›
›
›

Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 10: Biểu thức hữu tỉ (Có lời giải)

docx 180 trang Thu Mai 04/03/2023 2183
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 10: Biểu thức hữu tỉ (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxon_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_8_dang_10_bieu_thuc_huu_ti.docx

Nội dung text: Ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Dạng 10: Biểu thức hữu tỉ (Có lời giải)

  1. DẠNG 10: BIỂU THỨC HỮU TỈ A. Bài minh họa 1 x3 1 x2 Bài 1: Cho biểu thức : A x : 2 3 x 1 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức A 2 b) Tính giá trị của biểu thức Atại x 1 3 c) Tìm giá trị của x để A 0. 2 2 2 Bài 2: Cho a b b c c a 4. a2 b2 c2 ab ac bc Chứng minh rằng a b c Bài 3: Cho a b c 0, chứng minh rằng : a3 b3 c3 3abc 2x 9 x 3 2x 4 Bài 4: Cho biểu thức: A x2 5x 6 x 2 3 x 1) Rút gọn A 2) Tính giá trị của Abiết 2x x2 1 3) Có giá trị nào của x để A 1 không ? 4) Tìm x nguyên để Anhận giá trị là số nguyên. 1 2 5 x 1 2x Bài 5: Cho biểu thức A 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức Anhận giá trị nguyên c) Tìm x để A A x 1 1 2 x3 2x2 Bài 6: Cho biểu thức Q 1 3 2 : 3 2 x 1 x x 1 x 1 x x x a) Rút gọn Q 3 5 b) Tính giá trị của Q biết x 4 4 c) Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên 2 a 1 1 2a2 4a a3 4a Bài 7: Cho biểu thức M 2 3 : 2 3a a 1 a 1 4a a) Rút gọn M b) Tìm a để M 0 c) Tìm giá trị của a để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất. Bài 8: Cho x y z 1 và x3 y3 z3 1. Tính A x2015 y2015 z2015
  2. Bài 10: Cho a2 b2 c2 a3 b3 c3 1. Tính S a2 b2012 c2013 n4 3n3 2n2 6n 2 Bài 11: Tìm số tự nhiên n để: B có giá trị là một số nguyên n2 2 Bài 12: Chứng minh rằng: a b c a) 1 biết abc 1 ab a 1 bc b 1 ac c 1 2 b) Với a b c 0 thì a4 b4 c4 2 ab bc ca x y 2 x y Bài 13: Cho x y 1 và xy 0 . Chứng minh rằng: 0 y3 1 x3 1 x2 y2 3 5x 5 Bài 14: Cho phân thức 2x2 2x a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1 Bài 15: Cho biểu thức 2x 3 2x 8 3 21 2x 8x2 P 2 2 : 2 1 4x 12x 5 13x 2x 20 2x 1 4x 4x 3 a) Rút gọn P 1 b) Tính giá trị của P khi x 2 c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. d) Tìm x để P 0 x2 x 6 Bài 16: a) Rút gọn biểu thức : x3 4x2 18x 9 1 1 1 yz xz xy b) Cho 0 x, y, z 0 . Tính x y z x2 y2 z2 1 x2 x 2 2x 4 Bài 17: Thực hiện phép tính: A x 2 x2 7x 10 x 5 1 1 1 Bài 18: Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 x y z
  3. yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A x2 2yz y2 2xz z2 2xy Bài 19: Cho ba số a,b,c khác nhau đôi một và khác 0, đồng thời thỏa mãn diều kiện a b b c c a a b c . Tính giá trị của biểu thức: A 1 1 1 c a b b c a Bài 20: Cho x(m n) y(n p) z( p m) trong đó x, y, z la các số khác nhau và khác 0, m n n p p m Chứng minh rằng: x(y z) y z x z x y 3x3 14x2 3x 36 Bài 21: Cho biểu thức A 3x3 19x2 33x 9 a) Tìm giá trị của x để biểu thức Axác định b) Tìm giá trị của x để biểu thức Acó giá tri bằng 0 c) Tìm giá trị nguyên của x dể biểu thức A có giá trị nguyên. Bài 22: a) Chứng minh : x y x3 x2 y xy2 y3 x4 y4 2 2 2 8 8 8 b) Tìm a,b,c biết: a b c ab bc ac và a b c 3 Bài 23: Cho biểu thức: 2 x2 y2 x2 y2 x y P 2 2 . 2 2 với x 0; y 0; x y x x xy xy xy y x xy y a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của biểu thức P,biết x, y thỏa mãn đẳng thức: x2 y2 10 2 x 3y a b c a2 b2 c2 Bài 24: Cho 1.Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b x 2 1 10 x2 Bài 25: Cho biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức A 1 b) Tính giá trị của A, biết x 2 c) Tìm giá trị của x để A 0 d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. 2000 2000 2001 2001 2002 2002 2013 2014 Bài 26: Cho a,b dương và a b a b a b . Tính : a b x2 x2 9 Bài 27: Cho biểu thức A 6 5 x 3 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó 1 1 1 Bài 28: Cho 3 số a,b,c khác 0, thỏa mãn a b c 1.Tính giá trị của biểu thức a b c M a2015 b2015 b2017 c2017 c2019 a2019
  4. Bài 29: Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng: a b b c c a c a b Nếu a b c 0 thì . 9 c a b a b b c c a x 4 1 x 8 Bài 30: Cho biểu thức P 3 : 1 2 x 1 x 1 x 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của P khi x là nghiệm của phương trình x2 3x 2 0 x 1 x 1 x2 4x 1 x 2013 Bài 31: Cho biểu thức : A 2 . x 1 x 1 x 1 x a) Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức Anhận giá trị nguyên. 1 2 5 x 1 2x Bài 32: Cho biểu thức : A 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị nguyên của x để bểu thức Anhận giá trị nguyên c) Tìm x để A A 0 3 3 3 Bài 33: Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn a b b c c a 210 Tính giá trị của biểu thức B a b b c c a Bài 34: xyz a) Cho x3 y3 z3 3xyz. Hãy rút gọn phân thức : P x y y z z x 14 4 54 4 94 4 174 4 b) Tìm tích: M . . 34 4 74 4 114 4 194 4 c) Cho x by cz; y ax cz; z ax by và x y z 0; xyz 0 . 1 1 1 CMR: 2 1 a 1 b 1 c 1 1 1 yz xz xy d) Cho 0, tính giá trị của biểu thức P x y z x2 y2 z2 x2 x x 1 1 2 x2 Bài 35: Cho biểu thức : P 2 : 2 x 2x 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P 1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 Bài 36: x2 2x 2x2 1 2 a) Rút gọn biểu thức sau: A 2 2 3 . 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x b) Chứng minh rằng: a b c b c a 2 c a b a b c 2 b a c a c b 2 Bài 37: a) Chứng minh rằng: Nếu x2 y2 z2 xy yz zx thì x y z
  5. a2 b2 c2 a c b b) Cho ba số a,b,c khác 0thỏa mãn : b2 c2 a2 c b a Chứng minh rằng a b c x3 y3 z3 3xyz Bài 38: Rút gọn biểu thức B x y 2 y z 2 x z 2 3 x 1 x 3 5 Bài 39: Cho biểu thức A 2 : 2 x 1 2x 2 2x 2 4x 4 a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A được xác định b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x Bài 40: a) Cho a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn: ab bc ca 1 a b 2 b c 2 c a 2 Tính giá trị của biểu thức A 1 a2 1 b2 1 c2 x y a b b) Cho 2 2 2 2 x y a b Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: xn yn an bn Bài 41: a 1 b 3 c 5 a) Tìm a,b,c biết 5a 3b 4c 46 và 2 4 6 b) Tìm 2 số hữu tỉ a và b biết: a b ab a :b b 0 1 1 1 c) Cho a b c 1và 0. Tính a2 b2 c2 a b c 1 1 1 1 d) Cho a b c 2014 và a b a c b c 2014 a b c Tính S b c a c a b Bài 42: a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: 7 6x 7 2x 3 4x 1 3x 4 x y b) Tính giá trị biểu thức P . Biết x2 2y2 xy x y 0; y 0 x y 4xy 1 1 Bài 43: Cho biểu thức : A 2 2 : 2 2 2 2 y x y x y 2xy x a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định b) Rút gọn A c) Nếu x, y là các số thực làm cho Axác định và thỏa mãn:3x2 y2 2x 2y 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A.
  6. x2 2x 2x2 1 2 Bài 44: Cho biểu thức : A 2 2 3 . 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên 2x5 x4 2x 1 8x2 4x 2 Bài 45: Cho biểu thức : P 4x2 1 8x3 1 a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để P 6 1 x3 1 x2 Bài 46: Cho biểu thức A x : 2 3 x 1;1 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức A 2 b) Tính giá trị của biểu thức Atại x 1 3 c) Tìm giá trị của x để A 0 2 2 x 1 x 1 Bài 47: Cho biểu thức: A . x 1 : 3x x 1 3x x a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên. 2x 9 x 3 2x 4 Bài 48: Cho biểu thức: A x2 5x 6 x 2 3 x 5) Rút gọn A 6) Tính giá trị của Abiết 2x x2 1 7) Có giá trị nào của x để A 1không ? 8) Tìm x nguyên để Anhận giá trị là số nguyên. x 2 1 10 x2 Bài 49: Cho biểu thức : A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức A 1 b) Tính giá trị của A, biết x 2 c) Tìm giá trị của x để A 0 d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên x2 6 1 10 x2 Bài 50: Cho biểu thức M 3 : x 2 x 4x 6 3x x 2 x 2 a) Rút gọn M 1 b) Tính giá trị của M khi x 2
  7. x 2 1 10 x2 Bài 51: Cho biểu thức A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức A 1 b) Tính giá trị của A biết x 2 c) Tìm các giá trị của x để A 0 d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. a3 4a2 a 4 Bài 52: Cho P a3 7a2 14a 8 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên. 2 x 4x2 2 x x2 3x Bài 53: Cho biểu thức : A 2 : 2 3 2 x x 4 2 x 2x x a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A 0 c) Tính giá trị của A trong trường hợp x 7 4 x 5 x 2x 5 2x Bài 54: Cho biểu thức : P 2 2 : 2 x 25 x 5x x 5x 5 x a) Rút gọn biểu thức P Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để P có giá trị là một số nguyên x3 y3 x2 4y2 2 3 Bài 55. Cho biểu thức : P 2 2 : 2 2 x xy y x 2y y x x y a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P khi x, y thỏa mãn ; x y 6; x2 y2 26 \ c) Nếu x; y là các số thực dương làm cho P xác định và thỏa mãn: x y 2.Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 1 x3 1 x2 Bài 56. Cho biểu thức A x : 2 3 x 1 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A 0 x2 2x 2x2 1 2 Bài 57. Rút gọn biểu thức sau: A 2 2 3 . 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x Bài 58. Chứng minh rằng:
  8. a b c b c a 2 c a b a b c 2 b a c a c b 2 2 2 ab Bài 59 Biết 4a b 5ab với 2a b 0 . Tính giá trị biểu thức: C 2 2 4a b 1 6x 3 2 Bài 60. Cho biểu thức : Q 3 2 : x 2 x 1 x 1 x x 1 a) Tìm điều kiện xác định của Q, rút gọn Q 1 b) Tìm x khi Q 3 c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q . ab 1 bc 1 ca 1 Bài 61. Cho abc 1 và .Chứng minh rằng a b c b c a Bài 62. Rút gọn biểu thức : 1 1 1 1 1 A a2 a a2 3a 2 a2 5a 6 a2 7a 12 a2 9a 20 Bài 63. Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y 0, y < 0 và x + y = 1. y x y 2 2x 2 y x 2 a) Rút gọn biểu thức A : . 2 2 2 2 2 2 xy x y x y y x b) Chứng minh rằng: A < - 4. Bài 66. Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0, Tính gia trị của biểu thức T = (x – 4)2014 + (y – 4)2014 + (z – 4)2014. a4 a3 a2 2a 2 Bài 67. Cho Q a4 2a3 a2 4a 2 a) Rút gọn M b) Xác định a để Qmin a b c Bài 68 Cho x , y , z . Tính A yz zx xy 2xyz b c a c a b
  9. x4 x2 4x 1 x 1 x 1 x(x 1) (1 x) Bài 69. Cho biểu thức: P 2 . 3 . x 1 x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên ? Cho biểu thức: Bài 70: Cho ba số x, y, z đôi một khác nhau, thỏa mãn x3 + y3 + z3 = 3xyz và xyz ≠ 0. 16(x y) 3(y z) 2038(z x) Tính giá trị của biểu thức: B . z x y 2x3 x2 x x2 x x2 1 x Bài 71. Cho biểu thức: M 3 2 . 2 x 1 x 1 2x x 1 2x 1 a) Tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa b) Rút gọn biểu thức M c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức M có giá trị nguyên. 1 1 Bài 72. Cho x2 14 x 0 .Hãy tính giá trị của biểu thức x3 x2 x3 1 1 1 4 8 Bài 73. Tính tổng S 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 Bài 74. Cho a,b,c là 3 số thỏa mãn a b c ab bc ca abc . Chứng minh rằng: a2009 b2009 c2009 a b c 2009 3x y Bài 75: a) Cho x, y thỏa mãn y x y 0 và x2 xy 2y2.Tính A x y 2.1 1 2.2 1 2.3 1 2.99 1 b) Tính B 2 2 2 2 1. 1 1 2. 2 1 3. 3 1 99. 99 1 Bài 76. a) Tính giá trị của biểu thức A x4 17x3 17x2 17x 20 tại x 16 b) Cho x y a và xy b.Tính giá trị của biểu thức sau theo a và b: B x2 y2 1 x3 1 x2 Bài 77. Cho biểu thức A x : 2 3 x 1;1 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức A 2 b) Tính giá trị của biểu thức tại x 1 3 c) Tìm giá trị của x để A 0 Bài 78. Cho ba số a,b,c thỏa mãn abc 2004
  10. 2004a b c Tính: M . ab 2004a 2004 bc b 2004 ac c 1 x y Bài 79. Tính giá trị của biểu thức P . Biết x2 2y2 xy x y 0; y 0 x y Bài 80. Cho a và b thỏa mãn : a b 1.Tính giá trị của biểu thức B a3 b3 3ab x16 1 Bài 81: a) Tính giá trị của biểu thức sau: với x 2011 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 3 2 b) Cho x 3y 6 x 3y 12 x 3y 19 . Tìm giá trị của biểu thức x 3y x x3 8 x2 2x 4 1 x2 3x 2 Bài 82: Cho biểu thức P 3 . 2 : . 2 x 2 x 8 x 4 x 2 x x 1 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị của x để P 0 2017 2016 2014 2016 x2 4 Bài 83: Cho biểu thức A 2 : 2 x 1 x 1 x 1 x 1 a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm x để A 0và biểu diễn tập các giá trị tìm được của x trên trục số d) Tìm tất cả các số nguyên x để A có giá trị là số nguyên 5x 5 Bài 84: Cho phân thức 2x2 2x a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1 2 2 x 1 x 1 Bài 85: Cho biểu thức P . x 1 : 3x x 1 3x x a) Rút gọn P b) Tìm x ¢ để P có giá trị nguyên c) Tìm x để P 1 x 2 x2 Bài 86: Cho biết . Hãy tìm giá trị của biểu thức Q x2 x 1 3 x4 x2 1 1 1 1 1 1 Bài 87: Cho biểu thức: P x2 x x2 3x 2 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị. b) Rút gọn biểu thức P. x 2 2 x 1 3x x2 1 Bài 88: Cho biểu thức A = 3 . 3x x 1 2 4x 3x a. Rút gọn biểu thức A b. Tìm x để A có giá trị bằng 671 2 c. Tìm x Z để Z A
  11. x2 10 1 6 x2 Bài 89: Cho biểu thức Q : x 2 , với x 0 và x 2 . 3 x 4x 5x 10 x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức Q. 1 b) Tính giá trị của Q biết x . 2 c) Tìm x để Q > 0. 1 1 Bài 90: Cho biểu thức P x x 3 : x 1 với x 0;1;2 . x 1 x 1 a) Rút gọn P. b) Tìm x để P x 1 . x2 2x 2x2 x2 x 2 Bài 91: Cho biểu thức Q 2 2 2 , với x 0 và x 2 . 2x 8 x (x 2) 4(x 2) x a) Rút gọn biểu thức Q. 1 b) Tìm giá trị của x để Q có giá trị là . 4 y 2y2 4y4 8y8 x Bài 92: Cho x y và 2016 . Tính tỉ số x y x2 y2 x4 y4 x8 y8 y x y 2(x y) Bài 93: Cho x y 1 và xy 0. Chứng minh rằng : 0 y3 1 x3 1 x2 y2 3 4x2 16 A Bài 94: Tìm đa thức A, biết rằng x2 2 x x y z a b c x2 y2 z2 Bài 95: Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng: 1 a b c x y z a2 b2 c2 Bài 96: a) Cho hai số thực x và y thỏa mãn x y 4 và xy 1. Tính giá trị biểu thức A x2 1 y 2 x 2 y2 1 . 1 1 1 b) Cho a, b, c là ba số thực khác 0 thỏa mãn abc a b c và 2 . Tính giá trị biểu thức a b c 1 1 1 B . a2 b2 c2 x y z a b c Bài 97: Cho 1 và 0 ( Với x, y, z, a, b, c khác 0). a b c x y z x2 y2 z2 Chứng minh rằng : 1. a2 b2 c2 a2016 b2016 c2016 Bài 98: Cho a +b +c 0 và a3 + b3 + c3 = 3abc . Tính N = a b c 2016 2 1 5 x 6 Bài 99: Cho biểu thức A = 2 x x 2 x 3 x x 6 x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x, để A < 0 c) Tìm các số tự nhiên x, thỏa mãn: A2 – A = 6
  12. Bài 100: Cho các số tự nhiên a,b,c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca và a + b + c = 3. Tính M = a2016 + 2015b2015 + 2020c x2 x x 1 1 2 x2 Bài 101: Cho biểu thức P 2 : 2 x 2x 1 x x 1 x x a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P . 1 b) Tìm x để P . 2 c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1. a b c a2 b2 c2 Bài 102: Cho 1. Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b x 2 1 10 x2 Bài 103: Cho biểu thức A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức A 1 b) Tìm giá trị của A , biết x 2 c) Tìm giá trị của x để A 0 d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên Bài 104: Cho a,b dương và a2000 b2000 a2001 b2001 a2002 b2002 Tính a2011 b2011 Bài 105: Cho biểu thức : 2 x2 y2 x2 y2 x y P 2 2 . 2 2 với x 0, y 0, x y . x x xy xy xy y x xy y a. Rút gọn biểu thức P. b. Tính giá trị của biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức: x2 y2 10 2(x 3y) . 2x 3 2x 8 3 21 2x 8x2 Bài 106: P : 1 4x2 12x 5 13x 2x2 20 2x 1 4x2 4x 3 a) Rút gọn P 1 b) Tính giá trị của P khi x 2 c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P 0 x y 2 x y Bài 107: Cho x y 1 và xy 0.Chứng minh rằng: 0 y3 1 x3 1 x2 y2 3 2x5 x4 2x 1 8x2 4x 2 Bài 108: Cho biểu thức : P 4x2 1 8x3 1 a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để P 6 1 x3 1 x2 Bài 109: Cho biểu thức A x : 2 3 x 1;1 1 x 1 x x x
  13. a) Rút gọn biểu thức A 2 b) Tính giá trị của biểu thức A tại x 1 3 c) Tìm giá trị của x để A 0 2 2 x 1 x 1 Bài 110: Cho biểu thức: A . x 1 : 3x x 1 3x x a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. 2x 9 x 3 2x 4 Bài 111: Cho biểu thức: A x2 5x 6 x 2 3 x a) Rút gọn A b) Tính giá trị của A biết 2x x2 1 c) Có giá trị nào của x để A 1không ? Tìm x nguyên để A nhận giá trị là số nguyên x 2 1 10 x2 Bài 112: Cho biểu thức : A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức A 1 b) Tính giá trị của A, biết x 2 c) Tìm giá trị của x để A 0 d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên 1 1 1 Bài 113: Cho: 2 và x y z xyz ( x,y,z 0) x y z 1 1 1 Chứng minh 2 x2 y2 z2 1 1 1 yz xz xy Bài 114: Cho 0. Tính A x y z x2 y2 z2 x2 6 1 10 x2 Bài 115: Cho biểu thức M 3 : x 2 x 4x 6 3x x 2 x 2 1 a) Rút gọn M b) Tính giá trị của M khi x 2 a b Bài 116: Cho a b 0 thỏa mãn 3a2 3b2 10ab. Tính giá trị của biểu thức P a b a b c a2 b2 c2 Bài 117: Cho 1. Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b x 2 1 10 x2 Bài 118: Cho biểu thức A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức A 1 b) Tính giá trị của A biết x 2
  14. c) Tìm các giá trị của x để A 0 d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. 2 Bài 119: Cho a,b,c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: a b c a2 b2 c2 a2 b2 c2 Tính giá trị của biểu thức : P a2 2bc b2 2ac c2 2ab x2 yz y2 xz Bài 120: Chứng minh rằng nếu với x y; xyz 0; yz 1; xz 1 x 1 yz y 1 xz Thì xy xz yz xyz x y z Bài 121: Cho ba số a,b,c thỏa mãn abc 2004 . Tính 2004a b c M ab 2004a 2004 bc b 2004 ac c 1 1 1 Bài 122: Cho x 3. Tính giá trị biểu thức A x3 x x3 2 2 x 1 x 1 Bài 123: Cho biểu thức: A . x 1 : 3x x 1 3x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên 1 2 5 x 1 2x Bài 124: Cho biểu thức A 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 d) Rút gọn biểu thức A e) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên f) Tìm x để A A 2x 3 2x 8 3 21 2x 8x2 Bài 125: P 2 2 : 2 1 4x 12x 5 13x 2x 20 2x 1 4x 4x 3 a) Rút gọn P 1 b) Tính giá trị của P khi x 2 c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P 0 a3 4a2 a 4 Bài 126: Cho P a3 7a2 14a 8 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên. x 2 1 10 x2 Bài 127: Cho biểu thức : A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức A 1 b) Tính giá trị của A , biết x 2 c) Tìm giá trị của x để A 0
  15. d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. 2 2 x 1 x 1 Bài 128: Cho biểu thức: A . x 1 : 3x x 1 3x x a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. x2 a 1 a a2 x2 1 Bài 129: Rút gọn biểu thức: x2 a 1 a a2 x2 1 3x3 14x2 3x 36 Bài 130: Cho biểu thức : A 3x3 19x2 33x 9 a) Tìm giá trị của biểu thức A xác định b) Tìm giá trị của biểu thức A có giá tri bằng 0 c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên Bài 131: Cho a,b dương và a2000 b2000 a2001 b2001 a2002 b2002 . Tính a2011 b2011 a b c a2 b2 c2 Bài 132: Cho 1.Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b Bài 133: Cho a b c 0, chứng minh rằng a3 b3 c3 3abc Bài 134: a) Cho a b 2 và a2 b2 20.Tính giá trị của biểu thức M a3 b3 b) Cho a b c 0 và a2 b2 c2 14. Tính giá trị của biểu thức N a4 b4 c4 a b c a2 b2 c2 Bài 135: Cho 1.Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b Bài 136: Cho x y 1 và xy 0. Chứng minh rằng: x y 2 x y 0 y3 1 x3 1 x2 y2 3 Bài 137: Cho a,b,c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: a b c 2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Tính giá trị của biểu thức: P a2 2bc b2 2ac c2 2ab Bài 138: Cho x y z 0.Chứng minh rằng: 2 x5 y5 z5 5xyz x2 y2 z2 x2 2x 2x2 1 2 Bài 139: Cho biểu thức A 2 2 3 . 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x a) Tìm x để giá trị của Ađược xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để Anhận giá trị nguyên. ab Bài 140: Cho 4a2 b2 5ab và 2a b 0.Tính P 4a2 b2 1 2x 1 2y Bài 141: Cho x, y là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn 1 1 x 1 y
  16. Chứng minh M x2 y2 xy là bình phương của một số hữu tỷ. Bài 142: Cho x, y, z thỏa mãn x y z 7; x2 y2 z2 23; xyz 3 1 1 1 Tính giá trị của biểu thức H xy z 6 yz x 6 zx y 6 a b c a2 b2 c2 Bài 143: Cho 1.Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b Bài 144: Cho a,bdương và a2000 b2000 a2001 b2001 a2002 b2002 . Tính : a2011 b2011 a2 b2 Bài 145: Biết a3 3ab2 5và b3 3a2b 10 . Tính M 2018 Bài 146: 1 a) Cho a2 a 1 0.Tính giá trị của biểu thức P a2013 a2013 b) Cho hai số x, y thỏa mãn: x2 x2 y2 2y 0 và x3 2y2 4y 3 0 Tính giá trị của biểu thức Q x2 y2 x2 x x 1 1 2 x2 Bài 147: Cho biểu thức P 2 : x 2x 1 x x 1 x a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P 1 b) Tìm x để P= 2 Bài 148: Cho a b c 0 và abc 0, tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 P b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 x5 2x4 2x3 4x2 3x 6 Bài 149: Cho biểu thức M 2 x 2x 8 a) Rút gọn M b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức M bằng 0. 2 x 1 1 2x2 4x 1 x2 x Bài 150: Cho biểu thức R 2 3 : 3 3x x 1 x 1 x 1 x x a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức R được xác định; b) Tìm giá trị của x để giá trị của R bằng 0; c) Tìm giá trị của x để R 1 . Bài 151: Tính giá trị của biểu thức P x15 2018x14 2018x13 2018x12 2018x2 2018x 2018 , với x 2017 .
