Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 14: Các dạng khác (Có lời giải)

Nội dung text: Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 14: Các dạng khác (Có lời giải)

1. DẠNG 14: CÁC DẠNG KHÁC A.Bài toán Bài 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một ô tô đi từ A đến B .Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A với vận tốc bằng 2 vận tốc ô tô thứ nhất .Sau 5 giờ chúng gặp nhau.Hỏi mỗi ô tô đi cả 3 quãng đường AB thì mất bao lâu? Bài 2: Một khối 8 có 2 số học sinh đội tuyển Toán bằng 3 số học sinh đội tuyển 3 4 Anh và bằng 4 số học sinh đội tuyển Văn. Đội tuyển Văn có số học sinh ít hơn 5 tổng số học sinh của hai đội tuyển kia là 38 học sinh. Tính số học sinh của mỗi đội tuyển ? Bài 3:Trong một đề thi có 3 Câu toán A,B,C. Có 25 học sinh mỗi người đều đã giải được ít nhất một trong 3 Câu đó. Biết rằng: - Trong số thí sinh không giải được Câu A thì số thì sinh đã giải được Câu B nhiều gấp hai lần số thí sinh đã giải được Câu C - Số thí sinh chỉ giải được Câu A nhiều hơn số thí sinh giải được Câu A và thêm Câu khác là 1 người - Số thí sinh chỉ giải được Câu A bằng số thí sinh chỉ giải được Câu B cộng với số thí sinh chỉ giải được Câu C. Hỏi có bao nhiêu thí sinh chỉ giải được Câu B? Bài 4: Để tham gia ngày chạy Olympic vì sức khỏe toàn dân, trường A đã nhận được một số chiếc áo và chia đều cho các lớp. Biết rằng theo thứ tự, lớp thứ nhất 1 nhận được 4 áo và 9 số còn lại, rồi đến lớp thứ n(n = 2;3;4 )nhận được 4n áo và 1 9 số áo còn lại. Cứ như thế các lớp đã nhận hết số áo. Hỏi trường A đã nhận được bao nhiêu chiếc áo ? 2k 1 Bài 5: Cho a1,a2 ,a3 , ,a2018 là 2018 số thực thoả mãn ak 2 , với k 2 k k 1,2,3, ,2018 . Tính S a a a a a 2018 1 2 3 2017 2018
2. Bài 6: Rút gọn: a) M 90.10k 10k 2 10k 1, k N ; b) N 202 182 22 192 172 12 . Bài 7: a) So sánh hai số A 332 1 và B 3 1 32 1 34 1 38 1 316 1 2019 2018 20192 20182 b) C và D 2019 2018 20192 20182 Bài 8: Thực hiện phép tính: 1 2.36 1 36 53 a) A . 23.36 23.53 8 93 125 183 103 x3 y xy3 xy b) B x3 y3 x2 y xy2 x y 5n 11 Bài 9: a) Xác định n N để A là số tự nhiên; 4n 13 1 1 1 b) Tính tổng S n 2.5 5.8 3n 1 . 3n 2 2 2 2 2017 Bài 10: a) Tìm số tự nhiên n khác 0, biết: 1 1 1 . 2.3 3.4 n n 1 6045 1 1 1 1 1 b) Tính: M . 1 1 1 1 2 1.3 2.4 3.5 2017.2019 2017 Bài 11: So sánh A và B , biết: A 20172016 20162016 ; 2016 B 20172017 20162017 . Bài 12: Tìm một số có 8 chữ số: a1a2 a8 thỏa mãn 2 điều kiện a và b sau: 2 3 a) a1a2a3 a7a8 b) a4a5a6a7a8 a7a8 Bài 13: Một số gồm 4 chữ số giống nhau chia cho một số gồm 3 chữ số giống nhau thì được thương là 16 và số dư là một số r nào đó Nếu số bị chia và số chia đều bớt đi một chữ số thì thương không đổi và số dư giảm bớt 200. Tìm các số đó Bài 14: Cho a b 2 và a2 b2 20.Tính giá trị của biểu thức M a3 b3 Bài 15: Cho a b c 0 và a2 b2 c2 14.Tính giá trị của biểu thức N a4 b4 c4 Bài 16: Hãy tính số bị chia, số chia và thương số trong phép chia sau đây:
