Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 5

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 5

1. CHUYÊN ĐỀ 1. SỐ TỰ NHIÊN, SỐ THẬP PHÂN * Lý thuyết so sánh hai số tự nhiên - Số nào có nhiều chữ số hơn thì số đó lớn hơn. Ví dụ: 123456 > 65432 - Nếu hai số có cùng số chữ số thì ta so sánh từng cặp chữ số ở cùng một hàng theo thứ tự từ trái sang phải. Đến hàng nào đó mà chữ số ở cùng một hàng của số nào đó lớn hơn thì số đó lớn hơn. Ví dụ: 2014 899 > 2013 899. - Nếu hai số có tất cả các cặp chữ số ở từng hàng bằng nhau thì hai số đó bằng nhau. Ví dụ: 4289 = 4289. - Căn cứ vào vị trí trên tia số: Số nào gần gốc tia số hơn thì số đó bé hơn. - Căn cứ vào vị trí trong dãy số tự nhiên: Số đứng trước bao giờ cũng bé hơn số đứng sau. * Lý thuyết về số thập phân Khái niệm: Số thập phân gồm hai phần: phần nguyên và phần thập phân đƣợc phân cách nhau bởi dấu phẩy. Trong đó: - Những chữ số viết bên trái dấu phẩy gọi là phần nguyên. - Những chữ số viết bên phải dấu phẩy gọi là phần thập phân. VD: Số thập phân: 23,456 trong đó: 23: Phần nguyên; 456: phần thập phân. Chú ý: Số tự nhiên có thể xem là số thập phân với phần thập phân chỉ gồm các chữ số 0. VD: Số 54 có thể viết dưới dạng số thập phân là 54,0; 54,00 Cách đọc số thập phân: Muốn đọc một số thập phân, ta đọc lần từ hàng cao đến hàng thấp: trước hết đọc phần nguyên và đọc “phẩy” sau đó đọc số thuộc phần thập phân (đọc đầy đủ các hàng) VD: 123,456 đọc là: Một trăm hai mươi ba phẩy bốn trăm năm mươi sáu. 101,003 đọc là: Một trăm linh một phẩy không trăm linh ba. Cách viết số thập phân: Muốn viết số thập phân ta viết từ hàng cao đến hàng thấp: trước hết ta viết nguyên rồi viết dấu “phẩy” và viết phần thập phân. VD: Viết số: Một nghìn hai trăm bốn mươi sáu phẩy không nghìn không trăm hai mươi ba: 1246,0023. * Lý thuyết về số tự nhiên và cấu tạo số 1. Các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, là các số tự nhiên. Các số tự nhiên đƣợc viết theo thứ tự đó tạo thành dãy một số tự nhiên liên tiếp. - Số 0 là số tự nhiên bé nhất. 1
2. - Không có số tự nhiên lớn nhất. 2. Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau một đơn vị. - Thêm một đơn vị vào một số tự nhiên, ta được số tự nhiên liền sau nó. - Bớt một đơn vị ở một số tự nhiên khác 0, ta được một số tự nhiên liền trước nó. 3. Khi viết các số tự nhiên trong hệ thập phân ngƣời ta dùng 10 chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. 4. Tính chẵn, lẻ của số tự nhiên: - Các số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 là các số chẵn. - Các số có tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9 là các số lẻ. - Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. - Hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. 5. Tia số: - Số 0 ứng với điểm gốc của tia số. - Mỗi số tự nhiên ứng với một điểm trên tia số. 6. Trong hệ thập phân có mƣời đơn vị hàng sau gộp thành một đơn vị ở hàng liền trƣớc. Ví dụ: 10 đơn vị = 1 chục; 10 chục = 1 trăm; 10 trăm = 1 nghìn. 7. Để đọc hay viết các số tự nhiên ngƣời ta tách số thành lớp và hàng. - Cứ ba hàng tạo thành một lớp, mỗi chữ số ứng với một hàng. - Lớp đơn vị gồm các hàng: đơn vị, chục, trăm. - Lớp nghìn gồm các hàng: đơn vị, chục nghìn, trăm nghìn. - Lớp triệu gồm các hàng: triệu, chục triệu, trăm triệu. - Lớp tỉ gồm các hàng: tỉ, chục tỉ, trăm tỉ. 8. Muốn đọc số tự nhiên ta làm nhƣ sau: - Tách số cần đọc thành từng lớp theo thứ tự từ phải sang trái, mỗi lớp có 3 chữ số. - Đọc từ trái sang phải theo lớp (dựa vào cách đọc số có ba chữ số) kèm theo tên lớp (trừ tên lớp đơn vị). 2
3. - Lớp nào, hàng nào không có đơn vị thì có thể không cần đọc (đối với hàng chục ở các lớp đọc là “linh” hoặc “lẻ”). Ví dụ: 75 604 305 đọc là: Bảy mươi lăm triệu sáu trăm linh bốn nghìn ba trăm lẻ năm. 9. Viết số tự nhiên có nhiều chữ số nên viết lớp nọ cách lớp kia một khoảng cách lớn hơn khoảng cách giữa hai chữ số trong cùng một lớp. Ví dụ: Năm triệu không trăm bảy tư nghìn hai trăm ba tư: 5 074 234. Khi viết các số có nhiều hơn một chữ số, trong đó ít nhất có một chữ số chưa biết, cần phải có dấu “gạch ngang” trên đầu số đó. * Phép chia số tự nhiên A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 1. a : b = c (số bị chia : số chia = thương) - Muốn tìm số bị chia chưa biết, ta lấy thương nhân với số chia (số bị chia = số chia thương). - Muốn tìm số chia chưa biết, ta lấy số bị chia chia cho thương (số chia = số bị chia : thương). 2. – Bất kỳ số nào chia cho 1 cũng bằng số đó (a : 1 = a) – Một số chia cho chính nó thì bằng 1 (a : a = 1) 3. Số 0 chia hết cho bất kỳ số nào khác 0 đều bằng 0: 0 : a = 0. 4. Nếu gấp số bị chia và số chia lên cùng một số lần thì thương không đổi. a : b = c (a x m) : (b x m) = c (m khác 0) 5. Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được với nhau. (a + b) : c = a : c + b : c. 6. Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia. a : (b x c) = a : b : c = a : c : b (b và c khác 0). 7. Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết) rồi nhân kết quả với thừa số kia. (a x b) : c = a : c x b = a x (b : c) (với c khác 0). 8. Muốn chia một số chẵn chục, chẵn trăm, chẵn nghìn cho 10, 100, 1000, ta chỉ việc bỏ bớt đi một, hai, ba, chữ số 0 tận cùng bên phải số đó. 9. Phép chia có dư: 3
4. a : b = c dư r (b khác 0 và r < c). - Muốn tìm số bị chia trong phép chia có dư, ta lấy thương nhân với số chia rồi cộng với số dư : a = c x b + r - Muốn tìm số chia trong phép chia có dư, ta lấy số bị chia trừ đi số dư rồi chia cho thương : (a - r) : c = b - Trong phép chia có dư, số dư lớn nhất kém số chia một đơn vị. B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Ví dụ 1: Một xe tải chuyển gạch. Chuyến thứ nhất chuyển được 1753 viên gạch, chuyến thứ hai chở được 1743 viên, chuyến thứ ba chở được 1820 viên. Hỏi trung bình mỗi chuyến xe chở được bao nhiêu viên gạch? Lời giải Cả ba chuyến chở được số viên gạch là: 1753 + 1743 + 1820 = 5316 (viên) Trung bình mỗi chuyến xe chở được số viên gạch là: 5316 : 3 = 1772 (viên) Đáp số: 1772 viên gạch. Ví dụ 2: Một của hàng có 48 bao gạo, mỗi bao gạo nặng 50 kg. Cửa hàng đã bán được 1/3 số gạo đó. Hỏi cửa hàng còn lại bao nhiêu ki-lô-gam gạo? Lời giải Trước khi bán, cửa hàng có số gạo là: 50 x 48 = 2400 (kg). Số gạo cửa hàng đã bán đi là: 2400 : 3 = 800 (kg). Số gạo còn lại của cửa hàng là: 2400 – 800 = 1600 (kg). Đáp số: 1600 kg gạo. * Phép nhân số tự nhiên A. LÝ THUYẾT 1. a x b = c (thừa số x thừa số = tích) - Muốn tìm thừa số chưa biết, ta lấy tích chia cho thừa số đã biết. Ví dụ 1: a x 3 = 15 a = 15 : 3 a = 5. 4
5. Ví dụ 2: 8 x b = 24 b = 24 : 8 b = 3 2. Tính chất giao hoán Khi đổi chỗ các thừa số trong tích thì tích đó không đổi. a x b = b x a 3. Tính chất kết hợp Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích số thứ hai và số thứ ba. (a x b) x c = a x (b x c) 4. Bất cứ số nào nhân với 0 cũng bằng 0. a x 0 = 0 5. Bất cứ số nào nhân với 1 cũng bằng chính nó. a x 1 = a. 6. Muốn nhân một số với một tổng, ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng rồi cộng kết quả lại : a x (b + c) = a x b + a x c. 7. Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể nhân số đó với số bị trừ, nhân số đó với số trừ rồi trừ hai kết quả cho nhau. a x (b - c) = a x b – a x c. 8. Muốn nhân một số tự nhiên với 10; 100; 1000; ta chỉ việc thêm vào bên phải số đó một, hai, ba chữ số 0. 9. Nếu gấp một thừa số lên bao nhiêu lần thì tích gấp lên bấy nhiêu lần. a x b = c a x (b x m) = c x m 10. Trong phép nhân, nếu ta thêm hoặc bớt ở một thừa số bao nhiêu đơn vị và giữ nguyên thừa số kia thì tích sẽ tăng lên hoặc giảm đi bấy nhiêu lần thừa số còn lại. a x b = c (a + m) x b = c + m x b (a - n) x b = c – n x b 11. Một số cách tính nhân nhẩm trên số tự nhiên : a) Nhân nhẩm với 5, 50, 25, 250 và 125 5
6. - Muốn nhân nhẩm một số với 5, ta nhân số đó với 10 được bao nhiêu chia cho 2. - Muốn nhân nhẩm một số với 50, ta nhân số đó với 100 được bao nhiêu rồi đem chia cho 2. - Muốn nhân nhẩm một số với 25 ta nhân số đó với 100 được bao nhiêu đem chia cho 4. - Muốn nhân nhẩm một số với 250 ta lấy số đó nhân với 1000 được bao nhiêu rồi đem chia cho 4. - Muốn nhân nhẩm một số với 125 ta lấy số đó nhân với 1000 được bao nhiêu chia cho 8. b) Nhân nhẩm với 9 và 99 - Muốn nhân nhẩm một số với 9, ta nhân số đó với 10 được bao nhiêu rồi trừ đi chính số đó. - Muốn nhân nhẩm một số với 99, ta nhân số đó với 100 được bao nhiêu rồi trừ đi chính số đó. c) Nhân nhẩm với 11 - Muốn nhân nhẩm một số với 11, ta nhân số đó với 10 được bao nhiêu rồi cộng với chính số đó. - Muốn nhân nhẩm một số có hai chữ số với 11: +) Nếu tổng hai chữ số của số đó nhỏ hơn 10 ta chỉ việc cộng hai chữ số này, được bao nhiêu ta viết xen vào giữa hai chữ số đó. Ví dụ: 35 x 11 = 385 Cách làm: Ta lấy 3 + 5 = 8, viết xen 8 vào giữa 3 và 5. +) Nếu tổng hai chữ số của số đó lớn hơn 9, ta cộng hai chữ số này lại, được bao nhiêu ta viết hàng đơn vị của tổng này vào giữa hai chữ số của số đó và nhớ 1 vào hàng chục (cộng thêm 1 vào hàng chục của số đó). Ví dụ: 87 x 11 = 935 Cách làm: Ta lấy 8 + 7 = 15, viết 5 vào giữa 8 và 7 và lấy 1 + 8 = 9 được số 935. B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Ví dụ 1: Tính bằng cách thuận tiện: a) 5 x 217 x 2 c) 1279 x 25 x 4 b) 8 x 313 x 125 d) 125 x 217 x 8 Lời giải a) 5 x 217 x 2 = 5 x 2 x 217 = 10 x 217 = 2170 b) 8 x 313 x 125 = 8 x 125 x 313 = 1000 x 125 = 125000 6
7. c) 1279 x 25 x 4 = 1279 x 100 = 127900 d) 125 x 217 x 8 = 125 x 8 x 217 = 1000 x 217 = 217000 Ví dụ 2: Tính bằng cách thuận tiện nhất: a) 2157 x 39 + 2157 x 61 c) 4734 x 52 + 48 x 4734 b) 7529 x 123 – 7529 x 23 d) 834 x 217 – 117 x 834 Lời giải a) 2157 x 39 + 2157 x 61 = 2157 x (39 + 61) = 2157 x 100 = 215700 b) 7529 x 123 – 7529 x 23 = 7529 x (123 - 23) = 7529 x 100 = 752900 c) 4734 x 52 + 48 x 4734 = 4734 x (52 + 48) = 4734 x 100 = 473400 d) 834 x 217 – 117 x 834 = 834 x (217 - 117) = 834 x 100 = 83400 Ví dụ 3: Tích của hai số gấp 7 lần thừa số thứ nhất. Tìm thừa số thứ hai. Lời giải: Vì tích của hai số gấp 7 lần thừa số thứ nhất nên thừa số thứ hai chính là 7. * Thứ tự các số thập phân Ở giữa hai số thập phân có vô số số thập phân khác. VD: Giữa 1,2 và 1,3 có vô số số thập phân khác: Chẳng hạn: 1,2 < 1,21 < 1,211 < 1,212 < 1,2121 < 1,3. CHUYÊN ĐỀ 2. CÁC PHÉP TÍNH VỚI PHÂN SỐ A. LÝ THUYẾT 1. Phép cộng phân số 1.1. Cách cộng Hai phân số cùng mẫu: a c a c (b 0) b b b Hai phân số khác mẫu số: - Quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đa về trờng hợp cộng 2 phân số có cùng mẫu số. Cộng một số tự nhiên với một phân số. - Viết số tự nhiên thành phân số có mẫu số bằng mẫu số của phân số đã cho. 7
8. - Cộng hai tử số và giữ nguyên mẫu số. Ví dụ: 3 8 3 11 2 + 4 4 4 4 1.2. Tính chất cơ bản của phép cộng - Tính chất giao hoán: a c c a b d d b . - Tính chất kết hợp: a c m a c m b d n b d n - Tổng của một phân số và số 0: a a a 0 0 b b b 2. Phép trừ phân số 2.1. Cách trừ Hai phân số cùng mẫu: a c a c b b b Hai phân số khác mẫu số: - Quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đưa về trường hợp trừ 2 phân số cùng mẫu số b) Quy tắc cơ bản: - Một tổng 2 phân số trừ đi một phân số: a c m a c m c m b d n b d n (Với d n ) c a m a m = d b n (Với b n ) - Một phân số trừ đi một tổng 2 phân số: a c m a c m b d n b d n a m c = b n d - Một phân số trừ đi số 0: a a 0 b b 3. Phép nhân phân số a c axc x 3.1. Cách nhân: b d bxd 3.2. Tính chất cơ bạn của phép nhân: - Tính chất giao hoán: a c c a x x b d d b - Tính chất kết hợp: a c m a c m b d n = b d n - Một tổng 2 phân số nhân với một phân số: a c m a m c m b d n b n d n 8
9. - Một hiệu 2 phân số nhân với một phân số: a c m a m c m b d n b n d n - Một phân số nhân với số 0: a a x0 0x 0 b b 3.3. Chú ý: - Thực hiện phép trừ 2 phân số: 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1x2 Do đó: 1 2 1x2 1 1 3 2 1 1 1 1 1 2 3 6 6 6 2x3 Do đó: 2 3 2x3 1 1 4 3 1 1 1 1 1 3 4 12 12 12 3x4 Do đó: 3 4 3x4 1 1 n 1 n 1 1 1 1 n n 1 n (n 1) n (n 1) n (n 1) Do đó: n n 1 n (n 1) - Muốn tìm giá trị phân số của một số ta lấy phân số nhân với số đó. 1 1 6 3 Ví dụ: Tìm 2 của 6 ta lấy: 2 1 1 1 1 1 Tìm 2 của 3 ta lấy: 2 3 6 4. Phép chia phân số a c axd : 4.1. Cách làm: b d bxc 4.2. Quy tắc cơ bản: - Tích của 2 phân số chia cho một phân số. a c m a c m x : x : b d n b d n - Một phân số chia cho một tích 2 phân số: a c m a c m : x : : . b d n b d n - Tổng 2 phân số chia cho một phân số: a c m a m a m : : : b d n b n b n - Hiệu 2 phân số chia cho một phân số: a c m a m c m : : : b d n b n d n a 0 : 0. - Số 0 chia cho một phân số: b - Muốn tìm 1 số khi biết giá trị 1 phân số của nó ta lấy giá trị đó chia cho phân số t- ương ứng. 2 Ví dụ: Tìm số học sinh lớp 5A biết 5 số học sinh của lớp 5A là 10 em. Bài giải Số học sinh của lớp 5A là: 2 25 10 : 5 (em) 9
10. a c Khi biết phân số b của x bằng d của y (a, b, c, d 0) c a : - Muốn tìm tỉ số giữa x và y ta lấy d b a c : - Muốn tìm tỉ số giữa y và x ta lấy b d 2 3 Ví dụ: Biết 5 số nam bằng 4 số nữ. Tìm tỉ số giữa nam và nữ. Bài giải 3 2 15 : Tỉ số giữa nam và nữ là: 4 5 = 8 . B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN Dạng 1: Tổnh nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số của phân số liền trƣớc 2 lần. 1 1 1 1 1 1 Ví dụ: 2 4 8 16 32 64 . Cách giải: Cách 1: 1 1 1 1 1 1 Bƣớc 1: Đặt A = 2 4 8 16 32 64 1 1 1 Bƣớc 2: Ta thấy: 2 2 1 1 1 4 2 4 1 1 1 8 4 8 1 1 1 1 1 1 1 1 Bƣớc 3: Vậy A = 2 2 4 4 8 32 64 1 1 1 1 1 1 1 1 A = 2 2 4 4 8 32 64 1 A = 1 - 64 64 1 63 A = 64 64 64 63 Đáp số: 64 . Cách 2: Bƣớc 1: Đặt A = Bƣớc 2: Ta thấy: 1 1 3 1 1 2 4 4 4 1 1 1 7 1 1 2 4 8 8 8 . 10
11. 1 1 1 1 1 1 Bƣớc 3: Vậy A = 2 4 8 16 32 64 1 64 1 63 = 1 - 64 = 64 64 64 Dạng 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số của phân số liền trƣớc n lần. (n > 1) Ví dụ: A = Cách giải: Bƣớc 1: Tính A x n (n = 2) 1 1 1 1 1 1 Ta có: A x 2 = 2 x 2 4 8 16 32 64 2 2 2 2 2 2 = 2 4 8 16 32 64 1 1 1 1 1 1 = 2 4 8 16 32 Bƣớc 2: Tính A x n - A = A x (n - 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A x 2 - A = 2 4 8 16 32 2 4 8 16 32 64 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A x (2 - 1) = 2 4 8 16 32 - 2 4 8 16 32 64 1 A = 1 - 64 A = 5 5 5 5 5 5 Ví dụ 2: B = 2 6 18 54 162 486 Bƣớc 1: Tính B x n (n x 3) 5 5 5 5 5 5 B x 3 = 3 x 2 6 18 54 162 486 15 5 5 5 5 5 = 2 2 6 18 54 162 Bƣớc 2: Tính B x n - B 15 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Bx3 - B = 2 2 6 18 54 162 - 2 6 18 54 162 486 5 5 5 5 5 5 B x (3 - 1) = - 2 6 18 54 162 486 15 5 B x 2 = 2 486 3645 5 B x 2 = 486 3640 B x 2 486 3640 : 2 B = 486 11
12. 1820 B 486 910 B 243 Dạng 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trớc là thừa số thứ nhất của mẫu phân số liền sau: 1 1 1 1 Ví dụ: A = 2 x 3 3 x 4 4 x5 5 x 6 3 2 4 3 5 4 6 5 A = 2 x 3 3 x 4 4 x5 5 x 6 3 2 4 3 5 4 6 5 = 2 x 3 2 x3 3 x 4 3 x 4 4 x5 4 x5 5 x 6 5 x 6 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2 3 3 4 4 5 5 6 1 1 3 1 2 1 = 2 6 6 6 6 3 Ví dụ: 3 3 3 3 B = 2 x5 5 x8 8 x11 11x14 5 2 8 5 11 8 14 11 . B = 2 x5 5 x8 8 x11 11x14 5 2 8 5 11 8 14 11 B = 2 x5 2 x5 5 x8 5 x8 8 x11 8 x11 11x14 11x14 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2 5 5 8 8 11 11 14 1 1 7 1 6 3 = 2 14 14 14 14 7 CHUYÊN ĐỀ 3. TỈ SỐ PHẦN TRĂM A. LÝ THUYẾT Quy tắc: Muốn tìm tỉ số phần trăm của hai số a và b ta làm như sau: Tìm thương của a và b. Nhân thương đó với 100 và viết thêm kí hiệu % vào bên phải tích tìm được Khi giải toán về tỉ số phần trăm, ta thƣờng gặp các dạng sau: - Cho hai số a và b. Tìm tỉ số phần trăm của a và b. - Cho b và tỉ số phần trăm của a và b. Tìm a. - Cho a và tỉ số phần trăm của a và b. Tìm b. B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Ví dụ 1. Trong kế hoạch năm năm 2001 - 2005, công nhân nông trƣờng A trồng đƣợc 720 ha rừng; trong đó, năm 2005 trồng đƣợc 144ha. Hỏi diện tích rừng trồng đƣợc trong năm 2005 : a) Bằng bao nhiêu phần trăm diện tích rừng 12 trồng được trong bốn năm đầu?
