Giáo trình Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Nội dung text: Giáo trình Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

1. Chuyên đề 4: BẤT ĐẲNG THỨC Và GIá TRỊ LỚN NHẤT, GIá TRỊ Nhỏ NHẤT A. CáC PHƯƠNG PHáP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1. Phương pháp biến đổi tương đương *) Để chứng minh: A B Ta biến đổi A B A1 B1 An Bn (đây là bất đẳng thức đúng) Hoặc từ bất đẳng thức đng An Bn , ta biến đổi An Bn An 1 Bn 1 A1 B1 A B Ví dụ 1.1 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta luôn có: a) 2(a 2 b 2 ) (a b) 2 (1) b) a 2 b 2 c 2 ab bc ca (1) Giải a) Ta có: (1) 2(a 2 b 2 ) (a b) 2 0 a 2 b 2 2ab 0 (a b) 2 0 (2) Do bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) được chứng minh. b) Ta có: (2) 2(a 2 b 2 c 2 ) 2(ab bc ca) 0 (a 2 2ab b 2 ) (b 2 2bc c 2 ) (c 2 2ca a 2 ) 0 (a b) 2 (b c) 2 (c a) 2 0 (2) Bất đẳng thức (2) luôn đúng suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 1.2 Chứng minh rằng: a) 2(a 4 b 4 ) (a b)(a 3 b3 ) (1) b) 3(a 4 b 4 c 4 ) (a b c)(a 3 b3 c 3 ) (1) Giải. a) Ta có: (1) 2a 4 2b 4 (a 4 a 3b ab3 b 4 ) 0 (a 4 a 3b) (b 4 ab3 ) 0 a 3 (a b) b3 (a b) 0 (a b)(a 3 b3 ) 0 2 b 3b 2 (a b) 2 (a 2 ab b 2 ) 0 (a b) 2 a 0 (2) 2 4 Do bất đẳng thức (2) đúng suy ra điều phải chứng minh. b) Ta có: (1) 3a 4 3b 4 3c 4 (a 4 a 3b a 3c b 4 ab3 b3c ac 3 bc 3 c 4 ) (a 4 b 4 a 3b ab3 ) (b 4 c 4 b3c bc 3 ) (c 4 a 4 a 3c ac 3 ) 0 (a b) 2 (a 2 ab b 2 ) (b c) 2 (b 2 bc c 2 ) (c a) 2 (c 2 ca a 2 ) 0 (2) Do bất đẳng thức (2) đúng suy ra điều phải chứng minh.
2. Ví dụ 1.3. Chứng minh rằng: a) (a 2 b 2 )(x 2 y 2 ) (ax by) 2 (1) b) a 2 b 2 c 2 d 2 (a c) 2 (b d) 2 (1) Giải a) Ta có: (1) a 2 x 2 a 2 y 2 b 2 x 2 b 2 y 2 a 2 x 2 2abxy b 2 y 2 a 2 y 2 2abxy b 2 x 2 0 (ay bx) 2 0 (2) Bất đẳng thức (2) luôn đúng suy ra điều phải chứng minh. b) Ta có: (1) a 2 b 2 c 2 d 2 2 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (a c) 2 (b d) 2 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ac bd (2) +) Nếu ac bd 0 thì (2) đúng. +) Nếu ac bd 0 thì (2) (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd) 2 a 2c 2 a 2 d 2 b 2c 2 b 2 d 2 a 2c 2 2abcd b 2 d 2 (ad bd) 2 0 (*) Bất đẳng thức (*) luôn đúng suy ra điều phải chứng minh. a 2 b 2 c 2 Ví dụ 1.4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a b c (1) b c a Giải Ta có: (1) a 3c b3a c 2b a 2bc b 2 ac c 2 ab 0 ab(a 2 2ab b 2 ) ac(a 2 2ab c 2 ) bc(b 2 2bc c 2 ) 0 ab(a b) 2 ac(a c) 2 bc(b c) 2 0 (*) Bất đẳng thức (*) luôn đúng suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 1.5. Cho a, b, c > 0. CMR: a 2 (b c a) b 2 (c a b) c 2 (a b c) 3abc (1) Giải Giả sử a, b c 0 . Khi đó ta có: (1) 3abc a 2 (b c a) b 2 (c a b) c 2 (a b c) 0 3abc a(a 2 ab ac bc) b(b 2 bc ba ac) c(c 2 ac bc ab) 0 a(a b)(a c) b(b c)(b a) c(c a)(c b) 0 (a b)(a 2 ac b 2 bc) c(a c)(b c) 0 (a b) 2 (a b c) c(a c)(b c) 0 (*) Bất đẳng thức (*) luôn đúng (Vì a, b c 0 ). Suy ra điều phải chứng minh.