  17. x2 x x 1 1 2 x2 Bài 152: Cho biểu P 2 : 2 x 2x 1 x x 1 x x a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P . 1 b) Tìm x để P . 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 x2 y2 x2 y2 Bài 153: Cho P x y 1 y x y 1 x 1 x 1 y a) Tìm ĐKXĐ của P , rút gọn P b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P 2 Bài 154: Cho a b c 2 p . Chứng minh : 2bc b2 c2 a2 4 p p a 1 1 4 1 4 Bài 155: a) Cho x, y > 0. Chứng minh rằng và x y x y xy x y 2 1 1 b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng 16 ac bc Bài 156: Cho biểu thức M x a x b x b x c x c x a x2 1 1 1 Tính M theo a,b,c biết rằng x a b c 2 2 2 a b c a c b b c a Bài 157: Cho ba số a,b,c khác 0 thỏa mãn đẳng thức: . c b a b c a Tính giá trị của biểu thức: P 1 1 1 a b c 7 7 5a b 3b 2a Bài 158: a) Biết a ,b và 2a b 7 . Tính giá trị của biểu thức P 3 2 3a 7 2b 7 2a b 5b a b) Biết b 3a và 6a2 15ab 5b2 0 . Tính giá trị của biểu thức Q 3a b 3a b Bài 159: Tính giá trị của biểu thức P x15 2018x14 2018x13 2018x12 2018x2 2018x 2018 , với x 2017 . Bài 160: Cho x, y là hai số khác nhau, biết x2 y y2 x . 2 2 Tính giá trị của biểu thức A x 2xy y 3x 3y 3 3 2 2 Bài 161: Cho a b c 0 . Chứng minh rằng: a b a c b c abc 0 Bài 162: Cho x2 y2 z2 10 . Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 P xy yz zx 2 x2 yz y2 xz z2 xy Bài 163: Chứng minh rằng nếu ba số a,b,c thỏa mãn điều kiện: a b c 2018 và 1 1 1 1 thì một trong ba số a,b,c phải có một số bằng 2018. a b c 2018 Bài 164: Rút gọn các phân thức: x3 y3 z3 3xyz a)A ; x y 2 y z 2 z x 2
  18. 3 3 3 x2 y2 y2 z2 z2 x2 b) B x y 3 y z 3 z x 3 x40 x30 x20 x10 1 Bài 165: a) Rút gọn phân thức: A 45 40 35 5 x x x  x 1 x24 x20 x16 x4 1 b) Rút gọn phân thức: B x26 x24 x22 x2 1 1 1 1 Bài 166: Cho các số a,b,c khác 0, thoả mãn a b c 1 . a b c Tính giá trị của biểu thức a23 b23 a5 b5 a2019 b2019 Bài 167: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y y z z x 8xyz . Chứng minh rằng: x y z a b c a2 b2 c2 Bài 168: Cho 1 . Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b 1 1 1 1 1 1 Bài 169: Chứng minh rằng nếu 2 và a b c abc thì 2 2 2 2 a b c a b c Bài 170: Cho x, y, z thỏa điều kiện x y z 0 và xy yz zx 0 . 2017 2019 Hãy tính giá trị của biểu thức: S x 1 y2018 z 1 Bài 171: Rút gọn biểu thức: x 1 x 2 x 3 x 4 1 a) M x2 5x 5 1 1 2 4 8 16 b) N 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 x16 2 2 2 4 4 4 Bài 172: Cho a + b + c = 0 và a b c 1 . Tính giá trị của biểu thức M a b c x4 2x2 1 Bài 173: Cho phân thức A 3 x 3x 2 a) Rút gọn A. b) Tính x để A 1 x.y 5 x2 2xy y2 Bài 174: a) Cho 2 2 , hãy tính A 2 2 x y 8 x 2xy y x y z x2 y2 z2 b) Cho , hãy tính B a b c ax by cz 2 x2 3x 3 1 6x Bài 175: Cho biểu thức: P 3 2 2 : 3 2 x 3x 9x 27 x 9 x 3 x 3x 9x 27 a) Rút gọn P ; b) Với x 0 thì P không nhận những giá trị nào? c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên. x 3 8x2 3x 1 Bài 176: Cho biểu thức: Q 1 2 : 3 2 2 x 5x 6 4x 8x 3x 12 x 2 a) Rút gọn Q ; b) Tìm các giá trị của x để Q 0,Q 1 ; c) Tìm các giá trị của x để Q 0 . a2 4a 4 Bài 177: Cho phân thức: A a3 2a2 4a 8
  19. a) Rút gọn A ; b) Tìm a Z để A có giá trị nguyên. 2 1 2 1 4 1 4 1 Bài 178: Cho x 2 : x 2 a . Tính M x 4 : x 4 theo a . x x x x ab bc ca Bài 179: Cho a,b,c là ba số dương khác 0 thỏa mãn: ( Với giả thiết các tỉ số a b b c c a ab bc ca đều có nghĩa ). Tính: M . a2 b2 c2 a b 2 ab 2 Bài 180: Cho a b 1 và ab 0 . Chứng minh: 3 3 2 2 b 1 a 1 a b 3 Bài 181: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn điều kiện: abc 2019 . Chứng minh rằng: 2019a b c 1 ab 2019a 2019 bc b 2019 ca c 1 x 2x 3y Bài 182: Cho 3y x 6 . Tính giá trị của biểu thức M y 2 x 6 3 5 7 2n 1 Bài 183: Cho biểu thức P 2 2 2 2 ,n N * 1.2 2.3 3.4 n n 1 a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P tại n 99 . 2 Bài 184: Cho a,b,c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: a b c a2 b2 c2 a2 b2 c2 a) Tính giá trị của biểu thức: P 2 2 2 a 2bc b 2ac c 2ab b) Cho x y z 0.Chứng minh rằng: 2 x5 y5 z5 5xyz x2 y2 z2 2 2 Bài 185: Rút gọn biểu thức sau: A = x ― 2x ― 2x . 1 ― 1 ― 2 2x2 + 8 8 ― 4x + 2x2 ― x3 x x2 Bài 186:Cho biểu thức P = x ― 4 + 1 : 1 ― x ― 8 (x ≠ 1) x3 ― 1 x ― 1 x2 + x + 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của P khi x là nghiệm của phương trình x2 – 3x + 2 = 0 4026 Bài 187: Cho biểu thức R = x ― 1 + x + 1 ― 4 : x2 ― 2x x2 + 2x x3 ― 4x x Tìm x để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức Bài 188: Cho x2 + x =1.Tính giá trị biểu thức Q = x6 + 2x5 +2x4 +2x3 + 2x2 +2x + 1 Bài 189: Cho biểu thức A = 1 ― 2x : 1 ― 2x x ― 1 x3 + x ― x2 ― 1 x2 + 1 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
  20. b) Tìm x để A nhận giá trị là số âm c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức (x+2).A nhận giá trị là số nguyên. 3x + 3 Bài 190: Cho biểu thức A = x3 + x2 + x + 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên? c) Tìm giá trị lớn nhất của A Bài 191: Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn (a - b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 2010 Tính giá trị của biểu thức A = |a – b| +|b – c| +|c – a| Bài 192: Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x : (x – 1)4 –x2(x2 + 6) + 4x(x2 + 1) Bài 193: Chứng minh rằng: a(b – c)(b + c – a)2 + c(a – b)(a + b – c)2 = b(a – c)(a + c – b)2 Bài 194: Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng: Nếu a + b + c = 0 thì a ― b + b ― c + c ― a . c + a + b = 9 c a b a ― b b ― c c ― a Bài 1195: Tìm 3 số dương a,b,c thỏa mãn : a2 + 7 b2 + 6 c2 + 3 = = vàa2 + 2c2 = 3c2 + 19 4 5 6 Bài 196: Chứng minh rằng (x2 + y2 +z2)2 = 2(x4 + y4 +z4) biết x+ y + z = 0 a2 b2 Bài 197: Biết a3 3ab2 5và b3 3a2b 10 . Tính M 2018 ab Bài 198: Biết 4a2 b2 5ab với 2a b 0.Tính giá trị biểu thức C 4a2 b2 Bài 199: Cho 10a2 = 10b2 – c2. Chứng minh rằng: (7a – 3b – 2c)(7a – 3b + 2c) = ( 3a – 7b)2 Bài 200: Chứng minh rằng: Với mọi x ¤ thì giá trị của đa thức : M x 2 x 4 x 6 x 8 16 là bình phương của một số hữu tỉ Bài 201: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a b c 0. Chứng minh rằng ab bc ca 0 Bài 202: Chứng minh rằng: a b c b c a 2 c a b a b c 2 b a c a c b 2 Bài 203: Cho a,bdương và a2000 b2000 a2001 b2001 a2002 b2002 . Tính a2011 b2011 1 2a 3b 7 3a Bài 204: Tìm a,b biết 15 23 7a 20 Bài 205: Chứng minh rằng: a b c b c a 2 c a b a b c 2 b a c a c b 2
  21. Bài 206: x4 x2 1 a) Cho x2 4x 1 0 . Tính E x2 x x2 b) Cho a . Tính F theo a x2 x 1 x4 x2 1 14 4 54 4 94 4 214 4 Bài 207: Rút gọn biểu thức: P 34 4 74 4 114 4 234 4 x 2 1 10 x2 Bài 208: Cho biểu thức M 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 1 a) Rút gọn biểu thức M . b) Tính giá trị của M , biết x . 2 c)Tìm giá trị của x để M 0 . d) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên. 2 x2 y2 x2 y2 x y Bài 209: Cho biểu thức: P 2 2 . 2 2 với x x xy xy xy y x xy y x 0; y 0; x y 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tính giá trị của biểu thức P,biết x,y thỏa mãn đẳng thức: x2 y2 10 2 x 3y 1 2 5 x 1 2x Bài 210: Cho biểu thức: A : 1 x 1 x 1 x2 x2 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên c) Tìm x để A A x2 x x 1 1 2 x2 Bài 211: Cho biểu thức : P 2 : 2 x 2x 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P 1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 4x 8x2 x 1 2 Bài 212: Cho biểu thức : A 2 : 2 2 x 4 x x 2x x a) Tìm điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A 1 c) Tìm các giá trị của x để A 0
  22. x y Bài 213: Tính giá trị của biểu thức P . Biết x2 2y2 xy x y 0; y 0 x y Bài 214: Rút gọn các biểu thức bc ca ab A a b a c b c b a c a c b 6 1 1 6 x x 6 2 x x B 3 1 1 3 x x 3 x x Bài 215: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện xyz 2009.Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến x,y,z : 2009x y z xy 2009x 2009 yz y 2009 xz z 1 2 2 x 1 x 1 Bài 216: Cho biểu thức: A . x 1 : 3x x 1 3x x c) Rút gọn biểu thức A d) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên x 5 x 2x 5 2x Bài 217: Cho biểu thức : P : x2 25 x2 5x x2 5x 5 x b) Rút gọn biểu thức P c) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để P có giá trị là một số nguyên. Bài 218: x16 1 a) Tính giá trị của biểu thức sau: với x 2011 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 3 2 b) Cho x 3y 6 x 3y 12 x 3y 19 Tìm giá trị của biểu thức x 3y x x3 8 x2 2x 4 1 x2 3x 2 Bài 219: Cho biểu thức P 3 . 2 : . 2 x 2 x 8 x 4 x 2 x x 1 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị của x để P 0 Bài 220: Cho x(m n) y(n p) z(p m) trong đó x,y,z la các số khác nhau và khác 0, m n n p p m Chứng minh rằng: x(y z) y z x z x y
  23. 1 1 1 1 Bài 221: Tính tổng: S 1.3 3.5 5.7 2007.2009 a) Rút gọn A 1 1 b) Rút gọn B 3 x x Bài 222: 2a 1 a) Hãy viết biểu thức sau : thành hiệu hai bình phương a2 a 1 2.1 1 2.2 1 2.3 1 2.2012 1 b) Cho M 2 2 2 2 12 1 22 2 32 3 20122 2012 Chứng minh rằng M 1 x2 6 1 10 x2 Bài 223: Cho biểu thức: M 3 : x 2 x 4x 6 3x x 2 x 2 a) Rút gọn M b) Tính giá trị của biểu thức M khi x 1 c) Với giá trị nào của x thì M 2 d) Tìm giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên. x2 2x 2x2 1 2 Bài 224: Rút gọn biểu thức sau: A 2 2 3 . 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x 2 2 2 Bài 225: Chứng minh rằng: a b c b c a c a b a b c b a c a c b Bài 226: Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng: a b b c c a c a b Nếu a b c 0 thì . 9 c a b a b b c c a x 4 1 x 8 Bài 227: Cho biểu thức P : 1 x 1 x3 1 x 1 x2 x 1 c) Rút gọn biểu thức P d) Tính giá trị của P khi x là nghiệm của phương trình x2 3x 2 0 a2 7 b2 6 c2 3 Bài 228: Tìm 3 số dương a,b,c thỏa mãn : và a2 2c2 3c2 19 4 5 6 Bài 229: Một giải bóng chuyền có 9 đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt (hai đội bất kỳ chỉ thi đấu với nhau 1 trận). Biết đội thứ nhất thắng a1 trận và thua b1 trận, đội thứ 2 thắng a2 trận và thua b2 trận, ., đội thứ 9 thắng a9 trận và thua b9 trận. 2 2 2 2 2 2 2 2 Chứng minh rằng a1 a2 a3 a9 b1 b2 b3 b9 Bài 230: Cho x2 x 1.Tính giá trị biểu thức Q x6 2x5 2x4 2x3 2x2 2x 1 x 1 x 1 4 4026 Bài 231: Cho biểu thức R : . Tìm x để biểu thức xác x2 2x x2 2x x3 4x x định, khi đó hãy rút gọn biểu thức
  24. 1 2x 2x Bài 232: Cho biểu thức A : 1 x 1 x3 x x2 1 x2 1 d) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A e) Tìm x để A nhận giá trị là số âm f) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức x 2 .A nhận giá trị là số nguyên. Bài 233: Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x 4 x 1 x2 x2 6 4x x2 1 2 Bài 234:Chứng minh rằng x2 y2 z2 2 x4 y4 z4 3x 3 Bài 235: Cho biểu thức A x3 x2 x 1 d) Rút gọn biểu thức A e) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên? f) Tìm giá trị lớn nhất của A 3 3 3 Bài 236: Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn a b b c c a . Tính giá trị của biểu thức A a b b c c a x2 2x 2x2 1 2 Bài 237: Cho biểu thức A 2 2 3 . 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x c) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. d) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. ab Bài 238: Cho 4a2 b2 5ab và 2a b 0.Tính P 4a2 b2 1 2x 1 2y Bài 239: Cho x,y là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn 1 1 x 1 y Chứng minh M x2 y2 xy là bình phương của một số hữu tỷ. x,y,z 2 2 2 Bài 240: Cho thỏa mãn x y z 7; x y z 23; xyz 3 1 1 1 Tính giá trị của biểu thức H xy z 6 yz x 6 zx y 6 Bài 241: Cho a,b dương và a2000 b2000 a2001 b2001 a2002 b2002 . Tính : a2011 b2011 a b c a2 b2 c2 Bài 242: Cho 1. Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b x2 a 1 a a2x2 1 Bài 243: Rút gọn biểu thức: x2 a 1 a a2x2 1
  25. a2 b2 Bài 244: Biết a3 3ab2 5 và b3 3a2 b 10 . Tính M 2018 Bài 245: 1 a) Cho a2 a 1 0. Tính giá trị của biểu thức P a2013 a2013 b) Cho hai số x,y thỏa mãn: x2 x2 y2 2y 0 và x3 2y2 4y 3 0 Tính giá trị của biểu thức Q x2 y2 x2 x x 1 1 2 x2 Bài 246: Cho biểu thức P 2 : x 2x 1 x x 1 x a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P 1 b) Tìm x để P= 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 Bài 247: Cho a b c 0 và abc 0, tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 P b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 a3 4a2 a 4 Bài 248: Rút gọn biểu thức: P a3 7a2 14a 8 x4 2 x2 1 x2 3 Bài 249: Cho biểu thức M x6 1 x4 x2 1 x4 4x2 3 a) Rút gọn M b) Tìm giá trị lớn nhất của M 1 2x 1 2y Bài 250: Cho x, y là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn 1 Chứng minh M x2 y2 xy là 1 x 1 y bình phương của một số hữu tỷ. Bài 251: Cho x, y, z thỏa mãn x y z 7; x2 y2 z2 23; xyz 3. Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 H xy z 6 yz x 6 zx y 6 Bài 252: Cho x2 x 1.Tính giá trị biểu thức Q x6 2x5 2x4 2x3 2x2 2x 1 x 1 x 1 4 4026 Bài 253: Cho biểu thức R 2 2 3 : . Tìm x để biểu thức xác định, khi x 2x x 2x x 4x x đó hãy rút gọn biểu thức 1 x3 1 x2 Bài 254: Cho biểu thức A = x : 2 3 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức A.