13. b) Bằng bao nhiêu phần trăm diện tích rừng trồng được trong năm năm? Giải Diện tích rừng trồng được trong bốn năm đầu là: 720 - 144 = 576 ha. Tỉ số phần trăm của diện tích rừng trồng được trong năm 2005 và bốn năm đầu là: 144 : 576 = 0,25 0,25 = 25% Tỉ số phần trăm của diện tích rừng trồng được trong năm 2005 và cả năm năm là: 144 : 720 = 0,2 0,2 = 20% Đáp số: a) 25%; b) 20%. Ví dụ 2. Phải pha 3kg muối với bao nhiêu ki-lô-gam nƣớc lã để đƣợc bình nƣớc muối chứa 15% muối? Giải Số ki-lô-gam nước lã cần dùng là: 3 x (100 - 15) : 15 = 17 kg Đáp số: 17 kg nƣớc lã. Ví dụ 3. Lớp 5B có 30 học sinh trong đó có 18 học sinh nữ. Tìm tỉ số phần trăm của: a) Số học sinh nữ và số học sinh cả lớp. b) Số học sinh nam và số học sinh nữ. Đáp số : a) Tỉ số phần trăm của số học sinh nữ và số học sinh cả lớp là: 60%. b) Tỉ số phần trăm của số học sinh nam và số học sinh nữ là: 66,66%. Ví dụ 4. Tỉ số phần trăm của lƣợng muối trong nƣớc biển là 3,5%. Hỏi trong 4/5 kg nƣớc biển có bao nhiêu gam muối? Đáp số: 28g. CHUYÊN ĐỀ 4. CÁC BÀI TOÁN VỀ LỊCH THỜI GIAN Bài 1: Ngày 1/6/2012 là thứ 6. Hỏi: a) a. Ngày 1/6/2015 là thứ mấy? b) b. Ngày 1/6/2020 là thứ mấy? Hƣớng dẫn a. Từ 1/6/2012 đến 1/6/2015 có số năm là: 2015 – 2012 = 3 (năm) Ba năm thường có số ngày là: 365 x 3 = 1095 (ngày) Ta có: 1095 : 3 = 156 dư 3 Ngày 1/6/2012 là thứ 6 thì 1/6/2015 là thứ 2. b. Từ 1/6/2012 đến 1/6/2020 có số năm là: 2020 – 2012 = 8 (năm) 13
14. Trong 8 năm đó có 2 năm nhuận là 2016 và 2020, mỗi năm có 366 ngày. Các năm còn lại, mỗi năm có 365 ngày. Từ 1/6/2012 đến 1/6/2020 có số ngày là: 2 x 366 + 6 x 365 = 2922 (ngày) Ta có: 2922 : 7 = 417 dư 3 Ngày 1/6/2012 là thứ 6 thì 1/6/2020 là thứ 2. Bài 2: Một tháng Hai của một năm nào đó có 5 ngày chủ nhật. Hỏi tháng Hai đó có bao nhiêu ngày? Hƣớng dẫn Nếu ngày chủ nhật đầu tiên của tháng Hai đó là ngày mồng 2 thì các chủ nhật tiếp theo là: 9; 16; 23. Vậy tháng Hai đó chỉ có 4 ngày chủ nhật => loại. Vậy chủ nhật đầu tiên của tháng Hai đó phải là ngày mồng 1. Các chủ nhật tiếp theo sẽ vào mồng 8; 15; 22; 29. Ngày chủ nhật cuối cùng của tháng đó là ngày 29 nên tháng Hai đó có 29 ngày. Đ/S: 29 ngày Bài 3: Tháng Hai của một năm nào đó có ngày chẵn đầu tiên là thứ bảy. Hỏi tháng Hai đó có mấy thứ bảy? Hƣớng dẫn Ngày chẵn đầu tiên của tháng Hai đó phải là mồng 2. Các thứ 7 tiếp theo sẽ là: 9; 16; 23 Vậy tháng Hai đó có 4 ngày thứ 7. Đ/S: 4 ngày Bài 4: Một nhà hộ sinh của một trạm xá trong tháng Hai năm 2013 có 29 em bé ra đời. Có thể chắc chắn có ít nhất 2 em bé sinh cùng ngày đƣợc không? Hƣớng dẫn Năm 2013 là năm thường nên tháng Hai chỉ có 28 ngày. Giả sử mỗi ngày của tháng Hai đó có 1 em bé ra đời, tháng Hai sẽ có: 28 x 1 = 28 em bé ra đời. Em bé thứ 29 ra đời cũng vào một ngày nào đó của tháng Hai. Vậy chắc chắn có ít nhất 2 em 14 bé sinh cùng ngày.
15. CHUYÊN ĐỀ 5. PHƢƠNG PHÁP THỬ CHỌN Ví Dụ 1: Biết rằng hiệu giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của một số lẻ có hai chữ số bằng 3. Nếu thêm vào số đó 3 đơn vị ta đƣợc số có hai chữ số giống nhau. Tìm số đó. Giải Gọi số cần tìm là ab. Những số lẻ mà hiệu giữa hai chữ số của nó bằng 3 là: 25; 41; 47; 63; 69; 85. Ta có bảng sau: ab ab + 3 Kết luận 25 28 loại 41 44 chọn 47 50 loại 63 66 chọn 69 72 loại 85 88 chọn Vậy số cần tìm là 41; 63 và 85. Ví Dụ 2: Chữ số hàng chục của một số tự nhiên có ba chữ số khác nhau gấp 2 lần chữ số hàng đơn vi. Nếu lấy tích của chữ số hàng chục và hàng đơn vị chia cho chữ số hàng trăm đƣợc thƣơng bằng 8. Tìm số đó. Giải Gọi số cần tìm là abc. Theo đề bài, số abc chỉ có thể là: a21; a42; a63; a84. Ta có bảng sau: abc (b x c) : 8 Kêt luận a21 2 x 1 : 8 Loại a42 4 x 2 : 8 = 1 Chọn a63 6 x 3 : 8 Loại 15
16. a84 8 x 4 : 8 = 4 Loại Vậy số cần tìm là 142. Ví Dụ 3: Tìm một số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng tổng các chữ số của số đó bằng 18, tích các chữ số của nó bằng 64 và nếu viết các chữ số của số đó theo thứ tự ngƣợc lại thì số đó không thay đổi. Giải Theo đề bài thì số cần tìm có dạng abba. Tổng của hai chữ số a và b là: 18 : 2 = 9 Số 9 có thể phân tích thành tổng của những cặp số sau: 0 và 9; 1 và 8; 2 và 7; 3 và 6; 4 và 5. Số cần tìm có thể là: 9009; 1881; 8118; 7227; 2772; 6336; 3663; 4554; 5445. Ta có bảng sau: abba axbxbxa Kết Luận 9009 9x0x0x9 = 0 Loại 1881 1x8x8x1 = 64 Chọn 8118 8x1x1x8 = 64 Chọn 7227 7x2x2x7 = 196 Loại 2772 2x7x7x2 = 196 Loại 6336 6x3x3x6 = 324 Loại 3663 3x6x6x3 = 324 Loại 4554 4x5x5x4 = 400 Loại 5445 5x4x4x5 = 400 Loại Vậy số cần tìm là 1881 hoặc 8118. CHUYÊN ĐỀ 6. PHƢƠNG PHÁP GIẢ THIẾT TẠM Bài 1: Hai ngƣời thợ làm chung một công việc thì phải làm trong 7 giờ mới xong. Nhƣng ngƣời thợ cả chỉ làm 4 giờ rồi nghỉ do đó ngƣời thứ hai phải làm 9 giờ nữa mới xong.Hỏi nếu làm riêng thì mỗi ngƣời phải làm mấy giờ mới xong? Bài giải Lấy 4 giờ của người thợ thứ hai để cùng làm với thợ cả thì được: 4/7 (công việc) Thời gian còn lại của người thứ hai: 9 - 4 = 5 (giờ) 5 giờ của người thứ hai làm được: 1 – 4/7 = 3/7 (công việc) Thời gian người thợ thứ hai làm xong công việc: 5 : 3 x 7 = 11 giờ 40 phút. 7 giờ người thứ hai làm được: 3/7 : 5 x 7 = 0,6 (công việc) 7 giờ người thợ cả làm được: 1 – 0,6 = 0,4 (công việc) Thời gian người thợ cả làm xong công việc: 1 : 0,4 x 7 = 17 giờ 30 phút. 16
17. Bài 2: Hai ngƣời cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu ngƣời thứ nhất làm trong 3 giờ, ngƣời thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm 25% công việc. Hỏi mỗi ngƣời làm công việc đó một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc đó? Bài giải Lấy 3 giờ của người thứ 2 để cùng làm chung 3 giờ với người thứ nhất thì được 3/16 công việc, tương đương với 3 : 16 =0,1875 = 18,75% (công việc) 3 giờ còn lại của người thứ 2 làm được: 25% - 18,75% = 6,25% Thời gian người thứ hai làm xong công việc: 3 x 100 : 6,25 = 48 (giờ) 3 gời người thứ nhất làm được: 18,75% - 6,25% = 12,5% Thời gian người thứ nhất làm xong công việc: 3 x 100 : 12,5 = 24 (giờ) Đáp số: 24 giờ ; 48 giờ. Bài 3: Một quầy bán hàng có 48 gói kẹo gồm loại 0,5kg; loại 0,2kg và loại 0,1kg. Khối lƣợng cả 48 gói la 9kg. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu gói (biết số gói 0,1kg gấp 3 lần số gói 0,2kg). Bài giải Như vậy nếu có 1 gói 0,2kg thì có 3 gói 0,1kg. Tổng khối lượng 1 gói 0,2kg và 3 gói 0,1kg. 0,2 + 0,1 x 3 = 0,5 (kg) Giả sử đều là gói 0,5kg thì sẽ có tất cả: 9 : 0,5 = 18 (gói) Như vậy sẽ còn thiếu: 48 – 18 = 30 (gói) Còn thiếu 30 gói là do ta đã tính (3+1=4) 4 gới (vừa 0,2g vừa 0,1kg) thành 1 gói. Mỗi lần như vậy số gói sẽ thiếu đi: 4 – 1 = 3 (gói) Số gói cần phải thay là: 30 : 3 = 10 (gói) Số gói 0,5 kg: 18 – 10 = 8 (gói 0,5kg) 10 gói 0,2kg thì có số gói 0,1kg: 10 x 3 = 30 (gói 0,1kg) Đáp số: 0,5kg có 8 gói ; 0,2kg có 10 gói ; 0,1kg có 30 gói . Bài 4: Có 145 tờ tiền mệnh giá 5000đ, 2000đ và 1000đ. Số tiền của 145 tờ tiền giấy trên là 312 000đ. Số tiền loại mệnh giá 2000đ gấp đôi loại 1000đ. Hỏi mỗi loại tiền có mấy tờ. Bài giải Do Số tiền loại mệnh giá 2000đ gấp đôi loại 1000đ Nên số tờ mệnh giá 2000 bằng số tờ mệnh giá 1000 - Giả sử 145 tờ toàn là tiền mệnh giá 5000 đ thì tổng số tiền lúc này là: 5000 x 145 = 725000 đ - Số tiền dôi lên là: 725000 - 312000 = 413000 đ - Mỗi lần thay 2 tờ 5000đ bởi 1 tờ 2000 và 1 tờ 1000đ 17
18. Thì số tiền dôi lên là: 2 x 5000 – (2000 + 1000) = 7000 đ - Số lần thay thế là: 413000 : 7000 = 59 lần =>Có 59 tờ mệnh giá 2000đ, và 59 tờ mệnh giá 1000đ. Số tờ mệnh giá 5000đ là: 145 - (59 x 2) = 27 tờ Đáp số: - Loại 5000 đ có 27 tờ - Loài 2000 đ có 59 tờ - Loại 1000 đ có 59 tờ CHUYÊN ĐỀ 7. PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGƢỢC Ví dụ 1: Nhà Lan nuôi đƣợc một đàn gà. Tuần trƣớc mẹ bán 2/3 đàn gà. Tuần này mẹ bán 3/4 số gà còn lại thêm 1/4 con nữa thì đàn gà nhà Lan còn lại 3 đôi gà. Hỏi đàn gà nhà Lan có tất cả bao nhiêu con? Giải Đổi 3 đôi = 6 con gà. Chia số gà còn lại sau lần bán thứ nhất làm 4 phần bằng nhau, ta có sơ đồ sau: Bán lần 2 6 con |===|===|===|=|===| 1/4 con Số gà còn lại sau lần bán thứ nhất là: (6 + 1/4) x 4 = 25 con Chia số gà của cả đàn làm 3 phần bằng nhau, ta có sơ đồ sau: Bán lần 1 25 con |===|===|===| Số gà của cả đàn là: 25 x 3 = 75 con Đ/S: 75 con gà. Ví dụ 2: Dì Út đi chợ bán trứng. Lần thứ nhất bán một nửa số trứng cộng thêm 1 quả, lần thứ hai bán một nửa số trứng còn lại cộng thêm 2 quả và lần thứ ba bán một nửa số trứng còn lại sau hai lần bán cộng thêm 3 quả thì vừa hết số trứng. Hỏi dì Út đã bán tất cả bao nhiêu quả trứng? Giải Chia số trứng sau lần bán thứ 2 ra làm hai phần bằng nhau ta có sơ đồ sau: |===|===| Số trứng còn lại sau khi bán lần 2 là: 3*2 = 6 quả trứng. Chia số trứng còn lại sau lần bán thứ nhất ra làm hai phần ta có sơ đồ sau: 1 nửa 6 quả |===|=|===| 2 quả Số trứng còn lại sau khi bán lần 1 là: (6 + 2)*2 = 16 quả trứng. Chia số trứng ban đầu ra làm 2 phần bằng nhau ta có sơ đồ sau: 1 nửa 16 quả 18
19. |===|=|===| 1 quả Số chứng ban đầu là: (16 + 1)*2 = 34 quả trứng. Vậy ban đầu dì Út có 34 quả trứng. Đ/S: 34 quả trứng. CHUYÊN ĐỀ 8. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CẤU TẠO SỐ THẬP PHÂN A. LÝ THUYẾT - Mỗi số thâp phân có 2 phần: phần nguyên và phần thâp phân, hai phần đươc ngăn cách nhau bởi dấu phẩy. Bên trái dấu phẩy là phần nguyên, bên phải dấu phẩy là phần thâp phân. - Mỗi số tư nhiên a đều có thể biểu diễn thành số thâp phân mà phần thâp phân là những số 0. - Nếu viết thêm số 0 vào bên phải phần thâp phân của môt số thâp phân thì ta đươc môt số thâp phân bằng nó. Nếu số thâp phân ở tân cùng bên phải là số 0 thì khi xóa đi số 0 đó ta đươc số thâp phân mới bằng chính nó. B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Viết các phân số sau dƣới dang thâp phân: a) 1/2 b) 2014/5 c)26/8 Lời giải a) 1/2 = (1 x 5)/(2 x 5) = 5/10 = 0,5 b) 2014/5 = (2014 x 2)/(5 x 2) = 4028/10 = 402,8 c) 26/8 = (26 x 125)/(8 x 125) = 3250/1000 = 3,250 = 3,25. Bài 2: Cho ba chữ số 0; 1; 2. Hãy viết tất cả các số thâp phân từ 3 số đã cho sao cho mỗi chữ số xuất hiện trong cách viết đúng một lần. Giải Những số có 1 chữ số ở phần nguyên là: 0,12; 0,21; 1,02; 1,20; 2,10; 2,01 Những số có hai chữ số ở phần nguyên là: 10,2; 12,0; 20,1; 21,0 CHUYÊN ĐỀ 9. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP CHI CÓ DƢ A. LÝ THUYẾT . Nếu a chia cho 2 dư 1 thì chữ số tận cùng của nó là: 1; 3; 5; 7 hoặc 9. . Nếu a chia 5 dư 1 thì chữ số tận cùng của nó là 1 hoặc 6; chia cho 5 dư 2 thì chữ số tận cùng của a là 2 hoặc 7; nếu chia cho 5 dư 3 thì chữ số tận cùng là 3 hoặc 8; chia 5 dư 4 thì chữ số tận cùng là 4 hoặc 9. . Nếu a và b có cùng số dư khi chia cho 2 thì hiệu của chúng chia hết cho 2. Cũng có những tính chất tương tự với các số 3, 4, 5 và 9. . Nếu a chia b dư b - 1 thì a + 1 chia hết cho b. . Nếu a chia b dư 1 thì a - 1 chia hết cho b. B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Ví dụ 1: Tìm x và y để N = 3x579y chia cho 2, 5, 9 đều dƣ 1. Giải 19
