Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Phòng Giáo dục và đào tạo Hoa Lư

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Phòng Giáo dục và đào tạo Hoa Lư

1. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 HOA LƯ MễN TOÁN Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) (ĐỀ MINH HỌA) (Đề này gồm 05 cõu, 01 trang) Cõu 1: (6,0 điểm) 1. Thực hiện phộp tớnh 5 14 12 2 11 212.35 46.92 510.73 255.492 a) A= + - + + b) B = 15 25 9 7 25 (22.3)6 84.35 (125.7)3 59.143 2. Tỡm x, y, z biết 2 1 1 x y y z a) x 0 b) , và 2x 3y z 6 3 16 3 4 3 5 Cõu 2: (3,0 điểm) a) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn x, y sao cho: 2xy x 2y 4 . b) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn dương n thỡ: 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 Cõu 3: (3,0 điểm) Cho đa thức A(x) = x + x2 + x3 + + x99 + x100 . a) Chứng minh rằng x= -1 là nghiệm của A(x) 1 b) Tính giá trị của đa thức A(x) tại x = 2 Cõu 4: (6,0 điểm) 1)Cho ABC ( AB > AC), M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M vuụng gúc với tia phõn giỏc của gúc Bã AC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E và F (giao điểm của đường thẳng đú với tia phõn giỏc gúc BAC là H). Chứng minh rằng: a) EH = HF FE 2 c) AH 2 AE 2 . b)2Bã ME ãACB Bà . 4 d) BE = CF. 2) Một cầu trượt như hỡnh vẽ. Đường lờn BA dài 5m, độ dài BC là 9m, chiều cao AH là 3m. Tớnh chiều dài mỏng trượt AC. (Làm trũn đến chữ số thập phõn thứ nhất). Cõu 5: (2,0 điểm) a) Cho dóy tỉ số bằng nhau: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d a b b c c d d a Tớnh giỏ trị biểu thức Q, biết Q = c d d a a b b c x y z t b) Cho biểu thức M với x, y, z, t là cỏc số tự x y z x y t y z t x z t nhiờn khỏc 0. Chứng minh M 10 1025 . Hết Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm.
2. PHềNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI MễN: TOÁN 7 Cõu ý Túm tắt lời giải Điểm 5 14 12 2 11 A= + - + + 15 25 9 7 25 0,5 1a. 3 25 2 2 = = 1 1 + 1,0 đ 3 25 7 7 0,5 2 2 = 0 + = 7 7 10 212.35 212.34 510.73 5 .74 A 212.36 212.35 59.73 59.23.73 212.34. 3 1 510.73. 1 7 0,5 12 5 9 3 3 1b. 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2 0,5 1,5đ 212.34.2 510.73. 6 12 5 9 3 2 .3 .4 5 .7 .9 0,5 1 10 7 6 3 2 Ta cú 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x 0 x x hoặc x 0,25 3 16 3 16 3 4 3 4 1 1 Cõu 1 * Trường hợp x 0,25 3 4 (6đ) 1 1 1 1 1 2.a x x x 0,25 1,5 đ 3 4 4 3 12 1 1 * Trường hợp x 3 4 0,25 1 1 1 1 7 x x x 3 4 4 3 12 0,25 1 7 Vậy x ; x 12 12 0,25 x y x y Từ giả thiết: (1) 3 4 9 12 y z y z 0,5 (2) 3 5 12 20 x y z 0,5 Từ (1) và (2) suy ra: (*) 9 12 20 2.b x y z 2x 3y z 2x 3y z 6 Ta cú: 3 2,0 đ 9 12 20 18 36 20 18 36 20 2 0,5 x Do đú: 3 x 27 9 y 3 y 36 12
