Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 6 - Năm học 2020-2021

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 6 - Năm học 2020-2021

1. MÃ KÍ HIỆU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM 2021 MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 150 phút) (Đề gồm 05 câu, 01 trang Câu 1 (4,0 điểm). 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2016x2 2015x 2016 . 4xy 1 1 2. Rút gọn biểu thức A 2 2 : 2 2 2 2 với x y, y 0 y x y x y 2xy x Câu 2 (4,0 điểm) 1. Giải phương trình: x 3 x 4 x 5 x 6 120 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. B 2x2 2y2 z2 2xy 2xz – 6x – 8y – 2z 13 Câu 3 (4,0 điểm) 1. Tìm đa thức f x , biết f x chia cho (x 1) dư 4, chia cho (x 2)dư 1, chia cho (x 1)(x 2) thì thương là 5x2 và còn dư. a 2 b2 c2 c b a 2. Chứng minh bất đẳng thức: b2 c2 a 2 b a c Câu 4 (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho I·OM 900 (I và M không trùng các đỉnh của hình vuông). a) Chứng minh BIO CMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a. b) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của BN và tia OM. Chứng minh tứ giác IMNB là hình thang và B· KM B· CO . 1 1 1 c) Chứng minh . CD2 AM2 AN2 Câu 5 (2,0 điểm) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 1 x x2 x3 y3 Hết 1
2. MÃ KÍ HIỆU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm 2021 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Câu Nội dung Điểm 1. (2,0 điểm) x4 2016x2 2015x 2016 0,5 x4 2015x2 x2 2015x 2015 1 (x4 2x2 1 x2 ) 2015x2 2015x 2015) 0,5 (x4 2x2 1) x2 2015(x2 x 1) 0,25 (x2 1)2 x2 2015(x2 x 1) 0,25 (x2 1 x)(x2 1 x) 2015(x2 x 1) 0,25 (x2 x 1)(x2 x 2016) 0,25 2. (2,0 điểm) Với x y; y 0 ta có: 4xy 1 1 A 2 2 : 2 2 2 2 0,75 1 y x y x y 2xy x (4,0 điểm) 4xy 1 1 A : 2 (y x)(y x) (y x)(y x) (y x) 4xy y x y x A : 2 (y x)(y x) (y x)(y x) 4xy 2y A : 0,75 (y x)(y x) (y x)(y x)2 4xy (y x)(y x)2 A . (y x)(y x) 2y A 2x(x y) 0,25 Vậy x y; y 0 thì A 2x x y 0,25 2 1.(2,0 điểm) (4,0 điểm) Ta có : x 3 x 4 x 5 x 6 120 0,25 x2 9x 18 x2 9x 20 120 (*) Đặt t x2 9x 19 khi đó phương trình (*) t –1 t 1 120 0,25 t2 –1 120 t2 121 0,25 t 11 t 11 0,25 +) Với t 11 ta có x2 9x 19 11 x2 9x 30 0 1 0,25 2 2 2 81 39 9 39 Vì xvới mọi9x x3 nên0 x 9x x 0 0,25 4 4 2 4 phương trình (1) vô nghiệm +) Với t 11 ta có có x2 9x 19 11 x2 9x 8 0 2
3. x 1 0,25 x 1 x 8 0 x 8 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 ; x 8 0,25 2.(2,0 điểm) B 2x2 2y2 z2 2xy 2xz – 6x – 8y – 2z 13 Ta có : B x2 y2 2xy x2 2xz z2 y2 2xz – 6x – 8y – 2z 13 0,25 x y 2 – 4 x y 4 x z 2 – 2 x z 1 y2 – 4y 4 4 0,5 x y 2 2 x z –1 2 y – 2 2 4 0,25 x y 2 2 0  x, y 2 Vì x z – 1 0  x,z 0,25 y – 2 2 0  y Nên ta có x y 2 2 x z –1 2 y – 2 2 4 4 với mọi x, y, z 0,25 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 4 Dấu dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi x y 2 0 x 0 x z 1 0 y 2 0,5 y 2 0 z 1 1. (2,0 điểm) Vì f x : (x 1) dư 4 f (x) (x 1).Q(x) 4 0,25 Vì f x : x 2 dư 1 f (x) (x 2).P(x) 1 0,25 Vì f x : x 1 x 2 thương 5x2 và còn dư nên đa thức dư có bậc 0,25 nhỏ hơn hoặc bằng 1 Do đó f x (x 1) x 2 .5x2 ax b 0,25 Ta có f x 5x4 15x3 10x2 ax b 0,25 f ( 1) a b 4 b=4+a (1) f ( 2) 2a b 1 b=1+2a (2) 0,5 a 3 0,25 Từ (1) và (2) b 7 3 Vậy f x 5x4 15x3 10x2 3x 7 (4.0 điểm) 2. (2,0 điểm) a 2 b2 c2 c b a Chứng minh bất đẳng thức: b2 c2 a 2 b a c Áp dụng bất đẳng thức Cosi x2 y2 2xy , dấy ‘‘=’’ xảy ra khi x y a 2 b2 a b a 0,5 Ta có : 2  2 b2 c2 b c c 3
4. a 2 c2 a c c 2  2 b2 a 2 b a b c2 b2 c b b 0,5 2  2 a 2 c2 a c a Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có : a 2 b2 c2 a c b 2 2 2 2 2 0,5 b c a c b a a 2 b2 c2 c b a b2 c2 a 2 b a c 0,5 A I B 0,5 O M K E D C N a) Xét BIO và CMO có: I·BO M· CO( 450 ) 0,5 4 (6.0 điểm) BO CO ( t/c đường chéo hình vuông) B· OI C· OM ( cùng phụ với)B· OM 0,5 BIO CMO (g.c.g) b) SBIO SCMO mà SBMOI SBOI SBMO 0,5 1 1 0,5 Hay S S S S S a 2 BMOI CMO BMO BOC 4 ABCD 4 c) Ta có CM BI ( vì BIO CMO ) 0,5 BM AI BM AM IA AM 0,25 Vì CN / /AB nên CM MN IB MN IM / /BN ( Định lí Talet đảo) 0,25 Hay IMNB là hình thang Vì OI OM (Vì BIO CMO ) IOM cân tại O I·MO M· IO 450 0,5 Vì IM / / BN IM / / BK B· KM I·MO 450 ( sole trong) B· KM B· CO d, Qua A kẻ tia Ax vuông góc AN cắt CD tại E .Chứng minh 0,25 ADE ABM(g.c.g) AE AM 4
5. Ta có ANE vuông tại A có AD  NE nên 0,25 AD.NE AN.AE S AEN 2 2 AD.NE AN.AE (AD.NE)2 (AN.AE)2 0,25 Áp dụng định lí pitagota vào ANE ta có AN2 AE2 NE2 0,25 AD2.(AN2 AE2 ) AN2.AE2 0,25 AN2 AE2 1 1 1 1 0,25 AN2.AE2 AD2 AE2 AN2 AD2 1 1 1 0,5 Mà AE AM và CD AD CD2 AM2 AN2 5 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 1+x x2 x3 y3 (2,0 điểm) +) Với x 0 thì y 1 0,5 +) Với x 1 thì y 0 0,5 +) Với x 0 thì x3 y3 x 1 3 (Vô lý) 0,5 +) Với x 1 thì x 1 3 y3 x3 (Vô lý) 0,5 Vậy phương trình có nghiệm là x, y (0,1);( 1,0) 5