20. N chia 5 dư 1 nên y có thể bằng 1 hoặc 6. Nhưng N cũng chia 2 dư 1 nên y phải lẻ. Vậy y = 1. => N = 3x5791 Tổng các chữ số của N = 3 + x + 5 + 7 + 9 + 1 = x +25. Để N chi 9 dư 1 thì (x + 25) chia 9 dư 1 => x + 25 = 28 => x =3. Vậy x = 3; y = 1 và N = 335791 Ví dụ 2: Tìm một số tự nhiên bé nhất khác 1 sao cho khi chia số đó cho 3; 4; 5; 6 và 7 đều dƣ 1. Giải Gọi số cần tìm là a. Theo đề bài, a chia cho 3; 4; 5; 7 đều dư 1 nên b = a - 1 chia hết cho 3; 4; 5; 6; 7. b chia hết cho 4 và 5 nên b có tận cùng là 0. Xét các trường hợp sau: - b có 1 chữ số: b = 0 -> a = 1 loại. - b có 2 chữ số: b có tận cùng bằng 0 và chia hết cho 7 nên b = 70 loại vì 70 không chia hết cho 3. - b có 3 chữ số: đặt b = xy0. + Vì b chia hết cho 4 nên y bằng 0; 2; 4; 6 hoặc 8; + Vì xy0 chia hết cho 7 nên b có thể là: 140; 280; 420; 560; 700; 840 hoặc 980. Trong các số trên chỉ có 420 và 840 chia hết cho 3 và 6. Nên b bằng 420 hoặc 840 => a bằng 421 hoặc 841. Vậy số bé nhất cần tìm là: 421. Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên bé nhất sao cho khi chia cho 3 dƣ 2, cho 4 dƣ 3, cho 5 dƣ 4; cho 6 dƣ 5 và 7 dƣ 6. Giải Gọi số cần tìm là a. Đặt b = a + 1. Theo đề bài thì ta suy ra b chia hết cho 3, 4, 5, 6, 7. Mà ở ví dụ 2 ta có được số bé nhất chia hết cho 3; 4; 5; 6; 7 là 420. Vậy a = 419. CHUYÊN ĐỀ 10. VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG & HIỆU A. LÝ THUYÊT - Nếu mỗi số hạng của tổng đều chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng chia hết cho 2. - Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 2. - Nếu một số hạng không chia hết cho 2 và các số hạng còn lại đều chia hết cho 2 thì tổng của chúng không chia hết cho 2. - Hiệu giữa một số chia hết cho 2 và một số không chia hết cho 2 là một số không chia hết cho 2. - Các tính chất tương tự đối với các trường hợp chia hết cho 3, 4, 5 và 9. B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Ví dụ 1: Không làm phép tính, hãy cho biết các tổng và hiệu sau đây có chia hết cho 3 hay không? a) 240 + 123 b) 240 - 123 c) 459 + 690 + 1236 d) 2454 + 374 e) 2454 - 374 f) 541 + 690 + 1236 20
21. Hƣớng dẫn giải Vì 240 và 123 chia hết cho 3 nên a) 240 + 123 chia hết cho 3 b) 240 - 123 chia hết cho 3 c) Các số 459, 690 và 1236 đều chia hết cho 3 nên 459 + 690 + 1236 chi hết cho 3. d) Do 2454 chia hết cho 3 và 374 không chia hết cho 3. Vì vậy, 2454 + 374 không chia hết cho 3. e) Tương tự phần d) ta có được: 2454 - 374 không chia hết cho 3. f) 690 và 1236 chia hết cho 3, nhưng 541 không chia hết cho 3 nên: 541 + 690 + 1236 không chia hết cho 3. Ví dụ 2: Tổng kết năm học 2013 - 2014, Trƣờng Tiểu Học Rạng Đông có 321 học sinh tiên tiến và 123 học sinh giỏi. Ban giám hiệu dự định thƣởng cho mỗi học sinh giỏi nhiều hơn mỗi học sinh tiên tiến nhiều hơn 3 quyển vở. Cô phụ trách tính phải mua 2014 quyển thì vừa đủ phát thƣởng. Hỏi cô phụ trách tính đúng hay sai tại sao? Hƣớng dẫn giải Nhận xét: Số học sinh giỏi và số học sinh tiên tiến đều là những số chia hết cho 3, vì vậy số vở thưởng cho mỗi loại học sinh là số chia hết cho 3. Do đó, tổng số vở phát thưởng cũng là một số chia hết cho 3, mà số 2014 không chia hết cho 3. Do đó, cô phụ trách đã tính nhầm. CHUYÊN ĐỀ 11. ĐIỀN DẤU PHÉP TÍNH Trong dạng toán này, ngƣời ta thƣờng cho một dãy các chữ số, ta phải điền dấu các phép tính (+ ; - ; x ; :) và dấu ngoặc vào giữa các chữ số để đƣợc phép tính có kết quả cho trƣớc. Các ví dụ dƣới đây minh hoa các phƣơng pháp giải thƣờng sử dụng. Ví dụ 1: Hãy điền dấu phép tính và dấu ngoặc để có: a) 1 2 3 = 1; b) 1 2 3 4 = 1; c) 1 2 3 4 5 = 1; d) 1 2 3 4 5 6 = 1; e) 1 2 3 4 5 6 7 = 1; f) 1 2 3 4 5 6 7 8 = 1; g) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1. Giải a) Giữa số 1 và số 2 chỉ có thể điền dấu + hoặc dấu x. - Nếu điền dấu x vào giữa số 1 và số 2 thì giữa số 2 và số 3 cũng phải điền dấu + hoặc x. Như thế kết quả lớn hơn 1. Vậy giữa số 1 và số 2 phải điền dấu + : 1 + 2 = 3. - Để được kết quả bằng 1 thì giữa số 2 và số 3 ta điền dấu : (chia). Ta điền như sau: (1 + 2) : 3 = 1. b) Có nhiều cách điền, chẳng hạn: 1 x 2 + 3 - 4 = 1 1 x (2 + 3 - 4) = 1 1 : (2 + 3 - 4) = 1 c) (1 + 2) : 3 + 4) : 5 = 1 21
22. d) Sử dụng kết quả của câu b, ta có thể điền như sau: (1 x 2 + 3 - 4 + 5) : 6 = 1 (1 x (2 + 3 - 4) + 5) : 6 = 1 (1: (2 + 3 - 4 ) + 5) : 6 = 1 e) (1 + 2) : 3 + 4) : 5 + 6) : 7 = 1 f) Sử dụng kết quả của câu d, ta có thể điên như sau: (1 x 2 + 3 - 4 + 5) : 6 + 7) : 8 = 1 (1 x (2 + 3 - 4) + 5) : 6 + 7) : 8 = 1 (1 : (2 + 3 - 4) + 5) : 6 + 7) : 8 = 1 g) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 - 6 - 7 + 8 - 9 = 1 (1 + 2) : 3 + 4) : 5 + 6) : 7 + 8) : 9 = 1 Ví dụ 2: Hãy điền thêm dấu phép tính vào dãy số sau: 6 6 6 6 6 để đƣợc biểu thức có giá trị lần lƣợt bằng 0 ; 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 và 6. Giải - Biểu thức có giá trị bằng 0, chẳng hạn: (6 - 6) x (6 + 6 + 6) = 0 (6 - 6) : (6 + 6 + 6) = 0 - Biểu thức có giá trị bằng 1, chẳng hạn: 6 + 6 - 66 : 6 = 1 6 - (66 : 6 - 6) = 1 - Biểu thức có giá trị bằng 2, chẳng hạn: (6 + 6) : 6 x 6 : 6 = 2 (6 + 6) : 6 + 6 - 6 = 2 - Biểu thức có giá trị bằng 3, chẳng hạn: (6 + 6) : 6 + 6 : 6 = 3 6 : 6 + (6 + 6) : 6 = 3 - Biểu thức có giá trị bằng 4, chẳng hạn: 6 - (6 : 6 + 6 : 6) = 4 (6 + 6 + 6 + 6) : 6 = 4 - Biểu thức có giá trị bằng 5, chẳng hạn: 6 - 6 : 6 x 6 : 6 = 5 6 - 6 x 6 : 6 : 6 = 5 - Biểu thức có giá trị bằng 6, như: 6 - 6 + 6 - 6 + 6 = 6 6 + 6 - 6 + 6 - 6 = 6. CHUYÊN ĐỀ 12. DÃY CHỮ Ví dụ: Một ngƣời viết liên tiếp nhóm chữ TO QUOC VIET NAM thành dãy: TOQUOCVIETNAMTOQUOCVIETNAM a. Chữ cái thứ 2007 trong dãy là chữ gì? b. Nếu ngƣời ta đếm đƣợc trong dãy 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ O, bao nhiêu chữ I? c. Bạn An đếm đƣợc trong dãy có 2007 chữ O. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay sai? Giải thích tại sao? d. Ngƣời ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím. vàng Hỏi chữ cái thứ 2007 trong dãy đƣợc tô màu gì? Giải a. Nhóm chữ TO QUOC VIET NAM có 13 chữ cái. 2007 : 13 = 154 dư 5 22
23. Như vậy, chữ cái thứ 2007 trong dãy là chữ thứ 5 của nhóm chữ thứ 155. Chữ đó là chữ O. b. Mỗi nhóm chữ TO QUOC VIET NAM có 2 chữ T và cũng có 2 chữ O và 1 chữ I. Vì vậy,nếu người ta đếm được 50 chữ T thì trong dãy đó cũng có 50 chữ O và 25 chữ I. c. Bạn ấy đếm sai, vì số chữ O trong dãy phải là số chẵn. d. Ta gọi mỗi nhóm chữ liền nhau trong dãy được tô màu: xanh, đỏ, tím, vàng là một nhóm màu. Ta có: 2007 : 4 = 501 dư 3. Vậy chữ cái thứ 2007 trong dãy là chữ thứ 3 của nhóm màu thứ 502. Chữ đó được tô màu tím. CHUYÊN ĐỀ 13. MỘT SỐ PHÉP TÍNH CÓ KẾT QUẢ ĐẶC BIỆT Một Số Phép Tính Có Kết Quả Đặc Biệt Ví Dụ: a) Phải nhân 19 với số nào để đƣợc kết quả là 1919; 19191919? b) Phải nhân 123 với số nào để đƣợc kết quả là 123123; 123123123? c) Phải nhân 2014 với số nào để đƣợc kết quả là 20142014? Giải a) Bài toán có thể hiểu như sau: 19 x ? = 1919 ? = 1919 : 19 ? = 101 Vậy phải nhân 19 với 101 để được kết quả bằng 1919. 19 x ? = 19191919 ? = 19191919 : 19 ? = 1010101 Vậy phải nhân 19 với 1010101 để được kết qả bằng 19191919. b) Tương tự, ta có: Phải nhân 123 với 1001 và 1001001 để được kết quả bằng 123123 và 123123123. c) Phải nhân 2014 với 10001 để được kết quả bằng 20142014. CHUYÊN ĐỀ 14. TÌM SỐ SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ A. LÝ THUYẾT - số số hạng = số khoảng cách + 1 - số số hạng = (Số hạng đầu - Số hạng cuối ) : d + 1 {d là khoảng cách - CT áp dung cho dãy cách đều} B. BÀI TẬP VẬN DỤNG 1.Có bao nhiêu số tự nhiên liên tiếp kể từ: a) 1 dến 1945? b) 187 đến 718? c) 1000 đến 2000? 2. Có bao nhiêu số tự nhiên là: a) Các số chẵn liên tiếp có hai chữ số? b) Các số lẻ liên tiếp có ba chữ số? 23
24. c) Các số lẻ từ 1 đến 2001? 3. Dãy số sau đây có bao nhiêu số hạng: a) 1, 2, 3, 4, , 98, 99, 100, 99, 98, ,4, 3, 2, 1? b) 1, 3, 5, 7, , 95, 97, 99, 100, 98, , 8, 6, 4, 2 ? 4. Cho dãy số 298, 295, 292, , 7, 4, 1. Hỏi dãy này có bao nhiêu số hạng? CHUYÊN ĐỀ 15. TÌM THÀNH PHẦN CHƢA BIẾT TRONG DÃY TÍNH Khi giải các bài toán dạng này, ta dựa vào quy tắc tìm thành phần chƣa biết của phép tính để tìm kết quả. Ví dụ: Tìm x, biết: a) x + 40 x 25 = 2000; b) (x + 40) x 25 = 2000; c) (x - 10) x 5 = 100 – 20 x 4; d) (x + 2) + (x + 4) + + (x + 1996) = 998000. Hƣớng dẫn giải a) x + 40 x 25 = 2000 x + 1000 = 2000 x = 2000 - 1000 x = 1000. b) (x + 40) x 25 = 2000 x + 40 = 2000 : 25 x + 40 = 80 x = 80 - 40 x = 40. c) (x - 10) x 5 = 100 – 20 x 4 (x - 10) x 5 = 100 - 80 (x - 10) x 5 = 20 x - 10 = 20 : 5 x - 10 = 4 x = 4 + 10 x = 14. d) Các số hạng x + 2; x + 4; ; x + 1996 lập thành một dãy số cách đều với khoảng cách bằng 2. Từ x + 2 đến x + 1996 có: (1996 - 2) : 2 + 1 = 998 số hạng. Tổng các số hạng ở vế trái là: (x + 2) + (x + 4) + + (x + 1996) = (x + 1996 + x + 2) x 998 : 2= (2 x x + 1998) x 998 : 2 Vậy ta có: (2 x x + 1998) x 998 : 2 = 998000 (2 x x + 1998) x 998 = 998000 x 2 2 x x + 1998 = 998000 x 2 : 998 2 x x + 1998 = 2000 2 x x = 2000 - 1998 2 x x = 2 x = 2 : 2 24
25. x = 1. CHUYÊN ĐỀ 16. VẬN DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT ĐỂ VIẾT STN VD1: Cho 3 chữ số 2, 3, 5. Từ ba chữ số đã cho, hãy viết tất cả các số có 3 chữ số: a) Chia hết cho 2; b) Chia hết cho 5. Giải a) Các số chia hết cho 2 phải có tân cùng là 2. Các số đó là: 222; 232; 252; 322; 332; 352; 522; 532; 552 b) Các số chia hết cho 5 có chữ số hàng đơn vi là 5. Các số đó là: 225; 235; 255; 325; 335; 355; 525; 535; 555 VD 2: a) Có thể viết đƣơc bao nhiêu số chẵn có ba chữ số mà các chữ số của nó đều là số chẵn? b) Có thể viết đƣơc bao nhiêu số có 4 chữ số # nhau chia hết cho 5 mà các chữ số của nó đều là số lẻ? Giải a) Mỗi số cần tìm có dang abc. Nhân xét có 5 chữ số là số chẵn là: 0; 2; 4; 6; 8 Ta có: - Chon a: Có 4 cách. - Chon b: Có 5 cách. - Chon c: có 5 cách. Vây có tất cả 4 x 5 x = 100 số chẵn có 3 chữ số đều chawxnn. b) Mỗi số cần tìm có dang abc5. - Chon a: 4 cách chon. - Chon b có 3 cách. - Chon c có 2 cách. Vây có 4 x 3 x 2 = 24 số có 4 chữ số # nhau chia hết cho 5 mà các chữ số của nó đều là số lẻ. CHUYÊN ĐỀ 17. XÁC ĐỊNH SỐ A A. LÝ THUYẾT . Xác định đặc điểm của các số hạng trong dãy số. . Kiểm tra số a có thỏa mãn đặc điểm đó không. B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Ví dụ 1: Hãy cho biết: a) Các số 50 và 133 có thuộc dãy số 90; 95; 100; hay không? b) Số 1996 có thuộc dãy số 2; 5; 8; 11; hay không? c) Số nào trong các số 666; 1000; 9999 thuộc dãy số 3; 6; 12; 24; ? Giải thích tại sao. Giải a) Cả hai số 50 và 133 đều không thuộc dãy số đã cho, vì: 25
26. - Các số hạng của dãy số đã cho đều lớn hơn 50; - Các số hạng của dãy số đã cho đều chia hết cho 5 mà 133 thì không. b) Số 1996 không thuộc dãy số đã cho, vì các số hạng của dãy khi chia cho 3 đều dư 2 mà 1996 chia cho 3 dư 1. c) Cả ba số 666; 1000 và 9999 đều không thuộc dãy số đã cho vì: . Mỗi số hạng của dãy số (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với 2. Cho nên mỗi số hạng của dãy số (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước nó là số chẵn, mà 666 : 2 = 333 là số lẻ; . Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3, mà 1000 không chia hết cho 3; . Các số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) đều là số chẵn, mà 9999 là số lẻ; CHUYÊN ĐỀ 18. XÉT CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ A. LÝ THUYẾT - Chữ số tận cùng của 1 tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy. - Chữ số tận cùng của 1 tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy. - Tổng 1 + 2 + 3 + 4 + + 9 có chữ số tận cùng bằng 5. - Tích 1 x 3 x 5 x 7 x 9 có chữ số tận cùng bằng 5. - Tích a x a không thể có tận cùng bằng 2, 3, 7 hoặc 8. B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: a) Nếu tổng của 2 số tự nhiên là 1 số lẻ, thì tích của chúng có thể là 1 số lẻ đƣợc không? b) Nếu tích của 2 số tự nhiên là 1 số lẻ, thì tổng của chúng có thể là 1 số lẻ đƣợc không? c) “Tổng” và “hiệu” hai số tự nhiên có thể là số chẵn, và số kia là lẻ đƣợc không? Giải a) Tổng hai số tự nhiên là một số lẻ, như vậy tổng đó gồm 1 số chẵn và 1 số lẻ, do đó tích của chúng phải là 1 số chẵn (Không thể là một số lẻ được). b) Tích hai số tự nhiên là 1 số lẻ, như vậy tích đó gồm 2 thừa số đều là số lẻ, do đó tổng của chúng phải là 1 số chẵn(Không thể là một số lẻ được). c) Lấy “Tổng” cộng với “hiệu” ta được 2 lần số lớn, tức là được 1 số chẵn. Vậy “tổng” và “hiệu” phải là 2 số cùng chẵn hoặc cùng lẻ (Không thể 1 số là chẵn, số kia là lẻ được). Bài 2: Không cần làm tính, kiểm tra kết quả của phép tính sau đây đúng hay sai? a, 1783 + 9789 + 375 + 8001 + 2797 = 22744 b, 1872 + 786 + 3748 + 3718 = 10115. c, 5674 x 163 = 610783 Giải a, Kết quả trên là sai vì tổng của 5 số lẻ là 1 số lẻ. b, Kết quả trên là sai vì tổng của các số chẵn là 1 số chẵn. c, Kết quả trên là sai vì tích của 1số chẵn với bất kỳ 1 số nào cũng là một số chẵn. Bài 3: Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 24 024 Giải 26 Ta thấy trong 4 số tự nhiên liên tiếp
