Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 6: Bất đẳng thức (Có lời giải)

Nội dung text: Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 6: Bất đẳng thức (Có lời giải)

1. DẠNG 6: BẤT ĐẲNG THỨC A.Bài toán Bài 1. Cho x, y, z dương và x y z 1.Chứng minh rằng : 1 1 1 9 x2 2yz y2 2xz z2 2xy 1 Bài 2: Chứng minh rằng: a2 b2 với a b 1 2 Bài 3 : Cho a,b,clà ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c 3 b c a a c b a b c Bài 4 : Cho a,b,clà ba số dương thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 5 : a) Chứng minh x2 x 1 0 (với mọi x) x2 x 1 1 b) Chứng minh: x2 x 1 3 x2 x 1 c) Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức : A x2 x 1 Bài 6 : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x2 2xy 2y2 4y 5 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 3 x 1 B x3 x2 x 1 Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x 2006 x 2007 2006 2010x 2680 Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 1 1 1 1 Bài 9 : Cho 3 số dương a,b,ccó tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c Bài 10: Tìm các giá trị của x để biểu thức: P x 1 x 2 x 3 x 6 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 11 : Cho a,b,clà ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c 1 1 1 1 Bài 12 : Chứng minh rằng: P 1 22 32 42 1002 Bài 13 Cho a,b thỏa mãn a2 b2 8.Chứng minh 4 a b 4 2 Bài 14: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 y2 Bài 15 : Cho các số a,b,cthỏa mãn 1 a,b,c 0.
2. Chứng minh rằng: a b2 c3 ab bc ca 1 1 1 1 Bài 16 : Cho ba số dương a,b,ccó tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9. a b c a b c Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi p với a,b,clà độ dài ba cạnh 2 Chứng minh 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c Bài 18 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3. 1 1 1 3 Chứng minh rằng: x2 x y2 y z2 z 2 Bài 19 : Cho a,b,clà ba số dương thỏa mãn abc 1. 1 1 1 3 Chứng minh rằng: . a3 b c b3 c a c3 a b 2 2 2 1 1 Bài 20 : Cho x, y 0 thỏa mãn x y 2.Chứng minh rằng : x y 8 x y 1 Bài 21 : Cho hai số a,bthỏa mãn điều kiện a b 1.Chứng minh : a3 b3 ab 2 Bài 22 : Chứng minh rằng a 1 a 3 a 4 a 6 10 0 với mọi a. Bài 23 : Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a b c d e Bài 24 : Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi. CMR: 1 1 1 1 1 1 2. p a p b p c a b c Bài 25 : Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: a b b c c d a d b c c d d a a b 1 1 1 1 Bài 26 : Chứng minh rằng: B 1 22 32 42 1002 Bài 27 : So sánh hai số sau: C 2 1 22 1 24 1 28 1 216 1 và D 232 Bài 28 : Cho số thực dương a,b,cthỏa mãn a b c 2016 . Tìm giá trị nhỏ nhất 2a 3b 3c 1 3a 2b 3c 3a 3b 2c 1 của biểu thức: P 2015 a 2016 b 2017 c Bài 29 : Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác. ab bc ac Chứng minh: a b c a b c a b c a b c a2 b2 c2 c b a Bài 30 : Chứng minh rằng: b2 c2 a2 b a c 1 1 1 Bài 31 : CMR với a,b,c là các số dương, ta có: a b c 9 a b c Bài 32: Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x2 1 y2 1 xy
3. Bài 33 : Cho các số thực a,b,c 1. Chứng minh rằng 1 1 1 4 4 4 3 2a 1 2b 1 2c 1 a b b c c a Bài 34 : a) Cho x 0, y 0 và m,n là hai số thực. Chứng minh rằng 2 m2 n2 m n x y x y b) Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1 1 1 1 3 Chứng minh rằng: a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 35 : Cho a,b,clà ba số thực dương. Chứng minh rằng: 3 a b c a2 b2 c2 2 b c c a a b b2 c2 c2 a2 a2 b2 a b c 3 Chứng minh (1) b c c a a b 2 Bài 36 : Cho a,b,clà ba số dương thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . a3 b c b3 c a c3 a b 2 a b c 3 Bài 37: Cho a,b,c 0;a b c 3.Chứng minh rằng: 1 b2 1 c2 1 a2 2 x2 y2 z2 x y z Bài 38 : Cho x, y, z 0.CMR: y z x z x y 2 Bài 39 : Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh: a b c 1 1 b a 1 c b 1 a c Bài 40 : Cho a b c 3.Chứng minh rằng: a4 b4 c4 a3 b3 c3 Bài 41 : Chứng minh rằng : x 1 x 3 x 4 x 6 10 0với mọi x Bài 42 : Cho x 0, y 0, z 0 và x y z 1. 7 Chứng minh rằng xy yz zx 2xyz 27 Bài 43 : Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x2 y2 z2 1. x3 y3 z3 1 Chứng minh rằng: y 2z z 2x x 2y 3 Bài 44 : a. Chứng minh x2 x 1 0 (với mọi x) x2 x 1 1 b. Chứng minh: x2 x 1 3 Bài 45: Cho x,y,z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x2 1 y2 1 xy
4. 1 1 1 Bài 46: CMR với a,b,c là các số dương, ta có: a b c 9 a b c Bài 47: Cho x,y,z dương và x y z 1. Chứng minh rằng : 1 1 1 9 x2 2yz y2 2xz z2 2xy 1 Bài 48: Chứng minh rằng: a2 b2 với a b 1 2 Bài 49: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c 3 b c a a c b a b c Bài 50: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . a3 b c b3 c a c3 a b 2 2 Bài 51: Cho biểu thức A b2 c2 a2 4b2c2 a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử b) Chứng minh rằng: Nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A 0 1 1 1 Bài 52: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c x2 y2 x y Bài 53: Cho x, y 0.Chứng minh rằng : 2 2 4 3 y x y x Bài 54: Biết a,b,clà độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2 a2 b2 c2 4a2b2 0 Bài 55: Cho a,b,clà 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Bài 56: Cho a,b,clà ba số dương thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 a3 b c b3 c a c3 a b 2 1 1 2 Bài 57: Cho 2 số a và b thỏa mãn a 1;b 1.Chứng minh: 1 a2 1 b2 1 ab 1 1 4 Bài 58: Chứng minh rằng: a,b 0 a b a b Bài 59: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 60: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x y z 3.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 x2 x y2 y z2 z 2 x2 y2 x y Bài 61: Cho x,y 0.Chứng minh rằng : 2 2 4 3 y x y x Bài 62: Biết a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
5. 2 a2 b2 c2 4a2 b2 0 1 1 2 Bài 63: Cho 2 số a và b thỏa mãn a 1; b 1. Chứng minh: 1 a2 1 b2 1 ab Bài 64: Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Bài 65: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 66: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1.Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 b c c a a b Bài 67: Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x2 1 y2 1 xy 1 1 1 Bài 68: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c a b b c c d a d Bài 69: Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: b c c d d a a b 1 1 1 1 Bài 70: Chứng minh rằng: P 1 22 32 42 1002 1 Bài 71: Chứng minh rằng: a2 b2 với a b 1 2 Bài 72: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e) 2 m2 n2 m n Bài 73: a) Cho x 0, y 0 và m,n là hai số thực. Chứng minh rằng x y x y b) Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1 1 1 1 3 Chứng minh rằng: a3 b c b3 c a c3 a b 2 2 2 1 1 25 Bài 74: Cho a,b 0 thỏa mãn a b 1. Chứng minh a b b a 2 Bài 75: Cho a3 b3 2.Chứng minh rằng a b 2 Bài 76: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Bài 77: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Bài 78: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi. 1 1 1 1 1 1 CMR: 2. p a p b p c a b c Bài 79: Biết a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2 a2 b2 c2 4a2b2 0
6. Bài 80: Cho biểu thức A 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4.Chứng minh rằng nếu a,b,c là 3 cạnh của một tam giác thì A 0 Bài 81: Cho bốn số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng: a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b Bài 82: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau: x2 y2 z2 t 2 x y z t . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 4 4 3 3 b) Chứng minh rằng với x, y bất kỳ, ta có: x y xy x y Bài 83: a) Cmr : x 1 x 2 x 3 x 4 1 1 1 b) Cho các số dương a và b thỏa mãn điều kiện a b 1 . Cmr : 1 1 9 a b Bài 84: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 c b a a) b2 c2 a2 b a c b) x8 x7 x2 x 1 0 3 Bài 85: Cmr: a) a2 b2 c2 a b c 4 b) a4 b4 2 4ab Bài 86: Chứng minh rằng: a) x3 4x 1 3x2 với x 0 ; b) x 1 x 3 x 4 x 6 9 0 ; c) a2 4b2 4c2 4ab 4ac 8bc Bài 87: Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta luôn có bất đẳng thức sau: a2 b2 a b 2 2 4 3 b a b a x y 2 Bài 88: Chứng minh BĐT: x2 y2 2 a2 Bài 89: a) Chứng minh: b2 c2 ab ac 2bc 4 b) Chứng minh: a4 b4 c4 abc a b c 1 1 1 1 c) Chứng minh: với n N, n 1 . 5 13 n2 n 1 2 2 1 1 1 1 d) Chứng minh: với n N, n 1 9 25 2n 1 2 4 a2 b2 a b e) Cho a và b cùng dấu. Chứng minh: 2 2 0 b a b a Bài 90: Cho ba số dương a,b,c 1 1 1 a) Chứng minh rằng:; a b c 9 a b c a b c 3 b) Chứng minh rằng: b c c a a b 2 Bài 91: Cho a b c 0 , chứng minh: P a3 b3 c3 3abc 0 . Bài 92: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
7. 2 a b c d a) a c b d ; b) ab bc ca 0 khi a b c 0 . 2 2 Bài 93: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác a) Chứng minh rằng: ab bc ca a2 b2 c2 2 ab bc ca b) Chứng minh rằng: a b c 2 3 ab bc ca thì tam giác đó là tam giác đều. Bài 94: Cho x y 2 . Chứng minh rằng: x2017 y2017 x2018 y2018 . 1 1 1 1 2 Bài 95: a) Chứng minh: Hvới n N, n 2 22 32 42 n2 3 1 1 1 1 1 b) Chứng minh: K với n N, n 3 33 43 53 n3 12 Bài 96: Cho ba số x, y, z. a) Chứng minh x2 y2 z2 xy yz zx ; x y z b) Khi 673 . Chứng minh xy yz zx 2019 . 3 2 2 1 1 25 Bài 97: Cho a,b 0 thỏa mãn a b 1.Chứng minh a b b a 2 Bài 98: Với a,b,c 0 . Hãy chứng minh các BĐT: ab bc ab bc ca a) 2b ; b) a b c ; c a c a b a3 b3 b3 c3 c3 a3 c) a b c . 2ab 2bc 2ca Bài 99: a) Cho a2 b2 2 . Chứng minh rằng: a b 2 . b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh: 4a a b a 1 a b 1 b2 0 c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh: abc b c a a c b a b c 2 2 1 1 25 Bài 100: Cho a,b 0 thỏa mãn a b 1.Chứng minh a b b a 2 Bài 101: Cho các số a,b,c thỏa mãn 1 a,b,c 0.Chứng minh rằng: a b2 c3 ab bc ca 1 Bài 102: Cho a3 b3 2.Chứng minh rằng a b 2 Bài 103: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Bài 104: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 b c c a a b Bài 105: Cho a,b thỏa mãn a2 b2 8.Chứng minh 4 a b 4 1 1 1 Bài 106: CMR với a,b,c là các số dương, ta có: a b c 9 a b c Bài 107: Cho biểu thức A 2a2 b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 .Chứng minh rằng nếu a,b,c là 3 cạnh của một tam giác thì A 0