  26. 2 2 1 b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 3 9 c) Tìm giá trị của x, để A < 0. x2 3x 3 1 6x Bài 255: Cho biểu thức P 3 2 2 : 3 2 x 3x 9x 27 x 9 x 3 x 3x 9x 27 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P b) Với x 0 thì P không nhận những giá trị nào ? c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên. a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 Bài 256: Cho biểu thức M . Chứng minh rằng: 2ab 2bc 2ca a) Nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì M 1 b) Nếu M 1thì hai trong ba phân thức đã cho của biểu thức M bằng 1, phân thức còn lại bằng 1 2 2 x 1 x 1 Bài 257: Cho biểu thức P . x 1 : BTHH 3x x 1 3x x a) Rút gọn P b) Tìm x ¢ để P có giá trị nguyên c) Tìm x để P 1 x 2 x2 Bài 258: Cho biết .Hãy tính giá trị của biểu thức: Q x2 x 1 3 x4 x2 1 x4 y4 x2 y2 Bài 259: Cho x, y,a,b là những số thực thỏa mãn: và x2 y2 1. Chứng minh: a b a b x2006 y2006 2 a1003 b1003 a b 1003 x3 1 x2 4 2 x x 1 Bài 260: Cho biểu thức A 2 2 : với x 0; x 1; x 2; x 1BTHH x x x 2x x x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính A biết x thỏa mãn x3 4x2 3x 0. Bài 261: Cho a,b,c là các số hữu tỷ khác 0 thỏa mãn a b c 0 . Chứng minh rằng: 1 1 1 M là bình phương của một số hữu tỷ a2 b2 c2 Bài 262: Rút gọn biểu thức sau và tìm giá tri nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên: x2 2x 2x2 1 2 M 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x
  27. 2017 2016 2014 2016 x2 4 Bài 263: Cho biểu thức : A 2 : 2 x 1 x 1 x 1 x 1 a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm x để A 0và biểu diễn tập các giá trị tìm được của x trên trục số d) Tìm tất cả các số nguyên x để A có giá tri là số nguyên. y 2y2 4y4 8y8 x Bài 264: Cho x y và 2016. Tính tỉ số ? x y x2 y2 x4 y4 x8 y8 y x y 2 x y Bài 265: Cho x y 1 và xy 0 . Tính: P y 3 1 x3 1 x 2 y 2 3 a3 4a2 a 4 Bài 266: Cho P a3 7a2 14a 8 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên. Bài 267: a) Cho a b c 0.Chứng minh rằng a3 b3 c3 3abc 1 1 1 yz xz xy b) Cho 0, (với x 0; y 0; z 0) Tính giá trị của biểu thức x y z x2 y2 z2 4x 8x2 x 1 2 Bài 268: Cho biểu thức : A 2 : 2 2 x 4 x x 2x x a) Tìm điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A 1 c) Tìm các giá trị của x để A 0 x2 2x 2x2 1 2 Bài 269: Cho biểu thức M 2 2 3 . 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x a) Rút gọn M b) Tìm x nguyên để M có giá trị là số nguyên dương c) Tìm x để M 3 1 2 5 x 1 2x Bài 270: Cho biểu thức : C 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức C b) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B là số nguyên. 2 2 x 1 x 1 Bài 271: Cho biểu thức : A . x 1 : 3x x 1 3x x
  28. a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. x2 2x 2x2 1 2 Bài 272: Cho biểu thức A 2 2 3 . 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Bài 273: Cho x, y là hai số dương và x2010 y2010 x2011 y2011 x2012 y2012.Tính giá trị của biểu thức S x2020 y2020 x y z a b c x2 y2 z2 Bài 274: Cho 1 và 0 Chứng minh rằng: 1 a b c x y z a2 b2 c2 ab Bài 275: Cho 4a2 b2 5ab và 2a b 0.Tính P 4a2 b2 1 1 Bài 276: Cho x 3. Tính giá trị biểu thức A x3 x x3 Bài 277: Cho a b c 2 p . Chứng minh : 2bc b2 c2 a2 4 p p a x5 2x4 2x3 4x2 3x 6 Bài 278: Cho biểu thức M x2 2x 8 c) Rút gọn M d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức M bằng 0. Bài 279: Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số nguyên. 2x3 x2 2x 5 A 2x 1 Bài 280: Cho biểu thức M x a x b x b x c x c x a x2 1 1 1 Tính M theo a,b,c biết rằng x a b c 2 2 2 2 x 1 1 2x2 4x 1 x2 x Bài 281: Cho biểu thức R 2 3 : 3 3x x 1 x 1 x 1 x x d) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức R được xác định; e) Tìm giá trị của x để giá trị của R bằng 0; f) Tìm giá trị của x để R 1 . a b c a c b b c a Bài 282: Cho ba số a,b,c khác 0 thỏa mãn đẳng thức: . c b a b c a Tính giá trị của biểu thức: P 1 1 1 a b c
  29. 2k 1 Bài 283: Cho a1,a2 ,a3 , ,a2018 là 2018 số thực thoả mãn ak 2 , với k 1,2,3, ,2018 . k 2 k Tính S2018 a1 a2 a3 a2017 a2018 7 7 5a b 3b 2a Bài 284: a) Biết a ,b và 2a b 7 . Tính giá trị của biểu thức P 3 2 3a 7 2b 7 2a b 5b a b) Biết b 3a và 6a2 15ab 5b2 0 . Tính giá trị của biểu thức Q 3a b 3a b Bài 285: Rút gọn: a) M 90.10k 10k 2 10k 1, k N ; b) N 202 182 22 192 172 12 . Bài 286: Tính giá trị của biểu thức P x15 2018x14 2018x13 2018x12 2018x2 2018x 2018 , với.x 2017 Bài 287: a) So sánh hai số A 332 1 và B 3 1 32 1 34 1 38 1 316 1 2019 2018 20192 20182 b) C và D 2019 2018 20192 20182 Bài 288: Cho a b c 0 . Chứng minh rằng: a3 b3 a2c b2c abc 0 Bài 289: Cho x2 y2 z2 10 . Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 P xy yz zx 2 x2 yz y2 xz z2 xy Bài 290: Chứng minh rằng nếu ba số a,b,c thỏa mãn điều kiện: a b c 2018 và 1 1 1 1 thì một trong ba số a,b,c phải có một số bằng 2018. a b c 2018 x2 x x 1 1 2 x2 Bài 291: Cho biểu P 2 : 2 x 2x 1 x x 1 x x a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P . 1 b) Tìm x để P . 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 Bài 292: Rút gọn các phân thức: 2 2 3 2 2 3 2 2 3 x3 y3 z3 3xyz x y y z z x a)A ; b) B x y 2 y z 2 z x 2 x y 3 y z 3 z x 3 4 3 2 Bài 293: Chứng tỏ rằng đa thức: luônA khôngx2 1 âm 9 với x2 1 21 x2 1 x2 31 mọi giá trị của biến x .
  30. x40 x30 x20 x10 1 Bài 294: a) Rút gọn phân thức: A x45 x40 x35  x5 1 x24 x20 x16 x4 1 b) Rút gọn phân thức: B x26 x24 x22 x2 1 1 1 1 Bài 295: Cho các số a,b,c khác 0, thoả mãn a b c 1 . a b c Tính giá trị của biểu thức a23 b23 a5 b5 a2019 b2019 Bài 296: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y y z z x 8xyz . Chứng minh rằng: x y z Bài 297: Thực hiện phép tính: 1 2.36 1 36 53 a) A . 23.36 23.53 8 93 125 183 103 x3 y xy3 xy b) B x3 y3 x2 y xy2 x y a b c a2 b2 c2 Bài 298: Cho 1 . Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b 1 1 1 1 1 1 Bài 299: Chứng minh rằng nếu 2 và a b c abc thì 2 a b c a2 b2 c2 5n 11 Bài 300: a) Xác định n N để A là số tự nhiên 4n 13 1 1 1 b) Tính tổng S n 2.5 5.8 3n 1 . 3n 2 Bài 301: Cho x, y, z thỏa điều kiện x y z 0 và xy yz zx 0 . 2017 2019 Hãy tính giá trị của biểu thức: S x 1 y2018 z 1 x2 y2 x2 y2 Bài 302: Cho P x y 1 y x y 1 x 1 x 1 y c) Tìm ĐKXĐ của P , rút gọn P d) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P 2 Bài 303: Rút gọn biểu thức: x 1 x 2 x 3 x 4 1 a) M x2 5x 5 1 1 2 4 8 16 b) N 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 x16 Bài 304: Cho a + b + c = 0 và a2 b2 c2 1 . Tính giá trị của biểu thức M a4 b4 c4
  31. x4 2x2 1 Bài 305: Cho phân thức A x3 3x 2 a) Rút gọn A. b) Tính x để A 1 x.y 5 x2 2xy y2 Bài 306: a) Cho , hãy tính A x2 y2 8 x2 2xy y2 x y z x2 y2 z2 b) Cho , hãy tính B a b c ax by cz 2 a b c) Cho a b 0 thỏa mãn: 3a2 3b2 10ab . Tính C a b x2 3x 3 1 6x Bài 307: Cho biểu thức: P 3 2 2 : 3 2 x 3x 9x 27 x 9 x 3 x 3x 9x 27 c) Rút gọn P ; d) Với x 0 thì P không nhận những giá trị nào? c)Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên. M N 32x 19 Bài 308: Cho . Tính M .N ? x 1 x 2 x2 x 2 x 3 8x2 3x 1 Bài 309: Cho biểu thức: Q 1 2 : 3 2 2 x 5x 6 4x 8x 3x 12 x 2 c) Rút gọn Q ; d) Tìm các giá trị của x để Q 0,Q 1 ; e) Tìm các giá trị của x để Q 0 . a2 4a 4 Bài 310: Cho phân thức: A a3 2a2 4a 8 b) Rút gọn A ; c) Tìm a Z để A có giá trị nguyên. 2 1 2 1 4 1 4 1 Bài 311: Cho x 2 : x 2 a . Tính M x 4 : x 4 theo a . x x x x ab bc ca Bài 312: a) Cho a,b,c là ba số dương khác 0 thỏa mãn: ( Với giả thiết các tỉ a b b c c a ab bc ca số đều có nghĩa ). Tính: M . a2 b2 c2 2 2 2 2017 b) Tìm số tự nhiên n khác 0, biết: 1 1 1 . 2.3 3.4 n n 1 6045 1 1 1 1 1 c) Tính: M . 1 1 1 1 2 1.3 2.4 3.5 2017.2019
  32. a b 2 ab 2 Bài 313: Cho a b 1 và ab 0 . Chứng minh: b3 1 a3 1 a2b2 3 a3 a2 a Bài 314: Cho biểu thức E với a là một số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ E có giá trị 24 8 12 nguyên. Bài 315: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn điều kiện: abc 2019 . Chứng minh rằng: 2019a b c 1 ab 2019a 2019 bc b 2019 ca c 1 x 2x 3y Bài 316: Cho 3y x 6 . Tính giá trị của biểu thức M y 2 x 6 3 5 7 2n 1 Bài 317: Cho biểu thức P 2 2 2 2 ,n N * 1.2 2.3 3.4 n n 1 b) Rút gọn P c) Tính giá trị của P tại n 99 . Bài 318: Cho đa thức E x4 2017x2 2016x 2017 . Tính giá trị của E với x là nghiệm của phương trình: x2 x 1 1 . 2017 2016 Bài 319: So sánh A và B , biết: A 20172016 20162016 ; B 20172017 20162017 . 2a 1 Bài 320: Hãy viết biểu thức sau : thành hiệu hai bình phương a2 a 1 x 1 1 2 Bài 321: Cho biểu thức : P 2 : 2 x 1 x x x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị của x để P 1 c) Giải phương trình P 2 2 2 Bài 322: Cho x2 y2 2 và M x2 1 y2 1 2x2 y2 Chứng minh rằng giá trị của biểu thức M không phụ thuộc vào giá trị của biến số x, y x 1 1 3x x2 1 x2 2x 1 Bài 323: Cho A 2 3 : 3x x 1 x 1 1 x x 1 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
  33. 2 b) Tìm các giá trị thực của x để Avà có giá trị là số nguyên. A Bài 324: Chứng minh rằng: nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn 2 a b c 3 ab bc ca thì tam giác đó là tam giác đều. B. Lời giải bài minh họa. 1 x3 1 x2 Bài 1: Cho biểu thức : A x : 2 3 x 1 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức A 2 b) Tính giá trị của biểu thức Atại x 1 3 c) Tìm giá trị của x để A 0. Lời giải a) Với x 1 thì: 1 x3 x x2 1 x 1 x A : 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x : 1 x 1 x 1 2x x2 1 1 x2 : 1 x2 . 1 x 1 x 2 5 b) Tại x 1 thì 3 3 2 5 5 25 5 2 A 1 1 1 . 1 10 3 3 9 3 27 c) Với x 1 thì A 0 khi và chỉ khi 1 x2 1 x 0 (1) Vì 1 x2 0với mọi x nên 1 xảy ra khi và chỉ khi 1 x 0 x 1 2 2 2 Bài 2: Cho a b b c c a 4. a2 b2 c2 ab ac bc Chứng minh rằng a b c Lời giải Biến đổi đẳng thức để được a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac 4a2 4b2 4c2 4ab 4ac 4bc