27. thì không có thừa số nào có chữ số tận cùng là 0; 5 vì như thế tích sẽ tận cùng là chữ số 0 (trái với bài toán) Do đó 4 số phải tìm chỉ có thể có chữ số tận cùng liên tiếp là 1, 2, 3, 4 và 6, 7, 8, 9 Ta có: 24 024 > 10 000 = 10 x 10 x 10 x 10 24 024 0) Ta có: A x A = 111 111 Vì 1 + 1 +1 + 1+ 1+ 1+ = 6 chia hết cho 3 nên 111 111 chia hết cho 3. Do vậy A chia hết cho 3, mà A chia hết cho 3 nên A x A chia hết cho 9 nhưng 111 111 không chia hết cho 9. Vậy không có số nào như thế. Bài 7: a, Số 1990 có thể là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp đƣợc không? Giải Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3 vì trong 3 số đó luôn có 1 số chia hết cho 3 nên 1990 không là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp vì: 1 + 9 + 9 + 0 = 19 không chia hết cho 3. b, Số 1995 có thể là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp không? Giải 3 số tự nhiên liên tiếp thì bao giờ cũng có 1 số chẵn vì vậy mà tích của chúng là 1 số chẵn mà 1995 là 1 số lẻ do vậy không phải là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp. 27
28. c, Số 1993 có phải là tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp không? Giải Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp thì sẽ bằng 3 lần số ở giữa do đó số này phải chia hết cho 3. Mà 1993 = 1 + 9 + 9 + 3 = 22 Không chia hết cho 3 Nên số 1993 không là tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp. Bài 8: Tính 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x x 48 x 49 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0? Giải Trong tích đó có các thừa số chia hết cho 5 là: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45. Hay 5 = 1 x 5; 10 = 2 x 5; 15 = 3 ì5;. ; 45 = 9 x 5. Mỗi thừa số 5 nhân với 1 số chẵn cho ta 1 số tròn chục. mà tích trên có 10 thừa số 5 nên tích tận cùng bằng 10 chữ số 0. Bài 9: Bạn Toàn tính tổng các chẵn trong phạm vi từ 20 đến 98 đƣợc 2025. Không thực hiện tính tổng em cho biết Toàn tính đúng hay sai? Giải Tổng các số chẵn là 1 số chẵn, kết quả toàn tính được 2025 là số lẻ do vậy toàn đã tính sai. Bài 10: Tùng tính tổng của các số lẻ từ 21 đến 99 đƣợc 2025. Không tính tổng đó em cho biết Tùng tính đúng hay sai? Giải Từ 1 đến 99 có 50 số lẻ Mà từ 1 đến 19 có 10 số lẻ. Do vậy Tùng tính tổng của số lượng các số lẻ là: 50 – 10 = 40 (số) Ta đã biết tổng của số lượng chẵn các số lẻ là 1 số chẵn mà 2025 là số lẻ nên Tùng đã tính sai. Bài 11: Tích sau tận cùng bằng mấy chữ số 0? 20 x 21 x 22 x 23 x. . . x 28 x 29 Giải Tích trên có 1 số tròn chục là 20 nên tích tận cùng bằng 1 chữ số 0 Ta lại có 25 = 5 x 5 nên 2 thữa số 5 này khi nhân với 2 só chẵn cho tích tận cùng bằng 2 chữ số 0 Vậy tích trên tận cùng bằng 3 chữ số 0. Bài 12: Tiến làm phép chia 1935: 9 đƣợc thƣơng là 216 và không còn dƣ. Không thực hiện cho biết Tiến làm đúng hay sai. Giải Vì 1935 và 9 đều là số lẻ, thương giữa 2 số lẻ là 1 số lẻ. Thương Tiến tìm được là 216 là 1 số chẵn nên sai Bài 13: Huệ tính tích: 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 x 31 x 37 = 3 999 Không tính tích em cho biết Huệ tính đúng hay sai? Giải 28
29. Trong tích trên có 1 thữa số là 5 và 1 thừa số chẵn nên tích phải tận cùng bằng chữ số 0. Vì vậy Huệ đã tính sai. Bài 14: Tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0: 13 x 14 x 15 x. . . x 22 Giải Trong tích trên có thừa số 20 là số tròn chục nên tích tận cùng bằng 1 chữ số 0. Thừa số 15 khi nhân với 1 số chẵn cho 1 chữ số 0 nữa ở tích. Vậy tích trên có 2 chữ số 0. CHUYÊN ĐỀ 19. QUAN HỆ GIỮA CÁC THÀNH PHẦN CỦA PHÉP TÍNH Bài 1: Khi cộng một số tự nhiên có 4 chữ số với một số tự nhiên có 2 chữ số, do sơ suất một học sinh đã đặt phép tính nhƣ sau: abcd + eg Hãy cho biết kết quả của phép tính thay đổi nhƣ thế nào. Giải Khi đặt phép tính như vậy thì số hạng thứ hai tăng gấp 100 lần. Ta có: Tổng mới = SH1 + 100 x SH2 = SH1 + SH2 + 99 x SH2 =Tổng cũ + 99 x SH2 Vậy tổng mới tăng thêm 99 lần số hạng thứ hai. Bài 2: Khi nhân 1 số tự nhiên với 6789, bạn Mận đã đặt tất cả các tích riêng thẳng cột với nhau nhƣ trong phép cộng nên đƣợc kết quả là 296 280. Hãy tìm tích đúng của phép nhân đó. Giải Khi đặt các tích riêng thẳng cột với nhau như trong phép cộng tức là bạn Mận đã lấy thừa số thứ nhất lần lượt nhân với 9, 8, 7 và 6 rồi cộng kết quả lại. Do 9 + 8 + 7 + 6 = 30 nên tích sai lúc này bằng 30 lần thừa số thứ nhất. Vậy thừa số thứ nhất là: 296 280: 30 = 9 876 Tích đúng là: 9876 x 6789 = 67048164 Bài 3: Khi chia 1 số tự nhiên cho 41, một học sinh đã chép nhầm chữ số hàng trăm của số bị chia là 3 thành 8 và chữ số hàng đơn vị là 8 thành 3 nên đƣợc thƣơng là 155, dƣ 3. Tìm thƣơng đúng và số dƣ trong phép chia đó. Giải Số bị chia trong phép chia sai là: 41 x 155 + 3 = 6358 Số bị chia của phép chia đúng là: 6853 Phép chia đúng là: 6853: 41 = 167 dư 6 Bài 4: Hiệu của 2 số là 33, lấy số lớn chia cho số nhỏ đƣợc thƣơng là 3 và số dƣ là 3. Tìm 2 số đó. 29
30. Giải Theo bài ra ta có: Số nhỏ là: (33 - 3): 2 = 15 Số lớn là: 33 + 15 = 48 Đáp số 15 và 48. Bài 5: Hai số thập phân có tổng bằng 55,22; Nếu dời dấu phẩy của số bé sang trái 1 hàng rồi lấy hiệu giữa số lớn và nó ta đƣợc 37, 07. Tìm 2 số đó. Giải Khi dời dấu phẩy của số bé sang trái 1 hàng tức là ta đã giảm số bé đi 10 lần. Theo bài ra ta có sơ đồ: Nhìn vào sơ đồ ta thấy: 11 lần số bé mới là: 55,22 - 37,07 = 18,15 Số bé là: 18,15: 11 x 10 = 16,5 Số lớn là: 55,22 - 16,5 = 38,2 Đáp số: SL: 38,2; SB: 16,5. Bài 6: Hai số thập phân có hiệu là 5,37 nếu dời dấu phẩy của số lớn sang trái 1 hàng rồi cộng với số bé ta đƣợc 11,955. Tìm 2 số đó. Giải Khi dời dấu phẩy của số lớn sang trái 1 hàng tức là ta đã giảm số đó đi 10 lần. Ta có sơ đồ: 1/10 số lớn + số bé = 11,955 mà số lớn - số bé = 5,37. Do đó 11 lần của 1/10 số lớn là: 11,955 + 5,37 = 17,325 Số lớn là: 17,325: 11 x 10 = 15,75 Số bé là : 15,75 - 5,37 = 10, 38 Đáp số: SL: 15,75; SB: 10, 38. Bài 7: Cô giáo cho học sinh làm phép trừ một số có 3 chữ số với một số có 2 chữ số, một học sinh đãng trí đã viết số trừ dƣới cột hàng trăm của số bị trừ nên tìm ra hiệu là 486. Tìm hai số đó, biết hiệu đúng là 783. Giải Khi đặt như vậy tức là bạn học sinh đó đã tăng số trừ đó lên 10 lần. Do vậy hiệu đã giảm đi 9 lần số trừ. Số trừ là: 30
31. (783 - 486): 9 = 33 Số bị trừ là: 783 + 33 = 816 Đáp số: Số trừ: 33 Số bị trừ: 816 Bài 8: Hiệu 2 số tự nhiên là 134. Viết thêm 1 chữ số nào đó vào bên phải số bị trừ và giữ nguyên số trừ, ta có hiệu mới là 2297. Tìm 2 số đã cho. Giải Số bị trừ tăng lên 10 lần cộng thêm chữ số viết thêm a, thì hiệu mới so với hiệu cũ tăng thêm 9 lần cộng với số a. 9 lần số bị trừ + a = 2297 - 134 = 2163 (đơn vị) Suy ra (2163 - a) chia hết cho 9 2163 chia cho 9 được 24 dư 3 nên a = 3 (0 9) Vậy chữ số viết thêm là 3 Số bị trừ là: (2163 - 3): 9 = 240 Số trừ là: 240 - 134 = 106 Thử lại: 2403 - 106 = 2297 Đáp số: SBT: 240; ST: 106. Bài 9: Tổng của 1 số tự nhiên và 1 số thập phân là 62,42. Khi cộng hai số này 1 bạn quên mất dấu phẩy ở số thập phân và đặt tính cộng nhƣ số tự nhiên nên kết quả sai là 3569. Tìm số thập phân và số tự nhiên đã cho. Giải Số thập phân có 2 chữ số ở phần thập phân nên quên dấu phẩy tức là đã tăng số đó lên 100 lần. Như vậy tổng đã tăng 99 lần số đó. Suy ra số thập phân là: (3569 – 62,42): 99 = 35,42 Số tự nhiên là: 62,42 - 35,42 = 27 Đáp số: Số thập phân:35,42; Số tự nhiên: 27. Bài 10: Khi nhân 254 với 1 số có 2 chữ số giống nhau, bạn Hoa đã đặt các tích riêng thẳng cột nhƣ trong phép cộng nên tìm ra kết quả so với tích đúng giảm đi 16002 đơn vị. Hãy tìm số có hai chữ số đó. Giải Gọi thừa số thứ hai là aa Khi nhân đúng ta có 254 x aa hay 254 x a x 11 Khi đặt sai tích riêng tức là lấy 254 x a + 254 x a = 254 x a x 2 Vậy tích giảm đi 254 x a x 9 Suy ra: 254 x 9 x a = 16002 a = 16002: (254 x 9) = 7 Vậy thừa số thứ hai là 77. Bài 11: Khi nhân 1 số với 235 1 học sinh đã sơ ý đặt tích riêng thứ 2 và 3 thẳng cột với nhau nên tìm ra kết quả là 10285. Hãy tìm tích đúng. Giải Khi nhân một số A với 235, học sinh đó đặt 2 tích riêng cuối thẳng cột như trong phép cộng, tức là em đó đã lần lượt nhân A với 5, với 30, với 20 rồi cộng ba kết quả 31
32. lại. Vậy: A x 5 x A x 30 x A x 20 = 10 285 A x 55 = 10 285 A = 10 285: 55 = 187 Vậy tích đúng là: 187 x 235 = 43 945 Bài 12: Tìm ba số biết hiệu của số lớn nhất và số bé nhất là 1,875 và khi nhân mỗi số lần lƣợt với 8, 10,14 thì đƣợc ba tích bằng nhau. Giải Vì tích của số lớn nhất với 8 bằng tích của số bé nhất với 14 nên ta có sơ đồ: Số lớn nhất là: 1,875: ( 14 - 8 ) x 14 = 4,375 Số bé nhất là: 4,375 - 1,875 = 2,5 Số ở giữa là: 2,5 x 14: 10 = 3,5 Đáp số: 2,5; 3,5; 4,375. CHUYÊN ĐỀ 20. CÁC BÀI TOÁN VỀ DẤU HIỆU CHIA HẾT Bài 1: Hãy thiết lập các số có 3 chữ số khác nhau từ 4 chữ số 0, 4, 5, 9 thoả mãn điều kiện a, Chia hết cho 2 b, Chia hết cho 4 c, Chia hết cho 2 và 5 Giải a, Các số chia hết cho 2 có tận cùng bằng 0 hoặc 4. Mặt khác mỗi số đều có các chữ số khác nhau, nên các số thiết lập được là 540; 504 940; 904 450; 954 950; 594 490 590 b, Ta có các số có 3 chữ số chia hết cho 4 được viết từ 4 chữ số đã cho là: 540; 504; 940; 904 c, Số chia hết cho 2 và 5 phải có tận cùng 0. Vậy các số cần tìm là 540; 450; 490 940; 950; 590. Bài 2: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 ta lập đƣợc bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5? Giải Một số chia hết cho 5 khi tận cùng là 0 hoặc 5. Với các số 1, 2, 3, 4, ta viết được 4 x 4 x 4 = 64số có 3 chữ số Vậy với các số 1, 2, 3, 4, 5 ta viết được 64 số có 5 chữ số (Có tận cùng là 5) b. Loại toán dùng dấu hiệu chia hết để 32 điền vào chữ số chƣa biết
33. Ở dạng này: -Nếu số phải tìm chia hết cho 2 hoặc 5 thì trước hết dựa vào dấu hiệu chia hết để xác định chữ số tận cùng. -Dùng phương pháp thử chọn kết hợp với các dấu hiệu chia hết còn lại của số phải tìm để xác định các chữ số còn lại. Bài 3: Thay x và y vào 1996 xy để đƣợc số chia hết cho 2, 5, 9. Giải Số phải tìm chia hết cho 5 vậy y phải bằng 0 hoặc 5. Số phải tìm chia hết cho 2 nên y phải là số chẵn Từ đó suy ra y = 0. Số phải tìm có dạng 1996 x 0. Số phải tìm chia hết cho 9 vậy (1 +9 + 9+ 6 + x )chia hết cho 9 hay (25 + x) chia hết cho 9. Suy ra x = 2. Số phải tìm là: 199620. Bài 4: Cho n = a 378 b là số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Tìm tất cả các chữ số a và b để thay vào ta dƣợc số n chia hết cho 3 và 4. Giải - n chia hết cho 4 thì 8b phải chia hết cho 4. Vậy b = 0, 4 hoặc 8 - n có 5 chữ số khác nhau nên b = 0 hoặc 4 - Thay b = 0 thì n = a3780 + Số a3780 chia hết cho 3 thì a = 3, 6 hoặc 9 + Số n có 5 chữ số khác nhau nên a = 6 hoặc 9 Ta được các số 63 780 và 930780 thoả mãn điều kiện của đề bài - Thay b = 4 thì n = a3784 + Số a3784 chia hết cho 3 thì a = 2, 5 hoặc 8 + Số n có 5 chữ số khác nhau nên a = 2 hoặc 5. Ta được các số 23784 và 53 784 thoả mãn điều kiện đề bài Các số phải tìm 63 780; 93 780; 23 784; 53 784. c. Các bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu Các tính chất thƣờng sử dụng trong loại này là: - Nếu mỗi số hạng của tổng đều chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng chia hết cho 2 - Nếu SBT và ST đều chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 2 - Một số hạng không chia hết cho 2, các số hạng còn lại chia hết cho 2 thì tổng không chia hết cho 2 - Hiệu của 1 số chia hết cho 2 và 1 số không chia hết cho 2 là 1 số không chia hết cho 2. (Tính chất này tương tự đối với các trường hợp chia hết khác) Bài 5: Không làm phép tính xét xem các tổng và hiệu dƣới đây có chia hết cho 3 hay không. a. 459 + 690 1 236 b. 2 454 - 374 Giải a. 459, 690, 1 236 đều là số chia hết cho 3 nên 459 + 690 + 1 236 chia hết cho 3 b. 2 454 chia hết cho 3 và 374 không chia hết cho 3 nên 2 454 - 374 không chia hết cho 3. Bài 6: Tổng kết năm học 2001- 2002 một trƣờng tiểu học có 462 học sinh tiên tiến và 195 học sinh xuất sắc. Nhà trƣờng dự định thƣởng cho học sinh xuất sắc nhiều hơn học sinh tiên tiến 2 quyển vở 1 em. Cô văn thƣ tính phải mua 1996 quyển thì vừa đủ phát thƣởng. Hỏi cô văn thƣ tính đúng hay sai? vì sao? 33
