Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 5: Phân tích đa thức thành nhân tử (Có lời giải)

Nội dung text: Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 5: Phân tích đa thức thành nhân tử (Có lời giải)

1. DẠNG 5: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A.Bài toán Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x y z 3 x3 y3 z3 b)x4 2010x2 2009x 2010 Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A a 1 a 3 a 5 a 7 15 Bài 3: Phân tích các đa thức ra thừa số: a) x4 4 b) x 2 x 3 x 4 x 5 24 Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2019x2 2018x 2019. Bài 5: Phân tích các đa thức thành nhân tử: a) x3 y3 z3 3xyz b) x4 2011x2 2010x 2011 Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x4 4 b) x 2 x 3 x 4 x 5 24 Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x3 x2 14x 24 b) x4 2018x2 2017x 2018 Bài 8: Phân tích đa thức a2 b c b2 c a c2 a b thành nhân tử Bài 9: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x5 x 1 ; b) x5 x4 1 c) x8 x 1 ; d) x8 x7 1 3 3 3 Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a x y a y x x y a Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2a2b 4ab2 a2c ac2 4b2c 2bc2 4abc . Bài 12: Phân tích thành nhân tử: a) a b c 2 a b c 2 4b2 ; b) a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 3 3 3 c) a2 b2 c2 a2 b2 c2 Bài 13: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2 2 a) x2 x 2 x2 x 15 ; b) x2 2x 9x2 18x 20 ; c) x2 3x 1 x2 3x 2 6 ; d) x2 8x 7 x 3 x 5 15 Bài 14: Phân tích các đa thức thành nhân tử: 2 a) x2 4x 8 3x x2 4x 8 2x2 ; b) x2 2xy y2 x y 12 4 3 2 Bài 15: Cho đa thức P x 2x 7x 2x 13x 6 a) Phân tích P x thành nhân tử b) Chứng minh rằng P x 6 với mọi x Z . Bài 16: Phân tích các đa thức thành nhân tử: a) 4x4 4x3 5x2 2x 1 ; b) 3x4 11x3 7x2 2x 1
2. Bài 17: Cho đa thức E x4 2017x2 2016x 2017 . a) Phân tích đa thức E thành nhân tử; b) Tính giá trị của E với x là nghiệm của phương trình: x2 x 1 1 . Bài 18: Phân tích đa thức a2 b c b2 c a c2 a b thành nhân tử Bài 19: Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 1.x2 7x 6 2.x4 2008x2 2007x 2008 Bài 20: Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 3 a) x y z x3 y3 z3 ; b) x4 2010x2 2009x 2010 Bài 21: Phân tích đa thức x3 5x2 8x 4 thành nhân tử Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử a)x4 1 2x2 b) x2 28x 27 Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x x 2 x2 2x 2 1 Bài 24: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x4 4 b) x 2 x 3 x 4 x 5 24 Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 2x x2 2x 1 6 Bài 26: Phân tích các đa thức thành nhân tử: a) x3 y3 z3 3xyz b) x4 2011x2 2010x 2011 Bài 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2019x2 2018x 2019 Bài 28: Phân tích đa thức thành nhân tử: P x2 (y z) y2.(z x) z2.(x y) Bài 29: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 2xy y2 4x 4y 5 Bài 30: Phân tích đa thức x3 5x2 8x 4 thành nhân tử Bài 31: Phân tích đa thức thành nhân tử: a)x2 y2 5x 5y b)2x2 5x 7 Bài 32: Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 1.x2 7x 6 2.x4 2008x2 2007x 2008 Bài 33: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)x2 6xy 9y2 49 b)x2 6x 5 Bài 34: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x3 x2 14x 24 b) x4 2018x2 2017x 2018
3. Bài 35: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2013x2 2012x 2013 Bài 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 x4 1 x2 2 1 Bài 37: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 2x2 x 2 Bài 38: Phân tích đa thức thành nhân tử: A x4 2007x2 2006x 2007 Bài 39: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128. 2 Bài 40: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3. x2 7 36x Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh: A n3. n2 7 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n Bài 41: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 19x 30 Bài 42: Phân tích đa thức A a3 b3 c3 3abc thành nhân tử. Từ đó suy ra điều kiện của a,b,c để a3 b3 c3 3abc . Bài 43: Phân tích đa thức a2 b c b2 c a c2 a b thành nhân tử Bài 44: 1) Chứng minh : x y x3 x2 y xy2 y3 x4 y4 2) Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 2 x2 2x 2 1 3) Tìm a,b,c biết: a2 b2 c2 ab bc ac và a8 b8 c8 3 Bài 45: Cho a3 b3 c3 3abc với a,b,c 0 a b c Tính giá trị biểu thức P 1 1 1 b c a Bài 46: xyz Cho x3 y3 z3 3xyz. Hãy rút gọn phân thức : P x y y z z x Bài 47: 1 1 1 yz xz xy Cho 0, tính giá trị của biểu thức P x y z x2 y2 z2 Bài 48: a) Cho a b c 0. Chứng minh rằng a3 b3 c3 3abc 1 1 1 b) Cho 0, (với x 0; y 0; z 0) x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức x2 y2 z2 Bài 49: Tìm x,y,z biết: 10x2 y2 4z2 6x 4y 4xz 5 0 Bài 50: Cho a và b thỏa mãn : a b 1. Tính giá trị của biểu thức B a3 b3 3ab Bài 51: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
4. a4 b c b4 c a c4 a b Bài 52: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 2 1. 8 x2 3x 5 7 x2 3x 5 15 2. x11 x7 1 Bài 53: Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 1.x2 7x 6 2.x4 2008x2 2007x 2008 1 1 1 yz zx xy Bài 54: a) Cho 0.Tính giá trị của biểu thức sau: B . x y z x2 y2 z2 b) Cho x, y, z là ba số thực khác 0, thỏa mãn x y z 0 và x3 y3 z3 3xyz . x2019 y2019 z2019 Tính C . x y z 2019 Bài 55: 2 a) Cho a,b,c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: a b c a2 b2 c2 a2 b2 c2 Tính giá trị của biểu thức: P a2 2bc b2 2ac c2 2ab b) Cho x y z 0. Chứng minh rằng: 2 x5 y5 z5 5xyz x2 y2 z2 Bài 56: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 2x x2 2x 1 6 Bài 57: Cho x by cz; y ax cz; z ax by và x y z 0; xyz 0 . 1 1 1 CMR: 2 1 a 1 b 1 c Bài 58: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A x3 y3 z3 3xyz Bài 59: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2013x2 2012x 2013 Bài 60: Phân tích đa thức thành nhân tử: M x 2 x 3 x 4 x 5 24 Bài 61: Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: P 2a3 7a2 b 7ab2 2b3 Bài 62: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 6x2 11x 6 2 2 2 Bài 63: Phân tích đa thức a b c b c a c a b thành nhân tử Bài 64: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x4 4 b) x 2 x 3 x 4 x 5 24 Bài 65: Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: P 2a3 7a2b 7ab2 2b3 Bài 66: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x4 2x2 y y2 9 b) x 2 x 3 x 4 x 5 24
5. Bài 67: Phân tích thành nhân tử: x4 6x2 7x 6 Bài 68: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A a 1 a 3 a 5 a 7 15 Bài 69: Phân tích đa thức thành nhân tử a)x4 1 2x2 b) x2 28x 27 Bài 70: Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 1.x2 7x 6 2.x4 2008x2 2007x 2008 Bài 71: Phân tích đa thức x3 5x2 8x 4 thành nhân tử Bài 72: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 y2 5x 5y b) 2x2 5x 7 Bài 73: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: A = x3 2019x2 2019x 2018 Bài 74: Phân tích thành nhân tử P = a8 + a4b4 + b8 Bài 75: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 3x(x 2) 5x 10 . b) x3 5x2 8x 4 . Bài 76: Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 7x2 7xy 5x 5y . b) x4 2013x2 2012x 2013. Bài 77: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) a4 + 8a3 + 14a2 - 8a -15 b) 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2 Bài 78: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a, x(x 2)(x2 2x 2) 1 b, x4 2016x2 2015x 2016 Bài 79: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3 – 4x b) x3 – 5x2 + 8x – 4 Bài 80: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 144 Bài 81: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x4 4 b) x 2 x 3 x 4 x 5 24 Bài 82: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 + 2013x2 + 2012x + 2013 Bài 83: Phân tích đa thức thành nhân tử: M = (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 Bài 84: Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: P = 2a3 + 7a2b + 7ab2 +2b3 Bài 85: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – 6x2 + 11x – 6 Bài 86: Phân tích đa thức a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b) thành nhân tử 2 2 Bài 87: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x 2xy y 4x 4y 5 Bài 88: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2013x2 2012x 2013 Bài 89: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1) a x2 1 x a2 1 2) 6x3 13x2 4x 3
