Đề thi minh họa thi Trung học phổ thông quốc gia môn Toán - Đề số 120

Nội dung text: Đề thi minh họa thi Trung học phổ thông quốc gia môn Toán - Đề số 120

1. ĐỀ THI MINH HỌA KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017 Đề số 120 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1: Đồ thị hàm số bậc 2 và đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có chung đặc điểm nào sau đây A. Đều tồn tại cả điểm cực đại và điểm cực tiểu B. Đều có tâm đối xứng C. Đồ thị hàm số đều có dạng parabol D. Đều có trục đối xứng Câu 2: Hàm số y x4 2x2 1 A. Đồng biến trên (1, +∞) B. Nghịch biến trên (-1; 1) C. Đồng biến trên (-∞ ;0) D. Nghịch biến trên (-1 ;0) Câu 3: Trên khoảng nào sau đây thì hàm số y x3 2x lnx nghịch biến ? A. B.( C . ;D.1) 0;1 1; 0; Câu 4: Hàm số đồngy f biến(x) và có đạo hàm trên K ; x 1 ;x2 ∈ K. Khẳng định nào sau đây luôn đúng ? A.f ’ x1 . f ’ x2 1 B.f ’ x1 f ’ x2 0 C.x1 x2 f x1 f x2 D.Nếu f x1 3 ; f x2 1 thì phương trình y=0 có nghiệm thuộc khoảng (x2 ;x1) Câu 5: Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 3x2 9x 3 5trên đoạn 4;4 là : A. -1B. 48C. -26D. 23 ax 2 Câu 6: Hãy xác định a,b để hàm số y có đồ thị như hình vẽ: x b
2. A.a 1 ;b 2 B.a b 2 C.a 1;b 2 D. a b 2 2 Câu 7: Cho hàm số y x3 mx2 x m . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ 3 2 2 2 thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 ;x2 ;x3 sao cho x1 x2 x3 7 A. 3B. 5C. 7D. 6 Câu 8: GTLN của hàm số y sinx 1 cosx trên đoạn [0 ;π] là : ( 3)2 2 A. 0B. C. 1D. 4 2 x2 x 2 Câu 9: Đồ thị f(x) có bao nhiêu điểm có tọa độ là cặp số nguyên f (x) x 1 A. 3B. Không cóC. Vô sốD. 6 Câu 10: Tất cả các điểm cực đại của hàm số y cosx là : A.x k2 k Z B.x k k Z C. x k2 (k Z) D. x k (k Z) 2 Câu 11: Tìm GTNN của hàm số f (x) x2 4x 21 x2 3x 10 A. 2 B. 2C. D. 3 3 1 Câu 12: Tập xác định của hàm số y ln( x2 5x 6) là : A. B. 2 ;C.3 D.2; 3 ( ;2)  (3; ) ( ;2][3; ) Câu 13: Cho hàm số y x.e x , mệnh đề nào sau đây đúng ? 1 1 A. max y ;min y x (0, ) e x (0; ) e 1 B. max y ; min y 0 x (0, ) e x (0; ) 1 C. min y ; không tồn tại GTLN x (0; ) e
3. 1 D. max y ; không tồn tại GTNN trên [0;+ ) x (0, ) e Câu 14: Giải bất phương trình log2 (x 2) 2 A. x ( ;6) B. C. D. x (2;6] x (2;6) x [-2;6) Câu 15: Số nghiệm của phương trình 9x 2.3x 3 0 là A. 0B. 1C. 2D. Vô nghiệm Câu 16: Cho a 0;b 0 và a2 b2 7ab . Đẳng thức nào sau đây là đúng ? a b 1 a b 1 A. log (log a log b) B. log (log a log b) 7 3 2 7 7 3 7 2 3 3 a b 1 a b 1 C. D.log (log a log b) log (log a log b) 3 2 7 3 3 7 2 3 7 7 ln2 x Câu 17: Tìm đạo hàm của hàm số y x 2ln x ln2 x 2ln x.x ln2 x A. y ' B. y ' x2 x2 ln x 2 2 2 ln x 2ln x ln x C. D.y ' y ' x x2 x2 Câu 18: Cho a 0 ; b 0 ; a 1 ; b 1 ; n R* , một học sinh tính biểu thức 1 1 1 p theo các bước sau log b log b log b a a2 an 2 n 2 n I.P logb a logb a logb a II. P logb a.a a 1 2 3 n III. P logb a IV. P n(n 1)logb a Bạn học sinh trên đã giải sai ở bước nào A. IB. II C. III D. IV Câu 19: Phương trình 4.3x 3.2x 12 6x có tổng các nghiệm bằng : A. 3B. 6C. -1D. 5 2 Câu 20: Giải bất phương trình 2(log2 x) xlog2 x 8 Chọn nhận xét đúng? A. Có duy nhất một nghiệm tự nhiên của x thỏa mãn bất phương trình. 2 B. Tập nghiệm của phương trình là tập con của tập A ;3 5 C. Tổng các giá trị x bán nguyên thỏa mãn bất phương trình là 4,5 D. Giá trị nhỏ nhất của x thỏa mãn bất phương trình là một số hữu tỉ