34. Giải Ta thấy số HS tiên tiến và số HS xuất sắc đều là những số chia hết cho 3 vì vậy số vở thưởng cho mỗi loại HS phải là 1 số chia hết cho 3. Suy ra tổng số vở phát thưởng cũng là 1 số chia hết cho 3, mà 1996 không chia hết cho 3 > Vậy cô văn thư đã tính sai. d. Các bài toán về phép chia có dƣ Ở loại này cần lƣu ý: - Nếu a: 2 dư 1 thì chữ số tận cùng của a là 1, 3, 5, 7, 9 - Nếu a: 5 dư 1 thì chữ số tận cùng của a phải là 1 hoặc 6; a: 5 dư 2 thì chứ số tận cùng phải là 2 hoặc 7 - Nếu a và b có cùng số dư khi chia cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 2 - Nếu a: b dư b - 1 thì a + 1 chia hết cho b - Nếu a: b dư 1 thì a - 1 chia hết cho b Bài 7: Cho a = x459y. Hãy thay x, y bởi những chữ số thích hợp để khi chia a cho 2, 5, 9 đều dƣ 1 Giải Ta nhận thấy: - a: 5 dư 1 nên y bằng 1 hoặc 6 - Mặt khác a: 2 dư 1 nên y phải bằng 1. Số phải tìm có dạng a= x4591 - x4591 chia cho 9 dư1 nên x + 4 + 5 + 9 + 1 chia cho 9 dư 1. vậy x chia hết cho 9 suy ra x = 0 hoặc 9. Mà x là chữ số đầu tiên của 1 số nên không thể bằng 0 vậy x = 9 Số phải tìm là: 94591 Bài 8: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 2 dƣ 1, cho 3 dƣ 2, cho 4 dƣ 3, cho 5 dƣ 4, cho 6 dƣ 5, cho 7 dƣ 6 Giải Gọi số phải tìm là a thì a + 1 chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6 và 7 như vậy a + 1 có tận cùng là chữ số 0 a + 1 không là số có 1 chữ số. Nếu a + 1 có 2 chữ số thì a + 1 tận cùng là chữ số 0 lại chia hết cho 7 nên a + 1 = 70 (loại vì 70 không chia hết cho 3) Trường hợp a + 1 có 3 chữ số thì có dạng xy0 . Số xy0 chia hết cho 4 nên y phải bằng 0, 2, 4, 6 hoặc 8 . Số xy0 chia hết cho 7 nên xy bằng 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70; 77; 84; 91 hoặc 98 . Số xy0 chia hết cho 3 thì x + y + 0 chia hết cho 3 Kết hợp các điều kiện trên thì a + 1 = 420 vậy a = 419 Đáp số: 419. e. Vận dụng tính chất chia hết và chia còn dƣ để giải toán có lời văn Bài 9: Tổng số HS khối 1 của một trƣờng tiểu học là 1 số có 3 chữ số và chữ số hàng trăm là 3. Nếu xếp hàng 10 và hàng 12 đều dƣ 8, mà xếp hàng 8 thì không còn dƣ. Tính số HS khối 1 cuỉa trƣờng đó. Giải Theo đề bài thì số HS khối 1 đó có dạng 3ab. Các em xếp hàng 10 dư 8 vậy b = 8. Thay vào ta được số 3a8. Mặt khác, các em xếp hàng 12 dư 8 nên 3a8 - 8 = 3a0 phải chia hết cho 12 suy ra 3a0 chi hết cho 3. suy ra a = 0, 3, 6 hoặc 9. Ta có các số 330; 390 không chia hết cho 12 vì vậy số HS khối 1 là 308 hoặc 368 em. số 308 không chia hết cho 8 vậy số HS khối 1 của trường đó là 368 em. 34
35. CHUYÊN ĐỀ 21. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bài 1: Cho hai biểu thức: A = (700 x 4 + 800): 1,6 B = (350 x 8 + 800): 3,2 Không tính toán cụ thể, hãy giải thích xem giá trị biểu thức nào lớn hơn và lớn hơn mấy lần? Giải Xét ở A có 700 x 4 = 700: 2 x 2 x 4 = 350 x 8 nếnố bị chia của cả hai biểu thức A và B giống nhau nhưng số chia gấp đôi nhau (3,2: 1,6 = 2) nên A có giá trị gấp đôi B. Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách thích hợp a, 17,58 x 43 + 57 x 17,58 b, 43,57 x 2,6 x (630 – 315 x 2) e, 9,8 + 8,7 + 7,6 +. . .+2,1 – 1,2 – 2,3 – 3,4 -. . . - 8,9 Giải a, 17,58 x 43 + 57 x 17,58 = 17,58 x 43 + 17,58 x 57 (tính giao hoán) = 17,58 x (43 + 57) = 17,58 x 100 = 1758 (nhân 1 số với 1 tổng) b, 43,57 x 2,6 x (630 – 315 x 2) = 43,57 x 2,6 x (630 – 630) = 43,57 x 2,6 x 0 = 0 Ở số chia, từ 1 tới 55 là các số mà 2 số liên tiếp hơn kém nhau 3 đơn vị nên từ 1 đến 55 có (55 – 1) :3 + 1 = 19 số). e, 9,8 + 8,7 + 7,6 + . . . + 2,1 – 1,2 – 2,3 – 3,4 - . . . – 8,9 = (9,8 – 8,9) + (8,7 – 7,8) + . . . +(2,1 – 1,2) = 0,9 + 0,9 + 0,9 + 0,9 + 0,9 = 0,9 x 5 = 4,5. Bài 3: 35
36. Tìm X : (X + 1) + (X + 4) + (X +7) +(X + 10) + . . . + (X + 28) = 155 Giải (X + 1) + ( X + 4) + ( X + 7) + +(X + 28) = 155 Ta nhận thấy 2 số hạng liên tiếp của tổng hơn kém nhau 3 đơn vị nên tổng được viết đầy đủ sẽ có 10 số hạng (28 – 1) : 3 + 1 = 10) (X + 1 + X + 28) x 10 : 2 = 155 (X x 2 + 29) x 10 = 155 x 2 = 310 (Tìm số bị chia) X x 2 + 29 = 310 : 10 = 31 (Tìm thừa số trong 1 tích) X x 2 = 31 – 29 = 2 (Tìm số hạng trong 1 tổng) X = 2 : 2 = 1 ( Tìm thừa số trong 1 tích). Bài 4: Viết các tổng sau thành tích của 2 thừa số: a, 132 + 77 + 198 b, 5555 + 6767 + 7878 c, 1997, 1997 + 1998, 1998 + 1999, 1999 Giải a, 132 + 77 + 198 = 11 x 12 + 11 x 7 + 11 x 18 = 11 x (12 + 7 + 18) ( nhân 1 số với 1 tổng) = 11 x 37 b, 5555 + 6767 + 7878 = 55 x 101 + 67 x 101 + 78 x 101 = 55 + 67 + 78) x 101 = 200 x 101 c, 1997, 1997 + 1998, 1998 + 1999, 1999 = 1997 x 1,0001 + 1998 x 1,0001 + 1999 x 1,0001 = (1997 + 1998 + 1999) x 1,0001 = 5994 x 1,0001 ( nhân 1 tổng với 1 số) Bài 5: Tìm giá trị số tự nhiên của a để biểu thức sau có giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất đó là bao nhiêu? B = 1990 + 720 : (a – 6) Giải Xét B = 1990 + 720 : (a – 6) B lớn nhất khi thương của 720 : (a – 6) lớn nhất. Khi đó số chia phải nhỏ nhất, vì số chia khác 0 nên a – 6 = 1 (là nhỏ nhất) Suy ra : a = 7 Với a = 7 thì giá trị lớn nhất của B là: 1990 + 720 : 1 = 2710. CHUYÊN ĐỀ 22. ĐIỀU KIỆN CHIA HẾT Bài 1: Điền chữ số thích hợp vào dấu * trong phép tính sau: 36
37. Giải Trước hết ta xác định chữ số hàng đơn vị của số nhân: * x 432 = 30 . Nếu * = 6 thì 6 x 432 = 2 592 30 Vậy * = 7 Tiếp theo ta xác định chữ số hàng chục của số nhân: * x 432 = . Vậy * = 1 hoặc 2. - Nếu * = 1 thay vào ta được phép nhân không thể được kết quả là một số có 5 chữ số. Vậy * = 2, thay vào ta được phép nhân: b) Trước hết ta xét tích riêng 2 x * * = * * * Từ đây ta suy ra chữ số hàng trăm của tích riêng phải bằng 1 và chữ số hàng chục của số chia lớn hơn hoặc bằng 5. Thay vào ta có phép tính: Ta xét số dư của phép chia thứ nhất: * * * - * * = 1 Vậy phép trừ đó phải là 100 – 99 = 1. Thay vào ta có: Xét tích riêng thứ nhất * x * * = 99 mà chữ số hàng chục của số chia phải lớn hơn hoặc bằng 5, nên số chia là 99. Suy ra tích riêng cuối cùng là 2 x 99 = 198 và số bị chia là 1 0098. Thay vào ta có phép chia: 37
38. Bài 2: Thay mỗi chữ số bằng các chữ số thích hợp trong phép tính sau: Giải a) Ta viết lại thành phép nhân: b) Ta có: abab = 101 x ab 101 x ab + ab = 1326 102 x ab = 1326 ab = 13 Bài 3: Tìm chữ số a và b 1ab x 126 = 201ab Giải 1ab x ( 25 + 1) = 2000 + 1ab ( cấu tạo số) 1ab x 125 + 1ab = 2000 + 1ab (nhân 1 số với 1 tổng) 1ab x 125 = 2000 (hai tổng bằng nhau cùng bớt đi 1 số hạng như nhau) 1ab = 2000: 125 = 160 160 x 125 = 20160 Vậy a = 6; b = 0 Bài 4: Điền các chữ số vào dấu hỏi và vào các chữ trong biểu thức sau: a, (? ? x ? + a) x a = 123 b, (? ? x ? – b) x b = 201 Giải a, Vì 123 = 1 x 123 = 3 x 41 nên a =1 hay = 3 - Nếu a =1 ta có (? ? x ? + 1) x 1 = 123 Hay ?? x ? = 123: 1 – 1 = 122 122 bằng 61 x 2. Vậy ta có : (61 x 2 + 1) x 1 = 123 (1) - Nếu a = 3. Ta có (?? x ? + 3) x 3 = 123 Hay ?? x ? = 123: 3 – 3 = 38 38
39. 38 = 1 x 38 hay = 2 x 19 Vậy ta có: (38 + 1 + 3) x 3 = 123 (2) Hoặc: (19 x 2 + 3) = 123 (3). Vậy, Bài toán có 4 đáp số (1), (2), (3). b, Vì 201 =1 x 201 = 3 x 67, nên b =1 hay 3 - Nếu b = 1 ta có: (?? x ? – 1) x 1 = 201 Nên không tìm được các giá trị thích hợp cho ?? x ? - Nếu b = 3. Ta có (?? x ? – 3) x 3 = 201 Hay ?? x ? = 201: 3 + 3 = 70 70 = 1 x 70 = 2 x 35 = 5 x 14 = 7 x 10 Nên có các kết quả: (70 x1 – 3) x 3 = 2001 (35 x 2 – 3) x 3 = 2001 (14 x 5 – 3) x 3 = 2001 (70 x 7 – 3) x 3 =2001. Bài 5: Tìm chữ sốa, b, c trong phép nhân các số thập phân: a,b x a,b = c,ab Giải a,b x a,b = c,ab a,b x 10 x a,b x 10 = c,ab x 10 x 10 (Gấp 100 lần) ab x ab = cab ab x ab = c x 100 + ab (cấu tạo số) ab x ab – ab = c x 100 (Tìm số hạng trong 1 tổng) ab x (ab – 1) = c x 4 x 25 ab – 1 hay ab: 25 và nhỏ hơn 30 để cab là số có 3 chữ số Vậy ab hoăc ab –1 là 25 Hơn nữa ab – 1 và ab là 2 số tự nhiên liên tiếp nên: Xét: 24 x 25 và 25 x 26 Loại 25 x 26 vì c = 26 x 25: 100 = 6,5 (không được) Với ab – 1 = 24, ab = 25 thì phép tính đó là: 2,5 x 2,5 = 6,25 Vậy: a = 2, b = 5 và c = 6. CHUYÊN ĐỀ 23. ĐIỀN DẤU PHÉP TINH ( TIẾP THEO ) Trong dạng toán này ngƣời ta thƣờng cho một dãy chữ số, ta phải điền dấu của 4 phép tính (+, -, x hoặc :) và dấu ngoặc xen giữa các chữ số để đƣợc phép tính có kết quả cho trƣớc. Bài 1: Hãy điền thêm dấu phép tính vào dãy số sau: 6 6 6 6 6 để đƣợc biểu thức có giá trị lần lƣợt bằng: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Giải a, Bằng 0: ( 6 – 6 ) x ( 6 + 6 +6 ) (6 – 6 ): ( 6 + 6 + 6 ) b, Bằng 1: 39 6 + 6 – 66: 6
40. 6 – ( 66: 6 – 6 ) c, Bằng 2: ( 6 + 6 ): 6 x 6: 6 ( 6 x 6: 6 + 6 ): 6 6: (6 x 6: ( 6 + 6 )) d, Bằng 3: 6: 6 + ( 6 + 6 ): 6 6: ( 6: 6 + 6: 6 ) e, Bằng 4: 6 – ( 6: 6 + 6: 6 ) (6 + 6 + 6 + 6 ): 6 g, Bằng 5: 6 – 6: 6 x 6: 6 6 – 6 x 6: 6: 6 h, Bằng 6: 66 – 66 + 6 6: 6 – 6: 6 + 6 6 x 6 – 6 x 6 + 6 CHUYÊN ĐỀ 24. SUY LUẬN LOGIC A. LÝ THUYẾT Các bài toán giải bằng phương pháp lập bảng thường xuất hiện hai nhóm đối tượng (chẳng hạn tên người và nghề nghiệp, hoặc vận động viên và giải thưởng, hoặc tên sách và màu bìa, ). Khi giải ta thiết lập 1 bảng gồm các hàng và các cột. Các cột ta liệt kê các đối tượng thuộc nhóm thứ nhất, còn các hàng ta liệt kê các đối tượng thuộc nhóm thứ hai. Dựa vào điều kiện trong đề bài ta loại bỏ dần (ghi số 0) các ô (là giao của mỗi hàng và mỗi cột). Những ô còn lại (không bị loại bỏ) là kết quả của bài toán. B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Trong 1 buổi học nữ công ba bạn Cúc, Đào, Hồng làm 3 bông hoa cúc, đào, hồng. Bạn làm hoa hồng nói với cúc: Thế là trong chúng ta chẳng ai làm loại hoa trùng với tên mình cả! Hỏi ai đã làm hoa nào? Giải Ta có bảng chân lí sau: Nhìn vào bảng ta thấy: Cúc làm hoa đào Đào làm hoa hồng Hồng làm hoa cúc. Bài 2: Ba ngƣời thợ hàn, thợ tiện, thợ điện đang ngồi trò chuyện trong giờ giải lao. Ngƣời thợ hàn nhận xét: 40 Ba ta làm nghề trùng với tên của 3
41. chúng ta nhƣng không ai làm nghề trùng với tên của mình cả. Bác Điện hƣởng ứng: Bác nói đúng. Em cho biết tên và nghề nghiệp của mỗi ngƣời thợ đó. Giải Bác điện hưởng ứng lời bác thợ hàn nên bác Điện không làm thợ hàn > Bác Điện làm thợ tiện. Bác Hàn phải làm thợ điện. Bác Điện phải làm thợ hàn. Bài 3: Năm ngƣời thợ tên là: Da, Điện, Hàn, Tiện và Sơn làm 5 nghề khác nhau trùng với tên của tên của 5 ngƣời đó nhƣng không có ai tên trùng với nghề của mình. Tên của bác thợ da trùng với nghề của anh vợ mình và vợ bác chỉ có 2 anh em. Bác tiện không làm thợ sơn mà lại là em rể của bác thợ hàn. Bác thợ sơn và bác thợ da là 2 anh em cùng họ. Em cho biết bác da và bác tiện làm nghề gì? Giải Bác Tiện không làm thợ sơn. Bác Tiện là em rể của bác thợ hàn nên bác Tiện không làm thợ hàn > Bác Tiện chỉ có thể là thợ da hoặc thợ điện. Nếu bác Tiện làm thợ da thì bác Da là thợ điện. Như vậy bác Tiện vừa là em rể của bác thợ tiện vừa là em rể của bác thợ hàn mà vợ bác Tiện chỉ có 2 anh em. Điều này vô lí. > Bác Tiện là thợ điện Bác Da và bác thợ sơn là 2 anh em cùng họ nên bác Da không phải là thợ sơn. Theo lập luận trên bác Da không là thợ tiện > Bác Da là thợ hàn. Bài 4: Trên bàn là 3 cuốn sách giáo khoa: Văn, Toán và Địa lí đƣợc bọc 3 màu khác nhau: Xanh, đỏ, vàng. Cho biết cuốn bọc bìa màu đỏ đặt giữa 2 cuốn Văn và Địa lí, cuốn Địa lí và cuốn màu xanh mua cùng 1 ngày. Bạn hãy xác định mỗi cuốn sách đã bọc bìa màu gì? Giải Ta có bảng sau: 41