3. abcd : dcba q biết rằng cả ba số đều là bình phương của những số nguyên (những chữ khác nhau là các chữ số khác nhau) 1 1 Bài 17: Cho x 3.Tính giá trị biểu thức A x3 x x3 Bài 18: a) Chứng minh : a2 b2 c2 d 2 ac bd 2 bc ad 2 1 1 1 b) Cho: 2và x y z xyz ( x, y, z 0) x y z 1 1 1 Chứng minh 2 x2 y2 z2 3 5 7 2n 1 Bài 19: Rút gọn biểu thức: A 2 2 2 2 1.2 2.3 3.4 n n 1 1 1 1 yz xz xy Bài 20: Cho 0.Tính A x y z x2 y2 z2 Bài 21: Cho a,b,clà ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: a b c 2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Tính giá trị của biểu thức : P a2 2bc b2 2ac c2 2ab x2 yz y2 xz Bài 22: Chứng minh rằng nếu với x 1 yz y 1 xz x y; xyz 0; yz 1; xz 1 Thì xy xz yz xyz x y z Bài 23: Cho a b 0 thỏa mãn 3a2 3b2 10ab.Tính giá trị của biểu thức a b P a b Bài 24: Rút gọn biểu thức: A 12 22 32 42 9992 10002 21n 4 Bài 25: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số là phân số 14n 3 tối giản
4. a b c a2 b2 c2 Bài 26: Cho 1.Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b Bài 27: Cho a,bdương và a2000 b2000 a2001 b2001 a2002 b2002 . Tính : a2011 b2011 x y z a b c x2 y2 z2 Bài 28: Cho 1 và 0.Chứng minh rằng: 1 a b c x y z a2 b2 c2 Bài 29: Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được 4m thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp 8mdừng lai 2 giây, rồi đi tiếp 12m dừng lại 3 giây Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả 155giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc 2m / giây. Tính khoảng cách từ A đến B. Bài 30: Tìm giá trị của m để cho phương trình 6x 5m 3 3mx có nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình: x 1 x 1 x 2 2 3 Bài 31: Cho a b c d và x a b c d , y a c b d , z a d b c . Sắp xếp theo thứ tự giảm dần của x, y, z Bài 32: Thực hiện các phép tính: 1 1 2 4 8 a) 1 x x 1 1 x2 1 x4 1 x8 1 1 1 1 b) 1.3 3.5 5.7 49.51 Bài 33: Thực hiện phép tính a) 98.28 – ( 184 - 1)(184 + 1) b) (2x - 1)2 + 2(2x - 1)(x + 1) + (x + 1)2 1 4x c) 2x 1 : 2 1 2x 2x 1 Bài 34: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất được 50 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất được 57 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày Bài 35: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
5. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó Bài 36: Khi xây dựng bể bơi, để thay nước thường xuyên cho bể người ta đặt một vòi nước chảy vào bể và một vòi chảy ra ở lưng chừng bể. Khi bể cạn, nếu mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nước. Còn nếu đóng vòi chảy ra và mở vòi chảy vào thì sau 1 giờ 30 phút thì đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh hơn gấp 2 lần vòi chảy ra. a. Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy ra. b. Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao nhiêu? Bài 37: Tìm x, y biết : x 2y x2 2xy 4y2 0 và x 2y x2 2xy 4y2 16 Bài 38: a) Tìm số có hai chữ sô mà bình phương của nó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng nếu cộng ba tích, mỗi tích của hai trong ba số đó thì được 26. c) Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 120 Bài 39: Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn a3 b3 c3 3abc. Chứng minh tam giác đều. Bài 40: Hãy tính số bị chia, số chia và thương số trong phép chia sau đây: abcd : dcba q biết rằng cả ba số đều là bình phương của những số nguyên (những chữ khác nhau là các chữ số khác nhau) a2 b2 Bài 41: Biết a3 3ab2 5 và b3 3a2b 10 . Tính M 2018
