Đề cương Ôn tập môn Toán Lớp 9 - Học kì 1 - Năm học 2017-2018

Nội dung text: Đề cương Ôn tập môn Toán Lớp 9 - Học kì 1 - Năm học 2017-2018

1. ÔN TẬP HỌC KỲ 1 NĂM HỌC 2017 – 2018 I. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Bài 1: Cho đường tròn (O); từ điểm M nằm bên ngoài A C đường tròn, kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). a) Chứng minh: MO  AB. b) Kẻ đường kính BOC, chứng minh rằng AC//MO. M O c) Tính độ dài các cạnh của tam giác MAB biết OA = 4cm; OM = 5cm. B Bài 2: Cho đường tròn (O;R) dây MN khác đường M kính. Qua O kẻ đường vuông góc với MN tại H, cắt D các tiếp tuyến tại M của đường tròn tại điểm A. a) Chứng minh rằng: AN là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A. A O b) Vẽ đường kính ND, chứng minh MD//AO. c) Xác định vị trí điểm A để AMN đều. N
2. Bài 3: Cho đường tròn (O;R), dây BC khác đường kính. B Qua O kẻ đường vuông góc với BC tại I, cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn tại điểm A, vẽ đường kính BD. a) Chứng minh : CD//OA. I b) Chứng minh: AC là tiếp tuyến của đường tròn A O (O). K c) Đường thẳng vuông góc với BD tại O cắt BC tại K. Chứng minh: IK.IC+OI.IA= R2. D C Bài 4: Cho đường tròn (O), từ điểm M nằm ngoài đường D tròn kẻ các tiếp tuyến MD, ME với đường tròn (D,E là các tiếp điểm). Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp P tuyến với đường tròn đường thẳng này cắt MD và ME lần lượt ở P và Q. Biết MD = 4cm, tính chu vi của tam giác MPQ. M O I Q E
3. Bài 5: Cho đường tròn (O;3cm) và điểm A thỏa mãn B OA = 5cm. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Gọi H là giao điểm của AO với BC. D a) Tính OH. H b) Qua điểm M bất kỳ thuộc cung nhỏ BC kẻ tiếp A O tuyến với (O) cắt AB, AC theo thứ tự tại D và E. M Tính chu vi tam giác ADE. E C Bài 6: Cho (O; 2cm), các tiếp tuyến AB, AC kẻ từ A đến B đường tròn vuông góc với nhau tại A (B, C là các tiếp điểm). a) Tứ giác ABOC là hình gì ? vì sao ? E b) Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cung nhỏ BC. Qua M kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB và AC theo thứ tự M tại E và F. Tính chu vi của tam giác AEF. A O c) Tính số đo góc EOF ? F C
4. Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A;AH). Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác điểm H). E a) Chứng minh 3 điểm D, A, E thẳng hàng. A b) DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC. D B H O C Bài 8: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa y mặt phẳng có bờ là AB kẻ các tiếp tuyến Ax và By với (O). x Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt Ax, By lần lượt ở E và F. Chứng minh: a) EF = AE + BF. F b) Xác định vị trí của M để EF có độ dài nhỏ nhất. M E 2 3 1 4 A O B
5. Bài 9: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các y tiếp tuyến Ax, By (Ax, By cùng thuộc nửa mặt phẳng x chứa nửa đường tròn bờ AB). Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By tại C và D. a) Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc D với AB. N O' b) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu M vi nhỏ nhất. C c) Kẻ MH  AB tại H. Chứng minh rằng BC đi qua I trung điểm I của MH. d) Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14cm, biết AB = 4cm. A H O B
6. Bài 10: Cho (O;R) có đường kính AB và hai tiếp tuyến y Ax, By (Ax, By cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là AB). x Một tiếp tuyến khác tại điểm M cắt Ax ở C và By ở D. a) Chứng minh : CD = AC + BD. b) Chứng minh: ∆COD vuông. D N c) Chứng minh: AB2 = 4AC.BD (hoặc tích AC.BD M không đổi khi M di chuyển). C d) AM cắt OC tại I, BM cắt OD tại K. Tứ giác OIMK E là hình gì ? Tìm vị trí của điểm M để OIMK là I K hình vuông. e) Kẻ MH  AB (H AB). Chứng minh rằng BC đi A H O B qua trung điểm của MH.
7. Bài 11: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi y Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường x tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi D là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại D cắt Ax và By theo thứ tự tại M và N. a) Tứ giác AMNB là hình gì ? vì sao ? N O' b) Tính số đo góc MON ? D c) Chứng minh: MN = AM + BN. M d) Chứng minh: AM.BN = R2. e) Đường tròn đường kính MN tiếp xúc với AB tại O. A O B f) Tìm vị trí của D để tứ giác AMNB có chu vi nhỏ nhất.