8. 1 1 1 Bài 108: CMR với a,b,c là các số dương, ta có: a b c 9 a b c Bài 109: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác a b c Chứng minh rằng A 3 b c a a c b a b c 1 1 1 1 1 1 Bài 110: Chứng minh rằng a b c a b c , trong đó a, b, c b c a a b c là các số thực không nhỏ hơn 1. Bài 111: Chứng minh a 2 b2 c2 2 ab bc ca với mọi số thực a, b, c. a 3c a 3b 2a Bài 112: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 5 a b a c b c Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 113: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c abc . Chứng minh rằng 1 1 1 a b c 3 a b c Bài 114: Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng 1 1 25 (a )(b ) . Đẳng thức xảy ra khi nào? a b 4 Bài 115: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. Chứng 1 1 1 1 1 1 minh: 2 p a p b p c a b c Bài 116: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 a b c + + b c c a a b 2 x y x2 y2 Bài 117: Cho x > y > 0. Chứng minh: x y x2 y2 Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 0 với mọi a, b, c. 1 1 1 Bài 119: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1.Chứng minh rằng 9 a b c Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3. a b c 3 Chứng minh rằng: . 1 b2 1 c2 1 a2 2 Bài 121: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + + ≥ a3(b + c) b3(c + a) c3(a + b) 2 Bài 122: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + + ≥ x2 + x y2 + y z2 + z 2 x y 4 Bài 123: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z 6 . Chứng minh rằng xyz 9 Bài 124: Cho a,b,c 0 Chứng minh rằng a b c 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 3a 2b c 3b 2c a 3c 2a b 6 a b c Bài 125: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
9. a b b c c a 1 1 1 bc a2 ac b2 ab c2 a b c Bài 126: Cho a,b,c là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn a b c 3 Chứng minh rằng a2 b2 c2 5 1 1 1 1 1 1 Bài 127: Chứng minh rằng: a b c a b c , trong đó b c a a b c a,b,c là các số thực không nhỏ hơn 1 Bài 128: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c 1 1 1 1 Bài 129: Chứng minh rằng: P 1 22 32 42 1002 bc ac ab Bài 130: Chứng minh a b c với mọi số dương a,b,c. a b c Bài 131: Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : a b c A 3 b c a a c b a b c Bài 132: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1.Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 b c c a a b x2 y2 x y Bài 133: Cho x, y 0.Chứng minh rằng : 2 2 4 3 y x y x Bài 134: Biết a,b,clà độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2 a2 b2 c2 4a2b2 0 Bài 135: Cho a,b,clà các số dương. 1 1 1 27 Chứng minh: a a b b b c c(c a) 2(a b c)2 Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức: a b c 3 với a b c 0 a b b c c a 2 1 Bài 137: Cho a b 1. Chứng minh a2 b2 2 Bài 138: Cho a,b,clà ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c 1 1 1 Bài 139: Cho 3 số dương a,b,ccó tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c 1 1 2 Bài 140: Cho x, y thỏa mãn xy 1.Chứng minh rằng: 1 x2 1 y2 1 xy Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 y2 z2 xy xz yz với mọi x, y, z Bài 142: Cho a,b,clà ba số dương thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng:
10. 1 1 1 3 . a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 143: Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x2 1 y2 1 xy Bài 144: a) Cho a,b,clà 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi. 1 1 1 1 1 1 CMR: 2. p a p b p c a b c b)Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: a b b c c d a d b c c d d a a b B. HƯỚNG DẪN
11. Bài 1 : Cho x, y, z dương và x y z 1.Chứng minh rằng : 1 1 1 9 x2 2yz y2 2xz z2 2xy Lời giải Đặt a x2 2yz;b y2 2xz;c z2 2xy a,b,c 0và a b c x y z 2 1 1 1 1 Chứng minh: a b c 9 a b c 1 1 1 9 1 1 1 9 hay 9(dfcm) a b c a b c x2 2yz y2 2zx z2 2xy 1 Bài 2 : Chứng minh rằng: a2 b2 với a b 1 2 Lời giải Theo bài ra ta có: a b 1 a2 2ab b2 1 (1) Mặt khác : a b 2 0 a2 2ab b2 0 (2) 1 Từ (1) và (2) suy ra: 2 a2 b2 1 a2 b2 2 Bài 3 : Cho a,b,clà ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt x b c a; y a c b ; z a b c x, y, z 0 x y z a b c y z 2a a b c b c a x y z x y z a 2 x z x y Tương tự: b ;c 2 2 y z x z x y BĐT chứng minh tương đương với: 6 x y z y x z x y z a b 6 do 2 x y x z z y b a Vậy bất đẳng thức được chứng minh Bài 4 : Cho a,b,clà ba số dương thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . a3 b c b3 c a c3 a b 2 Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi a,b,c ¡ và x, y, z 0 ta có: 2 a2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z
12. a b c Dấu " "xảy ra x y z Thật vậy, với a,b ¡ và x, y 0 ta có: 2 a2 b2 a b ( ) x y x y a2 y b2 x x y xy(a b)2 bx ay 2 0 (luôn đúng) a b Dấu " "xảy ra x y Áp dụng bất đẳng thức ta có: 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x y z a b c Dấu " "xảy ra x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 b c b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng BĐT (*) ta có : 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c (Vì abc 1) ab ac bc ab ac bc 2 ab bc ac 1 1 1 2 a b c 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà 3nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy .(đpcm) a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 5 a) Chứng minh x2 x 1 0 (với mọi x) x2 x 1 1 b) Chứng minh: x2 x 1 3 x2 x 1 c) Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức : A x2 x 1 Lời giải 2 2 1 3 a) x x 1 x 0 (với mọi x) 2 4
13. b) Từ kết quả câu a, nhân 2 vế của BĐT với số dương 3 x2 x 1 được: 3x2 3x 3 x2 x 1 2x2 4x 2 0 2 x 1 2 0 (luôn đúng) x2 x 1 1 Suy ra: x2 x 1 3 2 2 2 x2 x 1 3 x x 1 x x 1 3 x x 1 c) x2 x 1 x2 x 1 2 2x2 4x 2 2 x 1 3 3 3 x2 x 1 x2 x 1 Vậy MaxA 3 x 1 Bài 6 : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x2 2xy 2y2 4y 5 a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 3 x 1 B x3 x2 x 1 Lời giải a) Ta có: A x2 2xy y2 y2 4y 4 1 x y 2 y 2 2 1 Do x y 2 0; y 2 2 0 Nên A x y 2 y 2 2 1 1 Dấu “=” xảy ra x y 2 Vậy MinA 1 x y 2 3(x 1) 3 x 1 3 b) B x2 x 1 x 1 x 1 x2 1 x2 1 B Do x2 1 1 3. Đẳng thức xảy ra x 0 x2 1 Vậy MaxB 3 x 0 Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x 2006 x 2007 2006 Lời giải Ta có : P x 2006 x 2007 2006 x 2006 2007 x 2006 x 2006 2007 x 2006 2007 Vậy min P 2007 2006 x 2007 2010x 2680 Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 1 Lời giải 2 0 1 0 x 2 6 8 0 A x 2 1 2 3 3 5 x 2 3 3 5 3 3 5 x 2 2 0 1 0 x 3 0 1 5 3 3 5 x 3 3 3 5 3 3 5 x 2 1 x 2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của Alà 335khi x 3
14. 1 1 1 Bài 9 : Cho 3 số dương a,b,ccó tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c Lời giải Từ 1 b c 1 a a a 1 a c a b c 1 1 b b b 1 a b 1 c c c 1 1 1 a b a c b c 3 3 2 2 2 9 a b c b a c a c b 1 Dấu “=” xảy ra a b c 3 Bài 10 : Tìm các giá trị của x để biểu thức: P x 1 x 2 x 3 x 6 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Lời giải 2 P x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x 6 x2 5x 6 x2 5x 36 2 2 Ta thấy x2 5x 0nên P x2 5x 36 36 2 x 0 Do dó MinP 36 x 5x 0 x 5 Bài 11 : Cho a,b,clà ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b c a x 0;c a b y 0;a b c z 0 y z x z x y từ đó suy ra a ;b ;c ; 2 2 2 y z x z x y 1 y x x z y z Thay vào ta được A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A 2 2 2 hay A 3 2 1 1 1 1 Bài 12 : Chứng minh rằng: P 1 22 32 42 1002 Lời giải 1 1 1 1 P 2 2 32 4 2 100 2 1 1 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 99 1 1 1 2 2 3 3 4 99 100 100 100
15. Bài 13 : Cho a,b thỏa mãn a2 b2 8.Chứng minh 4 a b 4 Lời giải Ta có: a b 2 0 a2 b2 2ab mà a2 b2 8nên 2ab 8 a b 2 a2 b2 2ab 8 8 16 a b 2 16 0 a b 4 a b 4 0 4 a b 4(dfcm) 2 Bài 14 :Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 y2 Lời giải 2 x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0 x4 y4 2x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0 2 x4 2x2 y2 y4 x2 2y2 0 x2 y2 2 x2 y2 1 3x2 1 2 x2 y2 1 3x2 1 2 Ta có: 3x2 1 1x x2 y2 1 1 1 x2 y2 1 1 0 A 2 x 0 Vậy min A 0 x y 0 A 0 2 2 x y 0. x y 0 x 0 x 0 x 0 . Vậy A 2 2 2 2 max A 2 2 x y 2 y 2 y 2 Bài 15 : Cho các số a,b,cthỏa mãn 1 a,b,c 0. Chứng minh rằng: a b2 c3 ab bc ca 1 Lời giải Vì b,c 0;1 nên suy ra b2 b;c3 c Do đó : a b2 c3 ab bc ca a b c ab bc ca (1) Lại có: a b c ab bc ca a 1 b 1 c 1 abc 1 (2) Vì a,b,c 0;1 nên a 1 b 1 c 1 0; abc 0 Do đó từ 2 a b c ab bc ca 1 3 Từ (1) và (3) suy ra a b2 c3 ab bc ca 1 1 1 1 Bài 16 : Cho ba số dương a,b,ccó tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9. a b c Lời giải Từ 1 b c 1 a a a 1 a c a b c 1 1 b b b 1 a b 1 c c c