6. 2 3) x2 x 2 x2 x 15 Bài 90: Phân tích đa thức x3 5x2 8x 4 thành nhân tử Bài 91: Cho x y 1và xy 0.Chứng minh rằng: x y 2 x y 0 y3 1 x3 1 x2 y2 3 Bài 92: Gọi a,b,clà độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn a3 b3 c3 3abc.Chứng minh tam giác đều 2 Bài 93: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 x2 7 36x Bài 94: Cho ba số a,b,cthỏa mãn abc 2004 2004a b c Tính M ab 2004a 2004 bc b 2004 ac c 1 Bài 95: Phân tích các đa thức thành nhân tử: c) x3 y3 z3 3xyz d) x4 2011x2 2010x 2011 Bài 96: Phân tích đa thức thành nhân tử a)x4 1 2x2 b) x2 28x 27 Bài 97: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x x 2 x2 2x 2 1 Bài 98: 2 Cho biểu thức A b2 c2 a2 4b2c2 a) Phân tích biểu thức Athành nhân tử b) Chứng minh rằng: Nếu a,b,clà độ dài các cạnh của một tam giác thì A 0 Bài 99: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x y z 3 x3 y3 z3 b)x4 2010x2 2009x 2010 Bài 100: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử c) x4 4 d) x 2 x 3 x 4 x 5 24
7. Bài 101: hân tích đa thức sau thành nhân tử: A a 1 a 3 a 5 a 7 15 Bài 102: Với giá trị nào của a và b thì đa thức x a x 10 1 phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có hệ số nguyên Bài 103: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)3x2 7x 2 b) a x2 1 x a2 1 Bài 104: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a4 b c b4 c a c4 a b Bài 105: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 x 6 b) x3 x2 14x 24 Bài 106: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 2 x2 2x 2 1 Bài 107: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x4 + 4 b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 Bài 108: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: ab a b bc b c ca c a 2abc Bài 109: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2013x2 2012x 2013 Bài 110: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) a3 – a2 – 4a + 4 b) 2a3 – 7a2b + 7ab2 + 2b3 2 2 2 Bài 111: Phân tích đa thức a b c b c a c a b thành nhân tử x2 2x x2 2x 1 6 Bài 112: Phân tích đa thức thành nhân tử: Bài 113: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 12x3 16x2 5x 3 2 b) x2 x 1 5x x2 x 1 4x2 Bài 114: Phân tích các đa thức thành nhân tử: 8 a) 18x3 x 25 b) a a 2b 3 b 2a b 3 c) x 2 x 3 x 4 x 5 1 Bài 115: Phân tích thành nhân tử: a) a2 7a 12 4 2 b) x 2015x 2014x 2015 c) x3 y3 z3 3xyz 2 d) x2 8 36 Bài 116: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 5x2 26x 24 1 3 3 2 3 b) x x x 1 8 4 2 c) x2 6x 5
8. 4 2 d) x 2015x 2014x 2015 Bài 117: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2 a) 8 x2 3x 5 7 x2 3x 5 15 b) x11 x7 1 x2 a 1 a a2 x2 1 Bài 118: Rút gọn biểu thức: x2 a 1 a a2 x2 1 x2 2x 2x2 1 2 Bài 119: Cho biểu thức A 2 2 3 . 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A b) Tìm các số nguyên x để biểu thức Anhận giá trị nguyên. Bài 120: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2. x4 1 x2 2 1 Bài 121: x2 x x 1 1 2 x2 Cho biểu thức P 2 : 2 x 2x 1 x x 1 x x a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P 1 b) Tìm x để P 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 Bài 122: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A x3 y3 z3 3xyz Bài 123: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x3 – 9x b) 4x2 – 3x – 1 c) ab( a - b) + bc( b- c) + ca( c- a) a2 4a 4 Bài 124: Cho A = a3 2a 4a 8 a) Rút gọn A b) Tìm số nguyên a để A là số nguyên x 3 3x x 4 A 2 3 Bài 125: Cho biểu thức x 1 x x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng giá trị của Aluôn dương với mọi x 1 Bài 126: Phân tích thành nhân tử: a) a3 2a2 13a 10 2 b) a2 4b2 5 16 ab 1 2 2x 9 x 3 2x 4 A 2 Bài 127: Cho biểu thức x 5x 6 x 2 3 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để Anhận giá trị là một số nguyên
9. Bài 128: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x20 x 1 Bài 129: 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2013x2 2012x 2013 x2 2x 2x2 1 2 2. Rút gọn biểu thức sau: A 2 2 3 . 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x Bài 130: Phân tích đa thức thành nhân tử: P x2 y z y2 z x z2 x y x 1 1 2 x3 2x2 Bài 131: Cho biểu thức Q 1 3 2 : 3 2 x 1 x x 1 x 1 x x x a) Rút gọn Q 3 5 b) Tính giá trị của Q biết x 4 4 c) Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên Bài 132: 2x 3 2x 8 3 21 2x 8x2 Cho biểu thức P 2 2 : 2 1 4x 12x 5 13x 2x 20 2x 1 4x 4x 3 a) Rút gọn P 1 b) Tính giá trị của P khi x 2 c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P 0 Bài 133: Cho biểu thức 1 2 5 x 1 2x A 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức Anhận giá trị nguyên c) Tìm x để A A Bài 134: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1)x2 2014x 2013 2)x(x 2)(x2 2x 2) 1 Bài 135: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2013x2 2012x 2013 x2 2x 2x2 1 2 b) Rút gọn biểu thức sau: A 2 2 3 . 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x Bài 136: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A x3 y3 z3 3xyz 1 1 4 b) Chứng minh rằng: a,b 0 a b a b Bài 137: Cho biểu thức: x2 6 1 10 x2 M 3 : x 2 x 4x 6 3x x 2 x 2
10. a) Rút gọn M b) Tính giá trị của biểu thức M khi x 1 c) Với giá trị nào của x thì M 2 d) Tìm giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên. a3 4a2 a 4 Bài 138: Rút gọn biểu thức: P a3 7a2 14a 8 x2 a 1 a a2 x2 1 Bài 139: Rút gọn biểu thức: x2 a 1 a a2 x2 1 Bài 140: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x4 4 b) x 2 x 3 x 4 x 5 24
11. B. HƯỚNG DẪN Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x y z 3 x3 y3 z3 b)x4 2010x2 2009x 2010 Lời giải a) x y z 3 x3 y3 z3 x y z 3 x3 y3 z3 y z x y z 2 x y z x x2 y z y2 yz z2 2 y z 3x 3xy 3yz 3zx 3 y z x x y z x y 3 x y x z y z b) x4 2010x2 2009x 2010 x4 x 2010x2 2010x 2010 x x 1 x2 x 1 2010 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2010 Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A a 1 a 3 a 5 a 7 15 Lời giải A a 1 a 3 a 5 a 7 15 (a 1)(a 7)(a 3)(a 5) 15 a2 8a 7 a2 8a 15 15 2 a2 8a 22 a2 8a 120 2 a2 8a 11 12 a2 8a 12 a2 8a 10 a 2 a 6 a2 8a 10 Bài 3: Phân tích các đa thức ra thừa số: a) x4 4 b) x 2 x 3 x 4 x 5 24 Lời giải 2 x4 4 x4 4x2 4 4x2 x2 2 2x 2 x2 2x 2 x2 2x 2 x 2 x 3 x 4 x 5 24 x2 7x 11 1 x2 7x 11 1 24 2 x2 7x 11 1 24 2 x2 7x 11 52 x2 7x 6 x2 7x 16 x 1 x 2 x2 7x 16
12. Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2019x2 2018x 2019. Lời giải x4 2019x2 2018x 2019. x4 x2 2018x2 2018x 2018 1 x3 – x3 x4 x3 x2 2018x2 2018x 2018 – x3 1 x2 x2 x 1 2018 x2 x 1 – x – 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 2018 – x 1 x2 x 1 x2 – x 2019 Bài 5: Phân tích các đa thức thành nhân tử: e) x3 y3 z3 3xyz f) x4 2011x2 2010x 2011 Lời giải a / x3 y3 z3 3xyz x y 3 3xy x y z3 3xyz x y z 3 3z x y x y z 3xy x y z x y z x y z 2 3z x y 3xy 2 2 2 x y z x y z 2xy 2yzz 2xz 3zx 3zy 3xy x y z x2 y2 z2 xy yz zx b / x4 2011x2 2010x 2011 x4 x3 x2 2010x2 2010x 2010 x3 1 x2 x2 x 1 2010 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 2010 x 1 x2 x 1 x2 x 2011 Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử e) x4 4 f) x 2 x 3 x 4 x 5 24 Lời giải a. x4 4 x4 4x2 4 4x2 2 x4 4x2 4 2x 2 x2 2 2x 2 x2 2x 2 x2 2x 2 b. x 2 x 3 x 4 x 5 24 x2 7x 11 1 x2 7x 11 1 24 2 x2 7x 11 1 24 2 x2 7x 11 52 x2 7x 6 x2 7x 16 x 1 x 6 x2 7x 16
13. Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: b) x3 x2 14x 24 b) x4 2018x2 2017x 2018 Lời giải a)x3 x2 14x 24 x3 2x2 x2 2x 12x 24 x2 x 2 x x 2 12 x 2 x2 x 12 x 2 x 2 x 3 x 4 b)x4 2018x2 2017x 2018 x4 2017x2 x2 2017x 2017 1 x4 x2 1 2017 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2017 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2018 Bài 8: Phân tích đa thức a2 b c b2 c a c2 a b thành nhân tử Lời giải a2 b c b2 c a c2 a b a2 b c b2 a c c2 a b 2 2 2 a b c b a b b c c a b a2 b2 b c c2 b2 a b a b a b b c b c b c a b a b b c a b b c a b b c a c Bài 9: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x5 x 1 ; b) x5 x4 1 c) x8 x 1 ; d) x8 x7 1 Lời giải : a) Ta có: x5 x 1 x5 x2 x2 x 1 x2 x3 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x3 x2 1 b) Ta có: x5 x4 1 x5 x4 x3 x3 1 x3 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x3 x 1 c) Ta có: x8 x 1 x8 x2 x2 x 1 x2 x6 1 x2 x 1 x2 x3 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x6 x5 x3 x2 1 d) Ta có: x8 x7 1 x8 x2 x7 x x2 x 1 x2 x3 1 x 1 x2 x 1 x x3 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x6 x4 x3 x 1 .
14. 3 3 3 Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a x y a y x x y a Lời giải : Ta có: a x y3 a y x3 x y a3 3 3 3 a x y a x x y x x y a a x y3 a x x3 x y x3 x y a3 a x y3 x3 a3 x3 x y x a x y x2 xy y2 x a x2 ax a2 x y x a x y x2 xy y2 x2 ax a2 x y x a y2 ax a2 xy x y x a x y a y a y a x y x a y a x y a Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2a2b 4ab2 a2c ac2 4b2c 2bc2 4abc . 2a2b 4ab2 a2c ac2 4b2c 2bc2 4abc Lời giải : Ta có : 2a2b 4ab2 a2c 2abc ac2 2bc2 4b2c 2abc 2ab a 2b ac a 2b c2 a 2b 2bc a 2b a 2b 2ab ac c2 2bc a 2b a 2b c c 2b c a 2b 2b c c a Bài 12: Phân tích thành nhân tử: a) a b c 2 a b c 2 4b2 ; b) a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 3 3 3 c) a2 b2 c2 a2 b2 c2 Lời giải : Ta có : a) a b c 2 a b c 2 4b2 a b c 2 a b c 2b a b c 2b 2 a b c a b c a 3b c a b c a b c a 3b c 2 a b c a b c b) a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 ab2 ac2 bc2 ab2 ac2 b2c ab a b c2 a b c a b a b a b ab c2 ca cb a b b c a c 3 3 3 3 3 3 c) a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Bài 13: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2 2 a) x2 x 2 x2 x 15 ; b) x2 2x 9x2 18x 20 ; c) x2 3x 1 x2 3x 2 6 ; d) x2 8x 7 x 3 x 5 15 Lời giải : 2 a) x2 x 2 x2 x 15 Đặt x2 x y , ta có: y2 2y 15 y 5 y 3
15. 2 Vậy, x2 x 2 x2 x 15 x2 x 5 x2 x 3 2 b) x2 2x 9x2 18x 20 Đặt x2 2x y , ta có: y2 9y 20 y 4 y 5 2 Vậy, x2 2x 9x2 18x 20 x2 2x 4 x2 2x 5 c) x2 3x 1 x2 3x 2 6 Đặt x2 3x 1 y , ta có: y2 y 6 y 2 y 3 Vậy, x2 3x 1 x2 3x 2 6 x2 3x 1 x2 3x 4 d) x2 8x 7 x 3 x 5 15 Đặt x2 8x 7 y , ta có: y2 8y 15 y 3 y 5 Vậy, x2 8x 7 x 3 x 5 15 x2 8x 10 x2 8x 12 Bài 14: Phân tích các đa thức thành nhân tử: 2 a) x2 4x 8 3x x2 4x 8 2x2 ; b) x2 2xy y2 x y 12 Lời giải : 2 a) x2 4x 8 3x x2 4x 8 2x2 ; Đặt x2 4x 8 y ta được: 2 x2 4x 8 3x x2 4x 8 2x2 y2 3xy 2x2 y2 2xy x2 xy x2 y x y 2x x2 5x 8 x 2 x 4 2 Vậy, x2 4x 8 3x x2 4x 8 2x2 x2 5x 8 x 2 x 4 b) x2 2xy y2 x y 12 Ta có: x2 2xy y2 x y 12 x y 2 x y 12 x y 3 x y 4 Vậy, x2 2xy y2 x y 12 x y 3 x y 4 . Bài 15: Cho đa thức P x 2x4 7x3 2x2 13x 6 a) Phân tích P x thành nhân tử b) Chứng minh rằng P x 6 với mọi x Z Lời giải : a) Ta có : P x 2x4 7x3 2x2 13x 6 2x4 6x3 x3 3x2 5x2 15x 2x 6 2x3 x 3 x2 x 3 5x x 3 2 x 3 x 3 2x3 x2 5x 2 x 3 2x3 4x2 3x2 6x x 2 2 x 3 2x x 2 3x x 2 x 2 x 3 x 2 2x2 3x 1 x 3 x 2 2x2 2x x 1
16. x 3 x 2 2x x 1 x 1 x 3 x 2 x 1 2x 1 b)Chứng minh rằng P x 6 với mọi x Z . Ta có: P x 3 x 2 x 1 2x 1 x 3 x 2 x 1 2x 2 3 2 x 3 x 2 x 1 x 1 3 x 3 x 2 x 1 Vì x 3 , x 2 là hai số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 Do đó, 3(1) x 3 x 2 x 1 6 Và x 3 , x 2 , x 1 là ba số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3 mà UCLN 2,3 1 và 2.3 =6. Suy ra 2(2) x 3 x 2 x 1 x 1 6 Từ (1) và (2) suy ra P x 6 với mọi x Z . Bài 16: Phân tích các đa thức thành nhân tử: a) 4x4 4x3 5x2 2x 1 ; b) 3x4 11x3 7x2 2x 1 Lời giải : a) 4x4 4x3 5x2 2x 1 Ta viết 4x4 4x3 5x2 2x 1 2x2 ax 1 . 2x2 bx 1 với mọi x = 4x4 2a 2b x3 ab 4 x2 a b x 1 Đồng nhất hệ số hai vế, ta được: 2a 2b 4,ab 4 5,a b 2 a 1,b 1 . 2 Vậy, 4x4 4x3 5x2 2x 1 2x2 x 1 . b) 3x4 11x3 7x2 2x 1 Ta viết 3x4 11x3 7x2 2x 1 3x2 cx 1 x2 dx 1 với mọi x 3x4 3dx3 3x2 cx3 cdx2 cx x2 dx 1 3x4 3d c x3 4 cd x2 c d x 1 Đồng nhất hệ số hai vế, ta được: 3d c 11, 4 cd 7,c d 2 c,d .(loại ) Khi đó, ta chọn cách viết khác 3x4 11x3 7x2 2x 1 3x m x3 nx2 px q với mọi x 3x4 3nx3 3px2 3qx mx3 mnx2 mpx mq 3x4 3n m x3 3p mn x2 3q mp x mq Đồng nhất hệ số hai vế ta được 3n m 11, 3p mn 7, 3q mp 2, mq 1 Xét hai trường hợp: +TH1: m q 1 , giải ra được n 4, p 1 ( nhận ) +TH2: m q 1 , giải ra n, p  ( loại ) Vậy, 3x4 11x3 7x2 2x 1 3x 1 x3 4x2 x 1 . Bài 17: Cho đa thức E x4 2017x2 2016x 2017 . Lời giải : E x4 2017x2 2016x 2017 x4 x 2017x2 2017x 2017 x4 x 2017 x2 x 1 x x3 1 2017 x2 x 1 x x 1 x2 x 1 2017 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2017
17. b) Tính giá trị của E với x là nghiệm của phương trình: x2 x 1 1 . x2 x 1 1 Ta có: x2 x 1 1 2 x x 1 1 2 2 x 0 *) x x 1 1 x x 0 x x 1 0 x 1 2 2 2 1 7 *) x x 1 1 x x 2 0 x 0 (vô nghiệm). 2 4 Vậy với x 0 E 2017 ; x 1 E 6051 . Bài 18: Phân tích đa thức a2 b c b2 c a c2 a b thành nhân tử Lời giải Ta có : a2 b c b2 c a c2 a b a2 b c b2 a c c2 a b 2 2 2 a b c b a b b c c a b a2 b2 b c c2 b2 a b a b a b b c b c b c a b a b b c a b b c a b b c a c Bài 19: Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 1.x2 7x 6 2.x4 2008x2 2007x 2008 Lời giải Ta có: 1) x2 7x 6 x2 x 6x 6 x x 1 6 x 1 x 6 x 1 2) x4 2008x2 2007x 2008 x4 x2 2007x2 2007x 2007 1 Bài 20: Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 3 a) x y z x3 y3 z3 ; b) x4 2010x2 2009x 2010 x4 x2 1 207 x2 x 1 x2 1 x2 2007 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2007 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2008 Lời giải a) Ta có: 3 3 x y z x3 y3 z3 x y z x3 y3 z3 2 y z x y z x y z x x2 y z y2 yz z2 2 y z 3x 3xy 3yz 3zx 3 y z x x y z x y 3 x y x z y z b) Ta có: x4 2010x2 2009x 2010 x4 x 2010x2 2010x 2010 x x 1 x2 x 1 2010 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2010
18. Bài 21: Phân tích đa thức x3 5x2 8x 4 thành nhân tử Lời giải x3 5x2 8x 4 x3 4x2 4x x2 4x 4 x x2 4x 4 x2 4x 4 2 x 1 x 2 Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử a)x4 1 2x2 b) x2 28x 27 2 a) x4 1 2x2 x2 1 b) x2 28x 27 x 1 x 27 Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x x 2 x2 2x 2 1 Lời giải Ta có: x x 2 x2 2x 2 1 x2 2x x2 2x 2 1 2 x2 2x 2 x2 2x 1 2 4 x2 2x 1 x 1 Bài 24: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử g) x4 4 h) x 2 x 3 x 4 x 5 24 Lời giải .a x4 4 x4 4x2 4 4x2 2 2 2 x4 4x2 4 2x x2 2 2x x2 2x 2 x2 2x 2 b. x 2 x 3 x 4 x 5 24 x2 7x 11 1 x2 7x 11 1 24 2 x2 7x 11 1 24 2 x2 7x 11 52 x2 7x 6 x2 7x 16 x 1 x 6 x2 7x 16 Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 2x x2 2x 1 6 Lờ giải x2 2x x2 2x 1 6 x 1 x 3 x2 2x 2 = Bài 26: Phân tích các đa thức thành nhân tử: a) x3 y3 z3 3xyz
19. b) x4 2011x2 2010x 2011 Lời giải 3 a / x3 y3 z3 3xyz x y 3xy x y z3 3xyz 3 x y z 3z x y x y z 3xy x y z 2 x y z x y z 3z x y 3xy 2 2 2 x y z x y z 2xy 2yzz 2xz 3zx 3zy 3xy x y z x2 y2 z2 xy yz zx b / x4 2011x2 2010x 2011 x4 x3 x2 2010x2 2010x 2010 x3 1 x2 x2 x 1 2010 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 2010 x 1 x2 x 1 x2 x 2011 Bài 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2019x2 2018x 2019 Lời giải x4 2019x2 2018x 2019 x4 x2 2018x2 2018x 2018 1 x3 x3 x4 x3 x2 2018x2 2018x 2018 x3 1 x2 x2 x 1 2018 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 2018 x 1 x2 x 1 x2 x 2019 Bài 28: Phân tích đa thức thành nhân tử: P x2 (y z) y2.(z x) z2.(x y) Lời giải x2. y z y2. z x z2 x y x2 y z y2 z y2 x z2 x z2 y x2 y z yz y z x y2 z2 y z x2 yz xy xz y z x x y z x y y z x y x z Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 2xy y2 4x 4y 5 Lời giải
20. x y 2 4 x y 5 x y 2 4 x y 2 4 9 x y 2 2 32 x y 5 x y 1 Bài 29: Phân tích đa thức x3 5x2 8x 4 thành nhân tử Lời giải x3 5x2 8x 4 x3 4x2 4x x2 4x 4 x x2 4x 4 x2 4x 4 x 1 x 2 2 Bài 30: Phân tích đa thức thành nhân tử: a)x2 y2 5x 5y b)2x2 5x 7 Lời giải a)x2 y2 5x 5y x2 y2 5x 5y x y x y 5(x y) x y x y 5 b)2x2 5x 7 2x2 2x 7x 7 2x x 1 7 x 1 x 1 2x 7 Bài 31: Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 1.x2 7x 6 2.x4 2008x2 2007x 2008 Lời giải 1) x2 7x 6 x2 x 6x 6 x x 1 6 x 1 x 6 x 1 2) x4 2008x2 2007x 2008 x4 x2 2007x2 2007x 2007 1 x4 x2 1 207 x2 x 1 x2 1 x2 2007 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2007 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2008 Bài 32: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)x2 6xy 9y2 49 b)x2 6x 5 Lời giải a) x2 6xy 9y2 49 x2 6xy 9y2 72 x 3y 2 72 x 3y 7 x 3y 7 b)
21. x2 6x 5 x2 x 5x 5 x x 1 5 x 1 x 1 x 5 Bài 33: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x3 x2 14x 24 b) x4 2018x2 2017x 2018 Lời giải a)x3 x2 14x 24 x3 2x2 x2 2x 12x 24 x2 x 2 x x 2 12 x 2 x2 x 12 x 2 x 2 x 3 x 4 b)x4 2018x2 2017x 2018 x4 2017x2 x2 2017x 2017 1 x4 x2 1 2017 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2017 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2018 Bài 34: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2013x2 2012x 2013 Lời giải Ta có: x4 2013x2 2012x 2013 x4 x 2013x2 2013x 2013 x x 1 x2 x 1 2013. x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2013 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 x4 1 x2 2 1 Bài 35: Lời giải x2 x4 1 x2 2 1 x2 x2 1 x2 1 x2 2 1 x4 x2 x4 x2 2 1 2 x4 x2 2 x4 x2 1 2 x4 x2 1 Bài 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 2x2 x 2 Lời giải Ta có
22. x3 2x2 x 2 x3 2x2 x 2 x2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 Bài 37: Phân tích đa thức thành nhân tử A x4 2007x2 2006x 2007 Lời giải A x4 2007x2 2006x 2007 x4 x 2007x2 2007x 2007 x2 x 1 x2 x 2007 Bài 38: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128. Lời giải x(x+ 4)(x+ 6)(x + 10) + 128 = [x(x+10)].[(x+4)(x+6)] + 128 = ( x2 + 10x).(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x = a, ta có: a(a + 24) + 128 = a2 + 24a + 128 = (a+8)(a+16) = (x2 + 10x + 8)(x2 + 10x + 16) = (x + 2)(x + 8)(x + 5 + 17 )(x + 5 - 17 ) 2 Bài 39: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3. x2 7 36x Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh: A n3. n2 7 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n Lời giải 2 2 a)x3 x2 7 36x x x3 7x 36 x x3 7x 6 x3 7x 6 x x3 x 6x 6 x3 x 6x 6 x x x 1 x 1 6 x 1 x x 1 x 1 6 x 1 x x 1 x2 x 6 x 1 x2 x 6 x x 1 x2 3x 2x 6 x 1 x2 3x 2x 6 x x 1 x 1 x(x 3) 2(x 3) x x 3 2 x 3 x x 1 x 1 x 3 x 2 x 2 x 3 b) Theo phần a ta có: 2 A n3 n2 7 36n n n 1 n 1 n 3 n 2 n 2 n 3 Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp. Trong 7 số nguyên liên tiếp có: - Một bội của 2 nên A chia hết cho 2 - Một bội của 3 nên Achia hết cho 3 - Một bôi của 5 nên A chia hết cho 5 - Một bội của 7 nên A chia hết cho 7. Mà 2;3;5;7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A 2.3.5.7 hay A210
23. Bài 40: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 19x 30 Lời giải Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 19x 30 Ta có: x3 19x 30 x3 9x 10x 30 x x2 9 10 x 3 x x 3 x 3 10 x 3 x 3 x2 3x 10 x 3 x 2 x 5 Vậy, x3 19x 30 x 3 x 2 x 5 Bài 41: Phân tích đa thứcA a3 b3 c3 3abc thành nhân tử. Từ đó suy ra điều kiện của a,b,c để a3 b3 c3 3abc . Lời giải 1 2 2 2 Ta có: A a3 b3 c3 3abc a b c a b b c c a 2 Để a3 b3 c3 3abc a3 b3 c3 3abc 0 1 2 2 2 a b c a b b c c a 0 2 a b c 0 a b c Bài 42: Phân tích đa thức a2 b c b2 c a c2 a b thành nhân tử Lời giải a2 b c b2 c a c2 a b a2 b c b2 a c c2 a b 2 2 2 a b c b a b b c c a b a2 b2 b c c2 b2 a b a b a b b c b c b c a b a b b c a b b c a b b c a c Bài 43: 4) Chứng minh : x y x3 x2 y xy2 y3 x4 y4 5) Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 2 x2 2x 2 1 6) Tìm a,b,c biết: a2 b2 c2 ab bc ac và a8 b8 c8 3 Lời giải 1) Ta có: x y x3 x2 y xy2 y3 x4 x3y x2 y2 xy3 x3y x2 y2 xy3 y4 x4 y4 Vậy đẳng thức được chứng minh.
24. x x 2 x2 2x 2 1 x2 2x x2 2x 2 1 2 2) Ta có: x2 2x 2 x2 2x 1 2 4 x2 2x 1 x 1 2 2 2 3) Biến đổi a2 b2 c2 ab bc ca về a b b c c a 0 Lập luận suy ra a b c Thay a b c vào a8 b8 c8 3 ta có: 3a8 3 a8 1 a 1 a b c 1 Vậy a b c 1 Bài 44: Cho a3 b3 c3 3abc với a,b,c 0 a b c Tính giá trị biểu thức P 1 1 1 b c a Lời giải Biến đổi giả thiết về dạng: 1 2 2 2 a b c a b b c c a 0 2 a b c 0 a b c c a b Với a b c 0 tính được: P 1 b c a Với a b c tính được: P 2.2.2 8 Bài 45: xyz Cho x3 y3 z3 3xyz. Hãy rút gọn phân thức : P x y y z z x Lời giải Từ x3 y3 z3 3xyz chỉ ra được x y z 0 hoặc x y z TH1: x y z 0 x y z; x z y; y z x P 1 1 TH2 : x y z P 8 Bài 46: 1 1 1 yz xz xy Cho 0, tính giá trị của biểu thức P x y z x2 y2 z2 Lời giải 1 1 1 1 1 1 3 Từ 0 x y z x3 y3 z3 xyz Khi đó: yz xz xy xyz xyz xyz 1 1 1 3 P 2 2 2 3 3 3 xyz. 3 3 3 xyz. 3 x y z x y z x y z xyz
25. Bài 47: c) Cho a b c 0. Chứng minh rằng a3 b3 c3 3abc 1 1 1 d) Cho 0, (với x 0; y 0; z 0) x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức x2 y2 z2 Lời giải 3 3 2 a) a b c a b 3 a b c 3 a b c2 c3 3 3 a b 3 a b c. a b c c3 a b c3 a3 3a2 b 3ab2 b3 c3 a3 b3 c3 3ab(a b) a3 b3 c3 3ab c (Vi a b c 0 a b c) a3 b3 c3 3abc 1 1 1 b) Với a ; b ;c x y z 1 1 1 3 Áp dụng kết quả câu a ta có: x3 y3 z3 xyz yz xz xy xyz xyz xyz 1 1 1 2 2 2 3 3 3 xyz. 3 3 3 x y z x y z x y z 3 xyz. 3 xyz Bài 48: Tìm x,y,z biết: 10x2 y2 4z2 6x 4y 4xz 5 0 Lời giải b)B 2x2 y2 2xy 8x 2028 x2 2xy y2 x2 8x 16 2012 2 2 x y x 4 2012 2012 x y 0 x 4 Đẳng thức xảy ra x 4 0 y 4 x 4 Giá trị nhỏ nhất của B là 2012 y 4 Bài 49: Cho a và b thỏa mãn : a b 1. Tính giá trị của biểu thức B a3 b3 3ab Lời giải 3 Ta có: B a3 b3 3ab a3 b3 3ab. a b a b 1 Vi a b 1 Bài 50: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a4 b c b4 c a c4 a b
