Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 4: Phương trình nghiệm nguyên (Có lời giải)

Nội dung text: Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 4: Phương trình nghiệm nguyên (Có lời giải)

1. DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN A.Bài toán 2 2 Bài 1: Tìm các cặp số nguyên x; y sao cho: 3x y 2xy 2x 2y 40 0 Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 xy 6x 5y 8 Bài 3: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x3 2x2 3x 2 y3 Bài 4: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 2xy 7 x y 2y2 10 0 Bài 5: Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho : x2 y2 2y 13 Bài 6: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3x – y3 = 1 Bài 7: Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy. Bài 8: Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn x y 0 và x3 7y y3 7x Bài 9: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 xy y2 x2 y2 Bài 10: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng của ba tích của hai trong ba số ấy bằng 242 . Bài 11: . Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho: x2 y2 2y 13 Bài 12: : Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: x2 y2 2x 4y 10 0 Bài 13: Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số 2x3 x2 2x 5 nguyên. A 2x 1 Bài 14: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 Bài 15: Tìm tất cả các số x,y,z nguyên thỏa mãn: x2 y2 z2 xy 3y 2z 4 0 2 2 Bài 15: Tìm các giá trị x,y nguyên dương sao cho x y 2y 13 Bài 16: Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn phương trình: x2 25 y y 6 Bài 17: Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn y2 2xy 3x 2 0 1 y2 Bài 18: Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn 2x2 4 sao cho tích x2 4 x.y đạt giá trị lớn nhất. Bài 19: Với giá trị nào của a và b thì đa thức x a x 10 1 phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có hệ số nguyên. Bài 20: a) Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn y2 2xy 3x 2 0 1 y2 b) Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn 2x2 4 sao cho tích x.y x2 4 đạt giá trị lớn nhất.
2. Bài 21: Ký hiệu a (phần nguyên của a ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá a. 34x 19 Tìm x biết rằng: 2x 1 11 Bài 22: Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn: x2 x 3 y2 Bài 23: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x2 2x 10 y2 Bài 24: Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: x2 y2 2x 4y 10 0 Bài 25: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: x3 2x2 3x 2 y3 Bài 26: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Bài 27: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn x3 2x2 3x 2 y3 Bài 28: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 y2 3 xy Bài 29: Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn 3x2 3xy 17 7x 2y Bài 30: a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên x; y thỏa mãn: 2x 5y 624 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn: 10x2 50y 42xy 14x 6y 57 0 Bài 31: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy 2012x 2013y 2014 0 Bài 32: Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn 3x2 3xy 17 7x 2y Bài 33: Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình: 5x4 10x2 2y6 4y3 6 0 Bài 34: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 8y2 4xy 2x 4y 4 Bài 35: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x 4x 5x Bài 36: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi Bài 37: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 Bài 38: Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho x2 y2 2y 13 Bài 39: Tìm tất cả các số x, y, z nguyên thỏa mãn: x2 y2 z2 xy 3y 2z 4 0 x; y 2 2 Bài 40: Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn: x x 3 y Bài 41: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Bài 42: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 4xy 5y2 16 0 Bài 43: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 y2 3 xy Bài 44: a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x3 2x2 3x 2 y3