8. Bài 12: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ y các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc x cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Gọi N là giao điểm của AD và BC, H là giao D điểm của MN và AB. Chứng minh rằng : E a) MN  AB. M b) MN = NH. C N A H O B
9. II. Vị trí tương đối của hai đường tròn Bài 1: Cho (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại điểm A. Vẽ hai M đường kính AOB và AO’C. Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (D∈ (O), E∈(O’). Gọi M là giao điểm D của BD và CE. I E a) Tính góc DAE ? B C b) Tứ giác ADME là hình gì ? Vì sao ? O A O' c) Chứng minh MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ các đường tròn (O) và (I) đi qua A và tiếp xúc với BC tại các điểm B và C. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: a) Các đường tròn (O) và (I) tiếp xúc nhau. I A K b) AM là hai tiếp tuyến chung của hai đường tròn O (O) và (I). c)∆OMI vuông. B M C d) BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆OMI.
10. Bài 3: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc K ngoài tại B (R<R’). Đường thẳng OO’ cắt (O) tại A và cắt (O’) tại C. Gọi MN là tiếp tuyến chung ngoài N hai đường tròn (M ∈(O);N∈ (O’)). D a) Chứng minh : MBN 900 . M b) AM cắt CN tại K. Chứng minh tứ giác BMKN là hình chữ nhật. A O B I O' C c) Chứng minh: KM.KA = KN.KC . d) Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh MN KI. Bài 4: Cho (O;R) đường kính AB =5cm. Trên AB lấy điểm H C sao cho AH = 1cm. Vẽ dây CD vuông góc với dây AB tại H. Gọi E là điểm đối xứng với A qua H. I a) Chứng minh tứ giác ACED là hình thoi. b) Gọi I là giao điểm của DE và BC. Vẽ đường tròn (O’) A B đường kính EB. Chứng minh rằng đường tròn này đi qua H E O O' I. c) Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn (O’). Tính độ dài HI ? D
11. Bài 5: Cho (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc A với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự F là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật. E AE AC b) Chứng minh đẳng thức: . AF AB B I H O K C c) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K). D Bài 6: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;r) cắt nhau tại C A và B (R > r). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với AI tại A, đường thẳng này cắt các M đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại C và D (khác A). A a) Chứng minh AC = AD. N b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. I H D Chứng minh rằng KB  AB. O O' K B
12. Bài 7: Cho (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dây AC của (O) tiếp xúc với (O’) tại A. Dây AD của (O’) tiếp xúc với (O) tại A. Gọi K là điểm đối xứng với A qua A trung điểm I của OO’. E là điểm đối xứng với A qua B. Chứng minh rằng: O O' a) AB KB. I H b) Bốn điểm A, C, E, D nằm trên cùng một đường B K tròn. D C E