26. Lời giải a) a4 b c b4 c a c4 a b a4 b c b4 a c c4 a b a 4 b c b 4 a b b c c 4 a b a 4 b c b 4 a b b 4 b c c 4 a b b c a 4 b 4 a b b 4 c 4 b c a b a b a 2 b 2 a b b c b c b 2 c 2 a b b c a 3 a b 2 a 2 b b 3 b 3 b c 2 b 2 c c 3 2 2 2 a b b c a c a a c c b a c b a c a c a b b c a c a 2 b 2 c 2 a b b c c a Bài 51: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 2 3. 8 x2 3x 5 7 x2 3x 5 15 4. x11 x7 1 Lời giải 2 8 x2 3x 5 7 x2 3x 5 15 Đặt t x2 3x 5 , ta có: 2 8 x2 3x 5 7 x2 3x 5 15 8t2 7t 15 8t2 8t 15t 15 8t t 1 15 t 1 t 1 8t 15 Thay t x2 3x 5 vào đa thức ta có: 2 8 x2 3x 5 7 x2 3x 5 15 2 2 x 3x 5 1 8 x 3x 5 15 x2 3x 4 8x2 24x 55 2. x11 x7 1 x11 x10 x9 x10 x9 x8 x8 x7 x6 x6 x5 x4 x5 x4 x3 x3 x2 x x2 x 1 x9 x2 x 1 x8 x2 x 1 x6 x2 x 1 x4 x2 x 1 x3 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 . x9 x8 x6 x4 x3 1 Bài 52: Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 1.x2 7x 6 2.x4 2008x2 2007x 2008 Lời giải 1) x2 7x 6 x2 x 6x 6 x x 1 6 x 1 x 6 x 1 2)
27. x4 2008x2 2007x 2008 x4 x2 2007x2 2007x 2007 1 x4 x2 1 207 x2 x 1 x2 1 x2 2007 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2007 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2008 Bài 53: 1 1 1 yz zx xy a) Cho 0.Tính giá trị của biểu thức sau: B . x y z x2 y2 z2 b) Cho x, y, z là ba số thực khác 0, thỏa mãn x y z 0 và x3 y3 z3 3xyz . x2019 y2019 z2019 Tính C . x y z 2019 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 a) vì 0 nên 3. ( ĐKXĐ: x, y, z 0 ) x y z x3 y3 z3 xyz yz zx xy xyz xyz xyz Ta có: B x2 y2 z2 x3 y3 z3 1 1 1 1 xyz. 3 3 3 xyz.3. 3 x y z xyz 1 1 1 Vậy, B 3khi 0 x y z b) vì x, y, z là ba số thực khác 0, thỏa mãn x y z 0 và x3 y3 z3 3xyz nên x y z 0 . x2019 y2019 z2019 3.x2019 1 Do đó, C x y z 2019 3x 2019 32018 1 Vậy, C với x, y, z là ba số thực khác 0, thỏa mãn x y z 0 và 32018 x3 y3 z3 3xyz Bài 54: 2 c) Cho a,b,c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: a b c a2 b2 c2 a2 b2 c2 Tính giá trị của biểu thức: P a2 2bc b2 2ac c2 2ab d) Cho x y z 0. Chứng minh rằng: 2 x5 y5 z5 5xyz x2 y2 z2 Lời giải 2 a) a b c a2 b2 c2 ab ac bc 0 a2 a2 a2 a2 2bc a2 ab ac bc a b a c b2 b2 c2 c2 Tương tự: ; b2 2ac b a b c c2 2ac c a c b
28. a2 b2 c2 P a2 2bc b2 2ac c2 2ab a2 b2 c2 a b a c a b b c a c b c a b a c b c 1 a b a c b c 3 b) Vì x y z 0 x y z x y z3 Hay x3 y3 3xy x y z3 3xyz x3 y3 z3 3xyz x2 y2 z2 x3 y3 z3 x2 y2 z2 Do đó: x5 y5 z5 x3 y2 z2 y3 z2 x2 z3 x2 y2 2 Mà x2 y2 x y 2xy z2 2xy Vi x y z Tương tự: y2 z2 x2 2yz; z2 x2 y2 2zx Vì vậy: 3xyz x2 y2 z2 x5 y5 z5 x3 x2 2yz y3 y2 2zx z3 z2 2xy 2 x5 y5 z5 2xyz x2 y2 z2 Suy ra : 2 x5 y5 z5 5xyz x2 y2 z2 Bài 55: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 2x x2 2x 1 6 Lời giải x 1 x 3 x2 2x 2 Bài 56: Cho x by cz; y ax cz; z ax by và x y z 0; xyz 0 . 1 1 1 CMR: 2 1 a 1 b 1 c Lời giải Từ giả thiết 2cz z x y 2cz x y z x y z x y z 1 2z c c 1 2z 2z c 1 x y z 1 2x 1 2y 1 1 1 Tương tự: ; . Khi đó: 2 1 a x y z 1 b x y z 1 a 1 b 1 c Bài 57: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A x3 y3 z3 3xyz Lời giải a) A x3 y3 z3 3xyz
29. x3 y3 3xy x y z3 3xy x y 3xyz 3 x y z3 3xy x y z 2 x y z x y x y z z2 3xy x y z x y z x2 y2 z2 xy yz xz Bài 58: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2013x2 2012x 2013 Lời giải x4 2013x2 2012x 2013 x4 x 2013x2 2013x 2013 x x 1 x2 x 1 2013. x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2013 Bài 59: Phân tích đa thức thành nhân tử: M x 2 x 3 x 4 x 5 24 Lời giải M x 2 x 3 x 4 x 5 24 M x2 7x 10 x2 7x 12 24 M x2 7x 11 1 x2 7x 11 1 24 2 M x2 7x 11 25 M x2 7x 6 x2 7x 16 M x 1 x 6 x2 7x 16 Bài 60: Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: P 2a3 7a2 b 7ab2 2b3 Lời giải Ta có: P 2 a3 b3 7ab(a b) 2 a b a2 ab b2 7ab a b a b 2a2 2b2 5ab a b 2a2 4ab 2b2 ab a b 2a a 2b b a 2b a b 2a b a 2b Kết luận P a b 2a b a 2b Bài 61: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 6x2 11x 6 Lời giải a) x3 6x2 11x 6 x3 x2 5x2 5x 6x 6 x2 x 1 5x x 1 6 x 1 x 1 x2 5x 6 x 1 x 2 x 3 Bài 62: Phân tích đa thức a2 b c b2 c a c2 a b thành nhân tử Lời giải
30. Ta có: a2 b c b2 c a c2 a b a2 b c b2 c a c2 b c c a b c a2 c2 c a b2 c2 b c a c a c c a b c b c b c a c a c b c b c a c a b Bài 63: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x4 4 b) x 2 x 3 x 4 x 5 24 Lời giải 2 2 2 a. x4 4 x4 4x2 4 4x2 x4 4x2 4 2x x2 2 2x x2 2x 2 x2 2x 2 b. x 2 x 3 x 4 x 5 24 2 x2 7x 11 1 x2 7x 11 1 24 x2 7x 11 1 24 2 x2 7x 11 52 x2 7x 6 x2 7x 16 x 1 x 6 x2 7x 16 Bài 64: Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: P 2a3 7a2b 7ab2 2b3 Lời giải Ta có: P 2 a3 b3 7ab(a b) 2 a b a2 ab b2 7ab a b a b 2a2 2b2 5ab a b 2a2 4ab 2b2 ab a b 2a a 2b b a 2b a b 2a b a 2b Kết luận P a b 2a b a 2b Bài 65: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x4 2x2 y y2 9 b) x 2 x 3 x 4 x 5 24 Lời giải a, x4 2x2 y y2 9 = ( x4 2x2 y y2 ) 9 = (x2 y)2 9 = (x2 y 3)(x2 y 3) b, ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) Bài 66: Phân tích thành nhân tử: x4 6x2 7x 6 Lời giải x4 6x2 7x 6 x4 2x3 2x3 4x2 2x2 4x 3x 6 x3 x 2 2x2 (x 2) 2x x 2 3 x 2 x 2 x3 2x2 2x 3
31. 3 2 2 2 x 2 x 3x x 3x x 3 x 2 x x 3 x x 3 x 3 x 2 x 3 x2 x 1 Bài 67: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A a 1 a 3 a 5 a 7 15 Lời giải Ta có: A a 1 a 3 a 5 a 7 15 (a 1)(a 7)(a 3)(a 5) 15 a2 8a 7 a2 8a 15 15 2 a2 8a 22 a2 8a 120 2 a2 8a 11 12 a2 8a 12 a2 8a 10 a 2 a 6 a2 8a 10 Bài 68: Phân tích đa thức thành nhân tử a)x4 1 2x2 b) x2 28x 27 Lời giải 2 a)x4 1 2x2 x2 1 b) x2 28x 27 x 1 x 27 Bài 69: Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 1.x2 7x 6 2.x4 2008x2 2007x 2008 Lời giải 3) x2 7x 6 x2 x 6x 6 x x 1 6 x 1 x 6 x 1 4) x4 2008x2 2007x 2008 x4 x2 2007x2 2007x 2007 1 x4 x2 1 207 x2 x 1 x2 1 x2 2007 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2007 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2008 Bài 70: Phân tích đa thức x3 5x2 8x 4 thành nhân tử Lời giải x3 5x2 8x 4 x3 4x2 4x x2 4x 4 x x2 4x 4 x2 4x 4 x 1 x 2 2 Bài 71: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 y2 5x 5y b) 2x2 5x 7 Lời giải