3. 2. Phương pháp biến đổi đồng nhất. Để chứng minh BĐT: A B . Ta biến đổi biểu thức A B thành tổng các biểu thức có giá trị không âm. Ví dụ 2.1. Chứng minh rằng: a) a 2 b 2 c 2 d 2 ab ac ad (1) b) a 2 4b 2 4c 2 4ab 4ac 8bc (1) Giải a) Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 a 2 a 2 a 2 a a b c d ab ac ad ab b ac c ad d 4 4 4 4 2 2 2 a a a a 2 b c d 0 2 2 2 4 a 2 b 2 c 2 d 2 ab ac ad (đpcm) b) Ta có: a 2 4b 2 4c 2 4ab 4ac 8bc (a 2 4ab 4b 2 ) 4c 2 (4ac 8bc) (a 2b) 2 2.(a 2b).2c (2c) 2 (a 2b 2c) 2 0 a 2 4b 2 4c 2 4ab 4ac 8bc (đpcm) Ví dụ 2.2. Chứng minh rằng: a) 4(a 3 b3 ) (a b)3 với a, b 0 . b) 8(a 3 b3 c 3 ) (a b)3 (b c)3 (c a)3 với a, b, c 0 . c) (a b c)3 a 3 b3 c 3 24abc với a, b, c 0 . Giải a) Ta có: 4(a 3 b3 ) (a b)3 (a b)4(a 2 ab b 2 ) (a b) 2  3(a b)(a b) 2 0 (đpcm) b) Ta có: 8(a 3 b3 c 3 ) (a b)3 (b c)3 (c a)3 3(a b)(a b) 2 4(a c)(a c) 2 3(b c)(b c) 2 0 c) Ta có: (a b c)3 a 3 b3 c 3 24abc 3b(a c) 2 3c(a b) 2 3a(b c) 2 0 Ví dụ 2.3. Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 1 1 4 1 1 1 9 a b c 3 a) b) c) a b a b a b c a b c b c c a a c 2 Giải 1 1 4 b(a b) a(b c) 4ab a 2 2ab b 2 (a b) 2 a) 0 a b a b ab(a b) ab(a b) ab(a b)
4. 1 1 1 9 bc(a b c) ac(a b c) ab(a b c) b) a b c a b c abc(a b c) (a b) 2 (b c) 2 (c a) 2 0 ab bc ac a b c 3 a 1 b 1 c 1 c) b c c a a c 2 b c 2 c a 2 a b 2 (a b) (a c) (b a) (b c) (c a) (c b) 2(b c) 2(c a) 2(a b) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (a b) (b c) (c a) 2 b c c a 2 a c a b 2 a b b c 1 (a b) 2 (b c) 2 (c a) 2 0 2 (a c)(b c) (a c)(a b) (a b)(b c) Ví dụ 2.4 a) Cho a; b 0 . Chứng minh rằng: a b 2 ab (Bất đẳng thức Cô Si) b) Cho a; b; c 0 . Chứng minh rằng: a b c 33 abc (Bất đẳng thức Cô Si) c) Cho a b c và x y z . Chứng minh rằng: (a b c)(x y z) 3(ax by cz) (BĐT Trê-B-Sép) Giải a) Ta có: a b 2 ab ( a b) 2 0 b) Ta có: 1 a b c 33 abc (3 a 3 b 3 c)(3 a 3 b) 2 (3 c 3 b) 2 (3 a 3 c) 2  0 2 c) Ta có: (a b c)(x y z) 3(ax by cz) (y x)(a b) (z x)(b c) (x z)(c a) 0 Ví dụ 2.5 Cho a, b, c > 0. Chứng minh: bc ca ab bc ca ab a) a b c b) 3(a 2 b 2 c 2 ) a b c a b c Giải bc ca ab c (a b) 2 b (c a) 2 a (b c) 2 a) Ta có: (a b c) . . . 0 a b c 2 ab 2 ca 2 bc
5. b) Ta có: 2 2 2 2 bc ca ab 1 c(a 2 b 2 ) a(b 2 c 2 ) b(c 2 a 2 ) 3(a 2 b 2 c 2 ) 0 a b c 2 ab bc ca 2 bc ca ab bc ca ab 3(a 2 b 2 c 2 ) 3(a 2 b 2 c 2 ) a b c a b c Ví dụ 2.6. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 1 2 a) (nếu ab 1 ) b) (nếu 1 a 2 1 b 2 1 ab 1 a 2 1 b 2 1 ab a 2 b 2 2 ) 1 1 2 1 1 1 c) (nếu 1 a,b 1 ) d) (nếu 1 a 2 1 b 2 1 ab (1 a) 2 (1 b) 2 1 ab a,b 0 ) Giải a) Ta có: 1 1 2 1 1 1 1 (a b) 2 (ab 1) 0 1 a 2 1 b 2 1 ab 1 a 2 1 ab 1 b 2 1 ab (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab) 1 1 2 (a b) 2 (ab 1) b) Ta có: 1 a 2 1 b 2 1 ab (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab) a 2 b 2 ab 1 0 (a b) 2 (ab 1) Vì ab 1 2 2 0 (đpcm) 2 ab 1 0 (1 a )(1 b )(1 ab) c) Ta có: 1 1 2 1 1 1 1 (a b) 2 (1 a 2b 2 ) 0 1 a 2 1 b 2 1 ab 1 a 2 1 ab 1 b 2 1 ab (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab) 2 1 1 1 ab(a b) 2 (ab 1) 2 d) Ta có: 0 (1 a) 2 (1 b) 2 1 ab (1 a) 2 (1 b) 2 (1 ab) 3. Phương pháp sử dung tính chất của bất đẳng thức Cơ sở của phương pháp này là các tính chất của bất đẳng thức và một số bất đẳng thức cơ bản như: +) Nếu a b và b c thì a c 1 1 +) Nếu a b và a.b 0 thì a b a b 0 +) Nếu thì a.m b.n . m n 0 +) (a b) 2 0
6. 1 1 4 +) Nếu a, b 0 thì a b a b 1 Ví dụ 3.1 Cho a b 1. Chứng minh: a 4 b 4 8 Giải (a b) 2 1 (a 2 b 2 ) 2 1 Ta có: (a b) 2 0 a 2 b 2 a 4 b 4 2 2 2 8 Ví dụ 3.2 Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a 3 b3 c 3 a 3 b3 c 3 a) ab bc ca b) a b c b c a b 2 c 2 a 2 Giải x 2 a) Ta có: x 2 xy y 2 (với x, y 0 ) y a 3 b3 c 3 (a 2 ab b 2 ) (b 2 bc c 2 ) (c 2 ca a 2 ) ab bc ca b c a x 3 b) Ta có: 3x 2y (với x, y 0 ) y 2 a 3 b3 c 3 (3a 2b) (3b 2c) (3c 2a) a b c b 2 c 2 a 2 Ví dụ 3.3 Cho a, b, c > 0. CMR: bc ca ab a 2 b 2 c 2 a b c a) a b c b) a b c b c c a a b 2 Giải bc ca a) Ta dể dàng chứng minh đợc 2c (đpcm) a b a 2 b c b) Ta dể dàng chứng minh đợc a (đpcm) b c 4 1 1 1 Ví dụ 3.4 Cho x, y, z 0 thoả mãn điều kiện: 4 . Chứng minh rằng: x y z 1 1 1 1 2x y z x 2y z x y 2z Giải: 1 1 4 Ta có: Với a, b 0 thì . Từ đó suy ra a b a b 16 16 4 4 2 1 1 (1) 2x y z (x y) (z x) x y z x x y z