13. BÀI TẬP BỔ SUNG 2017 – 2018 Bài 1: Cho nửa (O), đường kính AB=2R, dây cung AC=R. Gọi K là trung điểm của dây BC. Qua B dựng tiếp tuyến Bx của (O) cắt OK tại D, tia OD cắt (O) tại M. a) Cm: CD là tiếp tuyến của (O) b) OBMC là hình thoi x c) Vẽ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của cạnh CH. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt D BI ở E. Chứng minh rằng E, C,D thẳnghàng. N C M E K I A B c/AE cắt BC tại N. H O CH//AN⇒HC/NA=HB/AB=HI/AE⇒NA=2AE ⇒E là trung điểm của AN và △ANC vuông tại C ⇒EC = AE ⇒△OAE=△OCE(c.c.c) ⇒∠OAE=∠OCE=90° Mà ∠OCD=90° ⇒ E, C, D thẳng hàng Bài 2:Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho MB=R. Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt tại C và D (Ax và By cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ AB chứa điểm M) a/.CM: Tam giác COD vuông và AC+BD=CD b/.Tính OC theo R? x C c/.BC cắt đường tròn tại F (F khác B). Đường thẳng qua O vuông góc với BC cắt By tại E. CM: EF là tiếp tuyến của đường tròn (O). y d/.Gọi K là giao điểm của OE và BC. CM: DM=DK E F M D K I A B O d) Gọi I là giao điểm của OD và MB Ta có MD = DB và OM = OB = R ⇒ OD là đường trung trực của MB ⇒ IM=IB và ID //ME (cùng ⊥MB) ⇒ DE = DB(định lí đường trung bình trong △) ⇒ DK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền cuả △BKE vuông tại K ⇒DK = DB = DM
14. Bài 3. Qua điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC a) chứng minh AO là đường trung trực của BC b) Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh AH.HO=BH.CH c) AO cắt đường tròn tại hai điểm I và K. chứng minh AI.HK=IH.KA d) Goị M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Trên tia đối của MN lấy P tùy ý. Từ P kẻ tiếp tuyến PQ với (O) . Chứng minh PQ=PA. Bài 4: Cho đường tròn (O;R) và S nằm ngoài (O). Vẽ 2 tiếp tuyến SA và SB đến (O) với A,B là 2 tiếp điểm. a) Chứng minh S,A,O,B cùng nằm trên 1 đường tròn, Xác định tâm I của đường tròn này? b) Chứng minh SO vuông góc AB. c) Lấy C thuộc (O), C nằm trên nữa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa S. Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của C lên AB,SA,SB. Chứng minh ∠DCE=∠DCF d) Kẻ đường kính AK của (O). gọi M là hình chiếu của B trên AK và N là giao điểm của SK và BM.Chứng minh N là trung điểm của BM. e) Chứng minh SE 2 +AD 2 +BF 2 = SF 2 +BD 2 +AE 2 và xác định vị trí của S sao cho
15. x = SE 2 +AD 2 +BF 2 nhỏ nhất a) S,A,O,B cùng nằm trên 1 đường tròn, Xác định tâm I của đường tròn SA OA và SB OB ∠SAO=∠SBO = 90 0 SAO vuông tại A và SBO vuông tại B SAO và SBO nội tiếp đường tròn đường kính SO Tâm I là trung điểm của SO. S b) SO AB Ta có SA=SB và OA=OB=R SO là đường trung F trực AB SO AB E B C c) ∠DCE=∠DCF I CF SB,CE SA và CD AB ∠ADC=∠AEC= D N H ∠CFB=∠CDB=90 0 2 tứ giác AECD và BDCF nội tiếp K A O M DCE+∠SAB=∠DCF+∠SBA=180 0 Mà SAB cân tại S (vì SA=SB) ∠SAB = ∠SBA ∠DCE=∠DCF d) N là trung điểm của BM NMK∽ SAK(g.g) = = = BMK∽ SAO (g.g) = = BM = 2NM Vậy N là trung điểm của BM. e) Chứng minh SE 2 + BF 2 + AD 2 = SF 2 + BD 2 + AE 2 : Ta có SE 2 +EC 2 = SC 2 = SF 2 +FC 2 SE 2 +AC 2 -AE 2 = SF 2 +BC 2 -BF 2 SE 2 +AD 2 +DC 2 -AE 2 = SF 2 +BD 2 +DC 2 -BF 2 SE 2 +AD 2 +BF 2 = SF 2 +BD 2 +AE 2 (đpcm) xác định vị trí của S sao cho x = SE 2 +AD 2 +BF 2 nhỏ nhất 2x= 2(SE 2 +AD 2 +BF 2 ) = SE 2 +AD 2 +BF 2 +SF 2 +BD 2 +AE 2 2x = (SE 2 +AE 2 )+(AD 2 +BD 2 )+(BF 2 +SF 2 ) Áp dụng BĐT: a 2 + b 2 ,ta được: (SE 2 +AE 2 ) ;(AD 2 +BD 2 ) ; (BF 2 +SF 2 ) 2x + + x Minx = SE=EA, AD=BD, BF=SF C là giao điểm 3 đường trung trực của SAB C là trung điểm cung AB không chứa điểm K C  I OI=R SO=2R. Vậy điểm S cách tâm O của đường tròn (O) là 2R. Bài 5: Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến AB với (O)( B là tiếp điểm). Lấy điểm C thuộc đường tròn (O) sao cho AC=AB, Vẽ đường kính BE.
