Đề thi tuyển sinh môn Toán Lớp 10 - Trường THPT Nguyễn Trãi

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh môn Toán Lớp 10 - Trường THPT Nguyễn Trãi

1. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề thi tuyển sinh *Trường THPT Nguyễn Trãi ( Hải Dương 2002- 2003, dành cho các lớp chuyên tự nhiên) Thời gian: 150 phút Bài 1. (3 điểm) Cho biểu thức. x 2 4 x 2 x 2 4 x 2 A = 4 4 1 x 2 x 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên Bài 2.( 3 điểm) 1) Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. x2 -(2m-3)x +1-m = 0 2 2 Tìm các giá trị của m để: x 1 + x 2 +3 x1 .x2 (x1 + x2 ) đạt giá trị lớn nhất 2) Cho a,b là các số hữu tỉ thoả mãn: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003 Chứng minh rằng phương trình: x2 +2x+ab = 0 có hai nghiệm hữu tỉ. Bài 3. ( 3 điểm) BC 1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 1800. Tính tỉ số . AB 2) Cho hình quạt tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính OA,OB vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của OB, phân giác góc AIO cắt OA tại D, qua D kẻ đường thẳng song song với OB cắt cung trong ở C. Tính góc ACD. Bài 4. ( 1 điểm) Chứng minh bất đẳng thức: | a 2 b 2 a 2 c 2 | | b-c| với a, b,c là các số thực bất kì. Nguyễn Hồng Quân 1 Trường THCS Đông Tiến
2. Đề thi môn Toán Sưu tầm *Trường năng khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150’) 2x x 2 1 Bài 1. ( 2 điểm) cho biểu thức: P(x) = 3x 2 4x 1 1) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x) 2) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(-x) < 0 Bài 2. ( 2 điểm) x 2 2(2m 1)x 3m 2 6m 1) cho phương trình: 0 (1) x 2 2 a) Giải phương trình trên khi m = 3 b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn x1 +2 x2 =16 2x 1 1 2) Giải phương trình: 2 1 x 2 2x Bài 3 (2 điểm) 1) Cho x,y là hai số thực thoả mãn x2+4y2 = 1 5 Chứng minh rằng: |x-y| 2 n 2 4 2) Cho phân số : A= n 5 Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn 1 n 2004 sao cho A là phân số chưa tối giản Bài 4( 3 điểm) Cho hai đường tròn (01 ) và (02 ) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đường tròn tiếp xúc với (01 ) tại A, tiếp xúc với (02 ) tại B. Tiếp tuyến của (01 ) tại P cắt (02 ) tại điểm thứ hai D khác P, đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R. Hãy chứng minh rằng: 1)Bốn điểm A, B, Q,R cùng thuộc một đường tròn 2)Tam giác BPR cân 3)Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB. Bài 5. (1 điểm)Cho tam giác ABC có BC < CA< AB. Trên AB lấy D, Trên AC lấy điểm E sao cho DB = BC = CE. Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE Nguyễn Hồng Quân 2 Trường THCS Đông Tiến
3. Đề thi môn Toán Sưu tầm Trường Trần Đại Nghĩa - TP HCM (năm học: 2004- 2005 thời gian: 150 phút ) 2 Câu 1. Cho phương trình x +px +1 = 0 có hai nghiệm phân biệt a1 , a2 và 2 phương trình x +qx +1 = 0 có hai nghiệm phân biệt b1 ,b2 . Chứng minh: (a1 - b1 )( a 2 2 2 - b1 )( a1 + b1 . b2 +b2 ) = q - p Câu 2: cho các số a, b, c, x, y, z thoả mãn x = by +cz y = ax +cz z = ax +by ; với x + y+z 0 1 1 1 Chứng minh: 2 1 a 1 b 1 c Câu 3: a) Tìm x; y thoả mãn 5x2+5y2+8xy+2x-2y+2= 0 b) Cho các số dương x;y;z thoả mãn x3+y3+z3 =1 x 2 y 2 z 2 Chứng minh: 2 1 x 2 1 y 2 1 z 2 Câu 4. Chứng minh rằng không thể có các số nguyên x,y thoả mãn phương trình: x3-y3 = 1993. Nguyễn Hồng Quân 3 Trường THCS Đông Tiến
4. Đề thi môn Toán Sưu tầm Chuyên Lê Quý Đôn _ tỉnh Bình Định (năm học 2005-2006, môn chung, thời gian:150’) Câu 1(1đ): 1 1 1 1 tính giá trị biểu thức A= với a= và b= a 1 b 1 2 3 2 3 Câu 2(1.5đ): Giải pt: x 2 4x 4 x 8 Câu 3(3đ): Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P) và hai điểm A,B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2. a) Viết phương trình đường thẳng AB. b) Vẽ đồ thị (P) và tìm toạ độ của điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho tam giác MAB có diện tích max. Câu4(3,5đ): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Phân giác trong của góc A cắt đường tròn (O) tại M. Kẻ đường cao Ak của tam giác.Chứng minh: a) đường thẳng OM đi qu trung điểm N của BC. b) các góc KAM và MAO bằng nhau. c) AH=2NO. Câu 5 (1đ): tính tổng: S= 1.2 +2.3 + 3.4 + +n(n+1). Nguyễn Hồng Quân 4 Trường THCS Đông Tiến
5. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề thi học sinh giỏi quận tân phú TP.HCM năm học 2003-2004 Đề thi toán 6 (thời gian 90 phút) Bài 1. (5,5 điểm) 5 1) Cho biểu thức. A = n 2 a) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số b) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là số nguyên 2) Tìm x biết: a) x chia hết cho 12; x chia hết cho 25; x chia hết cho 30; 0 x 500 b) (3x - 24)73 =2.74 c)|x-5| =16+2(-3) 3) Bạn Đức đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 đến 145. Hỏi bạn Đức đã sử dụng bao nhiêu chữ số? Trong những chữ số đã sử dụng thì có bao nhiêu chữ số 0? Bài 2. ( 2 điểm) Cho đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho AM = BN. So sánh độ dài các đoạn thẳng BM và AN. Bài 3( 2,5 điểm) Cho góc XOY = 1000. Vẽ tia phân giác Oz của góc XOY; Vẽ tia Ot nằm trong góc XOY sao cho YOT = 250 1) Chứng tỏ tia OT nằm giữa hai tia OZ và OY 2) Tính số đo góc ZOT 3) Chứng tỏ rằng OT là tia phân giác của góc ZOY Nguyễn Hồng Quân 5 Trường THCS Đông Tiến
