Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2019-2020

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2019-2020

1. UBND THỊ XÃ CHÍ LINH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2019-2020 MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm) Tìm x biết: 2 1 1 3 1 a) x 0 b) x 2017 3 16 4 2 Câu 2 (2,0 điểm) a b c ab bcca a) Cho . Tính : P . b c c a a b c a b b) Hãy chia số 26 thành ba phần tỉ lệ nghịch với các số 2; 3; 4. Câu 3 (2,0 điểm) a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 Xác định hệ số a, b biết đa thức f(x) nhận x = -1 và x = 2 làm nghiệm. b) Cho đa thức Ax 210 xy 2017 y 2 2 y và Bx 52 8 xy 2017 y 2 3 y 2018 . Tìm đa thức C = A - B. Tính giá trị của đa thức C tìm được ở trên khi 2x + y = 1. Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. a) Chứng minh AM  BC và MA = MC. b) Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vuông góc với MD tại M cắt AC tại E. Chứng minh: MD = ME. c) Chứng minh: MD + ME AD + AE. Câu 5 (1,0 điểm) Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn a b c d 25 . c d Tìm giá trị lớn nhất của M . b a –––––––– Hết –––––––– Họ tên thí sinh: Số báo danh: . Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2:
2. UBND THỊ XÃ CHÍ LINH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HSG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2019-2020 MÔN: TOÁN - LỚP 7 (Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm 03 trang) Câu Ý Nội dung Điểm 1 1 1 x x 0,5 2 1 1 3 4 12 a x 3 16 1 1 7 x x 0,5 3 4 12 3 1 3 1 4035 1 x 2017 x 2017 0,25 4 2 4 2 2 3 4035 8067 b x x 0,25 4 2 4 3 4035 8073 x x 0,5 4 2 4 a b c abc Ta có: 0,25 bc ca ab 2(abc) + Nếu a + b + c = 0 => a + b = -c; b + c = -a; a + c = -b 0,25 Khi đó P (1) (1) (1) 3 a + Nếu a b c 0 thì ta có b + c = 2a; c + a = 2b; a + b = 2c a b b c c a 2c 2a 2b 0,25 Khi đó P 6 c a b c a b Vậy : P = - 3 hoặc P = 6. 0,25 2 Giả sử số 26 được chia thành ba phần x, y, z. x y z 0,25 Theo bài ra ta có : 2x = 3y = 4z 6 4 3 x yz xyz b Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau 0,25 6 4 3 6 4 3 26 0,25 2 13 x = 12, y = 8, z = 6. 0,25 Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = -1 làm nghiệm. 0,25 3 a f(-1) = 0 a.(-1)2 +b.(-1) -2 =0 a - b -2 = 0 a = b + 2. Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = 2 làm nghiệm. 0,25
3. f(2)=0 a.(2)2 +b.(2) -2 =0 4a + 2b -2 = 0 0,25 4(b +2) + 2b - 2 = 0 4b +8 + 2b - 2 = 0 6b +6 = 0 b = -1 a = 1. Vậy a = 1; b = -1 0,25 C = A – B 2 2 2 2 x10 xy 2017 yy 2 5 xxy 8 2017 yy 3 2018 0,25 x2 10xy 2017y 2 2y 5x 2 8xy 2017y 2 3y 2018 b 4x2 2xy y 2018 0,25 C 4x2 2xy y 2018 2x(2x y) y 2018 Thay 2x + y = 1 vào ta được C 2x y 2018 (2x y) 2018 0,25 Thay 2x + y = 1 vào ta được C 1 2018 2017 0,25 A H E D 0,25 2 3 1 4 B M 5 C F Xét ABM và ACM có: AM chung; AB = AC ( ABC vuông cân); MB = MC (gt) 0,25 ABM = ACM (c.c.c) AMB AMC . Mà AMB AMC 1800 AMB AMC 90 0 a 0,25 4 AM  BC - AMC có AMC 900 ; ACM 45 0 ( ABC vuông cân tại A) 0,5 AMC vuông cân tại M MA = MC (1) 0 0 Ta có: M2 M 3 90 (MD  ME) và M3 M 4 90 (AM  BC) 0,25 M2 M 4 (2) BAC - Do ABM = ACM MAB MAC 450 0,25 b 2 Xét AMD và CME có: 0 AM = CM (theo (1)); M2 M 4 (theo (2)); MAD ACM 45 0,5 AMD = CME (g.c.g) MD = ME
4. Trên tia đối của tia MD lấy F sao cho MF = MD. Từ F kẻ FH  AB tại H. 0,25 - Chứng minh MDB = MFC (c.g.c) từ đó suy ra FC // AB và FC  AC. 0,25 - Chứng minh HAC = CFH từ đó suy ra HF = AC c Do AMD = CME AD = CE AD + AE = AC. Do MD = ME nên MD + ME = 2MD = DF 0,25 Mặt khác DF HF DF AC hay MD + ME AD + AE - Dấu “=” khi MD  AB. Vì a + b = c + d = 25 nên 1 a , b , c , d 24 c d Nếu cả hai phân số và đều lớn hơn 1 thì c + d > a + b. Trái giả thiết. b a 0,25 Vậy có một phân số không vượt quá 1. c Không mất tính tổng quát giả sử 1 b d c d 0,25 + Nếu d 23 thì 23 (vì a 1) M 1 23 24 (1) a b a 1 24 5 + Nếu d 24 thì c = 1 M b a 24 - Nếu a > 1 thì M 1 13 (2) 0,25 2 1 24 577 - Nếu a = 1 thì b = 24 M (3) 24 1 24 577 Từ (1), (2) và (3) suy ra Max( M ) 24 0,25 Dấu “=” xảy ra khi a = c = 1; b = d = 24 hoặc a = c = 24; b = d = 1. Chú ý : Nếu HS làm cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa.