Ôn tập Toán học 9 - Một số dạng toán ứng dụng định lý vi-ét

Nội dung text: Ôn tập Toán học 9 - Một số dạng toán ứng dụng định lý vi-ét

1. MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Định lí Vi-ét: 2 Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a 0) có 2 nghiệm x1, x2 thì b b S x1 x2 x x a 1 2 a a 0vµ Δ 0 c c P x1.x2 a x 1 .x 2 a * Hệ quả: PT bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (*) c - Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x = 1, nghiệm kia là x = 1 2 a c - Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x = - 1; nghiệm kia là x = 1 2 a 2. Định lý đảo: x1 x 2 S Nếu có 2 số x1, x2 thoả mãn thì chúng là nghiệm số của phương trình: x1 .x 2 P t2 - st + p = 0 2 (Điều kiện  2 số x1, x2 là s - 4p 0) Chú ý: a 0 * Trước khi áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm Δ 0 (Δ' 0 ) * a + b + c = 0 x = 1 ; a - b + c = 0 x = - 1 x y S * Nếu có: x = ; y =  là nghiệm hệ phương trình thì ,  là nghiệm của phương xy P trình: t2 - St + P = 0. II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT 1. Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai 1.1. Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có một nghiệm là 1 hoặc – 1 Cách làm: Xét tổng a + b + c hoặc a – b + c Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) 3x 2 8x 11 0 b) 2x 2 5x 3 0
2. Giải: a) Ta có: a b c 3 8 ( 11) 0 nên phương trình có một nghiệm là x1 1, nghiệm còn lại là c 11 x 2 a 3 b) Ta có: a b c 2 5 3 0 nên phương trình có một nghiệm là x1 1, nghiệm còn lại là c 3 x . 2 a 2 1.2. Cho phương trình bậc hai, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm, tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số chưa biết của phương trình: Ví dụ 2: a) Phương trình x 2 2 px 5 0 có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm còn lại của phương trình. b)Phương trình x 2 5x q 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm còn lại của phương trình c) Phương trình x 2 7x q 0 biết hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình d) Phương trình x 2 qx 50 0 có hai nghiệm trong đó một nghiệm gấp đôi nghiệm kia, tìm q và hai nghiệm đó. Giải: a) Thay x1 2 vào phương trình ta được 4 4 p 5 0 9 9 4 p 0 p 4 9 Phương trình đã cho trở thành x 2 x 5 0 2 5 5 9 9 9 5 Từ x1 x2 5 x2 ( hoặc x1 x2 x2 x1 2 ) x1 2 2 2 2 2 Câu b tương tự Giả sử hai nghiệm của phương trình là x1 , x2 có vai trò như nhau c) Theo đề bài ta có x1 x2 11 Theo định lí Vi-et ta có x1 x2 7 x1 x2 11 Giải hệ phương trình ta được x1 9, x2 2 x1 x2 7 q = x1 x2 9( 2) 18 2 2 x2 5 d) Ta có x1 2x2 . Theo định lí Vi-et ta có x1 x2 50 2x2 50 x2 25 x2 5
3. Với x2 5 thì x1 10 , q x1 x2 = 10 + 5 = 15 Với x2 5 thì x1 10 , q x1 x2 = (- 10) + (- 5) = - 15. * Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình: a) 5x 2 24x 19 0 b) x 2 (m 5)x m 4 0 Bài 2: Xác định m và tìm nghiệm còn lại của phương trình a) x2 mx 35 0 biết một nghiệm bằng – 5 b) 2x2 (m 4)x m 0 biết một nghiệm bằng – 3 c) mx2 2(m 2)x m 3 0 biết một nghiệm bằng 3 2. Dạng 2: Lập Phương trình bậc hai 2.1.Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm Ví dụ 1: Lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm là 3 và 2 Giải: S x1 x2 3 2 5 Theo Định lí Vi-et ta có P x1 x2 3.2 6 2 Vậy 3 và 2 là hai nghiệm của phương trình: x Sx P 0 hay x 2 5x 6 =0. 3 1 1 \Ví dụ 2: Cho x1 = ; x2 = 2 1 3 Hãy lập phương trình bậc hai có ngiệm: x1; x2 3 1 1 1 3 3 1 Giải: Ta có x1 = ; x2 = = 2 1 3 1 3 1 3 2 3 1 1 1 Nên x1.x2 = . = 2 1 3 2 3 1 1 x1 + x2 = + = 3 2 1 3 2 1 Vậy phương trình có hai nghiệm x1; x2 là x - 3 x + = 0 2 Hay 2x2 - 2 3 x + 1 = 0
4. 2.2.Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước 2 Ví dụ 1: Cho phương trình x 3x 2 0 có hai nghiệm x1; x2 . 1 1 Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 x2 ; y2 x1 x1 x2 - Nhận xét: bài toán dạng này có hai các giải: Cách 1: + Tính trực tiếp y1; y2 bằng cách: Tìm nghiệm x1; x2 của phương trình đã cho rồi thay vào biểu thức tính y1; y2 Phương trình x 2 3x 2 0 có a b c 1 ( 3) 2 0 nên phương trình có hai nghiệm là x1 1; x2 2 1 1 1 1 3 Ta có y1 x2 2 3; y2 x1 1 x1 1 x2 2 2 + Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm y1; y2 (dạng 2.1) 3 9 S y y 3 1 2 2 2 3 9 P y y 3. 1 2 2 2 9 9 Phương trình cần lập có dạng: y 2 Sy P 0 hay y 2 y 0 2 2 ( hoặc 2y 2 9y 9 0 ) Cách 2: Không tính y1; y2 mà áp dụng Định lí Vi-et tính S y1 y2 ; P y1 y2 sau đó lập phương trình bậc hai có các nghiệm là y1; y2 Theo Định lí Vi-et ta có: 1 1 1 1 x x 3 9 1 2 S y1 y2 x2 x1 (x1 x2 ) (x1 x2 ) 3 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 2 1 1 1 1 9 (x2 ).(x1 ) x1 x2 1 1 2 1 1 x1 x2 x1 x2 2 2 9 9 Phương trình cần lập có dạng: y 2 Sy P 0 hay y 2 y 0 ( hoặc 2y 2 9y 9 0 ) 2 2 2 Ví dụ 2: Cho phương trình 3x 5x 6 0 có hai nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có các 1 1 nghiệm y1 x1 ; y2 x2 x2 x1
5. Nhận xét: - Nếu làm theo Cách 1: Phương trình 3x 2 5x 6 0 có 52 4.3.( 6) 97 nên có hai nghiệm vô tỉ là: 5 97 5 97 x ;x 1 6 2 6 Việc tính y1; y2 , S, P cũng phức tạp và mất nhiều thời gian 1 6 1 6 y1 x1 ; y2 x2 x2 5 97 x1 5 97 5 1 S y y ; P y y 1 2 6 1 2 2 5 1 Phương trình cần lập: y 2 Sy P 0 hay y 2 y 0 6 2 ( hay 6y 2 5y 3 0 ) - Cách 1 chỉ thích hợp khi phương trình ban đầu có nghiệm x1; x2 là hữu tỉ do đó nên chọn Cách 2 để việc tính toán đơn giản và nhanh hơn, cụ thể: Theo Định lí Vi-et, ta có: 5 1 1 1 1 x x 5 5 1 2 3 S y1 y2 x1 x2 (x1 x2 ) (x1 x2 ) x2 x1 x1 x2 x1 x2 3 2 6 1 1 1 1 1 P y1 y2 (x1 ).(x2 ) x1 x2 1 1 2 1 1 x2 x1 x1 x2 2 2 5 1 Phương trình cần lập: y 2 Sy P 0 hay y 2 y 0 (hay 6y 2 5y 3 0 ) 6 2 2 Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của phương trình: x + px + q = 0 sao cho hai nghiệm x1; x2 của phương trình x1 x2 5 thoả mãn hệ: 3 3 x1 x2 35 Giải: Điều kiện = p2 - 4q 0 (*) ta có: x1 + x2 = -p; x1.x2 = q. Từ điều kiện: 2 x1 x 2 5 x x 25 1 2 x3 x3 35 2 2 1 2 x1 x2 x1 x1x2 x2 35 x x 2 4x x 25 p 1 4q 25 1 2 1 2 2 p 2 q 7 5 x1 x2 2x1x2 x1x2 35 Giải hệ này tìm được: p = 1; q = - 6 và p = - 1; q = - 6