6. Đề thi môn Toán Sưu tầm Môn toán 7 (thời gian làm bài 90 phút) Bài 1. ( 3 điểm) a) Tính 1 1 1 2 2 2 2003 2004 2005 2002 2003 2004 5 5 5 3 3 3 2003 2004 2005 2002 2003 2004 b) Biết . 13+ 23+ +103 = 3025. Tính S = 23+43+63+ .+203 x 3 3x 2 0,25xy 2 4 2 c) Cho A = x y Tính giá trị của A biết x = 1/2, y là số nguyên âm lớn nhất Bài 2. (1 điểm) Tìm x biết : 3x+3x+1+3x+2 = 117 Bài 3. ( 1 điểm) Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian thỏ đi trên đồng cỏ bằng nửa thời gian đi trên đầm lầy. Hỏi vận tốc của thỏ chạy trên đoạn đường qua đầm lầy hay vận tốc của thỏ chạy trên đoạn đường qua đồng cỏ lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần? Bài 4.( 2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của DC và BE. Chứng minh rằng: a) ABE ADC b) Góc BMC = 1200 Bài 5. ( 3 điểm) Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm . a) Tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh điều đó. b) Trên tia HC, lấy HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. Chứng minh rằng AE = AB Nguyễn Hồng Quân 6 Trường THCS Đông Tiến
7. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề thi học sinh giỏi thĩ xã Hà Đông ( 2003-2004) Toán 7 (120’) Bài 1( 4 điểm) Cho các đa thức: f(x) = 2x5 - 4x3 +x2 -2x +2 g(x) = x5 - 2x4 +x2 - 5x +3 3 h(x) = x4 +4x3 +3x2 -8x + 4 16 a)Tính M(x) = f(x) -2 g(x) + h(x) b) Tính giá trị của M(x) khi x = 0,25 c) Có giá trị nào của x để M(x) = 0? Bài 2. (4 điểm) a) Tìm 3 số a,b,c biết: 3a=2b,5b=7c, và 3a +5c-7b=60 b) Tìm x biết |2x-3|-x=|2-x| Bài 3. (4) Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức 2 a)P = có giá trị lớn nhất 6 m 8 n b) Q có giá trị nguyên nhỏ nhất n 3 Bài 4.(5) Cho tam giác ABC có AB<AC,AB=c,AC=b. Qua M là trung điểm của BC người ta kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A đường này cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D,E a) Chứng minh BD=CE b) Tính AD và BD theo b,c Bài 5. (3) Cho tam giác ABC cân tại A, góc A= 1000.D là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABC sao cho góc DBC =100, góc DCB =200. Tính góc ADB? Nguyễn Hồng Quân 7 Trường THCS Đông Tiến
8. Đề thi môn Toán Sưu tầm Toán 8 (150’) x 2 2 2 4x 3x 1 x 2 Bài 1(5) Cho A 3 : 3x x 1 x 1 3x a) Rút gọn A b) Tìm A để x= 6013 c) Tìm x để A <0 d) Tìm x để A nguyên Bài 2.(3) Cho A=(x+y+z)3 -x3-y3-z3 a) Rút gọn A b) Chứng minh A chia hết cho 6 với mọi x,y,z nguyên Bài 3.( 4) Sau một loạt bắn đạn thật của 3 chiến sĩ Hùng, Dũng, Cường ( mỗi người bắn một viên), người báo bia cho biết có ba điểm khác nhau là 8,9,10 và thông báo: a) Hùng đạt điểm 10 b) Dũng không đạt điểm 10 c) Cường không đạt điểm 9 Đồng thời cho biết trong 3 thông báo trên chỉ có một thông báo là đúng, hãy cho biết kết quả điểm bắn của mỗi người. Bài 4(5) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB= c,AC=b. Lần lượt dựng trên AB, AC bên ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD tại D, ACE tại E. a) Chứng minh rằng các điểm E, A, D thẳng hàng b) Gọi trung điểm của BC là I, chứng minh tam giác DIE vuông c) Tính diện tích tứ giác BDEC d) Đường thẳng EDcắt đường thẳng CB tại K. Tính các tỉ số sau theo b,c Bài 5(3) Cho tứ giác ABCD,M là một điểm trên CD( khác C, D) Chứng minh rằng MA + MB < Max {CA+CB; DA+DB}( Là giá trị lớn nhất trong 2 giá trị CA+CB;DA+DB) Nguyễn Hồng Quân 8 Trường THCS Đông Tiến
9. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề thi học sinh giỏi quận hoàn kiếm (2003-2004) Toán 7 (120’) Bài 1( 4) Giải phương trình 315 x 313 x 311 x 309 x 4 0 101 103 105 107 Bài 2(4) Cho các số nguyên dương x,y,z . Chứng minh rằng: x y z 1 2 x y y z z x Bài 3(4) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình (2a+5b+1)(2|a|+a2+a+b)=105 Bài 4(3) Ba bạn A,B,C chơi một cỗ bài gồm 3 quân. Trên mỗi quân bài có viết một số tự nhiên( các số khác nhau và khác 0). Mỗi người được phát một quân bài và được nhận số kẹo bằng đúng số đã viết trên quân bài ấy. Sau đó các quân bài được thu lại, xáo trộn và phát lại. Sau hơn 2 lần chơi, A nhận được 20 cái kẹo, B nhận được 10 cái kẹo, C nhận được 9 cái kẹo. Hỏi số đã ghi trên mỗi quân bài? Biết số lớn nhất được viết trên các quân bài lớn hơn 9. Bài 5(5) Cho tam giác ABC cân tại A, góc A= góc C= 800 . Từ B và C kẻ các đường thẳng cắt các cạnh tương ứng ở Dvà E sao cho góc CBD = 600 và góc BCE =500 Tính góc BDE Nguyễn Hồng Quân 9 Trường THCS Đông Tiến