4. Câu 21: Anh Sơn vay tiền ngân hàng mua nhà trị giá 1 tỉ đồng theo phương thức trả góp. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh trả 12 triệu và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,5% tháng thì sau bao lâu anh trả hết nợ? A. 3 nămB. 3 năm 1 thángC. 3 năm 2 thángD. 3 năm 3 tháng Câu 22: Một nguyên hàm của hàm số :f (x) x 1 x2 là: 1 1 A. F(x) ( 1 x2 )3 B. F(x) ( 1 x2 )2 3 3 x2 1 C. D.F( x) ( 1 x2 )2 F(x) ( 1 x2 )2 2 2 ex e x Câu 23: Nguyên hàm của hàm số f (x) e x ex 1 1 A. ln ex e x C B. C. D. C ln ex e x C C ex e x ex e x 1 Câu 24: Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường :y f (x) ; 1 x2 x2 y g(x) .Tính thể tích khối tròn xoay thu được tạo thành khi quay D quanh trục Ox ? 2 Thể tích được viết dưới dạng T m 2 n ;m,n R thì tổng giá trị m n là ? 1 13 2 3 A. B. C. D. 2 20 5 5 2 3 3 Câu 25: Nếu f (x)dx 3 và f (x)dx 4 thì f (x)dx có giá trị bằng : 1 2 1 A. -1B. 1C. 7D. 12 Câu 26: Diện tích hình phẳng phần bôi đen trong hình sau được tính theo công thức b c c b A. S f (x)dx f (x)dx B. S f (x)dx f (x)dx a b b a c c C. D.S f (x)dx S f (x)dx a a
5. Câu 27: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị y x3 3x ;y x . Vậy S bằng bao nhiêu ? A. 0B. 4C. 8D. 2 3 3 ln x Câu 28: Cho I dx a(ln 3 1) ln b với a,b∈R. Tính giá trị biểu thức T 4a 2b 2 1 (x 1) A. 4B. 7C. 5D. 6 Câu 29: Thu gọn biểu thức z ( 2 3i)2 ta được: A. z 11 6i B. C. D. z 1 i z 4 3i z 7 6 2i Câu 30: Mô đun của số phức z 5 2i (1 i)6 là : A. 5 10 B. C. D. 61 5 5 5 Câu 31: Cho số phức z thỏa mãn z 1 =x 2 3i . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức là : A. Đường tròn tâm I 1 ;2 bán kính R=1 B. Đường thẳng có phương trình x 5y 6 0 C. Đường thẳng có phương trình x 6y 12 0 D. Đường thẳng có phương trình x 3y 6 0 Câu 32: Cho các nhận định sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa) : 1) Số phức và số phức liên hợp của nó có mô đun bằng nhau. 2) Với z 2 3i thì mô đun của z là: z 2 3i 3) Số phức z là số thuần ảo z z 4) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z z 1 2 là một đường tròn. Số nhận định đúng là: A. 2B. 3C. 4D. 1 Câu 33: Cho các điểm A,B,C trong mặt phẳng phức theo thứ tự được biểu diễn bởi các số 1 i ; 2 4i ; 6 5i . Tìm số phức biểu diễn điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành : A. B.7 C.8i D. 3 8i 5 2i 3 2i 4 z 1 Câu 34: Cho z1 ;z2 ;z3 ;z4 là bốn nghiệm của phương trình 1 2z i 2 2 2 2 Tính giá trị của biểu thức T (z1 1)(z2 1)(z3 1)(z4 1)
6. 17 17 A. B. C. 425D. -425 9 9 Câu 35: Cho một hình thang cân ABCD có các cạnh đánh AB=2a ; CD=4a, cạnh bên AD=BC=3a. Hãy tính thể tích của khối nón xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó. 14a3 2 56a3 2 14a3 28a3 2 A. B. C. D. 3 3 3 3 Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác vuông cân ABC tại B. Cạnh AC=a 2 . Biết SA=SB=SC=a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD ? a3 2 a3 2 a3 3 a3 3 A. B. C. D. 6 12 6 12 Câu 37: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng (BDC’) chia khối lập phương thành 2 phần có tỉ lệ thể tích phần nhỏ so với phần lớn là : 1 1 1 2 A. B. C. D. 3 6 4 10 Câu 38: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Nhận định nào sau đây không đúng : A. Hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau B. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy là tâm của đáy. C. ABCD là hình thoi D. Hình chóp có các cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy một góc. Câu 39: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi diện tích S 1, các tứ giác ACC’A’ và BDD’B’ có diện tích lần lượt là S 2, S3. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ tính theo S1, S2, S3 là ? S S S 2 S S S S S S A. 1 2 3 B. C. D. S S S 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 3 2 Câu 40: Trong ngày trung thu, bố bạn Nam đem về cho bạn Nam một chiếc bánh trung thu. Nam rất vui vẻ vì điều đó, tuy nhiên để kích thích tinh thần toán học của bạn Nam, bố bạn Nam đưa ra một bài toán như sau : Giả sử chiếc bánh có hình trụ đứng, đày là hình tròn đường kính 12cm, chiều cao 2cm. Bạn Nam phải cắt chiếc bánh thành 3 phần bằng nhau, cách cắt phải tuân thủ quy tắc. Nam chỉ được cắt đúng hai nhát, mặt phẳng 2 nhát dao phải vuông góc với đáy và song song với nhau. Như vậy, theo cách cắt thì sẽ có hai miếng giống nhau và một việc khác hình thù, 3 miếng có cùng chung thể tích. Hỏi khoảng cách giữa 2 mặt phẳng nhát cắt gần nhất với giá trị bao nhiêu ?