32. a) x2 y2 5x 5y x2 y2 5 x y x y x y 5 x y x y x y 5 b) 2x2 5x 7 2x2 2x 7x 7 2x2 2x 7x 7 2x x 1 7 x 1 x 1 2x 7 Bài 72: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: A = x3 2019x2 2019x 2018 Lời giải A = x3 2019x2 2019x 2018 A = x3 1 2019(x2 x 2019) A = (x - 1)(x2 x 1) 2019(x2 x 1) A = x2 x 1 (x 1 2019) A = (x2 + x + 1 )(x 2018) Bài 73: Phân tích thành nhân tử P = a8 + a4b4 + b8 Lời giải P= a8 + a4b4 + b8 = (a4)2 + 2a4b4 + (b4)2 – a4b4 = (a4 + b4)2 – (a2b2)2 = (a4 + b4 + a2b2)(a4 + b4 – a2b2) Làm tương tự với a4 + b4 + a2b2 = (a2 + b2 + ab)(a2 + b2 - ab) Vậy ta có P = (a4 + b4 – a2b2)(a2 + b2 – ab)(a2 + b2 + ab) Bài 74: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 3x(x 2) 5x 10 . b) x3 5x2 8x 4 . Lời giải a) 3x(x 2) 5x 10 = 3x(x 2) 5(x 2) = (x 2)(3x 5) b) Ta có x3 5x2 8x 4 = (x3 4x2 4x) (x2 4x 4) = x(x 2)2 (x 2)2 = (x 1)(x 2)2 Bài 75: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 7x2 7xy 5x 5y . b) x4 2013x2 2012x 2013. Lời giải a) 7x2 7xy 5x 5y = (7x2 7xy) (5x 5y) = 7x(x - y) – 5(x - y) = (x - y)(7x – 5) b) Ta có x4 2013x2 2012x 2013 x4 x 2013x2 2013x 2013 x x 1 x2 x 1 2013 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2013 Bài 76: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) a4 + 8a3 + 14a2 - 8a -15 b) 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2 Lời giải a) a4 + 8a3 + 14a2 - 8a -15 = a4 + 8a3 + 15a2 - a2 - 8a -15 = (a4 + 8a3 + 15a2) - (a2 + 8a + 15) = a2( a2 + 8a + 15) - (a2 + 8a + 15) = (a2 + 8a + 15)( a2 - 1)
33. = (a + 3)(a + 5)(a + 1)(a - 1) b) 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2 = (2ab)2 - (a2 + b2 - c2)2 = ( 2ab + a2 + b2 - c2) ( 2ab - a2 - b2 + c2) = [( a + b)2 - c2][c2 - (a - b)2] = (a + b - c)(a + b +c)(c – a + b)(c + a - b) Bài 77: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a, x(x 2)(x2 2x 2) 1 b, x4 2016x2 2015x 2016 Lời giải a) x(x 2)(x2 2x 2) 1 (x2 2x)(x2 2x 2) 1 (x2 2x)2 2(x2 2x) 1 = (x2 2x 1)2 (x 1)4 b) x4 2016x2 2015x 2016 = x4 x 2016(x2 x 1) = x(x3 1) 2016(x2 x 1) = x(x 1)(x2 x 1) 2016(x2 x 1) = (x2 x 1)x(x 1) 2016 = (x2 x 1)(x2 x 2016 Bài 78: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3 – 4x b) x3 – 5x2 + 8x – 4 Lời giải a) x3 – 4x = x(x2 – 4) = x(x – 2)(x+2) b) x3 – 5x2 + 8x – 4 = x3 – 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 = x(x2 – 4x + 4) – (x2 – 4x + 4) = (x – 1)(x – 2)2 Bài 79: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 144 Lời giải A = (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) - 144 = [(x - 1)(x + 2)].[(x - 3)(x + 4)] - 144 = (x2 + x - 2)(x2 + x - 12) - 144 = (x2 + x - 7 + 5)(x2 + x - 7 - 5) - 144 = (x2 + x - 7)2 - 25 - 144 = (x2 + x - 7)2 - 169 = (x2 + x - 7 - 13)(x2 + x - 7 + 13) = (x2 + x - 20)(x2 + x + 6) = (x2 - 4x + 5x - 20)(x2 + x + 6) = (x - 4)(x + 5)(x2 + x + 6) Bài 80: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x4 4 b) x 2 x 3 x 4 x 5 24 Lời giải a) x4 4 x4 4x2 4 4x2 x4 4x2 4 2x 2 2 x2 2 2x 2 x2 2x 2 x2 2x 2 a)
34. x 2 x 3 x 4 x 5 24 2 2 x 7x 11 1 x 7x 11 1 24 2 x2 7x 11 1 24 2 x2 7x 11 52 x2 7x 6 x2 7x 16 x 1 x 6 x2 7x 16 Bài 81: Lời giải Ta có : x4 + 2013x2 + 2012x + 2013 = (x4 – x) + 2013x2 + 2013x + 2013 = x(x - 1)(x2 + x +1) + 2013.(x2 + x +1) = (x2 + x +1)(x2 – x + 2013) Vậy x4 + 2013x2 + 2012x + 2013 = (x2 + x +1)(x2 – x + 2013) Bài 82: Lời giải Ta có : M = (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 = (x2 + 7x + 10)(x2 +7x + 12) – 24 = (x2 + 7x +11 – 1)(x2 + 7x + 11 +1) – 24 = (x2 + 7x + 11)2 – 25 = (x2 + 7x + 6)(x2 + 7x+ 16) = (x + 1)(x + 6)(x2 + 7x + 16) Vậy M = (x + 1)(x + 6)(x2 + 7x + 16) Bài 83: Lời giải Ta có : P = 2a3 + 7a2b + 7ab2 +2b3 = 2(a3 + b3) + 7ab(a + b) = 2(a+b)(a2 – ab + b2) + 7ab(a + b) = (a + b) (2a2 + 2b2 + 5ab) = (a + b)(2a2 +4ab + 2b2 + ab) = (a + b)[2a(a+2b) + b(a + 2b)] = (a + b)(2a + b)(a + 2b) Vậy P = (a + b)(2a + b)(a + 2b) Bài 84: Lời giải Ta có : x3 – 6x2 + 11x – 6 = x3 – x2 – 5x2 + 5x + 6x – 6 = x2(x – 1) – 5x(x – 1) + 6(x – 1) = (x – 1)(x2 – 5x + 6) = (x – 1)(x – 2)(x – 3) Vậy x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3) Bài 85: Lời giải Ta có : a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b) = a2(b – c) + b2(c – a) – c2(b - c+ c – a) = (b - c)(a2 – c2) + (c – a)(b2 – c2) = (b – c)(a – c)(a + c) + (c – a)(b – c)(b + c) = (b - c)(a – c)(a + c – b – c) = (b – c)(a – c)(a – b) Vậy a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b) = (b – c)(a – c)(a – b) Bài 86: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 2xy y2 4x 4y 5 Lời giải x y 2 4 x y 5 x y 2 4 x y 4 9 x y 2 2 32 x y 5 x y 1
35. Bài 87: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2013x2 2012x 2013 Lời giải Ta có: x4 2013x2 2012x 2013 x4 x 2013x2 2013x 2013 x x 1 x2 x 1 2013. x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2013 Bài 88: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 3) a x2 1 x a2 1 4) 6x3 13x2 4x 3 2 3) x2 x 2 x2 x 15 Lời giải 1) a x2 1 x a2 1 ax2 a a2 x x ax x a x a ax 1 x a 2) 6x3 13x2 4x 3 6x3 6x2 7x2 7x 3x 3 6x2 x 1 7x x 1 3 x 1 x 1 6x2 7x 3 2 x 1 6x 9x 2x 3 x 1 3x 2x 3 2x 3 x 1 2x 3 3x 1 2 2 3) x2 x 2 x2 x 15 x2 x 2 x2 x 1 16 2 x2 x 1 42 x2 x 5 x2 x 3 Bài 89: Phân tích đa thức x3 5x2 8x 4 thành nhân tử Lời giải x3 5x2 8x 4 x3 4x2 4x x2 4x 4 x x2 4x 4 x2 4x 4 x 1 x 2 2 Bài 90: Cho x y 1và xy 0.Chứng minh rằng: x y 2 x y 0 y3 1 x3 1 x2 y2 3 Lời giải Biến đổi:
36. x y x4 x y4 y y3 1 x3 1 y3 1 x3 1 x4 y4 x y x y 1 y 1 x & x 1 y xy y2 y 1 x2 x 1 x y x y x2 y2 x y xy x2 y2 y2 x y2 yx2 xy y x2 x 1 x y x2 y2 1 2 2 2 2 xy x y xy x y x y xy 2 x y x2 x y2 y x y x x 1 y y 1 xy x2 y2 x y 2 2 xy x2 y2 3 x y x y y x x y 2xy xy x2 y2 3 xy x2 y2 3 2 x y dfcm x2 y2 3 Bài 91: Gọi a,b,clà độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn a3 b3 c3 3abc.Chứng minh tam giác đều. Lời giải C/m:a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca +)Từ giả thiết suy ra : a b c a2 b2 c2 ab bc ca 0 a2 b2 c2 ab ac bc 0 (a b c 0) Biến đổi được kết quả: a b 2 b c 2 c a 2 0 a b 0 b c 0 a b c Tam giác đó là đều (đpcm) c a 0 2 Bài 92: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 x2 7 36x Lời giải 2 2 x3 x2 7 36x x x3 7x 36 x x3 7x 6 x3 7x 6 x x3 x 6x 6 x3 x 6x 6 x x 1 x 1 x 3 x 2 x 2 x 3
37. Bài 93: Cho ba số a,b,cthỏa mãn abc 2004 2004a b c Tính M ab 2004a 2004 bc b 2004 ac c 1 Lời giải Thay 2004 abc vào M ta có: a2bc b c M ab a2bc abc bc b abc ac c 1 a2bc b c ab(1 ac c) b c 1 ac ac c 1 ac 1 c ac c 1 1 1 ac c c 1 ac ac c 1 1 ac c Bài 94: Phân tích các đa thức thành nhân tử: a) x3 y3 z3 3xyz b) x4 2011x2 2010x 2011 Lời giải a / x3 y3 z3 3xyz x y 3 3xy x y z3 3xyz x y z 3 3z x y x y z 3xy x y z x y z x y z 2 3z x y 3xy 2 2 2 x y z x y z 2xy 2yzz 2xz 3zx 3zy 3xy x y z x2 y2 z2 xy yz zx b / x4 2011x2 2010x 2011 x4 x3 x2 2010x2 2010x 2010 x3 1 x2 x2 x 1 2010 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 2010 x 1 x2 x 1 x2 x 2011 Bài 95: Phân tích đa thức thành nhân tử a)x4 1 2x2 b) x2 28x 27 Lời giải 2 a)x4 1 2x2 x2 1 b) x2 28x 27 x 1 x 27 Bài 96: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x x 2 x2 2x 2 1 Lời giải
