Gaios án Hình học Lớp 11

Nội dung text: Gaios án Hình học Lớp 11

1. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 β BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN 11 b Dạng 1 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) a Phương pháp : • Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng (α) và (β) α A • Đường thẳng đi qua hai điểm chung ấy là giao tuyến cần tìm Chú ý : Để tìm chung của (α) và (β) thường tìm 2 đường thẳng đồng phẳng lần lượt nằm trong hai mp giao điểm nếu có của hai đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng Bài tập : 1. Trong mặt phẳng (α ) cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối không song song và S ∉ (α) (SAC) điểm . a. Xác định giao tuyến của và (SBD) S b. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD) c. Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC) Giải a. Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD) Ta có : S là điểm chung của (SAC) và (SBD) Trong (α), gọi O = AC ∩ BD C • O ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC) A • O ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ O ∈ (SBD)J ⇒ O là điểm chung của (SAC) và (SBD) k O Vậy : SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD) B b. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD) D Ta có: S là điểm chung của (SAC) và (SBD) Trong (α) , AB không song song với CD ∩ Gọi I = AB CD I • I ∈ AB mà AB ⊂ (SAB) ⇒ I ∈ (SAB) • I ∈ CD mà CD ⊂ (SCD) ⇒ I ∈ (SCD) ⇒ I là điểm chung của (SAB) và (SCD) Vậy : SI là giao tuyến của (SAB) và (SCD) A c. Tương tự câu a, b 2. Cho bốn điểm A,B,C,D không cùng thuộc một mặt phẳng . M Trên các đoạn thẳng AB, AC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song P D song với BC. Tìm giao tuyến của ( BCD) và ( MNP) B Giải N • P ∈ BD mà BD ⊂ ( BCD) ⇒ P ∈ ( BCD) • P ∈ ( MNP) ⇒ P là điểm chung của ( BCD) và ( MNP) C Trong mp (ABC) , gọi E = MN ∩ BC E • E ∈ BC mà BC ⊂ ( BCD) ⇒ E ∈ ( BCD) • E ∈ MN mà MN ⊂ ( MNP) ⇒ E ∈ ( MNP) ⇒ E là điểm chung của ( BCD) và ( MNP) Trang 1
2. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Vậy : PE là giao tuyến của ( BCD) và ( MNP) 3. Cho tam giác ABC và một điểm S không thuộc mp (ABC ) , một điểm I thuộc đoạn SA . Một đường thẳng a không song song với AC cắt các cạnh AB, BC theo thứ tự tại J , K. Tìm giao tuyến của các cặp mp sau : S a. mp ( I,a) và mp (SAC ) b. mp ( I,a) và mp (SAB ) I c. mp ( I,a) và mp (SBC ) L O Giải a. Tìm giao tuyến của mp ( I,a) với mp (SAC ) : B K C Ta có:• I∈ SA mà SA ⊂ (SAC ) ⇒ I ∈ (SAC ) • I∈( I,a) J ⇒ I là điểm chung của hai mp ( I,a) và (SAC ) A Trong (ABC ), a không song song với AC Gọi O = a ∩ AC • O ∈ AC mà AC ⊂ (SAC ) ⇒ O ∈ (SAC ) • O ∈ ( I,a) ⇒ O là điểm chung của hai mp ( I,a) và (SAC ) Vậy : IO là giao tuyến của hai mp ( I,a) và (SAC ) b. Tìm giao tuyến của mp ( I,a) với mp (SAB) : là JI c. Tìm giao tuyến của mp ( I,a) với mp (SBC ) Ta có : K là điểm chung của hai mp ( I,a) và mp (SBC ) Trong mp (SAC) , gọi L = IO ∩ SC • L ∈ SC mà SC ⊂ (SBC ) ⇒ L ∈ (SBC ) • L ∈ IO mà IO ⊂ ( I,a) ⇒ L ∈ ( I,a ) ⇒ L là điểm chung của hai mp ( I,a) và (SBC ) Vậy: KL là giao tuyến của hai mp ( I,a) và (SBC ) 4. Cho bốn điểm A ,B ,C , D không cùng nằm trong một mp a. Chứng minh AB và CD chéo nhau A b. Trên các đoạn thẳng AB và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BD tại I . Hỏi điểm I thuộc những mp nào . M Xđ giao tuyến của hai mp (CMN) và ( BCD) N Giải a. Chứng minh AB và CD chéo nhau : B D I Giả sử AB và CD không chéo nhau Do đó có mp (α) chứa AB và CD ⇒ A ,B ,C , D nằm trong mp (α) mâu thuẩn giả thuyết Vậy : AB và CD chéo nhau C b. Điểm I thuộc những mp : • I ∈ MN mà MN ⊂ (ABD ) ⇒ I ∈ (ABD ) • I ∈ MN mà MN ⊂ (CMN ) ⇒ I ∈ (CMN ) • I ∈ BD mà BD ⊂ (BCD ) ⇒ I ∈ (BCD ) Xđ giao tuyến của hai mp (CMN) và ( BCD) là CI Trang 2
3. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 5. Cho tam giác ABC nằm trong mp ( P) và a là mộtđường thẳng nằm trong mp ( P) và không song song với AB và AC . S là một điểm ở ngoài mặt phẳngS ( P) và A’ là một điểm thuộc SA . Xđ giao tuyến của các cặp mp sau a. mp (A’,a) và (SAB) A' b. mp (A’,a) và (SAC) c. mp (A’,a) và (SBC) N Giải M a. Xđ giao tuyến của mp (A’,a) và (SAB) A C F • A’ ∈ SA mà SA ⊂ ( SAB) ⇒ A’∈ ( SAB) • A’ ∈ ( A’,a) ⇒ A’ là điểm chung của ( A’,a) và (SAB ) B Trong ( P) , ta có a không song song với AB Gọi E = a ∩ AB E a • E ∈ AB mà AB ⊂ (SAB ) ⇒ E ∈ (SAB ) P • E ∈ ( A’,a) ⇒ E là điểm chung của ( A’,a) và (SAB ) Vậy: A’E là giao tuyến của ( A’,a) và (SAB ) b. Xđ giao tuyến của mp (A’,a) và (SAC) • A’ ∈ SA mà SA ⊂ ( SAC) ⇒ A’∈ ( SAC) • A’ ∈ ( A’,a) ⇒ A’ là điểm chung của ( A’,a) và (SAC ) Trong ( P) , ta có a không song song với AC Gọi F = a ∩ AC • F∈ AC mà AC ⊂ (SAC ) ⇒ F ∈ (SAC ) • E ∈ ( A’,a) ⇒ F là điểm chung của ( A’,a) và (SAC ) Vậy: A’F là giao tuyến của ( A’,a) và (SAC ) c. Xđ giao tuyến của (A’,a) và (SBC) Trong (SAB ) , gọi M = SB ∩ A’E • M ∈ SB mà SB ⊂ ( SBC) ⇒ M∈ ( SBC) • M ∈ A’E mà A’E ⊂ ( A’,a) ⇒ M∈ ( A’,a) ⇒ M là điểm chung của mp ( A’,a) và (SBC ) Trong (SAC ) , gọi N = SC ∩ A’F A • N ∈ SC mà SC ⊂ ( SBC) ⇒ N∈ ( SBC) • N ∈ A’F mà A’F ⊂ ( A’,a) ⇒ N∈ ( A’,a) ⇒ N là điểm chung của mp ( A’,a) và (SBC ) Vậy: MN là giao tuyến của ( A’,a) và (SBC ) P M 6. Cho tứ diện ABCD , M là một điểm bên trong tam giác ABD , N là một điểm bên trong tam giác ACD . Tìm giao tuyến của các cặp mp sau Q N a. (AMN) và (BCD) B D b. (DMN) và (ABC ) E Giải a. Tìm giao tuyến của (AMN) và (BCD) F Trang 3 C
4. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Trong (ABD ) , gọi E = AM ∩ BD • E ∈ AM mà AM ⊂ ( AMN) ⇒ E∈ ( AMN) • E ∈ BD mà BD ⊂ ( BCD) ⇒ E∈ ( BCD) ⇒ E là điểm chung của mp ( AMN) và (BCD ) Trong (ACD ) , gọi F = AN ∩ CD • F ∈ AN mà AN ⊂ ( AMN) ⇒ F∈ ( AMN) • F ∈ CD mà CD ⊂ ( BCD) ⇒ F∈ ( BCD) ⇒ F là điểm chung của mp ( AMN) và (BCD ) Vậy: EF là giao tuyến của mp ( AMN) và (BCD ) b. Tìm giao tuyến của (DMN) và (ABC) Trong (ABD ) , gọi P = DM ∩ AB • P ∈ DM mà DM ⊂ ( DMN) ⇒ P∈ (DMN ) • P ∈ AB mà AB ⊂ ( ABC) ⇒ P∈ (ABC) ⇒ P là điểm chung của mp ( DMN) và (ABC ) Trong (ACD) , gọi Q = DN ∩ AC • Q ∈ DN mà DN ⊂ ( DMN) ⇒ Q∈ ( DMN) • Q ∈ AC mà AC ⊂ ( ABC) ⇒ Q∈ ( ABCA) ⇒ Q là điểm chung của mp ( DMN) và (ABC ) Vậy: PQ là giao tuyến của mp ( DMN) và (ABC ) a β α Dạng 2 : Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng ( ) b Phương pháp : • Tìm đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (α) A • Giao điểm của a và b là giao đt a và mặt phẳng (α) α Chú ý : Đường thẳng b thường là giao tuyến của mp (α) và mp (β) ⊃ a Cần chọn mp (β) chứa đường thẳng a sao cho giao tuyến của mp (α) và mp (β) dể xác định và giao tuyến không song song với đường thẳng a Bài tập : 1. Trong mp (α) cho tam giác ABC . Một điểm S không thuộc (α) . Trên cạnh AB lấy một điểm P và trên các đoạn thẳng SA, SB ta lấy lần lượt hai điểm M, SN sao cho MN không song song với AB . a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPCM ) b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (α) E Giải N a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) A C Cách 1 : Trong (SAB) , gọi E = SP ∩ MN • E ∈ SP mà SP ⊂ (SPC) ⇒ E ∈(SPC) P B • E ∈ MN D Vậy : E = MN ∩ (SPC ) α Trang 4
5. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Cách 2 : • Chọn mp phụ (SAB) ⊃ MN • ( SAB) ∩ (SPC ) = SP • Trong (SAB), gọi E = MN ∩ SP E ∈ MN E ∈ SP mà SP ⊂ (SPC) Vậy : E = MN ∩ (SPC ) b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp (α) Cách 1: Trong (SAB) , MN không song song với AB Gọi D = AB ∩ MN • D ∈ AB mà AB ⊂ (α) ⇒ D ∈(α) • D ∈ MN Vậy: D = MN ∩ (α) Cách 2 : • Chọn mp phụ (SAB) ⊃ MN • ( SAB) ∩ (α) = AB • Trong (SAB) , MN không song song với AB Gọi D = MN ∩ AB ∈ ⊂ α ⇒ ∈ α D AB mà AB ( ) D ( ) S D ∈ MN Vậy : D = MN ∩ (α) N 2. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD ). Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C . M Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM ) K Giải D • Chọn mp phụ (SBD) ⊃ SD A • Tìm giao tuyến của hai mp ( SBD) và (ABM ) − Ta có B là điểm chung của ( SBD) và (ABM ) O − Tìm điểm chung thứ hai của ( SBD) và (ABM ) C Trong (ABCD ) , gọi O = AC ∩ BD B Trong (SAC ) , gọi K = AM ∩ SO K∈ SO mà SO ⊂ (SBD) ⇒ K ∈( SBD) ∈ ⊂ ⇒ ∈ K AM mà AM (ABM ) K ( ABM ) S ⇒ K là điểm chung của ( SBD) và (ABM ) ⇒ ( SBD) ∩ (ABM ) = BK • Trong (SBD) , gọi N = SD ∩ BK N∈ BK mà BK ⊂ (AMB) ⇒ N ∈(ABM) N ∈ SD I N Vậy : N = SD ∩ (ABM) 3. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD ). Trên đoạn AB lấy một điểm M , A D Trên đoạn SC lấy một điểm N ( M , N không trùng với các đầu mút ) . a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) P b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) Giải M Q C Trang 5 B
6. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) • Chọn mp phụ (SAC) ⊃ AN • Tìm giao tuyến của ( SAC) và (SBD) Trong (ABCD) , gọi P = AC ∩ BD ⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SP • Trong (SAC), gọi I = AN ∩ SP I ∈ AN I ∈ SP mà SP ⊂ (SBD) ⇒ I ∈ (SBD) Vậy : I = AN ∩ (SBD) b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) • Chọn mp phụ (SMC) ⊃ MN • Tìm giao tuyến của ( SMC ) và (SBD) Trong (ABCD) , gọi Q = MC ∩ BD ⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SQ • Trong (SMC), gọi J = MN ∩ SQ J∈ MN J ∈ SQ mà SQ ⊂ (SBD) ⇒ J ∈ (SBD) Vậy: J = MN ∩ (SBD) 4. Cho một mặt phẳng (α) và một đường thẳng m cắt mặt phẳng (α) tại C . Trên m ta lấy hai điểm A, B và một điểm S trong không gian . Biết giao điểm của đường thẳng SA với mặt phẳng (α) α là điểm A’ . Hãy xác định giao điểm của đường thẳng SB và mặt phẳngm ( ) S Giải • ⊃ A Chọn mp phụ (SA’C) SB B • Tìm giao tuyến của ( SA’C ) và (α) Ta có ( SA’C ) ∩ (α) = A’C C • Trong (SA’C ), gọi B’ = SB ∩ A’C B' B’∈ SB mà SB ⊂ (SA’C ) ⇒ B’ ∈ (SA’C) A' α B’ ∈ A’C mà A’C ⊂ (α) ⇒ B’ ∈ (α) Vậy : B’= SB ∩ (α) 5. Cho bốn điểm A, B , C, S không cùng ở trong một mặt phẳng . Gọi I, H lần lượt là trung điểm của SA, AB .Trên SC lấy điểm K sao cho : CK = 3KS. Tìm giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng ( IHK ) Giải • Chọn mp phụ (ABC) ⊃ BC • Tìm giao tuyến của ( ABC ) và (IHK) Trong (SAC) ,có IK không song song với AC Gọi E’ = AC ∩ IK S K ⇒ ( ABC ) ∩ ( IHK) = HE’ I • Trong (ABC ), gọi E = BC ∩ HE’ E ∈ BC mà BC ⊂ ( ABC) ⇒ E ∈ ( ABC) A C E ∈ HE’ mà HE’ ⊂ ( IHK) ⇒ E ∈ ( IHK) E' H E B Trang 6
7. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Vậy: E = BC ∩ ( IHK) 6. Cho tứ diện SABC .Gọi D là điểm trên SA , E là điểm trên SB và F là điểm trên AC ( DE và AB không song song ) . a. Xđ giao tuyến của hai mp (DEF) và ( ABC ) b. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng ( DEF ) c. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng ( DEF ) K S D C A F E B N M Giải a. Xđ giao tuyến của hai mp (DEF) và ( ABC ) Ta có : F là điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) Trong (SAB) , AB không song song với DE Gọi M = AB ∩ DE • M ∈ AB mà AB ⊂ (ABC) ⇒ M ∈ (ABC) • M ∈ DE mà DE ⊂ (DEF) ⇒ M ∈ (DEF) ⇒ M là điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) Vậy: FM là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) b. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng ( DEF ) • Chọn mp phụ (ABC) ⊃ BC • Tìm giao tuyến của ( ABC ) và (DEF) Ta có (ABC) ∩ (DEF) = FM hình 1 • Trong (ABC), gọi N = FM ∩ BC N∈ BC S N ∈ FM mà FM ⊂ (DEF) ⇒ N ∈ (DEF) Vậy: N = BC ∩ (DEF) c. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng ( DEF ) D F C • Chọn mp phụ (SBC) ⊃ SC K • Tìm giao tuyến của ( SBC ) và (DEF) A Ta có: E là điểm chung của ( SBC ) và (DEF) N ο N ∈ BC mà BC ⊂ (SBC) ⇒ N ∈ (SBC) E ο N ∈ FM mà FM ⊂ (DEF) ⇒ N ∈ (DEF) ⇒ N là điểm chung của ( SBC ) và (DEF) B Ta có (SBC) ∩ (DEF) = EN M Trang 7
8. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 • Trong (SBC), gọi K = EN ∩ SC K∈ SC K ∈ EN mà EN ⊂ (DEF) ⇒ K ∈ (DEF) hình 2 Vậy: K = SC ∩ (DEF) 7. Cho hình chóp S.ABCD .Gọi O là giao điểm của AC và BD . M, N, P lần lượt là các điểm trên SA, SB ,SD. a. Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng ( MNP ) b. Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng ( MNP ) Giải a. Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng ( MNP ) • Chọn mp phụ (SBD) ⊃ SO • Tìm giao tuyến của ( SBD ) và (MNP) Ta có N ∈ MN mà MN ⊂ (MNP) ⇒ N ∈ (MNP) N ∈ SB mà SB ⊂ (SBD) ⇒ N ∈ (SBD) ⇒ N là điểm chung của ( SBD ) và (MNP) P ∈ MP mà MN ⊂ (MNP) ⇒ P ∈ (MNP) P ∈ SD mà SD ⊂ (SBD) ⇒ P ∈ (SBD) S ⇒ P là điểm chung của ( SBD ) và (MNP) ⇒ (MNP) ∩ (SBD) = NP • Trong (SBD), gọi I = SO ∩ NP M P ∈ Q I SO I I ∈ NP mà NP ⊂ (MNP) ⇒ I ∈ (MNP) N D Vậy: I = SO ∩ (MNP) A b. Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng ( MNP ) • Chọn mp phụ (SAC) ⊃ SC O C • Tìm giao tuyến của ( SAC ) và (MNP) Ta có M ∈ MN mà MN ⊂ (MNP) ⇒ M ∈ (MNP) M ∈ SA mà SA ⊂ (SAC) ⇒ M ∈ (SAC) B ⇒ M là điểm chung của ( SAC ) và (MNP) I ∈ MI mà MI ⊂ (MNP) ⇒ I ∈ (MNP) I ∈ SO mà SO ⊂ (SAC) ⇒ I ∈ (SAC) ⇒ I là điểm chung của ( SAC ) và (MNP) ⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = MI A • Trong (SAC), gọi Q = SC ∩ MI J Q∈ SC Q∈ MI mà MI ⊂ (MNP) ⇒ Q ∈ (MNP) Vậy: Q = SC ∩ (MNP) 8. Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N lần lượt là M D trung điểm AC và BC . K là điểm trên BD và K không trùng với trung điểm BD . B a. Tìm giao điểm của CD và (MNK ) b. Tìm giao điểm của AD và (MNK ) N Giải C a. Tìm giao điểm của CD và (MNK ) : I Trang 8
9. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 • Chọn mp phụ (BCD) ⊃ SC • Tìm giao tuyến của ( BCD ) và (MNK) Ta có N ∈ (MNK) N ∈ BC mà BC ⊂ (BCD) ⇒ N ∈ (BCD) ⇒ N là điểm chung của (BCD ) và (MNK) K ∈ (MNK) K ∈ BD mà BD ⊂ (BCD) ⇒ K ∈ (BCD) ⇒ K là điểm chung của (BCD ) và (MNK) ⇒ (BCD) ∩ (MNK) = NK • Trong (BCD), gọi I = CD ∩ NK I∈ CD I∈ NK mà NK ⊂ (MNK) ⇒ I ∈ (MNK) Vậy: I = CD ∩ (MNK) b. Tìm giao điểm của AD và (MNK ) • Chọn mp phụ (ACD) ⊃ AD • Tìm giao tuyến của (ACD ) và (MNK) Ta có: M ∈ (MNK) M ∈ AC mà AC ⊂ (ACD) ⇒ M ∈ (ACD) ⇒ M là điểm chung của (ACD ) và (MNK) I∈ NK mà NK ⊂ (MNK) ⇒ I ∈ (MNK) I ∈ CD mà CD ⊂ (ACD) ⇒ I ∈ (ACD) ⇒ I là điểm chung của (ACD ) và (MNK) ⇒ (ACD) ∩ (MNK) = MI • Trong (BCD), gọi J = AD ∩ MI J∈ AD J∈ MI mà MI ⊂ (MNK) ⇒ J ∈ (MNK) Vậy: J = AD ∩ (MNK) 9. Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N là hai điểm trên AC và AD . O là điểm bên trong tamgiác BCD. Tìm giao điểm của : a. MN và (ABO ) A b. AO và (BMN ) Giải a. Tìm giao điểm của MN và (ABO ): M • Chọn mp phụ (ACD) ⊃ MN • Tìm giao tuyến của (ACD ) và (ABO) Q Ta có : A là điểm chung của (ACD ) và (ABO) I Trong (BCD), gọi P = BO ∩ DC N P∈ BO mà BO ⊂ (ABO) ⇒ P ∈ (ABO) B C P∈ CD mà CD ⊂ (ACD) ⇒ P ∈ (ACD) ⇒ P là điểm chung của (ACD ) và (ABO) O ⇒ ∩ (ACD) (ABO) = AP P • Trong (ACD), gọi Q = AP ∩ MN Q∈ MN D Q∈ AP mà AP ⊂ (ABO) ⇒ Q ∈ (ABO) Trang 9
10. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Vậy: Q = MN ∩ (ABO) b. Tìm giao điểm của AO và (BMN ) : • Chọn mp (ABP) ⊃ AO • Tìm giao tuyến của (ABP ) và (BMN) Ta có : B là điểm chung của (ABP ) và (BMN) Q ∈ MN mà MN ⊂ (BMN) ⇒ Q ∈ (BMN) Q ∈ AP mà AP ⊂ (ABP) ⇒ Q ∈ (ABP) ⇒ Q là điểm chung của (ABP ) và (BMN) ⇒ (ABP) ∩ (BMN) = BQ • Trong (ABP), gọi I = BQ ∩ AO I∈ AO I∈ BQ mà BQ ⊂ (BMN) ⇒ I ∈ (BMN) Vậy: I = AO ∩ (BMN) 10. Trong mp (α) cho hình thang ABCD , đáy lớn AB . Gọi I ,J, K lần lượt là các điểm trên SA, AB, BC ( K không là trung điểm BC) . Tìm giao điểm của : a. IK và (SBD) b. SD và (IJK ) c. SC và (IJK ) Giải a. Tìm giao điểm của IK và (SBD) S • Chọn mp phụ (SAK) ⊃ IK I • Tìm giao tuyến của (SAK ) và (SBD) N Ta có : S là điểm chung của (SAK ) và (SBD) Trong (ABCD), gọi P = AK ∩ BD Q ∈ ⊂ ⇒ ∈ A P AK mà AK (SAK) P (SAK) J B P ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ P ∈ (SBD) M ⇒ P là điểm chung của (SAK ) và (SBD) P K ⇒ (SAK) ∩ (SBD) = SP D • Trong (SAK), gọi Q = IK ∩ SP C F Q ∈ IK Q ∈ SP mà SP ⊂ (SBD) ⇒ Q ∈ (SBD) Vậy: Q = IK ∩ (SBD) b. Tìm giao điểm của SD và (IJK ) : • Chọn mp phụ (SBD) ⊃ SD • Tìm giao tuyến của (SBD ) và (IJK) Ta có : Q là điểm chung của (IJK ) và (SBD) Trong (ABCD), gọi M = JK ∩ BD M ∈ JK mà JK ⊂ ( IJK) ⇒ M ∈ (IJK) M ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ M ∈ (SBD) ⇒ M là điểm chung của (IJK ) và (SBD) ⇒ (IJK) ∩ (SBD) = QM • Trong (SBD), gọi N = QM ∩ SD N ∈ SD N ∈ QM mà QM ⊂ (IJK) ⇒ N ∈ (IJK) Trang 10
11. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Vậy: N = SD ∩ (IJK) c. Tìm giao điểm của SC và (IJK ) : • Chọn mp phụ (SAC) ⊃ SC • Tìm giao tuyến của (SAC ) và (IJK) Ta có : I là điểm chung của (IJK ) và (SAC) Trong (ABCD), gọi E = AC ∩ JK E ∈ JK mà JK ⊂ ( IJK) ⇒ E ∈ ( IJK) E ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ E ∈ (SAC) ⇒ E là điểm chung của (IJK ) và (SAC) ⇒ ( IJK) ∩ (SAC) = IE • Trong (SAC), gọi F = IE ∩ SC F ∈ SC F ∈ IE mà IE ⊂ ( IJK) ⇒ F ∈ ( IJK) ∩ Vậy : F = SC ( IJK ) A 11.Cho tứ diện ABCD . Trên AC và AD lấy hai điểm M,N sao cho MN không song song với CD. Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD. N a. Tìm giao tuyến của (OMN ) và (BCD ) b. Tìm giao điểm của BC với (OMN) c. Tìm giao điểm của BD với (OMN) B Q Giải D O a. Tìm giao tuyến của (OMN ) và (BCD ): M Ta có : O là điểm chung của (OMN ) và (BCD ) P Trong (ACD) , MN không song song CD Gọi I = MN ∩ CD ⇒ I là điểm chung của (OMN ) và (BCD ) C Vậy : OI = (OMN ) ∩ (BCD ) b. Tìm giao điểm của BC với (OMN): I Trong (BCD), gọi P = BC ∩ OI Vậy : P = BC ∩ ( OMN ) c. Tìm giao điểm của BD với (OMN): Trong (BCD), gọi Q = BD ∩ OI Vậy : Q = BD ∩ ( OMN ) S 12.Cho hình chóp S.ABCD . Trong tam giác SBC lấy điểm M trong tam giác SCD lấy điểm N a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) N b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) Giải E D a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) : O • Chọn mp phụ (SMN) ⊃ MN • Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SMN) A Ta có : S là điểm chung của (SAC ) và (SMN) M Trong (SBC), gọi M’ = SM ∩ BC N' B I Trang 11 M' C
12. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Trong (SCD), gọi N’ = SN ∩ CD Trong (ABCD), gọi I = M’N’ ∩ AC I ∈ M’N’ mà M’N’ ⊂ (SMN) ⇒ I ∈ ( SMN) I ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ I ∈ (SAC) ⇒ I là điểm chung của (SMN ) và (SAC) ⇒ ( SMN) ∩ (SAC) = SI • Trong (SMN), gọi O = MN ∩ SI O ∈ MN O ∈ SI mà SI ⊂ ( SAC) ⇒ O ∈ ( SAC) Vậy : O = MN ∩ ( SAC ) b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) : • Chọn mp phụ (SAC) ⊃ SC • Tìm giao tuyến của (SAC ) và (AMN) Ta có : ( SAC) ∩ (AMN) = AO • Trong (SAC), gọi E = AO ∩ SC E ∈ SC E ∈ AO mà AO ⊂ ( AMN) ⇒ E ∈ ( AMN) Vậy : E = SC ∩ ( AMN ) Dạng 3 : Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp : • Chứng minh ba điểm đó cùng thuộc hai mp phân biệt • Khi đó ba điểm thuộc đường thẳng giao tuyến của hai mp Bài tập : 1. Cho hình bình hành ABCD . S là điểm không thuộc (ABCD)S ,M và N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và SC . a. Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD) N b. Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD) c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng I D Giải C a. Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD ) J • Chọn mp phụ (SAC) ⊃ AN S O • Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SBD) A E ⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SO M B • Trong (SAC), gọi I = AN ∩ SO I ∈ AN ∈ ⊂ ⇒ ∈ I SO mà SO ( SBD) I ( SBD) I N Vậy: I = AN ∩ ( SBD) A J D ∩ b. Xác định giao điểm J = MN (SBD) M • ⊃ Chọn mp phụ (SMC) MN O • Tìm giao tuyến của (SMC ) và (SBD) B E C S là điểm chung của (SMC ) và (SBD) Trong (ABCD) , gọi E = MC ∩ BD Trang 12
13. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 ⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SE • Trong (SMC), gọi J = MN ∩ SE J∈ MN J∈ SE mà SE ⊂ ( SBD) ⇒ J ∈ ( SBD) Vậy J = MN ∩ ( SBD) c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng Ta có : B là điểm chung của (ANB) và ( SBD) • I ∈ SO mà SO ⊂ ( SBD) ⇒ I ∈ ( SBD) • I ∈ AN mà AN ⊂ (ANB) ⇒ I ∈ (ANB) ⇒ I là điểm chung của (ANB) và ( SBD) • J ∈ SE mà SE ⊂ ( SBD) ⇒ J∈ ( SBD) • J ∈ MN mà MN ⊂ (ANB) ⇒ J ∈ (ANB) ⇒ J là điểm chung của (ANB) và ( SBD) Vậy : B , I , J thẳng hàng 2. Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi I , J là hai điểm trên AD và SB , AD cắt BC tại O và OJ cắt SC tại M . a. Tìm giao điểm K = IJ ∩ (SAC) b. Xác định giao điểm L = DJ ∩ (SAC) c. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng Giải a. Tìm giao điểm K = IJ ∩ (SAC) • Chọn mp phụ (SIB) ⊃ IJ • Tìm giao tuyến của (SIB ) và (SAC) S là điểm chung của (SIB ) và (SAC) Trong (ABCD) , gọi E = AC ∩ BI ⇒ (SIB) ∩ ( SAC) = SE S J M L K B A I E F C D O • Trong (SIB), gọi K = IJ ∩ SE K∈ IJ K∈ SE mà SE ⊂ (SAC ) ⇒ K ∈ (SAC) Vậy: K = IJ ∩ ( SAC) b. Xác định giao điểm L = DJ ∩ (SAC) • Chọn mp phụ (SBD) ⊃ DJ Trang 13
14. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 • Tìm giao tuyến của (SBD ) và (SAC) S là điểm chung của (SBD ) và (SAC) Trong (ABCD) , gọi F = AC ∩ BD ⇒ (SBD) ∩ ( SAC) = SF • Trong (SBD), gọi L = DJ ∩ SF L∈ DJ L∈ SF mà SF ⊂ (SAC ) ⇒ L ∈ (SAC) Vậy : L = DJ ∩ ( SAC) c. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng Ta có :A là điểm chung của (SAC) và ( AJO) • K ∈ IJ mà IJ ⊂ (AJO) ⇒ K∈ (AJO) • K ∈ SE mà SE ⊂ (SAC ) ⇒ K ∈ (SAC ) ⇒ K là điểm chung của (SAC) và ( AJO) • L ∈ DJ mà DJ ⊂ (AJO) ⇒ L ∈ (AJO) • L ∈ SF mà SF ⊂ (SAC ) ⇒ L ∈ (SAC ) ⇒ L là điểm chung của (SAC) và ( AJO) • M ∈ JO mà JO ⊂ (AJO) ⇒ M ∈ (AJO) • M ∈ SC mà SC ⊂ (SAC ) ⇒ M ∈ (SAC ) ⇒ M là điểm chung của (SAC) và ( AJO) Vậy : A ,K ,L ,M thẳng hàng 3. Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM không song song với AB, LN không song song với SC. a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC) b. Tìm giao điểm I = BC ∩ ( LMN) và J = SC ∩ ( LMN) c. Chứng minh M , I , J thẳng hàng Giải a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC) S Ta có : N là điểm chung của (LMN) và (ABC) Trong (SAB) , LM không song song với AB Gọi K = AB ∩ LM L K ∈ LM mà LM ⊂ (LMN ) ⇒ K ∈ (LMN ) C N K ∈ AB mà AB ⊂ ( ABC) ⇒ K ∈ ( ABC) b. Tìm giao điểm I = BC ∩ ( LMN) • Chọn mp phụ (ABC) ⊃ BC A M I J • Tìm giao tuyến của (ABC ) và (LMN) ⇒ (ABC) ∩ ( LMN) = NK B • Trong (ABC), gọi I = NK ∩ BC K I∈ BC I∈ NK mà NK ⊂ (LMN ) ⇒ I ∈ (LMN) Vậy : I = BC ∩ ( LMN) Tìm giao điểm J = SC ∩ ( LMN) • Trong (SAC), LN không song song với SC gọi J = LN ∩ SC J∈ SC Trang 14
15. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 J∈ LN mà LN ⊂ (LMN ) ⇒ J ∈ (LMN) Vậy : J = SC ∩ ( LMN) c. Chứng minh M , I , J thẳng hàng Ta có : M , I , J là điểm chung của (LMN) và ( SBC) Vậy : M , I , J thẳng hàng 4. Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi M , N là hai điểm trên BC và SD. a. Tìm giao điểm I = BN ∩ ( SAC) S b. Tìm giao điểm J = MN ∩ ( SAC) c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng N Giải a. Tìm giao điểm I = BN ∩ ( SAC) • Chọn mp phụ (SBD) ⊃ BN I • Tìm giao tuyến của (SBD ) và (SAC) Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD J D ⇒ (SBD) ∩ ( SAC) = SO A • Trong (SBD), gọi I = BN ∩ SO ∈ I BN O I∈ SO mà SO ⊂ (SAC ) ⇒ I ∈ (SAC) K C B Vậy : I = BN ∩ ( SAC) M b. Tìm giao điểm J = MN ∩ ( SAC) : • Chọn mp phụ (SMD) ⊃ MN • Tìm giao tuyến của (SMD ) và (SAC) Trong (ABCD), gọi K = AC ∩ DM ⇒ (SMD) ∩ ( SAC) = SK • Trong (SMD), gọi J = MN ∩ SK J ∈ MN J ∈ SK mà SK ⊂ (SAC ) ⇒ J ∈ (SAC) Vậy : J = MN ∩ ( SAC) c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng : S Ta có : C , I , J là điểm chung của (BCN ) và (SAC) Vậy : C , I , J thẳng hàng Dạng 4 : Tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (α ) : Q Chú ý : Mặt phẳng (α ) có thể chỉ cắt một số mặt của hình chóp P Cách 1 : Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến H I C B Bài tập : R 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O . N Gọi M, N , I là ba điểm lấy trên AD , CD , SO . O Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI) J S D M Giải A ∩ Trong (ABCD), gọi J = BD MN P ∩ K = MN AB K R ∩ H = MN BC F B C Trong (SBD), gọi Q = IJ ∩ SB Q Trong (SAB), gọi R = KQ ∩ SA Trong (SBC), gọi P = QH ∩ SC M A D N Trang 15 E
16. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR 2. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N , P lần lượt là trung điểm lấy trên AB , AD và SC . Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP) Giải Trong (ABCD) , gọi E = MN ∩ DC F = MN ∩ BC Trong (SCD) , gọi Q = EP ∩ SD Trong (SBC) , gọi R = FP ∩ SB Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR 3. Cho tứ diện ABCD . Gọi H,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC . Trên đường thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD . Tìm thiết diện của tứ diện với mp (HKM ). Xét 2 .trường hợp : a. M ở giữa C và D b. M ở ngoài đoạn CD Giải a. M ở giữa C và D : Ta có : HK , KM là đoạn giao tuyến của (HKM) với (ABC) và (BCD) Trong (BCD), gọi L = KM ∩ BD Trong (ABD), gọi N = AD ∩ HL Vậy : thiết diệnA là tứ giác HKMN A M H N H L D D B B L M K K C C b. M ở ngoài đoạn CD: Trong (BCD), gọi L = KM ∩ BD S Vậy : thiết diện là tam giác HKL R Q 4. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểmP Blấy trên F C AD và DC .Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE) Giải A N Trong (SCD), gọi Q = EN ∩ SC M D Trong (SAD), gọi P = EM ∩ SA Trong (ABCD), gọi F = MN ∩ BC E Trong (SBC), gọi R = FQ ∩ SB Vậy : thiết diện là ngũ giác MNQRP Trang 16
17. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Cách 2 :Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ : S Bài tập : M 5. Cho hình chóp S.ABCD .Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và SC . Giả sử AD và BC không A N B song song . J a. Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC) K b. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD D Giải C a. Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC) : Trong (ABCD) , gọi I = AD ∩ BC I Vậy : SI = (SAD) ∩ ( SBC) b. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD Trong (SBC) , gọi J = MN ∩ SI Trong (SAD) , gọi K = SD ∩ AJ Vậy : thiết diện là tứ giác AMNK 6. Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC lấy một điểm M trong tam giác SCD lấy một điểm N. a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC) b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD Giải a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC): • Chọn mp phụ (SMN) ⊃ MN • Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SMN) Ta có : S là điểm chung của (SAC ) và (SMN) Trong (SBC), gọi M’ = SM ∩ BC Trong (SCD), gọi N’ = SN ∩ CD Trong (ABCD), gọi I = M’N’ ∩ AC I ∈ M’N’ mà M’N’ ⊂ (SMN) ⇒ I ∈ ( SMN) I ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ I ∈ (SAC) ⇒ I là điểm chung của (SMN ) và (SAC) ⇒ ( SMN) ∩ (SAC) = SI • Trong (SMN), gọi O = MN ∩ SI S O ∈ MN O ∈ SI mà SI ⊂ ( SAC) ⇒ O ∈ ( SAC) Vậy : O = MN ∩ ( SAC ) Q b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) : • Chọn mp phụ (SAC) ⊃ SC N • Tìm giao tuyến của (SAC ) và (AMN) O E D Ta có : ( SAC) ∩ (AMN) = AO A • Trong (SAC), gọi E = AO ∩ SC M E ∈ SC N' P I C Trang 17 B M'
18. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 E ∈ AO mà AO ⊂ ( AMN) ⇒ E ∈ ( AMN) Vậy : E = SC ∩ ( AMN ) c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD: Trong (SBC), gọi P = EM ∩ SB Trong (SCD), gọi Q = EN ∩ SD Vậy : thiết diện là tứ giác APEQ 7. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’ , C’ là ba điểm lấy trên các cạnh SA, SB, SC . Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’C’) Giải Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD Trong (SAC), gọi O’ = A’C’ ∩ SO Trong (SBD), gọi D’ = B’O’ ∩ SD Có hai trường hợp : • Nếu D’ thuộc cạnh SD thì thiết diện là tứ giác A’B’C’D’ • Nếu D’ thuộc không cạnh SD thì Gọi E = CD ∩ C’D’ ∩ F = AD A’D’ S ⇒ thiết diện là tứ giác A’B’C’EF S A' B' A' D' A O' F D O' A B' C' D B O C' E D' O C C B Trang 18
19. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 §1 .HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Dạng 5 : Chứng minh hai đường thẳng a và b song song : Sử dụng một trong các cách sau : • Chứng minh a và b đồng phẳng và không có điểm chung • Chứng minh a và b phân biệt và cùng song song với đường thẳng thứ ba • Chứng minh a và b đồng phẳng và áp dụng các tính chất của hình học phẳng (cạnh đối của hình bình hành , định lý talet ) • Sử dụng các định lý • Chứng minh bằng phản chứng Bài tập : 1. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD . a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành b. Gọi M là điểm bất kì trên BC . Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD Giải S a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành : 1 Trong tam giác SAB, ta có : A’B’ // AB 2 D' C' 1 Trong tam giác SCD, ta có : C’D’ // CD A' 2 B' Mặt khác AB // CD D C ⇒ A’B’ // C’D’ N M Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hành A b. Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD: B Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ và M là điểm chung của (A’B’M) và (ABCD) Do đó giao tuyến của (A’B’M) và (ABCD) là Mx song song AB và A’B’ Gọi N = Mx ∩ AD Vậy : thiết diện là hình thang A’B’MN 2. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB >CD). S I Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD M N b. Tìm P = SC ∩ (ADN) c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I . Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD . Tứ giác SABI là hình gì ?A B Giải P a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD : Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB Mà AB ∕ ∕ CD ( ABCD là hình thang ) D C Trang 19 E
20. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Vậy : MN ∕ ∕ CD b. Tìm P = SC ∩ (ADN): • Chọn mp phụ (SBC) ⊃ SC • Tìm giao tuyến của (SBC ) và (ADN) Ta có : N là điểm chung của (SBC ) và (ADN) Trong (ABCD), gọi E = AD ∩ AC ⇒ ( SBC) ∩ (ADN ) = NE • Trong (SBC), gọi P = SC ∩ NE Vậy : P = SC ∩ ( ADN ) c. Chứng minh : SI // AB // CD . Tứ giác SABI là hình gì ? SI = (SAB) ∩ (SCD)  AB ⊂ (SAB) Ta có :  ⇒ SI // AB // CD ( theo định lí 2) CD ⊂ (SCD) AB / / CD Xét ∆ ASI , ta có : SI // MN ( vì cùng song song AB) M là trung điểm AB ⇒ SI // 2MN Mà AB // 2.MN Do đó : SI // AB Vậy : tứ giác SABI là hình bình hành 3. Cho tứ diện ABCD .Gọi I ,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. A Chứng minh : IJ ∕ ∕ CD Giải E Gọi E là trung điểm AB I I ∈CE Ta có :  ⇒ IJ và CD đồng phẳng B J C J ∈ DE EI EJ 1 Do đó : = = (tính chất trọng tâm) EC ED 3 Vậy : IJ // CD D 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB). Gọi I, J lần lượt là 2 trung điểm AD và BC , K là điểm trên cạnh SB sao cho SN = SB . 3 S a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK) b. Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD Tìm điều kiện để thiết diện là hình bình hành L K Giải a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK): A B Ta có : AB ∕ ∕ IJ và K là điểm chung của (SAB) và (IJK) Vậy : giao tuyến là đường thẳng Kx song song AB I J b. Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD : C Gọi L = Kx ∩ SA D Thiết diện là hình thang IJKL Do : IJ là đường trung bình của hình thang ABCD Trang 20
21. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 1 ⇒ IJ = (AB + CD) 2 LK SK 2 2 Xét ∆SAB có : = = ⇒ LK = .AB AB SB 3 3 IJKL là hình bình hành ⇔ IJ = KL 1 2 ⇔ (AB + CD) = .AB 2 3 ⇔ AB = 3.CD Vậy : thiết diện IJKL là hình bình hành ⇔ AB = 3.CD 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành S.Gọi M ,NK ,P , Q lần tlượt là các điểm nằm trên các cạnh BC , SC , SD ,AD sao cho MN // BS , NP // CD , MQ // CD P a. Chứng minh : PQ // SA. b. Gọi K = MN ∩ PQ Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi AM di độngN trên cạnh BC. D Giải Q a. Chứng minh : PQ // SA. Xét tam giác SCD : Ta có : NP // CD NP CN B C ⇒ = (1) M DS CS Tương tự : MN // SB CN CM ⇒ = (2) CS CB Tương tự : MQ // CD CM DQ ⇒ = (3) CB DA DP DQ Từ (1) , (2) và (3), suy ra = DS DA Vậy : PQ // SA b. Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC BC // AD  BC ⊂ (SBC) Ta có :  AD ⊂ (SAD) S ∈ (SBC) ∩ (SAD) ⇒ giao tuyến là đường thẳng St qua S cố định song song BC và AD Mà K ∈ (SBC) ∩ (SAD) ⇒ K ∈ St (cố định ) Vậy : K ∈ St cố định khi M di động trên cạnh BC Trang 21
22. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG Dạng 6 : Chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) : d ⊄ α  Phương pháp : Chứng minh d // a ⇒ d //α  a ⊂ α Bài tập : 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Gọi M ,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD . a. Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD) S b. Gọi P là trung điểm cạnh SA . Chứng minh SB và SC đều song song với (MNP) c. Gọi G ,G lần lượt là trọng tâm của ∆ABC và ∆SBC 1 2 Q Chứng minh G1G2 // (SAB) P Giải a. Chứng minh MN // (SBC): A D MN ⊄ (SBC)  Ta có : MN // BC ⇒ MN //(SBC)  M N BC ⊂ (SBC) B C MN ⊄ (SAD)  Tương tự : MN // AD ⇒ MN //(SAD)  AD ⊂ (SAD) b. Chứng minh SB // (MNP): SB ⊄ (MNP)  S Ta có : SB // MP ⇒ SB //(MNP)  MP ⊂ (MNP) Chứng minh SC // (MNP): Q Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD) P Ta có : P là điểm chung của (MNP) và (SAD) D N G2 MN // AD C Do đó giao tuyến là đường thẳng qua P song song MN cắt SD tại Q ⇒ ∩ PQ = (MNP) (SAD) I ∆ Xét SAD , Ta có : PQ // AD G1 P là trung điểm SA A M B Trang 22
23. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 ⇒ Q là trung điểm SD Xét ∆ SCD , Ta có : QN // SC SC ⊄ (MNP)  Ta có : SC // NQ ⇒ SC //(MNP)  NQ ⊂ (MNP) c. Chứng minh G1G2 // (SAB) : IG IG 1 Xét ∆ SAI , ta có : 1 = 2 = IA IS 3 ⇒ G1G2 // SA G G ⊄ (SAB)  1 2 ⇒ Do đó :  G1G 2 // SA G1G 2 //(SAB)  SA ⊂ (SAB) S 2. Cho hình chóp S.ABCD . M,N là hai điểm trên AB, CD . Mặt phẳng (α) qua MN // SA a. Tìm các giao tuyến của (α) với (SAB) và (SAC). b. Xác định thiết diện của hình chóp với (α) P c. Tìm điếu kiện của MN để thiểt diện là hình thang Q Giải D a. Tìm các giao tuyến của (α) với (SAB): A M ∈ (α) ∩ (SAB)  M R N Ta có : α // SA  C SA ⊂ (SAB) B ⇒ (α) ∩ (SAB) = MP với MP // SA α Tìm các giao tuyến của ( ) với (SAC): S Gọi R = MN ∩ AC R ∈ (α) ∩ (SAC)  Ta có : α // SA  SA ⊂ (SAC) P Q ⇒ α ∩ ( ) (SAC) = RQ với RQ // SA A D b. Xác định thiết diện của hình chóp với (α): N Thiết diện là tứ giác MPQN M R c. Tìm điếu kiện của MN để thiểt diện là hình thang: C MP // QN (1) B Ta có : MPQN là hình thang ⇒  MN // PQ (2) SA // MP Xét (1) ,ta có  ⇒ SA// QN MP//QN SA// QN Do đó :  ⇒ SA//(SCD) ( vô lí ) QN ⊂ (SCD) Trang 23
24. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 BC = (ABCD)∩ (SBC)  Xét (2) ,ta có MN ⊂ (ABCD) ⇒ MN // BC  PQ ⊂ (SBC) PQ = α ∩ (SBC)  Ngược lại, nếu MN // BC thì MB ⊂ (α) ⇒ MN // PQ  BC ⊂ (SBC) Vậy để thiết diện là hình thang thì MN // BC. 3. Cho tứ diện ABCD .Trên cạnh AD lẩy trung điểm M , trên cạnh BC lẩy trung điểm N bất kỳ . Gọi (α ) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD . a. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng (α ) với tứ diện ABCD. b. Xác định vị trí của N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành . Giải a. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng (α ) với tứ diện ABCD. (α) // CD A  Ta có : CD ⊂ (ACD) ⇒ MP // CD (1)  M ∈ (α) ∩ (ACD) M (α) // CD P  ⊂ ⇒ B D Tương tự : CD (BCD) NQ // CD (2) Q  N ∈ (α) ∩ (BCD) N Từ (1) và (2), ta được : MP // NQ C Vậy: thiết diện là hình thang MPNQ b. Xác định vị trí của N trên BC sao cho thiết diện là hình bình hành . A Ta có : MP // NQ 1 M MP = .CD 2 P MP // NQ MP // NQ  B D MPNQ là hình bình hành ⇔  ⇔  1 Q MP = NQ MP = NQ = CD N  2 C Do đó : N là trung điểm BC . Vậy : N là trung điểm BC thì MPNQ là hình bình hành 4. Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB và S là một điểm ở ngoàiS mặt phẳng của hình thang . Gọi M là một điểm của CD ; (α) là mặt phẳng qua M và song song với SA và BC . a. Hãy tìm thiết diện của mặt phẳng (α ) với hình chóp S.ABCD. Thiết diện là hình gì ? b. Tìm giao tuyến của (α) với mặt phẳng (SAD). t P Giải α A B a. Hãy tìm thiết diện của mặt phẳng ( ) với hình chóp S.ABCD: Q N (α) // BC  ⊂ ⇒ Ta có : BC (ABCD) MN // BC (1) D  M C M ∈ (α) ∩ (ABCD) I Trang 24
25. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 (α) // SA  Tương tự : SA ⊂ (SAB) ⇒ NP // SA  N ∈ (α) ∩ (SAB) (α) // BC  BC ⊂ (SBC) ⇒ PQ // BC (2)  P ∈ (α) ∩ (SBC) Từ (1) và (2) , ta được : MN // PQ Vậy : thiết diện là hình thang MNPQ. b. Tìm giao tuyến của (α) với mặt phẳng (SAD). Trong (ABCD) , gọi I = AD ∩ BC ⇒ I là điểm chung của (α) và (SAD) (α) // SA  Ta có : SA ⊂ (SAD)  I ∈ (α) ∩ (SAD) Vậy : giao tuyến là đường thẳng qua I và song song với SA. 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M là một điểm trên cạnh SC và (α) là mặt phẳng chứa AM và song song với BD. S a. Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F của mặt phẳng (α) lần lượt với các cạnh SB, SD. P b. Gọi I là giao điểm của ME và CB , J là giao điểm của MF và CD. Hãy chứng minh ba điểm I,J, A thẳng hàng . N O Giải B C a. Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F của mặt phẳng (α) lầnQ lượt với các cạnh SB, SD. Giả sử dựng được E, F thỏa bài toán S (α) // BD  M Ta có : BD ⊂ (SBD) ⇒ BD // EF  = α ∩ A EF ( ) (SBD) M Do các điểm E ,F ,A ,M cùng thuộc mặt phẳng (α) α F Trong (α) , gọi K = EF ∩ AM D K • ∈ ⊂ ⇒ ∈ J C K EF mà EF (SBD) K (SBD) E • K ∈ AM mà AM ⊂ (SAC) ⇒ K ∈ (SAC) O ⇒ K ∈ (SAC) ∩ (SBD) A Do (SAC) ∩ (SBD) = SO B ⇒ K ∈ SO Cách dựng E, F : I Dựng giao điểm K của AM và SO , qua K dựng EF // BD b.Chứng minh ba điểm I , J , A thẳng hàng : Trang 25
26. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 I ∈ ME mà ME ⊂ (α) ⇒ I ∈ (α) Ta có :  I ∈ BC mà BC ⊂ (ABCD) ⇒ I ∈ (ABCD) ⇒ I ∈ (α) ∩ (ABCD) A ∈ (α) ∩ (ABCD) Tương tự ,  J ∈ (α) ∩ (ABCD) ⇒ I , J , A là điểm chung của (α) và (ABCD) Vậy : I , J , A thẳng hàng . 6. Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông tại A , Bˆ = 60 0 , AB = a .Gọi O là trung điểm của BC . Lấy điểm S ở ngoài mặt phẳng (α) sao cho SB = a và SB ⊥ OA . Gọi M là mọt điểm trên cạnh AB , mặt phẳng (β) qua M song song với SB và OA , cắt BC ,SC , SA lần lượt tại N , P , Q . Đặt x = BM ( 0 < x < a ) . a. Chứng minh MNPQ là hình thang vuông b. Tính diện tích của hình thang theo a và x . Tính x để diện tích này lớn nhất . Giải a. Chứng minh MNPQ là hình thang vuông : (β ) // OA  Ta có : OA ⊂ (ABC) ⇒ MN // OA (1)  MN = (β ) ∩ (ABC) (β ) // SB  SB ⊂ (SAB) ⇒ MQ // SB (2)  MQ = (β ) ∩ (SAB) (β ) // SB  SB ⊂ (SBC) ⇒ NP // SB (3)  NP = (β ) ∩ (SBC) Từ (2) và (3) ,suy ra MQ // NP // SB (4) ⇒ MNPQ là hình thang OA ⊥ SB  MN ⊥ MQ Từ (1) và (4) , ta có : MN // OA ⇒   MN ⊥ NP MQ // NP // SB Vậy : MNPQ là hình thang vuông , đường cao MN. b. Tính diện tích của hình thang theo a và x . 1 Ta có : S = (MQ + NP).MN MNPQ 2 Tính MN : Xét tam giác ABC AB AB Ta có : cos B = ⇒ BC = BC cos B ⇒ BC = 2a ⇒ BO = a Trang 26
27. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Bˆ = 600 Do  ⇒ ∆ABO đều BA = BO MN BM BN Có MN // AO ⇒ = = AO AB BO ⇒ MN = MB = BN = x Tính MQ : Xét tam giác SAB , ta có : MQ // SB MQ AM SB a ⇒ = ⇒ MQ = AM. = (a − x). = a − x SB AB AB a Tính NP : Xét tam giác SBC , ta có : NP // SB NP CN SB a 2a − x ⇒ = ⇒ NP = CN. = (2a − x). = SB CB CB 2a 2 x(4a − 3x) 1 Do đó : S = = .3x.(4a − 3x) MNPQ 4 12 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương 3x và 4a − 3x 3x + 4a − 3x 3x.( 4a − 3x) ≤ ( ) 2 2 ≤ 4a² 1 a² ⇒ S ≤ .4a² = MNPQ 12 3 2a Đẳng thức xảy ra khi 3x = 4a – 3x ⇔ x = 3 2a Vậy : x = thì S MNPQ đạt giá trị lớn nhất. 3 7. Cho hình vuông cạnh a , tâm O . Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng (ABCD) sao cho SB = SD. Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = x . mặt phẳng (α) qua M song song với SA và BD cắt SO , SB , AB tại N, P , Q . a. Tứ giác MNPQ là hình gì ? b. Cho SA = a . Tính diện tích MNPQ theo a và x . Tính x để diện tích lớn nhất Giải a. Tứ giác MNPQ là hình gì ?: Ta có : SB = SD ⇒ ∆ SBC = ∆ SDC (c-c-c) Gọi I là trung điểm SC Xét ∆ IBC và ∆ IDC S Ta có : IC cạnh chung BC = CD DCI = BCI ⇒ ∆ ∆ N IBC = IDC I ⇒ IB = ID P D ⇒ ∆ IBD cân tại I A ⇒ IO ⊥ BD ⇒ ⊥ Q M Mà OI // SA SA BD (*) O Trang 27 B C
28. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 (α) // BD  Ta có : BD ⊂ (ABO) ⇒ MQ // BD (1)  (α) ∩ (ABO) = MQ (α) // BD  Tương tự : BD ⊂ (SBO) ⇒ NP // BD (2)  (α) ∩ (SBO) = NP Từ (1) và (2) , suy ra MQ // NP // BD (3) (α) // SA  Mặt khác : SA ⊂ (SAO) ⇒ MN // SA (4)  (α) ∩ (SAO) = MN (α) // SA  Tương tự : SA ⊂ (SAB) ⇒ PQ // SA (5)  (α) ∩ (SAB) = PQ Từ (4) và (5) , suy ra MN // PQ // SA (6) Từ (3) , (6) và (*), suy ra MNPQ là hình chữ nhật Vậy : MNPQ là hình chữ nhật b. Tính diện tích MNPQ theo a và x: = Ta có : S MNPQ MQ.MN Tính MQ : Xét tam giác AQM : Αˆ = 450  Ta có : Qˆ = 450 ⇒ ∆AQM cân tại M ⇒ MQ = AM = x  ˆ 0 M = 90 Tính MQ : Xét tam giác SAO : a 2 − x MN OM OM 2 Ta có : MN // SA ⇒ = ⇒ MN = AS. = a. = a − x. 2 AS OA OA a. 2 2 = = − = 1 − ⇒ S MNPQ MQ.MN x.(a x. 2) x. 2(a x. 2) 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương x. 2 và a − x. 2 x. 2 + a − x. 2) x. 2(a − x. 2) ≤ ( ) 2 2 a² ≤ 4 ≤ 1 a² = a² ⇒ = a² ⇒ S MNPQ . S MNPQ 2 4 4. 2 mã 4. 2 a a. 2 Đẳng thức xảy ra khi x. 2 = a − x. 2 ⇔ x = = 2. 2 4 Trang 28
29. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 ⇔ M là trung điểm AO a. 2 Vậy : x = thì S MNPQ đạt giá trị lớn nhất. 4 8. Cho tứ diện ABCD có AB = a , CD = b . Gọi I , J lần lượt là trung điểm AB và CD . Giả sử AB ⊥ CD , mặt phẳng (α) qua M nằm trên đoạnA IJ và song song với AB và CD. a. Tìm giao tuyến của (α) với ( ICD ) và (JAB) . b. Xác định thiết diện của (ABCD) với mặt phẳng (α) Chứng minh thiết diện là hình chữ nhật . G P 1 c. Tính diện tích thiết diện của huình chữ nhật biếtI IM = IJ . F 3 Giải N a. Tìm giao tuyến của (α) với mặt phẳng ( ICD ): M L (α) // CD  B Ta có : CD ⊂ (ICD) H D  ∈ α ∩ Q M ( ) (ICD) E ⇒ giao tuyến là đt qua M và song song J với CD cắt IC tại L và ID tại N (α) // AB  C Tương tự : AB ⊂ (JAB)  M ∈ (α) ∩ (JAB) ⇒ giao tuyến là đt qua M và song song với AB cắt JA tại P và JB tại Q b. Xác định thiết diện của (ABCD) với mặt phẳng (α): (α) // AB  Ta có : AB ⊂ (ABC)  L ∈ (α) ∩ (ABC) ⇒ EF // AB (1) (α) // AB  Tương tự : AB ⊂ (ABD)  N ∈ (α) ∩ (ABD) ⇒ HG // AB (2) Từ (1) và (2) , suy ra EF // HG // AB (3) (α) // CD  Ta có : CD ⊂ (ACD)  P ∈ (α) ∩ (ACD) ⇒ FG // CD (4) (α) // CD  Tương tự : CD ⊂ (BCD)  Q ∈ (α) ∩ (BCD) ⇒ EH // CD (5) Từ (4) và (5) , suy ra FG // EH // CD (6) Trang 29
30. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Từ (3) và (6) , suy ra EFGH là hình bình hành Mà AB ⊥ CD (*) Từ (3) , (6) và (*), suy ra EFGH là hình chữ nhật 1 c. Tính diện tích thiết diện của huình chữ nhật biết IM = IJ : 3 = = Ta có : S EFGH EF.FG PQ.LN Tính LN : Xét tam giác ICD : LN IN Ta có : LN // CD ⇒ = (7) CD ID Xét tam giác IJD : IN IM Ta có : MN // JD ⇒ = (8) ID IJ LN IM 1 CD b Từ (7) và (8), suy ra = = ⇒ LN = = CD IJ 3 3 3 PQ JM 2 2 2 Tương tự : = = ⇒ PQ = .AB = .a AB JI 3 3 3 2ab Vậy : S = EFGH 9 HAI MẶT THẲNG SONG SONG α a M Dạng 7 :Chứng minh (α) // (β) : Sử dụng các cách sau : b a ⊂ (α),b ⊂ (α)  β – a ∩ b = M ⇒ (α) //(β )  a //(β ),b //(β ) hình 1 a ⊂ (α),b ⊂ (α) α a  M a ∩ b = M b  ⊂ β ⊂ β ⇒ α β – c ( ),d ( ) ( ) //( ) c N  ∩ = d c d N β a // c,b // d hình 2 α (α) //(γ ) –  ⇒ (α) //(β ) (β ) //(γ ) β γ hình 3 Bài tập : 1.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA ,SD Trang 30
31. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 a. Chứng minh rằng : (OMN) // (SBC) b. Gọi P, Q , R lần lượt là trung điểm của AB ,ON, SB. Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) Giải S a. Chứng minh rằng : (OMN) // (SBC): Xét tam giác SAC và SDB : OM // SC R Ta có :  ⇒ (OMN) //(SBC) M ON // SB b. Chứng minh : PQ // (SBC) N A P B OP // AD Ta có :  ⇒ OP // MN AD // MN Q ⇒ M, N, P, O đồng phẳng O ⇒ PQ ⊂ (MNO) D C  PQ ⊂ (MNO) Mà  ⇒ PQ //(SBC) (MNO) // (SBC) Vậy : PQ // (SBC) Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) : MR // AB Ta có :  ⇒ MR // DC (1) AB // DC Xét tam giác SDB : ta có OR // SD (2) MR // DC và OR // SD  Từ (1) và (2) , ta được MR ⊂ (MOR) và OR ⊂ (MOR) ⇒ (MOR) //(SCD)  DC ⊂ (SCD) và SD ⊂ (SCD) 2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và không đồng phẳng . I , J , K lần lượt là trung điểm các cạnh AB , CD, EF. Chứng minh : a. (ADF) // (BCE) b. (DIK) // (JBE) Giải a. (ADF)//(BCE): F K E AD // BC  Ta có : AD ⊄ (BCE) ⇒ AD //(BCE) (1)  BC ⊂ (BCE) A I B AF // BE  Tương tự : AF ⊄ (BCE) ⇒ AF //(BCE) (2)  BE ⊂ (BCE) D J C Từ (1) và (2) , ta được : AD //(BCE)  AF //(BCE) ⇒ (ADF) //(BCE)  AD ⊂ (ADF) và AF ⊂ (ADF) Vậy : (ADF) //(BCE) b. (DIK)//(JBE) : Trang 31
32. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 DI // JB Ta có :  ⇒ (DIK) //(JBE) IK // BE Vậy : (DIK)//(JBE) 3. Cho các hình bình hành ABCD , ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau .Trên các đường chéo AC, BF theo thứ tự lấy các điểm M,N sao cho MC = 2AM , NF = 2BN . Qua M, N lần lượt kẻ các đường thẳng song song với cạnh AB, cắt các cạnh AD, AF theo thứ tự tại M 1 , N 1 . Chứng minh rằng : a. MN // DE b. M 1 N1 //(DEF) c. (MNM 1 N1 ) //(DEF) Giải a. MN // DE : Giả sử EN cắt AB tại I Xét ∆ NIB ∼ ∆ NEF F E IB NB 1 Ta có : = = EF NF 2 IN 1 N ⇒ I là trung điểm AB và = (1) 1 N NE 2 A B Tương tự : Xét ∆ MAI ∼ ∆ MCD M1 I MA MI 1 M Ta có : = = MC MD 2 C IM 1 D ⇒ I là trung điểm AB và = (2) MD 2 IM IN Từ (1) và (2) , suy ra = ⇒ MN // DE MD NE Vậy : MN // DE b. M 1 N1 //(DEF) : AN 1 = IN = 1 Ta có : NN1 // AI ⇒ (3) N1F NE 2 AM 1 = IM = 1 Tương tự : MM 1 // AI ⇒ (4) M 1D MD 2 AN AM 1 = 1 = 1 Từ (3) và (4) , suy ra ⇒ M 1 N1 // DF N1F M 1D 2 M N // DF Ta được :  1 1 ⇒ M N //(DEF) DF ⊂ (DEF) 1 1 Vậy : M 1 N1 //(DEF) c. (MNM 1 N1 ) //(DEF) : MN // DE ⇒ Ta có :  (MNN1M 1 ) //(DEF) M 1 N1 // DF Vậy : (MNM 1 N1 ) //(DEF) Trang 32
33. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 4. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Trên AB lấy một điểm M với AM = x . Gọi (α) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAD) cắt SB , SC , và CD lần lượt tại N, P, Q a. Tìm thiết diện của (α) với mặt phẳng hình chóp . Thiết diện là hình gì ? b. Tìm quĩ tích giao điểm I của MN và PQ khi M di động trên đoạn AB. c. ChoSAD = 1v và SA = a. Tính diện tích của thiết diện theo a và x .Tính x để diện 3a 2 tích = 8 Giải a. Tìm thiết diện của (α) với mặt phẳng hình chóp: (α) // SD  S I S° x Ta có : (α) //(SAD) ⇒ (α) // SA  (α) // AD N • Với (α) // SD (α) // SD  P ⊂ ⇒ Có SD (SAD) PQ // SD A M B  (α) ∩ (SAD) = PQ • Với (α) // SA (α) // SA  D Q C Có SA ⊂ (SAB) ⇒ MN // SA  (α) ∩ (SAB) = MN • Với (α) // AD (α) // AD  Có AD ⊂ (ABCD) ⇒ MQ // AD (1)  (α) ∩ (ABCD) = MQ BC // MQ • Vì  ⇒ (α) // BC BC ⊄ (α) (α) // BC  Có BC ⊂ (SBC) ⇒ PN // BC (2)  (α) ∩ (SBC) = PN Từ (1) và (2) , suy ra : MQ // PN ⇒ MNPQ là hình thang Vậy : MNPQ là hình thang b. Tìm quĩ tích giao điểm I của MN và PQ khi M di động trên đoạn AB.: AB // DC  Ta có : AB ⊂ (SAB), DC ⊂ (SCD) ⇒ Sx // AB // CD  S ∈ (SAB) ∩ (SCD) I ∈ PQ mà PQ ⊂ (SCD) Mà  ⇒ I ∈ (SAB) ∩ (SDC) ⇒ I ∈ Sx I ∈ MN mà MN ⊂ (SAB) Giới hạn quĩ tích : Khi M ≡ A ⇒ I ≡ S ≡ M ≡ B ⇒ I S0 Trang 33
34. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 c. Tính diện tích của thiếtdiện theo a và x : = − = − Ta có : S MNPQ S IMQ S INP S SAD S INP Tính : S SAD Ta có: ∆ SAD vuông cân tại A 1 Do đó : S = .a 2 SAD 2 Tính : S INP Xét tam giác SBC , tam giác SBS 0 và tam giác SAB NI = SN Ta có : NI // S0 B ⇒ (1) S0 B SB PN SN PN // BC ⇒ = (2) BC SB AM SN MN // SA ⇒ = (3) AB SB NI PN AM Từ (1) , (2) và (3) , ta được = = ⇒ NI = PN = AM = x S0 B BC AB ⇒ ∆ INP vuông cân tại N 1 Do đó : S = .x 2 INP 2 1 1 1 ⇒ S = .a 2 − .x 2 = (a 2 − x 2 ) MNPQ 2 2 2 3.a 2 1 3.a 2 Để S = ⇒ (a 2 − x 2 ) = MNPQ 8 2 8 3.a 2 ⇔ x 2 = a 2 − 4 A a 2 ⇔ x 2 = 4 C a D ⇔ x = 2 5. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnhE AB vàG nằm3 trong haiG mặt J phẳng phân M N G1 G2 biệt . Gọi M , N thứ tự là trung điểm của AB , BC và I , J , K theo thứ tự Flà trọng tâm các tam giác I L K D ADF , ADC , BCE . Chứng minh (IJK) // (CDFE) B B N Giải A M Xét tam giác MFC : C MI MJ 1 E Ta có : = = F MF MC 3 ⇒ IJ // FC (1) Xét hình bình hành MNEF : MI NK 1 Ta có : = = MF NE 3 ⇒ IK // FE (2) IJ // FC Từ (1) và (2) , ta được  ⇒ (IJK) //(CEF) IK // FE Trang 34
35. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Vậy : (IJK) //(CEF) 6. Cho tứ diện ABCD . GọiG1 ,G2 ,G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , ACD , ADB a. Chứng minh : (G1G2G3 ) //(BCD) b. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2G3 ) Tính diện tích thiết diện theo diện tích của tam giác BCD là S Giải a. Chứng minh : (G1G2G3 ) //(BCD) Gọi M , N , L lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , CD và BD AG AG AG 2 Ta có : 1 = 2 = 3 = AM AN AL 3 ⇒ G1G2 // MN ;G2G3 // NL ;G3G1 // LM G G // MN  1 2 ⇒ ⇒ G2G3 // NL (G1G2G3 ) //(BCD)  MN ⊂ (BCD) , NL ⊂ (BCD) Vậy : (G1G2G3 ) //(BCD) b. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2G3 ) : BC //(G G G )  1 2 3 ⊂ ⇒ Ta có : BC (BCD) gt qua G1 // BC cắt AB và AC tại E và F  ∈ ∩ G1 (G1G2G3 ) (ABC) Tương tự : (G1G2G3 ) cắt (ACD) theo giao tuyến FG // CD (G1G2G3 ) cắt (ABD) theo giao tuyến GE // BD Xét tam giác AMC và tam giác ABC AG AF 2 Ta có : G F // MC ⇒ 1 = = (1) 1 AM AC 3 EF AF EF // BC ⇒ = (2) BC AC AG EF 2 Từ (1) và (2), ta được 1 = = AM BC 3 2 ⇒ EF = .BC 3 2 Tương tự : FG = .CD 3 2 GE = .BD 3 2 2 2 2 ⇒ EF + FG + GE = .BC + .CD + .GE = (BC + CD + GE) 3 3 3 3 Diện tích thiết diện : 1 S = . (EF + FG + GE).(EF + FG − GE).(EF + GE − FG).(FG + GE − EF). EFG 4 = 1 4 . . (BC + CD + DB).(BC + CD − DB).(BC + DB − CD).(CD + DB − BC) 4 9 Trang 35
36. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 4 = .S 9 BCD = 4 Vậy : S EFG .S BCD 9 A M 7. Cho hai nữa đường thẳng chéo nhau Ax, By .Hai điểm M, N lần lượt di động trên Ax,x By sao cho AM = BN .Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn song Bsong với một mặt phẳng cố định M' x' Giải Kẻ Bx’// Ax . Trên Bx’ lấy điểm M’ sao cho AM = BM’ AM // BM ' z N T a có:  ⇒ ABM’M là hình bình hành t AM = BM ' y ⇒ MM’//AB (1) ⇒ ∆BM’N cân tại B Kẻ Bt là phân giác góc x’By ⇒ M’N ⊥ Bt (2) Trong (x’By) , kẻ Bz ⊥ Bt (3) Từ (2) và (3) , ta được Bz // M’N (4) MM '// AB Từ (1) và (4) ,  ⇒ (MNM ') //(ABz) M ' N // Bz ⇒ MN // (ABz) Vậy : MN // (ABz) cố định 8. Cho tứ diện ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Một mặt phẳng qua IJ cắt các cạnh AD và BC lần lượt tại N và M a. Cho trước điểm M, hãy trình bày cách dựng điểm N. Xét trường hợp đặc biệt khi M là trung A điểm của BC b. Gọi K là giao của MN và IJ .Chứng minh rằng : KM = KN I Giải a. Hãy trình bày cách dựng điểm N : N Điểm N phải nằm trên giao tuyến của (MIJ) và (ACD) , giao Btuyến này qua J D Ta có : J ∈ (MIJ) ∩ (ACD) = ∩ K Gọi E MI AC J E ∈ MI mà MI ∈ (MIJ) ⇒  ⇒ E ∈ (MIJ) ∩ (ACD) M E ∈ AC mà AC ∈ (ACD) C ⇒ EJ = (MIJ) ∩ (ACD) = ∩ Gọi N EJ AD E Trường hợp M là trung điểm BC: Nếu M là trung điểm BC ⇒ IM // AC ⇒ (IMJ ) // AC ⇒ (IMJ ) cắt (ACD) theo giao tuyến JN // AC b. Chứng minh rằng : KM = KN. Trang 36
37. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Do I , J lần lượt là trung điểm AB ,CD ⇒ có thể dựng ba mặt phẳng chứa ba đường thẳng lần lượt song song nhau Áp dụng định lí Talet trong không gian MK BI Ta được : = = 1 ⇒ MK = KN KN IA Vậy : MK = KN HÌNH LĂNG TRỤ − HÌNH HỘP Bài tập : 1.Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ và các điểm M , N lần lượt thuộc các cạnh AB , DD’ ( M, N không trùng với các đầu mút A,B ,D ,D’ của các cạnh ). Hãy xác định thiết diện của hình hộp bị cắt bởi : a. Mặt phẳng (MNB) & Các thiết diện là hình g ì ? b. Mặt phẳng (MNC) & Các thiết diện là hình g ì ? A D c. Mặt phẳng (MNC’) Giải M N B C a. Xác định thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng (MNB) : A' L Ta có : (MNB) ∩ (AA’B’B)= MB=BA D' (MNB) ∩ (AA’D’D) = AN (MNB) ∩ (DD’C’C) = NL B' C' (trong đó L = x ∩ CC’, L ∈ x // DC , x đi qua N ) (MNB) ∩ (BB’C’C) = LB ⇒ thiết diện là tứ giác ABLN m ặt kh ác NL //= DC DC //= AB ⇒ NL //= AB nên thiết diện ABLN l à h ình b ình h ành. b. Xác định thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng (MNC) : T ư ơng T ự Ta có : (MNC) ∩ (BB’C’C)= BC (MNC) ∩ (CC’D’D) = CN (MNC) ∩ (DD’A’A) = NI (trong đó I = y ∩ AA’, I ∈ y // AD , y đi qua N ) (MNC) ∩ (BB’A’A) = IB ⇒ thiết diện là tứ giác BCNI m ặt kh ác NI //= AD AD //= BC ⇒ NI //= BC nên thiết diện BCNI l à h ình b ình h ành. c. Xác định thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng (MNC’) : Trang 37
38. Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Gọi C’N ∩ DC = K Nối KM ∩ AD = P KM ∩ BC = R Kẻ RC’ Cắt BB’ tại Q Ta có : (MNC’) ∩ ( DD’C’C) = C’N (MNC’) ∩ ( DD’A’A) = NP (MNC’) ∩ ( ABCD) = PM (MNC’) ∩ ( AA’B’B) = MQ (MNC’) ∩ ( BB’C’C) = QC’ (MNC’) ∩ ( A’D’C’B’) = C’ ⇒ thiết diện là tứ giác NPMQC’ Trang 38