6. Cả hai cặp giá trị này đều thoả mãn (*) * Bài tập áp dụng: Bài 1: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là: a) 8 và -3 b) 36 và – 104 1 c) 1 2 và 1 2 d) 2 3 và 2 3 2 Bài 2: Cho phương trình x 5x 1 0 có hai nghiệm x1; x2 . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm 4 4 y1 x1 ; y2 x2 2 Bài 3: Cho phương trình x 2x 8 0 có hai nghiệm x1; x2 . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 x1 3; y2 x2 3 Bài 4: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương trình x 2 mx 2 = 0 2 2 Bài 5: Cho phương trình x 2x m 0 có hai nghiệm x1; x2 . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 2x1 1; y2 2x2 1 Bài 6: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 x2 2 3 3 x1 x2 26 Hướng dẫn: - Giải hệ phương trình tìm x1; x2 - Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2 tìm được. 3. Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng Ví dụ 1: Tìm hai số a và b biết S = a + b = - 3, P = ab = - 4 Giải: Hai số a và b là nghiệm của phương trình x 2 3x 4 0 Giải phương trình trên ta được x1 1; x2 4 Vậy nếu a = 1 thì b = - 4; nếu a = - 4 thì b = 1 * Lưu ý: không phải lúc nào ta cũng tìm được hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài Ví dụ 2: Tìm hai số a và b biết S = a + b = 3, P = ab = 6 Giải: Hai số a và b là nghiệm của phương trình x 2 3x 6 0 32 4.1.6 9 24 15 0 Phương trình vô nghiệm nên không tồn tại hai số a và b thỏa mãn đề bài * Lưu ý: Với trường hợp này ta cũng có thể nhận xét ngay
7. S 2 4P 32 4.6 9 24 15 0 nên không tồn tại hai số a và b thỏa mãn yêu cầu đề bài mà chưa cần lập phương trình * Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm hai số biết tổng S = 9 và tích P = 20 Bài 2: Tìm hai số x, y biết: a) x + y = 11; xy = 28 b) x – y = 5; xy = 66 Bài 3: Tìm hai số x, y biết: x2 y2 25; xy 12 4. Dạng 4: Dạng toán về biểu thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai * Cách biến đổi một số biểu thức thường gặp: 2 2 2 2 2 x1 x2 (x1 2x1 x2 x2 ) 2x1 x2 (x1 x2 ) 2x1 x2 3 3 2 2 2 x1 x2 (x1 x2 )(x1 x1 x2 x2 ) (x1 x2 ) (x1 x2 ) 3x1 x2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x1 x2 (x1 ) (x2 ) (x1 x2 ) 2x1 x2 [(x1 x2 ) 2x1 x2 ] 2x1 x2 1 1 x x 1 2 x1 x2 x1 x2 Và tương tự học sinh có thể biến đổi được nhiều biểu thức theo S x1 x2 ; P x1x2 4.1 . Tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm Với dạng toán này ta không giải phương trình để tìm nghiệm mà biến đổi biểu thức cần tính giá trị theo tổng và tích các nghiệm, sau đó áp dụng Định lí Vi-et để tính 2 Ví dụ 1: Cho phương trình x 8x 15 0 có hai nghiệm x1; x2 hãy tính 2 2 1 1 x1 x2 a) x1 x2 b) c) x1 x2 x2 x1 Giải: b c Ta có x x 8; x x 15 1 2 a 1 2 a 2 2 2 2 a) x1 x2 (x1 x2 ) 2x1 x2 8 2.15 64 30 34 1 1 x x 8 b) 1 2 x1 x2 x1 x2 15 x x x 2 x 2 34 c) 1 2 1 2 x2 x1 x1x2 15 Nhận xét: Với dạng bài này ta không cần giải phương trình để tìm các nghiệm Bài tập áp dụng:
8. 2 Bài 1: Cho phương trình 8x 72x 64 0 có hai nghiệm x1; x2 hãy tính 2 2 1 1 a) x1 x2 b) x1 x2 2 Bài 2: Cho phương trình x 14x 29 0 có hai nghiệm x1; x2 hãy tính 3 3 1 x1 1 x2 a) x1 x2 b) x1 x2 4.2. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc tham số Ta lần lượt làm theo các bước sau: + Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x1; x2 ( a 0; 0 ) + Viết hệ thức S x1 x2 ; P x1x2 Nếu S và P không chứa tham số thì ta có hệ thức cần tìm Nếu S và P chứa tham số thì khử tham số từ S và P sau đó đồng nhất các vế ta được hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số. Ví dụ 1: Cho Phương trình mx2 (2m 3)x m 4 0 ( m là tham số) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m Giải: a) Để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thì m 0 a 0 m 0 9 0 28m 9 0 m 28 2m 3 3 x x 2 (1) 1 2 m m b) Theo định lí Vi-et ta có: m 4 4 x x 1 (2) 1 2 m m 3 12 (1) x x 2 4(x x ) 8(3) m 1 2 m 1 2 4 12 (2) 1 x x 3 3x x (4) m 1 2 m 1 2 Từ (3) và (4) ta được: 4(x1 x2 ) 8 3 3x1x2 hay 4(x1 x2 ) 3x1x2 11 2 Ví dụ 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình (m 1)x 2mx m 4 0
9. Chứng minh biểu thức A 3(x1 x2 ) 2x1x2 8 không phụ thuộc giá trị của m Nhận xét: Bài toán này cho trước biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình nhưng về nội dung không khác Ví dụ 9. Khi làm bài cần lưu ý: + Ta vẫn tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm + Biểu thức A có giá trị là một số xác định với mọi m thỏa mãn điều kiện Cụ thể: Để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thì m 1 a 0 m 1 0 4 0 5m 4 0 m 5 2m x x 1 2 m 1 Theo định lí Vi-et ta có: m 4 x x 1 2 m 1 2m m 4 0 Thay vào A ta được: A 3(x x ) 2x x 8 = 3. 2. 8 0 1 2 1 2 m 1 m 1 m 1 4 Vậy A 3(x x ) 2x x 8 = 0 với m 1 và m 1 2 1 2 5 hay biểu thức A không phụ thuộc vào m Bài tập áp dụng: 2 Bài 1 : Cho phương trình x (m 2)x 2m 1 0 có hai nghiệm x1; x2 . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1; x2 sao cho chúng độc lập (không phụ thuộc) với m Bài 2: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009) Cho phương trình x2 2(m 1)x m2 1 0(1) a) Giải phương trình (1) khi m = 7 b) Tìm tất cả các giá trị m để (1) có nghiệm c) Tìm hệ thức kiên hệ giữa hai nghiệm x1; x2 của (1) sao cho hệ thức đó không phụ thuộc tham số m 4.3. Tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức nghiệm cho trước. Cách làm: + Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm x1; x2 ( a 0 và 0) + Từ biểu thức chứa nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-et để giải phương trình tìm m
10. + Đối chiếu với điều kiện để xác định m. Ví dụ 1: Cho phương trình mx2 6(m 1)x 9(m 3) 0 Tìm giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 x2 x1x2 Giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2 a 0 m 0 m 0 ' 0 9(m 1) 0 m 1 6(m 1) x x 1 2 m Theo định lí Vi-et ta có: 9(m 3) x x 1 2 m 6(m 1) 9(m 3) Từ x x x x 1 2 1 2 m m 6m 6 9m 27 3m 21 m 7 (TMĐK) Vậy với m = 7 thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 x2 x1x2 Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 2(m 4)x m 7 0 . Tìm giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 2x2 0 Nhận xét: Ví dụ này khác ví dụ 11 ở chỗ hệ thức không chứa sẵn x1 x2 và x1x2 nên ta không thể áp dụng ngay hệ thức Vi –et để tìm tham số m Vấn đề đặt ra là ta phải biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức chứa x1 x2 và x1x2 rồi tìm m như ví dụ trên. m 0 Giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2 là: 16 m 15 (m 4) x x 1 2 m Theo định lí Vi-et ta có: (1) m 7 x x 1 2 m x1 x2 3x2 2 Từ x1 2x2 0 2(x1 x2 ) 9x1x2 (2) 2(x1 x2 ) 3x1 Thế (1) vào (2) ta được phương trình m2 127m 128 0 , phương trình ẩn m Có hai nghiệm là: m1 1;m2 128(TMĐK)