10. Đề thi môn Toán Sưu tầm Toán 8( 120 phút) Bài 1(4) Giải phương trình: 1 1 1 1 1 1 x 1.101 2.102 10.110 1.11 2.12 100.110 Bài 2(4) Tìm x để hàm số y= x/(x+2004)2 có giá trị lớn nhất Bài 3( 4) Cho phương trình a 3 5 3a ax 3 x 1 x 2 x 2 x 2 Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm không nhỏ hơn 1? Bài 4(4) Từ điểm O thuộc miền trong của hình thang cân ABCD( AB=CD) nối các đỉnh của hình thang được 4 đoạn thẳng OA,OB,OC,OD. Chứng minh rằng từ 4 đoạn thẳng nhận được, có thể dựng được một tứ giác nội tiếp hình thang này( mỗi đỉnh của tứ giác nằm trên một cạnh của hình thang cân) Bài 5(4) Cho tam giác ABC có AB= c, BC=a,CA=b. Gọi Ib ,Ic theo thứ tự là độ dài cảu các đường phân giác của góc B và góc C. Chứng minh rằng nếu b>c thì Ib <I c Nguyễn Hồng Quân 10 Trường THCS Đông Tiến
11. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề thi vào chuyên 10( Hải Dương) thời gian: 150’ Bài 1(3) Giải phương trình: 1) |x2+2x-3|+|x2-3x+2|=27 1 1 1 2) x(x 2) (x 1) 2 20 Bài 2(1) Cho 3 số thực dương a,b,c và ab>c; a3+b3=c3+1. Chứng minh rằng a+b> c+1 Bài 3(2) Cho a,b,c,x,y là các số thực thoả mãn các đẳng thức sau: x+y=a, x3+y3=b3,x5+y5=c5. Tìm đẳng thức liên hệ giữa a,b,c không phụ thuộc x,y. Bài 4(1,5) Chứng minh rằng phương trình (n+1)x2+2x-n(n+2)(n+3)=0 có nghiệm là số hữu tỉ với mọi số nguyên n Bài 5(2,5) Cho đường tròn tâm O và dây AB( AB không đi qua O). M là điểm trên đường tròn sao cho tam giác AMB là tam giác nhọn, đường phân giác của góc MAB và góc MBA cắt đường tròn tâm O lần lượt tại P và Q. Gọi I là giao điểm của AP và BQ 1) Chứng minh rằng MI vuông góc với PQ 2) Chứng minh tiếp tuyến chung của đường tròn tâm P tiếp xúc với MB và đường tròn tâm Q tiếp xúc với MA luôn song song với một đường thẳng cố định khi M thay đổi. Nguyễn Hồng Quân 11 Trường THCS Đông Tiến
12. Đề thi môn Toán Sưu tầm *Chuyên tỉnh Bà Địa – Vũng Tàu. (2004-2005) thời gian:150 phút Bài 1: 1/iải phương trình: 5 1 5 x 2x 4 2 x 2x 2/chứng minh không tồn tại các số nguyên x,y,z thoả mãn: x3+y3+z3 =x +y+z+2005 Bài 2: Cho hệ phương trình: x2 +xy = a(y – 1) y2 +xy = a(x-1) 1/ giải hệ khi a= -1 2/ tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất Bài 3: 1/ cho x,y,z là 3 số thực thoả mãn x2+ y2+z2 =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =2xy +yz+ zx. 2/ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4 – 2x3 +2(m+1)x2 –(2m+1)x +m(m+1) =0 Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) , D là một điểm trên cung BC không chứa đỉnh A. Gọi I,K và H lần lượt là hình chiếu cuả D trên các đường thẳng BC,AB,và AC. Đường thẳng qua D song song với BC cắt đường tròn tại N ( N# D); AN cắt BC tại M. Chứng minh: 1/Tam giác DKI đồng dạng với tam giác BAM. BC AB AC 2/ DI DK DH Nguyễn Hồng Quân 12 Trường THCS Đông Tiến
13. Đề thi môn Toán Sưu tầm *Chuyên toán- tin tỉnh Thái Bình (2005-2006,150 phút) Bài 1 (3đ): 1. Giải pt: x 1 3x 2x 1 2. Trong hệ trục toạ độ Oxy hãy tìm trên đường thẳng y= 2x +1 những điểm M(x;y) thoả mãn điều kiện: y2 – 5yx +6x = 0. Bài 2(2,5đ): 1. Cho pt: (m+1)x2 – (m-1)x +m+3 = 0 (m là tham số) tìm tất cả các giá trị của m dể pt có nghiệm đều là những số nguyên. 2. Cho ba số x,y,z . Đặt a= x +y +z, b= xy +yz + zx, c= xyz. Chứng minh các phương trình sau đều có nghiệm: t2 + 2at +3b =0; at2 – 2bt + 3c =0 Bài 3(3đ) Cho tam giác ABC. 1. Gọi M là trung điểm của AC. Cho biết BM = AC. Gọi D là điểm đối xứng của B qua A, E là điểm đối xứng của M qua C. chứng minh: DM vuông góc với BE. 2. Lấy một điểm O bất kỳ nằm trong tam giác ABC. Các tia AO,BO,CO cắt các cạnh BC,CA,AB theo thứ tự tại các điểm D,E,F. chứng minh: OD OE OF a) =1 AD BE CF AD BE CF b) 1 1 1 64 OD OE OF Bài 4(0.75đ) xét các đa thức P(x)= x3+ ax2 +bx +c Q(x)=x2 +x + 2005 Biết phương trình P(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt, còn pt P(Q(x)) =0 vô nghiệm. Chứng minh rằng P(2005)>1/64 Bài 5 (0,75đ) Có hay không 2005 điểm phân biệt trên mặt phẳng mà bất kỳ ba điểm nào trong chúng đều tạo thành một tam giác có góc tù. Nguyễn Hồng Quân 13 Trường THCS Đông Tiến
14. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Hải Dương. (2004-2005) thời gian :150’ Bài 1: (3đ) Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y= (m+2)x2 (*) 1/ tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm: a) A(-1;3), b) B(2 ; -1), c) C(1/2; 5) 2/ thay m=0. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (*) với đồ thị hàm số y= x+1. Bài 2: (3đ) Cho hệ phương trình: (m-1)x + y = m x + (m-1)y =2 gọi nghiệm của hệ phương trình là (x;y). 1/ Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. 2/ Tìm giá trị của m thoả mãn 2x2 -7y =1 2x 3y 3/ Tìm các giá trị của m để biểu thức nhận giá trị nguyên. x y Bài 3 (3đ) Cho tam giác ABC (Aˆ 900 ). Từ B dựng đoạn thẳng BD về phía ngoài tam giác ABC sao cho BC=BD và ABˆC CBˆD ; gọi I là trung điểm của CD; AI cắt BC tại E. Chứng minh: 1.CAˆI DBˆI 2. ABE là tam giác cân. 3. AB.CD = BC.AE Bài 4: (1đ) x 5 4x 3 3x 9 x 1 tính giá trị biểu thức A= với 2 4 2 x x 1 4 x 3x 11 Nguyễn Hồng Quân 14 Trường THCS Đông Tiến
15. Đề thi môn Toán Sưu tầm *Trường Chu Văn An và HN – AMSTERDAM(2005 – 2006) (dành cho chuyên Toán và chuyên Tin; thời gian :150’) Bài 1: (2đ) Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) – abc với a,b,c là các số nguyên. Chứng minh nếu a +b +c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4. Bài 2(2đ) Cho hệ phương trình: (x+y)4 +13 = 6x2y2 + m xy(x2+y2)=m 1. Giaỉ hệ với m= -10. 2. Chứng minh không tồn tại giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất./ Bài 3 (2đ): 1 2 3 Ba số dương x, y,z thoả mãn hệ thức 6 , xét biểu thức P = x + y2+ z3 x y z 1. Chứng minh P x+2y+3z-3 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của P Bài 4 (3đ): Cho tam giác ABC, lấy 3 điểm D,E,F theo thứ tự trên các cạnh BC,CA,AB sao cho AEDF là tứ giác nội tiếp. Trên tia AD lấy điểm P (D nằm giữa A&P) sao cho DA.DP = DB.DC 1. chứng minh tứ giác ABPC nội tiếp và 2 tam giác DEF, PCB đồng dạng. 2 s' EF 2. gọi S và S’ lần lượt là diện tích của hai tam giác ABC & DEF, chứng minh: s 2AD Bài 5(1đ) Cho hình vuông ABCD và 2005 đường thẳng thoả mãn đồng thời hai điều kiện: Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông. Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỷ số diện tích là 0.5 Chứng minh trong 2005 đường thẳng trên có ít nhất 502 đường thẳng đồng quy. Nguyễn Hồng Quân 15 Trường THCS Đông Tiến
16. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề thi HS giỏi TP Hải Phòng (2004-2005) (toán 9 – bảng B – thời gian: 150’) Bài 1 a) Rút gọn biểu thức: x 2y 2 (x y) 2 x 2 y 2 P= . xy x y x y x x b)Giải phương trình: (5 2 6 (5 2 6 10 Bài 2 a) Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phương trình bậc hai: (m-2)x2 -2(m-1)x +m =0. Hãy xác định giá trị của m để số đo đường cao 2 ứng với cạnh huyền của tam gíac là 5 4x 3 b) Tìm Max & Min của biểu thức y= x 2 1 Bài 3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, có góc C=450. Đuờng tròn đường kính AB cắt các cạnh AC & BC lần lượt ở M& N a> chứng minh MN vuông góc với OC b> chứng minh 2 .MN = AB Bài 4: Cho hình thoi ABCD có góc B= 600. Một đường thẳng qua D không cắt hình thoi, nhưng cắt các đường thẳng AB,BC lần lượt tại E&F. Gọi M là giao của AF & CE. Chứng minh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF. Nguyễn Hồng Quân 16 Trường THCS Đông Tiến
17. Đề thi môn Toán Sưu tầm *Trường Chu Văn An & HN – AMSTERDAM ( 2005-2006) (dành cho mọi đối tượng , thời gian: 150’) x x 1 x x 1 x 1 Bài 1(2đ): Cho biểu thức P= x x x x x 1.Rút gọn P 2. Tìm x biết P= 9/2 Bài 2(2đ): Cho bất phương trình: 3(m-1)x +1 > 2m+x (m là tham số). 1. Giải bpt với m= 1- 2 2 2. Tìm m để bpt nhận mọi giá trị x >1 là nghiệm. Bài 3(2đ): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d):2x – y –a2 = 0 và parabol (P):y= ax2 (a là tham số dương). 1. Tìm a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A&B. Chứng minh rằng khi đó A&B nằm bên phải trục tung. 2. Gọi xA&xB là hoành độ của A&B, tìm giá trị Min của biểu thức T= 4 1 x A xB x A xB Bài 4(3đ): Đường tròn tâm O có dây cung AB cố định và I là điểm chính giữa của cung lớn AB. Lấy điểm M bất kỳ trên cung lớn AB, dựng tia Ax vuông góc với đường thẳng MI tại H và cắt tia BM tại C. 1. Chứng minh các tam giác AIB & AMC là tam gíac cân 2. Khi điểm M di động, chứng minh điểm C di chuyển trên một cung tròn cố định. 3. Xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMC đạt Max. Bài 5(1đ): Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC và trung tuyến AM, góc ACB = ,góc AMB =  . Chứng minh rằng: (sin +cos )2= 1+ sin  Nguyễn Hồng Quân 17 Trường THCS Đông Tiến
18. Đề thi môn Toán Sưu tầm Hồ Chí Minh năm học 2004-2005, lớp 7 (thời gian:90’) Bài 1(3đ): Tính: 3 1 1 1 a) 6. 3. 1 1 3 3 3 b) (63+3.62 + 33) :13 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c) 10 90 72 56 42 30 20 12 6 2 Bài 2(3đ): a b c a) Cho và a+b+c #0, a= 2005. Tính b,c. b c a a b c d a c b) Chứng minh rằng từ tỷ lệ thức #1 ta có tỷ lệ thức . a b c d b d Bài 3(4đ): Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ vớ 2;3;4. Ba chiểu cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào? bài 4(3đ): Vẽ đồ thị các hàm số: 2x với x 0 y = x với x<0 Bài 5(3đ): Chứng tỏ rằng: A = 75(42004 + 42003 + +42 +4 +1) +25 là số chia hết cho 100. Bài 6(4đ): Cho tam giác ABC có góc A = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó cắt nhau tại I. Chứng minh ID = IE. Nguyễn Hồng Quân 18 Trường THCS Đông Tiến
19. Đề thi môn Toán Sưu tầm Thi học sinh giỏi TP Hải Phòng (2004-2005) (Toán 9 – bảng A- thời gian:150’) Bài 1: x 2 y 2 x y 2 x 2 y 2 a. Rút gọn biểu thức: P = . xy x y x y 2 x 2 x b. Giải phương trình: 2 2 2 x 2 2 x Bài 2: a. ( đề như ở bảng B) b. Vẽ các đường thẳng x=6, x=42, y=2, y=17 trên cùng một hệ trục toạ độ. Chứng minh rằng trong hình chữ nhật giới hạn bơỉ các đường thẳng trên không có điểm nguyên nào thuộc đường thẳng 3x + 5y = 7. Bài 3: Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC tại E & AB cắt CD tại F, Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn là: EA.ED + FA.FB = EF2. Bài 4: Cho tam giác ABC cân ở A, AB =(2/3).BC, đường cao AE. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC tại F. a. chứng minh rằng BF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECF. b. Gọi M là giao điểm của BF với (O). Chứng minh: BMOC là tứ giác nội tiếp. Nguyễn Hồng Quân 19 Trường THCS Đông Tiến