  34. Biến đổi để có: a2 b2 2ac b2 c2 2bc a2 c2 2ac 0 2 2 2 Biến đổi để có: a b b c a c 0 * 2 2 2 Vì a b 0; b c 0; a c 0 với mọi a,b,c 2 2 2 Nên * xảy ra khi và chỉ khi a b 0; b c 0; a c 0 Từ đó suy ra a b c Bài 3: Cho a b c 0, chứng minh rằng : a3 b3 c3 3abc Lời giải Ta có: a b c 0 a b c Mặt khác a b 3 a3 b3 3ab a b 3 c a3 b3 3ab c a3 b3 c3 3abc (dfcm) 2x 9 x 3 2x 4 Bài 4: Cho biểu thức: A x2 5x 6 x 2 3 x 1) Rút gọn A 2) Tính giá trị của Abiết 2x x2 1 3) Có giá trị nào của x để A 1 không ? 4) Tìm x nguyên để Anhận giá trị là số nguyên. Lời giải x 4 1) Rút gọn được A x 3 2) ĐKXĐ: x 2 và x 3 2x x2 1 x2 2x 1 0 x 1 5 Thay x 1 vào, tính được A 2 x 4 3) A 1 1 x 4 x 3 0x 7 (vô nghiệm) x 3 Vậy không có giá trị nào của x để A 1 x 4 7 4) A 1 x 3 x 3 Để A ¢ thì x 3 Ư 7 7; 1;1;7 x 4;2;4;10 Thử lại và kết hợp với ĐKXĐ ta được x 4;4;10
  35. 1 2 5 x 1 2x Bài 5: Cho biểu thức A 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 g) Rút gọn biểu thức A h) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức Anhận giá trị nguyên i) Tìm x để A A Lời giải 1 a) ĐKXĐ: x 1; x 2 1 x 2 1 x 5 x x2 1 A 2 . 1 x 1 2x 2 x2 1 2 . 1 x2 1 2x 1 2x b)A nguyên, mà x nguyên nên 2M 1 2x Từ đó tìm được x 1 và x 0 Kết hợp điều kiện x 0 A A A 0 c) Ta có: 2 1 0 1 2x 0 x 1 2x 2 1 Kết hợp với điều kiện : 1 x 2 x 1 1 2 x3 2x2 Bài 6: Cho biểu thức Q 1 3 2 : 3 2 x 1 x x 1 x 1 x x x d) Rút gọn Q 3 5 e) Tính giá trị của Q biết x 4 4 f) Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên Lời giải a) ĐKXĐ: x 0; 1;2 x 1 1 2 x3 2x2 Q 1 3 2 : 3 2 x 1 x x 1 x 1 x x x 2 x 1 x 1 2 x x 1 x2 x 1 1 . x 1 x2 x 1 x(x 2)
  36. 2x2 4x x2 x 1 1 . x 1 x2 x 1 x x 2 2 x 1 1 x 1 x 1 x 2 (ktm) 3 5 b) x 1 4 4 x 2 1 Với x Q 3 2 c) Q ¢ với x 3; 2;1 2 a 1 1 2a2 4a a3 4a Bài 7: Cho biểu thức M 2 3 : 2 3a a 1 a 1 4a d) Rút gọn M e) Tìm a để M 0 f) Tìm giá trị của a để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất. Lời giải a) Điều kiện: a 0;a 1 2 a 1 1 2a2 4a 1 a3 4a Ta có: M 2 3 : 2 3a a 1 a 1 a 1 4a 2 a 1 1 2a2 4a 1 4a2 . a2 a 1 2 a 1 2 a 1 a a 1 a a 4 3 a 1 1 2a2 4a a2 a 1 4a . a 1 a2 a 1 a2 4 a3 3a2 3a 1 1 2a2 4a a2 a 1 4a . a 1 a2 a 1 a2 4 a3 1 4a 4a . a3 1 a2 4 a2 4 b) M 0 4a 0 a 0 Kết hợp với điều kiện suy ra M 0 khi a 0 và a 1 2 2 2 4a a 4 a 4a 4 a 2 c) Ta có: M 1 a2 4 a2 4 a2 4 a 2 2 a 2 2 Vì 0 với mọi a nên 1 1với mọi a a2 4 a2 4
  37. a 2 2 Dấu " " xảy ra khi 0 a 2 a2 4 Vậy MaxM 1 khi a 2. Bài 8: Cho x y z 1 và x3 y3 z3 1. Tính A x2015 y2015 z2015 Lời giải 3 Từ x y z 1 x y z 1 Mà x3 y3 z3 1 x y z 3 x3 y3 z3 0 x y z 3 z3 x3 y3 0 x y z z x y z 2 x y z z z2 x y x2 xy y2 0 x y x2 y2 z2 2xy 2yz 2xz xz yz z2 z2 x2 xy y2 0 x y 3z2 3xy 3yz 3xz 0 x y 3 y z x z 0 x y 0 x y y z 0 y z x z 0 x z *Nếu x y z 1 A x2015 y2015 z2015 1 *Nếu y z x 1 A x2015 y2015 z2015 1 *Nếu x z y 1 A x2015 y2015 z2015 1 Bài 10: Cho a2 b2 c2 a3 b3 c3 1. Tính S a2 b2012 c2013 Lời giải a2 b2 c2 a3 b3 c3 1 a;b;c  1;1 a3 b3 c3 a2 b2 c2 a2 a 1 b2 b 1 c2 c 1 0 a3 b3 c3 1 a;b;c nhận hai giá trị là 0hoặc 1 b2012 b2;c2013 c2; S a2 b2012 c2013 1 n4 3n3 2n2 6n 2 Bài 11: Tìm số tự nhiên n để: B có giá trị là một số nguyên n2 2
  38. Lời giải 2 B n2 3n n2 2 B có giá trị nguyên 2Mn2 2 n2 2 1 n2 1(ktm) n2 2 là ước tự nhiên của 2 2 n 2 2 n 0 (tm) Vậy với n 0 thì B có giá trị nguyên. Bài 12: Chứng minh rằng: a b c c) 1 biết abc 1 ab a 1 bc b 1 ac c 1 2 d) Với a b c 0 thì a4 b4 c4 2 ab bc ca Lời giải a) a b c ac abc c ab a 1 bc b 1 ac c 1 abc ac c abc2 abc ac ac c 1 ac abc c abc ac 1 1 1 ac c c 1 ac ac c 1 abc ac 1 b) a b c 0 a2 b2 c2 2 ab ac bc 0 a2 b2 c2 2 ab ac bc (1) a4 b4 c4 2 a2b2 a2c2 b2c2 4 a2b2 a2c2 b2c2 8abc a b c (Vì a b c 0 ) 2 ab ac bc 2 a2b2 a2c2 b2c2 (2) 2 Từ (1) và (2) a4 b4 c4 2 ab ac bc x y 2 x y Bài 13: Cho x y 1 và xy 0 . Chứng minh rằng: 0 y3 1 x3 1 x2 y2 3 Lời giải x y x4 x y4 y y3 1 x3 1 y3 1 x3 1
  39. x4 y4 x y do x y 1 y 1 x & x 1 y xy y2 y 1 x2 x 1 x y x y x2 y2 x y xy x2 y2 y2 x y2 yx2 xy y x2 x 1 x y x2 y2 1 2 2 2 2 xy x y xy x y x y xy 2 x y x2 x y2 y x y x x 1 y y 1 xy x2 y2 x y 2 2 xy x2 y2 3 x y x y y x x y 2xy xy x2 y2 3 xy x2 y2 3 2 x y Suy ra điều phải chứng minh x2 y2 3 5x 5 Bài 14: Cho phân thức 2x2 2x c) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định d) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1 Lời giải a)2x2 2x 2x x 1 0 2x 0 & x 1 0 x 0 x 1 b) 5x 5 5 x 1 5 2x2 2x 2x x 1 2x 5 5 1 2x 5 x (tm) 2x 2 Bài 15: Cho biểu thức 2x 3 2x 8 3 21 2x 8x2 P 2 2 : 2 1 4x 12x 5 13x 2x 20 2x 1 4x 4x 3 e) Rút gọn P
  40. 1 f) Tính giá trị của P khi x 2 g) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. h) Tìm x để P 0 Lời giải 4x2 12x 5 2x 1 2x 5 13x 2x2 20 x 4 5 2x 21 2x 8x2 3 2x 7 4x 4x2 4x 3 2x 1 2x 3 1 5 3 7  Điều kiện x ; ; ; ;4 2 2 2 4  2x 3 a) Rút gọn P 2x 5 1 x 1 2 b) x 2 1 x 2 1 1 )x P 2 2 1 2 )x P 2 3 c) Ta có: 1 ¢ 2 Vậy P ¢ ¢ x 5 Ư 2 1; 2;1;2 x 5 x 5 2 x 3 (tm) x 5 1 x 4 (ktm) x 5 1 x 6 (tm) x 5 2 x 7 (tm) 2x 3 2 d) P 1 2x 5 x 5 Ta có: 1 0 2 Để P 0 thì 0 x 5 0 x 5 x 5 Với x 5 thì P 0 x2 x 6 Bài 16: a) Rút gọn biểu thức : x3 4x2 18x 9
  41. 1 1 1 yz xz xy b) Cho 0 x, y, z 0 . Tính x y z x2 y2 z2 Lời giải a) Ta có: *)x2 x 6 x2 3x 2x 6 x x 3 2 x 3 x 2 x 3 *)x3 4x2 18x 9 x3 3x2 7x2 21x 3x 9 x2 x 3 7x x 3 3 x 3 x 3 x2 7x 3 2 x x 6 x 3 x 2 x 2 2 3 2 2 x 1; x 7x 3 0 x 4x 18x 9 x 3 x2 7x 3 x 7x 3 b) Vì 1 1 1 1 1 1 0 x y z z x y 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3. 2 . 3. . 2 3 z x y z x x y x y y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3. . . 3 3 3 3. x y z x y x y x y z xyz 1 1 1 xyz xyz xyz yz zx xy Do đó: xyz 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 x y z x y z x y z 1 x2 x 2 2x 4 Bài 17: Thực hiện phép tính: A x 2 x2 7x 10 x 5 Lời giải x2 7x 10 x 5 x 2 1 x2 x 2 2x 4 1 x2 x 2 2x 4 A x 2 x2 7x 10 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5 x 5 x2 x 2 2x 4 x 2 x2 8x 15 x 5 x 3 x 3 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 2 1 1 1 Bài 18: Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A x2 2yz y2 2xz z2 2xy
  42. Lời giải 1 1 1 xy yz xz 0 0 xy yz xz 0 yz xy xz x y z xyz x2 2yz x2 yz xy xz x x y z x y x y x z Tương tự: y2 2xz y x y z ; z2 2xy z x z y yz xz xy Do đó: A x y x z y x y z z x z y Tính đúng A 1 Bài 19: Cho ba số a,b,c khác nhau đôi một và khác 0, đồng thời thỏa mãn diều kiện a b b c c a a b c . Tính giá trị của biểu thức: A 1 1 1 c a b b c a Lời giải Nếu a b c 0 thì a b c,b c a,c a b a b b c c a a b b c c a Do đó, 1 A . . 1 c a b c a b a b b c c a a b b c c a Nếu a b c 0 thì 2 c a b c a b Do đó, a b 2c,b c 2a,c a 2b a b c , trái giả thiết Vậy A 1 Bài 20: Cho x(m n) y(n p) z( p m) trong đó x, y, z la các số khác nhau và khác 0, m n n p p m Chứng minh rằng: x(y z) y z x z x y Lời giải Vì xyz 0 nên: x(m n) y(n p) z( p m)
  43. x m n y n p z p m xyz xyz xyz m n n p p m hay : yz xz xy p m n p m n p m n p m n xy yz yz xy xz yz m n n p p m x y z y z x z x y 3x3 14x2 3x 36 Bài 21: Cho biểu thức A 3x3 19x2 33x 9 a) Tìm giá trị của x để biểu thức Axác định b) Tìm giá trị của x để biểu thức Acó giá tri bằng 0 c) Tìm giá trị nguyên của x dể biểu thức A có giá trị nguyên. Lời giải 1 a) ĐKXĐ: x , x 3 3 2 3x3 14x2 3x 36 x 3 3x 4 3x 4 b) 3x3 19x2 33x 9 3x 1 x 3 3x 1 4 A 0 3x 4 0 x (tm) 3 4 Vậy x thì A 0 3 3x 4 3x 1 5 5 c) A 1 3x 1 3x 1 3x 1 5 Vì x ¢ A ¢ ¢ 3x 1 U 5 1; 5 3x 1 3x 1 5 1 1 5 x 4 / 3(ktm) 0(tm) 2 / 3(ktm) 2(tm) Vậy x 0;2thì A ¢ Bài 22: a) Chứng minh : x y x3 x2 y xy2 y3 x4 y4 2 2 2 8 8 8 b) Tìm a,b,c biết: a b c ab bc ac và a b c 3 Lời giải a) Ta có: x y x3 x2 y xy2 y3 x4 x3 y x2 y2 xy3 x3 y x2 y2 xy3 y4 x4 y4 Vậy đẳng thức được chứng minh. 2 2 2 b) Biến đổi a2 b2 c2 ab bc ca về a b b c c a 0 Lập luận suy ra a b c Thay a b c vào a8 b8 c8 3 ta có: 3a8 3 a8 1 a 1
  44. a b c 1 Vậy a b c 1 Bài 23: Cho biểu thức: 2 x2 y2 x2 y2 x y P 2 2 . 2 2 với x 0; y 0; x y x x xy xy xy y x xy y a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của biểu thức P,biết x, y thỏa mãn đẳng thức: x2 y2 10 2 x 3y Lời giải a) Với x 0; y 0; x y ta có: 2 2 2 2 2 x y x y x y xy x y P . x xy x y x2 xy y2 2 2 xy x y x y x y x y . x xy x y x2 xy y2 2 2 2 x y x xy y x y . x xy x y x2 xy y2 2 x y x y x xy xy b) Ta có: x2 y2 10 2 x 3y x2 2x 1 y2 6y 9 0 x 1 2 y 3 2 0 x 1 Lập luận (tm) y 3 x y 1 3 2 Nên thay x 1; y 3 vào biểu thức P xy 1. 3 3 a b c a2 b2 c2 Bài 24: Cho 1.Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b Lời giải a b c Nhân cả 2 vế của 1với a b c , rút gọn suy ra đpcm b c c a a b x 2 1 10 x2 Bài 25: Cho biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức A 1 b) Tính giá trị của A, biết x 2 c) Tìm giá trị của x để A 0 d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Lời giải 1 a) Rút gọn kết quả : A x 2
  45. 1 4 x A 1 2 3 b) x 2 1 4 x A 2 5 c) A 0 x 2 1 d) A ¢ ¢ x 1;3 x 2 2000 2000 2001 2001 2002 2002 2013 2014 Bài 26: Cho a,b dương và a b a b a b . Tính : a b Lời giải a2001 b2001 a b a2000 b2000 ab a2002 b2002 a 1 ab 1 a 1 a 1 b 1 1 b 1 2000 2001 b 1(tm) Vì a 1 b b b 0(ktm) 2000 2001 a 1(tm) Vì b 1 a a a 0(ktm) Vậy a 1;b 1 a2013 b2014 2 x2 x2 9 Bài 27: Cho biểu thức A 6 5 x 3 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó Lời giải a) ĐKXĐ x 0; x 3 2 x2 x2 6x 9 x2 x 3 A . 5 . 5 x x 3 5 x 3 x x 3 x 2 2 3 11 11 b) A x x 3 5 x 3x 5 x 2 4 4 11 3 Vậy MinA x 4 2 1 1 1 Bài 28: Cho 3 số a,b,c khác 0, thỏa mãn a b c 1. a b c Tính giá trị của biểu thức M a2015 b2015 b2017 c2017 c2019 a2019 Lời giải 1 1 1 ab bc ac a b c 1 a b c . 1 a b c abc