16. a) Chứng minh AC vuông góc với OC. Từ đó suy ra AC là tiếp tuyến của (O). b) Chứng minh OA//CE. c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên BE và M là giao điểm của AE và CH. Chứng minh M là trung điểm của CH. c)M là trung điểm CH: △CHE∽△ABO(g.g) ⇒CH/AB=HE/OB=2HE/BE (vì BE=2OB) A △MHE∽△ABE(g.g) ⇒ MH/AB=HE/BE C ⇒CH/AB=2(MH/AB) ⇒CH=2MH ⇒M là trung điểm của CH M E H O B Bài 6: Cho đường tròn tâm O và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) với B và C là hai tiếp điểm.Gọi H là giao điểm của OA và BC. a) Chứng minh OA vuông góc với BC. b) Vẽ đường kính BD của (O), AD cắt đường tròn (O) tại E khác D. Chứng minh rằng: AE.AD= AC 2 c) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh AD tại K và cắt đường BC tại F.Chứng minh FD là tiếp tuyến của đường tròn (O). Hướng dẫn: F A C E H K B O D c/FD là tiếp tuyến của đường tròn (O) △AOK∽△FOH (g.g)⇒OK/OA=OH/OF⇒OK.OF=OH.OA Mà OH.OA=(OC^2)(Hệ thức lượng trong △AOC vuông tại C) ⇒ OD(^2) = (OC^2)=OK.OF (OC=OD=bán kính (O)) ⇒△OKD∽△ODF(c.g.c)⇒∠OKD=∠ODF=90°⇒FD⊥OD vậy FD là tiếp tuyến với (O) tại D.(vi OD là bán kính của (O))
17. Bài 7: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Lấy 1 điểm C trên nửa đường tròn sao cho AC=R. Gọi K là giao điểm của tiếp tuyến tại A với nửa đường tròn và đường thẳng BC. a) CM: Tam giác AKB, tam giác ACB vuông và tính sinABC, số đo góc ABC. b) Từ K vẽ tiếp tuyến thứ hai với nửa đường tròn (O) tại M. OK cắt AM tại E. CM: OK vuông góc AM và KC.CB=KE.KO c) .Đường vuông góc với AB vẽ từ O cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tại N. CM: IN=IO d) Vẽ MH vuông góc AB tại H. Gọi F là giao điểm của BK và MH. CM: EF//AB Hướng dẫn: K N M C I E F A O H B c/ IN=IO: cách 1: △AKO = △ONB (g.c.g) ⇒AK=ON IO//AK (cùng ⊥AB) và OA=OB ⇒IK = IB ⇒IO là đường trung bình của △ABK ⇒AK = 2IO = ON ⇒ IO = IN cách 2: △AKO = △ONB (g.c.g) ⇒OK = BM OK//BM (cùng ⊥AM) ⇒Tứ giác BMKO là hình bình hành ⇒I là trung điểm của ON ⇒IN = IO d/ EF//AB: △BHF∽△BAK(g.g)⇒HF/HB=AK/AB=AK/2OA △BHM∽△OAK(g.g)⇒HM/HB=AK/OA⇒HM/HB=2HF/HB ⇒HM=2HF⇒F là trung điểm của HM ⇒EF là đường trung bình của △AMH ⇒EF//AB
18. Bài 9: Cho đường tròn (O;R),đường kính AB.Lấy M bất kì trên C cung AB sao cho AM > BM. a) Chứng minh tam giác AMB vuông. b) Tia tiếp tuyến Ax của (O) tại A cắt BM tại C.Tiếp tuyến tại M của (O) cắt tia Ax tại I.Chứng minh IA=IC. c) Kẻ MH AB(H AB).Gọi K là trung điểm của MH.Chứng minh B,K,I thẳng hàng. I d) Tia AK cắt IM tại D.Chứng minh BD là tiếp tuyến của (O). M Hướng dẫn: D K A O H B Bài 10: Cho (O;R) có đường kính AB và điểm M di động trên (O;R)(M≠A,M≠B).Tiếp tuyến tại M của (O) cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) tại C,D.OC cắt MA tại E,OD cắt MB tại F. C a) Chứng minh COD vuông và AC.BD = R 2 M b) Chứng tỏ EF = R. c) CB cắt AD tại I.Chứng minh MI  AB. D E I d) Tìm vị trí của M sao cho chu vi COD có giá trị nhỏ F nhất. A O B
19.  Bài 5: Cho (O) có đường kính AC.Trên tiếp HD:d)Ta có: tuyến tại A của (O),lấy I sao cho AI>R.Từ I IAM+MAO=90°vàMAN+AMN=90° vẽ tiếp tuyến IB của (O)với B là tiếp điểm (A khác B). mà MAO=AMN( AOM cân tại O)  AB OI/ / BC. I a) Chứng minh OI và H IAM=MAN AM là phân giác của IAN b) Kẻ BK AC tại K.Chứng minh B MN MI NI-MN NI MN MN M = = = + BC.BI=OI.KB. AN AI AI AI AN AI c) Qua O vẽ đường thẳng d AC.Gọi H là NI hình chiếu của I trên d.Chứng minh:H,B,C vì cosAIO = ( AIN vuông tại N) thẳng hàng. N AI d) OI cắt (O) và AB lần lượt tại M và MN MN cosAIO = + MN MN AN AI N.Chứng minh: cosAIO= + A AN AI O K C