7. A. 3,5cmB. 3cmC. 3,2cmD. 3,44cm Câu 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, mặt bên SAD là tam giác a 6 đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC . Tính thể tích khối chóp S.ABCD ? 2 a3 2 a3 a3 3 a3 2 A. B. C. D. 4 4 6 6 Câu 42: Cho m (1;0; 1) ; n (0;1;1) . Kết luận nào sau đây sai : A. m.n 1 B. và không cùng phương m n C. D.[m Góc.n ] giữa(1; 21; 1vectơ) và là 60 m n 0 Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;0;2) , b(2;1;1) và mặt phẳng (P) :2x y 2z 4 0 . Viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm I nằm trên đường thẳng AB, bán kính bằng 4 và tiếp xúc với mặt phẳng (P) ; biết tâm I có hoành độ dương. A. (x 2)2 (y 1)2 (z 1)2 16 9 14 24 B. (x )2 (y )2 (z )2 16 5 5 5 C. (x 1)2 (y)2 (z 2)2 16 D. (x 3)2 (y 2)2 (z)2 16 Câu 44: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình:x y 2z 6 0 . Mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc với mặt phẳng(P), H là tiếp điểm của (S) và (P). Nhận xét nào sau đây đúng ? A. Mặt cầu (S) có bán kính bằng 6 B. Khoảng cách từ H đến mặt phẳng (Q) : 2x y 2z 5 0 là 2 C. Với a (2;1; 2) thì OH .a 0 D. Hoành độ của H nhận giá trị âm Câu 45: Trong không gian Oxyz đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ phương u(1;2;3) có phương trình : x 1 x 1 x t x t A. d y 2t B. C. D. d y 2 d y 3t d y 2t z 3t z 3 z 2t z 3t Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1 ;6 ;2), B(5 ;1 ;3), C(5 ;0 ;4), phương trình mặt cầu (S) có tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) :
8. 8 8 A. (S) : (x 5)2 y2 (z 4)2 B. (S) : (x 5)2 y2 (z 4)2 223 223 16 16 C. D.(S ) : (x 5)2 y2 (z 4)2 (S) : (x 5)2 y2 (z 4)2 223 223 Câu 47: Trong không gian Oxyz mặt phẳng song song với hai đường thẳng x 2 t x 2 y 1 z 1 : ; 2 : y 3 2t có một vectơ pháp tuyến là : 2 3 4 z 1 t A. n ( 5;6; 7) B. C. D. n (5; 6;7) n ( 5; 6;7) n ( 5;6;7) Câu 48: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(0 ;2 ;0) và hai đường thẳng d 1 ;d2 có phương x 1 y 2 z 1 x 3 y 1 z trình d : ; d : . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 1 2 2 1 2 2 2 1 M, song song với trục Ox, sao cho (P) cât d1 ;d2 lần lượt tại A,B sao cho AB=1 A.z 0 B. 4y z 8 0 C. D. x 2y z 4 0 x 2y z 4 0 Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P) : 2x y z 3 0 và (Q) : x y z 1 0 . Phương trình chính tắc đường giao tuyển của hai mặt phẳng (P) và (Q) là : x y 2 z 1 x 1 y 2 z 1 A. B. 2 3 1 2 3 1 x 1 y 2 z 1 x y 2 z 1 C. D. 2 3 1 2 3 1 Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) :3x 3y 4z 16 0, x 1 y 3 z 5 đường thẳng d : và điểm M(2 ;3 ;1). Gọi A là điểm thuộc đường thẳng d, 1 2 1 B là hình chiểu của A trên mặt phẳng (P). Tìm tọa độ điểm A biết tam giác MAB cân tại M. A. A(3 ;1 ;3)B. A(1 ;-3 ;5)C. A(2 ;-1 ;4)D. A(0;-5;6)
9. Đáp án 1-D 6-A 11-A 16-A 21-B 26-A 31-D 36-B 41-B 46-B 2-A 7-D 12-A 17-A 22-A 27-C 32-A 37-D 42-D 47-D 3-B 8-B 13-D 18-D 23-A 28-A 33-A 38-C 43-D 48-C 4-D 9-D 14-C 19-A 24-B 29-D 34-A 39-A 44-B 49-A 5-A 10-C 15-B 20-C 25-C 30-D 35-A 40-C 45-D 50-A HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Đáp án D Câu 2: Đáp án A Những bài toán dạng này chúng ta nên kẻ bảng biến thiên để tránh nhầm lẫn. Ta có: y ' 4x3 4x2 suy ra y ' 0 x 0; 1 BBT: x 1 0 1 y' 0 + 0 - 0 + y 1 0 0 Nhìn vào bảng biến thiên chúng ta có thể thấy đáp án A là chính xác. Câu 3: Đáp án B Chú ý điều kiện xác định của hàm số đã cho là D (0; ) 1 3x2 2x 1 (x 1)(3x2 3x 1) y ' 3x2 2 x x x y ' 0 x 1 Kẻ bảng biến thiên ta thu được kết quả hàm số nghịch biến trên (0;1) Nhận xét: Một số thí sinh khi đi thi không để ý đến điều kiện xác định của hàm số đã cho. Câu 4: Đáp án D A, B, C đều sai vì từ đề bài cho hàm số y f (x) đồng biến trên K ta có thể suy ra các điều sau: f '(x) 0x K x1 x2 f (x1) f (x2 ) Câu 5: Đáp án A Lưu ý bài toán bắt tìm tổng GTLN và GTNN chứ không phải tổng giá trị cực tiểu và giá trị cực đại, cần chú ý điều này để tránh sai sót không đáng có.