11. Vậy với m 1 hoặc m 128 thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 2x2 0 2 2 Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 3x 4(m 1)x m 4m 1 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn 1 1 1 (x1 x2 ) x1 x2 2 Nhận xét: Với bài toán này ta chỉ cần xét điều kiện ' 0 vì a 3 0 m 2 3 Hay m2 4m 1 0 (*) m 2 3 1 1 - Cần thêm điều kiện P 0 để có ; đó là m 2 3 x1 x2 - Một sai lầm học sinh hay mắc phải đó là biến đổi 1 1 1 (x1 x2 ) 2(x1 x2 ) (x1 x2 )x1x2 x1 x2 2 Hai vế của đẳng thức đều chứa x1 x2 nên rút gọn đi để được 2 x1x2 Điều này sai vì có thể có trường hợp x1 x2 = 0 Do đó ta phải chuyển vế để đưa về dạng tích: (x1 x2 )(2 x1x2 ) 0 4(m 1)( m2 4m 5) 0 m 1 m 1 m 5 - Ta thấy m = - 1 không thỏa mãn (*) nên loại Vậy m = 1 hoặc m = 5 là giá trị cần tìm Ví dụ 4: Cho phương trình x2 2(m 1)x 2m 5 0 1. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1; x2 với mọi m. 2. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện: 2 2 (x1 2mx1 2m 1)(x2 2mx2 2m 1) 0 Giải: a) '= m2 – 4m + 6 = (m – 2)2 + 2 > 0,m pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. 2 x1 2(m 1)x1 2m 5 0 b) Phương trình có hai nghiệm x ; x nên: 1 2 2 x2 2(m 1)x2 2m 5 0
12. 2 x1 2mx1 2m 1 4 2x1 2 x2 2mx2 2m 1 4 2x2 x1 x2 2m 2 Theo định lí Vi-et ta có : x1.x2 2m 5 Theo bài ra ta có : 2 2 (x1 2mx1 2m 1)(x2 2mx2 2m 1) 0 4 2x1 . 4 2x2 0 16 8 x1 x2 4x1x2 0 3 16 8 2m 2 4 2m 5 0 m 2 Bài tập áp dụng: 2 Bài 1: Cho phương trình x (m 1)x 5m 6 0 . Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn 4x1 3x2 1 2 Bài 2: Cho phương trình mx 2(m 1)x 3(m 2) 0 . Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 2x2 1 Bài 3: Cho phương trình x2 – 2mx + 4m – 3 = 0 2 2 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 + x 2 = 6 Bài 4: Cho phương trình x2 (2m 1)x m 0 a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 x2 1 2 2 Bài 5: Cho phương trình x (2m 1)x m 2 0 . Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn 3x1x2 5(x1 x2 ) 7 0 . Bài 6: Cho phương trình 8x2 8x m2 1 0 (*) (x là ẩn số) Định m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa điều kiện: 4 4 3 3 x1 x2 x1 x2 HD: ∆’ = 16 8m2 8 8(1 m2 ) . 4 4 3 3 Khi m = 1 thì ta có ∆’ = 0 tức là : x1 x2 khi đó x1 x2 x1 x2 thỏa Điều kiện cần để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt là: m 1 hay 1 m 1 . Khi m 1 hay 1 m 1 ta có 4 4 3 3 2 2 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1.x2