3. b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 y2 2x 4y 10 0 với x, y nguyên dương. Bài 45: Tìm giá trị nguyên của x để AMB biết A 10x2 7x 5 và B 2x 3 Bài 46: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Bài 47: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy 2012x 2013y 2014 0 . Bài 48: Tìm nghiệm nguyên x; y của phương trình x2 y y 1 y 2 y 3 . Bài 49: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x3 2x2 3x 2 y3. Bài 50: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 2 x6 x3 y 32 Bài 51: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: y2 2xy 5x 6 0 Bài 52: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: x3 + 2x2 + 3x + 2 = y3 Bài 53: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 + y2 = 3 - xy Bài 54: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Bài 55: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x3 2x2 3x 2 y3 Bài 56: 4x3 6x2 8x Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên 2x 1 Bài 57: Giải phương trình tìm nghiệm nguyên: 1 x x2 x3 y3 2 2 Bài 58: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x 2xy 7 x y 2y 10 0 2 2 Bài 59: Giải phương trình nghiệm nguyên: x 2y 3xy 3x 5y 15 2 Bài 60: Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn: y 2xy 3x 2 0 2 Bài 61: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: x xy 6x 5y 8 3 2 3 Bài 62: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x 2x 3x 2 y Bài 63: Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn phương trình: x2 25 y y 6 3 2 3 Bài 64: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x 2x 3x 2 y Bài 65: Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn 3x2 3xy 17 7x 2y Bài 66: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy 2012x 2013y 2014 0
4. B. HƯỚNG DẪN Bài 1: Tìm các cặp số nguyên x; y sao cho: 3x2 y2 2xy 2x 2y 40 0 Lời giải Ta có: 3x2 y2 2xy 2x 2y 40 0 4x2 x2 y2 2xy 2x 2y 1 41 x y 1 2 2x 2 41 3x y 1 y x 1 41 Đặt : 3x y 1 a và y x 1 b.Suy ra a và blà các ước của 41, có tích bằng 41.Nhận thấy 41là số nguyên tố, từ đó ta có các trường hợp như bảng sau: a 41 1 1 41 b 1 41 41 1 a b 10 10 10 10 x 4 a 3b 4 12 32 30 10 y 4 Vậy các cặp số nguyên x; y cần tìm là 10; 12 ; 10; 32 ; 10;30 ; 10;10 Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 xy 6x 5y 8 Lời giải x2 xy 6x 5y 8 x2 6x 8 y x 5 (2) x2 6x 8 y (vì x 5không là nghiệm của 2 ) x 5 3 y x 1 x 5 Vì x, y nguyên nên x 5 là ước của 3 x 5 1;1;3; 3 hay x 4;6;8;2 x 2 6 4 8 y 0 8 0 8 Vậy nghiệm của phương trình x; y 2;0 ; 4;0 ; 6;8 ; 8;8  Bài 3: . Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x3 2x2 3x 2 y3 Lời giải 2 3 3 2 3 7 Ta có: y x 2x 3x 2 2 x 0 x y (1) 4 8 2 3 3 2 9 15 x 2 y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 (2) 4 16 Từ 1 và 2 ta có: x y x 2 mà x, y nguyên suy ra y x 1