10. Giải: Ta có y ' 3x2 6x 9 x 3  4;4 Phương trình: y ' 0 3x2 6x 9 0 x 1  4;4 Tính các giá trị y( 4) 41; y( 1) 40; y(3) 8; y(4) 15.So sánh các giá trị ta cần suy ra GLTN là 40 và GTNN là -41 Tổng cần tìm là -1 Câu 6: Đáp án A Nhìn vào đồ thị ta có thể thấy tập giá trị của x là ;2  2; . Suy ra đây chính là điều kiện xác định của hàm số, do đó b phải bằng -2. Lại có đường tiệm cận ngang của đồ thị là y=1 nên 2 a ax+2 lim y 1 lim 1 lim x 1 a 1 x x x 2 x 2 1 x Câu 7: Đáp án D Phương trình hoành độ giao điểm 1 2 x3 mx2 x m 0 3 3 1 3 1 2 1 2 1 2 2 x x m x m x m x m 0 3 3 3 3 3 3 1 2 1 2 (x 1) x m x m 0 3 3 3 x 1 1 2 1 2 x m x m 0(*) 3 3 3 Để m thỏa mãn điều kiện đề bài thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 đều khác 1 và 2 2 x1 x2 6 m m Áp dụng Vi-et ta có x x 1; x x 2 1 2 3 1 2 3
11. 1 1 2 m m 0 3 3 3 m 0 2 1 1 2 2 2 m 4 . m 0 m m 1 0 3 3 3 3 2 x x 2 2x x 6 m m 1 2 1 2 1 2 2 6 3 3 m 0 m 3;3 \ 0 2    m 9 Vậy các giá trị nguyên của m là -3; -2; -1; 1; 2; 3. Có tất cả 6 giá trị Sai lầm thường gặp: Không chú ý đến điều kiện phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt nhưng phải khác 1. Câu 8: Đáp án B sin 2x Viết lại y sin x(1 cos x) sin x 2 Có: y ' cos x cos 2x 2cos2 x cos x 1 1 cos x y ' 0 2 . Trên đoạn 0;  thì phương trình y ' 0 có nghiệm là x ; x 3 cos x 1 3 3 Tính các giá trị y(0) ; y ; y ta được giá trị lớn nhất của hàm số là khi x 4 3 3 Câu 9: Đáp án D Ta có thể viết lại f (x) dưới dạng x2 x 2x 2 4 4 f (x) x 2 x 1 x 1 Nhận thấy tọa độ điểm là cặp số nguyên thì x nguyên và x+1 là ước của 4. Suy ra số điểm chính là số nghiệm của 4. Vậy có 6 điểm thuộc đồ thị f (x )có tọa độ là cặp số nguyên. Câu 10: Đáp án C Điều kiện để x là điểm cực đại của hàm số y cos x là: y '(x) 0 s inx 0 x 2k (k Z) y ''(x) 0 cos x 0 Câu 11: Đáp án A Đây là một bài toán tuy không quá khó nhưng đòi hỏi khả năng biến đổi chính xác. Tập xác định D  2;5
12. x 2 2x 3 f '(x) x2 4x 21 2 x2 3x 10 2x 3 x 2 f '(x) 0 (*) 2 x2 3x 10 x2 4x 21 Đến đây chúng ta có thể sử dụng chức năng SHIFT SOLVE của máy tính để tìm nghiệm. Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày cả hướng sử dụng và cả giải đầy đủ. 2x 3 x 2 SD Máy tính: Nhập màn hình biểu thức . Bấm SHIFT SOLVE 2 x2 3x 10 x2 4x 21 1 sau đó ấn một số bất kì và ấn =. Màn hình cho kết quả x 0,3333333333 tức x . 