42. Theo đề bài “Cuốn bìa màu đỏ đặt giữa 2 cuốn Văn và Địa lí”. Vậy cuốn sách Văn và Địa lí đều không đặt màu đỏ cho nên cuốn toán phải bọc màu đỏ. Ta ghi số 0 vào ô 4 và 6, đánh dấu x vào ô 5. Mặt khác, “Cuốn Địa lí và cuốn màu xanh mua cùng ngày”. Điều đó có nghĩa rằng cuốn Địa lí không bọc màu xanh. Ta ghi số 0 vào ô 3. - Nhìn vào cột thứ 4 ta thấy cuốn địa lí không bọc màu xanh, cũng không bọc màu đỏ. Vậy cuốn Địa lí bọc màu vàng. Ta đánh dấu x vào ô 9. - Nhìn vào cột 2 và ô 9 ta thấy cuốn Văn không bọc màu đỏ, cũng không bọc màu vàng. Vậy cuốn Văn bọc màu xanh. Ta đánh dấu x vào ô 1. Kết luận: Cuốn Văn bọc màu xanh, cuốn Toán bọc màu đỏ, cuốn Địa lí bọc màu vàng. CHUYÊN ĐỀ 25. PHƢƠNG PHÁP LỰA CHỌN TÌNH HUỐNG Bài 1: Trong kì thi HS giỏi tỉnh có 4 bạn Phƣơng, Dƣơng, Hiếu, Hằng tham gia. Đƣợc hỏi quê mỗi ngƣời ở đâu ta nhận đƣợc các câu trả lời sau: Phƣơng: Dƣơng ở Thăng Long còn tôi ở Quang Trung Dƣơng : Tôi cũng ở Quang Trung còn Hiếu ở Thăng Long Hiếu : Không, tôi ở Phúc Thành còn Hằng ở Hiệp Hoà Hằng : Trong các câu trả lời trên đều có 1 phần đúng 1 phần sai. Em hãy xác định quê của mỗi bạn. Giải Vì trong mỗi câu trả lời đều có 1 phần đúng và 1 phần sai nên có các trường hợp: - Giả sử Dương ở Thăng Long là đúng ⇒ Phương ở Quang Trung là sai ⇒ Hiếu ở Thăng Long là đúng Điều này vô lí vì Dương và Hiếu cùng ở Thăng Long. - Giả sử Dương ở Thăng Long là sai ⇒ Phương ở Quang Trung và do đó Dương ở Quang Trung là sai ⇒ Hiếu ở Thăng Long Hiếu ở Phúc Thành là sai ⇒ Hằng ở Hiệp Hoà Còn lại ⇒ Dương ở Phúc Thành. Bài 2: Năm bạn Anh, Bình, Cúc, Doan, An quê ở 5 tỉnh: Bắc Ninh, Hà Tây, Cần Thơ, Nghệ An, Tiền Giang. Khi đƣợc hỏi quê ở tỉnh nào, các bạn trả lời nhƣ sau: Anh: Tôi quê ở Bắc Ninh còn Doan ở Nghệ An Bình: Tôi cũng quê ở Bắc Ninh còn Cúc ở Tiền Giang Cúc: Tôi cũng quê ở Bắc Ninh còn Doan ở Hà Tây Doan: Tôi quê ở Nghệ An còn An ở Cần Thơ An: Tôi quê ở Cần Thơ còn Anh ở Hà Tây 42
43. Nếu mỗi câu trả lời đều có 1 phần đúng và 1 phhàn sai thì quê mỗi bạn ở đâu? Giải Vì mỗi câu trả lời có 1 phần đúng và 1 phần sai nên có các trường hợp: - Nếu Anh ở Bắc Ninh là đúng ⇒ Doan không ở Nghệ An. ⇒ Bình và Cúc ở Bắc Ninh là sai ⇒ Cúc ở Tiền Giang và Doan ở Hà Tây. Doan ở Nghệ An là sai ⇒ An ở Cần Thơ và Anh ở Hà Tây là sai. Còn bạn Bình ở Nghệ An (Vì 4 bạn quê ở 4 tỉnh rồi) - Nếu Anh ở Bắc Ninh là sai ⇒ Doan ở Nghệ An Doan ở Hà Tây là sai ⇒ Cúc ở Bắc Ninh. Từ đó Bình ở Bắc Ninh phải sai ⇒ Cúc ở Tiền Giang Điều này vô lí vì cúc vừa ở Bắc Ninh vừa ở Tiền Giang (loại) Vậy: Anh ở Bắc Ninh; Cúc ở Tiền Giang; Doan ở Hà Tây; An ở Cần Thơ và Bình ở Nghệ An. Bài 3: Cúp Tiger 98 có 4 đội lọt vào vòng bán kết: Việt Nam, Singapor, Thái Lan và Inđônêxia. Trƣớc khi vào đấu vòng bán kết ba bạn Dũng, Quang, Tuấn dự đoán nhƣ sau: Dũng: Singapor nhì, còn Thái Lan ba. Quang: Việt Nam nhì, còn Thái Lan tƣ. Tuấn: Singapor nhất và Inđônêxia nhì. Kết quả mỗi bạm dự đoán đúng một đội và sai một đội. Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy? Giải - Nếu Singapo đạt giải nhì thì Singapo không đạt giải nhất. Vậy theo Tuấn thì Inđônêxia đạt giải nhì. Điều này vô lý, vì hai đội đều đạt giải nhì. - Nếu Singapo không đạt giải nhì thì theo Dũng, Thái Lan đạt giải ba. Như vậy Thái Lan không đạt giải tư. Theo Quang, Việt Nam đạt giải nhì.Thế thì Inđônê xiakhông đạt giải nhì. Vậy theo Tuấn, Singapor đạt giải nhất, cuối cùng còn đội Inđônê xia đạt giải tư. Kết luận: Thứ tự giải của các đội trong cúp Tiger 98 là: Nhất: Singapor; Nhì: Việt Nam. Ba: Thái Lan; Tư: Inđônêxia Bài 4: Gia đình Lan có 5 ngƣời:ông nội, bố, mẹ, Lan và em Hoàng. Sáng chủ nhật cả nhà thích đi xem xiếc nhƣng chỉ mua đƣợc 2 vé. Mọi ngƣời trong gia đình đề xuất 5 ý kiến: 1. Hoàng và Lan đi 2. Bố và mẹ đi 3. Ông và bố đi 4. Mẹ và Hoàng đi 5. Hoàng và bố đi. Cuối cùng mọi ngƣời đồng ý với đề nghị của Lan vì theo đề nghị đó thì mỗi đề nghị của 4 ngƣời còn lại trong gia đình đều đƣợc thoả mãn 1 phần. Bạn hãy cho biết ai đi xem xiếc hôm đó. Giải Ta nhận xét: - Nếu chọn đề nghị thứ nhất thì đề nghị thứ hai bị bác bỏ hoàn toàn. Vậy không thể chọn đề nghị thứ nhất. - Nếu chọn đề nghị thứ hai thì đề nghị thứ nhất bị bác bỏ hoàn toàn. Vậy không thể chọn đề nghị thứ hai. - Nếu chọn đề nghị thứ ba thì đề nghị 43 thứ tư bị bác bỏ hoàn toàn. Vậy không thể
44. chọn đề nghị thứ ba. - Nếu chọn đề nghị thứ tư thì đề nghị thứ ba bị bác bỏ hoàn toàn. Vậy không thể chọn đề nghị thứ tư. - Nếu chọn đề nghị thứ năm thì cả 4 đề nghị trên đều thoả mãn một phần và bác bỏ một phần. Vậy sáng hôm đó Hoàng và bố đi xem xiếc. CHUYÊN ĐỀ 26. GIẢI TOÁN BẰNG BIỂU ĐỒ VEN Trong khi giải bài toán, ngƣời ta thƣờng dùng những đƣờng cong kín để mô tả mối quan hệ giữa các đại lƣợng trong bài toán. Nhờ sự mô tả này mà ta giải đƣợc bài toán 1 cách thuận lợi. Những đƣờng cong nhƣ thế gọi là biểu đồ ven. Bài 1: Để phục vụ cho hội nghị quốc tế, ban tổ chức đã huy động 30 cán bộ phiên dịch tiếng Anh, 25 cán bộ phiên dịch tiếng Pháp, trong đó 12 cán bộ phiên dịch đƣợc cả 2 thứ tiếng Anh và Pháp. Hỏi: a, Ban tổ chức đã huy động tất cả bao nhiêu cán bộ phiên dịch cho hội nghị đó. b, Có bao nhiêu cán bộ chỉ dịch đƣợc tiếng Anh, chỉ dịch đƣợc tiếng Pháp? Giải Số lượng cán bộ phiên dịch được ban tổ chức huy động cho hội nghị ta mô tả bằng sơ đồ ven. Nhìn vào sơ đồ ta có: Số cán bộ chỉ phiên dịch được tiếng Anh là: 30 – 12 = 18 (người) Số cán bộ chỉ phiên dịch được tiếng Pháp là: 25 – 12 = 13 (người) Số cán bộ phiên dịch được ban tổ chức huy động là: 30 + 13 = 43 (người) Đáp số: 43; 18; 13 người. Bài 2: Lớp 9A có 30 em tham gia dạ hội tiếng Anh và tiếng Trung, trong đó có 25 em nói đƣợc tiếng Anh và 18 em nói đƣợc tiếng Trung. Hỏi có bao nhiêu bạn nói đƣợc cả 2 thứ tiếng? Giải Các em lớp 9A tham gia dạ hội được mô tả bằng sơ đồ ven. Số học sinh chỉ nói được tiếng Trung 44 là:
45. 30 – 25 = 5 (em) Số học sinh chỉ nói được tiếng Anh là: 30 – 18 = 12 (em) Số em nói được cả 2 thứ tiếng là: 30 – (5 + 12) = 13 (em) Đáp số: 13 em. Bài 3: Có 200 học sinh trƣờng chuyên ngữ tham gia dạ hội tiếng Nga, Trung và Anh. Có 60 bạn chỉ nói đƣợc tiếng Anh, 80 bạn nói đƣợc tiếng Nga, 90 bạn nói đƣợc tiếng Trung. Có 20 bạn nói đƣợc 2 thứ tiếng Nga và Trung. Hỏi có bao nhiêu bạn nói đƣợc 3 thứ tiếng? Giải Số học sinh nói được tiếng Nga học tiếng Trung là: 200 – 60 = 140 (bạn) Số học sinh nói được 2 thứ tiếng Nga và Trung là: (90 + 80) – 140 = 30 (bạn) Số học sinh nói được cả 3 thứ tiếng là: 30 – 20 = 10 (bạn) Đáp số: 10 bạn. Bài 4: Trong 1 hội nghị có 100 đại biểu tham dự, mỗi đại biểu nói đƣợc một hoặc hai trong ba thứ tiếng: Nga, Anh hoặc Pháp. Có 39 đại biểu chỉ nói đƣợc tiếng Anh, 35 đại biểu nói đƣợc tiếng Pháp, 8 đại biểy nói đƣợc cả tiếng Anh và tiếng Nga. Hỏi có bao nhiêu đại biểu chỉ nói đƣợc tiếng Nga? Giải Số đại biểu nói được tiếng Pháp hoặc Nga là: 100 – 39 = 61 (đại biểu) Số đại biểu nói được tiếng Nga nhưng không nói được tiếng Pháp là: 61 – 35 = 26 (đại biểu) Số đại biểu chỉ nói được tiếng Nga là: 26 – 8 = 18 (đại biểu) Đáp số: 18 đại biểu. 45
46. CHUYÊN ĐỀ 27. PHƢƠNG PHÁP SUY LUẬN ĐƠN GIẢN Bài 1: Trong 1 ngôi đền có 3 vị thần ngồi cạnh nhau. Thần thật thà (luôn luôn nói thật); Thần dối trá (luôn nói dối) ; Thần khôn ngoan (lúc nói thật, lúc nói dối). Một nhà toán học hỏi 1 vị thần bên trái: Ai ngồi cạnh ngài? - Thần thật thà. Nhà toán học hỏi ngƣời ở giữa: - Ngài là ai? - Là thần khôn ngoan. Nhà toán học hỏi ngƣời bên phải - Ai ngồi cạnh ngài? - Thần dối trá. Hãy xác định tên của các vị thần. Giải Cả 3 câu hỏi của nhà toán học đều nhằm xác định 1 thông tin: Thần ngồi giữa là thần gì? Kết quả có 3 câu trả lời khác nhau. Ta thấy thần ngồi bên trái không phải là thần thật thà vì ngài nói người ngồi giữa là thần thật thà. Thần ngồi giữa cũng không phải là thần thật thà vì ngài nói: Tôi là thần khôn ngoan Thần ngồi bên phải là thần thật thà ở giữa là thần dối trá ở bên trái là thần khôn ngoan. Bài 2: Một hôm anh Quang mang quyển Album ra giới thiệu với mọi ngƣời. Cƣờng chỉ vào đàn ông trong ảnh và hỏi anh Quang: Ngƣời đàn ông này có quan hệ thế nào với anh? Anh Quang bèn trả lời: Bà nội của chị gái vợ anh ấy là chị gái của bà nội vợ tôi. Bạn cho biết anh Quang và ngƣời đàn ông ấy quan hẹ với nhau nhƣ thế nào? Giải Bà nội của chị gái vợ anh ấy cũng chính là bà nội của vợ anh ấy. Bà nội của vợ anh ấy là chị gái của bà nội vợ anh Quang. Vợ anh ấy và vợ anh Quang là chị em con dì con già. Do vậy anh Quang và người đàn ông ấy là 2 anh em rể họ. Bài 3: Có 1 thùng đựng 12 lít dầu hoả. Bằng 1 can 9 lít và 1can 5 lít làm thế nào để lấy ra đƣợc 6 lít dầu từ thùng đó: Giải Bài 4: Ở 1 xã X có 2 làng: Dân làng A 46 chuyên nói thật, còn dân làng B chuyên
47. nói dối. Dân 2 làng thƣờng qua lại thăm nhau. Một chàng thanh niên nọ về thăm bạn ở làng A. Vừa bƣớc vào xã X, dang ngơ ngác chƣa biết đây là làng nào, chàng thanh niên gặp ngay một cô gái và anh ta hỏi ngƣời này một câu. Sau khi nghe trả lời chàng thanh niên bèn quay ra (vì biết chắc mình đang ở làng B) và sang tìm bạn ở làng bên cạnh. Bạn hãy cho biết câu hỏi đó thế nào và ccâu trả lời đó ra sao mà chàng thanh niên lại khẳng định chắc chắn nhƣ vậy Phân tích Để nghe xong câu trả lời người thanh niên đó có thể khẳng định mình đang đứng trong làng A hay làng B thì anh ta phải nghĩ ra 1 câu hỏi sao cho câu trả lời của cô gái chỉ phụ thuộc vào họ đang đứng trong làng nào. Cụ thể hơn: cần đặt câu hỏi để cô gái trả lời là “phải”, nếu họ đang đứng trong làng A và “không phải”, nếu họ đang đứng trong làng B. Giải Câu hỏi của người thanh niên đó là: “Có phải chị người làng này không?”. Trường hợp 1: Họ đang đứng trong làng A: Nếu cô gái là người làng A thì câu trả lời là “phải” (vì dân làng A chuyên nói thật); Nếu cô gái là người làng B thì câu trả lời cũng là “phải” (vì dân làng đó nói dối). Trường hợp 2: Họ đang đứng trong làng B: Nếu cô gái là người làng A thì câu trả lời là: “không phải”; Nếu cô gái là người làng B thì câu trả lời cũng là: “không phải”. Như vậy, Nếu họ đang đứng trong làng A thì câu trả lời chỉ có thể là “phải”, còn nếu họ đang đứng trong làng B thì câu trả lời chỉ có thể là “không phải”. Người thanh niên quyết định quay ra, vì anh đã nghe câu trả lời là “không phải”. CHUYÊN ĐỀ 28. SỐ VÀ CHỮ SỐ A. LÝ THUYẾT a. Có mười chữ số là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Khi viết 1 số tự nhiên ta sử dụng mười chữ số trên. Chữ số đầu tiên kể từ bên trái của 1 số tự nhiên phải khác 0. b. Phân tích cấu tạo của một số tự nhiên: ab = a x 10 + b abc = a x 100 + b x 10 + c = ab x 10 + c abcd = a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d = abc x 10 + d = ab x 100 + cd c. Quy tắc so sánh hai số tự nhiên: c.1- Trong 2 số tự nhiên, số nào có chữ số nhiều hơn thì số đó lớn hơn. c.2- Nếu 2 số có cùng chữ số thì số nào có chữ số đầu tiên kể từ trái sang phảilớn hơn sẽ lớn hơn. d. Số tự nhiên có tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8 là các số chẵn. Số chẵn có tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8. e.Số tự nhiên có tận cùng bằng 1, 3, 5, 7, 9 là các số lẻ. Số lẻ có tận cùng bằng 1, 3, 5, 7, 9 g. Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị. Hai số hơn (kém) nhau 1 đơn vị là hai số tự nhiên liên tiếp. h. Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hai số chẵn hơn (kém) nhau 2 đơn vị là 2 số chẵn liên tiếp. i. Hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hai số lẻ hơn (kém) nhau 2 đơn vị là 2 số lẻ liên tiếp. k. Khi phải viết số có nhiều chữ số giống nhau người ta thường chỉ viết 2 chữ số đầu rồi sau đó viết chữ số cuối bên dưới ghi số lượng chữ số giống nhau đó 10 . . . 0 8 chữ số 0 47