6. Một trường học được xây dựng trên khu đất hình chữ nhật ABCD có A M B AB 50m, BC 200m.Ở phía chiều rộng AB tiếp giáp đường chính, I K H người ra sử dụng hai lô đất hình E vuông AMEH,BMIK để xây dựng phòng làm việc và nhà để xe. Diện tích còn lại để xây phòng học và các D C công trình khác (như hình vẽ). Tính diện tích lớn nhất còn lại để xây phòng học và các cong trình khác. B.Lời giải Bài 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một ô tô đi từ A đến B .Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A với vận tốc bằng 2 vận tốc ô tô thứ nhất .Sau 5 giờ chúng gặp nhau.Hỏi mỗi ô tô đi cả 3 quãng đường AB thì mất bao lâu? Lời giải - Chọn ẩn và đặt điều kiện đúng - Biểu thị được mỗi đại lượng theo ẩn và số liệu đã biết. - Lập được phương trình . - Giải đúng phương trình . - Đối chiếu và trả lời đúng thời gian của một ô tô – Lập luận , tính và trả lời đúng thời gian của ô tô còn lại. Bài 2: Một khối 8 có 2 số học sinh đội tuyển Toán bằng 3 số học sinh đội tuyển Anh 3 4 và bằng 4 số học sinh đội tuyển Văn. Đội tuyển Văn có số học sinh ít hơn tổng 5
7. số học sinh của hai đội tuyển kia là 38 học sinh. Tính số học sinh của mỗi đội tuyển ? Lời giải Gọi số học sinh đội tuyển Toán, Anh, Văn thứ tự là x,y,z x,y,z ¥ 2 3 4 x y z x y z 38 Ta có: x y z 2 3 4 5 18 16 15 18 16 15 19 Tính đúng x 36; y 32; z 30 và kết luận Bài 3: Trong một đề thi có 3 Câu toán A,B,C. Có 25 học sinh mỗi người đều đã giải được ít nhất một trong 3 Câu đó. Biết rằng: - Trong số thí sinh không giải được Câu A thì số thì sinh đã giải được Câu B nhiều gấp hai lần số thí sinh đã giải được Câu C - Số thí sinh chỉ giải được Câu A nhiều hơn số thí sinh giải được Câu A và thêm Câu khác là 1 người - Số thí sinh chỉ giải được Câu A bằng số thí sinh chỉ giải được Câu B cộng với số thí sinh chỉ giải được Câu C. Hỏi có bao nhiêu thí sinh chỉ giải được Câu B? Lời giải Gọi a là số học sinh chỉ giải được Câu A, b là số thí sinh chỉ giải được Câu B, c là số thí sinh chỉ giải được Câu C, d là số thí sinh giải được 2 Câu B và C nhưng không giải được Câu A. Khi đó số thí sinh giải được Câu A và thêm ít nhất một trong hai Câu B và C là : 25 a b c d Theo Câu ra ta có: b d 2 c d a 1 25 a b c d và a b c 4b c 26 b 6 Từ các đẳng thức trên ta có: d b 2c 0 c 2 Vậy số thí sinh chỉ giải được Câu B là 6 thí sinh. Bài 4: Để tham gia ngày chạy Olympic vì sức khỏe toàn dân, trường A đã nhận được một số chiếc áo và chia đều cho các lớp. Biết rằng theo thứ tự, lớp thứ nhất 1 nhận được 4 áo và 9 số còn lại, rồi đến lớp thứ n(n = 2;3;4 )nhận được 4n áo và
8. 1 9 số áo còn lại. Cứ như thế các lớp đã nhận hết số áo. Hỏi trường A đã nhận được bao nhiêu chiếc áo ? Lời giải Gọi số lớp của trường A được nhận áo làx Vì lớp thứ x nhận áo cuối cùng và số áo được phát hết nên số áo lớp thứ x nhận được là 4x. Lớp thứ x – 1 nhận số áo là : 1 ― 1 4( ) + 8.4 = 4,5 ― 4 Vì số áo các lớp nhận được như nhau nên ta có phương trình: 4,5 ― 4 = 4 = 8 Suy ra số áo mỗi lớp nhận được: 4.8 = 32 (áo) Suy ra số áo trường A nhận được: 32.8 = 256 (áo) 2k 1 Bài 5:Cho a1,a2 ,a3 , ,a2018 là 2018 số thực thoả mãn ak 2 , với k 2 k k 1,2,3, ,2018 . Tính S a a a a a 2018 1 2 3 2017 2018 Lời giải 2 2k 1 k 1 k 2 1 1 Ta có : ak 2 2 2 2 k 2 k k 2 k 1 k k 1 Do đó, S2018 a1 a2 a3 a2017 a2018 1 1 1 1 1 1 20192 1 2 2 2 2  2 2 2 1 2 2 3 2018 2019 2019 Bài 6: Rút gọn: a) M 90.10k 10k 2 10k 1, k N ; b) N 202 182 22 192 172 12 . Lời giải a) M 90.10k 10k 2 10k 1, k N ; 90.10k 100.10k 10.10k 0 b) N 202 182 22 192 172 12