3. z 0,5 3 z 60 20 KL: x 27 , y 36 , z 60 a) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn x, y sao cho: 2xy x 2y 4 0,25 2xy x 2y 4 2xy x 2y 1 3 x(2y 1) (2y 1) 3 0,25 (x 1)(2y 1) 3 0,25 Do x; y  (x 1);(2y 1)  (x 1);(2y 1) Ư(3)= 3; 1;1;3 1,5đ Ta cú bảng giỏ trị 0,25 Cõu 2 x 1 1 -1 3 -3 0,25 (3,0đ) x 2 0 4 -2 2y+1 3 -3 1 -1 y 1 -2 0 -1 Đối chiếu cỏc điều kiện ta tỡm được (x; y) (2;1);(0; 2);(4;0);( 2; 1) . 0,25 b) 3n 2 2n 2 3n 2n = 3n 2 3n 2n 2 2n 0,5 b. =3n (32 1) 2n (22 1) 0,5 0,5 (1,5đ) =3n 10 2n 5 3n 10 2n 1 10 = 10( 3n -2n-1) Vậy 3n 2 2n 2 3n 2n  10 với mọi n là số nguyờn dương. A(-1) = (-1)+ (-1)2 + (-1)3+ + (-1)99 + (-1)100 0,5 1.a = - 1 + 1 + (-1) +1 +(-1) + (-1) + 1 = 0 (1,0đ) ( vì có 50 số -1 và 50 số 1) 0,5 Suy ra x = -1 là nghiệm của đa thức A(x) 1.b (2,0đ) 1 1 1 1 1 1 1 + Với x= thì giá trị của đa thức A = 0,5 2 2 22 23 298 299 2100 Cõu 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (3đ) 2.A 2 ( ) =1 2 22 23 298 299 2100 2 22 23 298 299 0,5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 A =( 2 3 98 99 100 ) +1 - 100 2A A 1 100 2 2 2 2 2 2 2 2 0,5 1 A 1 2100 0,5 Cõu 4 Vẽ hỡnh đỳng cho 0,25đ A (6đ) E (0,25đ) 1 B M C H D F
4. 1 0,25 a C/m được AEH AFH (g-c-g) Suy ra EH = HF (đpcm) 1,25 (1,25) à à 1,5 Từ AEH AFH Suy ra E1 F Xét CMF có ãACB là góc ngoài suy ra Cã MF ãACB Fà b BME có Eà là góc ngoài suy ra Bã ME Eà Bà (1,5đ) 1 1 ã ã ã à à à vậy CMF BME (ACB F) (E1 B) hay 2Bã ME ãACB Bà (đpcm). ỏp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH : 1,0 c FE 2 (1,0đ) ta có HF2 + HA2 = AF2 hay AH 2 AE 2 (đpcm) 4 à à 0,25 C/m AHE AHF(g c g) Suy ra AE = AF và E1 F Từ C vẽ CD // AB ( D EF ) 0,25 C/m được BME CMD(g c g) BE CD (1) d và có Eà Cã DF (cặp góc đồng vị) (1,0đ) 1 0,25 do do đó Cã DF Fà CDF cân CF = CD ( 2) 0, 25 Từ (1) và (2) suy ra BE = CF 2 Ta cú ABH vuụng tại H (gt), ỏp dụng định lớ Pitago ta cú: AB2 AH 2 HB2 HB 4 m CH HB CB hay CH 4 9 CH 9 4 5 0,25 2 2 2 0,25 (1,0đ) Ta cú ACH vuụng tại H (gt), ỏp dụng định lớ Pitago ta cú: AC AH HC AC 2 32 52 0,25 0,25 AC 5,8 m Vậy chiều dài mỏng trượt AC 5,8 m. 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d + Biến đổi: a b c d 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d 0,25 1 1 1 1 a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a) a b c d 0,25 (1,0 đ) + Nếu a + b + c + d 0 thỡ a = b = c = d => Q = 1 + 1 +1 +1 = 4 0,25 Cõu 5 + Nếu a + b + c + d = 0 (2đ) thỡ a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - (a + b); d + a = - (b + c) => Q = (-1) + (-1) + (-1) +(-1) = - 4 0,25 + KL : Vậy Q = 4 khi a + b + c + d 0 Q = - 4 khi a + b + c + d = 0 x x + Ta cú: x y z x y b) y y (1,0đ) x y t x y 0,25
5. z z y z t z t t t x z t z t x y z t M M 0) mà 210 = 1024 < 1025 0,25 Vậy M10 < 1025 0,25 Ghi chỳ: - Bài hỡnh học nếu học sinh khụng vẽ hỡnh hoặc hỡnh sai cơ bản thỡ khụng chấm. - Mọi cỏch giải khỏc, nếu đỳng vẫn cho điểm tối đa tương ứng. Hết