7. 16 16 4 4 1 2 1 (2) x 2y z (x y) (y z) x y y z x y z 16 16 4 4 1 1 2 (3) x y 2z (y z) (z x) y z z x x y z 16 16 16 4 4 4 Từ (1), (2) và (3) 16 (đpcm) 2x y z x 2y z x y 2z x y z Ví dụ 3.5. a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 a b c b c a c a b a b c b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: .a Chbc ứngab minh:bc ca 1 1 1 3 a 2b 3c b 2c 3a c 2a 3b 16 Giải 1 1 4 áp dụng BĐT (với a, b 0) Ta có: a b a b 1 1 4 2 (1) a b c b c a 2b b 1 1 4 2 (2) b c a c a b 2c c 1 1 4 2 (3) c a b a b c 2a a Từ (1), (2) và (3) (đpcm) 4 1 1 b) Tương tự: áp dụng BĐT (với a, b 0) Ta có: a b a b 16 16 4 4 1 1 1 1 (1) a 2b 3c (c a) 2(b c) c a 2(b c) c a 2b 2c 16 16 4 4 1 1 1 1 (2) b 2c 3a (a b) 2(c a) a b 2(c a) a b 2c 2a 16 16 4 4 1 1 1 1 (3) c 2a 3b (b c) 2(a b) b c 2(a b) b c 2a 2b 1 1 1 1 1 1 Từ (1), (2) và (3) 16 3 (*) a 2b 3c b 2c 3a c 2a 3b a b c 1 1 1 Mặt khác: abc ab bc ca 1 ( ) a b c Từ (*) và ( ) (đpcm) Ví dụ 3.5
8. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a b c a b c a b c a) 2 b) a b b c c a b c c a a b 1 a 2 1 b 2 1 c 2 Giải x x m a)áp dụng BĐT: Nếu 0 x y, m thì 0 y y m a c a b a b c b c Ta có: ; ; a b a b c b c a b c c a a b c a b c 2(a b c) 2 (đpcm) a b b c c a a b c a 1 b) Ta có: a 2 1 2a a 2 1 2 b 1 c 1 a b c 3 Tơng tự: và . Từ đó suy ra (1) b 2 1 2 c 2 1 2 1 a 2 1 b 2 1 c 2 2 3 a b c Mặt khác ta lại chứng minh đơc (BĐT Net – Bit) 2 b c c a a b (2) Từ (1) và (2) (đpcm) 4. Phương pháp sử dung bất đẳng thức Cô - Si a a a a *) Với a , a , a , , a 0 thì 1 2 3 n n a a a a . 1 2 3 n n 1 2 3 n Dấu “=” xảy ra khi a1 a2 a3 an 0 Ví dụ 4.1 Cho a, b > 0 thỏa mãn điều kiện: a.b 1. CMR: 4 (a b 1)(a 2 b 2 ) 8 a b Giải Áp dụng BĐT “Cô - Si” cho hai số dơng a 2 và b 2 ta có: a 2 b 2 2ab 2 4 4 4 (a b 1)(a 2 b 2 ) 2(a b 1) (a b) a b 2 (1) a b a b a b Tơng tự: Củng áp dung BĐT Cô - Si ta có: a b 2 ab 2  4 4 4  (a b) a b 2 2 4 2 8 a b 2 (a b). 4 a b a b (a b)  (2) Từ (1) và (2) (đpcm)
9. Ví dụ 4.2 Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: (a b) 2 a b a b c a) a b b a b) 2 2 4 b c c a a b Giải a) Ta có: (a b) 2 a b a b 1 1 1 a b ab a b a.b( a b) 2 4 2 2 4 4 a b b a b) áp dụng BĐT Cô - Si ta có: b c b c 1 b c a b c a 2a .1 1 (1) a a 2 a 2a b c a b c b 2b c 2c Tơng tự ta củng chứng minh đợc: (2) và c a a b c a b a b c (3) a b c Từ (1), (2) và (3) 2 b c c a a b a b c Dấu “=” xảy ra khi b c a a b c 0 (trái với giả thiết). Vậy dấu “=” c a b không xảy ra. Ví dụ 4.3 Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a 2 b 2 c 2 a 3 b3 c 3 a) b 2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 2abc 1 1 1 a 3 b3 c 3 b) 3 (với a 2 b 2 c 2 1 ) a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 2abc Giải a 2 a 2 a 3 b 2 b 2 b3 c 2 c 2 c 3 a) Ta có: ; ; b 2 c 2 2bc 2abc c 2 a 2 2ca 2abc a 2 b 2 2ab 2abc a 2 b 2 c 2 a 3 b3 c 3 (đpcm) b 2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 2abc 1 1 1 1 1 1 b) Ta có: (a 2 b 2 c 2 ) a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 c 2 a 3 b3 c 3 3 3 b 2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 2abc
10. Ví dụ 4.4 Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 a 3 b3 abc b3 c 3 abc c 3 a 3 abc abc Giải (a b)(a 2 b 2 ) Ta có: a 2 b 2 2ab ab(a b) a 3 b3 ab(a b) 2 abc abc c a 3 b3 abc ab(a b) abc a b c abc a Tơng tự ta củng chứng minh đợc: và b3 c 3 abc a b c abc b c 3 a 3 abc a b c Cộng vế với vế các BĐT trên, suy ra điều phải chứng minh Ví dụ 4.5 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện: a 2 b 2 c 2 3. Chứng minh ab bc ca rằng: 3 (1) c a b Giải a 2b 2 b 2c 2 c 2 a 2 Ta có: (1) 2(a 2 b 2 c 2 ) 3(a 2 b 2 c 2 ) c 2 a 2 b 2 a 2b 2 b 2c 2 c 2 a 2 ab bc bc ca ca ab Mà: . . . a 2 b 2 c 2 c 2 a 2 b 2 c a a b b c Suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 4.6 Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: x 3 y 3 z 3 3 a) (1 y)(1 z) (1 z)(1 x) (1 x)(1 y) 4 xy yz zx b) 1 x 5 xy y 5 y 5 yz z 5 z 5 zx x 5 Giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cô - Si ta có: x 3 1 y 1 z 3x x 3 3x 1 y 1 z (1) (1 y)(1 z) 8 8 4 (1 y)(1 z) 4 8 8 y 3 3y 1 z 1 x Tương tự ta củng chứng minh đợc: (2) (1 z)(1 x) 4 8 8 z 3 3z 1 x 1 y Và: (3) (1 x)(1 y) 4 8 8
11. x y z 3 33 xyz 3 3 Từ (1), (2) và (3) VT (đpcm) 2 4 2 4 4 (x 4 y 4 )(x y) b) Ta có: x 4 y 4 2x 2 y 2 x 2 y 2 (x y) x 5 y 5 x 2 y 2 (x y) 0 2 xy xy 1 xyz z x 5 xy y 5 xy x 2 y 2 (x y) 1 xy(x y) xyz xy(x y) x y z yz x Tương tự ta cũng chứng minh được: y 5 yz z 5 x y z zx y Và z 5 yz x 5 x y z xy yz zx 1 (đpcm) x 5 xy y 5 y 5 yz z 5 z 5 zx x 5 x 3 y 3 z 3 Ví dụ 4.7 Cho x, y, z > 0. Chứng minh: x y z yz zx xy Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô - Si ta có: x 3  y z 3x yz y 3 x 3 y 3 z 3 z x 3y 2(x y z) 3(x y z) zx yz zx xy z 3 x y 3z xy  x 3 y 3 z 3 x y z (đpcm) yz zx xy 5. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski. Với mọi a, b, c và x, y, z R thì ta luôn có: x y *) (a.x b.y) 2 (a 2 b 2 )(x 2 y 2 ) . Dấu “=” xảy ra khi a b x y z *) (a.x b.y cz) 2 (a 2 b 2 c 2 )(x 2 y 2 z 2 ) . Dấu “=” xảy ra khi a b c Tổng quát: Với a1; a2 ; a3 ; ; an và x1; x2 ; x3 ; ; xn R thì 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (a1 a2 a3 an ). (x1 x2 x3 xn ) (a1 x1 a2 x2 a3 x3 an xn ) x x x x Dấu “=” xảy ra khi 1 2 3 n a1 a2 a3 an
12. Ví dụ 5.1 Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 1 1 4 n 2 m 2 (n m) 2 a) b) a b a b a b a b Giải a) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 2 1 1 1 1 1 1 4 4 . a . b (a b) a b a b a b a b 2 2 2 2 2 2 n m n m 2 n m (n m) b) Ta có: (a b) . a b (m n) a b a b a b a b Tổng quát: 2 2 2 2 2 a1 a2 a3 an (a1 a2 a3 an ) *) Với bi 0; i 1, n thì (1) b1 b2 b3 bn b1 b2 b3 bn 2 a1 a2 a3 an (a1 a2 a3 an ) *) Với aibi 0; i 1, n thì b1 b2 b3 bn a1b1 a2b2 a3b3 anbn (2) Thật vậy: 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a a a 1 2 3 n (b b b b ) 1 . b 2 . b n . b b b b b 1 2 3 n 1 2 n 1 2 3 n b1 b2 bn 2 (a1 a2 a3 an ) a 2 a 2 a 2 a 2 (a a a a ) 2 1 2 3 n 1 2 3 n b1 b2 b3 bn b1 b2 b3 bn Đặt aibi xi 0 thay vào (1) được (2) Ví dụ 5.2 Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a b c a) a b c b) b c a b c c a a b 2 a 3 b3 c 3 a 3 b3 c 3 a 2 b 2 c 2 c) a 2 b 2 c 2 d) b 2 c 2 a 2 b c c a a b 2 Giải a 2 b 2 c 2 (a b c) 2 a) Ta có: a b c b c a a b c a 2 b 2 c 2 (a b c) 2 a b c b) Ta có: b c c a a b 2(a b c) 2
13. a 3 b3 c 3 a 4 b 4 c 4 (a 2 b 2 c 2 ) 2 c) Ta có: a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 ab bc ca ab bc ca a 3 b3 c 3 a 4 b 4 c 4 a 2 b 2 c 2 d) Ta có: b c c a a b ab ca ab bc bc ca 2 25a 16b c Ví dụ 5.3 Cho a, b, c > 0. Chứng minh: 8 b c c a a b Giải a b c Ta có: VT = 25 1 16 1 1 42 b c c a a b 25 16 1 (5 4 1) 2 (a b c) (a b c). 42 8 b c c a a b 2(a b c) b c c a a b Dấu “=” xảy ra khi a 0 (vô lí) suy ra điều phải chứng 5 4 1 minh. x 2 y 2 z 2 x y z Ví dụ 5.4 Cho x, y, z > 0. Chứng minh: y 2 z 2 x 2 y z x Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki ta có: x 2 y 2 z 2 1 x y z x y z x y z 2 2 2 y z x 3 y z x y z x y z x