16. 1 1 1 a b a c b c 3 3 2 2 2 9 a b c b a c a c b 1 Dấu bằng xảy ra a b c 3 a b c Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi p với a,b,clà độ dài ba cạnh 2 1 1 1 1 1 1 Chứng minh 2 p a p b p c a b c Lời giải 1 1 4 Ta có : p c p b a 1 1 4 1 1 4 Tương tự: ; p c p a b p b p c c Cộng vế với vế các BĐT cùng chiều: 1 1 1 4 4 4 2 p c p b p a a b c 1 1 1 1 1 1 2 p c p b p a a b c Bài 18 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3. 1 1 1 3 Chứng minh rằng: x2 x y2 y z2 z 2 Lời giải 1 1 1 1 1 1 Đặt P x2 x y2 y z2 z x x 1 y y 1 z z 1 1 1 1 1 1 1 x x 1 y y 1 z z 1 1 1 1 1 1 1 x y z x 1 y 1 z 1 1 1 1 9 1 1 1 1 Áp dụng BĐT và . với a,b,cdương, dấu a b c a b c a b 4 a b bằng xảy ra a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: . 1 ; . 1 ; . 1 x 1 4 x y 1 4 y z 1 4 z Bởi vậy 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P . 1 1 1 x y z x 1 y 1 z 1 x y z 4 x y z 3 1 1 1 3 3 9 3 9 3 3 . . (dfcm) 4 x y z 4 4 x y z 4 4 4 2
17. Bài 19 : Cho a,b,clà ba số dương thỏa mãn abc 1. 1 1 1 3 Chứng minh rằng: . a3 b c b3 c a c3 a b 2 Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với mọi a,b,c ¡ và x, y, z 0 ta có: 2 a2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z a b c Dấu " "xảy ra x y z Thật vậy, với a,b ¡ và x, y 0 ta có: 2 a2 b2 a b ( ) x y x y a2 y b2 x x y xy(a b)2 bx ay 2 0 (luôn đúng) a b Dấu " "xảy ra x y Áp dụng bất đẳng thức ta có: 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x y z a b c Dấu " "xảy ra x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 b c b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng BĐT (*) ta có : 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c (Vì abc 1) ab ac bc ab ac bc 2 ab bc ac 1 1 1 2 a b c 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà 3nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy .(đpcm) a3 b c b3 c a c3 a b 2
18. 2 2 1 1 Bài 20 : Cho x, y 0 thỏa mãn x y 2.Chứng minh rằng : x y 8 x y Lời giải 1 2 Bài toán phụ : Chứng minh rằng a2 b2 a b (1) 2 Chứng minh 1 2a2 2b2 a2 2ab b2 2 2 2 a 2ab b 0 a b 0 Áp dụng bài toán phụ (1) ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 x y x y (2) x y 2 x y 2 2 2 1 1 x y 2 Mà x y 2 2 (vì x y 2) x y xy xy 2 x y 2 2 Với x, y 0 ta có: 0 xy (vì x y 0 x y 4xy) 4 1 4 2 8 xy x y 2 xy x y 2 2 2 8 2 2 2 2 2 16(Vi x y 2) 2 xy x y 2 1 1 x y 16 (3) x y 2 2 1 1 Từ (2) và (3) suy ra : x y 8 x y 1 Bài 21 : Cho hai số a,bthỏa mãn điều kiện a b 1.Chứng minh : a3 b3 ab 2 Lời giải 1 1 Ta có: a3 b3 ab 1 a3 b3 ab 0 2 2 1 a b a2 b2 ab ab 0 2 1 a2 b2 0 (vì a b 1) 2 2a2 2b2 1 0 2a2 2 1 a 2 1 0 (Vì b 1 a) 2 2 2 1 2a 2 4a 2a 1 0 4 a a 0a (2) 4 (2) đúng nên (1) đúng ta có đpcm. Bài 22 : Chứng minh rằng a 1 a 3 a 4 a 6 10 0 với mọi a. Lời giải a 1 a 3 a 4 a 6 10 a2 7a 6 a2 7a 12 10
19. Đặt t a2 7a 6.Khi đó ta có: a 1 a 3 a 4 a 6 10 a2 7a 6 a2 7a 12 10 t 3 2 1 0. Bài 23 : Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a b c d e Lời giải Ta có: 2 1 1 2 2 a b 0 a b ab (1) 2 4 2 1 1 2 2 a c 0 a c ac (2) 2 4 2 1 1 2 2 a d 0 a d ad (3) 2 4 2 1 1 2 2 a e 0 a e ae (4) 2 4 Ta cộng 1 , 2 , 3 , 4 vế theo vế ta được: 1 4. a2 b2 c2 d 2 e2 ab ac ad ae 4 a2 b2 c2 d 2 e2 a b c d e Bài 24 : Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi. 1 1 1 1 1 1 CMR: 2. p a p b p c a b c Lời giải Ta có: 1 1 4 2 p a p b p a p b c 1 1 4 2 p b p c p a p c a 1 1 4 2 p c p a p c p a b Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh Bài 25 : Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: a b b c c d a d b c c d d a a b Lời giải Ta có: a b b c c d a b a b b c c d d a 0 b c c d d a a b b c c d d a a b a c b d c a d b 4 b c c d d a a b Xét
20. a c b d c a d b 4 b c c d d a a b 1 1 1 1 a c b d 4 b c d a c d a b 4 4 a c . b d . 4 0 a b c d a b c d đpcm Dấu " "xảy ra khi a b c d 1 1 1 1 Bài 26 : Chứng minh rằng: B 1 22 32 42 1002 Lời giải 1 1 1 1 B 22 32 42 1002 1 1 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 2 2 3 99 100 100 Vậy B 1 Bài 27 : So sánh hai số sau: C 2 1 22 1 24 1 28 1 216 1 và D 232 Lời giải C 2 1 22 1 24 1 28 1 216 1 2 1 C 2 1 2 1 22 1 24 1 28 1 216 1 C 22 1 22 1 24 1 28 1 216 1 C 24 1 24 1 28 1 216 1 C 28 1 28 1 216 1 C 216 1 216 1 232 1 Vì 232 1 232 nên C D Bài 28 : Cho số thực dương a,b,cthỏa mãn a b c 2016 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2a 3b 3c 1 3a 2b 3c 3a 3b 2c 1 biểu thức: P 2015 a 2016 b 2017 c Lời giải Ta có: 2a 3b 3c 1 3a 2b 3c 3a 3b 2c 1 P 2015 a 2016 b 2017 c b c 4033 c a 4032 a b 4031 2015 a 2016 b 2017 c Đặt
21. 2015 a x 2016 b y 2017 c z b c 4033 c a 4032 a b 4031 P 2015 a 2016 b 2017 c y z z x x y y x x z y z x y z x y z x z y y x z x y z 2 . 2 . 2 . 6 (Co si) x y x z z y Dấu " " xảy ra khi x y z suy ra a 673,b 672,c 671 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 6 khi a 673,b 672,c 671 Bài 29 : Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác. ab bc ac Chứng minh: a b c a b c a b c a b c Lời giải Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên a b c 0; a b c 0;a b c 0 Đặt x a b c 0; y a b c 0; z a b c 0 y z x z x y Ta có: x y z a b c;a ;b ;c 2 2 2 ab bc ac y z x z x z x y x y y z a b c a b c a b c 4z 4x 4y 1 xy yz xz 1 1 xy yz xz 3x 3y 3z 3 x y z . 2 2 2 4 z x y 4 2 z x y 1 y x z x y z z x y . 3 x y z . . . 4 2 z x 2 z y 2 y x 1 . 3 x y z x y z x y z 4 Mà x y z a b c nên suy ra điều phải chứng minh. a2 b2 c2 c b a Bài 30 : Chứng minh rằng: b2 c2 a2 b a c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức x2 y2 2xy . Dấu bằng xảy ra khi x y a2 b2 a b a 2. . 2. b2 c2 b c c a2 c2 a c c 2. . 2. b2 a2 b a b c2 b2 c b b 2. . 2. a2 c2 a c a Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
22. a2 b2 c2 a c b a2 b2 c2 a c b 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a c b a b c a c b a Dấu " "xảy ra khi a b c 1 1 1 Bài 31 : CMR với a,b,c là các số dương, ta có: a b c 9 a b c Lời giải 1 1 1 a a b b c c A a b c 1 1 1 a b c b c a c a b a b a c c b 3 b a c a b c x y Mà 2 (BĐT Cô si) y x Do đó: A 3 2 2 2 9. Vậy A 9 Bài 32 : Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x2 1 y2 1 xy Lời giải 1 1 2 1 1 x2 1 y2 1 xy 1 1 1 1 2 2 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy x y x y x y 0 1 x2 1 xy 1 y2 1 xy y x 2 xy 1 0 2 1 x2 1 y2 Vì x 1; y 1 xy 1 xy 1 0 (2) BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu " "xảy ra khi x y Bài 33 : Cho các số thực a,b,c 1.Chứng minh rằng 1 1 1 4 4 4 3 2a 1 2b 1 2c 1 a b b c c a Lời giải 2 1 1 Ta có: a 1 0 a2 2a 1 2a 1 a2 1 1 1 Nên VT 3 a2 b2 c2 1 1 2 8 8 8 1 1 8 Ta lại có: ; 2 2 a2 b2 ab a b 2 a b 2 a b a2 b2 a b
23. 1 1 8 1 1 8 Tương tự: 2 ; 2 b2 c2 b c c2 a2 c a 1 1 1 4 4 4 Suy ra: 3 a2 b2 c2 a b b c c a 1 1 1 4 4 4 Do vậy, 3 2a 1 2b 1 2c 1 a b b c c a Dấu " "xảy ra khi và chỉ khi a b c 1 Bài 34 : 2 m2 n2 m n a) Cho x 0, y 0 và m,n là hai số thực. Chứng minh rằng x y x y b) Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1 1 1 1 3 Chứng minh rằng: a3 b c b3 c a c3 a b 2 Lời giải a) Với x 0, y 0 và m,n ¡ ta có: 2 m2 n2 m n (1) x y x y m2 y n2 x x y xy m n 2 nx my 2 0 luôn đúng b) Áp dụng bất đẳng thức 1 ta có: 2 2 m2 n2 p2 m n p2 m n p (2) x y z x y z x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 b c b3 c a c3 a b ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c do abc 1 ab ac bc ab ac bc 2 ab bc ac 1 1 1 2 a b c 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà 3 nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Do đó: a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 35. Cho a,b,clà ba số thực dương. Chứng minh rằng:
24. 3 a b c a2 b2 c2 2 b c c a a b b2 c2 c2 a2 a2 b2 a b c 3 Chứng minh (1) b c c a a b 2 Lời giải Ta có: a b c a b c 1 1 1 3 b c c a a b b c c a a b a b c b c a c a b 1 1 1 3 a b c 3 b c c a a b b c c a a b Đặt : x b c; y c a; z a b. Suy ra x, y, z 0và ta có: a b c 1 1 1 1 x y z 3 b c c a a b 2 x y z 1 x y x z y z 9 2 2 2 3 2 y x z x z y 2 2 2 1 x y x z y z 1 3 9 3 .9 3 2 xy xz yz 2 2 x y 2 x z 2 y z 2 (Vì 0 ) xy xz yz a b c 3 Vậy . Dấu " "xảy ra a b c b c c a a b 2 a2 b2 c2 a b c Chứng minh : (2) b2 c2 c2 a2 a2 b2 b c c a a b Thật vậy, do vai trò của a,b,cnhư nhau nên không mất tính tổng quát , ta có thể giả sử : a b c Xét hiệu : a 2 b 2 c 2 a b c 2 2 2 2 2 2 b c c a a b b c c a a b a 2 a b 2 b c 2 c 2 2 2 2 2 2 b c b c c a c a a b a b a 2b ab 2 a 2c ac 2 b 2 a ba 2 b 2c bc 2 c 2 a ca 2 c 2b cb 2 b 2 c 2 b c c 2 a 2 c a a 2 b 2 a b ab a b ac a c ab a b bc b c ac a c bc b c b 2 c 2 b c c 2 a 2 c a a 2 b 2 a b 1 1 ab a b 2 2 2 2 b c b c c a c a 1 1 bc b c 2 2 2 2 c a c a a b a b
25. Vì giá trị của các biểu thức trong ngoặc đều không âm a b c a2 b2 c2 Vậy b c c a a b b2 c2 c2 a2 a2 b2 Từ (1) và (2) suy ra đpcm . Dấu " "xảy ra khi a b c Bài 36. Cho a,b,clà ba số dương thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . a3 b c b3 c a c3 a b 2 Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi a,b,c ¡ và x, y, z 0 ta có: 2 a2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z a b c Dấu " "xảy ra x y z Thật vậy, với a,b ¡ và x, y 0 ta có: 2 a2 b2 a b ( ) x y x y a2 y b2 x x y xy(a b)2 bx ay 2 0 (luôn đúng) a b Dấu " "xảy ra x y Áp dụng bất đẳng thức ta có: 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x y z a b c Dấu " "xảy ra x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 b c b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng BĐT (*) ta có : 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c (Vì abc 1) ab ac bc ab ac bc 2 ab bc ac 1 1 1 2 a b c Hay 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà 3nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2
