Đề khảo sát chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Đề số 1 - Năm học 2020-2021

Nội dung text: Đề khảo sát chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Đề số 1 - Năm học 2020-2021

1. UBND HUYỆN THÁI THUỴ ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN NGUỒN HỌC SINH GIỎI PHÒNG GD- ĐT THÁI THUỴ NĂM HỌC 2020-2021 MÔN TOÁN 6 Thời gian làm bài 120 phút (không kể giao đề) Bài 1 (3 điểm). Thực hiện phép tính a) N = 1- 5 – 9 +13 +17 – 21 – 25 + + 2001 – 2005 – 2009 + 2013 b) So sánh P và Q 2010 2011 2012 2010 2011 2012 Biết P = và Q = 2011 2012 2013 2011 2012 2013 Bài 2. (1 điểm). 5.(22.32 )9.(22 )6 2.(22.3)14.36 Tính N = 5.228.319 7.229.318 Bài 3 (4 điểm). a) Cho a ; b là các số nguyên thỏa mãn (a2 + b2 ) chia hết cho 3. Chứng minh rằng a và b cùng chia hết cho 3. b) Cho A = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 32012 và B = 32013 : 2. Tính: B – A. Bài 4 (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho 19 dư 11. b) Tìm hai số nguyên tố x và y sao cho: x2 – 6y2 = 1 Bài 5 (4 điểm). a) Tìm số tự nhiên x sao cho 2x 1 5 1 1 1 b) Cho B 1.2.3 2012.(1  ) 2 3 2012 Chứng minh rằng B chia hết cho 2013. Bài 6. (4 điểm). Cho x· Ay , trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay. a) Tính BD. b) Biết B· CD = 850, B· CA = 500. Tính ·ACD . c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK Họ và tên thí sinh: . Số báo danh :
2. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6 Bài Nội dung Điểm Bài 1 Thực hiện phép tính (3đ) a) N = 1- 5 – 9 +13 +17 – 21 – 25 + + 2001 – 2005 – 2009 + 2013 0.5đ Nhận xét : Tổng - hiệu trên có 504 số 0.5đ N = (1- 5 – 9 +13) + (17 – 21 – 25 + 29)+ + (2001 – 2005 – 2009 + 2013) 0.5đ = 0 + 0 + + 0 = 0 b) So sánh P và Q 2010 2011 2012 Biết P = và Q = 2011 2012 2013 2010 2011 2012 2011 2012 2013 0.5đ Q = 2010 2011 2012 = 2010 +2011 + 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 0.5đ + 2012 0.5đ 2011 2012 2013 Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là : 2010; 2011; 2012 thấy được các phân thức của P đều lớn hơn các phân thức của Q Kết luận: P > Q Bài 5.(22.32 )9.(22 )6 2.(22.3)14.36 Tính N = 2(1đ) 5.228.319 7.229.318 5.218.318.212 2.228.314.36 N = 28 19 29 18 5.2 .3 7.2 .3 0.25đ 5.230.318 229.320 229.318 (5.2 32 ) 2 2 228.318 (5.3 7.2) 228.318 (15 14) 1 0.75đ Bài 3 a) Cho a ; b là các số nguyên thỏa mãn (a2 + b2 ) chia hết cho 3. (4 đ) Chứng minh rằng a và b cùng chia hết cho 3. - Chứng minh được: Bình phương của một số nguyên chia cho được các số dư là 0 hoặc là 1 0.5đ - Nếu a2 và b2 không chia hết cho 3 thì a2 + b2 chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2, điều này trái với (a2 + b2 ) chia hết cho 3 0.75đ Vậy a2 và b2 cùng chia hết cho 3. Do 3 là số nguyên tố nên a và b cùng chia hết cho 3 0.75đ b) Cho A = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 32012 và B = 32013 : 2. Tính: B – A. Ta có: 2B = 32013 0.5đ 3A = 3 + 32 + 33 + 34 + + 32012 + . + 32013 0.5đ 2A = 3A – A = 32013 - 1 0.5đ 2B – 2A = 32013 - 32013 + 1 0.5đ vậy B - A = 1 2