13. 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1.x2 (Do x1 khác x2) x x x x 2 2x x (x x )2 x .x S(S 2 2P) S 2 P 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1(12 2P) 12 P (Vì S = 1) P 0 m2 1 0 (vô nghiệm) Do đó yêu cầu bài toán m 1 Bài 7: Cho phương trình : 3x2 3m 2 x 3m 1 0 . Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 5x2 6 Bài 8: Cho phương trình x2 – (m+1)x + m – 5 = 0 x1 x2 4 Xác định tham số m để phươg trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 3 3 x1 x2 32 2 2 HD: (m 1) 4(m 5) (m 1) 20 0m Theo Vi- ét ta có S= x1 + x2 =m+1; P = x1.x2 = m – 5 3 3 Theo giả thiết: x1- x2 = 4 và x1 –x2 = 32 nên ta biến đổi: 3 3 2 2 2 2 x1 –x2 = (x1- x2)(x1 + x1x2 + x2 ) =4((x1+x2) – x1x2) = 4((m+1) – (m-5)) = 32 m2 + m + 6 = 8 m 1 m 2 Cả hai giá trị của m=1 hoặc m=-2 đều thỏa mãn. 2 Bài 9: Định m để phương trình x –(m-1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạng huyền bằng 5. 2 2 HD: (x1 + x2 = 5) Bài 10: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1) 2 Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 + m)(x2 + m) = 3m + 12 2 2 HD: Ta có ' m 1 4m m 1 0 vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m. S 2 m 1 Áp dụng định lí Vi-et ta có: P 4m 2 2 Để (x1 + m)(x2 + m) = 3m + 12 khi và chỉ khi x1x2 + (x1 + x2) m - 2 m – 12 = 0, khi và chỉ khi : 4m + m.2(m + 1) – 2m2 – 12 = 0 khi và chỉ khi 6m = 12 khi và chỉ khi m= 2 Bài 11: Cho phương trình x2 3x m 0 (1) (x là ẩn).
14. Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 2 2 x1 1 x2 1 3 3 . 2 2 HD: Tìm m để x1, x2 thỏa mãn x1 1 x2 1 3 3 9 Pt (1) có hai nghiệm phân biệt 9 4m 0 m (1) 4 2 2 2 2 Theo định lí Viet x1 x2 3, x1x2 m . Bình phương ta được x1 x2 2 2 (x1 1)(x2 1) 27 2 2 2 2 2 2 x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 1 25 . 2 2 2 Tính được x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 9 2m và đưa hệ thức trên về dạng m2 2m 10 m 8 (2) m2 2m 10 m2 16m 64 18m 54 m 3. Thử lại thấy m 3 thỏa mãn pt (2) và điều kiện (1). Bài 12: Cho phương trình : x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 2 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 +2mx2 = 9 5 Đ/a: Vậy m = thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x , x : x 2 +2mx = 9 3 1 2 1 2 Bài 13: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + 4 = 0 (m là tham số) 2 2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 2(m 1)x2 3m 16 . 4.4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức nghiệm Cách làm: Cũng tương tự như những dạng bài trên ta áp dụng hệ thức Vi-et để biến đổi biểu thức đã cho rồi tìm giá trị lớn nhất( nhỏ nhất) 2 2 Ví dụ 1: Cho phương trình : x (m 1)x m m 2 0 2 2 Gọi 2 nghiệm của phương trình là x1 và x2. Tìm giá trị của m để x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. 2 2 2 2 2 Giải: Ta có: x1 x2 x1 x2 2x1x2 (m 1) 2( m m 2) 2 = m 2m 1 2m2 2m 4 3m2 4m 5 2 4 5 2 2 4 11 3 m m 3(m 2m ) 3 3 3 9 9 2 11 11 3(m )2 3 3 3
15. 11 2 Vậy GTNN của x2 x2 là khi m = 1 2 3 3 Ví dụ 2: Cho phương trình x2 – 2(m+4)x + m2 - 8 = 0 (1) trong đó m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt GTLN. Giải: Ta có ’ = (m+4)2 – (m2-8) = m2 + 8m + 16 – m2 + 8 = 8m + 24 Để phương trình (1) có 2 nghiệm thì: ’ 0 8m + 24 0 m - 3 2 Ta có: x1 + x2 = 2(m+4); x1x2 = (m – 8) 2 2 A = x1 + x2 – 3x1x2 = 2m+ 8 - 3(m – 8) = -3m + 2m + 32 2 1 97 1 97 97 A = -3(m2 - m + ) 3(m )2 3 9 3 3 3 3 97 1 Vậy Max A = . Dấu ‘=’ xảy ra khi m = 3 3 Ví dụ 3: Cho phương trình x2 + 2x – m = 0 (1) . (x ; là ẩn, m là tham số) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm. Gọi x1, x2 là hai nghiệm (có thể bằng nhau) của 4 4 phương trình (1). Tính biểu thức P = x1 + x2 theo m, tìm m để P đạt giá trị nhỏ nhất. Giải: Phương trình (1) là phương trình bậc 2 (vì hệ số của x2 là 1 0) có ’ = 1 + m 0 m – 1. Vậy phương trình (1) có nghiệm m –1. Khi đó, áp dụng định lý Vi-ét, ta có: x1 + x2 = –2 ; x1.x2 = – m 4 4 2 2 2 2 2 Do đó, P = x1 + x2 = (x1 + x2 ) – 2 x1 .x2 2 2 2 = [(x1 + x2) - 2 x1.x2] – 2(x1.x2) = (4 + 2m)2 – 2m2 = 2m2 + 16m + 16. Vì m –1 m + 1 0 nên ta có: P = 2m2 + 16m + 16 = 2(m2 + 2m + 1) + 12m + 14 = 2(m + 1)2 + 12(m + 1) + 2 2 Suy ra P đạt giá trị nhỏ nhất là 2 khi và chỉ khi m + 1 = 0 m = –1. Ví dụ 4: Cho a, b, c là 3 số thực thoả mãn điều kiện: a 0 a c Tìm GTNN của a (Xác định b, c khi a min) b a a b c abc
16. bc a 2 Giải: Từ giả thiết bài toán ta có: 3 b c abc a a a Theo Viet: b, c là nghiệm của phương trình bậc 2: x2 - (a3 - a)x + a2 = 0 = (a3 - a)2 - 4a2 0 a2 [(a2 - 1)2 - 4] 0 (a2 - 3) (a2 + 1) 0 a2 - 3 0 a2 3 a 3 (a > 0) min a = 3 tại b = c =3 Vậy: amin = 3 tại b = c = 3 1.Ở bài toán trên do vai trò của a, b, c như nhau nên có thể yêu cầu tìm min của1 trong các biến a, b, c. Ví dụ 5: Cho phương trình : x2 mx m 1 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 2x1x2 3 B 2 2 x1 x2 2 x1x2 1 x1 x2 m Ta có: Theo hệ thức Vi -ét thì : x1x2 m 1 2x1x2 3 2x1x2 3 2(m 1) 3 2m 1 B 2 2 2 2 2 x1 x2 2 x1x2 1 (x1 x2 ) 2 m 2 m 2 Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn Ta biến đổi B như sau: m2 2 m2 2m 1 m 1 2 B 1 m2 2 m2 2 2 2 m 1 Vì m 1 0 0 B 1 m2 2 Vậy max B=1 m = 1 Với cách thêm bớt khác ta lại có: 1 1 1 1 m2 2m 1 m2 m2 4m 4 m2 2 2 m 2 1 B 2 2 2 2 m2 2 m2 2 2 m2 2 2 2 2 m 2 1 Vì m 2 0 0 B 2 m2 2 2
17. 1 Vậy min B m 2 2 Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. 2m 1 B Bm2 2m 2B 1 0 (Với m là ẩn, B là tham số) ( ) m2 2 Ta có: 1 B(2B 1) 1 2B2 B Để phương trình ( ) luôn có nghiệm với mọi m thì 0 hay 2B2 B 1 0 2B2 B 1 0 2B 1 B 1 0 1 B 2B 1 0 2 B 1 0 B 1 1 B 1 2B 1 0 1 2 B B 1 0 2 B 1 Vậy: max B=1 m = 1 1 min B m 2 2 Bài tập áp dụng: 2 2 Bài 1: Tìm m để phương trình x 2(m 4)x m 8 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: a) A x1 x2 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất 2 2 b) B x1 x2 x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất 2 Bài 2: Cho phương trình x (4m 1)x 2(m 4) 0 có hai nghiệm x1; x2 . 2 Tìm m để A (x1 x2 ) đạt giá trị nhỏ nhất Bài 3: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT 2004 – 2005 ) Cho phương trình m4 1 x2 m2 x (m2 2m 2) 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 1 b) Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình (1).Tìm giá trị lớn nhất của x1 x2 Bài 4: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009) Cho phương trình x2 (3m 1)x 2(m2 1) 0 (1) ,(m là tham số) a) Giải phương trình (1) khi m = 2 b) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m