9. 202 192 182 172 22 12 20 19 20 19 18 17 18 17 2 1 2 1 20 19 18 17 2 1 210 Bài 7: a) So sánh hai số A 332 1 và B 3 1 32 1 34 1 38 1 316 1 2019 2018 20192 20182 b) C và D 2019 2018 20192 20182 Lời giải a) Ta có: B 3 1 32 1 34 1 38 1 316 1 B. 3 1 3 1 3 1 32 1 34 1 38 1 316 1 B.2 32 1 32 1 34 1 38 1 316 1 B.2 34 1 34 1 38 1 316 1 B.2 38 1 38 1 316 1 B.2 316 1 316 1 B.2 332 1 A Vậy, A 2.B x y x2 y2 x2 y2 b) C/m BĐT phụ: với x y 0 x y x y 2 x2 y2 Xem x 2019 và y 2018 suy ra C D Bài 8: Thực hiện phép tính: 1 2.36 1 36 53 a) A . 23.36 23.53 8 93 125 183 103 x3 y xy3 xy b) B x3 y3 x2 y xy2 x y Lời giải Thực hiện phép tính: a) 1 2.36 1 36 53 1 2.36 1 36 53 A 23.36 23.53 8 93 125 183 103 23 36 53 23 36 53 23 36 53 1 2.36 1 36 53 36 53 1 23 36 53 23 36 53 8
10. x3 y xy3 xy b) B x3 y3 x2 y xy2 x y 2 2 xy x y 1 xy x y x2 y2 1 x y xy Vậy, B , x y x y 5n 11 Bài 9: a) Xác định n N để A là số tự nhiên; 4n 13 1 1 1 b) Tính tổng S n 2.5 5.8 3n 1 . 3n 2 Lời giải 5n 11 a) Xác định n N để A là số tự nhiên 4n 13 5n 11 Để A là số tự nhiên 4n 13 5n 11  4n 13 4 5n 11  4n 13 5 4n 13 21  4n 13 21 4n 13 4n 13 U 21 1; 3; 7; 21 Lập bảng : 4n 13 -21 -7 -3 -1 1 3 7 21 4n -8 6 10 12 14 16 20 34 n -2 3 5 3 7 4 5 17 2 2 2 2 Vì n N nên chọn n 3;4;5 Thử lại: 5.3 11 + Với n 3 , ta có: A 4 N ( Loại ) 4.3 13 5.4 11 + Với n 4 , ta có: A 3 N ( Nhận ) 4.4 13 5.5 11 + Với n 5 , ta có: A 2 N ( Nhận ) 4.5 13 KL : n 4;5 1 1 1 b) Tính tổng S n 2.5 5.8 3n 1 . 3n 2
11. 1 1 1 1 3 3 3 Ta có: S n 2.5 5.8 3n 1 . 3n 2 3 2.5 5.8 3n 1 . 3n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 3 2 5 5 8 3n 1 3n 2 3 2 3n 2 2 3n 2 2 2 2 2017 Bài 10: a) Tìm số tự nhiên n khác 0, biết: 1 1 1 . 2.3 3.4 n n 1 6045 1 1 1 1 1 b) Tính: M . 1 1 1 1 2 1.3 2.4 3.5 2017.2019 Lời giải 2 2 2 2017 a) Tìm số tự nhiên n khác 0, biết: 1 1 1 . 2.3 3.4 n n 1 6045 2 2 2 4 10 18 n n 1 2 Ta có: 1 1 1 . . 2.3 3.4 n n 1 2.3 3.4 4.5 n n 1 1.4 2.5 3.6 n 1 n 2 1.2.3.4 n 1 4.5.6 n 2 n 2 . . . 2.3 3.4 4.5 n n 1 2.3.4 n 3.4.5 n 1 3n n 2 2017 Khi đó, ta có: n 2015 3n 6045 Vậy, n 2015 . 1 1 1 1 1 b) Ta có: M . 1 1 1 1 2 1.3 2.4 3.5 2017.2019 1 4 9 16 2017.2019 1 . 2 1.3 2.4 3.5 2017.2019 1 2.2 3.3 4.4 2018.2018 . 2 1.3 2.4 3.5 2017.2019 2.3 2018 2.3 2018 1 2018 . 2018. 2.3.4 2017 2.3.4 2019 2019 2019 2018 Vậy, M . 2019 2017 Bài 11: So sánh A và B , biết: A 20172016 20162016 ; 2016 B 20172017 20162017 . Lời giải
12. 2017 2016 A 20172016 20162016 20172016 20162016 . 20172016 20162016 2016 20172016 20162016 .20172016 2016 20172016 20162016 .2017 2016 20172017 20162016.2016 2016 2017 2017 2017 2016 B Bài 12: Tìm một số có 8 chữ số: a1a2 a8 thỏa mãn 2 điều kiện a và b sau: 2 3 a) a1a2a3 a7a8 b) a4a5a6a7a8 a7a8 Lời giải 2 3 Ta có: a1a2a3 a7a8 (1) a4a5a6a7a8 a7a8 (2) Từ (1) và (2) 22 a7a8 31 3 3 a7a8 a4a5a6 00 a7a8 a7a8 a7a8 a4a5a6 00 a7a8 1 a7a8 a7a8 1 4.25.a4a5a6 Do a7a8 1 ;a7a8; a7a8 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 3 khả năng: a)a a 24 a a a a là số 57613824 7 8 1 2 3 8 b) a7a8 1 24 a7a8 25 số đó là 62515625 c) a7a8 26 không thỏa mãn Bài 13: Một số gồm 4 chữ số giống nhau chia cho một số gồm 3 chữ số giống nhau thì được thương là 16 và số dư là một số r nào đó Nếu số bị chia và số chia đều bớt đi một chữ số thì thương không đổi và số dư giảm bớt 200. Tìm các số đó Lời giải Ta có: aaaa 16bbb r aaa 16bb r 200 Với 200 r bbb Trừ các đẳng thức ta có:
13. a 5 1000a 1600b 200 5a 8b 1 b 3 Ta có các số 5555và 333thỏa mãn. Bài 14: Cho a b 2 và a2 b2 20.Tính giá trị của biểu thức M a3 b3 Lời giải Từ a2 b2 20 a b 2 2ab 20 ab 8 M a3 b3 a b 3 3ab a b 23 3. 8 .2 56 Bài 15: Cho a b c 0 và a2 b2 c2 14.Tính giá trị của biểu thức N a4 b4 c4 Lời giải 2 Từ a2 b2 c2 14 a2 b2 c2 196 a4 b4 c4 196 2 a2b2 b2c2 c2a2 Ta lại có: a b c 0 a b c 2 0 a2 b2 c2 2 ab bc ca 0 ab bc ca 7 ab bc ca 2 49 a2b2 b2c2 c2a2 2abc a b c 49 a2b2 b2c2 c2a2 49 Do đó: N a4 b4 c4 196 2 a2b2 b2c2 c2a2 196 2.49 98 Bài 16: Hãy tính số bị chia, số chia và thương số trong phép chia sau đây: abcd : dcba q biết rằng cả ba số đều là bình phương của những số nguyên (những chữ khác nhau là các chữ số khác nhau) Lời giải abcd : dcba q q 4 Vì q 1 a,d phải là những số thuộc 1;4;5;6;9,a,d 0 q 9 Do abcd dcba qnên d 3 d 1
14. Giả sử q 4 khi đó 1cba.4 abc1(vô lý) vì 1cba.4phải là một số chẵn nên q 9 Với q=9 ta có: 1cba 9 abc1suy ra a 9,c 2 vì tích 1cba 9 là số có 4 chữ số nên ta lại có c d tức là c 1 c 0 Ta thấy abcd 9b01 10b9 9vậy 9b01là số chia hết cho 9 nên b 8 Tóm lại ta có: 9801:1089 9 1 1 Bài 17: Cho x 3.Tính giá trị biểu thức A x3 x x3 Lời giải 3 3 1 1 1 3 A x 3 x 3. x 3 3.3 18 x x x Bài 18: a) Chứng minh : a2 b2 c2 d 2 ac bd 2 bc ad 2 1 1 1 b) Cho: 2và x y z xyz ( x, y, z 0) x y z 1 1 1 Chứng minh 2 x2 y2 z2 Lời giải a) VT a2c2 a2d 2 b2c2 b2d 2 a2c2 b2d 2 2abcd a2d 2 b2c2 2abcd ac bd 2 bc ad 2 VP b) Bình phương 2 vế ta có:
15. 1 1 1 2 2 2 4 x2 y2 z2 xy xz yz 1 1 1 2z 2y 2x 4 x2 y2 z2 xyz xyz xyz 1 1 1 2 x y z 4 x2 y2 z2 xyz 1 1 1 2xyz 4 (x y z xyz) x2 y2 z2 xyz 1 1 1 2(dfcm) x2 y2 z2 3 5 7 2n 1 Bài 19: Rút gọn biểu thức: A 2 2 2 2 1.2 2.3 3.4 n n 1 Lời giải 2 2n 1 n 1 n2 1 1 Ta có: 2 2 2 n2 2 n n 1 n n 1 n 1 1 n n 2 B 1 n 1 2 n 1 2 1 1 1 yz xz xy Bài 20: Cho 0.Tính A x y z x2 y2 z2 Lời giải Ta có a b c 0 thì : a3 b3 c3 a b 3 3ab a b c3 c3 3ab c c3 3abc (vì a b c 0 a b c) 1 1 1 1 1 1 3 Theo giả thiết 0 x y z x3 y3 z3 xyz yz xz xy xyz xyz xyz A x2 y2 z2 x3 y3 z3 1 1 1 3 xyz 3 3 3 xyz. 3 x y z xyz Bài 21: Cho a,b,clà ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: a b c 2 a2 b2 c2
16. a2 b2 c2 Tính giá trị của biểu thức : P a2 2bc b2 2ac c2 2ab Lời giải a b c 2 a2 b2 c2 ab ac bc 0 a2 a2 a2 a2 2bc a2 ab ac bc a b a c b2 b2 c2 c2 Tương tự: ; b2 2ac b a b c c2 2ac c a c b a2 b2 c2 P a2 2bc b2 2ac c2 2ab a2 b2 c2 a b a c b a b c c a c b a b a c b c 1 a b a c b c x2 yz y2 xz Bài 22: Chứng minh rằng nếu với x 1 yz y 1 xz x y; xyz 0; yz 1; xz 1 Thì xy xz yz xyz x y z Lời giải Từ gt x2 yz y 1 xz x 1 yz y2 xz x2 y x3 yz y2 z xy2 z2 xy2 x2 z xy3z x2 yz2 x2 y x3 yz y2 z xy2 z2 xy2 x2 z xy3z x2 yz2 0 xy x y xyz yz y2 xz x2 z x2 y2 0 y x y xyz x y x y z z x y x y 0 x y xy xyz x y z xz yz 0 Do x y 0nên xy xz yz xyz x y z 0 Hay xy xz yz xyz x y z (dfcm) Bài 23: Cho a b 0 thỏa mãn 3a2 3b2 10ab.Tính giá trị của biểu thức a b P a b