3. Bài 4 a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia (4đ) cho 4 dư 1và chia cho 19 dư 11. Gọi số cần tìm là a ta có: (a-6)  11 ; (a-1)  4 ; (a-11)  19. 0.5đ (a-6 +33)  11 ; (a-1 + 28)  4 ; (a-11 +38 )  19. (a +27)  11 ; (a +27)  4 ; (a +27)  19. 0.5đ Do 4 ; 11 ; 19 là 3 số nguyên tôt cùng nhau, nên a +27 nhỏ nhất là BCNN (4 ;11 ; 19 ) . 0.5đ Từ đó tìm được : a = 809 0.5đ b) Tìm hai số nguyên tố x và y sao cho: x2 – 6y2 = 1 x2 – 1 = 6y2 6y2 = (x-1).(x+1)  2 , do 6y2  2 0.5đ Mặt khác x-1 + x +1 = 2x  2 (x-1) và (x+1) cùng chẵn hoặc cùng 0.5đ lẻ. Vậy (x-1) và (x+1) cùng chẵn (x-1) và (x+1) là hai số chẵn liên 0.5đ tiếp 0.5đ (x-1).(x+1)  8 6y2  8 3y2  4 y2  4 y  2 y = 2 ( y là số nguyên tố) , tìm được x = 5. Kết luận Bài 5 a) Tìm số tự nhiên x sao cho 2x 1 5 (4đ) Do x là số tự nhiên nên 2x -1 là số lẻ . 2x 1 nhận các giá trị 1 hoặc 0.5đ 3 0.5đ Vậy 2x- 1 = -3 , x = -1 2x- 1 = -1 , x = 0 0.5đ 2x- 1 = 1 , x = 1 2x- 1 = 3 , x = 2 0.5đ 1 1 1 b) Cho B 1.2.3 2012.(1  ) Chứng minh rằng B 2 3 2012 chia hết cho 2013. 1 1 1 Nhận xét : Tổng 1  có 2012 số hạng 2 3 2012 0.25đ 1 1 1 1  2 3 2012 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 2012 2 2011 3 2010 1006 1007 0.5đ 2013 2013 2013 2013 1.2012 2.2011 3.2010 1006.1007 1 1 1 1 2013 ( ) 0.5đ 1.2012 2.2011 3.2010 1006.1007 1.2012 2.2011 3.2010 1006.1007 Vậy B 2013 ( ) 1.2012 2.2011 3.2010 1006.1007 0.5đ = 2013( 1 +1+1+ +1)  2013 Kết luận B chia hết cho 2013 0.25đ
4. Bài 6 Cho x· Ay , trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia (4đ ) đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay. . C y 0.5đ D A B x a) Tính BD Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax 0.25đ A nằm giữa D và B BD = BA + AD = 5,5 + 3 = 8,5 (cm) 0.25đ b) Biết B· CD = 850, B· CA = 500. Tính ·ACD . 0.25đ - Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD 0.25đ · · · ACD ACB BCD ·ACD B· CD ·ACB 850 600 250 c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK Xét 2 trường hợp 0.25đ * Trường hợp 1 : K thuộc tia Ax 0.25đ - Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B 0.25đ - Suy ra: AK + KB = AB KB = AB – AK = 5,5 – 1 = 4,5 (cm) 0.25đ 0.25đ D A K B x * Trường hợp 2 : K thuộc tia đối của tia Ax 0.25đ - Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B - Suy ra: KB = KA + AB 0.25đ
5. KB = 5,5 + 1 = 6,5 (cm) 0.25đ D K A B x 0.25đ * Kết luận: Vậy KB = 4,5cm hoặc KB = 6,5cm 0.25đ