5. Thay y x 1 vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được x 1 y 0 Vậy x; y 1;0 Bài 4: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 2xy 7 x y 2y2 10 0 Lời giải Ta có: x2 2xy 7 x y 2y2 10 0 4x2 8xy 28x 28y 8y2 40 0 2x 2y 7 2 4y2 9 * 2 9 Ta thấy 2x 2y 7 0 nên 4y2 9 y2 do y nguyên nên y2 0;1 4 y 01; 1 Với y 0 thay vào * ta được: 2x 7 2 9 tìm được x 2; 5 Với y 1thay vào * ta có: 2x 9 2 5, không tìm được x nguyên Với y 1 thay vào * ta có 2x 5 2 5 không tìm được x nguyên Vậy x; y 2;0 ; 5;0  Bài 5: Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho : x2 y2 2y 13 Lời giải Ta có: x2 y2 2y 13 x2 y 1 2 12 x y 1 x y 1 12 Do x y 1 x y 1 2y 2 là số chẵn và x, y ¥ *nên x y 1 x y 1.Do đó x y 1 và x y 1là hai số nguyên dương chẵn Từ đó suy ra chỉ có một trường hợp : x y 1 6 và x y 1 2 x 4và y 1.Vậy x; y 4;1 Bài 6: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3x – y3 = 1 Lời giải 3x – y3 = 1 3x = y3 + 1 (1) - Dễ thấy x = y = 0 là một nghiệm của (1). 1 - Nếu x 0 thì 3x M3 (1) 3x = (y + 1)3 – 3y(y + 1) (y + 1)3 M3 nên y + 1 M3 Đặt y + 1 = 3k ( k nguyên), suy ra y = 3k – 1. Thay vào (1) ta được: 3x = (3k – 1)3 + 1 = 9k(3k2 – 3k + 1) nên 3k2 – 3k + 1 là ước của 3x mà 3k2 – 3k + 1 M3 và 2 1 1 3k2 – 3k + 1= 3 k 0 2 4 nên 3k2 – 3k + 1 = 1 3k(3k – 1) = 0 k = 0 hoặc k = 1.
6. Với k = 0 thì y = - 1 suy ra 3x = 0 phương trình vô nghiệm. Với k = 1 thì y = 2 suy ra 3x = 9 nên x = 2. Bài 7: Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy. Lời giải a) x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy. x2 + y2 – 2xy = 35xy - 5x2y2 - 60 2 (x – y) = 5(3 – xy)(xy – 4) (1) Vì (x – y)2 ≥ 0 nên 5(3 – xy)(xy – 4) ≥ 0 3 ≤ xy ≤ 4 xy {3;4} x 2 xy 4 y 2 Đẳng thức (1) xảy ra x, y ¢ . x 2 x y y 2 Vậy (x,y) {(2;2);(-2;-2)} 3 3 Bài 8: Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn x y 0 và x 7y y 7x Lời giải PT x y x2 xy y2 7 x y x y x2 xy y2 7 0 x2 xy y2 7 0(Vi x y) x y 2 7 3xy 0 xy 2 Vì x y 0 nên xy 2 , do đó x 2; y 1 Bài 9: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 xy y2 x2 y2 Lời giải: Thêm xy vào hai vế của phương trình ta có: x2 2xy y2 x2 y2 xy x y 2 xy xy 1 Ta thấy xy & xy 1là hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương nên tồn tại một số bằng 0 TH1: xy 0 x2 y2 x y 0 TH2: xy 1 0ta có xy 1nên x; y 1; 1 ; 1;1  Thử lại ba cặp số 0;0 ; 1;1 ; 1; 1 đều là nghiệm của phương trình đã cho. Bài 10: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng của ba tích của hai trong ba số ấy bằng 242 Lời giải Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là x, x 1, x 2. Ta có: x x 1 x x 2 x 1 x 2 2 4 2 x 2 x x 2 2 x x 2 3 x 2 2 4 2 3 x 2 6 x 2 2 4 2 3 x 2 6 x 2 4 0 x 2 2 x 8 0 x 2 2 x 1 8 1 x 1 2 9 2 x 1 9 x 8 (T M ) x 1 9 x 1 0 ( K T M ) Vậy ba số tự nhiên liên tiếp cần tìm là 8;9;10
7. Bài 11: . Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho: x2 y2 2y 13 Lời giải Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng x y 1 x y 1 12 Lập luận để có x y 1 x y 1và x y 1; x y 1là các ước dương của 12. Từ đó ta có các trường hợp: x y 1 12 6 4 x y 1 1 2 3 x 13 4 7 2 2 y 9 1 1 2 2 Mà x; y nguyên dương nên x; y 4;1 Bài 12: : Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: x2 y2 2x 4y 10 0 Lời giải x2 y2 2x 4y 10 0 x2 2x 1 y2 4y 4 7 0 x 1 2 y 2 2 7 x y 1 x y 3 7 Vì x, y nguyên dương nên x y 3 x y 1 0 x y 3 7 và x y 1 1 x 3; y 1 Phương trình có nghiệm dương duy nhất x, y 3,1 Bài 13: Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số nguyên. 2x3 x2 2x 5 A 2x 1 Lời giải: 1 ĐKXĐ: 2x 1 0 x 2 2x3 x2 2x 5 x2 2x 1 2x 1 4 4 Ta có: A x2 1 2x 1 2x 1 2x 1 Để A có giá trị nguyên khi x nguyên thì 2x 1 U 4 4; 2; 1;1;2;4 Lập bảng: 2x +1 -4 -2 -1 1 2 4 2x -5 -3 -2 0 1 3 x 3 -1 0 1 3 5 2 2 2 2 Vậy, x 1;0 . Bài 14: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 Giải: +) Với a,b,c,d dương, ta có:
8. a b c d F b c c d d a a b a c b d a d a c b c b a b d c d b c d a c d a b b c d a c d a b 2 2 2 2 a2 c2 ad bc b2 d2 ab cd 4 a b c d ab ad bc cd 2 1 2 1 2 . b c d a c d a b a b c d 4 4 1 2 (theo bất đẳng thức xy x y ) 4 2 Mặt khác: 2 a2 b2 c2 d2 ab ad bc cd a b c d 2 2 a2 b2 c2 d2 2ac 2bd a c b d 0 Suy ra F 2 và đẳng thức xảy ra a c; b d +)Áp dụng F 2 với a 2016,b x,c y,d 2015 ta có: 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 Đẳng thức xảy ra y 2016,x 2015 Bài 15: Tìm tất cả các số x,y,z nguyên thỏa mãn: x2 y2 z2 xy 3y 2z 4 0 Giải: a) x2 y2 z2 xy 3y 2z 4 0 2 2 y 2 3 2 x xy z 2z 1 y 3y 3 0 4 4 2 y 2 3 2 x z 1 y 2 0 2 4 Có các giá trị x,y,z 1; 2;1 Bài 16: Tìm các giá trị x,y nguyên dương sao cho x2 y2 2y 13 Giải: Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng x y 1 x y 1 12 Lập luận để có x y 1 x y 1và x y 1; x y 1 là các ước dương của 12 từ đó có các trường hợp x y 1 12 6 4 x y 1 1 2 3 x 13 4 7 2 2 y 9 1 1 2 2 Mà x,y nguyên dương nên x; y 4;1 Bài 17: Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn phương trình: x2 25 y y 6
9. Lời giải x2 25 y y 6 x2 y 3 2 16 4 . 4 x y 3 x y 3 2 . 8 1 . 16 x y 7 -1 5 1 11 -5 4 2 19 -13 x y 1 -7 5 -11 -1 5 13 -19 -2 -4 Vậy các cặp số nguyên phải tìm là: 4; 3 ; 4; 3 ; 5;0 ; 5; 6 ; 5; 6 ; 5;0 Bài 18: Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn y2 2xy 3x 2 0 Lời giải y2 2xy 3x 2 0 x2 2xy y2 x2 3x 2 x y x 1 x 2 * V T (*) là số chính phương, VP (*) là tích hai số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0 x 1 0 x 1 x 2 0 x 2 Với x 1 y 1 Với x 2 y 2 1 y2 Bài 19: Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn 2x2 4 sao cho tích x2 4 x.y đạt giá trị lớn nhất. Lời giải Điều kiện x 0 2 2 2 1 y 2 1 2 y 2x 2 4 x 2 2 x xy xy 2 x 4 x 4 2 2 1 y x x xy 2 x 2 2 2 1 y Vì x 0; x 0với mọi x 0; mọi y x 2 Do đó xy 2 mà x, y ¢ x 1; y 2 x 2; y 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 1; y 2 x 2; y 1
10. Bài 20: Với giá trị nào của a và b thì đa thức x a x 10 1 phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có hệ số nguyên. Lời giải Giả sử : x a x 10 1 x m x n m,n ¢ x2 a 10 x 10a 1 x2 m n x mn m n a 10 mn 10a 1 Khử a ta có: mn 10 m n 10 1 mn 10m 10n 100 1 m(n 10) 10(n 10) 1 m 10 1 m 10 1 a 12 Vì m,n nguyên ta có: & n 10 1 n 10 1 a 8 Bài 21: a) Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn y2 2xy 3x 2 0 1 y2 b) Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn 2x2 4 sao cho tích x.y x2 4 đạt giá trị lớn nhất. Lời giải a) y2 2xy 3x 2 0 x2 2xy y2 x2 3x 2 x y x 1 x 2 * VT (*) là số chính phương, VP (*) là tích hai số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0 x 1 0 x 1 x 2 0 x 2 Với x 1 y 1 Với x 2 y 2 b) Điều kiện x 0 2 2 2 1 y 2 1 2 y 2x 2 4 x 2 2 x xy xy 2 x 4 x 4 2 2 1 y x x xy 2 x 2 2 2 1 y Vì x 0; x 0 với mọi x 0; mọi y x 2 Do đó xy 2 mà x, y ¢ x 1; y 2 x 2; y 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 1; y 2 x 2; y 1
11. Bài 22: Ký hiệu a (phần nguyên của a ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá a. 34x 19 Tìm x biết rằng: 2x 1 11 Lời giải 34x 19 34x 19 2x 1 0 2x 1 1vả 2x 1 ¢ 11 11 4 1 1 3 0 12x 8 11 8 12x 3 2x 2x 1 3 2 3 2 1 2x 1 0 x Do 2x 1 ¢ 2 2x 1 1 x 0 Bài 23: Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn: x2 x 3 y2 Lời giải 2 1) x2 x 3 y2 4x2 4x 12 4y2 2x 1 4y2 11 2x 2y 1 2x 2y 1 11 2x 2y 1 1 x 3 2x 2y 1 11 y 3 2x 2y 1 1 x 2 2x 2y 1 11 y 3 2x 2y 1 11 x 2 2x 2y 1 1 y 3 2x 2y 1 11 x 3 2x 2y 1 1 y 3 Bài 24: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x2 2x 10 y2 Lời giải 2 x2 2x 10 y2 x 1 y2 11 Ta có: x 1 y x 1 y 11 (2) Vì x,y ¥ nên x 1 y x 1 y 0 (2) viết thành: x 1 y x 1 y 11.1 x 1 y 11 x 5 x 1 y 1 y 5 Vậy x; y 5; 5 Bài 25: Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: x2 y2 2x 4y 10 0 Lời giải Ta có: x2 y2 2x 4y 10 0 x2 2x 1 y2 4y 4 7 0 2 2 x 1 y 2 7 x y 1 x y 3 7 Vì x,y nguyên dương nên
