155 3 x x 310 31 2 x ( k tm ) 3 Khoảng cách AB là 10. 10 1 .2 220(m) Bài 103: Giải phương trình x 43 x 46 x 49 x 52 a) 57 54 51 48 2 b) 2x 3 x 2 2x 5 3 Lời giải x 4 3 x 4 6 x 4 9 x 5 2 a )p t 1 1 1 1 5 7 5 4 5 1 4 8 x 1 0 0 x 1 0 0 x 1 0 0 x 1 0 0 0 5 7 5 4 5 1 4 8 1 1 1 1 x 1 0 0 0 x 1 0 0 5 7 5 4 5 1 4 8
  66. 2 b) 2x 3 x 2 2x 5 3 2 2x 3 2x 5 x 2 3 4x2 16x 15 x2 4x 4 3(2) Đặt y x2 4x 4 4x2 16x 16 4y 1 y 1 Khi đó 2 y 4y 1 3 0 y 1 4y 3 0 4y 3 0 2 x 1 +) y 1 x 4x 4 1 x 3 +) 4y 3 4x2 16x 16 3 0(VN) Vậy S 1; 3 Bài 104: Giải phương trình: 3x 2 x 1 2 3x 8 16 Lời giải Ta có: 3x 2 x 1 2 3x 8 16 3x 2 3x 3 2 3x 8 144 Đặt 3x 3 t 3x 2 t 5;3x 8 t 5 Ta có phương trình: t 5 t 2 t 5 144 t 4 25t 2 144 0 t 2 9 t 2 16 0 t 2 9 t 3 2 t 16 t 5 2 8 Xét các trường hợp ta tìm được x 0; x 2; x ; x 3 3 Bài 105: Giải phương trình: x3 6x x 30 0 Lời giải Ta có: x3 6x2 x 30 0 x 3 x 2 x 5 0 x 3 0 x 3 x 2 0 x 2 x 5 0 x 5 Bài 106: Tìm m sao cho phương trình ẩn x : m 1 x 3m 2 0 có nghiệm duy nhất thỏa mãn x 1 Lời giải Nếu m 1 phương trình đã cho trở thành 1=0 (vô lý) nên phương trình vô nghiệm, loại 3m 2 Nếu m 1phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x m 1 3m 2 4m 3 3 x 1 1 0 m 1 m 1 m 1 4 3 Kết hợp điều kiện ta có m 1 thì m 1 x 3m 2 0 có nghiệm duy nhất thỏa 4 mãn x 1
  67. 9x2 Bài 107: Giải phương trình x2 40 x 3 2 Lời giải ĐKXĐ: x 3 2 2 2 2 2 2 9x 3x 6x x 6x x 2 40 x 40 40 0 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x2 10 x2 x2 x 3 10 . 4 0 x 3 x 3 x2 4 x 3 x 5 2 5(VN) x2 10x 30 0 2 2 x 6(tm) x 4x 12 0 x 2 16 x 2(tm) Vậy tập nghiệm phương trình S 2;6 Bài 108: Giải các phương trình sau: 2 2 2 101 x 100 x x 99 2 a) 1 b) 4x 7 2x 5 x 1 1 2015 2016 2017 Lời giải a) 101 x2 100 x2 x2 99 1 2015 2016 2017 101 x2 100 x2 x2 99 1 1 1 2015 2016 2017 2116 x2 2116 x2 2116 x2 2015 2016 2017 2 1 1 1 2116 x 0 2015 2016 2017 2116 x2 0 x 46 b) 4x 7 2 2x 5 x 1 1 16x2 56x 49 2x2 7x 5 1 Đặt 2x2 7x 5 a thì 16x2 56x 49 8a 9 Ta có phương trình: a 8a 9 1 8a2 9a 1 0 1 a 1 8a 1 0 a 1hoặc a 8 x 2 2 2 )2x 7x 5 1 2x 7x 6 0 (x 2)(2x 3) 0 3 x 2 1 2 8 7 )2x2 7x 5 16x2 56x 41 0 4x 7 8 s 8 4 3 8 7  Vậy S 2; ;  2 4 
  68. x 2 1 2 Bài 109: Giải phương trình sau: x 2 x x(x 2) Lời giải ĐKXĐ: x 0; x 2 x 2 1 2 x 2 x x(x 2) x(x 2) (x 2) 2 x(x 2) x(x 2) x(x 2) (x 2) 2 x2 2x x 2 2 x2 x 0 x(x 1) 0 x = 0 (loại) hoặc x = - 1(nhận) Vậy phương trình có nghiệm x = - 1 Bài 110: Giải phương trình sau: x 2 x 1 x 1 x 2 4 Lời giải +Nếu x 2, phương trình đã cho trở thành : x 2 x 1 x 1 x 2 4 x2 1 x2 4 4 x4 5x2 0 x2. x2 5 0 x 0(ktm) x 5(tm) x 5(ktm) +)Nếu x 2, phương trình đã cho trở thành: 2 x x 1 x 1 x 2 4 x 2 x 1 x 1 x 2 4 x2 1 x2 4 4 x4 5x2 8 0 2 2 5 7 x 0 vô nghiệm 2 4 Phương trình có một nghiệm x 5 2x m x 1 Bài 111: Cho phương trình 3 . Tìm m nguyên để phương trình có x 2 x 2 nghiệm dương. Lời giải ĐKXĐ: x 2 2x m x 1 3 x 2 x 2 2x m x 2 x 1 x 2 3 x2 4 x 1 m 2m 14(*)