17. Lời giải 2 a b a2 2ab b2 3a2 3b2 6ab 4ab 1 Xét P2 a b 2 a2 2ab b2 3a2 3b2 6ab 16ab 4 1 Vì a b 0 P 0 P 2 Bài 24: Rút gọn biểu thức: A 12 22 32 42 9992 10002 Lời giải Ta có: A 12 22 32 42 9992 10002 1 2 1 2 3 4 3 4 999 1000 999 1000 1 2 3 4 999 1000 500.1001 500500 21n 4 Bài 25: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số là phân số 14n 3 tối giản Lời giải Gọi d UCLN 21n 4;14n 3 với d ¥ ,d 1 Ta có: 21n 4d và 14n 3d Khi đó 2 21n 4 d và 3 14n 3 d Hay 42n 8d và 42n 9d 42n 9 42n 8 d hay 1d d 1 21n 4 Vậy phân số là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n 14n 3 a b c a2 b2 c2 Bài 26: Cho 1.Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b Lời giả a b c Nhân cả 2 vế của 1với a b c , rút gọn suy ra đpcm b c c a a b Bài 27: Cho a,bdương và a2000 b2000 a2001 b2001 a2002 b2002 . Tính : a2011 b2011 Lời giải
18. a2001 b2001 a b a2000 b2000 ab a2002 b2002 a 1 ab 1 a 1 a 1 b 1 1 b 1 2000 2001 b 1(tm) Vì a 1 b b b 0(ktm) 2000 2001 a 1(tm) Vì b 1 a a a 0(ktm) Vậy a 1;b 1 a2011 b2011 2 x y z a b c x2 y2 z2 Bài 28: Cho 1 và 0.Chứng minh rằng: 1 a b c x y z a2 b2 c2 Lời giải a b c ayz bxz cxy Từ 0 0 x y z xyz ayz bxz cxy 0 2 x y z x y z Ta có: 1 1 a b c a b c x2 y2 z2 xy xz yz 2 2 2 2 1 a b c ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2 1 a2 b2 c2 abc x2 y2 z2 1(dfcm) a2 b2 c2 Bài 29: Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được 4m thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp 8mdừng lai 2 giây, rồi đi tiếp 12m dừng lại 3 giây Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả 155giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc 2m / giây. Tính khoảng cách từ A đến B. Lời giải Gọi x là số lần đi x ¥ , x 0 , số lần dừng là x 1 Thời gian đi
19. 4 8 12 4x 2 4 6 2x 2 2 2 2 2 1 2 3 x x x 1 Thời gian dừng: x 1 1 x 1 x(x 1) 1 2 3 x 1 2 2 Lập được phương trình x 10 (tm) x(x 1) 2 x(x 1) 155 3x x 310 31 2 x (ktm) 3 Khoảng cách AB là 10. 10 1 .2 220(m) Bài 30: Tìm giá trị của m để cho phương trình 6x 5m 3 3mx có nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình: x 1 x 1 x 2 2 3 Lời giải x 1 x 1 x 2 2 3 (1) x2 1 x2 4x 4 3 4x 8 x 2 Để phương trình 6x 5m 3 3mxcó nghiệm gấp ba lần nghiệm của phương trình x 1 x 1 x 2 2 3hay x 6 Ta có: 6. 6 5m 3 3m. 6 5m 18m 39 13m 39 m 3 Vậy m 3 Bài 31: Một người đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm 5km / h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó. Lời giải Gọi khoảng cách giữa A và B là x(km) (x 0) x 3x 1 Vận tốc dự định của người đi xe gắn máy là: (km / h) 3h20' 3 (h) 1 3 10 3 3
20. 3x Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên 5km / h là: 5(km / h) 10 3x Theo đề bài ta có phương trình: 5 .3 x x 150(tm) 10 Vậy khoảng cách giữa A và B là 150km 3.150 Vận tốc dự định là: 45(km / h) 10 Bài 32: Cho a b c d và x a b c d , y a c b d , z a d b c . Sắp xếp theo thứ tự giảm dần của x, y, z Lời giải Xét hiệu x y a b c d a c b d d a b c Vì b a,b c nên d a b c 0.Suy ra x y 1 Xét hiệu y z a c b d a d b c a b d c Vì b a,c d nên a b d c 0. Suy ra y z (2) Từ (1) và (2) ta sắp xếp theo thứ tự giảm dần là z y x Bài 33: Thực hiện các phép tính: 1 1 2 4 8 a) 1 x x 1 1 x2 1 x4 1 x8 1 1 1 1 b) 1.3 3.5 5.7 49.51 Lời giải 1 1 2 4 8 a) A 1 x x 1 1 x2 1 x4 1 x8 1 1 2 Ta có: 1 x 1 x 1 x2 2 2 4 8 A 1 x2 1 x2 1 x4 1 x8 4 4 8 1 x4 1 x4 1 x8 8 8 1 x8 1 x8 16 1 x16