12. x y 3 x y 1 0 x y 3 7 và x y 1 1 x 3; y 1 Phương trình có nghiệm dương duy nhất x,y 3,1 Bài 26: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: x3 2x2 3x 2 y3 Lời giải 2 3 3 2 3 7 Ta có: y x 2x 3x 2 2 x 0 x y (1) 4 8 2 3 3 2 9 15 x 2 y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 (2) 4 16 Từ 1 và 2 ta có: x y x 2 mà x,y nguyên suy ra y x 1 Thay y x 1 vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được x 1 y 0 Vậy x; y 1;0 Bài 27: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Lời giải Gọi các cạnh của tam giác vuông là x,y,z trong đó cạnh huyền là z (x,y,z là các số nguyên dương). Ta có xy 2 x y z (1) và x2 y2 z2 (2) 2 Từ (2) suy ra z2 x y 2xy, thay (1) vào ta có: 2 z2 x y 4 x y z 2 2 z2 4z x y 4 x y z2 4z 4 x y 4 x y 4 2 2 z 2 x y 2 z 2 x y 2 z 2 x y 2(ktm vi z 0) z x y 4; thay vào (1) ta được: xy 2 x y x y 4 xy 4x 4y 8 x 4 y 4 8 1.8 2.4 Từ đó tìm được các giá trị của x,y,z là: x; y; z 5;12;13 ; 12; 5;13 ; 6;8;10 ; 8;6;10  Bài 28: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn x3 2x2 3x 2 y3 2 3 3 2 3 7 Lời giải Ta có: y x 2x 3x 2 2 x 0 x y (1) 4 8 2 3 3 2 9 15 x 2 y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 (2) 4 16 Từ (1) và (2) ta có : x y x 2,mà x,y nguyên suy ra y x 1 x 1 Thay y x 1 vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được x 1 Từ đó tìm được hai cặp số x,y thỏa mãn Câu toán là: 1;0 ; 1; 2
13. Bài 29: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 y2 3 xy Lời giải 2 Ta có: x y 0 x2 y2 2xy 3 xy 2xy xy 1 2 Lại có: x y 0 x2 y2 2xy 3 xy 2xy xy 3 Suy ra 3 xy 1.Mà x,y ¢ xy 3; 2 1;0;1 Lần lượt thử ta được x,y 2;1 ; 1; 2 ; 2; 1 ; 1; 2 ; 1;1  là nghiệm của PT Bài 30: Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn 3x2 3xy 17 7x 2y Lời giải Ta có: 3x2 3xy 17 7x 2y 3xy 2y 3x2 7x 17 3x 2 y 3x2 7x 17 Vì x nguyên nên 2x 3 0 nên ta có: 3x2 7x 17 3x2 2x 9x 6 11 y 3x 2 2 x 3x 2 3 3x 2 11 11 x 3 3x 2 3x 2 11 Vì x,y nguyên nên ta có nguyên 11M3x 2 3x 2 1; 11 3x 2 Xét các trường hợp ta tìm được x 1; y 1; x 3; y 5 thỏa mãn và kết luận Bài 31: a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên x; y thỏa mãn: 2x 5y 624 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn: 10x2 50y 42xy 14x 6y 57 0 Lời giải a) Ta có: 2x 5y 624 2x 624 5y (*) +Xét x 0,ta có: 5y 625 y 4 +Xét x ¥ và x 0 ta có VT(*) là số chẵn còn vế phải (*) là số lẻ, Vô lý Vậy x; y 0; 4 b) Ta có: 10x2 50y2 42xy 14x 6y 57 0 9x2 42xy 49y2 x2 14x 49 y2 6y 9 1 0 2 2 2 3x 7y x 7 y 3 1 0 2 2 2 3x 7y x 7 y 3 1 2 3x 7y 0 2 2 2 2 Vì x 7 0 và x,y ¢ nên 3x 7y x 7 y 3 0 2 y 3 0 2 2 2 x 7 3x 7y x 7 y 3 0 y 3
14. Bài 32: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy 2012x 2013y 2014 0 Lời giải x2 xy 2012x 2013y 2014 0 x2 xy x 2013x 2013y 2013 1 x x y 1 2013 x y 1 1 x 2013 x y 1 1 x 2013 1 x 2014 x y 1 1 y 2014 x 2013 1 x 2012 x y 1 1 y 2014 Bài 33: Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn 3x2 3xy 17 7x 2y Lời giải Ta có: 3x2 3xy 17 7x 2y 3xy 2y 3x2 7x 17 3x 2 y 3x2 7x 17 Vì x nguyên nên 2x 3 0 nên ta có: 3x2 7x 17 3x2 2x 9x 6 11 y 3x 2 2 x 3x 2 3 3x 2 11 11 x 3 3x 2 3x 2 11 Vì x, y nguyên nên ta có nguyên 11M3x 2 3x 2 1; 11 3x 2 Xét các trường hợp ta tìm được x 1; y 1; x 3; y 5 Bài 34: Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình: 5x4 10x2 2y6 4y3 6 0 Lời giải 5x4 10x2 2y6 4y3 6 0 5x4 10x2 5 2y6 4y3 2 13 5(x4 2x2 1) 2(y6 2y3 1) 13 5( x2 1)2 2(y3 1)2 13 x Z x2 1 Z Vì: 3 y Z y 1 Z Mà 5( x2 1)2 13 x2 1 1 Mặt khác x2 1 1 với mọi x x2 1 1 x2 0 x 0 Với x 0 , ta có: 5 2(y3 1)2 13 2(y3 1)2 8 (y3 1)2 4 y3 1 2 y3 1 3 3 y 1 2 y 3 Vì y Z nên y3 = 1 y = 1 Vậy phương trình có một nghiệm nguyên x; y 0;1