38. x x 2 x2 2x 2 1 x2 2x x2 2x 2 1 2 x2 2x 2 x2 2x 1 2 x2 2x 1 x 1 4 Bài 97: 2 Cho biểu thức A b2 c2 a2 4b2c2 a) Phân tích biểu thức Athành nhân tử b) Chứng minh rằng: Nếu a,b,clà độ dài các cạnh của một tam giác thì A 0 Lời giải a) Ta có: 2 A b2 c2 a2 4b2c2 b2 c2 a2 2bc 2 b2 c2 2bc a2 b2 c2 2bc a2 b c a b c a b c a b c a b) Ta có: b c a 0 (BĐT tam giác) b c a 0 (BĐT tam giác) b c a 0(BĐT tam giác) b c a 0 (BĐT tam giác) Vậy A 0 Bài 98: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x y z 3 x3 y3 z3 b)x4 2010x2 2009x 2010 Lời giải c) x y z 3 x3 y3 z3 x y z 3 x3 y3 z3 y z x y z 2 x y z x x2 y z y2 yz z2 2 y z 3x 3xy 3yz 3zx 3 y z x x y z x y 3 x y x z y z d)
39. x4 2010x2 2009x 2010 x4 x 2010x2 2010x 2010 x x 1 x2 x 1 2010 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2010 Bài 99: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x4 4 b) x 2 x 3 x 4 x 5 24 Lời giải 1a. x4 4 x4 4x2 4 4x2 2 x4 4x2 4 2x 2 x2 2 2x 2 x2 2x 2 x2 2x 2 1b. x 2 x 3 x 4 x 5 24 x2 7x 11 1 x2 7x 11 1 24 2 x2 7x 11 1 24 2 x2 7x 11 52 x2 7x 6 x2 7x 16 x 1 x 6 x2 7x 16 Bài 100: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A a 1 a 3 a 5 a 7 15 Lời giải A a 1 a 3 a 5 a 7 15 (a 1)(a 7)(a 3)(a 5) 15 a2 8a 7 a2 8a 15 15 2 a2 8a 22 a2 8a 120 2 a2 8a 11 12 a2 8a 12 a2 8a 10 a 2 a 6 a2 8a 10 Bài 101: Với giá trị nào của a và b thì đa thức x a x 10 1 phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có hệ số nguyên Lời giải Giả sử :
40. x a x 10 1 x m x n m,n ¢ x2 a 10 x 10a 1 x2 m n x mn m n a 10 mn 10a 1 Khử a ta có: mn 10 m n 10 1 mn 10m 10n 100 1 m(n 10) 10(n 10) 1 m 10 1 m 10 1 a 12 Vì m,n nguyên ta có: & n 10 1 n 10 1 a 8 Bài 102: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)3x2 7x 2 b) a x2 1 x a2 1 Lời giải a)3x2 7x 2 3x2 6x x 2 3x x 2 x 2 3x 1 x 2 b)a x2 1 x a2 1 ax2 a a2 x x ax x a x a x a ax 1 Bài 103: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a4 b c b4 c a c4 a b Lời giải a4 b c b4 c a c4 a b a4 b c b4 a c c4 a b a4 b c b4 a b b c c4 a b a4 b c b4 a b b4 b c c4 a b b c a4 b4 a b b4 c4 b c a b a b a2 b2 a b b c b c b2 c2 a b b c a3 ab2 a2b b3 b3 bc2 b2c c3 2 2 2 a b b c a c a ac c b a c b a c a c a b b c a c a2 b2 c2 ab bc ca Bài 104: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 x 6 b) x3 x2 14x 24
41. Lời giải a) x2 x 6 x2 2x 3x 6 x x 2 3 x 2 x 3 x 2 b) x3 x2 14x 24 x3 2x2 x2 2x 12x 24 x2 x 2 x x 2 12 x 2 x 2 x2 x 12 x 2 x2 4x 3x 12 x 2 x 4 x 3 Bài 105: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 2 x2 2x 2 1 Lời giải Ta có: x x 2 x2 2x 2 1 x2 2x x2 2x 2 1 2 x2 2x 2 x2 2x 1 2 x2 2x 1 x 1 4 Bài 106: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x4 + 4 b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) -24 Lời giải a) x4 4 x4 4x2 4 4x2 x4 4x2 4 2x 2 2 x2 2 2x 2 x2 2x 2 x2 2x 2 b) x 2 x 3 x 4 x 5 24 x2 7x 11 1 x2 7x 11 1 24 2 x2 7x 11 1 24 2 x2 7x 11 52 x2 7x 6 x2 7x 16 x 1 x 6 x2 7x 16 Bài 107: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: ab a b bc b c ca c a 2abc Lời giải
42. ab a b bc b c ca c a 2abc ab a b abc bc b c abc ca c a ab a b c bc a b c ac c a b(a b c)(a c) ac(c a) (a c) ab ac b2 bc a c a b c b b c a c a b b c 4 2 Bài 108: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2013x 2012x 2013 Lời giải x4 2013x2 2012x 2013 x4 x 2013x2 2013x 2013 x x 1 x2 x 1 2013 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2013 Bài 109: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) a3 – a2 – 4a + 4 b) 2a3 – 7a2b + 7ab2 + 2b3 Lời giải a) a3 a2 4a 4 a2 a 1 4 a 1 a 1 a 2 a 2 b)2a3 7a2b 7ab2 2b3 2 a b a2 ab b2 7ab a b a b 2a2 2b2 5ab a b 2a2 4ab 2b2 ab a b 2a a 2b b b 2a a b 2a b a 2b Bài 110: Phân tích đa thức a2 b c b2 c a c2 a b thành nhân tử Lời giải Ta có: a2 b c b2 c a c2 a b a2 b c b2 c a c2 b c c a b c a2 c2 c a b2 c2 b c a c a c c a b c b c b c a c a c b c b c a c a b Bài 111: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 2x x2 2x 1 6 Lời giải
43. x2 2x x2 2x 1 6 x 1 x 3 x2 2x 2 Bài 112: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 12x3 16x2 5x 3 2 b) x2 x 1 5x x2 x 1 4x2 Lời giải a) 12x3 16x2 5x 3 12x3 6x2 22x2 11x 6x 3 6x2 2x 1 11x 2x 1 3 2x 1 2x 1 6x2 11x 3 2x 1 6x2 9x 2x 3 2x 1 3x 2x 3 2x 3 2x 1 3x 1 2x 3 2 b) A= x2 x 1 5x x2 x 1 4x2 Đặt x2 x 1 y , ta có: A 4x2 5xy y2 4x y x y 4x x2 x 1 x x2 x 1 x2 5x 1 x2 2x 1 x 1 2 x2 5x 1 2 5 21 5 21 x 1 x x 2 2 Bài 113: Phân tích các đa thức thành nhân tử: 8 a) 18x3 x 25 b) a a 2b 3 b 2a b 3 c) x 2 x 3 x 4 x 5 1 Lời giải 3 8 2 4 2 2 a) 18x x 2x 9x 2x 3x 3x 25 25 5 5 3 3 3 3 b) a a 2b b 2a b a a b b b a a b a a b 3 3 a b 2 b 3 a b b2 b3 b a3 3a2 a b 3a a b 2 a b 3 a a b 3 3ab a b 2 3ab2 a b ab3 a3b 3a2b a b 3ab a b 2 b a b 3
44. a a b 3 3ab2 a b ab3 a3b 3a2b a b b a b 3 a b a a b 2 3ab2 ab a b 3a2b b a b 2 a b a3 2a2b ab2 3ab2 a2b ab2 3a2b a2b 2ab2 b3 a b a3 3a2b 3ab2 b3 a b a b 3 c) x 2 x 3 x 4 x 5 1 x2 7x 10 x2 7x 12 1 x2 7x 11 1 x2 7x 11 1 1 2 2 x2 7x 11 1 1 x2 7x 11 Bài 114: Phân tích thành nhân tử: a) a2 7a 12 4 2 b) x 2015x 2014x 2015 c) x3 y3 z3 3xyz 2 d) x2 8 36 Lời giải a) a2 7a 12 a2 3a 4a 12 a 3 a 4 4 2 4 3 2 2 3 b) x 2015x 2014x 2015 x x x 2014x 2014x 2014 x 1 x2 x2 x 1 2014 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x4 2014 x 1 x2 x 1 x4 x 2015 c) x3 y3 z3 3xyz x y 3 3xy x y 3xyz x y z 3 3z x y x y z 3xy x y z x y z x y z 2 3z x y 3xy x y z x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 3zx 3zy 3xy x y z x2 y2 z2 xy yz xz d) (x2 – 8)2 + 36 = x4 - 16x2 + 100 = (x2 + 10)2 – 36x2 = (x2 + 6x + 10)(x2 - 6x + 10) Bài 115: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 5x2 26x 24 1 3 3 2 3 b) x x x 1 8 4 2
45. c) x2 6x 5 4 2 d) x 2015x 2014x 2015 Lời giải a) 5x2 26x 24 5x2 6x 20x 24 x 5x 6 4 5x 6 5x 6 x 4 3 2 3 1 3 3 2 3 1 1 1 2 3 1 b) x x x 1 x 3. x .1 3. x .1 1 x 1 8 4 2 2 2 2 2 c) x2 6x 5 x x 1 5 x 1 x 5 x 1 d) x4 2015x2 2014x 2015 x4 x3 x2 x3 x2 x 2015x2 2015x 2015 x2 x2 x 1 x x2 x 1 2015 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2015 Bài 116: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2 a) 8 x2 3x 5 7 x2 3x 5 15 11 7 b) x x 1 Lời giải 2 a) 8 x2 3x 5 7 x2 3x 5 15 Đặt t x2 3x 5 , ta có: 2 8 x2 3x 5 7 x2 3x 5 15 8t 2 7t 15 8t 2 8t 15t 15 8t t 1 15 t 1 t 1 8t 15 Thay t x2 3x 5 vào đa thức ta có: 2 2 2 2 2 8 x 3x 5 7 x 3x 5 15 x 3x 5 1 8 x 3x 5 15 x2 3x 4 8x2 24x 55 b) x11 x7 1 x11 x10 x9 x10 x9 x8 x8 x7 x6 x6 x5 x4 x5 x4 x3 x3 x2 x x2 x 1 x9 x2 x 1 x8 x2 x 1 x6 x2 x 1 x4 x2 x 1 x3 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 . x9 x8 x6 x4 x3 1