21. 1 1 1 1 b)B 1.3 3.5 5.7 49.51 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 5 5 7 49 51 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 5 5 7 49 51 1 1 25 . 1 2 51 51 Bài 34: Thực hiện phép tính a) 98.28 – ( 184 - 1)(184 + 1) b) (2x - 1)2 + 2(2x - 1)(x + 1) + (x + 1)2 1 4x c) 2x 1 : 2 1 2x 2x 1 Lời giải a/ = 188 – (188 – 1) = 188 – 188 + 1 = 1 2 b/ = 2x 1 x 1 = (3x)2 = 9x2 1 4x 4x2 1 1 4x 2 4x c/ = 2x 1 : 2 : 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 4x2 2 = : 2x2 2x 1 2x 1 Bài 35: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất được 50 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất được 57 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày Lời giải Gọi số ngày tổ dự đinh sản xuất là : x ngày ( x ¥ *, x 1) Vậy số ngày tổ đã thực hiện x 1 (ngày) Số sản phẩm làm theo kế hoạch là : 50x (sản phẩm)
22. Số sản phẩm thực hiện là : 57.(x 1) (sản phẩm) Theo đề bài ta có phương trình : 57(x 1) 50x 13 57x 57 50x 13 7x 70 x 10 (thỏa mãn) Vậy số ngày dự định sản xuất là 10 ngày Số sản phẩm phải làm theo kế hoạch là : 50.10 500 (sản phẩm) Bài 36: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó Lời giải Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x + 11. Phân x số cần tìm là (x 11) x 11 x 7 Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số ( x 15) x 15 x x 15 Theo bài ta có phương trình x 5(t / m) x 11 x 7 5 Vậy phân số cần tìm là 6 Bài 37: Khi xây dựng bể bơi, để thay nước thường xuyên cho bể người ta đặt một vòi nước chảy vào bể và một vòi chảy ra ở lưng chừng bể. Khi bể cạn, nếu mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nước. Còn nếu đóng vòi chảy ra và mở vòi chảy vào thì sau 1 giờ 30 phút thì đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh hơn gấp 2 lần vòi chảy ra. a. Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy ra. b. Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao nhiêu? Lời giải a) Gọi thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc mực nước ngang chỗ đặt vòi chảy ra là x giờ 1 2 Trong 1 giờ vòi chảy vào bể được bể 1,5 3
23. 2 1 Trong 1 giờ vòi chảy ra được : 2 bể 3 3 2 1 1 Nếu mở cả hai vòi, lượng nước chảy vào bể trong một giờ được 3 3 3 2 Trong x giờ đầu, chỉ có vòi chảy vào làm việc nên lược nước chảy vào bể là x 3 bể Trong 2 giờ 42 phút – x giờ (tức là 2,7 giờ - x giờ) còn lại, cả hai vòi làm việc nên 1 lượng nước chảy vào bể là (2,7 x) 3 2 1 Ta có phương trình: x (2,7 x) 1 3 3 Do đó x = 0,3. Thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc mực nước ngang chỗ đặt vòi chảy ra là 0,3 giờ b) Theo đề bài, nếu riêng vòi chảy vào làm việc trong 1,5 giờ thì mực nước cao 2m. Vậy nếu riêng vòi chảy vào làm việc trong 0,3 giờ thì mực nước cao 2m.0,3 0,4m 1,5 Khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là 0,4 m Bài 38: Tìm x, y biết : x 2y x2 2xy 4y2 0 và x 2y x2 2xy 4y2 16 Lời giải x 2y x2 2xy 4y2 0 và x 2y x2 2xy 4y2 16 Ta có: x 2y x2 2xy 4y2 0 x3 8y3 0 1 và x 2y x2 2xy 4y2 16 x3 8y3 16 2 Từ (1) và (2) suy ra 2x3 16 x 2 . Thay x 2 vào (1) suy ra y 1 . Vậy, x 2 và y 1 . Bài 39: a) Tìm số có hai chữ sô mà bình phương của nó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng nếu cộng ba tích, mỗi tích của hai trong ba số đó thì được 26.