15. Bài 35: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 8y2 4xy 2x 4y 4 Lời giải x2 8y2 4xy 2x 4y 4 x 2y 1 2 4y2 5 4y2 4 2 2 2 Do 4y M4; x 2y 1 0;4y 0 x, y nên 2 x 2y 1 1 y 1 y 1 x 0 y 1 2 x 1 1 x 2 y 1 thỏa mãn x, y nguyên 2 y 1 y 1 x 2y 1 1 2 x 2 x 3 1 x 4 Vậy x; y 0;1 ; 2;1 ; 2; 1 ; 4; 1  Bài 36: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x 4x 5x Lời giải Ta thấy x 2 là nghiệm của phương trình đã cho. Với x 2 ta xét: x x 3 4 Nếu x 2 thì 1 5 5 Với x 2 dễ thấy x 0; x 1 không phải là nghiệm của phương trình Với x 0 ta đặt x y thì y 0nên y 1. Ta có: x x y y y y 3 4 3 4 5 5 1 1 1 5 5 5 5 3 4 y y 5 5 5 5 Phương trình này vô nghiệm vì 1 3 4 3 4 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 2 Bài 37: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi Lời giải: Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z trong đó cạnh huyền là z ( x, y, z là các số nguyên dương) Ta có: xy 2 x y z 1 và x2 y2 z2 (2) Từ (2) suy ra z2 x y 2 2xy, thay (1) vào ta có: z2 x y 2 4 x y z z2 4z x y 2 4 x y z2 4z 4 x y 2 4 x y 4 z 2 2 x y 2 2 Suy ra z 2 x y 2 z x y 4;thay vào 1 ta được: xy 2 x y x y 4 xy 4x 4y 8 x 4 y 4 8 1.8 2.4
16. Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y, z là: x; y; z 5;12;13 ; 12;5;13 ; 6;8;10 ; 8;6;10  Bài 38: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 Lời giải +) Với a,b,c,d dương, ta có: a b c d F b c c d d a a b a c b d a d a c b c b a b d c d b c d a c d a b b c d a c d a b 2 2 2 2 a2 c2 ad bc b2 d 2 ab cd 4 a b c d ab ad bc cd 2 1 2 1 2 . b c d a c d a b a b c d 4 4 1 2 (theo bất đẳng thức xy x y ) 4 Mặt khác: 2 a2 b2 c2 d 2 ab ad bc cd a b c d 2 a2 b2 c2 d 2 2ac 2bd a c 2 b d 2 0 Suy ra F 2 và đẳng thức xảy ra a c;b d +)Áp dụng F 2 với a 2016,b x,c y,d 2015 ta có: 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 Đẳng thức xảy ra y 2016, x 2015 Bài 39: Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho x2 y2 2y 13 Lời giải Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng x y 1 x y 1 12 Lập luận để có x y 1 x y 1và x y 1; x y 1là các ước dương của 12 từ đó có các trường hợp x y 1 12 6 4 x y 1 1 2 3 x 13 4 7 2 2 y 9 1 1 2 2 Mà x, y nguyên dương nên x; y 4;1 Bài 40: Tìm tất cả các số x, y, z nguyên thỏa mãn: x2 y2 z2 xy 3y 2z 4 0 Lời giải x2 y2 z2 xy 3y 2z 4 0 2 2 y 2 3 2 x xy z 2z 1 y 3y 3 0 4 4 2 y 2 3 2 x z 1 y 2 0 2 4 Có các giá trị x, y, z 1;2;1
17. Bài 41: Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn: x2 x 3 y2 Lời giải x2 x 3 y2 4x2 4x 12 4y2 2x 1 2 4y2 11 2x 2y 1 2x 2y 1 11 2x 2y 1 1 x 3 2x 2y 1 11 y 3 2x 2y 1 1 x 2 2x 2y 1 11 y 3 2x 2y 1 11 x 2 2x 2y 1 1 y 3 2x 2y 1 11 x 3 2x 2y 1 1 y 3 Bài 42: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Lời giải Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z trong đó cạnh huyền là z (x, y, z là các số nguyên dương). Ta có xy 2 x y z (1) và x2 y2 z2 (2) Từ (2) suy ra z2 x y 2 2xy, thay (1) vào ta có: z2 x y 2 4 x y z z2 4z x y 2 4 x y z2 4z 4 x y 2 4 x y 4 z 2 2 x y 2 2 z 2 x y 2 z 2 x y 2(ktm vi z 0) z x y 4; thay vào (1) ta được: xy 2 x y x y 4 xy 4x 4y 8 x 4 y 4 8 1.8 2.4 Từ đó tìm được các giá trị của x, y, z là: x; y; z 5;12;13 ; 12;5;13 ; 6;8;10 ; 8;6;10  Bài 43: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 4xy 5y2 16 0 Lời giải x2 4xy 5y2 16 0 x 2y 2 16 y2 (1) Từ 1 suy ra 16 y2 0 y2 16 y2 0;4;9;16
