Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 11 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Thuận Thành

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 11 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Thuận Thành

1. SỞ GDĐT BẮC NINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 1 Môn thi: TOÁN HỌC Lớp 11 - Năm học: 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề x x 5 Câu 1 (2,0 điểm). Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng 0;2 của phương trình sin4 cos 4 . 2 2 8 Câu 2 (2,0 điểm). Khi chơi trò chơi gieo súc sắc, có hai cách chơi như sau: Cách 1: Gieo 1 lần 4 con súc sắc, nếu xuất hiện ít nhất 1 mặt 6 chấm thì thắng. Cách 2: Gieo 24 lần 1 cặp súc sắc, nếu cặp (6;6) xuất hiện ít nhất 1 lần thì thắng. Nếu là người chơi bạn sẽ chọn cách nào để khả năng thắng cao hơn? 10 2 2 50 Câu 3 (1,0 điểm). Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển x x . x 2 2 x xy 2 y 3 y 1 y 1 x Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình . 3 6 y 3 2 x 3 y 7 2 x 7 Câu 5 (1,0 điểm). Hai thành phố A và B ngăn cách nhau bởi một con sông. Người ta cần xây cầu bắc qua sông và vuông góc với bờ sông. Biết rằng thành phố A cách bờ sông 2km, thành phố B cách bờ sông 4km, khoảng cách giữa đường thẳng đi qua A và đường thẳng đi qua B cùng vuông góc với bờ sông là 8km. Coi hai bờ sông là hai đường thẳng song song với nhau. Nhằm tiết kiệm chi phí đi từ thành phố A đến thành phố B, người ta xây cầu ở vị trí MN để quãng đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (hình vẽ). Tính độ dài đoạn thẳng MN. Câu 6 (3,0 điểm). Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác A’BC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của CC’. a) Chứng minh tứ giác BCC’B’ là hình chữ nhật; b) Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và BM. Hết Họ và tên thí sinh . Số báo danh (Đề gồm 01 trang; giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Thí sinh xem đáp án tại website www.thptthuanthanh1.bacninh.edu.vn
2. ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu ĐÁP ÁN Điểm 1 2,0 3 PT sin2 x 4 0,5 1 cos2 x x k 0,5 2 3 4 2 5  x 0;2 x ; ; ;  0,5 3 3 3 3  Tổng các nghiệm thuộc khoảng 0;2 của pt là: 4 0,5 2 2,0 Đối với cách 1: Gọi A là biến cố: “Xuất hiện ít nhất 1 mặt 6 chấm” trong phép thử “Gieo 1 lần 4 con súc sắc”. 0,75 54 5 4 PAPA 1 0,518 . 64 6 4 Đối với cách 2: Gọi B là biến cố: “Cặp (6;6) xuất hiện ít nhất 1 lần” trong phép thử: “Gieo 24 lần 1 cặp súc sắc”. 24 24 35 35 1 PBPA 1 0,491. 36 36 Vậy nếu là người chơi thì nên chọn cách 1. 0,25 3 1,0 Hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển đã cho chính là hệ số của số hạng chứa x2 trong 10 2 0,25 khai triển x . (*) x k k10 k 2 Số hạng tổng quát của khai triển (*) là: C10 x . x k 0,25 k10 k 2 k 10 2 k k C10 x C 10 x 2 . x Số hạng chứa x2 ứng với k = 4. 4 4 0,5 Vậy hệ số cần tìm là C10 2 3360. 4 1,0 ĐK: 1 0,25 PT 1 y x 1 2 y x 1 0 x y 1. y 1 x Thế vào (2) ta được 3 6 y 3 5 y 9 2 y 5 (3). 0,5
3. ĐK: 3 8 y 3 6 y 3 y 1 5 y 9 0 1 3 y2 7 y 10 0 8 y 3 6 y y 1 5 y 9 y2 7 y 10 0 0,25 Vậy hpt có hai nghiệm x; y 1;2 , x ; y 4;5 . 5 1,0 TAA :' MN AM A' N MN AM MN NB min A 'N NB min A’, N, B thẳng hàng. 0,5 Ta có: A' B 82 6 2 10 km . ANAH' ' 1 . NB BK 2 0,5 1 10 Vậy AM A' N AB km . 3 3 6 3,0 a) 1,5
4. 0,5 Gọi H là trung điểm của BC A' H  ABC . 0,5 BC AHA''' BC  AA BC  BB 0,5 Vậy BCC’B’ là hình chữ nhật. b) 1,5 Góc giữa hai đường thẳng AA’ và BM bằng góc giữa hai đường thẳng CC’ và BM, và bằng 0,5 góc BMC . a 3 AH A' H 2 a 6 AA' 2 a 6 0,5 MC . 4 2 a 6 22 BM a2 . 4 4 MC 33 Vậy cosBMC . 0,5 BM 11 Hết