26. 1 1 1 3 Vậy .(đpcm) a3 b c b3 c a c3 a b 2 a b c 3 Bài 37. Cho a,b,c 0;a b c 3.Chứng minh rằng: 1 b2 1 c2 1 a2 2 Lời giải Do a,b 0 và 1 b2 2b với mọi b nên: a ab2 ab2 ab a a a . 1 b2 1 b2 2b 2 b bc c ca Tương tự ta có: b ; c 1 c2 2 1 a2 2 a b c ab bc ca Mà a b c 3 nên 3 (1) 1 b2 1 c2 1 a2 2 Cũng từ a b c 3 a b c 2 9 a2 b2 c2 2 ab bc ca 9 Mà a2 b2 2ab;b2 c2 2bc;c2 a2 2ac nên a2 b2 c2 ab bc ca Suy ra 3 ab bc ca 9 ab bc ca 3 2 a b c 3 3 Từ 1 , 2 suy ra 3 dfcm 1 b2 1 c2 1 a2 2 2 Đẳng thức xảy ra a b c 1 x2 y2 z2 x y z Bài 38. Cho x, y, z 0.CMR: y z x z x y 2 Lời giải Ta có: x2 y z x2 y z z2 x y x; x; z y z 4 y z 4 x y 4 Cộng lại ta có điều phải chứng minh Bài 39. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh: a b c 1 1 b a 1 c b 1 a c Lời giải Áp dụng hệ quả bất đẳng thức Bu-nhi-a Cốp-xki, ta có: a b c a b c a 2 b2 c2 = = ≥ 1 b a 1 c b 1 a c 2b c 2c a 2a b 2ab ac 2bc ab 2ac bc (a b c)2 3(ab bc ac) Ta chứng minh (a b c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 3ab + 3bc + 3ca a2 + b2 + c2 - ab - bc – ca ≥ 0 1 [(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2] ≥ 0 (luôn đúng) 2
27. a b c Vậy 1 1 b a 1 c b 1 a c a b c 1 Dấu “=” xảy ra a b c 1 a b c . 3 a,b,c 0 Bài 40. Cho a b c 3.Chứng minh rằng: a4 b4 c4 a3 b3 c3 Lời giải Ta có: a 1 2 a2 a 1 0 a4 a3 a 1 0 1 Tương tự cũng có: b4 b3 b 1 0 2 c4 c3 c 1 0 (3) Cộng 1 ; 2 ; 3 ta được: a4 a3 a 1 b4 b3 b 1 c4 c3 c 1 0 a4 b4 c4 a3 b3 c3 a b c 3 0 a4 b4 c4 a3 b3 c3 0 a4 b4 c4 a3 b3 c3 (Dfcm) Bài 41. Chứng minh rằng : x 1 x 3 x 4 x 6 10 0với mọi x Lời giải Ta có: x 1 x 3 x 4 x 6 10 x 1 x 6 x 3 x 4 10 x 2 7 x 6 x 2 7 x 1 2 1 0 x 2 7 x 9 3 x 2 7 x 9 3 1 0 2 2 x 2 7 x 9 9 1 0 x 2 7 x 9 1 0 ( x ) 2 Vì x2 7x 9 0với mọi x 2 Do đó : x2 7x 9 1 0 với mọi x (bài toán được chứng minh). Bài 42. Cho x 0, y 0, z 0 và x y z 1. 7 Chứng minh rằng xy yz zx 2xyz 27 Lời giải 3 x y z 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: xyz 3 27 Mặt khác: xyz x y z y z x z x y xyz 1 2 z 1 2 x 1 2 y xyz 1 2 x y z 4 xy yz xz 8 xyz xyz 1 2 4 xy yz zx 8 xyz 1 xyz 4 xy yz zx 8 xyz 1 1 4 xy yz zx 8 xyz 27 7 xy yz zx 2 xyz (dfcm ) 27
28. Bài 43. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x2 y2 z2 1. x3 y3 z3 1 Chứng minh rằng: y 2z z 2x x 2y 3 Lời giải 9x3 9y3 z3 Ta có: x y 2z 6x2; y z 2x 6y2; z x 2y 6z2 y 2z z 2x x 2y Lại có : x y 2 y z 2 z x 2 0 x2 y2 z2 xy yz zx Nên ta có: 9x3 9y3 9z3 3 xy yz xz 6 x2 y2 z2 y 2z z 2x x 2y x3 y3 z3 x2 y2 z2 1 y 2z z 2x x 2y 3 3 Dấu bằng xảy ra khi x y z 1 Bài 44: a. Chứng minh x2 x 1 0 (với mọi x) x2 x 1 1 b. Chứng minh: x2 x 1 3 Lời giải 2 2 1 3 c) x x 1 x 0 (với mọi x) 2 4 d) Từ kết quả câu a, nhân 2 vế của BĐT với số dương 3 x2 x 1 được: 3x2 3x 3 x2 x 1 2 2x2 4x 2 0 2 x 1 0 (luôn đúng) x2 x 1 1 Suy ra: x2 x 1 3 Bài 45: Cho x,y,z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x2 1 y2 1 xy Lời giải a) Ta có: 1 1 2 (1) 1 x2 1 y2 1 xy 1 1 1 1 2 2 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy x y x y x y 0 1 x2 1 xy 1 y2 1 xy 2 y x xy 1 0 (2) 1 x2 1 y2 1 xy Vì x 1; y 1 xy 1 xy 1 0 Suy ra BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng, dấu " " xảy ra x y
29. 1 1 1 Bài 46: CMR với a,b,c là các số dương, ta có: a b c 9 a b c Lời giải 1 1 1 a a b b c c Ta có: A a b c 1 1 1 a b c b c a c a b a b a c c b 3 b a c a b c x y Mà 2 (BĐT Cô si). Do đó: A 3 2 2 2 9 . Vậy A 9 y x Bài 47: Cho x,y,z dương và x y z 1. Chứng minh rằng : 1 1 1 9 x2 2yz y2 2xz z2 2xy Lời giải a) C/m:a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca +)Từ giả thiết suy ra : a b c a2 b2 c2 ab bc ca 0 a2 b2 c2 ab ac bc 0 (a b c 0) 2 2 2 Biến đổi được kết quả: a b b c c a 0 a b 0 b c 0 a b c Tam giác đó là đều (đpcm) c a 0 b) Đặt a x2 2yz; b y2 2xz;c z2 2xy 2 a,b,c 0 và a b c x y z 1 1 1 1 Chứng minh: a b c 9 a b c 1 1 1 9 1 1 1 9 hay 9(dfcm) a b c a b c x2 2yz y2 2zx z2 2xy 1 Bài 48: Chứng minh rằng: a2 b2 với a b 1 2 Lời giải Ta có: a b 1 a2 2ab b2 1 (1) 2 Mặt khác : a b 0 a2 2ab b2 0 (2) 1 Từ (1) và (2) suy ra: 2 a2 b2 1 a2 b2 2 Bài 49: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c 3 b c a a c b a b c Lời giải a) Đặt x b c a; y a c b ; z a b c x,y,z 0 x y z a b c y z 2a a b c b c a x y z x y z a 2
30. x z x y Tương tự: b ;c 2 2 y z x z x y BĐT chứng minh tương đương với: 6 x y z y x z x y z a b 6 do 2 x y x z z y b a Vậy bất đẳng thức được chứng minh Bài 50: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . a3 b c b3 c a c3 a b 2 Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi a,b,c ¡ và x,y,z 0 ta có: 2 a2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z a b c Dấu " " xảy ra x y z Thật vậy, với a,b ¡ và x,y 0 ta có: 2 a2 b2 a b ( ) x y x y a2 y b2x x y xy(a b)2 2 bx ay 0 (luôn đúng) a b Dấu " " xảy ra x y 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c Áp dụng bất đẳng thức * * ta có: x y z x y z x y z a b c Dấu " " xảy ra x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 b c b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c Áp dụng BĐT (*) ta có : a b c ab ac bc ab ac bc 2 ab bc ac 1 1 1 2 a b c (Vì abc 1) 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà 3 nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy . (đpcm) a3 b c b3 c a c3 a b 2
31. 2 Bài 51: Cho biểu thức A b2 c2 a2 4b2c2 a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử b) Chứng minh rằng: Nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A 0 c) Lời giải a) Ta có: 2 2 A b2 c2 a2 4b2c2 b2 c2 a2 2bc b2 c2 2bc a2 b2 c2 2bc a2 b c a b c a b c a b c a b) Ta có: b c a 0 (BĐT tam giác) b c a 0 (BĐT tam giác) b c a 0 (BĐT tam giác) b c a 0 (BĐT tam giác) Vậy A 0 1 1 1 Bài 52: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c Lời giải Ta có: 1 b c 1 a a a 1 a c a b c 1 1 b b b 1 a b 1 c c c 1 1 1 a b a c b c 3 3 2 2 2 9 a b c b a c a c b 1 Dấu “=” xảy ra a b c 3 x2 y2 x y Bài 53: Cho x, y 0.Chứng minh rằng : 2 2 4 3 y x y x Lời giải x y Học sinh chứng minh 2 với mọi x, y 0 y x x y x y 2 0; 1 1 y x y x x y x y 2 1 0 y x y x x 2 y 2 x y x y 2 2 2 2. 2 0 y x y x y x x 2 y 2 x y 2 2 4 3 y x y x Dấu " "xảy ra x y 0 Bài 54: Biết a,b,clà độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2 a2 b2 c2 4a2b2 0
32. Lời giải 2 a2 b2 c2 4a2b2 a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 2ab a b 2 c2 a b 2 c2 a b c a b c a c b b c a Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh. Bài 55: Cho a,b,clà 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b c a x 0;c a b y 0;a b c z 0 y z x z x y Từ đó suy ra a ;b ;c 2 2 2 Thay vào biểu thức A ta được: y z x z x y 1 y x x z y z A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 A 2 2 2 A 3 2 Bài 56: Cho a,b,clà ba số dương thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 a3 b c b3 c a c3 a b 2 Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: a,b,c ¡ , x, y, z 0 ta có: 2 a2 b2 c2 a b c a b c (*) . Dấu " "xảy ra x y z x y z x y z 2 a2 b2 a b Thật vậy, với a,b ¡ và x, y 0 ta có: ( ) x y x y a2 y b2 x x y xy a b 2 bx ay 2 0(luon dung) a b Dấu " "xảy ra x y Áp dụng BĐT ( ) ta có: 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x y z a b c Dấu " "xảy ra x y z Ta có:
33. 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a 3 b c b 3 c a c 3 a b ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c (Vi abc 1) ab ac bc ab ac bc 2 ab ac bc 1 1 1 2 a b c 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 a2 b2 c2 3 Mà 3nên a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 57: Cho 2 số a và b thỏa mãn a 1;b 1.Chứng minh: 1 1 2 1 a2 1 b2 1 ab Lời giải 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 a 1 b 1 ab 1 a 1 ab 1 b 1 ab ab a2 ab b2 1 a2 1 ab 1 b2 1 ab a(b a)(1 b2 ) b a b 1 a2 b a a ab2 b a2b b a 2 ab 1 1 a2 1 b2 1 ab 1 a2 1 b2 1 ab 1 a2 1 b2 1 ab b a 2 ab 1 Do a 1;b 1nên 0 1 a2 1 b2 1 ab 1 1 2 1 1 2 0 1 a2 1 b2 1 ab 1 a2 1 b2 1 ab 1 1 4 Bài 58: Chứng minh rằng: a,b 0 a b a b Lời giải Xét hiệu: 1 1 4 A a b a b b a b a a b 4ab ab a b
34. 2 a2 2ab b2 a b 0 (Dấu " " xảy ra a b) ab a b ab a b 1 1 4 Vậy (dấu " " xảy ra a b) a b a b Bài 59: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . a3 b c b3 c a c3 a b 2 Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi a,b,c ¡ và x,y,z 0 ta có: 2 a2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z a b c Dấu " " xảy ra x y z Thật vậy, với a,b ¡ và x,y 0 ta có: 2 a2 b2 a b ( ) x y x y a2 y b2x x y xy(a b)2 2 bx ay 0 (luôn đúng) a b Dấu " " xảy ra x y Áp dụng bất đẳng thức * * ta có: 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x y z a b c Dấu " " xảy ra x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 b c b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng BĐT (*) ta có : 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c (Vì abc 1) ab ac bc ab ac bc 2 ab bc ac 1 1 1 2 a b c Hay 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà 3 nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2
35. 1 1 1 3 Vậy . (đpcm) a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 60: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x y z 3.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 x2 x y2 y z2 z 2 Lời giải 1 1 1 1 1 1 Đặt P x2 x y2 y z2 z x x 1 y y 1 z z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x 1 y y 1 z z 1 x y z x 1 y 1 z 1 1 1 1 9 1 1 1 1 Áp dụng BĐT và . với a,b,c dương , dấu bằng xảy ra a b c a b c a b 4 a b a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: . 1 ; . 1 ; . 1 x 1 4 x y 1 4 y z 1 4 z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Bởi vậy P . 1 1 1 x y z x 1 y 1 z 1 x y z 4 x y z 3 1 1 1 3 3 9 3 9 3 3 . . (dfcm) 4 x y z 4 4 x y z 4 4 4 2 x2 y2 x y Bài 61: Cho x,y 0.Chứng minh rằng : 2 2 4 3 y x y x Lời giải x y Học sinh chứng minh 2 với mọi x,y 0 y x x y x y 2 0; 1 1 y x y x x y x y 2 1 0 y x y x x2 y2 x y x y 2 2 2 2. 2 0 y x y x y x x2 y2 x y 2 2 4 3 y x y x Dấu " " xảy ra x y 0 Bài 62: Biết a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2 a2 b2 c2 4a2 b2 0 Lời giải 2 a2 b2 c2 4a2 b2 a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 2ab 2 2 a b c2 a b c2 a b c a b c a c b b c a
36. Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh. 1 1 2 Bài 63: Cho 2 số a và b thỏa mãn a 1; b 1. Chứng minh: 1 a2 1 b2 1 ab Lời giải 1 1 2 1 1 1 1 ab a2 ab b2 1 a2 1 b2 1 ab 1 a2 1 ab 1 b2 1 ab 1 a2 1 ab 1 b2 1 ab 2 a(b a)(1 b2 ) b a b 1 a2 b a a ab2 b a2 b b a ab 1 1 a2 1 b2 1 ab 1 a2 1 b2 1 ab 1 a2 1 b2 1 ab 2 b a ab 1 Do a 1; b 1 nên 0 1 a2 1 b2 1 ab 1 1 2 1 1 2 0 1 a2 1 b2 1 ab 1 a2 1 b2 1 ab Bài 64: Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b c a x 0;c a b y 0;a b c z 0 y z x z x y Từ đó suy ra a ; b ;c 2 2 2 Thay vào biểu thức A ta được: y z x z x y 1 y x x z y z A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 A 2 2 2 A 3 2 Bài 65: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 a3 b c b3 c a c3 a b 2 Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: a,b,c ¡ ,x,y,z 0 ta có: 2 a2 b2 c2 a b c a b c (*) . Dấu " " xảy ra x y z x y z x y z 2 a2 b2 a b Thật vậy, với a,b ¡ và x,y 0 ta có: ( ) x y x y 2 2 a2 y b2x x y xy a b bx ay 0 (luon dung) a b Dấu " " xảy ra x y 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c Áp dụng BĐT ( ) ta có: x y z x y z x y z a b c Dấu " " xảy ra x y z
37. 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 b c b3 c a c3 a b ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c (Vi abc 1) ab ac bc ab ac bc 2 ab ac bc 1 1 1 2 a b c 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 a2 b2 c2 3 Mà 3 nên a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 66: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1.Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 b c c a a b Lời giải - Nhận xét : có a bc a a b c bc a b c a Tương tự: b ca b a b c ; c ab c a c b a b a c b a b c c a c b Do đó: VT b c c a a b Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: a b a c b a b c 2 a b b c c a a b a c c a c b 2 a c b c a b b a b c c a c b 2 b c a c a b 1 Vậy 2.VT 4 a b c 4 VT 2 . Dấu “=” xảy ra a b c 3 Bài 67: Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x2 1 y2 1 xy Lời giải 1 1 2 (1) 1 x 2 1 y 2 1 xy 1 1 1 1 2 2 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy x( y x) y( x y) 0 1 x 2 1 xy 1 y 2 (1 xy) y x 2 . xy 1 0 (2) 1 x 2 1 y 2 (1 xy)
38. Vì x 1; y 1 xy 1 xy 1 0 BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu “=” xảy ra khi x y 1 1 1 Bài 68: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c Lời giải 1 b c 1 a a a 1 a c Từ a b c 1 1 b c b 1 a b 1 c c c 1 1 1 a b a c b c 3 3 2 2 2 9 a b c b a c a c b 1 Dấu “=” xảy ra a b c 3 a b b c c d a d Bài 69: Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: b c c d d a a b Lời giải Ta có: a b b c c d a b a b b c c d d a 0 b c c d d a a b b c c d d a a b a c b d c a d b 4 b c c d d a a b Xét a c b d c a d b 4 b c c d d a a b 1 1 1 1 a c b d 4 b c d a c d a b 4 4 a c . b d . 4 0 a b c d a b c d đpcm Dấu " "xảy ra khi a b c d 1 1 1 1 Bài 70: Chứng minh rằng: P 1 22 32 42 1002 Lời giải 1 1 1 1 P 22 32 42 1002 1 1 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 99 1 1 1 2 2 3 3 4 99 100 100 100 1 Bài 71: Chứng minh rằng: a2 b2 với a b 1 2 Lời giải Theo bài ra ta có: a b 1 a2 2ab b2 1 (1)
39. Mặt khác : a b 2 0 a2 2ab b2 0 (2) 1 Từ (1) và (2) suy ra: 2 a2 b2 1 a2 b2 2 Bài 72: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e) Lời giải Ta có : 2 1 1 2 2 a b 0 a b ab (1) 2 4 2 1 1 2 2 a c 0 a c ac (2) 2 4 2 1 1 2 2 a d 0 a d ad (3) 2 4 2 1 1 2 2 a e 0 a e ae (4) 2 4 Ta cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được : 1 4. a2 b2 c2 d 2 e2 ab ac ad ae 4 a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e) 2 m2 n2 m n Bài 73: a) Cho x 0, y 0 và m,n là hai số thực. Chứng minh rằng x y x y b) Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1 1 1 1 3 Chứng minh rằng: a3 b c b3 c a c3 a b 2 Lời giải a) Với x 0, y 0 và m,n ¡ ta có: 2 m2 n2 m n (1) x y x y m2 y n2 x x y xy m n 2 nx my 2 0 luôn đúng b) Áp dụng bất đẳng thức 1 ta có: 2 2 m2 n2 p2 m n p2 m n p (2) x y z x y z x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 b c b3 c a c3 a b ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c do abc 1 ab ac bc ab ac bc 2 ab bc ac 1 1 1 2 a b c 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c
40. 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà 3 nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Do đó: a3 b c b3 c a c3 a b 2 2 2 1 1 25 Bài 74: Cho a,b 0 thỏa mãn a b 1. Chứng minh a b b a 2 Lời giải a) Có: a b 2 0 a2 b2 2ab 0 a2 b2 2ab (*) Dấu đẳng thức xảy ra khi a b 2 2 1 25 1 1 25 1 Áp dụng * có: a 5 a ; b 5 b b 4 b a 4 a 2 2 1 1 25 1 1 Suy ra: a b 5 a b b a 2 b a 2 2 1 1 25 1 1 a b 5 a b b a 2 a b 2 2 1 1 25 1 1 a b 5 5 (Vi a b 1) b a 2 a b 1 1 4 Với a,b dương , chứng minh 4 (Vi a b 1) a b a b Dấu bằng xảy ra khi a b 2 2 1 1 25 Ta được: a b 5 5.4 b a 2 2 2 1 1 25 1 a b . Dấu đẳng thức xảy ra a b b a 2 2 Bài 75: Cho a3 b3 2.Chứng minh rằng a b 2 Lời giải Giả sử a b 2 a b 3 23 a3 b3 3ab a b 8 2 3ab a b 8(a3 b3 2) 3ab a b 6 ab a b 2 ab a b a3 b3 a3 b3 2 ab a b a b a2 ab b2 ab a2 ab b2 a2 2ab b2 0 a b 2 0(Vo ly ') Vậy a b 2 Bài 76: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b c a x 0;c a b y 0;a b c z 0.Ta có: x, y, z 0 y z x z x y Từ đó suy ra : a ;b ;c 2 2 2 y z x z x y 1 y x x z y z Thay vào ta được: A 2x 2y 2z 2 x y z x z y
41. 1 Từ đó suy ra A 2 2 2 A 3. Dấu “= “ xảy ra a b c 2 Bài 77: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b c a x 0; c a b y 0; a b c z 0 y z x z x y Từ đó suy ra a ;b ;c 2 2 2 Thay vào ta được: y z x z x y 1 y x x z y z A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A 2 2 2 hay A 3 a b c 2 Bài 78: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi. 1 1 1 1 1 1 CMR: 2. p a p b p c a b c Lời giải Ta có: 1 1 4 2 p a p b p a p b c 1 1 4 2 p b p c p a p c a 1 1 4 2 p c p a p c p a b Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh Bài 79: Biết a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2 a2 b2 c2 4a2b2 0 Lời giải 2 a2 b2 c2 4a2b2 a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 2ab a b 2 c2 a b 2 c2 a b c a b c a c b b c a Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh. Bài 80 : Cho biểu thức A 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4.Chứng minh rằng nếu a,b,c là 3 cạnh của một tam giác thì A 0 Lời giải A 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 4a2b2 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 2 2ab 2 a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 a b 2 c2 c2 a b 2 a b c a b c c a b c a b Do a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên
42. Bài 81: Cho bốn số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng: a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b Lời giải: Cho bốn số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng: a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b a a a b b b Vì a,b,c,d 0 ta có: 1 ; 2 a b c d a b c a c a b c d b c d b d c c c 3 ; a b c d c d a c a d d d 4 a b c d d a b d b Lấy (1), (2), (3) và (4) cộng vế theo vế, thu gọn ta được điều phải chứng minh. ( Chú ý : Dạng tương tự : Cho bốn số dương a,b,c,d . a b c d Chứng minh rằng: có giá trị không nguyên ) a b c b c d c d a d a b Bài 82: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau: x2 y2 z2 t 2 x y z t . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 4 4 3 3 b) Chứng minh rằng với x, y bất kỳ, ta có: x y xy x y Lời giải: a) Ta có: x2 y2 z2 t 2 x y z t 4x2 4y2 4z2 4t 2 4xy 4xz 4xt x2 4xy 4y2 x2 4xz 4z2 x2 4xt 4t 2 x2 0 x 2y 2 x 2z 2 x 2t 2 x2 0 ( đúng ) Dấu “=” x y z t 0 . b) Ta có: x4 y4 xy3 x3 y x3 x y y3 y x 0 x y x3 y3 0 x y x y x2 xy y2 0 2 2 1 3 2 x y x y y 0 (đúng) 2 4 Dấu “=” x y . Bài 83: a) Cmr : x 1 x 2 x 3 x 4 1 b) Cho các số dương a và b thỏa mãn điều kiện a b 1 . Cmr : 1 1 1 1 9 a b Lời giải: a) Xét hiệu : A x 1 x 2 x 3 x 4 1 = x2 5x 4 x2 5x 6 1 Đặt x2 5x 5 y . Khi đó, A y 1 y 1 1 y2 0 . Vậy, x 1 x 2 x 3 x 4 1 . Dấu « = » y 0 x2 5x 5 0 ( giải tiếp tìm x )
43. b) Ta có: 1 1 a b a b b a a b a b 1 1 1 1 2 2 5 2 5 2.2 . 9 a b a b a b b a b a ( Vì các số dương a và b thỏa mãn điều kiện a b 1 ) 1 1 1 Vây, 1 1 9 . Dấu « = » a b a b 2 Bài 84: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 c b a a) b2 c2 a2 b a c b) x8 x7 x2 x 1 0 Lời giải: a2 b2 c2 c b a a) b2 c2 a2 b a c Áp dụng BĐT x2 y2 2xy . Dấu “=” x y . 2 2 a2 b2 a b a b a Ta có: 2 2 2 . 2. 1 b c b c b c c b2 c2 b c2 a2 c Tương tự, 2. 2 và 2. 3 c2 a2 a a2 b2 b Lấy (1), (2) và (3) cộng vế theo vế ta được đpcm. Dấu “=” a b c 0 . b) Đặt A x8 x7 x2 x 1 x 1 x7 x 1 x2 x 1 x7 1 x2 + Nếu x 1 thì x7 1 , do đó x 1 x7 1 0 , còn x2 0 nên A 0 + Nếu x 1 thì x7 1 , do đó x 1 x7 1 0 , còn x2 0 nên A 0 Vậy, A x8 x7 x2 x 1 0 với mọi x . 3 Bài 85: Cmr: a) a2 b2 c2 a b c 4 b) a4 b4 2 4ab Lời giải: 2 2 2 3 2 1 2 1 2 1 a) a b c a b c a a b b c c 0 4 4 4 4 2 2 2 1 1 1 a b c 0 ( Đúng ) 2 2 2 1 Dấu “=” a b c 2 b) a4 b4 2 4ab a4 2a2b2 b4 2a2b2 4ab 2 0 2 a2 b2 2 ab 1 2 0 Dấu “=” a b 1 hoặc a b 1 Bài 86: Chứng minh rằng: a) x3 4x 1 3x2 với x 0 ; b) x 1 x 3 x 4 x 6 9 0 ; c) a2 4b2 4c2 4ab 4ac 8bc Lời giải:
44. Chứng minh rằng: a) x3 4x 1 3x2 với x 0 2 x x 2 x2 1 0 với x 0 ( Đúng ) b) Xét x 1 x 3 x 4 x 6 9 x2 7x 6 x2 7x 12 9 Đặt x2 7x 9 a . Khi đó, ta có: a 3 a 3 9 a2 0 Vậy, x 1 x 3 x 4 x 6 9 0 (đpcm) c) a2 4b2 4c2 4ab 4ac 8bc a2 4ab 4b2 4c2 4ac 8bc 0 a 2b 2 2. a 2b . 2c 2c 2 0 a 2b 2c 2 0 ( Đúng ) Bài 87: Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta luôn có bất đẳng thức sau: a2 b2 a b 2 2 4 3 b a b a Lời giải: 2 2 a2 b2 a b a b a b a b Ta có: 2 2 4 3 2 2 1 1 0 b a b a b a b a b a 2 2 a b a b 2 a b a b a b 2 1 1 0 1 1 0 b a b a b a b a b a a b a b a2 b2 ab a2 b2 2ab 1 2 0 . 0 b a b a ab ab 2 1 3 2 2 a b b . a b 2 4 0 ( Đúng ) ab 2 Dấu “ =” a b 0 . a2 b2 a b Vậy, 2 2 4 3 với a,b 0 . Dấu “ =” a b 0 . b a b a x y 2 Bài 88: Chứng minh BĐT: x2 y2 2 Lời giải: x y 2 Chứng minh BĐT: x2 y2 2 x y 2 Ta có: x2 y2 2 x2 y2 x2 2xy y2 2 x2 2xy y2 0 x y 2 0 ( đúng ) x y 2 Vậy, x2 y2 . Dấu “=” x y . 2 a2 Bài 89: a) Chứng minh: b2 c2 ab ac 2bc 4 b) Chứng minh: a4 b4 c4 abc a b c 1 1 1 1 c) Chứng minh: với n N, n 1 . 5 13 n2 n 1 2 2
45. 1 1 1 1 d) Chứng minh: với n N, n 1 9 25 2n 1 2 4 a2 b2 a b e) Cho a và b cùng dấu. Chứng minh: 2 2 0 b a b a Lời giải: a2 a) Chứng minh: b2 c2 ab ac 2bc 4 a2 a2 Ta có: b2 c2 ab ac 2bc b2 c2 ab ac 2bc 0 4 4 2 2 a 2 2 a 1 2 ab ac b c 2bc 0 2. a b c b c 0 4 2 2 2 a b c 0 ( Đúng ) 2 a2 a Vậy, b2 c2 ab ac 2bc . Dấu “=” b c 0 . 4 2 b) Chứng minh: a4 b4 c4 abc a b c * Cách 1: Dùng biến đổi tương đương. Ta có: a4 b4 c4 abc a b c a4 b4 c4 a2bc ab2c abc2 0 a4 b4 2a2b2 b4 c4 2b2c2 c4 a4 2c2a2 a2b2 b2c2 2ab2c b2c2 c2a2 2abc2 c2a2 a2b2 2a2bc 0 2 2 2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 ab bc 2 bc ca 2 ca ab 2 0 ( Đúng ) Vậy, a4 b4 c4 abc a b c . Dấu “=” a b c . * Cách 2: Dùng BĐT phụ: x2 y2 z2 xy yz zx . Dấu “=” x y z . 2 2 2 Ta có: a4 b4 c4 a2 b2 c2 ab 2 bc 2 ca 2 ab . bc bc . ca ca . ab abc a b c Vậy, a4 b4 c4 abc a b c . Dấu “=” a b c . 1 1 1 1 c) Chứng minh: với n N, n 1 . 5 13 n2 n 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Với k N,k 1 ta có: 2 2 2 . . k 2 k 1 2k 2k 1 2k 2k 2 k k 1 2 k k 1 1 1 1 1 1 1 Do đó, 5 13 n2 n 1 2 12 22 22 32 n2 n 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 1 2 2 2 3 2 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .1 2 1 2 2 3 n n 1 2 n 1 2 2
46. 1 1 1 1 Vậy, với n N, n 1 5 13 n2 n 1 2 2 1 1 1 1 d) Chứng minh: với n N, n 1 9 25 2n 1 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 Với k N,k 1 ta có: 2 2 2 . . 2k 1 4k 4k 1 4k 4k 4 k k 1 4 k k 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: 9 25 2n 1 2 2.1 1 2 2.2 1 2 2n 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . 4 1 2 4 2 3 4 n n 1 4 1 2 2 3 n n 1 1 1 1 1 . 1 .1 4 n 1 4 4 1 1 1 1 Vậy, với n N, n 1 . 9 25 2n 1 2 4 a2 b2 a b e) Cho a và b cùng dấu. Chứng minh: 2 2 0 b a b a 2 2 a2 b2 a b a a b b a b Ta có: 2 2 2 1 2 1 2 b a b a b b a a b a 2 2 a b a b 1 1 2 b a b a 2 2 a b a b 1 1 2 2 0 ( Vì c/m được 2 với a, b a b a b cùng dấu) Dấu “=” a b 0 a2 b2 a b Vậy, 2 2 0 với a và b cùng dấu. Dấu “=” a b 0 b a b a Bài 90: Cho ba số dương a,b,c 1 1 1 a) Chứng minh rằng:; a b c 9 a b c a b c 3 b) Chứng minh rằng: b c c a a b 2 Lời giải: Cho ba số dương a,b,c 1 1 1 a) Chứng minh rằng: a b c 9 ( HS tự giải ) a b c a b c 3 b) Chứng minh rằng: b c c a a b 2 a b c 3 * Cách 1: Ta có: b c c a a b 2 a b c 3 1 1 1 1 1 1 b c c a a b 2 a b c a b c a b c 9 b c c a a b 2
47. 1 1 1 2 a b c 9 a b b c c a 1 1 1 a b b c c a 9 ( Đúng) ( theo a b b c c a câu a) Dấu “ =” a b c 0 . a b c 3 KL: . Dấu “ =” a b c 0 . b c c a a b 2 * Cách 2: Đặt x b c, y c a, z a b với x, y, z 0 . x y z x y z x y z Suy ra a ,b ,c 2 2 2 a b c x y z x y z x y z Do đó, b c c a a b 2x 2y 2z 1 y z x z x y 1 x y x z y z 1 1 1 3 2 2 2 2 x x y y z z 2 y x x x z y 2 2 2 1 x y z x y z 1 3 3 .3 2 xy zx yz 2 2 Dấu “=” x y z a b c 0 . Bài 91: Cho a b c 0 , chứng minh: P a3 b3 c3 3abc 0 . Lời giải: Cho a b c 0 , chứng minh: P a3 b3 c3 3abc 0 . 1 2 2 2 Ta có: P a3 b3 c3 3abc a b c a b b c c a 2 2 2 2 Vì a b c 0 và a b b c c a 0 nên P a3 b3 c3 3abc 0 . Dấu “=” a b c 0 Vậy, P a3 b3 c3 3abc 0 với a b c 0 . Dấu “=” a b c 0 . Bài 92: Chứng minh các bất đẳng thức sau : 2 a b c d a) a c b d ; b) ab bc ca 0 khi a b c 0 . 2 2 Lời giải: 2 a b c d a) a c b d 2 2 2 Áp dụng BĐT x y 4xy . Dấu “=” x y 2 a b c d a b c d Ta có: 4 . a c b d 2 2 2 2 Dấu “=” a b c d b) ab bc ca 0 khi a b c 0 . Ta có : a b c 0 a b c 2 0 a2 b2 c2 2 ab bc ca 0 ab bc ca 0 Dấu “=” a b c 0 Bài 93: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác
48. a) Chứng minh rằng: ab bc ca a2 b2 c2 2 ab bc ca b) Chứng minh rằng: a b c 2 3 ab bc ca thì tam giác đó là tam giác đều. Lời giải: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác a) Chứng minh rằng: ab bc ca a2 b2 c2 2 ab bc ca +Ta có: ab bc ca a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 2a2 2b2 2c2 a2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ca a2 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 ( Đúng ) Dấu “=” a b c tam giác đó là tam giác đều. 2 a b c a ab ac 2 2 2 2 + Theo BĐT tam giác ta có: b c a b bc ba a b c 2 ab bc ca c a b 2 c ca cb Vậy, ab bc ca a2 b2 c2 2 ab bc ca với a,b,c là ba cạnh của một tam giác. b) Chứng minh rằng: a b c 2 3 ab bc ca thì tam giác đó là tam giác đều. 2 1 2 2 2 Xét hiệu a b c 3 ab bc ca a b b c c a 2 2 1 2 2 2 Suy ra a b c 3 ab bc ca a b b c c a 0 a b c 2 Vậy, a b c 2 3 ab bc ca thì tam giác đó là tam giác đều. Bài 94: Cho x y 2 . Chứng minh rằng: x2017 y2017 x2018 y2018 . Lời giải: Cho x y 2 . Chứng minh rằng: x2017 y2017 x2018 y2018 . Xét hiệu: x2018 y2018 x2017 y2017 x2017 x 1 y2017 y 1 x2017 1 y y2017 y 1 ( vì x y 2 nênx 1 1 y ) Do đó x2018 y2018 x2017 y2017 1 y x2017 y2017 Giả sử x y x 1 y và x2017 y2017 , do đó 1 y x2017 y2017 0 (đpcm) Tương tự, x y x 1 y và x2017 y2017 , do đó 1 y x2017 y2017 0 (đpcm) Dấu " " x y 1 1 1 1 1 2 Bài 95: a) Chứng minh: Hvới n N, n 2 22 32 42 n2 3 1 1 1 1 1 b) Chứng minh: K với n N, n 3 33 43 53 n3 12 Lời giải: 1 1 1 1 2 a) Chứng minh: Hvới n N, n 2 22 32 42 n2 3 1 1 1 1 1 Ta có: 2 2 2 với n N, n 2 . n 4n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 Do đó, H 2 2 2 2 2 2 . 2 3 4 n 3 5 5 7 2n 1 2n 1 3 2n 1 3
49. 1 1 1 1 2 Vậy, Hvới n N, n 2 22 32 42 n2 3 1 1 1 1 1 b) Chứng minh: K với n N, n 3 33 43 53 n3 12 1 1 1 1 n 1 n 1 1 1 1 Ta có: . . 3 3 n n n n 1 n n 1 2 n 1 n n 1 2 n 1 n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Do đó, K 3 3 3 3 3 4 5 n 2 2.3 3.4 3.4 4.5 n 1 n n n 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2.3 n n 1 2 2.3 12 1 1 1 1 1 Vậy, K với n N, n 3 33 43 53 n3 12 Bài 96: Cho ba số x, y, z. a) Chứng minh x2 y2 z2 xy yz zx ; x y z b) Khi 673 . Chứng minh xy yz zx 2019 . 3 Lời giải: Hay xy yz zx 2019 . Cho ba số x, y, z. a) Chứng minh x2 y2 z2 xy yz zx Ta có x2 y2 z2 xy yz zx 1 x2 y2 z2 xy yz zx 0 2x2 2y2 2z2 2xy 2yz 2zx 0 x y 2 y z 2 z x 2 0 . Các bước biến đổi tương đương mà bất dẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức đầu đúng. x y z b) Khi 673 . Chứng minh xy yz zx 2019 . 3 x y z 2 Ta có 673 x y z 3.2019 3 x2 y2 z2 2 xy yz zx 3.2019 2 Kết hợp và1 ta2 có : 3 xy yz zx 3.2019 2 2 1 1 25 Bài 97: Cho a,b 0 thỏa mãn a b 1.Chứng minh a b b a 2 Lời giải: Có: a b 2 0 a2 b2 2ab 0 a2 b2 2ab (*) Dấu đẳng thức xảy ra khi a b 2 2 1 25 1 1 25 1 Áp dụng * có: a 5 a ; b 5 b b 4 b a 4 a 2 2 1 1 25 1 1 Suy ra: a b 5 a b b a 2 b a
50. 2 2 1 1 25 1 1 a b 5 a b b a 2 a b 2 2 1 1 25 1 1 a b 5 5 (Vi a b 1) b a 2 a b 1 1 4 Với a,bdương , chứng minh 4 (Vi a b 1) a b a b Dấu bằng xảy ra khi a b 2 2 1 1 25 Ta được: a b 5 5.4 b a 2 2 2 1 1 25 1 a b . Dấu đẳng thức xảy ra a b b a 2 2 Bài 98: Với a,b,c 0 . Hãy chứng minh các BĐT: ab bc ab bc ca a) 2b ; b) a b c ; c a c a b a3 b3 b3 c3 c3 a3 c) a b c . 2ab 2bc 2ca Lời giải Với a,b,c 0 . Hãy chứng minh các BĐT: ab bc a) 2b c a ab bc Với a 0,b 0,c 0 nên 0, 0 c a ab bc ab bc ab bc Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương và ta được 2 . 2 b2 2b c a c a c a Dấu “=” a c 0 ab bc Vậy, 2b với a,b,c 0 . Dấu “=” a c 0 . c a ab bc ca b) a b c c a b ab bc 2b c a ab ac ab bc ca Áp dụng kết quả câu a, ta có: 2a a b c c b c a b bc ca 2c a b Dấu “=” a b c 0 . ab bc ca Vậy, a b c . Dấu “=” a b c 0 . c a b a3 b3 b3 c3 c3 a3 c) a b c . 2ab 2bc 2ca a3 b3 b3 c3 c3 a3 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Ta có 2ab 2bc 2ca 2b 2a 2c 2b 2a 2c
51. a2 c2 a2c2 ac 2 2 2b 2b 4b b b2 c2 bc Áp dụng kết quả câu a, ta có: 2a 2a c a2 b2 ab 2c 2c c a3 b3 b3 c3 c3 a3 ab bc ca a b c 2ab 2bc 2ca c a b Dấu “=” a b c 0 . a3 b3 b3 c3 c3 a3 Vậy, a b c . Dấu “=” a b c 0 . 2ab 2bc 2ca Bài 99: a) Cho a2 b2 2 . Chứng minh rằng: a b 2 . b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh: 4a a b a 1 a b 1 b2 0 c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh: abc b c a a c b a b c Lời giải a) Cho a2 b2 2 . Chứng minh rằng: a b 2 . Ta có a2 b2 2 mà 2ab a2 b2 2 Do đó a2 b2 2ab 2 2 a b 2 4 a b 2 2 a b 2 . Vậy, nếu a2 b2 2 thì a b 2 . b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh: 4a a b a 1 a b 1 b2 0 Đặt B 4a a b a 1 a b 1 b2 4 a2 ab a a2 ab a b b2 Đặt m a2 ab a , ta có: B 4m. m b b2 4m2 4mb b2 2m b 2 0 Vậy, 4a a b a 1 a b 1 b2 0 . Dấu “=” 2m b 0 2 a2 ab a b 0 . c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh: abc b c a a c b a b c . Đặt b c a x 0, a c b y 0,a b c z 0 thì xyz 0 và x y 2a, y z 2b, z x 2c C/m BĐT phụ: x y y z z x 8xyz với x, y, z 0 . Thật vậy, ta có x y 2 4xy, y z 2 4yz, z x 2 4zx 2 2 2 2 2 2 2 2 Suy ra x y y z z x 64x y z x y y z z x 8xyz x y y z z x 8xyz ( cả hai vế đều không âm) Do đó, x y y z z x 8xyz với x, y, z 0 . Dấu “=” x y z 0 Áp dụng BĐT trên, ta có 2a . 2b . 2c 8 b c a a c b a b c abc b c a a c b a b c Vậy, abc b c a a c b a b c . Dấu “=” a b c tam giác đã cho đều.