  46. a b c ab bc ac abc 0 a b b c c a 0 a b 0 b c 0 c a 0 Nếu a b 0 a b a2015 b2015 0 M 0 Nếu b c 0 b c b2017 c2017 0 M 0 Nếu a c 0 a c a2019 c2019 0 M 0 Bài 29: Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng: a b b c c a c a b Nếu a b c 0 thì . 9 c a b a b b c c a Lời giải a b b c c a c 1 a 1 b 1 Đặt x; y; z ; ; (1) c a b a b x b c y c a z 1 1 1 x y z 9 x y z 1 1 1 y z x z x y Ta có: x y z 3 (2) x y z x y z y z b c c a c b2 bc ac a2 c Ta lại có: . . x a b a b ab a b c a b c a b c c a b c 2c a b c 2c2 ab a b ab ab ab x z 2a2 x y 2b2 Tương tự ta có: ; y bc z ac 2 2 2 1 1 1 2c 2a 2b 2 3 3 3 x y z 3 3 a b c x y z ab bc ac abc Vì a b c 0 a3 b3 c3 3abc 1 1 1 2 Do đó: x y z 3 .3abc 3 6 9 x y z abc x 4 1 x 8 Bài 30: Cho biểu thức P 3 : 1 2 x 1 x 1 x 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của P khi x là nghiệm của phương trình x2 3x 2 0 Lời giải a) Với x 1 ta có:
  47. x 4 x2 x 1 x2 x 1 x 8 P : 2 2 x2 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 4 x2 x 1 x2 9 x2 2x 3 x2 x 1 : . 2 x2 x 1 2 x2 9 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x2 9 x2 9 x 3 Vậy x 1 thì P x2 9 2 x 2(tm) b) x 3x 2 0 x 1(ktm) 2 3 5 thay x 2vào P ta có: P 22 9 13 5 Kết luận với x 2thì P 13 x 1 x 1 x2 4x 1 x 2013 Bài 31: Cho biểu thức : A 2 . x 1 x 1 x 1 x a) Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức Anhận giá trị nguyên. Lời giải x 1 a) Điều kiện x 0 2 2 x 1 x 1 x2 4x 1 x 2013 b) A . x2 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x2 4x 1 x 2013 x 2013 . x2 1 x x c) Ta có A nguyên x 2013 Mx x U (2013) Vậy x là ước của 2013, x 1 1 2 5 x 1 2x Bài 32: Cho biểu thức : A 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị nguyên của x để bểu thức Anhận giá trị nguyên c) Tìm x để A A 0 Lời giải 1 2 5 x 1 2x a)A 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 1 ĐKXĐ: x 1; x 2
  48. 1 2 5 x 1 2x x 1 2 1 x 5 x x2 1 A 2 : 2 2 . 1 x x 1 1 x x 1 1 x 1 2x 2 x2 1 2 . 1 x2 1 2x 1 2x 2 b) Để Anguyên thì ¢ 1 2x U (2) 1; 2 1 2x 3 *)1 2x 2 x (ktm) 2 *)1 2x 1 x 1(ktm) *)1 2x 1 x 0(tm) 1 *)1 2x 2 x (ktm) 2 Vậy x 0 thì A nhận giá trị nguyên 1 c) A A 0 A A A 0 1 2x 0 2x 1 x 2 1 Đối chiếu với ĐKXĐ ta có x là giá trị cần tìm 2 3 3 3 Bài 33: Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn a b b c c a 210 Tính giá trị của biểu thức B a b b c c a Lời giải Đặt a b x;b c y;c a z x y z 0 z x y , Ta có: x3 y3 z3 210 x3 y3 x y 3 210 3xy x y 210 xyz 210 3 Ta có: x3 y3 z3 210 x3 y3 x y 210 3xy x y 210 Do x, y, z la số nguyên có tổng bằng 0và xyz 70 2 . 5 .7 nên x; y; z 2; 5;7 A a b b c c a 14 Bài 34: xyz a) Cho x3 y3 z3 3xyz. Hãy rút gọn phân thức : P x y y z z x 14 4 54 4 94 4 174 4 b) Tìm tích: M . . 34 4 74 4 114 4 194 4 c) Cho x by cz; y ax cz; z ax by và x y z 0; xyz 0 . 1 1 1 CMR: 2 1 a 1 b 1 c 1 1 1 yz xz xy d) Cho 0, tính giá trị của biểu thức P x y z x2 y2 z2 Lời giải a) Từ x3 y3 z3 3xyz chỉ ra được x y z 0 hoặc x y z
  49. TH1: x y z 0 x y z; x z y; y z x P 1 1 TH 2: x y z P 8 2 2 b) Nhận xét được: n4 4 n 1 1 n 1 1 . Do đó: 2 2 2 2 2 1. 2 1 4 1 . 6 1 16 1 . 18 1 1 1 M . 22 1 . 42 1 62 1 . 82 1 182 1 . 202 1 202 1 401 c) Từ giả thiết 2cz z x y 2cz x y z x y z x y z 1 2z c c 1 2z 2z c 1 x y z 1 2x 1 2y 1 1 1 Tương tự: ; . Khi đó: 2 1 a x y z 1 b x y z 1 a 1 b 1 c 1 1 1 1 1 1 3 d) Từ 0 x y z x3 y3 z3 xyz Khi đó: yz xz xy xyz xyz xyz 1 1 1 3 P 2 2 2 3 3 3 xyz. 3 3 3 xyz. 3 x y z x y z x y z xyz x2 x x 1 1 2 x2 Bài 35: Cho biểu thức : P 2 : 2 x 2x 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P 1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 Lời giải a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x 1 x2 Rút gọn P ta có: P x 1 2 1 3 2 2 2 x x x x x 1 2 4 b) P 1 1 1 0 0 0 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 x 1 Vậy với x 1và x 0; x 1thì P 1 x2 x2 1 1 1 1 c) Ta có: P x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 1 Khi x 1; x 1 0.Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: x 1 2 . Dấu " " xảy ra khi và x 1 chỉ khi x 2.Vậy GTNN của P bằng 4 x 2 Bài 36: x2 2x 2x2 1 2 a) Rút gọn biểu thức sau: A 2 2 3 . 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x b) Chứng minh rằng:
  50. a b c b c a 2 c a b a b c 2 b a c a c b 2 Lời giải x 0 a) Điều kiện: x 2 Ta có: x2 2x 2x2 1 2 A 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x x2 2x 2x2 x2 x 2 . 2 4 2 x x2 2 x x2 2 x 4 x2 2x 2x2 x 1 x 2 . 2 2 x2 2 x 4 x 4 2 x 2 x. x 2 4x2 x 1 . x 2 x3 4x2 4x 4x2 x 1 . . 2 x 2 x2 4 x2 2 x2 4 x2 2 x x 4 x 1 x 1 2x2 x2 4 2x x 1 x 0 Vậy A với 2x x 2 b) Ta có: a b c b c a2 c a b a b c2 b a c a c b2 0 (1) x z a 2 a b c x x y Đặt b c a y b 2 a c b z y z c 2 Khi đó ta có: x z x y y z 2 y z x z x y 2 1 2 VT . .y . x x y x y z 2 2 2 2 2 2 4 x z x z y z z y 1 . .y2 . .x2 . x2 y2 z2 2 2 2 2 4 1 1 1 = x2 z2 y2 z2 y2 x2 . x2 y2 .z2 4 4 4 1 1 x2 y2 z2 x2 y2 z2 0 VP (dfcm) 4 4 Bài 37: a) Chứng minh rằng: Nếu x2 y2 z2 xy yz zx thì x y z
  51. a2 b2 c2 a c b b) Cho ba số a,b,c khác 0thỏa mãn : b2 c2 a2 c b a Chứng minh rằng a b c Lời giải a) Ta có: x2 y2 z2 xy yz zx 2x2 2y2 2z2 2xy 2yz 2zx x2 2xy y2 y2 2yz z2 z2 2zx x2 0 x y 2 y z 2 z x 2 0 (1) 2 2 2 Ta có: x y 0, y z 0, z x 0 x y 0 Do đó 1 y z 0 x y z z x 0 2 2 2 a b c a c b 4 2 4 2 4 2 2 2 2 b) Ta có: 2 2 2 a c b a c b abc a c c a b c b c a c b a Đặt x a2c, y b2a, z c2b.Ta được: x2 y2 z2 xy yz zx Áp dụng kết quả câu a ta được: x y 2 y z 2 z x 2 0 x y z a2c b2a c2b ac b2;bc a2;ab c2 a b c(dfcm) x3 y3 z3 3xyz Bài 38: Rút gọn biểu thức B x y 2 y z 2 x z 2 Lời giải Ta có: x3 y3 z3 3xyz x y 3 3xy x y z3 3xyz x y z 3 3 x y z x y z 3xy x y z x y z x y z 2 3xz 3yz 3xy x y z x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz 3xz 3yz 3xy x y z x2 y2 z2 xy yz xz *) x y 2 y z 2 x z 2 x2 2xy y2 y2 2yz z2 x2 2xz z2 2 x2 y2 z2 xy yz xz 2 2 2 x y z x y z xy yz xz x y z Vậy B 2 x2 y2 z2 xy yz xz 2 3 x 1 x 3 5 Bài 39: Cho biểu thức A 2 : 2 x 1 2x 2 2x 2 4x 4
  52. a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A được xác định b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x Lời giải a) Giá trị của biểu thức A được xác định với điều kiện: x 1 b) Với x 1, ta có: 3 x 1 x 3 4x2 4 A . x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 5 6 x 1 2 x 3 x 1 4 x 1 x 1 . 2 x 1 x 1 5 6 x2 2x 1 x2 2x 3 .2 4 5 Vậy khi giá trị biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến Bài 40: a) Cho a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn: ab bc ca 1 a b 2 b c 2 c a 2 Tính giá trị của biểu thức A 1 a2 1 b2 1 c2 x y a b b) Cho 2 2 2 2 x y a b Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: xn yn an bn Lời giải a) Ta có: 1 a2 ab bc ca a2 a a b c a b a b a c Tương tự: 1 b2 b a b c và 1 c2 c a c b a b 2 b c 2 c a 2 Do đó: A 1 (a b) a c b a b c c a c b b) Từ x2 y2 a2 b2 x2 a2 y2 b2 0 x a x a y b y b 0 Bởi vì : x y a b x a b y, thế vào ta có: b y x a y b y b 0 b y 0 b y x a y b 0 x a y b *) Nếu b y 0 y b x an yn an bn x y b a x b *) Nếu x a y b x y a b y a Do đó: xn yn bn an an bn Vậy trong mọi trường hợp, ta có: xn yn an bn
  53. Bài 41: a 1 b 3 c 5 a) Tìm a,b,c biết 5a 3b 4c 46 và 2 4 6 b) Tìm 2 số hữu tỉ a và b biết: a b ab a :b b 0 1 1 1 c) Cho a b c 1và 0. Tính a2 b2 c2 a b c 1 1 1 1 d) Cho a b c 2014 và a b a c b c 2014 a b c Tính S b c a c a b Lời giải a) Ta có: a 1 b 3 c 5 5a 5 3b 9 4c 20 2 4 6 10 12 24 a 1 b 3 c 5 5a 3b 4c 5 9 20 46 6 2(Vi5a 3b 4c 46) 2 4 6 10 12 24 26 a 1 4 a 3 b 3 8 b 11 c 5 12 c 7 b) Ta có: a b ab a ab b b a 1 Do đó: a :b b a 1 :b a 1 1 Nên a b a 1 b 1và a 1 a 1 a a 1 a 2 1 Vậy a ;b 1 2 c) Phân tích 2 giả thiết để suy ra đfcm 1 1 1 Phân tích , phần nào có a b c thì thay bằng 1 a b c 1 1 1 1 d) Ta có: a b a c b c 2011 a b c 2014 a 2014 b c ; b 2014 (a c);c 2014 (a b) Do đó:
  54. 2014 b c 2014 a c 2014 a b S b c a c a b 2014 2014 2014 1 1 1 b c a c a b 1 1 1 2014. 3 b c a c a b 1 2014. 3 1 3 2 2014 Vậy S 2 Bài 42: a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: 7 6x 7 2x 3 4x 1 3x 4 x y b) Tính giá trị biểu thức P . Biết x2 2y2 xy x y 0; y 0 x y Lời giải 7 2 2 7 77 a) 6x 7 2x 3 4x 1 3x 12x 18x 14x 21 12x 7x 3x 4 4 4 b) x2 2y2 xy x2 xy 2y2 0 x y x 2y 0 2y y 1 Vì x y 0 nên x 2y 0 x 2y. Khi đó A 2y y 3 4xy 1 1 Bài 43: Cho biểu thức : A 2 2 : 2 2 2 2 y x y x y 2xy x a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định b) Rút gọn A c) Nếu x, y là các số thực làm cho Axác định và thỏa mãn:3x2 y2 2x 2y 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A. Lời giải a) x y; y 0 b) A 2x x y c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được được tất cả các giá trị nguyên dương của A Từ (gt): 3x2 y2 2x 2y 1 2x2 2xy x2 2xy y2 2 x y 1 2x x y x y 2 2 x y 1 2 A x y 1 2 2 2 A 2 x y 1 2(do x y 1 0x, y) A 2 1 x y 1 0 x 2 +) A 2 khi 2x x y 2 3 x y; y 0 y 2
  55. x y 1 2 1 +) A 1khi 2x x y 1 . Từ đó , chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng hạn : x y; y 0 2 1 x 2 2 3 y 2 Vậy Achỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A 1; A 2 x2 2x 2x2 1 2 Bài 44: Cho biểu thức : A 2 2 3 . 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên Lời giải x 0 a) ĐK: .Ta có: x 2 x2 2x 2x2 1 2 x2 2x 2x2 x2 x 2 A 2 2 3 1 2 2 2x 8 8 4x 2x x x x 2 2 x 2 x 4 4 x 2 x 2 x x 2 4x2 x2 x 2 x3 4x2 4x 4x2 x 1 . . 2 x 2 x2 4 x2 2 x2 4 x2 2 x x 4 x 1 x 1 . 2x2 x2 4 2x x 1 x 0 Vậy A voi 2x x 2 x 1 x 1 b) ¢ x 1M2x 2x 2M2x 2M2x 1Mx (TMDKXD) 2x x 1 2x5 x4 2x 1 8x2 4x 2 Bài 45: Cho biểu thức : P 4x2 1 8x3 1 a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để P 6 Lời giải