  69. Nếu m = 1 thì phương trình (*) có dạng 0 = -12 vô nghiệm. 2m 14 Nếu m 1 phương trình (*) trở thành x 1 m Khi đó phương trình đã cho có nghiệm dương 2m 14 2 1 m m 4 2m 14 2 1 m 7 1 m 2m 14 0 1 m Mà m nguyên. Vậy m 2;3;5;6 thì thỏa mãn đầu bài Bài 112: Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức: 5x2 5y2 8xy 2y 2x 2 0 Lời giải 5x2 5y2 8xy 2y 2x 2 0 25x2 25y2 40xy 10y 10x 10 0 5x 4y 1 2 9 y 1 2 0 Do 5x 4y 1 2 0 và 9 y 1 2 0 với mọi x, y Nên 5x 4y 1 2 9 y 1 2 0 Suy ra x 1; y 1 1 1 1 1 Bài 113: Giải phương trình: x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Lời giải x2 9x 20 x 4 x 5 ; x2 11x 30 x 6 x 5 ; x2 13x 42 x 6 x 7 ĐKXĐ: x 4; x 5; x 6; x 7 Phương trình trở thành: 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 18 x 7 18 x 4 x 7 x 4 x 13 x 13 x 2 0 x 2 Bài 114: x 2015 x 2007 x 2006 x 2018 a) Giải phương trình: 2010 2012 2011 2013 b) Tìm x và y thỏa mãn: y2 2 x2 1 2y x 1 Lời giải a)
  70. x 2015 x 2007 x 2006 x 2018 2010 2012 2011 2013 x 2015 x 2007 x 2006 x 2018 1 1 1 1 2010 2012 2011 2013 x 5 x 5 x 5 x 5 0 2010 2012 2011 2013 1 1 1 1 x 5 0 2010 2012 2011 2013 1 1 1 1 x 5 Do 0 2010 2012 2011 2013 b) y2 2 x2 1 2y x 1 y2 2y x 1 2 x2 1 0 y2 2y x 1 x 1 2 x2 2x 1 0 y x 1 2 x 1 2 0 y x 1 0 x 1 x 1 0 y 2 Bài 115: Giải các phương trình sau: x 214 x 132 x 54 a) 6 86 84 82 1 1 1 1 b) x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Lời giải x 214 x 132 x 54 a) 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 1 2 3 0 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 86 84 82 1 1 1 x 300 0 86 84 82 x 300 b) Ta có: x2 9x 20 x 4 x 5 x2 11x 30 x 6 x 5 x2 13x 42 x 6 x 7 ĐKXĐ: x 4; x 5; x 6; x 7 Phương trình trở thành:
  71. 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 18 x 7 18 x 4 x 7 x 4 x 13 x 2 0 Từ đó tìm được x 13; x 2 Bài 116: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Lời giải Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số cua phân số cần tìm là x 11. Phân x số cần tìm là x 11 x 11 Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị ta được phân số: x 7 x 15 x 15 x x 15 Theo bài ta có phương trình: x 5 (thỏa mãn) x 11 x 7 Từ đó ta tìm được phân số 5 6 Bài 117: Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x2 y2 2z2 18x 4z 6y 20 0 Lời giải 9x2 y2 2z2 18x 4z 6y 20 0 9x2 18x 9 y2 6y 9 2 z2 2z 1 0 9 x 1 2 y 3 2 2 z 1 2 0 * Do: x 1 2 0; y 3 2 0; z 1 2 0 Nên : * x 1; y 3; z 1 Vậy x, y, z 1;3; 1 1 1 1 1 Bài 118: Giải phương trình: x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Lời giải x2 9x 20 x 4 x 5 x2 11x 30 x 6 x 5 x2 13x 42 x 6 x 7 TXĐ: x 4; 5; 6; 7 Phương trình trở thành:
  72. 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 18 x 7 18 x 4 x 7 x 4 x 13 x 13 x 2 0 x 2 S 13; 2 Bài 119: Giải các phương trình sau: a) x x 2 x2 2x 2 1 0 b) y2 4x 2y 2x 1 2 0 x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 c) x 2 x 8 x 4 x 6 Lời giải x x 2 x 2 2 x 2 1 0 2 2 d) x 2 x x 2 x 2 1 0 2 x 2 2 x 2 x 2 2 x 1 0 2 x 2 2 x 1 0 x 1 4 0 x 1 0 x 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1 y2 4x 2y 2x 1 2 0 2 e) y2 2y 1 2x 2.2x 1 0 y 1 2 2x 1 0 y 1 0 y 1 x 2 1 0 x 0 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x; y 0; 1 x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 f) (1) x 2 x 8 x 4 x 6 ĐKXĐ: x 2; x 4; x 6; x 8 x 2 2 2 x 8 2 8 x 4 2 4 x 6 2 6 1 x 2 x 8 x 4 x 6 2 8 4 6 x 2 x 8 x 4 x 6 x 2 x 8 x 4 x 6 2 4 6 8 x 2 x 4 x 6 x 8 2x 8 4x 8 6x 48 8x 48 x 2 x 4 x 6 x 8 2x 2x x 2 x 4 x 6 x 8 x 0 x 0 x 0 (tm) x 2 x 4 x 6 x 8 8x 40 x 5 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x 0; x 5