3 Thử với các giá trị khác nhau trên D  2;5 ta đều thu được kết quả x 0,3333333333 1 Thử lại ta thấy f ' 0 3 1 1 So sánh các giá trị f ( 2); f (5) và f ta thấy min f (x) f 2 3 3 Tuy nhiên cách làm này còn nhiều hạn chế vì chúng ta chưa thể chắc chắn tìm được hết nghiệm của phương trình f ' x 0 Biến đổi thông thường: x2 4x 4 4x2 12x 9 (*) x2 4x 21 4( x2 3x 10) 4(x2 4x 4)( x2 3x 10) (4x2 12x 9) x2 4x 21 1 x 2 3 51x 104x 29 0 29 x 17 1 Thử lại chỉ có x là nghiệm. 3 1 1 So sánh các giá trị f ( 2); f (5) và f ta thấy min f (x) f 2 3 3 Câu 12: Đáp án A Điều kiện x2 5x 6 0 2 x 3 Câu 13: Đáp án D Hàm số đã cho liên tục và xác định trên R. Áp dụng công thức uv ' u 'v uv ' suy ra y ' e x x.e x e x (1 x); y ' 0 x 1
13. Ta có lim suy ra hàm số không tồn tại GTNN x 1 1 lim 0; y(1) suy ra max y x e x (0; ) e Câu 14: Đáp án C Đối với những câu dễ như thế này, thí sinh cần tránh sai sót không đáng có, ở bài toán này một vài thí sinh quên không để ý đến điều kiện xác định dẫn đến chọn đáp án A. Điều kiện x>2 2 x 2 2 4 log2 (x 2) 2 x 6 Vậy 2 x 6 Câu 15: Đáp án B TXD: D=R Phương trình 2 9x 2.3x 3 0 3x 3x 3.3x 3 0 (3x 1)(3x 3) 0 3x 1 x 0 x 3 3(VN) Vậy phương trình có duy nhất 1 nghiệm. Câu 16: Đáp án A Từ điều kiện ta suy ra a2 b2 2ab 9ab a b 2 9ab 2 2 a b a b a b ab log7 log7 ab 2log7 log7 a log7 b 3 3 3 Câu 17: Đáp án A u u 'v uv ' Áp dụng công thức ' 2 ta có v v 2 2 ln x '.x x '.ln x 2ln x ln2 x y ' y ' x2 x2 Câu 18: Đáp án D n(n 1) Vì 1 2 3 n nhưng theo biến đổi ý D thì 1 2 3 n n(n 1) 2 Câu 19: Đáp án A Ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương: 4.3x 3.2x 12 6x 4.(3x 3) 2x (3 3x ) 0
14. 2x 4 x 2 2x 4 3x 3 0 x 3 3 x 1 Câu 20: Đáp án C Tập xác định D 0; t t2 t t Đặt log2 x t x 2 suy ra 2 2 8 t2 t2 t2 2 2 2 2 8 2 2 4 t 2 2 t 2 2 log2 x 2 2 2 x 2 2 Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm là 2 2 ;2 2 Đáp án A sai vì có 2 giá trị tự nhiên của x là 1 và 2 2 Đáp án B sai vì 2 2 5 Đáp án C đúng vì các giá trị x bán nguyên là 0,5; 1,5 và 2,5 Đáp án D sai vì 2 2 là một số vô tỉ Câu 21: Đáp án B Gọi n là số tháng anh cần trả với n tự nhiên Sau tháng thứ nhất anh còn nợ 0,5 S 109.(1 ) 30.106 109.1,005 30.106 đồng 1 100 Sau tháng thứ hai anh còn nợ 6 9 6 6 S2 S1.1,005 12.10 10 .1,005 30.10 .1,005 30.10 1,0052 1 109.1,0052 30.106. đồng 0,005 Tiếp tục quá trình trên thì số tiền anh Sơn còn nợ sau n tháng sẽ là 1,005n 1 S 109.1,005n 30.106. 0 n 0,005 n 1,005 1,2 n log1,005 1,2 36,555 Do đó sau 37 tháng sẽ trả hết nợ tức 3 năm 1 tháng Câu 22: Đáp án A Chúng ta có thể thử bằng cách tính đạo hàm các đáp án và f (x) x 1 x2 tại cùng một giá trị để chọn đáp án đúng. Đối với cách làm trực tiếp, đây là một dạng khá cổ điển của bài tập nguyên hàm.