  56. 2x5 x4 2x 1 8x2 4x 2 a)P 4x2 1 8x3 1 x4. 2x 1 2x 1 2 4x2 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 4x2 2x 1 4 x 1 2x 1 2 x4 1 2 x4 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 x4 1 Vậy P 2x 1 1 b) ĐK: x 2 x4 1 P 6 6 x4 1 12x 6 2x 1 x4 4x2 4 4x2 12x 9 2 x2 2 2x 3 2 x2 2 2x 3 (1) hoac x2 2 2x 3 (2) 2 Ta có 1 x2 2x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 (tmdk) x 1 2 x 1 2 2 x2 2x 1 4 x 1 2 4(VN) Vậy S 1 2 1 x3 1 x2 Bài 46: Cho biểu thức A x : 2 3 x 1;1 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức A 2 b) Tính giá trị của biểu thức Atại x 1 3 c) Tìm giá trị của x để A 0 Lời giải a) Với x 1 thì 1 x3 x x2 1 x 1 x A : 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x : 1 x 1 x 1 2x x2 1 1 x2 : 1 x2 1 x 1 x
  57. 2 2 b) Tại x 1 A 10 3 27 c) Với x 1thì A 0 1 x2 1 x 0 1 x 0 x 1 2 2 x 1 x 1 Bài 47: Cho biểu thức: A . x 1 : 3x x 1 3x x a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên. Lời giải a) ĐKXĐ: x 1; x 0 2 2 x 1 x 1 A . x 1 : 3x x 1 3x x 2 2 x 1 3x2 3x x 2 2 1 2x 3x2 x . . . . 3x x 1 3x x 1 3x x 1 3x x 1 2 2 x 1 1 3x x 2 2 6x x 2x . . . 3x x 1 3x x 1 3x x 1 x 1 2x 2 x 1 2 2 b) A 2 x 1 x 1 x 1 2 Để Acó giá trị nguyên có giá trị nguyên x U (2) 1; 2 x 1 x 1;0;2;3 vì x 1; x 0 x 2;3 2x 9 x 3 2x 4 Bài 48: Cho biểu thức: A x2 5x 6 x 2 3 x 1) Rút gọn A 2) Tính giá trị của Abiết 2x x2 1 3) Có giá trị nào của x để A 1không ? 4) Tìm x nguyên để Anhận giá trị là số nguyên. Lời giải x 4 5) Rút gọn được A x 3 6) ĐKXĐ: x 2 và x 3 2x x2 1 x2 2x 1 0 x 1 5 Thay x 1vào, tính được A 2 x 4 7) A 1 1 x 4 x 3 0x 7 (vô nghiệm) x 3
  58. Vậy không có giá trị nào của x để A 1 x 4 7 8) A 1 x 3 x 3 Để A ¢ thì x 3 Ư 7 7; 1;1;7 x 4;2;4;10 Thử lại và kết hợp với ĐKXĐ ta được x 4;4;10 x 2 1 10 x2 Bài 49: Cho biểu thức : A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức A 1 b) Tính giá trị của A, biết x 2 c) Tìm giá trị của x để A 0 d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên Lời giải 1 a) Rút gọn được kết quả : A x 2 1 2 x A 1 2 3 b) x 2 1 2 x A 2 5 c) A 0 x 2 0 x 2 1 A ¢ ¢ x 2 U (1) 1 x 1;3 x 2 x2 6 1 10 x2 Bài 50: Cho biểu thức M 3 : x 2 x 4x 6 3x x 2 x 2 a) Rút gọn M 1 b) Tính giá trị của M khi x 2 Lời giải a) Rút gọn M x2 6 1 10 x2 x2 6 1 6 M 3 : x 2 : x 4x 6 3x x 2 x 2 x x 2 x 2 3 x 2 x 2 x 2 6 x 2 1 M . x 2 x 2 6 2 x
  59. 1 x 1 2 b) x 2 1 x 2 1 1 2 Với x M 1 2 2 3 2 1 1 2 Với x M 1 2 2 5 2 x 2 1 10 x2 Bài 51: Cho biểu thức A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức A 1 b) Tính giá trị của A biết x 2 c) Tìm các giá trị của x để A 0 d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Lời giải 1 a) Rút gọn biểu thức được kết quả: A x 2 1 4 x A 1 2 3 b) x 2 1 4 x A 2 5 c) A 0 x 2 1 d) A ¢ ¢ x 1;3 x 2 a3 4a2 a 4 Bài 52: Cho P a3 7a2 14a 8 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên. Lời giải a) a3 4a2 a 4 a 1 a 1 a 4 a3 7a2 14a 8 a 2 a 1 a 4 Nêu ĐKXĐ: a 1;a 2;a 4 a 1 Rút gọn P a 2
  60. b) a 2 3 3 P 1 ;ta thấy P nguyên khi a 2 là ước của 3, mà U (3) 1;1; 3;3, từ a 2 a 2 đó tìm được a 1;3;5 2 x 4x2 2 x x2 3x Bài 53: Cho biểu thức : A 2 : 2 3 2 x x 4 2 x 2x x a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A 0 c) Tính giá trị của A trong trường hợp x 7 4 Lời giải ĐKXĐ: x 0; 2;3 2 2 2 x 4x2 2 x x2 3x 2 x 4x2 2 x x2 2 x a)A 2 : 2 3 . 2 x x 4 2 x 2x x 2 x 2 x x x 3 4x2 8x x 2 x 4x x 2 x 2 x 4x2 . 2 x 2 x x 3 2 x 2 x x 3 x 3 4x2 b) A 0 0 x 3 0 x 3(tmdk) x 3 Vậy x 3 thì A 0 x 7 4 x 11(tm) 121 c) x 7 4 A khi x 11 x 7 4 x 3(ktm) 2 x 5 x 2x 5 2x Bài 54: Cho biểu thức : P 2 2 : 2 x 25 x 5x x 5x 5 x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để P có giá trị là một số nguyên. Lời giải 5 a) Tìm được ĐKXĐ của P là : x 0; x 5; x 2 x x 5 2x 5 2x P : x 5 x 5 x x 5 x x 5 5 x 2 x2 x 5 2x 5 2x : x x 5 x 5 x x 5 5 x x x 5 x x 5 x x 5 2x . x x 5 x 5 2x 5 5 x 5 2x 5 2x x 5 x 5 x 5 b)
  61. x 0; x 5; x ¢ * P ¢ 5 2x ¢ x 5 5 2x 15 Ta có: 2 x 5 x 5 Vì x ¢ x 5 U (15) 1; 3; 5; 15 Mà x lớn nhất nên x 5 lớn nhất . Do đó x 5 15 x 20 (thỏa mãn * ) Vậy giá trị nguyên lớn nhất của x 20để P có giá trị là một số nguyên. x3 y3 x2 4y2 2 3 Bài 55. Cho biểu thức : P 2 2 : 2 2 x xy y x 2y y x x y d) Rút gọn biểu thức P e) Tính giá trị biểu thức P khi x, y thỏa mãn ; x y 6; x2 y2 26 \ f) Nếu x; y là các số thực dương làm cho P xác định và thỏa mãn: x y 2.Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P Lời giải 1a) 2 x3 y3 x2 2y 2x 3y P : 2 2 2 2 x xy y x 2y x y 2 2 x y x xy y x 2y x 2y 2x 3y : x2 xy y2 x 2y x2 y2 x2 y2 x y x 2y . 2x 3y x2 y2 2x 3y . x2 y2 2x 3y 1b) 3 Điều kiện : x 0; y 0; x y; x 2y 2 Ta có: 2 x y x2 2 x y y2 62 26 2 x y x y 5 Vậy P 52 25 1c) 3 Với x, y dương và thỏa mãn điều kiện x 0; y 0; x ; x 2y ta có: 2
  62. 2 x y xy 1(vì x y 2).Dấu " " xảy ra x y 1 2 Vậy GTLN của P bằng 1 x y 1 1 x3 1 x2 Bài 56. Cho biểu thức A x : 2 3 x 1 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A 0 Lời giải a) Với x 1;1thì 1 x3 x x2 1 x 1 x A : 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x : 1 x 1 x 1 2x x2 1 1 x2 : 1 x2 . 1 x 1 x b) Với x 1thì A 0 1 x2 1 x 0 (1) Vì 1 x2 0 với mọi x nên 1 xảy ra khi và chỉ khi 1 x 0 x 1 x2 2x 2x2 1 2 Bài 57. Rút gọn biểu thức sau: A 2 2 3 . 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x Lời giải x 0 Điều kiện: x 2 Ta có:
  63. x2 2x 2x2 1 2 A 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x x2 2x 2x2 x2 x 2 . 2 4 2 x x2 2 x x2 2 x 4 x2 2x 2x2 x 1 x 2 . 2 2 x2 2 x 4 x 4 2 x 2 x. x 2 4x2 x 1 . x 2 x3 4x2 4x 4x2 x 1 . . 2 x 2 x2 4 x2 2 x2 4 x2 2 x x 4 x 1 x 1 2x2 x2 4 2x x 1 x 0 Vậy A với 2x x 2 Bài 58. Chứng minh rằng: a b c b c a 2 c a b a b c 2 b a c a c b 2 Lời giải Ta có: a b c b c a2 c a b a b c2 b a c a c b2 0 (1) x z a 2 a b c x x y Đặt b c a y b 2 a c b z y z c 2 Khi đó ta có: x z x y y z 2 y z x z x y 2 1 2 VT . .y . x x y x y z 2 2 2 2 2 2 4 x z x z y z z y 1 . .y2 . .x2 . x2 y2 z2 2 2 2 2 4 1 1 1 = x2 z2 y2 z2 y2 x2 . x2 y2 .z2 4 4 4 1 1 x2 y2 z2 x2 y2 z2 0 VP (dfcm) 4 4 Bài 59
  64. ab Biết 4a2 b2 5ab với 2a b 0 . Tính giá trị biểu thức: C 4a2 b2 Lời giải 4a2 b2 5ab a b 4a b 0 a b 0 a b 4a b 0 4a b Do 2a b 0 nên 4a b loại ab a2 1 Với a b thì C 4a2 b2 4a2 a2 3 1 6x 3 2 Bài 60. Cho biểu thức : Q 3 2 : x 2 x 1 x 1 x x 1 a) Tìm điều kiện xác định của Q, rút gọn Q 1 b) Tìm x khi Q 3 c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q . Lời giải a) ĐK: x 1; x 2 x2 x 1 6x 3 2x 2 1 x 2 x 1 1 Q . x3 1 x 2 x 1 x 2 x2 x 1 x2 x 1 1 1 x 1 b) 2 2 x x 1 3 x 1 x 2 0 x x 1 3 x 2 1 So sánh với điều kiện suy ra x 2 thì Q 3 2 1 2 1 3 3 c) Q 2 ;Vì 1 0; x x 1 x 0 x x 1 2 4 4 3 1 4 Q đạt GTLN x2 x 1đạt GTLN x2 x 1 x tm . Lúc đó Q 4 2 3 4 1 Vậy GTLN của Q là Q khi x 3 2 ab 1 bc 1 ca 1 Bài 61. Cho abc 1 và .Chứng minh rằng a b c b c a
  65. Lời giải ab 1 bc 1 ca 1 1 1 1 Từ a b c b c a b c a Do đó: 1 1 b c 1 1 c a 1 1 a b a b ;b c ;c a c b bc a c ac b a ab a b b c c a Suy ra : a b b c c a a2b2c2 a b b c c a a2b2c2 1 0 a b b c c a 0 (do abc 1) Suy ra a b c Bài 62. Rút gọn biểu thức: 1 1 1 1 1 A a2 a a2 3a 2 a2 5a 6 a2 7a 12 a2 9a 20 Lời giải Điều kiện: a 0;a 1;a 2;a 3;a 4;a 5 1 1 1 1 1 A a2 a a2 3a 2 a2 5a 6 a2 7a 12 a2 9a 20 1 1 1 1 1 a a 1 a 1 a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a 4 a 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a 1 a 1 a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a 4 a 5 1 1 a 4 a a 5 a a 5 Bài 63. Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0 và x + y = 1. y x y 2 2x 2 y x 2 a) Rút gọn biểu thức A : . 2 2 2 2 2 2 xy x y x y y x b) Chứng minh rằng: A < - 4. Lời giải a) Với x + y = 1, biến đổi và thu gọn A. y x y 2 2x 2 y x 2 A : 2 2 2 2 2 2 xy x y x y y x y x y 2 x y 2 2x 2 y x 2 x 2 y 2 : xy x y 2 x y 2
  66. y x y 2 .1 2x 2 y x 2 x y : xy x y 2 .1 y x y 2 x 2 x y y x y 2 x 2 y x x y 2 x y 2 : : xy x y 2 xy x y 2 xy y 2 x 2 xy x - y 2 x y 2 1 b) A 4 4 0 (vì x > 0; y 0, y 0; y < 0 và x + y = 1) xy xy xy Suy ra A < - 4. Bài 66: Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện:
  67. 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0, Tính gia trị của biểu thức T = (x – 4)2014 + (y – 4)2014 + (z – 4)2014. Lời giải 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0 [4x2 – 4x(y + z) + (y + z)2]+ (y2 + z2 – 6y – 10z + 34) = 0 (2x – y – z)2 + (y – 3)2 + (z – 5)2 = 0 y = 3; z = 5; x = 4 Khi đó T = (4 – 4)2014 + (3 – 4)2014 + (5 – 4)2014 = 2. a4 a3 a2 2a 2 Bài 67 Cho Q a4 2a3 a2 4a 2 a) Rút gọn M b) Xác định a để Qmin Lời giải 2 2 a4 a3 a2 2a 2 a4 a3 a2 2a2 2a 2 a 2 a a 1 Q 4 3 2 4 3 2 2 2 a) a 2a a 4a 2 a 2a a 2a 4a 2 a2 2 a 1 DKXD : a 2,a 1 a2 a 1 Khi đó: Q a 1 2 b) Ta có: a2 a 1 a2 2a 1 a 1 1 1 1 1 1 1 3 Q 1 a 1 2 a2 2a 1 a 1 a 1 2 4 a 1 a 1 2 4 2 3 1 1 3 4 a 1 2 4 2 1 1 1 1 Dấu " " xảy ra 0 a 1 a 1 2 a 1 2 3 Vậy GTNN của Q a 1 4 Bài 68. a b c Cho x , y , z . Tính A yz zx xy 2xyz b c a c a b Lời giải
  68. Ta có: ab(a b) bc(b c) ca(c a) a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a) a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 2abc Nên A 1 a b b c c a x4 x2 4x 1 x 1 x 1 x(x 1) (1 x) Bài 69. Cho biểu thức: P 2 . 3 . x 1 x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên ?Cho biểu thức: Lời giải x4 x2 4x 1 x 1 x 1 x(x 1) (1 x) P 2 . 3 x 1 x 1 x 1 x 1 * ĐKXĐ: x ≠ ±1 (x4 x2 4x 1) (x2 2x 1) (x2 2x 1) x2 1 a) P 2 . 3 x 1 x 1 x4 x2 1 x2 1 . x2 1 x3 1 (x4 x) (x2 x 1) x2 1 . x2 1 x3 1 x(x 1)(x2 x 1) (x2 x 1) x2 1 . x2 1 x3 1 (x2 x 1)(x2 x 1) x2 1 . x2 1 (x 1)(x2 x 1) x2 x 1 x 1 x2 x 1 x(x 1) 1 1 b) P = x x 1 x 1 x 1 1 Để P Z thì Z x – 1 Ư(1) = {1; -1} x 1 +) Với x-1 = 1 thì x = 2 (TMĐKXĐ) +) Với x-1=-1 thì x = 0 (TMĐKXĐ) Vậy P nguyên khi x {2;0}. Bài 70. Cho ba số x, y, z đôi một khác nhau, thỏa mãn x3 + y3 + z3 = 3xyz và xyz ≠ 0.