18. *)y2 0 y 0 x 4 *)y2 4 y 2 x ¢ (ktm) *)y2 9 y 3 x ¢ (ktm) *)y2 16 y 4 x 8 Vậy phương trình đã cho có các cặp nghiệm nguyên là 4;0 ; 4;0 ; 8;4 ; 8; 4 2 2 Bài 44: Giải phương trình nghiệm nguyên : x y 3 xy Lời giải Ta có: x y 2 0 x2 y2 2xy 3 xy 2xy xy 1 Lại có: x y 2 0 x2 y2 2xy 3 xy 2xy xy 3 Suy ra 3 xy 1.Mà x, y ¢ xy 3; 2 1;0;1 Lần lượt thử ta được x, y 2;1 ; 1; 2 ; 2; 1 ; 1;2 ; 1;1 là nghiệm của phương trình Bài 45: a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x3 2x2 3x 2 y3 b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 y2 2x 4y 10 0 với x, y nguyên dương. Lời giải 2 3 3 2 3 7 a) Ta có: y x 2x 3x 2 2 x 0 x y (1) 4 8 2 3 3 2 9 15 x 2 y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 (2) 4 16 Từ 1 và 2 ta có: x y x 2 mà x, y nguyên suy ra y x 1 Thay y x 1 vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được x 1 y 0 Vậy x; y 1;0 b) x2 y2 2x 4y 10 0 x2 2x 1 y2 4y 4 7 0 x 1 2 y 2 2 7 x y 1 x y 3 7 x y 3 7 x 3 Vì x, y nguyên dương nên x y 3 x y 1 0 x y 1 1 y 1 Vậy x; y 3;1 Bài 46: Tìm giá trị nguyên của x để AMB biết A 10x2 7x 5 và B 2x 3 Lời giải A 10x2 7x 5 7 Xét 5x 4 B 2x 3 2x 3 7 Với x ¢ thì AMB khi ¢ 7M 2x 3 2x 3 Mà Ư (7) 1;1;7; 7 nên x 5; 2;2;1thì AMB
19. Bài 47: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Lời giải Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y , z ; trong đó cạnh huyền là z (x, y, z là các số nguyên dương) Ta có : xy 2(x y z) (1) và x2 y2 z2 (2) Từ (2) suy ra z2 x y 2 2xy, thay (1) vào ta có : z2 x y 2 2xy, thay (1) vào ta có: z2 x y 2 4 x y z z2 4z x y 2 4(x y) z2 4x 4 x y 2 4(x y) 4 z 2 2 x y 2 2 z 2 x y 2 z x y 4 , thay vào (1) ta được: xy 2 x y x y 4 xy 4x 4y 8 x 4 . y 4 8 1.8 2.4 Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y, z là : x; y; z 5;12;13 ; 12;5;13 ; 6;8;10 ; 8;6;10  Bài 48: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy 2012x 2013y 2014 0 . Lời giải 2 2 2 x2 4x 2. x 2 43 x2 4x 2 x2 4x 4 43; Đặt x2- 4x = t. ĐK t - 4 Khi đó ta có được phương trình: t2 + 2t - 35 = 0 (t + 7)(t – 5) = 0 t = -7 (loại) hoặc t = 5 Với t = 5, khi đó x2 - 4x - 5 = 0 (x +1)(x – 5) = 0 x = 5 hoặc x = -1 Vậy tập nghiệm phương trình là S = {-1; 5} Bài 49: Tìm nghiệm nguyên x; y của phương trình x2 y y 1 y 2 y 3 . Lời giải x2 y y 1 y 2 y 3 x2 y y 3 y 1 y 2 x2 y2 3y y2 3y 2 Đặt t y2 3y 1 ta được x2 t 1 t 1 x2 t 2 1 x2 t 2 1 x t x t 1 Vì x, y là những số nguyên nên x t và x t cũng là những số nguyên. Do đó ta có hai trường hợp sau: * TH1: x t 1 và x t 1. Suy ra x 0 và t 1. Với t 1 thì y2 3y 1 1 y2 3y 2 0 y 1 y 2 0 y 1 hoặc y 2 . * TH2: x t 1 và x t 1. Suy ra x 0 và t 1. Với t 1 thì y2 3y 1 1 y2 3y 0 y y 3 0 y 0 hoặc y 3 . Vậy PT đã cho có 4 nghiệm nguyên x; y là 0; 3 , 0; 2 , 0; 1 , 0;0
20. Bài 50: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x3 2x2 3x 2 y3. Lời giải 2 3 3 2 3 7 Ta có y x 2x 3x 2 2 x 0 x y (1) 4 8 2 3 3 2 9 15 (x 2) y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 (2) 4 16 Từ (1) và (2) ta có x 0 x 0 y < x + 2 (2) 4 16 Từ (1) và (2) ta có : x < y < x + 2, mà x,y nguyên nên suy ra y = x + 1 Thay y = x + 1 vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được x = 1 hoặc -1. Từ đó tìm được hai cặp số (x;y) thỏa mãn bài toán là (-1;0); (1;2)
21. Bài 54: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 + y2 = 3 - xy Lời giải Ta có: (x ― y)2 ≥ 0 x2 + y2 ≥ 2xy 3 ― xy ≥ 2xy xy ≤ 1 Lại có:(x + y)2 ≥ 0 x2 + y2 ≥ ― 2xy 3 ― xy ≥ ―2xy xy ≥ ―3 Suy ra ―3 ≤ xy ≤ 1. Mà x,y ∈ Z xy ∈ { ―3; ― 2; ― 1;0 ;1} Lần lượt thử ta được (x;y) ∈ {( ―2;1);(1; ― 2);(2; ― 1);( ―1;2);(1;1)} là nghiệm của phương trình. Bài 55: Lời giảiGọi các cạnh của tam giác vuông là x;y;z trong đó cạnh huyền là z. (x;y;z là các số nguyên dương). Ta có: xy = 2(x + y + z)(1)vàx2 + y2 = z2(2) Từ (2) suy ra z2 = (x + y)2 ―2xy, thay (1) vào ta có: z2 = (x + y)2 ― 4(x + y + z)2 z2 + 4z = (x + y)2 ― 4(x + y) z2 + 4z + 4 = (x + y)2 ― 4(x + y) + 