24. c) Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 120 Lời giải a) Số cần tìm có dạng ab , với a,b N;1 a 9;0 b 9 2 Theo đề bài ta có: ab a b 3 10a b 2 a b 3 1 Hệ thức (1) chứng tỏ ab phải là một số lập phương và a b phải là một số chính phương. Do 10 ab 99 ab 27 hoặc ab 64 +Nếu ab 27 a b 9 32 ( chính phương ) +Nếu ab 64 a b 10 ( không chính phương nên loại ) Vậy, số cần tìm là ab 27 . b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là x 1 , x, x 1 ( ĐK : x 1, x N ) Ta có : x 1 x x x 1 x 1 x 1 26 3x2 1 26 x 3 ( Vì x 1, x N ) Vậy, ba số tự nhiên liên tiếp phải tìm là 2, 3, 4. c) Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là x 1 , x, x 1 , x 2 ( ĐK : x 2, x Z ) Ta có : x 1 x x 1 x 2 120 x x 1 x 1 x 2 120 2 2 2 2 x x x x 2 120 x x 2 x x 1 121 2 x2 x 1 112 Vì x 2, x Z nên x2 x 1 11 x 3 x 4 0 x 3 ( Vì x 4 0 ) Vậy, bốn số nguyên dương liên tiếp phải tìm là 2, 3, 4, 5 Bài 40: Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn a3 b3 c3 3abc. Chứng minh tam giác đều Lời giải a) C/m:a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca +)Từ giả thiết suy ra : a b c a2 b2 c2 ab bc ca 0 a2 b2 c2 ab ac bc 0 (a b c 0)
25. 2 2 2 Biến đổi được kết quả: a b b c c a 0 a b 0 b c 0 a b c Tam giác đó là đều (đpcm) c a 0 Bài 41: Hãy tính số bị chia, số chia và thương số trong phép chia sau đây: abcd : dcba q biết rằng cả ba số đều là bình phương của những số nguyên (những chữ khác nhau là các chữ số khác nhau) Lời giải abcd : dcba q q 4 Vì q 1 a,d phải là những số thuộc 1;4;5;6;9,a,d 0 q 9 Do abcd dcba q nên d 3 d 1 Giả sử q 4 khi đó 1cba.4 abc1(vô lý) vì 1cba.4 phải là một số chẵn nên q 9 Với q=9 ta có: 1cba 9 abc1suy ra a 9,c 2 vì tích 1cba 9 là số có 4 chữ số nên ta lại có c d tức là c 1 c 0 Ta thấy abcd 9b01 10b9 9vậy 9b01là số chia hết cho 9 nên b 8 Tóm lại ta có: 9801:1089 9 a2 b2 Bài 42: Biết a3 3ab2 5 và b3 3a2b 10 . Tính M 2018 Lời giải a3 3ab2 5 a6 6a4b2 9a2b4 25 b3 3a2b 10 b6 6a2b4 9a4b2 100 a6 3a4b2 3a2b4 b6 125 2 2 3 a b 5 a2 b2 53 2018 2018
26. Một trường học được xây dựng trên khu đất hình chữ nhật ABCD có A M B AB 50m, BC 200m.Ở phía chiều rộng AB tiếp giáp đường chính, I K H người ra sử dụng hai lô đất hình E vuông AMEH,BMIK để xây dựng phòng làm việc và nhà để xe. Diện tích còn lại để xây phòng học và các D C công trình khác (như hình vẽ). Tính diện tích lớn nhất còn lại để xây phòng học và các cong trình khác. Lời giải Đặt : AM a, MB b a b 2 502 a b 2 0 a2 2ab b2 0 a2 b2 2ab 2 a2 b2 a b 2 502 a2 b2 1250 2 Diện tích nhỏ nhất SAMEH SBIMK 1250 m Diện tích lớn nhất còn lại: 10000 1250 8750 m2