15. Đặt 1 x2 t 0 x2 1 t 2 xdx tdt Nguyên hàm cần tính có thể viết lại bằng: 3 2 t3 x 1 x x2 1dx t.tdt t 2dt 3 3 Câu 23: Đáp án A Tương tự như bài toán trên, bài toán này cũng có cách thử tương tự, tuy nhiên đôi khi việc thử lại tốn thời gian hơn việc làm trực tiếp. Sau đây là cách làm trực tiếp: Đặt ex e x t ex e x dx dt Nguyên hàm cần tính: ex e x dt dx ln t C ln ex e x C ex e x t Câu 24: Đáp án B 1 x2 x 1 Xét phương trình 2 1 x 2 x 1 1 Như vậy, thể tích cần tìm sẽ được tính theo công thức: V f 2 (x) g 2 (x)dx 1 2 1 1 x4 1 1 1 x4 V 2 dx 2 dx dx 1 x 4 2 4 1 1 1 x 1 1 1 1 x5 1 1 1 dx dx 2 2 20 2 2 10 1 1 x 1 1 1 x 1 1 1 V I với I dx 10 2 2 1 1 x Tính I: Đặt x tan t,t ; 2 2 1 dx dt (1 tan2 t)dt cos2 t Ta có thể viết I lại dưới dạng 4 1 tan2 t 4 1 4 I dt cos2 tdt (1 cos 2t)dt 2 2 2 1 tan t 4 4 4
16. 1 1 1 2 2 I V 4 2 4 2 10 4 5 Nhận xét: Đây là một bài toán khá khó, đòi hỏi thí sinh phải biết đúng công thức và việc xử lí tích phân khéo léo. Câu 25: Đáp án C Đây là một bài toán khá đơn giản nhưng có thể gây khó khăn với một vài thí sinh không nhớ đúng công thức. c b c Ở đây ta áp dụng công thức: f (x)dx f (x)dx f (x)dx a a b Câu 26: Đáp án A Câu 27: Đáp án C Trước tiên ta phải tìm giao điểm của hai đồ thị y x3 3x và y x Phương trình hoành độ giao điểm là x 0 3 2 x 3x x x(x 4) 0 x 2 x 2 0 2 0 2 Do đó S x3 4x dx x3 4x dx x3 4x dx 4x x3 dx 8 2 0 2 0 Câu 28: Đáp án A Ở bài toán này máy tính dường như không giúp được nhiều trong việc giải quyết bài toán, đây là bài toán sử dụng phương pháp tích phân thành phần ở mức độ vận dunjng. Đặt dx u 3 ln x u x dx v 1 x (x 1)2 v 1 x 1 x 1 b b Áp dụng công thức tính tích phân thành phần udv uv b vdu thì ta được a a a 3 3 3 (3 ln x)x dx (3 ln x)x 3 I ln(x 1) 1 x 1 1 1 x 1 x 1 1 3 3 ln 3 3 I ln 4 ln 2 4 2 3 3 1 (ln 3 1) ln 2 (ln 3 1) ln 4 4 2
17. 3 1 Vậy a ;b T 4a 2b 3 1 4 4 2 1 x Nhận xét: Điểm mấu chốt để xử lí nhanh bài toán nằm ở việc đặt v 1 . Một số thí x 1 x 1 3 sinh chọn đáp án B vì khi làm đến I (ln 3 1) ln 2 không để ý dấu nên suy ra luôn 4 3 a ;b 2dẫn đến kết quả sai. 4 Câu 29: Đáp án D 2 Sử dụng máy tính ở chế độ CMPLX. Nhập màn hình biểu thức 2 3i và ấn “=” ta được kết quả z 7 6 2i Câu 30: Đáp án D Nhiều thí sinh tỏ ra lung túng trước biểu thức 1 i 6 , nếu như đây là bài tự luận thì các bước khai triển biểu thức này khá dài và phức tạp, tuy nhiên chúng ta có thể sử dụng máy tính để có kết quả chính xác. Một lưu ý là máy tính không thể tính được lũy thừa bậc 4 trở lên của một số phức. Do đó ta 2 phải tính gián tiếp qua 2 bước. Vì 1 i 6 1 i 3 nên ta sẽ tính1 i 3 trước rồi tính bình phương của giá trị vừa tìm được. Sử dụng máy tính Casio ta tính được 1 i 3 2 2i 1 i 6 2 2i 2 8i Vậy z 5 2i 1 i 6 5 2i ( 8i) 5 10i z 52 102 125 5 5 Nhận xét: Một số sai lầm trong quá trình biến đổi có thể dẫn đến đáp án sai là B hoặc C. Nếu như sử dụng phương pháp khai triển trực tiếp ra nháp thì bài toán này tốn khá nhiều thời gian khi đi thi, thí sinh có thể sẽ bị không đủ thời gian làm những câu khác. Câu 31: Đáp án D Với z a bi(a,b R) thì theo đề bài ta sẽ có: a 1 bi a 2(b 3)i a 1 2 b2 a 2 2 b 3 2 a2 2a 1 b2 a2 4a 4 b2 4b 9 2a 6b 12 0 x 3y 6 0
18. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x 3y 6 0 Câu 32: Đáp án A Các nhận định đúng là 1;3 Đáp án A đúng vì cả số phức và số phức liên hợp đều có mô đun là a2 b2 Đáp án B sai vì mô đun của số phức z 22 32 13 còn 2 3i là số phức liên hợp của z Đáp án C đúng vì z bi; z bi;bi ( bi) z z Đáp án D sai. Với z a bi(a,b R) thì ta có z z 1 a bi a bi 1 2a 1 1 a 2 z z 1 2a 1 2 3 a 2 Như vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là hai đường thẳng song song chứ không phải một đường tròn. Câu 33: Đáp án A  Từ dữ kiện đề bài ta suy ra A(1;1); B(2;4);C(6;5) AB (1;3)  Đặt số phức z biểu diễn điểm D là z a bi(a,b R) thì D(a,b)CD (a 6;b 5)   Tứ giác ABDC là hình bình hành nên AB CD a 6 1 a 7 z 7 8i b 5 3 b 8   Sai lầm thường gặp: Nhầm chiều vecto: AB DC dẫn đến lực chọn đáp án C. Câu 34: Đáp án A Đây là một bài toán số phức ở mức độ vận dụng cao khá hay và khó. Để giải quyết cần sự tinh ý và cẩn thận trong từng bước giải. 4 z 1 Từ phương trình 1 , ta suy ra 2z i (2z i)4 (z i)4 0 Đặt f (z) (2z i)4 (z i)4 15(z z1)(z z2 )(z z3 )(z z4 ) 2 2 2 Vì i2 1 z 1 z i z i z i T (z1 i)(z2 i)(z3 i)(z4 i)
19. (z1 i)(z2 i)(z3 i)(z4 i) T (i z1)(i z2 )(i z3 )(i z4 ) ( i z1)( i z2 )( i z3 )( i z4 ) f (i) f ( i) f (i). f ( i) T . 15 15 225 Tính các giá trị f (i); f ( i) f (i) (2i i)4 (i 1)4 i4 (i 1)4 5  5.85 17 T 4 4  f ( i) ( 2i i) ( i 1) 85  225 9 Nhận xét: Đối với bài toán này, có lẽ Casio hay Vinacal cũng “bó tay”. Một số bạn thì có hướng làm đúng nhưng lại chọn đáp án C vì ngay từ đầu khi đặt F(z) đã không có hệ số 15 ở đâu. Câu 35: Đáp án A Gọi AD và BC cắt nhau tại E. 2 AB =DC nên AB là đường trung bình EDC ED 2AD 6a . Gọi H và K lần lượt là trung điểm AB và CD thì ta có EK vuông góc với CD và HK là trục đối xứng của ABCD. EK EK ED2 DK 2 4a 2 ;EH 2a 2 2 Khối nón xoay sinh bởi hình thang ABCD khi quay quanh trục của nó chính là phần thể tích nằm giữa 2 khối nón: +Khối nón 1: Có đáy là hình tròn tâm K, bán kính KD=2a, đường cao EK=4a 2 +Khối nón 2: Có đáy là hình tròn tâm H, bán kính HA=a, đường cao EH 2a 2 Do đó thể tích cần tìm là 1 1 14a3 2 V V V .(2a)2. .4a 2 .a2. .2a 2 1 2 3 3 3 Câu 36:
20. Gọi M là trung điểm AC thì M là trọng tâm, trực tâm tam giác ABC SA=SB=SC=a nên SM (ABC) Vì ABC vuông cân tại B, AC a 2 nên BA=BC=a 1 a2 S BA.BC ABC 2 2 2 2 2 2 2 AC 2 a a 2 SM SB BM SB a 2 2 2 Do đó thể tích cần tìm là: 1 1 a2 a 2 a3 2 V S .SM . . 3 ABC 3 2 2 12 Câu 37: Đáp án D Nhìn vào hình vẽ ta có thể thấy 2 phần của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ chia bởi mặt phẳng (BDC’) gồm hình chóp BCC’D và phần còn lại V Tỉ lệ cần tính sẽ là T BCC 'D VABCD.A'B'C 'D' VBCC 'D Giả sử hình lập phương có cạnh là 1 3 VABCD.A'B'C 'D' 1 1 Hình chóp BCC’D có đáy là tam giác vuông cân DCC’, đỉnh B, đường cao BC 1 1 1 1 V .BC.S .1.1.1. BCC 'D 3 DCC ' 3 2 6
21. 1 1 2 T 6 1 1 5 10 6 Sai lầm thường gặp: V Tính nhầm giá trị T BCC 'D dẫn đến đáp án B. VABCDA'B'C 'D' Câu 38: Đáp án C Nhắc lại kiến thức: Hình chóp đa giác đều: là hình chóp có đáy là đa giác đều và hình chiếu của đỉnh xuống đáy trùng với tâm của đáy. Như vậy hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và hình chiếu của S xuống đáy là tâm hình vuông ABCD. Câu 39: Đáp án A Gọi đáy của hình hộp có độ dài 2 đường chéo là AC=a; BD=b và đường cao hình hộp là AA’=BB’=c 1 a2b2c2 Suy ra được S ab ; S AC.AA ' ac ; S BD.BB ' bc S S S 1 2 2 3 1 2 3 2 Thể tích khối hộp là 1 1 a2b2c2 S S S V S .c abc 1 2 3 1 2 2 2 2 Nhận xét: Đây là một bài toán không khó nhưng dễ gây nản đối với những thí sinh lười biến đổi. Câu 40: Đáp án C Thực chất bài toàn là chai hình tròn thành 3 phần bằng nhau như hình vẽ: Vì các miếng bánh có cũng chiều cao nên diện tích đáy của các miếng bánh phải bằng nhau và 1 bằng diện tích chiếc bánh ban đầu. 3 .OA2 Trong hình vẽ thì ta có OA=OB=6 và S S S 12 1 2 3 3 Đặt AOB=α (0, ) thì ta có: S1 S OAB SOAB