46. Bài 117: 2 2 2 x a 1 a a x 1 x2 x2a a a2 a2 x2 1 x2 a 1 a a2 x2 1 x2 x2a a a2 a2 x2 1 2 2 2 x2 x2a a2 x2 1 a a2 x 1 a a 1 a a x2 x2a a2 x2 1 a a2 x2 1 a a2 1 a a2 2 2 x 1 1 a a 1 a a2 x2 1 1 a a2 1 a a2 Bài 118: 2x2 8 0 2 3 x 0 a) ĐKXĐ: 8 4x 2x x 0 x 2 x 0 x 0 Với thì: x 2 x2 2x 2x2 1 2 A 2 2 3 . 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x x(x 2) 2x2 x2 x 2 . 2(x2 4) 2 x2 x 4 x 2 x x 2 2 2x2.2 x 1 x 2 . 2 x2 4 x 2 x2 2 2 x 4x 4 4x x 1 . 2 x2 4 x x2 4 x 1 x 1 . 2 x2 4 x 2x x 0 x 1 Vậy , với thì A x 2 2x x 0 b) Xét với * x 2 Giả sử biểu thức A nhận giá trị nguyên thì biểu thức 2A cũng nhận giá trị nguyên 2x 2 1 2A ¢ ¢ ¢ x 1;1 2x x x 1; x 1 đều thỏa mãn * 1 1 Với x 1 thì A 0(thỏa mãn A ¢ ) 2( 1)
47. 1 1 Với x 1thì A 2(thỏa mãn A ¢ ) 2.1 Vậy để biểu thức A nhận giá trị nguyên thì x 1;1 Bài 119: x2 x4 1 x2 2 1 x2 x2 1 x2 1 x2 2 1 x4 x2 x4 x2 2 1 2 x4 x2 2 x4 x2 1 2 x4 x2 1 Bài 120: a) ĐKXĐ: x 0; x 1 x(x 1) x 1 x(x 1) x(x 1) x2 P : . x 1 2 x(x 1) x 1 2 x 1 x 1 1 x2 1 1 b) P P x (tm) 2 x 1 2 2 x2 x2 1 1 1 1 Cosi 1 P x 1 x 1 2 2 x 1 . 2 4 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Bài 121: A x3 y3 z3 3xyz x y 3 3xy x y z3 3xyz x y z 3 3 x y z x y z 3xy x y z x y z x y z 2 3 x y z 3xy x y z x2 y2 z2 xy yz xz Bài 122: a/ = x(x2 - 9) = x(x + 3)(x -3) b/ = 4x2 + 4x – x – 1 = (4x2 + 4x) – (x + 1) = 4x(x + 1) – (x + 1) = (x + 1)(4x - 1) c/ = ab( a - b) + b2c – bc2 + ac2 – a2c = ab( a-b) + ( b2c – a2c) + (ac2 – bc2) = ab( a - b) + c( b2- a2) + c2(a - b) 2 = ( a - b) ab ac bc c a b a b c c b c = (a - b)( b - c)( a - c) Bài 123: a 2 2 a/ A = a3 2a2 4a2 8a 4a 8
48. 2 2 a 2 a 2 1 = a 2 a2 4a 4 a 2 a 2 2 a 2 1 b/ Để A Z Z nên a – 2 là ước của a 2 Với a – 2 = 1 thì a = 3 Với a – 2 = - 1 thì a = 1. Vậy a 1;1 thì A là số nguyên Bài 124: a) 2 x 3 3x x 4 x x x 1 x 1 3 3x x 4 A x 1 x2 x 1 x3 1 x 1 x2 x 1 2 x3 2x2 2x 1 x 1 x x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2 1 3 2 x x x 1 2 4 b) Với mọi x 1thì A 2 2 x x 1 1 3 x 2 4 2 2 1 3 1 3 Vì x 0; x 0,x 1 A 0,x 1 2 4 2 4 Bài 125: a) Ta nhận thấy a 1,a 2 là nghiệm của đa thức nên: a3 2a2 13a 10 a 1 a 2 a 5 b) 2 a2 4b2 5 16 ab 1 2 a2 4b2 5 4ab 4 a2 4b2 5 4ab 4 a 2b 2 1 a 2b 2 9 a 2b 1 a 2b 1 a 2b 3 a 2b 3 Bài 126: a) ĐKXĐ: x 2, x 3 2x 9 x 3 2x 4 A x 3 x 2 x 2 x 3 x2 2x 8 x 4 x 2 x 4 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 4 7 b) Ta có: A 1 x 3 x 3 Để A ¢ thì x 3 U (7) 1; 7 x 4;2;4;10 Kết hợp với ĐKXĐ ta được x 4;4;10
49. Bài 127: x20 x 1 x20 x2 x2 x 1 x2 x18 1 x2 x 1 x2 x9 1 x9 1 x2 x 1 x2 x9 1 x3 1 x6 x3 1 x2 x 1 x2. x9 1 x 1 x2 x 1 x6 x3 1 x2 x 1 2 2 9 6 3 x x 1 . x . x 1 x 1 x x 1 1 Bài 128: 1) Ta có: x4 2013x2 2012x 2013 x4 x 2013x2 2013x 2013 x x 1 x2 x 1 2013. x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2013 x 0 2) Điều kiện: x 2 Ta có: x2 2x 2x2 1 2 A 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x x2 2x 2x2 x2 x 2 . 2 4 2 x x2 2 x x2 2 x 4 x2 2x 2x2 x 1 x 2 . 2 2 x2 2 x 4 x 4 2 x 2 x. x 2 4x2 x 1 . x 2 x3 4x2 4x 4x2 x 1 . . 2 x 2 x2 4 x2 2 x2 4 x2 2 x x 4 x 1 x 1 2x2 x2 4 2x x 1 x 0 Vậy A với 2x x 2
50. Bài 129: x2 y z y2 z x z2 x y x2 y z y z z y2 x z2 x z2 y x2 y z yz y z x y2 z2 y z x2 yz xy xz y z x x y z x y y z x y x z Bài 130: x 1 1 2 x3 2x2 a)Q 1 3 2 : 3 2 x 1 x x 1 x 1 x x x 2 x 1 x 1 2 x x 1 x2 x 1 1 . x 1 x2 x 1 x x 2 2x2 4x 1 1 . DK : x 0; 1;2 x 1 x(x 2) 2x(x 2) 2 x 1 1 1 x 1 x x 2 x 1 x 1 x 2(ktm) 3 5 b) x 1 4 4 x (tm) 2 1 Với x Q 3 2 c) Q ¢ x 3; 2;1 Bài 131: 1 5 3 7 ĐKXĐ: x ; x ; x ; x ; x 4 2 2 2 4 2x 3 a) Rút gọn P 2x 5 1 x 1 2 b) x 2 1 x 2 1 1 1 2 )x P ; )x P 2 2 2 3 2x 3 2 c) P 1 ¢ x 5 U (2) 2; 1;1;2 2x 5 x 5
51. x 5 2 x 3(tm) x 5 1 x 4(ktm) x 5 1 x 6(tm) x 5 2 x 7(tm) Kết luận: x 3;6;7thì P nhận giá trị nguyên 2x 3 2 d) P 1 2x 5 x 5 Ta có: 1 0 2 Để P 0 thì 0 x 5 0 x 5 x 5 Với x 5thì P 0 Bài 132: 1 a) ĐKXĐ: x 1; x 2 1 x 2 1 x 5 x x2 1 A 2 . 1 x 1 2x 2 x2 1 2 . 1 x2 1 2x 1 2x b) A nguyên, mà x nguyên nên 2 1 2x Từ đó tìm được x 1 và x 0 Kết hợp điều kiện x 0 A A A 0 c) Ta có: 2 1 0 1 2x 0 x 1 2x 2 1 Kết hợp với điều kiện : 1 x 2 Bài 133: 1) x2 2014x 2013 x2 2013x x 2013 x x 2013 x 2013 x 1 x 2013 2) x(x 2)(x2 2x 2) 1 x2 2x x2 2x 2 1 2 x2 2x 2 x2 2x 1 2 x2 2x 1 x 1 4 Bài 134: a) Ta có:
52. x4 2013x2 2012x 2013 x4 x 2013x2 2013x 2013 x x 1 x2 x 1 2013. x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2013 b) x 0 Điều kiện: x 2 Ta có: x2 2x 2x2 1 2 A 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x x2 2x 2x2 x2 x 2 . 2 4 2 x x2 2 x x2 2 x 4 x2 2x 2x2 x 1 x 2 . 2 2 x2 2 x 4 x 4 2 x 2 x. x 2 4x2 x 1 . x 2 x3 4x2 4x 4x2 x 1 . . 2 x 2 x2 4 x2 2 x2 4 x2 2 x x 4 x 1 x 1 2x2 x2 4 2x x 1 x 0 Vậy A với 2x x 2 Bài 135: b) A x3 y3 z3 3xyz x3 y3 3xy x y z3 3xy x y 3xyz x y 3 z3 3xy x y z x y z x y 2 x y z z2 3xy x y z x y z x2 y2 z2 xy yz xz c) Xét hiệu: 1 1 4 A a b a b b a b a a b 4ab ab a b
53. 2 a2 2ab b2 a b 0(Dấu " "xảy ra a b) ab a b ab a b 1 1 4 Vậy (dấu " "xảy ra a b) a b a b Bài 136: a) Điều kiện x 0, x 2 x2 6 1 10 x2 M 3 : x 2 x 4x 6 3x x 2 x 2 x 2 1 x2 4 10 x2 : x 2 x 2 2 x x 2 x 2 x 2 2 x x 2 6 : x 2 x 2 x 2 6 x 2 1 1 . x 2 x 2 6 x 2 2 x 1 1 1 b) x 1 M 2 x 2 1 3 1 1 3 c) M 2 2 2 2 x 1 2 x x (TMDK) 2 x 2 2 1 d) Để M nhận giá trị nguyên thì nhận giá trị nguyên 2 x 2 x U 1 1;1 2 x 1 x 3(tm) 2 x 1 x 1(tm) Vậy với x 1;3thì M nhận giá trị nguyên. a3 4a2 a 4 Bài 137: Rút gọn biểu thức: P a3 7a2 14a 8 Lời giải 2 2 2 a3 4a2 a 4 a a 1 4 a 1 a 1 a 4 P a3 7a2 14a 8 a3 8 7a a 2 a 2 a2 5a 4 a 1 a 1 a 4 a 1 a 2 a 1 a 4 a 2 a 1 Vậy P với a 1;2;4 a 2 x2 a 1 a a2 x2 1 Bài 138: Rút gọn biểu thức: x2 a 1 a a2 x2 1 Lời giải
54. 2 2 2 x a 1 a a x 1 x2 x2a a a2 a2 x2 1 x2 a 1 a a2 x2 1 x2 x2a a a2 a2 x2 1 2 2 2 x2 x2a a2 x2 1 a a2 x 1 a a 1 a a x2 x2a a2 x2 1 a a2 x2 1 a a2 1 a a2 2 2 x 1 1 a a 1 a a2 x2 1 1 a a2 1 a a2 Bài 139: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x4 4 b) x 2 x 3 x 4 x 5 24 Lời giải a) x4 4 x4 4x2 4 4x2 2 x4 4x2 4 2x 2 x2 2 2x 2 x2 2x 2 x2 2x 2 b) x 2 x 3 x 4 x 5 24 x2 7x 11 1 x2 7x 11 1 24 2 x2 7x 11 1 24 2 x2 7x 11 52 x2 7x 6 x2 7x 16 x 1 x 6 x2 7x 16