4 (z + 2)2 = (x + y ― 2)2 z + 2 = x + y ― 2 z + 2 = ― x ― y + 2( không thỏa mãn vì z > 0) Suy ra z = x + y ― 4 thay vào (1) ta được: xy = 2(x + y + x + y ― 4) xy ― 4x ― 4y = ―8 (x ― 4)(y ― 4) = 8 = 1.8 = 2.4 Từ đó tìm được các giá trị của x;y;z là: ( ; ; ) ∈ {(5;12;13);(12;5;13);(6;8;10);(8;6;10)} Bài 56: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x3 2x2 3x 2 y3 Lời giải 2 3 3 2 3 7 1.1 Ta có: y x 2x 3x 2 2 x 0 x y (1) 4 8 2 3 3 2 9 15 x 2 y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 (2) 4 16 Từ 1 và 2 ta có: x y x 2 mà x, y nguyên suy ra y x 1 Thay y x 1 vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được x 1 y 0 Vậy x; y 1;0 4x3 6x2 8x Bài 57: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên 2x 1 Lời giải 4x3 6x2 8x 4x3 2x2 4x2 2x 6x 3 3 3 a) B 2x2 2x 3 2x 1 2x 1 2x 1 Để B nhận giá trị nguyên thì 2x 1 U (3) 1;1; 3;3 x 0;1; 1;2 Bài 58: Giải phương trình tìm nghiệm nguyên: 1 x x2 x3 y3 Lời giải 2 2 1 3 Ta nhận thấy 1 x x x 0 với mọi x 2 4 Nên x3 1 x x2 x3 y3 Theo câu a): x 2 3 1 x x2 x3
22. Suy ra : x3 y3 x 2 3 3 3 2 3 3 x 1 y x 1 1 x x x x 1 x x 1 0 x 0 x 1 y 0 x 0 y 1 Vậy phương trình có các nghiệm nguyên 1;0 ; 0;1 Bài 59: Ta có: x2 2xy 7 x y 2y2 10 0 4x2 8xy 28x 28y 8y2 40 0 2x 2y 7 2 4y2 9 * 2 9 Ta thấy: 2x 2y 7 0nên 4y2 9 y2 do y nguyên nên 4 y2 0;1 y 0;1; 1 Với y 0thay vào * ta được 2x 7 2 9 tìm được x 2; 5 Với y 1thay vào * ta có : 2x 9 5 5 không tìm được x nguyên Với y 1thay vào * ta có: 2x 5 2 5không tìm được x nguyên. Vậy x; y nguyên tìm được 2;0 ; 5;0 Bài 60: Biến đổi về dạng : x y 2 x 2y 1 17 1.17 17.1 1. 17 17. 1 Xét 4 trường hợp x; y 30; 15 ; 18;17 ; 12; 15 ; 36;17  Bài 61: Ta có: y2 2xy 3x 2 0 x2 2xy y2 x2 3x 2 * x y 2 x 1 x 2 VT của (*) là số chính phương ; VP của (*) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên phải có một số bằng 0 x 1 0 x 1 y 1 x 2 0 x 2 y 2 Vậy có 2 cặp số nguyên x; y 1;1 ; 2;2  Bài 62: x2 xy 6x 5y 8 x2 6x 8 y x 5 (2) x2 6x 8 y (vì x 5không là nghiệm của phương trình (2)) x 5 3 y x 1 .Vì x, y nguyên nên x 5là ước của 3 x 5 Hay x 5 1;3;1; 3 hay x 4;6;8;2 Khi x 2 y 0 Khi x 4 y 0 Khi x 6 y 8 Khi x 8 y 8
23. Vậy phương trình có nghiệm nguyên là x, y 2,0 ; 4,0 ; 6,8 ; 8,8  2 3 3 2 3 7 Bài 63: Ta có: y x 2x 3x 2 2 x 0 x y (1) 4 8 2 3 3 2 9 15 x 2 y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 (2) 4 16 Từ 1 và 2 ta có: x y x 2 mà x, y nguyên suy ra y x 1 Thay y x 1 vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được x 1 y 0 Vậy x; y 1;0 Bài 64: Bài 6. x2 25 y(y 6) x2 y 3 2 16 x y 3 x y 3 4 . 4 2 . 8 1 . 16 x y 7 -1 5 1 11 -5 4 2 19 -13 x y 1 -7 5 -11 -1 -5 13 -19 -2 -4 Vậy các cặp số nguyên phải tìm là: 4; 3 ; 4; 3 ; 5;0 ; 5; 6 ; 5; 6 ; 5;0 Bài 65: Lời giải 2 3 3 2 3 7 Ta có: y x 2x 3x 2 2 x 0 x y (1) 4 8 2 3 3 2 9 15 x 2 y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 (2) 4 16 Từ 1 và 2 ta có: x y x 2 mà x, y nguyên suy ra y x 1 Thay y x 1 vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được x 1 y 0 Vậy x; y 1;0 Bài 66: Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn 3x2 3xy 17 7x 2y Lời giải Ta có: 3x2 3xy 17 7x 2y 3xy 2y 3x2 7x 17 3x 2 y 3x2 7x 17 Vì x nguyên nên 2x 3 0 nên ta có: 3x2 7x 17 3x2 2x 9x 6 11 y 3x 2 2 x 3x 2 3 3x 2 11 11 x 3 3x 2 3x 2 11 Vì x, y nguyên nên ta có nguyên 11M3x 2 3x 2 1; 11 3x 2 Xét các trường hợp ta tìm được x 1; y 1; x 3; y 5 thỏa mãn và kết luận.
24. Bài 67: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy 2012x 2013y 2014 0 Lời giải a) x2 xy 2012x 2013y 2014 0 x2 xy x 2013x 2013y 2013 1 x x y 1 2013 x y 1 1 x 2013 x y 1 1 x 2013 1 x 2014 x y 1 1 y 2014 x 2013 1 x 2012 x y 1 1 y 2014