22. 1 OA2. 12 OA.OB.sin . 2 2 12 18sin 18 Sử dụng chức năng SHIFT SOLVE trên máy tính ta tìm được giá trị α 2,605325675 Khoảng cách 2 nhát dao là x OA.cos 2 3,179185015 2 Câu 41: Đáp án B Gọi H là chân đường cao hạ từ S của tam giác đều SAD a 3 Suy ra SH và SH (ABCD) 2 a 3 Trong tam giác vuông HSC có HC 2 2 2 a 2 3a 2 2 2 a DH DC CH 1 cos HDC 4 4 a 2DH.DC 2. .a 2 2 HDC 600 a2 3 Suy ra S DA.DC.sin ADC ABCD 2 1 1 a 3 a2 3 1 V SH.S . . a3 S.ABCD 3 ABCD 3 2 2 4 Câu 42: Đáp án D Lưu ý rằng góc giữa hai vectơ nhỏ hơn hoặc bằng 180 0 còn góc giữa hai đường thẳng nhỏ hơn m; n 1 hoặc bằng 900. ở đây, góc giữa hai vectơ được tính theo công thức cos(m; n) 2 m n
23. 0 m; n 120 Câu 43: Đáp án D  Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB làAB (1;1; 1) Phương trình thàm số của đường thẳng AB là x 1 t y t (t R) z 2 t Gọi tâm I(1+t;t;2-t) AB ;(t>-1) (S) tiếp xúc mp (P) t 2(TM ) 5t 2 12 d(I;(P)) 4 5t 2 12 14 5t 2 12 t (L) 5 Phương trình mặt cầu (S) cần tìm: (x 3)2 (y 2)2 z2 16 Nhận xét: Đây là bài toán không khó nhưng lại tốn thời gian trong quá trình làm bài Câu 44: Đáp án B Ta có O(0;0;0) , do mặt cầu (S) có tâm O và tiếp xúc với mp(P) nên ta có: 6 R d(O;(P)) 6 . Vậy đáp án A sai. 12 12 ( 2)2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (P), H chính là tiếp điểm của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P). Đường thẳng OH đi qua O và vuông góc mp (P) nhận n (1,1, 2 ) là vectơ pháp tuyến của mp (P) làm vectơ chỉ phương, pt đường thẳng OH có dạng x t y t z 2t H OH H(t,t,-2t) Ta lại có H mp(P) t t 2( 2t) 6 0 t 1 Vậy H(1,1,-2)  Vậy hoành độ của H có giá trị dương, OH.a 0 và khoảng cách từ h đến (Q) :2x y 2z 5 0 là 2 Câu 45 : Đáp án D Câu 46 : Đáp án B
24. Câu 47 : Đáp án D   Từ đề bài ta suy ra u 1 (2; 3;4) ; u 2 (1;2; 1) Vì mặt phẳng cần tìm song song với hai đường đã cho nên tích có hướng của hai vectơ trên chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó   n [u 1;u 2 ]=(-5;6;7) Câu 48 : Đáp án C Giả sử có mặt phẳng (P) thỏa yêu cầu đề bài thì ta có : A d1 A(1 2t;2 2t; 1 t) B d2 B(3 2l; 1 2l;l)  AB (2(l t) 2; 2(l t) 3;(l t) 1) l t 1 AB2 9(l t)2 22(l t) 14 1 13 l t 9 Nếu l-t=-1 thì    AB (0; 1;0) VTPPn AB;i (0;0;1) (P) Phương trình mặt phẳng (P) : z=0(loại vì (P) chứa Ox)  8 1 4   4 1 Nếu l-t=-13/9 AB ; ; VTPPn(P) AB;i 0; ; 9 9 9 9 9 Phương trình mặt phẳng (P) : 4y z 8 0 (thỏa đề bài nhận) Câu 49 : Đáp án A Gọi u là vectơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).  u  nP    u n ;n (2; 3 1) P Q u  nQ Như vậy đáp án chỉ có thể là A và B Một đường thẳng có thể có nhiều dạng phương trình chính tắc nên đến đây thử đáp an là tối ưu hết. Trên mỗi đường thẳng lấy một điểm và thử xem điểm đó có thuộc hai mặt phẳng không. x 1 y 2 z 1 Lấy điểm A(-1 ;2 ;1) thuộc đường thẳng thì A không thuộc mặt phẳng (P) 2 3 1 x y 2 z 1 Lấy điểm A(0;2; 1) thuộc đường thì nhận thấy A(0;2; 1 )thuộc cả hai mặt 2 3 1 phẳng (P) và (Q) x y 2 z 1 Vậy đường thẳng cần tìm là 2 3 1 Câu 50: Đáp án A
25. Gọi H là trung điểm AB và A’ là điểm đối xứng của A qua M MH / / A' B Khi đó: A' B  AB A' (P) MH  AB Vì M là trung điểm AA’ nên A'( t 3; 2t 9;t 3) Mà A’ (P) t 2 A(3;1;3)