18. 2 2 c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của (1), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x1 x2 2 Bài 5: Cho phương trình x 2(m 1)x 3 m 0 . Tìm m để hai nghiệm x1; x2 2 2 thỏa mãn x1 x2 10 . Bài 6: Cho phương trình x2 (m 2)x 8 0 , với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức 2 2 Q = (x1 1)(x2 4) có giá trị lớn nhất. 2 HD: m 2 8 0 với mọi m. Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 8 Do x1x2 8 nên x2 x1 2 2 2 64 2 16 Q (x1 1)(x2 4) (x1 1)( 2 4) 68 4(x1 2 ) 68 4.8 = 36 x1 x1 2 16 (Do x1 2 8) . Ta có Q = 36 khi và chỉ khi x1 2 x1 Khi x1 2 thì m = 4, khi x1 = -2 thì m = 0. Do đó ta có giá trị lớn nhất của Q = 36 khi và chỉ khi m = 0 hay m = 4 . Bài 7: Cho phương trình x2 – 2(m+4)x + m2 - 8 = 0 Tìm m để phương trình x1, x2 thỏa mãn : 2 2 1. A = x 1 + x 2 - x1 - x2 đạt GTNN. 2 2 2. B = x 1 + x 2 - x1 x2 đạt GTNN. Bài 8: Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – 1 =0 (x là ẩn, m là tham số). Tìm tât cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 sao cho tổng 2 2 P = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất. 5. Dạng 5: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Khi xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai có thể xảy ra các trường hợp sau: hai nghiệm trái dấu, cùng dấu ( cùng dương hoặc cùng âm). Dấu của các nghiệm liên quan với ; S; P như thế nào? Ta có bảng xét dấu sau: Điều kiện Dấu của hai nghiệm x1; x2 S P Trái dấu x1x2 0 > 0 < 0
19. Cùng dương 0 > 0 > 0 ( x1x2 0 ; x1 x2 0 ) Cùng dấu Cùng âm 0 0 ( x1x2 0 ; x1 x2 0 ) Ví dụ 1: Không giải phương trình hãy cho biết dấu của các nghiệm? a)5x2 7x 1 0 b)x2 13x 40 0 c)3x2 5x 1 0 Cách làm: Tính S; P theo hệ thức Vi – et rồi dựa theo bảng xét dấu trên Giải: c 1 b 7 a) P x x = 0 ; S x x 0 nên hai nghiệm cùng dấu âm 1 2 a 5 1 2 a 5 Tương tự với phần b và c b) P = 40 > 0; S= 13 > 0 nên hai nghiệm cùng dấu dương 1 c) P 0 nên hai nghiệm trái dấu 3 2 2 Ví dụ 2: Cho phương trình x (m 1)x m m 2 0 ( m là tham số) Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu với  m 2 2 1 1 3 1 2 3 Giải : Ta có ac m m 2 m 2 m 1 (m ) 1 2 4 4 2 4 2 2 1 1 3 3 3 m 0 m 1 1 ac 1 2 2 4 4 4 P 0, m Vậy phương trình có hai nghiệm cùng dấu với  m 2 2 Ví dụ 3: Xác định m để phương trình 2 x (3m 1)x m m 6 0 có hai nghiệm trái dấu.
20. Giải:Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì: m 7 2 0 0 m 7 m2 m 6 2 m 3 P 0 0 (m 3)(m 2) 0 2 Vậy với -2 < m < 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho phương trình x2 2(m 1)x 2m 3 0 (1) a) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m b) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm trái dấu c) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia Bài 2: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2007 – 2008 ) Cho phương trình x2 5x m 0 a) Giải phương trình với m = 6 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương. Bài 3: Cho phương trình x2 2(m 3)x 4m 1 0 a) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 4 : Xác định m để phương trình 2 a) mx 2(m 2)x 3(m 2) 0 có hai nghiệm cùng dấu 2 b) (m 1)x 2 x m 0 có ít nhất một nghiệm không âm * Lưu ý: phần b: xét các trường hợp phương trình có: + hai nghiệm trái dấu + hai nghiệm cùng dương