48. B. BÀI TẬP VẬN DỤNG 1. Dạng 1: Sử dụng cấu tạo thập phân của số: Ở dạng này ta thường gặp các loại toán sau: * Loại 1: Viết thêm 1 hay nhiều chữ số vào bên phải, bên trái hoặc xen giữa một số tự nhiên. Bài 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số,biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta đƣợc một số lớn gấp 13 lần số đã cho. Giải Gọi số phải tìm là ab. Viết thêm chữ số 9 vào bên trái ta dược số 9ab. Theo bài ra ta có: 9ab = ab x 13 900 + ab = ab x 13 900 = ab x 13 – ab 900 = ab x (13 – 1) 900 = ab x 12 ab = 900: 12 ab = 75 Bài 2: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì nó tăng thêm 1 112 đơn vị. Giải Gọi số phải tìm là abc. Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta dược số abc5. Theo bài ra ta có: abc5 = abc + 1 112 10 x abc + 5 = abc + 1 112 10 x abc = abc + 1 112 – 5 10 x abc = abc + 1 107 10 x abc – abc = 1 107 ( 10 – 1 ) x abc = 1 107 9 x abc = 1 107 abc = 123 Bài 3: Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng nếu viết chữ số 0 xen giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đó ta đƣợc số lớn gấp 10 lần số đã cho, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái số vừa nhận dƣợc thì số đó lại tăng lên 3 lần. Giải Gọi số phải tìm là ab. Viết thêm chữ số 0xen giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số a0b. Theo bài ra ta có: ab x 10 = a0b Vậy b = 0 và số phải tìm có dạng a00. Viết thêm chữ số 1 vào bên trái số a00 ta được số 1a00. Theo bài ra ta có: 1a00 = 3 x a00 Giải ra ta được a = 5 .Số phải tìm là 50 * Loại 2: Xoá bớt một chữ số của một số tự nhiên. Bài 1: Cho số có 4 chữ số . Nếu ta xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó giảm đi 4455 đơn vị. Tìm số đó. Giải 48
49. Gọi số phải tìm là abcd. Xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số ab. Theo đề bài ta có abcd – ab = 4455 100 x ab + cd – ab = 4455 cd + 100 x ab – ab = 4455 cd + 99 x ab = 4455 cd = 99 x (45 – ab) Ta nhận xét tích của 99 với 1 số tự nhiên là 1 số tự nhiên nhỏ hơn 100. Cho nên 45 ab phải bằng 0 hoặc 1. - Nếu 45 – ab = 0 thì ab = 45 và cd = 0. - Nếu 45 – ab = 1 thì ab = 44 và cd = 99. Số phải tìm là 4500 hoặc 4499. * Loại 3: Số tự nhiên và tổng, hiệu, tích các chữ số của nó. Bài 1: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tỏng các chữ số của nó. Giải Cách 1: Gọi số phải tìm là ab. Theo bài ra ta có ab = 5 x (a + b) 10 x a + b = 5 x a + 5 x b 10 x a – 5 x a = 5 x b – b (10 – 5) x a = (5 – 1) x b 5 x a = 4 x b Từ đây suy ra b chia hết cho 5. Vậy b bằng 0 hoặc 5. + Nếu b = 0 thì a = 0 (loại) + Nếu b = 5 thì 5 x a = 20, vậy a = 4. Số phải tìm là 45. Cách 2: Theo bài ra ta có ab = 5 x ( a + b) Vì 5 x (a + b) có tận cùng bằng 0 hoăc 5 nên b bằng 0 hoặc 5. + Nếu b = 0 thay vào ta có: a5 = 5 x (a + 5) 10 x a + 5 = 5 x a + 25 Tính ra ta được a = 4. Thử lại: 45: (4 + 5) = 5 . Vậy số phải tìm là 45. Bài 2: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số chia cho hiệu các chữ số của nó đƣợc thƣơng là 28 và dƣ 1 Giải Gọi số phải tìm là ab và hiệu các chữ số của nó bằng c. Theo bài ra ta có: ab = c x 28 + 1, vậy c bằng 1, 2 hoặc 3. + Nếu c = 1 thì ab = 29. Thử lại: 9 – 2 = 7 khác 1 (loại) + Nếu c = 2 thì ab = 57. Thử lại: 7 – 5 = 2 ; 57: 2 = 28 (dư 1) + Nếu c= 3 thì ab = 58. Thử lại: 8 – 5 = 3 ; 85: 3 = 28 (dư 1) Vậy số phải tìm là 85 và 57. 49
50. Bài 3: Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó Giải Cách 1: Gọi số phải tìm là abc. Theo bài ra ta có : abc = 5 x a x b x c. Vì a x 5 x b x c chia hết cho 5 nên abc chia hết cho 5. Vậy c = 0 hoặc 5, nhưng c không thể bằng 0, vậy c = 5. Số phải tìm có dạng ab5. Thay vào ta có: 100 x a + 10 x b + 5 = 25 x a x b. 20 x a + 2 x b +1 = 5 x a x b. Vì a x 5 x b chia hết cho 5 nên 2 x b + 1 chia hết cho 5. Vậy 2 x b có tận cùng bằng 4 hoặc 9, nhưng 2 x b là số chẵn nên b = 2 hoặc 7. - Trường hợp b = 2 ta có a25 = 5 x a x 2. Vế trái là số lẻ mà vế phải là số chẵn. Vậy trường hợp b = 2 bị loại. - Trường hợp b = 7 ta có 20 x a + 15 = 35 x a. Tính ra ta được a = 1. Thử lại: 175 = 5 x 7 x 5. Vậy số phải tìm là 175. Cách 2: Tương tự cach 1 ta có: ab5 = 25 x a x b Vậy ab5 chia hết cho 25, suy ra b = 2 hoặc 7. Mặt khác, ab5 là số lẻ cho nên a, b phải là số lẻ suy ra b = 7. Tiếp theo tương tự cách 1 ta tìm được a = 1. Số phải tìm là 175. * Loại 4: So sánh tổng hoặc điền dấu Bài 1: Cho A = abc + ab + 1997 B = 1ab9 + 9ac + 9b So sánh A và B Giải Ta thấy: B = 1009 + ab0 + 900 + ac + 90 + b = 1999 + ab0 + a0 + c + b = 1999 + abc + ab . . .-> A B. Bài 3: Điền dấu 1a26 + 4b4 +5bc [ ] abc + 1997 abc + m000 [ ] m0bc + a00 x5 + 5x [ ] xx +56 2. Dạng 2: Kĩ thuật tính và quan hệ giữa các phép tính 50
51. Bài 1: Tổng của hai số gấp đôi số thứ nhất. Tìm thƣơng của 2 số đó. Giải Ta có: STN + ST2 = Tổng. Mà tổng gấp đôi STN nên STN = ST2 suy ra thương của 2 số đó bằng 1 Bài 2: Một phép chia có thƣơng là 6 và số dƣ là 3, tổng của số bị chia, số chia và số dƣ bằng 195. Tìm số bị chia và số chia. Giải Gọi số bị chia là A, số chia là B Ta có: A: B = 6 (dư 3) hay A = B x 6 + 3 Và: A + B + 3 = 195 -> A + B = 1995 – 3 = 1992 B = (1992 – 3): (6 + 1) = 27 A = 27 x 6 + 3 = 165 Bài 3: Hiệu của 2 số là 33, lấy số lớn chia cho số nhỏ đƣợc thƣơng là 3 và số dƣ là 3. Tìm 2 số đó. Giải Số bé là: (33 – 3): 2 = 15 Số lớn là: 33 + 15 = 48 Đáp số: SL 48 ; SB 15. CHUYÊN ĐỀ 29. DÃY SỐ Dạng 1. QUY LUẬT VIẾT DÃY SỐ: A. LÝ THUYẾT Trước hết ta cần xác định quy luật của dãy số. Những quy luật thường gặp là: + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với 1 số tự nhiên d; + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với 1 số tự nhiên q khác 0; + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng hai số hạng đứng trước nó + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d cộng với số thứ tự của số hạng ấy + Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự v . . . v. . . B. BÀI TẬP VẬN DỤNG 1. Loại 1: Dãy số cách đều: Bài 1: Viết tiếp 3 số: a, 5, 10, 15, b, 3, 7, 11, 51
52. Giải a, Vì: 10 – 5 = 5 15 – 10 = 5 Dãy số trên 2 số hạng liền nhau hơn kém nhau 5 đơn vị. Vậy 3 số tiếp theo là: 15 + 5 = 20 20 + 5 = 25 25 + 5 = 30 Dãy số mới là: 5, 10, 15, 20, 25, 30. b, 7 – 3 = 4 11 – 7 = 4 Dãy số trên 2 số hạng liền nhau hơn kém nhau 4 đơn vị. Vậy 3 số tiếp theo là: 11 + 4 = 15 15 + 4 = 19 19 + 4 = 23 Dãy số mới là: 3, 7, 11, 15, 19, 23. Dãy số cách đều thì hiệu của mỗi số hạng với số liền trước luôn bằng nhau 1. Loại 2: Dãy số khác: Bài 1: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: a, 1, 3, 4, 7, 11, 18, b, 0, 2, 4, 6, 12, 22, c, 0, 3, 7, 12, d, 1, 2, 6, 24, Giải a, Ta nhận xét: 4 = 1 + 3 7 = 3 + 4 11 = 4 + 7 18 = 7 + 11 Từ đó rút ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (Kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng trước nó. Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, b, Tương tự bài a, ta tìm ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của 3 số hạng đứng trước nó. Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau. 0, 2, 4, 6, 12, 22, 40, 74, 136, c, Ta nhận xét: Số hạng thứ hai là: 3 = 0 + 1 + 2 Số hạng thứ ba là: 7 = 3 + 1 + 3 Số hạng thứ tư là: 12 = 7 + 1 + 4 . . . Từ đó rút ra quy luật của dãy là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với 1 và cộng với số thứ tự của số hạng ấy. 52
53. Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau. 0, 3, 7, 12, 18, 25, 33, d, Ta nhận xét: Số hạng thứ hai là 2 = 1 x 2 Số hạng thứ ba là 6 = 2 x 3 số hạng thứ tư là 24 = 6 x 4 . . . Từ đó rút ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tích của số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy. Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, Bài 2: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau: a, . . ., 17, 19, 21 b, . . . , 64, 81, 100 Biết rằng mỗi dãy có 10 số hạng. Giải a, Ta nhận xét: Số hạng thứ mười là 21 = 2 x 10 + 1 Số hạng thứ chín là: 19 = 2 x 9 + 1 Số hạng thứ tám là: 17 = 2 x 8 + 1 . . . Từ đó suy ra quy luật của dãy số trên là: Mỗi số hạng của dãy bằng 2 x thứ tự của số hạng trong dãy rồi cộng với 1. Vậy số hạng đầu tiên của dãy là 2 x 1 + 1 = 3 b, Tương tự như trên ta rút ra quy luật của dãy là: Mỗi số hạng bằng số thứ tự nhân số thứ tự của số hạng đó. Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 1 x 1 = 1 Bài 3: Lúc 7 giờ sáng, Một ngƣời xuất phát từ A, đi xe đạp về B. Đến 11 giờ trƣa ngƣời đó dừng lại nghỉ ăn trƣa một tiếng, sau đó lại đi tiếp và 3 giờ chiều thì về đến B. Do ngƣợc gió, cho nen tốc độ của ngƣời đó sau mỗi giờ lại giảm đi 2 km. Tìm tốc độ của ngƣời đó khi xuất phát, biết rằng tốc đọ đi trong tiếng cuối quãng đƣờng là 10 km/ giờ. Giải Thời gian người đó đi trên đường là: (11 – 7) + (15 – 12) = 7 (giờ) Ta nhận xét: Tốc độ người đó đi trong tiếng thứ 7 là: 10 (km/giờ) = 10 + 2 x 0 Tốc độ người đó đi trong tiếng thứ 6 là: 53
54. 12 (km/giờ) = 10 + 2 x 1 Tốc độ người đó đi trong tiếng thứ 5 là: 14 (km/giờ) = 10 + 2 x 2 . . . Từ đó rút ra tốc độ người đó lúc xuất phát (trong tiếng thứ nhất) là: 10 + 2 x 6 = 22 (km/giờ) Bài 4: Điền các số thích hợp vào ô trống, sao cho tổng các số ở 3 ô liên tiếp đều bằng 1996: Giải Ta đánh số các ô theo thứ tự như sau: Theo điều kiện của đầu bài ta có: 496 + ô7 + ô 8 = 1996 ô7 + ô8 + ô9 = 1996 Vậy ô9 = 496. Từ đó ta tính được ô8 = ô5 = ô2 = 1996 – (496 + 996) = 504; ô7 = ô4 = ô1 = 996 và ô3 = ô6 = 496 Điền vào ta được dãy số: Dạng 2. Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không: A. LÝ THUYẾT - Xác định quy luật của dãy. - Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay không. B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Em hãy cho biết: a, Các số 50 và 133 có thuộc dãy 90, 95, 100,. hay không? b, Số 1996 thuộc dãy 3, 6, 8, 11,. hay không? c, Số nào trong các số 666, 1000, 9999 thuộc dãy 3, 6, 12, 24,. ? Giải thích tại sao? Giải a, Cả 2 số 50 và 133 đều không thuộc dãy đã cho vì - Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 50; - Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5 mà 133 không chia hết cho 5. b, Số 1996 không thuộc dãy đã cho, Vì mọi số hạng của dãy khi chia cho đều dư 2 mà 1996: 3 thì dư 1. c, Cả 3 số 666, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,. , vì - Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng liền trước nhân với 2. Cho nên các số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước là số chẵn mà 666: 2 = 333 là số lẻ. - Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3 mà 1000 không chia hết cho 3 - Các số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ hai) đều chẵn mà 9999 là số lẻ. Dạng 3. Tìm số số hạng của dãy số: A. LÝ THUYẾT - Ở dạng này thường sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (trồng cây).Ta có công thức sau: Số số hạng của dãy = Số 54 khoảng cách + 1
55. - Nếu quy luật của dãy là: số đứng sau bằng số hạng liền trước cộng với số không đổi thì: Số các số hạng của dãy = (Số cuối – số đầu): K/c + 1 B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Viết các số lẻ liên tiếp từ 211. Số cuối cùng là 971. Hỏi viết đƣợc bao nhiêu số? Giải Hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị Số cuối hơn số đầu số đơn vị là: 971 – 211 = 760 (đơn vị) 760 đơn vị có số khoảng cách là: 760: 2 = 380 (K/ c) Dãy số trên có số số hạng là: 380 +1 = 381 (số) Đáp số: 381 số hạng Bài 2: Cho dãy số 11, 14, 17,. , 68. a, Hãy xác định dãy trên có bao nhiêu số hạng? b, Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số thì số hạng thứ 1 996 là số mấy? Giải a, Ta có: 14 – 11 = 3 17 – 14 = 3 Vậy quy luật của dãy là: mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước cộng với 3. Số các số hạng của dãy là: ( 68 – 11 ): 3 + 1 = 20 (số hạng) b, Ta nhận xét: Số hạng thứ hai: 14 = 11 + 3 = 11 + (2 – 1) x 3 Số hạng thứ ba: 17 = 11 + 6 = 11 + (3 – 1) x 3 Số hạng thứ tư : 20 = 11 + 9 = 11 + (4 – 1) x 3 Vậy số hạng thứ 1 996 là: 11 + (1 996 – 1) x 3 = 5 996 Đáp số: 20 số hạng; 5996 Bài 3: Trong các số có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 4? Giải Ta có nhận xét: số nhỏ nhất có ba chữ số chia hết cho 4là 100 và số lớn nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 996. Như vậy các số có ba chữ số chia hết cho 4 lập thành một dãy số có số hạng đầu là 100, số hạng cuối là 996 và mỗi số hạng của dãy (Kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng kề trước cộng với 4. Vậy các số có 3 chữ số chia hết cho 4 là: (996 – 100): 4 + 1 = 225 (số) Đáp số: 225 số Dạng 4. Tìm tổng các số hạng của dãy số: A. LÝ THUYẾT Nếu các số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của 2 số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối trong dãy đó bằng nhau. Vì vậy: Tổng các số hạng của dãy = tổng của 1 cặp 2 số hạng cách đều số hạng đầu và cuối x số hạng của dãy: 2 B. BÀI TẬP VẬN DỤNG 55