20. Đề thi môn Toán Sưu tầm Thi học sinh giỏi tỉnh Haỉ Dương (2004-2005) ( lớp 9, thời gian: 150’) Bài 1(3,5đ): 2 1. Gọi x1, x2 la nghiệm của phương trình x + 2004x + 1 = 0 và x3, x4 là nghiệm 2 của phương trình x + 2005 x +1 =0. Tính giá trị của biểu thức: ( x1+x3)(x2+x3)(x1- x4)(x2-x4). 2. Cho a,b,c là các số thực và a2 + b2 < 1. Chứng minh:phương trình (a2+b2-1)x2 - 2(ac + bd -1)x +c2+d2 -1 =0 luôn có nghiệm. Bài 2 (1,5đ): m 1 n 1 Cho hai số tự nhiên m và n thoả mãn là số nguyên. chứng minh rằng: n m ước chung lớn nhất của m và n không lớn hơn m n Bài 3 (3đ): Cho hai đường tròn (O1), (O2) cắt nhau tại A & B. Tiếp tuyến chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (O 1), (O2) tại C & D. Qua A kẻ đường thẳng song song với CD, lần lượt cắt (O 1), (O2) tại M & N. Các đường thẳng BC,BD lần lượt cắt đường thẳng MN tại P & Q; các đưòng thẳng CM, DN cắt nhau tại E. Chứng minh: a Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD. b. Tam giác EPQ là tam giác cân. Bài 4 (2đ): Giải hệ phương trình: x+y = 1 x5 + y5 =11 Nguyễn Hồng Quân 20 Trường THCS Đông Tiến
21. Đề thi môn Toán Sưu tầm Thi học sinh giỏi toán 6 (thời gian 90’) Bài 1(4đ): Tính giá trị biểu thức: a. A= 1 + (-2) + 3 + (-4) + .+2003 +(-2004) + 2005. b. B = 1 -7 + 13 – 19 + 25 – 31 + (B có 2005 số hạng). Bài 2 (4đ): a. chứng minh: C = (2004+20042+20043 + +200410) chia hết cho 2005 Bài 3(4đ): Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 13. Bài4(2đ): Tìm hai số a, b biết hiệu của chúng bằng 7 và BCNN của a và b là 140. Bài 5 (2đ): Tìm x là số nguyên biết: x-5 + x – 5 = 0 Bài 6 (4đ): Cho đoạn thẳng AB = 7cm; điểm C nằm giữa A & B sao cho AC = 2cm; các điểm D,E theo thứ tự là trung điểm của AC và CB. Gọi I là trung diểm của DE. Tính độ dài của DE, CI. Nguyễn Hồng Quân 21 Trường THCS Đông Tiến
22. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề thi học sinh giỏi lớp 9 (năm học 2003-2004) Tỉnh Vĩnh Phúc (150phút) Câu 1: (3đ) Cho hệ pt với tham số a: x 4 y x y x a 1 a. giải hệ pt khi a=-2 b. tìm các giá trị của tham số a để hệ pt có đúng hai nghiệm Câu 2(2đ): a. cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn x=y=z = 1. Tìm giá trị max của biểu thức: A= -z2+z(y+1) +xy b.Cho tứ giác ABCD (cạnh AB,CD có cùng độ dài) nội tiếp đường tròn bán kính 2 1. Chứng minh: nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính r thì r . 2 Câu 3(2đ): Tim tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình: 499(1997n +1) = x2 +x có nghiệm nguyên. Câu 4 (3đ): Cho tam giác ABC vuông tại C. đường tròn (O) đường kính CD cắt AC & BC tại E & F( D là hình chiếu vuông góc của C lên AB). Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng BE với (O), hai đường thẳng AC, MF cắt nhau tạiK, giao điểm của đường thẳng EF và BK là P. a. chứng minh bốn điểm B,M,F,P cùng thuộc một đường tròn. b. giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng. tính số đo góc của tam giác ABC. c. giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng, gọi O là trung điểm của đoạn CD. Chứng minh rằng CM vuông góc với đường thẳng nối tâm đương tròn ngoại tiếp tam giác MEO với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MFP. Nguyễn Hồng Quân 22 Trường THCS Đông Tiến
23. Đề thi môn Toán Sưu tầm Tỉnh Haỉ Dương (150 phút) Bài 1(2.5đ): Giải pt: xy x y a x 2 y 2 x 2 y xy 2 xy 4b 0 với a= 57 3 6 38 6 57 3 6 38 6 b= 17 12 2 3 2 2 3 2 2 Bài 2(2.5đ) Hai phương trình: x2+ (a-1)x +1 =0; x2 + x + c =0 có nghiệm chung, đồng thời hai pt: x2 + x +a -1= 0; x2 +cx +b +1 =0 cũng có nghiệm chung. Tính giá trị biểu thức (2004a)/ (b +c). Bài 3(3đ): Cho hai đường tròn tâm O1, O2 cắt nhau tại A,B. Đường thẳng O1A cắt (O2) tại D, đường thẳng O2A cắt (O1) tại C. Qua A kẻ đường thẳng song song với CD căt (O 1) tại M và (O2) tại N. Chứng minh rằng: 1. Năm điểm B,C,D,O1,O2 nằm trên một đường tròn. 2. BC+BD = MN. Bài 4(2đ) Tìm các số thực x, y thoả mãn x2 +y2 = 3 và x+y là số nguyên. Nguyễn Hồng Quân 23 Trường THCS Đông Tiến
24. Đề thi môn Toán Sưu tầm Tỉnh Bình Thuận (150 phút) Bài 1(6đ): 2 3 5 13 48 1. Chứng minh rằng: A = là số nguyên. 6 2 2. Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho: abc = n2 – 1 cba =(n-2)2 Baì 2(6đ) 1. Giải pt: x3 + 2x2 + 22 x +22 =0 2. Cho Parabol (P): y=(1/4)x2 và đường thẳng (d): y= (1/2)x +2. a) Vẽ (P), (d) trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy. b) Gọi A,B là giao điểm của (P),(d). Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích tam giác MAB max. c) tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA+NB ngắn nhất. Bài 3(8đ): 1. Cho đường tròn tâm O và dây cung BC không đi qua O. Một điểm A chuyển động trên đường tròn (A#B,C). gọi M là trung điểm đoạn AC, H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống đường thẳng AB. Chứng tỏ rằng H nằm trên một đường tròn cố định. 2. Cho 2 đường tròn (O,R) và (O’,R’) (R>R’), cắt nhau tại A,B. Tia OA căt (O) tại D; tia BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tại E. So sánh độ dài các đoạn BC & BE. Nguyễn Hồng Quân 24 Trường THCS Đông Tiến