52. Bài 100: 2 2 1 1 25 Cho a,b 0 thỏa mãn a b 1.Chứng minh a b b a 2 Lời giải 2 Có: a b 0 a2 b2 2ab 0 a2 b2 2ab (*) Dấu đẳng thức xảy ra khi a b 2 2 1 25 1 1 25 1 Áp dụng * có: a 5 a ; b 5 b b 4 b a 4 a 2 2 1 1 25 1 1 Suy ra: a b 5 a b b a 2 b a 2 2 1 1 25 1 1 a b 5 a b b a 2 a b 2 2 1 1 25 1 1 a b 5 5 (Vi a b 1) b a 2 a b 1 1 4 Với a,b dương , chứng minh 4 (Vi a b 1) a b a b Dấu bằng xảy ra khi a b 2 2 1 1 25 Ta được: a b 5 5.4 b a 2 2 2 1 1 25 1 a b . Dấu đẳng thức xảy ra a b b a 2 2 Bài 101: Cho các số a,b,c thỏa mãn 1 a,b,c 0.Chứng minh rằng: a b2 c3 ab bc ca 1 Lời giải 2 3 Vì b,c 0;1 nên suy ra b b;c c Do đó : a b2 c3 ab bc ca a b c ab bc ca (1) Lại có: a b c ab bc ca a 1 b 1 c 1 abc 1 (2) Vì a,b,c 0;1 nên a 1 b 1 c 1 0; abc 0 Do đó từ 2 a b c ab bc ca 1 3 Từ (1) và (3) suy ra a b2 c3 ab bc ca 1 Bài 102: Cho a3 b3 2.Chứng minh rằng a b 2 Lời giải 3 Giả sử a b 2 a b 23 a3 b3 3ab a b 8 2 3ab a b 8(a3 b3 2) 3ab a b 6 ab a b 2 ab a b a3 b3 a3 b3 2 ab a b a b a2 ab b2 2 ab a2 ab b2 a2 2ab b2 0 a b 0(Vo ly') Vậy a b 2 Bài 103:
53. Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b c a x 0;c a b y 0;a b c z 0. Ta có: x,y,z 0 y z x z x y Từ đó suy ra : a ; b ;c 2 2 2 y z x z x y 1 y x x z y z Thay vào ta được: A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A 2 2 2 A 3 . Dấu “= “ xảy ra a b c 2 Bài 104: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 b c c a a b Lời giải - Nhận xét : có a bc a a b c bc a b c a Tương tự: b ca b a b c ; c ab c a c b a b a c b a b c c a c b Do đó: VT b c c a a b Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: a b a c b a b c 2 a b b c c a a b a c c a c b 2 a c b c a b b a b c c a c b 2 b c a c a b 1 Vậy 2.VT 4 a b c 4 VT 2 . Dấu “=” xảy ra a b c 3 Bài 105: Cho a,b thỏa mãn a2 b2 8.Chứng minh 4 a b 4 Lời giải Ta có: 2 a b 0 a2 b2 2ab mà a2 b2 8 nên 2ab 8 2 a b a2 b2 2ab 8 8 16 2 a b 16 0 a b 4 a b 4 0 4 a b 4(dfcm) 1 1 1 Bài 106: CMR với a,b,c là các số dương, ta có: a b c 9 a b c Lời giải
54. 1 1 1 a a b b c c A a b c 1 1 1 a b c b c a c a b a b a c c b 3 b a c a b c x y Mà 2 (BĐT Cô si) y x Do đó: A 3 2 2 2 9 . Vậy A 9 Bài 107: Cho biểu thức A 2a2 b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 .Chứng minh rằng nếu a,b,c là 3 cạnh của một tam giác thì A 0 Lời giải A 2a2 b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 4a2 b2 2a2 b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 2 2 2ab a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 2 2 a b c2 c2 a b a b c a b c c a b c a b Do a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên a b c 0;a b c 0;c a b 0;c a b 0 A 0 1 1 1 Bài 108: CMR với a,b,c là các số dương, ta có: a b c 9 a b c Lời giải Ta có: 1 1 1 a a b b c c A a b c 1 1 1 a b c b c a c a b a b a c c b 3 b a c a b c x y Mà 2 (BĐT Cô si) y x Do đó: A 3 2 2 2 9 . Vậy A 9 Bài 109: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác a b c Chứng minh rằng A 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b c a x 0 ;c a b y 0 ; a b c z 0 y z x z x y Từ đó suy ra a ; b ; c 2 2 2 y z x z x y 1 y x x z y z Thay vào ta được A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A . 2 2 2 hay A 3 2 1 1 1 1 1 1 Bài 110: Chứng minh rằng a b c a b c , trong đó a, b, c b c a a b c là các số thực không nhỏ hơn 1.
55. Lời giải 1 1 1 1 1 1 a b c a b c b c a a b c ab 1 bc 1 ca 1 a2 1 b2 1 c2 1 abc abc ab 1 bc 1 ca 1 a2 1 b2 1 c2 1 a2b2c2 abc a b c ab bc ca a2b2c2 a2 b2 c2 a2b2 b2c2 c2a2 2 a2b2 b2c2 c2a2 2abc a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca ab bc 2 bc ca 2 ca ab 2 a b 2 b c 2 c a 2 2 2 2 2 2 2 a c . b 1 b a . c 1 c b . a 1 0 (đúng với mọi a,b,c 1) Bài 111: Chứng minh a 2 b2 c2 2 ab bc ca với mọi số thực a, b, c. Lời giải Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có: 0 a b c a2 ab ca ; 0 b c a b2 bc ab 0 c a b c2 ca bc Do đó, suy ra: a2 b2 c2 2(ab bc ca) a 3c a 3b 2a Bài 112: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 5. a b a c b c Đẳng thức xảy ra khi nào? Lời giải a c a b a b c VT 2 a b a c b c a c a b a c a b Áp dụng bđt côsi ta có: 2 a b a c a b c 1 1 1 9 3 (a b c) 3 (a b c) 3 b c a c a b b c a c a b 2.(a b c) 2 a 3c a 3b 2a 3 2 2. 5 . Đẳng thức xảy ra khi a = b = c a b a c b c 2 Bài 113: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c abc . Chứng minh rằng 1 1 1 a b c 3 a b c Lời giải 1 1 1 bc ac ab a b c 3 a b c 3 a b c abc bc ac ab 2 a b c 3 a b c 3 bc ac ab a b c a2 b2 c2 bc ac ab 2 a2 b2 c2 2 bc ac ab a b 2 b c 2 c a 2 0 Bài 114: Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng 1 1 25 (a )(b ) . a b 4
56. Đẳng thức xảy ra khi nào? Lời giải 1 a b 25 P (ab ) ( ) (*) ab b a 4 2 1 Vì a b 4ab, a b 1, ab  0 4 ab 1 a b 1 a b 15 1 15 25 Mà P (ab ) ( ) = (ab ) ( ) 2 .4 (Theo BĐT ab b a 16ab b a 16ab 2 16 4 Cauchy) nên BĐT (*) đúng do đó bđt được CM. 1 Đẳng thức xảy ra khi a b . 2 Bài 115: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. Chứng 1 1 1 1 1 1 minh: 2 p a p b p c a b c Lời giải 2 x y 4 1 1 4 Ta có: x y 4xy ( x, y >0) xy x y x y x y Áp dụng kết quả này ta được: 1 1 4 4 4 p a p b p a p b 2 p a b c 1 1 4 1 1 4 Tương tự ta có: ; p b p c a p c p a b Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, thu gọn ta được: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c hay tam giác đã cho là đều. Bài 116: Cho a, b, c là các số dương . Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 a b c + + b c c a a b 2 Lời giải 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số a , b c không âm ta có : b c 4 a2 b c a2 b c a + 2 . = 2 . = a b c 4 b c 4 2 a2 b c Suy ra a - b c 4 b2 a c Tương tự b - c a 4 c2 a b c - a b 4 Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được: a2 b2 c2 a b c a b c + + ( a + b + c ) - = b c c a a b 2 2 a2 b2 c2 a b c Vậy + + (đpcm) b c c a a b 2
57. x y x2 y2 Bài 117: Cho x > y > 0. Chứng minh: x y x2 y2 Lời giải Với x > 0; y > 0. Ta có x + y 0 Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức ta có: x y (x y)(x y) x y (x y)2 x2 y2 (1) x2 2xy y2 Mặt khác : x > 0 ; y > 0 nên x2 + 2xy + y2 > x2 + y2 x2 y2 x2 y2 (2) x2 2xy y2 x2 y2 x y x2 y2 Từ (1) và (2) ta có: (đpcm). x y x2 y2 Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 0 với mọi a, b, c. Lời giải A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 = 4 (a + b) (a + c) a (a + b + c) + b2c2 = 4(a2 + ab + ac + bc)(a2 + ab + ac) + b2c2 Đặt a2 + ab + ac = m, ta có: A = 4(m + bc)m + b2c2 = 4m2 + 4mbc + b2c2 =( 2m + bc)2 = (2 a2 + 2 ab + 2ac + bc)2 0 với mọi a,b,c (đpcm) 1 1 1 Bài 119: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1.Chứng minh rằng 9 a b c Lời giải 1 b c 1 a a a 1 a c Từ a b c 1 1 b b b 1 a b 1 c c c 1 1 1 a b a c b c 3 a b c b a c a c b 3 2 2 2 9 1 Dấu " "xảy ra a b c 3 Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3. a b c 3 Chứng minh rằng: . 1 b2 1 c2 1 a2 2 Lời giải a ab2 ab2 ab Do a, b > 0 và 1 + b2 ≥ 2b với mọi b nên a a a . 1 b2 1 b2 2b 2 b bc c ca Tương tự ta có : b ; c 1 c2 2 1 a2 2 a b c ab bc ca mà a + b + c = 3 nên 3 (1) 1 b2 1 c2 1 a2 2
58. Cũng từ a + b + c = 3 (a + b + c)2 = 9 a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 9 mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy ra 3(ab + bc + ca) 9 ab + bc + ca 3 (2). a b c 3 3 Từ (1) và (2) suy ra 3 đpcm. 1 b2 1 c2 1 a2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Bài 121: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + + ≥ a3(b + c) b3(c + a) c3(a + b) 2 Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với mọi a,b,c ∈ R và x,y,z > 0ta có: a2 b2 c2 (a + b + c)2 + + ≥ ( ∗ ) x y z x + y + z a b c Dấu “=”xảy ra x = y = z Thật vậy, với a,b ∈ Rvà x,y > 0ta có: a2 b2 (a + b)2 + ≥ ( ∗∗ ) x y x + y a2y + b2x (x + y) ≥ xy(a + b)2 (bx ― ay)2 ≥ 0( luôn đúng) a b Dấu “=” xảy ra x = y Áp dụng bất đẳng thức ( ) ta có: a2 b2 c2 (a + b)2 c2 (a + b + c)2 + + ≥ + ≥ x y z x + y z x + y + z a b c Dấu “=” xảy ra x = y = z Ta có: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 + + = a + b + c a3(b + c) b3(c + a) c3(a + b) ab + ac bc + ab ac + bc Áp dụng BĐT (*) ta có : 2 1 1 1 2 1 1 1 1 + 1 + 1 + + a2 b2 c2 a b c a b c + + ≥ = 1 1 1 (Vì abc = 1) ab + ac bc + ab ac + bc 2(ab + bc + ac) 2 + + a b c Hay 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 a + b + c ≥ + + ab + ac bc + ab ac + bc 2 a b c 1 1 1 Mà a + b + c ≥ 3 nên : 1 1 1 2 2 2 3 a + b + c ≥ ab + ac bc + ab ac + bc 2 1 1 1 3 Vậy a3(b + c) + b3(c + a) + c3(a + b) ≥ 2 Bài 122: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + + ≥ x2 + x y2 + y z2 + z 2 Lời giải
59. Đặt 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P = + + = + + = ― + ― + x2 + x y2 + y z2 + z x(x + 1) y(y + 1) z(z + 1) x x + 1 y y + 1 z 1 1 1 1 1 1 1 ― = + + ― + + z + 1 x y z x + 1 y + 1 z + 1 Áp dụng BĐT : 1 1 1 9 1 1 + + ≥ và ≤ 1 + 1 với a,b,c dương; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a a b c a + b + c a + b 4 a b = b = c 1 1 1 1 1 1 Ta có: ≤ 1 + 1 ; ≤ 1 + 1 ; ≤ 1 + 1 x + 1 4 x y + 1 4 y z + 1 4 z 1 Bởi vậy P = 1 + 1 + 1 ― 1 + 1 + 1 ≥ 1 + 1 + 1 ― 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 x y z x + 1 y + 1 z + 1 x y z 4 x y z 3 3 3 9 3 9 3 3 = 1 + 1 + 1 ― ≥ . ― = ― = (đpcm) 4 x y z 4 4 x + y + z 4 4 4 2 x y 4 Bài 123: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z 6 . Chứng minh rằng xyz 9 Lời giải Ta có: x y 2 4xy (1) 2 x y z 4(x y)z 36 4(x y)z (vì x y z 6 ) 36(x y) 4(x y)2 z (vì x, y dương nên x + y dương) (2) Từ (1) và (2), ta có: 36(x y) 16xyz 4 x y 4 x y xyz (đpcm) 9 xyz 9 Bài 124: Cho a,b,c 0 . Chứng minh rằng a b c 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 3a 2b c 3b 2c a 3c 2a b 6 a b c Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM với a,b,c 0 ta có 18a 18a 18a 18a 2 2 2 2 2 2 2 3a 2b c 2 a b a c 2.2 ab 2 2 ac 2 4ab 2ac 18a 18a 18a 9 3a2 2b2 c2 4ab 2ac 2a. 2b c 2b c 2 a2 b2 a b Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz . x y x y 2 2 1 22 12 2 1 Ta có: 2b c 2b c b c 2 18a 9 2 1 2 1 Suy ra : 3a2 2b2 c2 2b c 2b c b c Tương tự: 2 18b 9 2 1 2 1 3b2 2c2 a2 2c a 2c a c a 2 18c 9 2 1 2 1 3c2 2a2 b2 2a b 2a b a b
60. Cộng vế với vế các BĐT trên ta có: 18a 18b 18c 2 1 2 1 2 1 3a2 2b2 c2 3b2 2c2 a2 3c2 2a2 b2 c a b c a b a b c 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 :18 . DPCM 3a 2b c 3b 2c a 3c 2a b a b c 6 a b c Bài 125: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức: a b b c c a 1 1 1 bc a2 ac b2 ab c2 a b c Lời giải Ký hiệu vế trái là A, vế phải là B, xét hiệu A B a b 1 b c 1 c a 1 bc a2 a ac b2 b ab c2 c a2 ab bc a2 b2 bc ac b2 c2 ac ab c2 a bc a2 b ac b2 c ab c2 b a c c b a a c b a bc a2 b ac b2 c ab c2 Do a,b,c bình đẳng nên giả sử a b c, khi đó b a c 0,c b a 0 , a c b 0 b a c b a c a3 b3 c3 abc a3 abc b3 abc c3 a bc a2 b ac b2 b a c c b a a c b ab ac ac ab A B b ac b2 b ac b2 c ab c2 b ac b2 c ab c2 a b c a b c b ac b2 c ab c2 1 1 Mà nên A B 0 đpcm b ac b2 c ab c2 Bài 126: Cho a,b,c là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn a b c 3 Chứng minh rằng a2 b2 c2 5 Lời giải Từ giả thiết ta có: 2 a 2 b 2 c 0 8 2 ab bc ca 4 a b c abc 0 Cộng hai vế với a2 b2 c2 , sau đó thu gọn ta được: a b c 2 a2 b2 c2 abc 4 a2 b2 c2 abc 5 Mà abc 0 nên a2 b2 c2 5 Dấu bằng xảy ra khi trong ba số a,b,c có một số bằng 0, một số bằng 2, một số bằng 1. 1 1 1 1 1 1 Bài 127: Chứng minh rằng: a b c a b c , trong đó b c a a b c a,b,c là các số thực không nhỏ hơn 1 Lời giải
61. 1 1 1 1 1 1 c) a b c a b c b c a a b c ab 1 bc 1 ca 1 a2 1 b2 1 c2 1 abc abc ab 1 bc 1 ca 1 a2 1 b2 1 c2 1 a2b2c2 abc a b c ab bc ca a2b2c2 a2 b2 c2 a2b2 b2c2 c2a2 2 a2b2 b2c2 c2a2 2abc a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca ab bc 2 bc ca 2 ca ab 2 a b 2 b c 2 c a 2 2 2 2 a c b2 1 b a c2 1 c b a2 1 0(đúng với mọi a,b,c 1) Bài 128: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b c a x 0;c a b y 0;a b c z 0 y z x z x y từ đó suy ra a ;b ;c ; 2 2 2 y z x z x y 1 y x x z y z Thay vào ta được: A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A 2 2 2 hay A 3 2 1 1 1 1 Bài 129: Chứng minh rằng: P 1 22 32 42 1002 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 P 2 2 3 2 4 2 100 2 1 1 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 99 1 1 1 2 2 3 3 4 99 100 100 100 bc ac ab Bài 130: Chứng minh a b c với mọi số dương a,b,c. a b c Lời giải Với mọi số dương a,b,c ta có: 2 2 2 bc ac ab bc ac ab a b c a b c a b c abc abc abc bc 2 ac 2 ab 2 a2bc b2ac c2ab 2 bc 2 2 ac 2 2 ab 2 2a2bc 2b2ac 2c2ab 0 ac 2 2a2bc ab 2 bc 2 2b2ac ab 2 ac 2 2c2ab bc 2 0 ac ab 2 bc ab 2 ac bc 2 0 BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.
62. Bài 131: Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : a b c A 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b c a x 0;c a b y 0;a b c z 0 y z x z x y Từ đó suy ra a ;b ;c 2 2 2 y z x z x y 1 y x x z y z Thay vào ta được: A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A 2 2 2 hay A 3 2 Bài 132: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1.Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 b c c a a b Lời giải Nhận xét có: a bc a a b c bc a b c a Tương tự có: b ca b a b c ;c ab c a c b a b a c b a b c c a c b Do đó VT b c c a a b Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: a b a c b a b c 2 a b b c c a a b a c c a c b 2 a c b c a b b a b c c a c b 2 b c a c a b Vậy 2.VT 4 a b c 4 hay VT 2 1 Đẳng thức xảy ra khi a b c 3 x2 y2 x y Bài 133: Cho x, y 0.Chứng minh rằng : 2 2 4 3 y x y x Lời giải x y Học sinh chứng minh 2 với mọi x, y 0 y x x y x y 2 0; 1 1 y x y x x y x y 2 1 0 y x y x x2 y2 x y x y 2 2 2 2. 2 0 y x y x y x x2 y2 x y 2 2 4 3 y x y x Dấu " "xảy ra x y 0
63. Bài 134: Biết a,b,clà độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2 a2 b2 c2 4a2b2 0 Lời giải 2 a2 b2 c2 4a2b2 a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 2ab a b 2 c2 a b 2 c2 a b c a b c a c b b c a Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh. Bài 135: Cho a,b,clà các số dương. 1 1 1 27 Chứng minh: a a b b b c c(c a) 2(a b c)2 Lời giải Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương ta được: 1 1 1 3 (*) a(a b) b(b c) c(c a) 3 abc a b b c c a Cũng theo BĐT Cô si : 0 33 abc a b c 3 1 và 0 33. a b b c c a 8 a b c 3 (2) Nhân tương ứng hai vế các BĐT (1) và (2) được: 36 abc a b b c c a 8 a b c 6 3 27 Hay 3 abc(a b)(b c)(c a) 2 a b c 2 1 1 1 27 Từ * và suy ra a(a b) b(b c) c(c a) 2 a b c 2 Dấu " "xảy ra khi và chỉ khi a b c Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức: a b c 3 với a b c 0 a b b c c a 2 Lời giải Gọi vế trái là A,ta có:
64. 3 a 1 b 1 c 1 A 2 a b 2 b c 2 c a 2 a b b c c a 2 a b 2 b c 2 c a a b b a a c c a 2 a b 2 b c 2 c a a b 1 1 a c 1 1 . . 2 a b b c 2 b c c a a b c a a c a b . . 2 a b b c 2 b c . c a a b a c 1 1 . 2 b c a b c a a b a c b c 0(Do a b c 0) 2 b c a b c a 3 Vậy A 2 1 Bài 137: Cho a b 1. Chứng minh a2 b2 2 Lời giải Từ a b 1 a 1 b a2 1 2b b2 , thay vào đẳng thức cần chứng minh ta có: 1 1 2b 2b2 2 2 1 4b2 4b 1 0 2b 1 0.BĐT này luôn đúng . Vậy a2 b2 2 1 a 2 2 Dấu " "xảy ra 2b 1 0 1 b 2 Bài 138: Cho a,b,clà ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b c a x 0; c a b y 0; a b c z 0 y z x z x y Từ đó suy ra a ;b ;c 2 2 2 Thay vào ta được: y z x z x y 1 y x x z y z A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A 2 2 2 hay A 3 a b c 2
65. 1 1 1 Bài 139: Cho 3 số dương a,b,ccó tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c Lời giải 1 b c 1 a a a 1 a c Từ a b c 1 1 b c b 1 a b 1 c c c 1 1 1 a b a c b c 3 3 2 2 2 9 a b c b a c a c b 1 Dấu “=” xảy ra a b c 3 1 1 2 Bài 140: Cho x, y thỏa mãn xy 1.Chứng minh rằng: 1 x2 1 y2 1 xy Lời giải 1 1 2 (1) 1 x2 1 y2 1 xy 1 1 1 1 2 2 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy x y x y x y 0 1 x2 1 xy 1 y2 1 xy y x 2 . xy 1 0 2 1 x2 1 y2 1 xy Vì x 1; y 1 xy 1 xy 1 0 BĐT (2) luôn đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu " "xảy ra x y Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 y2 z2 xy xz yz với mọi x, y, z Lời giải Có x y 2 y z 2 z x 2 0với mọi x, y, z x2 2xy y2 y2 2yz z2 z2 2zx x2 0 2 x2 y2 z2 2 xy yz xz x2 y2 z2 xy yz xz (dfcm) Bài 142: Cho a,b,clà ba số dương thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . a3 b c b3 c a c3 a b 2 Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi a,b,c ¡ và x, y, z 0 ta có:
66. 2 a2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z a b c Dấu " "xảy ra x y z Thật vậy, với a,b ¡ và x, y 0 ta có: 2 a2 b2 a b ( ) x y x y a2 y b2 x x y xy(a b)2 bx ay 2 0 (luôn đúng) a b Dấu " "xảy ra x y Áp dụng bất đẳng thức ta có: 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x y z a b c Dấu " "xảy ra x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 b c b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng BĐT (*) ta có : 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c (Vì abc 1) ab ac bc ab ac bc 2 ab bc ac 1 1 1 2 a b c Hay 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà 3nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy .(đpcm) a3 b c b3 c a c3 a b 2 Bài 143: Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x2 1 y2 1 xy Lời giải
67. 1 1 2 (1) 1 x 2 1 y 2 1 xy 1 1 1 1 2 2 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy x( y x) y(x y) 0 1 x 2 1 xy 1 y 2 (1 xy) y x 2 . xy 1 0 (2) 1 x 2 1 y 2 (1 xy) Vì x 1; y 1 xy 1 xy 1 0 BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu “=” xảy ra khi x y Bài 144: a) Cho a,b,clà 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi. 1 1 1 1 1 1 CMR: 2. p a p b p c a b c a b b c c d a d b) Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: b c c d d a a b Lời giải Ta có: 1 1 4 2 p a p b p a p b c 1 1 4 2 p b p c p a p c a 1 1 4 2 p c p a p c p a b Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh b)Ta có: a b b c c d a b a b b c c d d a 0 b c c d d a a b b c c d d a a b a c b d c a d b 4 b c c d d a a b Xét a c b d c a d b 4 b c c d d a a b 1 1 1 1 a c b d 4 b c d a c d a b 4 4 a c . b d . 4 0 a b c d a b c d đpcm Dấu " "xảy ra khi a b c d