56. Bài 1: Tính tổng của 100 số lẻ đầu tiên. Giải Dãy của 100 số lẻ đầu tiên là: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +. . . + 197 + 199. Ta có: 1 + 199 = 200 3 + 197 = 200 5 + 195 = 200 Vậy tổng phải tìm là: 200 x 100: 2 = 10 000 Đáp số: 10 000 Bài 2: Cho 1 số tự nhiên gồm các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 1983 đƣợc viết theo thứ tự liền nhau nhƣ sau: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13. . . 1980 1981 1982 1983 Hãy tính tổng tất cả các chữ số của số đó. (Đề thi học sinh giỏi toàn quốc năm 1983) Giải Cách 1. Ta nhận xét: Các cặp số: - 0 và 1999 có tổng các chữ số là: 0 + 1 + 9 + 9 + 9 = 28 - 1 và 1998 có tổng các chữ số là: 1 + 1 + 9 + 9 + 8 = 28 - 2 và 1997 có tổng các chữ số là: 2 + 1 + 9 + 9 + 7 = 28 - 998 và 1001 có tổng các chữ số là: 9 + 9 + 8 + 1 + 1 = 28 - 999 và 1000 có tổng các chữ số là: 9 + 9 + 9 + 1 = 28 Như vậy trong dãy số 0, 1, 2, 3, 4, 5,. . . , 1997, 1998, 1999 Hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối đều có tổng bằng 28. Có 1000 cặp như vậy, do đó tổng các chữ số tạo nên dãy số trên là: 28 x 1000 = 28 000 Số tự nhiên được tạo thành bằng cách viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1984 đến 1999 là : Vậy tổng các chữ số của số tự nhiên đã cho là: 28 000 – 382 = 27 618 Bài 3: Viết các số chẵn liên tiếp: 2, 4, 6, 8,. . . , 2000 Tính tổng của dãy số trên 56
57. Giải Dãy số trên 2 số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị. Dãy số trên có số số hạng là: (2000 – 2): 2 + 1 = 1000 (số) 1000 số có số cặp số là: 1000: 2 = 500 (cặp) Tổng 1 cặp là: 2 + 2000 = 2002 Tổng của dãy số là: 2002 x 500 = 100100 CHUYÊN ĐỀ 30. TOÁN CHUYỂN ĐỘNG A. LÝ THUYẾT 1. Mỗi quan hệ giữa quãng đờng (s), vận tốc (v) và thời gian (t) s 1.1. Vận tốc: v = t 1.2. Quãng đờng: s = v x t 1.3. Thời gian: t = s : v - Với cùng một vận tốc thì quãng đờng và thời gian là 2 đại lợng tỉ lệ thuận với nhau. - Với cùng một thời gian thì quãng đờng và vận tốc là 2 đại lợng tỉ lệ thuận với nhau. - Với cùng một quãng đờng thì vận tốc và thời gian là 2 đại lợng tỉ lệ nghịch với nhau. 2. Bài toán có một động tử (chỉ có một vật tham gia chuyển động,ví dụ: ô tô, xe máy, xe đạp, ngời đi bộ, xe lửa, ) 2.1. Thời gian đi = thời gian đến - thời gian khởi hành - thời gian nghỉ (nếu có). 2.2. Thời gian đến = thời gian khởi hành + thời gian đi + thời gian nghỉ (nếu có). 2.3. Thời gian khởi hành = thời gian đến - thời gian đi - thời gian nghỉ (nếu có). 3. Bài toán động tử chạy ngợc chiều 3.1. Thời gian gặp nhau = quãng đờng : tổng vận tốc 3.2. Tổng vận tốc = quãng đờng : thời gian gặp nhau 3.3. Quãng đờng = thời gian gặp nhau tổng vận tốc 4. Bài toán động tử chạy cùng chiều 4.1. Thời gian gặp nhau = khoảng cách ban đầu : hiệu vận tốc 4.2. Hiệu vận tốc = khoảng cách ban đầu : thời gian gặp nhau 4.3. Khoảng cách ban đầu = thời gian gặp nhau hiệu vận tốc 5. Bài toán động tử trên dòng nớc 5.1. Vận tốc xuôi dòng = vận tốc của vật + vận tốc dòng nớc 5.2. Vận tốc ngợc dòng = vận tốc của vật - vận tốc dòng nớc 5.3. Vận tốc của vật = (vận tốc xuôi dòng + vận tốc ngợc dòng) : 2 5.4. Vận tốc dòng nớc = (vận tốc xuôi dòng - vận tốc ngợc dòng) : 2 6. Động tử có chiều dài đáng kể 6.1. Đoàn tàu có chiều dài bằng l chạy qua một cột điện Thời gian chạy qua cột điện = l : vận tốc đoàn tàu 6.2. Đoàn tàu có chiều dài l chạy qua một cái cầu có chiều dài d Thời gian chạy qua cầu = (l + d) : vận tốc đoàn tàu 6.3. Đoàn tàu có chiều dài l chạy qua một ô tô đang chạy ngợc chiều (chiều dài của ô tô là không đáng kể) 57
58. Thời gian đi qua nhau = cả quãng đờng : tổng vận tốc 6.4. Đoàn tàu có chiều dài l chạy qua một ô tô chạy cùng chiều (chiều dài ô tô là không đáng kể) Thời gian đi qua nhau = cả quãng đờng: hiệu vận tốc B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Một tàu tuần tiểu có vận tốc 40 km/giờ, đƣợc lệnh tiến hành trinh sát phía trƣớc hạm đội theo phƣơng tiến của hạm đội và quay về hạm đội sau 3 giờ. Biết vận tốc của hạm đội đi đƣợc 24 km/giờ. Hỏi tàu tuần tiểu đó từ khi bắt đầu đi đƣợc khoảng cách bao xa để trở về hạm đội đúng thời gian quy định? Tổng quãng đường của tàu tuần tiểu và hạm đội đi gấp 2 lần khoảng cách cần thiết của tàu tuần tiểu phải đi. Tổng vận tốc của tàu tuần tiểu và hạm đội: 40 + 24 = 64 (km/giờ) Hai lần khoảng cách đó là: 64 x 3 = 192 (km) Khoảng cách của tàu tuần tiểu phải đi là: 192 : 2 = 96 (km) Bài 2: Hiện là 12 giờ. Sau bao lâu 2 kim đồng hồ sẽ chập nhau? Mặt tròn đồng hồ được chia làm 12 khoảng theo trụ số. Mỗi giờ kim giờ chỉ chạy được đúng 1 khoảng, kim phút chạy đúng 12 khoảng. Ta xem như kim giờ chạy trước kim phút đúng 1 vòng (12 khoảng. Vì 2 kim gặp nhau tại số 12). Hiệu số vận tốc của kim phút và kim giờ là: 12 - 1 = 11 (khoảng/giờ) 1 Thời gian để 2 kim đồng hồ chập nhau lần kế tiếp: 2 : 11 = 1 (giờ) 11 Bài 3: Bính đi từ A đến B. Nửa quãng đƣờng đầu Bính đi với vận tốc 60 km/giờ. Nửa quãng đƣờng còn lại Bính đi với vận tốc 30 km/giờ. Tính vận tốc trung bình của Bính trên suốt quãng đƣờng AB. Giả sử quãng đường AB dài 120km. Nửa quãng đường AB là: 120 : 2 = 60 (km) Thời gian đi nửa quãng đường đầu: 60 : 60 = 1 (giờ) Thời gian đi nửa quãng đường sau: 60 : 30 = 2 (giờ) Tổng thời gian đi hết quãng đường: 1 + 2 = 3 (giờ) Vận tốc trung bình của Bính trên suốt quãng đường:120 : 3 = 40 (km/giờ) Bài 4: An ngồi làm bài lúc hơn 2 giờ một chút. Khi An làm bài xong thì thấy 2 kim đồng hồ đã đổi chỗ cho nhau. Lúc này hơn 3 giờ. Hỏi An làm bài hết bao nhiêu phút? Vận tốc: Kim giờ mỗi giờ chạy 12 khoảng; kim giờ mỗi giờ chạy 1 khoảng. Tổng vận tốc của 2 kim: 12 + 1 = 13 (khoảng giờ) 5 Thời gian 2 kim đổi chỗ cho nhau:12 : 13 = 55 (phút) 13 Bài 5: Một con Chó đuổi 1 con Thỏ ở cách xa 17 bƣớc của Chó. Con Thỏ ở cách hang của nó 80 bƣớc của Thỏ. Khi Thỏ chạy đƣợc 3 bƣớc thì Chó chạy đƣợc 1 bƣớc. Một bƣớc của Chó bằng 8 bƣớc của Thỏ. Hỏi Chó có bắt đƣợc Thỏ không? 80 bước của thỏ bằng số bước của chó là : 80 : 8 = 10 ( bước chó) Chó ở cách hang thỏ số bước là : 17 + 10 = 27 ( bước) Để đến hang thỏ thì chó phải chạy số bước tính bằng bước thỏ là : 27 x 3 = 81 ( bước 58
59. thỏ) Mà thỏ ở cách hang của nó 80 bước thỏ nên thỏ đã đến trước 1 bước và vào hang. Vì vậy chó không bắt đƣợc thỏ. Bài 6: An đi từ A đến B mất 4 giờ, Bình đi từ B về A mất 5 giờ. Biết rằng nếu An và Bình cùng xuất phát cùng một lúc thì sau 2 giờ 30 phút hai ngƣời cách nhau 20 km. Tính độ dài quãng đƣờng AB. Mỗi giờ An đi được 1/4 quãng đường; Bình đi được 1/5 quãng đường. Mỗi giờ cả 2 người đi được: 1/4 + 1/5 = 9/20 (quãng đường) 2 giờ 30 phút (2,5 giờ) cả 2 người đi được: 9/20 x 2,5 = 45/40 (quãng đường) Phân số chỉ 20 km: 45/40 - 1 = 5/40 (quãng đường) Quãng đường AB là: 20 : 5 x 40 = 160 (km) Bài 7: Bây giờ là 3 giờ.Hỏi sau ít nhất là bao nhiêu giờ nữa thì kim giờ và kim phút sẽ trùng nhau? Dạng 2 chuyển động cùng chiều. Vận tốc kim phút 12 khoảng /giờ Vận tốc kim giờ 1 khoảng/giờ Lúc 3 giờ, kim phút ở sau kim giờ 3 khoảng Hiệu vận tốc 2 kim là 12 – 1 = 11 (khoảng/g) Thời gian kim phút trùng kim giờ là: 3 : 1 = 3/11 (giờ) Bài 8: Lúc 6 giờ một ngƣời xuất phát đi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau 30 phút một ngƣời khác đi từ B về A với vận tốc 40km/h.Biết họ gặp nhau luc 8h30. Tính độ dài quãng đƣờng AB? Sau 30 phút thì người đi từ A đi được: 30 : 2 = 15 (km) Lúc này 2 người cùng xuất phát lúc 6g30ph. Tổng vận tộc 2 người là bao nhiêu? Đi bao lâu 2 người sẽ gặp nhau? Ta tính được độ dài quãng đường. Bài 9: Hai vận động viên đua xe đạp đƣờng trƣờng 10 vòng quanh một cái hồ hình tròn có chu vi 10km. Vận tốc trung bình của ngƣời thứ nhất là 32km/giờ; vận tốc của ngƣời thứ hai là 35km/giờ. Hỏi sau 2 giờ hai ngƣời cách nhau bao xa? Sau 2 giờ người thứ nhất đi được: 32 x 2 = 64 (km) Sau 2 giờ người thứ hai đi được: 35 x 2 = 70 (km) Ta thấy sau 2 giờ người thứ hai đi vừa đúng 7 vòng về đến điểm xuất phát (do 70 hết cho 10); người thứ nhất vừa qua điểm xuất phát 6 vòng và thêm 4km : (64 – (10x6) = 4(km)). Như vậy 2 người cách nhau 4 km. Bài 10: Một ca nô đi xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 2 giờ; đi ngƣợc dòng từ bến B đến bến A mất 3 giờ. Biết vận tốc giữa khi đi xuôi dòng và khi đi ngƣợc dòng là 95km/giờ. Tính độ dài quãng đƣờng AB? Hiểu là tổng vận tốc đi xuôi dòng và đi ngược dòng là 95km/giờ. Cùng quãng đường thì thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc. Tỉ số vận tốc giữa xuôi dòng và ngược dòng là: 3/2. Vận tốc xuôi dòng là: 95 : (3+2) x 3 = 57 (km/giờ) Quãng đường AB là: 57 x 2 = 114 (km) 59
60. Bài 11: Một ca nô đi xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 2 giờ; đi ngƣợc dòng từ bến B đến bến A mất 3 giờ. Biết vận tốc dòng nƣớc là 10km/giờ. Tính chiều dài quãng đƣờng AB? Gọi VX là vận tốc xuôi dòng và VN là vận tốc ngược dòng. Hiệu vận tốc: VX – VN = 10 x 2 = 20 (km/giờ) Cùng quãng đường thì thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc. Tỉ số vận tốc giữa xuôi dòng và ngược dòng là: 3/2. Vận tốc xuôi dòng là: 20 : (3-2) x 3 = 60 (km/giờ) Quãng đường AB là: 60 x 2 = 120 (km) Bài 12: Một canô đi từ A về B hêt 3 giờ và đi từ B về A hết 4 giờ .Biết vận tốc dong nƣớc là 4km/giờ .Tính quãng dƣơng AB? Cùng quãng đường thì vận tốc tỉ lệ ngịch với thời gian. Gọi Vx là vận tốc xuôi dòng và Vn là vận tốc ngược dòng. Ta có Vx/ Vn = 4/3 Vận tốc xuôi dòng hơn vận tốc ngược dòng: 4 x 2 = 8 (km/giờ) (vận tốc xuôi dòng hơn vận tốc ngược dòng 2 lần vận tốc dòng nước). Vx: |___|___|___|___| Vn: |___|___|___| 8 Vận tốc xuôi dòng: 8 x 4 = 32 (km/giờ) Quãng đường AB: 32 x 3 = 96 (km) Bài 13: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/giờ, lúc từ B về A ô tô đi với vận tốc 40km/giờ. Tính vận tốc trung bình ô tô đã đi trên cả quãng đƣờng? Muốn tính vận tốc trung bình phải cần có quãng đường và thời gian tương ứng. Giả sử quãng đường dài 120 km (vì 120 chia hết cho 60 và 40 để dễ tính) Thời gian đi từ A đến B: 120 : 60 = 2 (giờ) Thời gian đi từ B đến A: 120 : 40 = 3 (giờ) Tổng thời gian cả đi lẫn về: 2 + 3 = 5 (giờ) Vận tốc trung bình cả đi lần về: 120 x 2 : (3 + 2) = 48 (km/giờ) Bài 14: Lúc 5giờ 15 phút, một ô tô chở hàng từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 55km/giờ. Đến 8 giờ 51 phút thì ô tô đến tỉnh B. Sau khi trả hàng cho tỉnh B hết 45 phút, ô tô quay về A với vận tố 60km/giờ. Hỏi ôtô quay về đến A lúc mấy giờ? Thời gian ô tô đi từ A đến B là: 8 giờ 51 phút - 5 giờ 15 phút = 3 giờ 36 phút = 3,6 (giờ) Quãng đường AB là: 55 x 3,6 = 198 km Thời gian Ô tô quay về từ B về A là: 198 : 60 = 3,3 (giờ) = 3 giờ 18 phút Ô tô quay về đến A lúc: 8 giờ 51 + 45 phút + 3 giờ 18 phút = 12 giờ 54 phút Bài 15: Một ca nô đi xuôi dòng từ A đến B với vận tốc 50km/giờ. Đi ngƣợc dòng từ B đến A với vận tốc 40km/giờ. Biết tổng thời gian cả đi lẫn về là 3,6 giờ? Tính độ dài quãng đƣờng AB? Cùng quãng đường thì vận tốc tỉ lệ nghịc với thời gian: Tỉ lệ thời gian của xuôi và ngược dòng: 40/50 = 4/5 Thời gian xuôi dòng: 3,6: (4+5)x4= 1,6 (giờ) Quãng đường AB: 50 x 1,6 = 80 (km) 60