25. Đề thi môn Toán Sưu tầm * Tỉnh Phú Thọ (150 phút) Bài 1(2đ): a) chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p-1)(p+1) chia hết cho 24 b) tìm nghiệm nguyên dương của pt: xy – 2x – 3y +1= 0 Bài 2(2đ): Cho các số a,b,c khác 0 và đôi một khác nhau, thoả mãn điều kiện a3 + b3 + b c c a a b a b c c3 = 3abc. Tính: a b c b c c a a b Bài 3(2đ) a) tìm a để pt: 3x +2ax = 3a -1 có nghiệm duy nhất. b) cho tam thức bậc hai f(x)=ax2 +bx+ c thoả mãn điều kiện f (x) 1 với mọi x  1;1. Tìm max của biểu thức 4a2 +3b2. Bài 4 (1,5đ) Cho góc xOy và hai điểm A,B lần lượt nằm trên hai tia Ox,Oy thoả mãn OA- OB = m (m là độ dài cho trước). Chứng minh:đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABO và vuông góc với AB luôn đi qua một điểm cố định Bài 5(2.5đ): Cho tam giác nhọn ABC. Gọi ha,hb,hc lần lượt là các đường cao và m a,mb,mc là các đường trung tuyến của các cạnh BC,CA,AB; R&r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp & nội tiếp của tam gíac ABC. Chứng minh rằng m m m R r a b c . ha hb hc r Nguyễn Hồng Quân 25 Trường THCS Đông Tiến
26. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề số 1: Bài 1. cho các số a1,a2,a3 ,a2003. Biết: 3k 2 3k 1 ak = với mọi k = 1,2,3 .2003. k2 k 3 Tính tổng:a1 + a2 + a3+ +a2003 Bài 2. Cho A = 1- 7 +13 -19 +25 -31 + a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A. b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n. Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A, góc BAC = 400, đường cao AH. Các điểm E, F theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho góc EBA = góc FBC = 300. Chứng minh rằng AE = AF. Bài 4. Cho sáu số tự nhiên a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 thoả mãn: 2003 = a1 <a2 <a3 <a4 <a5 <a6 . 1) Nếu tính tổng hai số thực bất kì thì được bao nhiêu tổng? 2) Biết rằng tất cả các tổng trên là khác nhau. Chứng minh a6 2012 Bài 5. Hãy khôi phục lại những chữ số bị xoá( để lại vết tích của mỗi chữ số là một dấu * ) để phép toán đúng. 2 Nguyễn Hồng Quân 26 Trường THCS Đông Tiến
27. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề số 2: Bài 1. Giải hệ phương trình xy 2x y 0 yz 2z 3y 0 xz 3x z 0 Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương a,b sao cho ab = 3(b-a) Bài 3. Cho x2 +y2 =1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = (2-x)(2-y) Bài 4. Cho tam giác cân ABC( AC =AB) với góc ACB = 800. Trong tam giác ABC có điểm M sao cho góc MAB = 100 và góc MBA = 300. Tính góc BMC Bài 5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). AC cắt BD tại I. (O1 ),(O2 ) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABI, CDI. Một đường thẳng bất kì đi qua I cắt (O) tại X và Y và cắt(O1 ),(O2 ) theo thứ tự tại Z, T ( Z và T khác I). Chứng minh rằng XZ = YT Nguyễn Hồng Quân 27 Trường THCS Đông Tiến
28. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề số 3: Bài 1. Cho 3 số chính phương A, B, C. Chứng tỏ rằng ( A- B)(B-C)(C-A) chia hết cho 12 Bài 2. Chứng minh rằng : 1 2 4 3 3 2 1 3 3 3 9 9 9 Bài 3. Cho a b,a c,b c . Chứng minh rằng: b 2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 b c c a a b (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) b c c a a b Bài 4. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, và a+b+c = 9; x,y,z lần lượt là độ dài các phân giác trong của các góc A,B,C. Chứng minh rằng: 1 1 1 >1 x y z Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Chứng minh rằng: HB.HC HC.HA HA.HB 1 AB.AC BC.BA CA.CB Nguyễn Hồng Quân 28 Trường THCS Đông Tiến
29. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề số 4: Bài 1. Biết rằng A 654 999 997 1965 100chsố9 Chứng minh rằng A chia hết cho 9 Bài 2 . Cho 5 số thực dương sao cho tổng của tất cả các tích từng cặp hai số trong chúng bằng 2. Chứng minh rằng tồn tại bốn trong năm số đó có tổng nhỏ hơn 2. Bài 3. Tồn tại hay không các số nguyên a,b,c thoả mãn: a(b-c)(b+c-a)2+c(a-b)(a+b-c)2=1 Bài 4. Giải phương trình x4+16x+8=0 Bài 5. Một đường thẳng d chia tam giác ABC cho trước thành hai phần có diện tích bằng nhau và chu vi bằng nhau. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của tam giácABC nằm trên đường thẳng d. Nguyễn Hồng Quân 29 Trường THCS Đông Tiến
30. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề số 5 Bài 1 Phân tích tuỳ ý số 2005 thành tổng của hai số tự nhiên lớn hơn 1 rồi xét tích của hai số này. Trong các cách phân tích nói trên, hãy chỉ ra cách mà tích số có giá trị nhỏ nhất Bài 2. Cho các số không âm a,b,x,y thoả mãn các điều kiện a 2005 b 2005 1; x 2005 y 2005 1 Chứng minh rằng:a1975 .x 30 b1975 .y 30 1 Bài 3. Giải phương trình 10 24 40 60 2005(2x 1) 2 3 5 Bài 4. n 2 n 1 Với số nguyên dương n, kí hiệu a ( 1) n . . Tính tổng n n! a1 a2 a2005 . Trong đó n! là kí hiệu tích n số nguyên dương liên tiếp đầu tiên Nguyễn Hồng Quân 30 Trường THCS Đông Tiến
31. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề số 6: Bài 1: Chứng minh rằng số 20052 +22005 nguyên tố cùng nhau với số 2005. Bài 2: Cho ba số dương a,b,c. chứng minh rằng: a 3 b3 c 3 a ac b ba c cb b c a Bài 3: 1 giải phương trình: x4 + x3+ x2+x + =0 2 Bài 4: Giả sử O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. AD,BE,CF là các đường cao của tam giác đó . Đường thẳng EF cắt (O) tại P,Q. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AP2 = AQ2= 2AD.OM Bài 5: Xác định M nằm trong tam giác ABC sao cho tích các khoảng cách từ M tới các cạnh của tam giác đạt giá trị lớn nhất. Nguyễn Hồng Quân 31 Trường THCS Đông Tiến
32. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề số 7: Bài 1: Giải phương trình: x3 - x - 1 = x3 + x + 1 Bài 2: tìm Max của biểu thức x x 3 x x 3 với 0 x 1 Bài 3: Giải hệ phương trình: 3 x2 xy y2 (x y) 2 x2004+y2004 = 22005 Bài 4: cho tam giác ABC có đường cao kẻ từ đỉnh A, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B và đường phân giác trong kẻ từ đỉnh C đồng quy. Gọi a,b,c lần lượt là độ dài của ba cạnh BC,CA,AB. Chứng minh: (a+b)(a2+b2- c2)= 2a2b Bài 5: Cho tam giác ABC. Điểm O nằm trong tam giác. BO cắt AC taị M, CO cắt AB tại N. Dựng các hình bình hành OMEN và OBFC. Chứng minh: A,E,F thẳng hàng và AE AM.AN OM.ON AE AB.AC OB.OC Nguyễn Hồng Quân 32 Trường THCS Đông Tiến
33. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề số 8 Bài 1: Cho số 155*701*4*16 có 12 chữ số. Chứng minh rằng nếu thay đổi các dấu sao (*) bởi các chữ số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ ý thì số đó luôn chia hết cho 396. Bài 2: Giải hệ phương trình: x2 –xy +y2 =3 z2 +yz +1 =0 Bài 3: Tìm Max của biểu thức: 2004x 2 6006x 6 x 3 2x 2 x 2 8003 A= x 2 3x 4 Bài 4: Cho a,b,c là cạnh của một tam giác, chứng minh: 3 a b c 3 b c a 3 c a b 3 a 3 b 3 c Bài 5: cho tam giác ABC. Đường tròn tâm O tiếp xúc với các cạnh AB,BC theo thứ tự tại P, Q. Phân giác trong của góc A cắt tia PQ tại E. Chứng minh rằng AE vuông góc với CE. Nguyễn Hồng Quân 33 Trường THCS Đông Tiến
34. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề số 9: Bài 1: Giả sử (a1;a2;a3; a37),(b1;b2;b3; b37),(c1;c2;c3; .c37) là bộ ba số nguyên bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại các số k,l,n thuộc tập hợp số {1;2; 37} để các số a= 1/3(ak +al + an); b=1/3(bk + bl+ bn); c= 1/3(ck +cl + cn); đồng thời là các số nguyên. Bài 2: Tìm a để phương trình (ẩn x) sau có nghiệm: x=(a-x)/ x 2 1 Bài 3: Tìm m để phương trình sau có ít nhất bốn nghiệm nguyên: m 2 x m m3 m 2 x 1 1 Bài 4: Cho tam giác ABC, H là điểm bất kỳ trên cạnh BC. AD là đường phân giác trong của tam giác. Dựng AL đối xứng với AH qua AD (L thuộc BC). Chứng minh: BH.CH/(BL.CL)=HD2/LD2 Bài 5: Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O;1). Một đường thẳng đi qua O cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại M&N. Ký hiệu SAMN là diện tích tam giác AMN. 3 3 3 Chứng minh rằng: S 3 AMN 8 Nguyễn Hồng Quân 34 Trường THCS Đông Tiến
35. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề số 10. Bài 1: Cho p là số nguyên tố >3. 2 2 2 2 Chứng minh rằng pt: x + y + z = 4p +1 luôn có nghiệm dương (x0;y0;z0) Bài 2: Cho ba số dương a,b,c thoả mãn a+b+c =3. Chứng minh rằng: a b c 3 1 b 2 1 c 2 1 a 2 2 Bài 3: Giải pt: 3x 2 7x 3 x 2 2 3x 2 5x 1 x 2 3x 4 Bài 4: Cho tam giấcBC (AB<AC) và P là điểm nằm trong tam giác sao cho góc ^PBA=^PCA. Gọi H & K là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống AB & AC; I là trung điểm của BC. Chứng minh: ^HIB <^KIC. Bài 5: Cho tam giác ABC không cân, ngoại tiếp (O). gọi D,E,F là các tiếp điểm của (O) với các cạnh BC,CA,AB. Gọi M là giao điểm của các đường thẳng AO,DE; Nlà giao điểm của các đường thẳng BO,EF; P là giao điẻm của Co và DF. Chứng minh các tam giác NAB,MAC,PBC có cùng diện tích. Nguyễn Hồng Quân 35 Trường THCS Đông Tiến
36. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề số 11: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= a/(a+b) +b/(b+c) + c/(c+a) trong đó a,b,c là các số thực thoả mãn điều kiện a>=b>=c>0. Bài 2: Tồn tại hay không số nguyên thoả mãn : n3 + 2003n = 20052005+1? Bài 3: Đặt: 1 1 1 1 A= 2.3 3.4 2003.2004 2005.2006 1 1 1 B= 1004.2006 1005.2005 2006.1004 Chứng minh rằng A/B là số nguyên. Bài 4: Cho tam giác đều ABC có điểm M thuộc BC. Gọi E&F là hình chiếu vuông góc của M trên AB&AC; O là trung diểm của EF; Q là hình chiếu vuông góc của A trên đương thẳng OM. Chúng minh rằng khi M chuyển động trên BC thì Q luôn thuộc một đương thẳng cố định Bài 5: Cho lục giác nội tiếp đường tròn ABCDEF có AB = AF; DC= DE. Chứng minh: AD> (1/2)(BC+EF) Nguyễn Hồng Quân 36 Trường THCS Đông Tiến
37. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề số 12: Bài 1: 3 S n 1 Cho Sn= với n là số tự nhiên không nhỏ hơn 2. Biết S1 = 1, tính S = S1 + 1 3.S n 1 S2 + S3 + + S2004 + S2005 Bài 2: x y Giải hệ phương trình: xy y x 2005 x2008 + y2008 =8(xy) 2 Bài 3: Tổng số bi đỏ và số bi xanh trong bốn hộp: A,B,C,D là 48 hòn. Biết rằng: số bi đỏ và số bi xanh trong hộp A bằng nhau; số bi đỏ của hộp B gấp hai lần số bi xanh của hộp B; số bi đỏ của hộp C gấp ba lần số bi xanh của hộp C; số bi đỏ của hộp D gấp sáu lần số bi xanh của hộp D; trong bốn hộp này có một hộp chứa 2 hòn bi xanh, một hộp chứa 3 hòn bi xanh,một hộp chứa 4 hòn bi xanh, một hộp chứa 5 hòn bi xanh. Tìm số bi đỏ và số bi xanh trong mỗi hộp. Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức: (b c)a 2003 (c a)b 2003 (a b)c 2003 a + b + c với a,b,c là các số dương. 2 2 2 Nguyễn Hồng Quân 37 Trường THCS Đông Tiến
38. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề số 13: Bài 1: Cho 2005 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005. đặt trước mỗi số dấu “trừ” hoặc dấu “cộng” rồi thực hiện phép tính thì được tổng là A. tìm giá trị không âm nhỏ nhất mà A có thể nhận được. Bài 2: Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn: f(-3) 0; f(1) < -1. hãy xác định dấu của hệ số a Bài 3: Giải pt: (x – 2005)6 + (x- 2006)8 = 1 Bài 4: 2n 1 Cho a1=1/2; an+1= an với n = 1,2,3, ,2004. Chứng minh rằng: a1 + a2 2n 2 + a3 + + a2005 < 1. Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M thuộc BC. đường tròn đường kính AM và BC cắt nhau tại N ( N # B), gọi L là giao điểm của BN & CD. Chứng minh: ML vuông góc với AC. Nguyễn Hồng Quân 38 Trường THCS Đông Tiến
39. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề số 14: Bài 1: Chứng minh rằng pt x2 – 2y = 2005 không có nghiệm nguyên. Bài 2: Giải pt: 48x(x +1)(x3 -4) = (x4 + 8x +12)2 Bài 3: Giải hệ pt: 3x – y -5z -2yz = 0 x- 5y –z – 2z2 =0 x +9y -3z + 2xz = 0 Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A và ^A= 360. Chứng minh: BA/BC là số vô tỉ Bài 5: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên một nửa đường tròn đường kính AB lấy các điểm C,D sao cho cung AC < cung AD (D#B). E là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn (O) nhưng không chứa C,D ( E#A,B). I,K lần lượt là giao điểm của CE & AD, IO & BE. Chứng minh: ^ CDK = 900. Nguyễn Hồng Quân 39 Trường THCS Đông Tiến
40. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề số 15: Bài 1: Biết rằng x, y là các số tự nhiên có 2005 chữ số.Số x chỉ viết bởi các chữ số 9 và số y chỉ viết bởi các chữ số 8. Hãy so sánh tổng các chữ của tích xy và tổng các chữ số của x2. Bài 2: Hãy xác định a để hệ pt sau có nghiệm duy nhất: 4xy – 2x + 2y + 4z29x+y) =4a + 3 x2 + y2 + z2 +x –y = a Bài 3: Cho x x 2 1 y y 2 1 1 . tính M = x y 2 1 y x 2 1 Bài 4: Cho tam giác ABC, AB < AC. Các điểm M,N lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho BM = CN. Gọi giao điểm của BN và CM là O. Đường thẳng qua O, song song vơí phân giác của ^BAC cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại X, Y. Chứng minh: BX = CA; CY = BA. Nguyễn Hồng Quân 40 Trường THCS Đông Tiến
41. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề số 16: Bài 1: Tìm tất cả các số nguyen dương n sao cho 2n + 153 là bình phương của một số nguyên. Bài 2: Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc =1. Hãy tính Min của biểu thức: P a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 = c a b Bài 3: Chứng minh rằng không có số nào trong hai số sau: p -1; p +1 là số chính phương với p là tích của 2005 số nguyên tố đầu tiên. Bài 4: Cho AB & CD là hai đường kính vuông góc với nhau của một đường tròn (O,R).M là một điểm trên (O). Tìm Max của P = MA.MB.MC.MD. Bài 5: Trong mặt phẳng cho (O) và hai điểm A,B cố định nằm trên đường tròn. Tìm vị trí điểm m sao cho đường thẳng AM cắt (O) tại C và AM = AC + CB (C#A). Nguyễn Hồng Quân 41 Trường THCS Đông Tiến
42. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề số 17: Bài 1: Chứng minh rằng số dư trong phép chia một số nguyên tố cho 30 là 1 hoặc số nguyên tố. Bài 2: Tìm tất cả các số thực dương x,y,z thoả mãn hệ phương trình: x+ y + z =6 1 1 1 4 2 x y z xyz Bài 3: 2006 2005 Cho f(x) = x3 - 3x2 + 3x +3. Chứng minh : f ( ) < f( ). 2005 2004 Bài 4: Cho tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác. BO,CO theo thứ tự cắt AC,AB tại M,N. Dựng các hình bình hành OMEN,OBFC. Chứng minh rằng A,E,F thẳng AE AM.AN OM.ON hàng và AF AB.AC OB.OC Bài 5: Cho nửa đường tròn đường kính AB =c =2R. Tìm trên nửa đường tròn đó (không kể hai đầu mút A,B) tất cả những bộ ba điểm C1, C2, C3 sao cho BC1 + AC2 = BC2 + AC3 = BC3 + AC1 = d, trong đó d là độ dài của một đoạn thẳng cho trước. Biện luận. Nguyễn Hồng Quân 42 Trường THCS Đông Tiến
43. Đề thi môn Toán Sưu tầm Đề số 18; Bài 1: Cho số nguyên n > 2005 và số thực x thoả mãn 2006n + 2005n =xn. Hỏi x có thể là số nguyên không? Bài 2: Biết rằng: x2 + y2 = x =y. Tìm giá trị Max & Min của F = x –y . Bài 3: Rút gọn: 1 1 1 14 34 20054 T = 4 4 4 1 1 1 24 44 20064 4 4 4 Bài 4: Giả sử hai tam giác ABC,DEF có ^C =^F, AB = DE và các cạnh còn lại thoả mãn điều kiện: BC + FD = EF + CA. Chứng minh: hai tam giác đó bằng nhau. Bài 5: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M tới các đường thẳng AB,BC ,CD ,DA bằng 2a. Nguyễn Hồng Quân 43 Trường THCS Đông Tiến