  69. 16(x y) 3(y z) 2038(z x) Tính giá trị của biểu thức: B . z x y Lời giải x3 + y3 + z3 = 3xyz (x ≠ y ≠ z; xyz ≠ 0) (x+y)3 – 3xy(x+y) + z3 – 3xyz= 0 (x+y+z)3 – 3z(x+y)(x+y+z) – 3xy(x+y+z) = 0 (x+y+z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) = 0 1 (x+y+z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z-x)2] = 0 2 x y z 0 x y z x y 0 y z x y z 0 z x y z x 0 x y z (loai,vi x y z) 16(x y) 3(y z) 2038(z x) 16( z) 3( x) 2038( y) Vậy B = (-16) + (-13) + 2038 = z x y z x y 2019. 2x3 x2 x x2 x x2 1 x Bài 71. Cho biểu thức: M 3 2 . 2 x 1 x 1 2x x 1 2x 1 a) Tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa b) Rút gọn biểu thức M c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức M có giá trị nguyên. Lời giải a) x3 1 x 1 x2 x 1 0 x 1 x2 1 x 1 x 1 0 x 1 1 2x 1 0 x 2 1 2x2 x 1 x 1 2x 1 0 x 1; x 2 b)
  70. 2x3 x2 x x x 1 x 1 x 1 x . 2 x 1 x 1 x 1 . 2x 1 2x 1 x 1 x x 1 2 2x3 x2 x x x x 1 x 1 x 2 2 2x 1 2x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 2x3 x2 x x3 x2 x x 1 x . 2 2x 1 2x 1 x 1 x x 1 3 2 x3 2x 1 x x 2x x x x 1 2 . 2 x x 1 2x 1 2x 1 x x 1 2x 1 2 2x3 x2 x 2x 1 x x x2 x x2 x 1 . 2x 1 x2 x 1 . 2x 1 x2 x 1 c) x2 x x2 x 1 1 1 M 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 M có giá trị nguyên x2 x 1 Ư(1) 2 2 x 0(tm) x x 1 1 x x 0 x 1(ktm) x2 x 1 1 x2 x 2 0(VN) Vậy x 0 1 1 Bài 72. Cho x2 14 x 0 .Hãy tính giá trị của biểu thức x3 x2 x3 Lời giải 2 1 2 1 2 x x 2 x x 2 1 1 x 16 x 4 x x 1 3 1 1 2 3 x x 2 x 1 x x x 1 1 Với x 0 x 4; thì x3 4. 14 1 52 x x3 1 1 Với x 0 x 4;thì x3 4. 14 1 52 x x3
  71. 1 1 1 4 8 Bài 73. Tính tổng S 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 Lời giải 1 1 1 1 8 S 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 2 2 4 8 4 4 8 8 8 16 1 x2 1 x2 1 x4 1 x8 1 x4 1 x4 1 x8 1 x8 1 x8 1 x16 Bài 74. Cho a,b,c là 3 số thỏa mãn a b c ab bc ca abc . Chứng minh rằng: a2009 b2009 c2009 a b c 2009 Lời giải Ta có: a b c ab bc ca abc a b b c c a nên từ đề bài suy ra a b b c c a 0 Không mất tính tổng quát , giả sử a b 0 thì a b , suy ra a2009 b2009 , do đó: a2009 b2009 c2009 c2009 a b c 2009 3x y Bài 75 a) Cho x, y thỏa mãn y x y 0 và x2 xy 2y2.Tính A x y 2.1 1 2.2 1 2.3 1 2.99 1 b) Tính B 2 2 2 2 1. 1 1 2. 2 1 3. 3 1 99. 99 1 Lời giải x y 0 a) Từ y(x y) 0 y 0 x2 xy 2y2 x y x 2y 0 Vì x y 0 nên x 2y 0 x 2y 3.2y y 5y 5 Ta có: A 2y y 3y 3 2 2n 1 n 1 n2 1 1 b) Với n 1, ta có: 2 2 2 n2 2 n n 1 n 1 .n n 1 Áp dụng vào bài toán ta có: 1 1 1 1 1 1 1 9999 B 1 12 22 22 32 992 1002 1002 10000 Bài 76. a) Tính giá trị của biểu thức A x4 17x3 17x2 17x 20 tại x 16
  72. b)Cho x y a và xy b.Tính giá trị của biểu thức sau theo a và b: B x2 y2 Lời giải a) Thay x 16 vào biểu thức ta được: A 164 17.163 17.162 17.16 20 164 16 1 .163 16 1 .162 16 1 .16 16 4 164 164 163 163 162 162 16 16 4 4 Vậy giá tri của biểu thức Atại x 16 là 4. b) B x2 y2 x2 2xy y2 2xy x y 2 2xy Thay x y a và xy b vào biểu thức ta được: B a2 2b Vậy giá trị của biểu thức B tại x y a và xy b là a2 2b 1 x3 1 x2 Bài 77. Cho biểu thức A x : 2 3 x 1;1 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức A 2 b) Tính giá trị của biểu thức tại x 1 3 c) Tìm giá trị của x để A 0 Lời giải a)Với x 1; 1thì: 1 x3 x x2 1 x 1 x A : 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x : 1 x 1 x 1 2x x2 1 1 x2 : 1 x2 . 1 x 1 x 2 5 b) Tại x 1 thì A có giá trị là 3 3 2 5 5 25 5 2 1 . 1 1 . 1 10 3 3 9 3 27 c)Với x 1;1thì A 0 1 x2 1 x 0 (1) Vì 1 x2 0nên 1 1 x 0 x 1
  73. Bài 78. Cho ba số a,b,c thỏa mãn abc 2004 2004a b c Tính: M . ab 2004a 2004 bc b 2004 ac c 1 Lời giải Thay 2004 abc vào M ta có: a2bc b c M ab a2bc abc bc b abc ac c 1 a2bc b c ab 1 ac c b c 1 ac ac c 1 ac 1 c 1 ac c c 1 ac ac c 1 ac 1 c 1 1 ac c x y Bài 79. Tính giá trị của biểu thức P . Biết x2 2y2 xy x y 0; y 0 x y Lời giải x2 2y2 xy x2 xy 2y2 0 x y x 2y 0 Vì x y 0 nên x 2y 0 x 2y 2y y y 1 Khi đó P 2y y 3y 3 Bài 80. Cho a và b thỏa mãn : a b 1.Tính giá trị của biểu thức B a3 b3 3ab Lời giải 3 Ta có: B a3 b3 3ab a3 b3 3ab. a b a b 1 Vi a b 1 x16 1 Bài 81: a) Tính giá trị của biểu thức sau: với x 2011 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 3 2 b) Cho x 3y 6 x 3y 12 x 3y 19 . Tìm giá trị của biểu thức x 3y Lời giải 2 1 2 1 a) x 4 x x 1,5 3 x x x 1,5 2 2 x 0,5 1 2x 1 x 1 2x 3 x 1 2 x 1,5
  74. 1 x2 1 b) x 2 2, DK : x 0 x x x 0; x2 1 2x x 1 2 0(ktm) x 0 : x2 1 2x x 1 2 (dung x 0) Vậy x 0 x x3 8 x2 2x 4 1 x2 3x 2 Bài 82: Cho biểu thức P 3 . 2 : . 2 x 2 x 8 x 4 x 2 x x 1 c) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P d) Tìm các giá trị của x để P 0 Lời giải a) ĐKXĐ: x 2 2 x3 8 x2 2x 4 x 2 x 2x 4 x2 2x 4 x2 2x 4 . . x3 8 x2 4 x 2 x2 2x 4 x 2 x 2 x 2 2 2 x x2 2x 4 x x 2 x 2x 4 4 x 2 x 2 2 x 2 2 x 2 2 4 1 x2 3x 2 4. x 2 x 1 x 2 4. x 1 : . x 2 2 x 2 x2 x 1 x 2 2 . x2 x 1 x2 x 1 2 2 1 3 b) x x 1 x 0 với mọi x 2 4 Để P 0 4 x 1 0 x 1 0 x 1 Vậy để P 0 thì x 1; x 2 2017 2016 2014 2016 x2 4 Bài 83: Cho biểu thức A 2 : 2 x 1 x 1 x 1 x 1 a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm x để A 0và biểu diễn tập các giá trị tìm được của x trên trục số d) Tìm tất cả các số nguyên x để A có giá trị là số nguyên Lời giải a) ĐKXĐ: x 1; x 2 x 3 b) Rút gọn được : A x2 4 c) Để A 0 thì: x 3 x 3 A 0 3 x 2 hoac x 2 x2 4 x 2 x 2 Biểu diễn trên trục số: -3 -2 2
  75. x 3M x2 4 x2 3xM x2 4 x2 4 3x 4 M x2 4 d) 3x 4 M x2 4 ;3x 9M x2 4 5M x2 4 x2 4 5 1 1 5 x2 1 3 5 9 x Loại Loại Loại 3 5x 5 Bài 84: Cho phân thức 2x2 2x a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1 Lời giải a) 2x2 2x 2x(x 1) 0 2x 0 va x 1 0 x 0 và x 1 b) Rút gọn 5x 5 5(x 1) 5 2x2 2x 2x(x 1) 2x 5 5 1 5 2x x (t / m) 2x 2 5 x 2 2 2 x 1 x 1 Bài 85: Cho biểu thức P . x 1 : 3x x 1 3x x a) Rút gọn P b) Tìm x ¢ để P có giá trị nguyên c) Tìm x để P 1 Lời giải a) ĐKXĐ: x 0; x 1 2 2 x 1 2 x 2 2 x 2x Ta có: P . .(x 1) . 2 . 3x x 1 3x x 1 x 1 3x 3x x 1 x 1 2x Vậy P x 1 2 b) Ta có P 2 ¢ x 1 U (2) 1; 2 x 1 Từ đó suy ra x 2;0;3; 1, kết hợp với điều kiện được x 2;3 2x 2x x 1 c) P 1 1 1 0 0 x 1 x 1 x 1 Mà x 1 x 1nên x 1 0 và x x 1 0 x 1và x 1
  76. Kết hợp với ĐKXĐ được 1 x 1 và x 0 x 2 x2 Bài 86: Cho biết . Hãy tìm giá trị của biểu thức Q x2 x 1 3 x4 x2 1 Lời giải x 2 x2 x 1 3 a) Từ x 0, do đó x2 x 1 3 x 2 2 1 3 1 5 1 25 21 x 1 x x 1 1 x 2 x 2 x 4 4 4 2 2 x x 1 2 1 1 21 Lại có : 2 x 2 1 x 1 x x x 4 x2 4 Suy ra Q x4 x2 1 21 1 1 1 1 1 Bài 87: Cho biểu thức: P x2 x x2 3x 2 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị. b) Rút gọn biểu thức P. Lời giải a) Tìm điều kiện đúng: x 0; x 1; x 2; x 3; x 4; x 5 b) Rút gọn đúng: 1 1 1 1 1 P x(x 1) (x 1)(x 2) (x 2)(x 3) (x 3)(x 4) (x 4)(x 5) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = x 1 x x 2 x 1 x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 4 1 1 5 x 5 x x x 5 x 2 2 x 1 3x x2 1 Bài 88: Cho biểu thức A = 3 . 3x x 1 2 4x 3x a. Rút gọn biểu thức A b. Tìm x để A có giá trị bằng 671 2 c. Tìm x Z để Z A Lời giải 1 a) ĐKXĐ x 0, -1, 2 (x 2)(x 1) 6x 9x(x 1) x 1 3x x2 1 1 2x 3x x2 1 x 1 Ta có . 3x(x 1) 2(1 2x) 3x 3x 3x 3 x 1 b) Ta có A = 671 671 x 2014 (thỏa mãn) 3 2 2 6 2 c) Ta có Với x Z để Z thì x -1 phải là ước của 6 A x 1 x 1 A 3 Hay x -1 { 1; 2; 3; 6} Kết hợp với ĐKXĐ ta có x {-5; 2; 3; 4; 7}
  77. x2 10 1 6 x2 Bài 89: Cho biểu thức Q : x 2 , với x 0 và x 2 . 3 x 4x 5x 10 x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức Q. 1 b) Tính giá trị của Q biết x . 2 c) Tìm x để Q > 0. Lời giải x2 10 1 6 x2 a) Với x 0; x 2, ta có: Q : x 2 x(x 2)(x 2) 5(x 2) x 2 x 2 x 2(x 2) (x 2) 2 6 x 2 3   (x 2)(x 2) x 2 (x 2)(x 2) x x 2 1 1 b) x x 2 2 1 6 Khi x thì Q 2 5 1 Khi x thì Q 2 2 3 c) Q > 0 0 x 2 0 x 2 x 2 Kết hợp với ĐKXĐ ta có x 2; x 0; x 2 là giá trị cần tìm. 1 1 Bài 90: Cho biểu thức P x x 3 : x 1 với x 0;1;2 . x 1 x 1 a) Rút gọn P. b) Tìm x để P x 1 . Lời giải 1 1 x2 4x 4 x2 2x a) P x x 3 : x 1 : x 1 x 1 x 1 x 1 2 x2 4x 4 x 2 x 2 P x x2 2x x x 2 x b) Với điều kiện x 0;1;2 ta có x 2 2 2 P x 1 1 1 1 0 x 0. x x x Vậy với x 0 thì P x 1 . x2 2x 2x2 x2 x 2 Bài 91: Cho biểu thức Q 2 2 2 , với x 0 và x 2 . 2x 8 x (x 2) 4(x 2) x a) Rút gọn biểu thức Q. 1 b) Tìm giá trị của x để Q có giá trị là . 4 Lời giải x 0 Với ĐK: x 2