Bài tập tự luận Toán 11 - Hai mặt phẳng song song (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập tự luận Toán 11 - Hai mặt phẳng song song (Có lời giải)

1. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa. Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung, kí hiệu α P β . Vậy α P β α  β  . 2. Định lý và tính chất. • Nếu mặt phẳng α chứa hai đường thẳng cắt nhau a,b và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng β thì α P β . M a α b a  α ,b  α Vậy a  b M α P β . P P a β ,b β β • Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. Hệ quả 1 Nếu d P α thì trong α có một đường thẳng song song với d và qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với α . Hệ quả 2 Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song. Hệ quả 3 Cho điểm không nằm trên mặt phẳng α .Mọi đường thẳng đi qua A và song song với α đều nằn trong mặt phẳng qua A song song với α . A α ,A β a A d A Vậy d  β . α d P α β P α β
2. • Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến đó song song với nhau. α P β Vậy δ  β b P a . δ  α a Hệ quả Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn bằng nhau. 3. Định lí Ta-lét (Thales) Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. α P β P χ A1B1 A2B2 d1  α A1 ,d1  β B1 ,d1  χ C1 . B1C1 B2C2    d2 α A2 ,d2 β B2 ,d2 χ C2 Định lí Ta-lét( Thales) đảo d1 d2 A2 Cho hai đường thẳng d1 ,d2 chéo nhau và các A1 điểm A1 ,B1 ,C1 γ trên d , các điểm A ,B ,C trên d sao cho A B A B 1 2 2 2 2 1 1 2 2 . B1C1 B2C2 B1 B Lúc đó các đường thẳng A1A2 ,B1B2 ,C1C2 cùng 2 song song với β một mặt phăng. C2 C1 α 4. Hình lăng trụ và hình chóp cụt. 4.1. Hình lăng trụ A4 A5 A Cho hai mặt phẳng song song và . 3 α α' A1 A2 α Trên α cho đa giác A1A2 An . Qua các đỉnh A1 ,A2 , ,An vẽ các đường thẳng song song với nhau cắt ' ' ' α' lần lượt tại A1 ,A2 , ,An . A'4 A'5 A'3 A' α' A'1 2
3. ' ' ' Hình gồm hai đa giác A1A2 An , A1A2 An và các hình bình hành ' ' ' ' ' ' ' ' ' A1A1A2A2 ,A2A2A3A3 , ,AnAnA1A1 được gọi là hình lăng trụ A1A2 An .A1A2 An . Lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp. 4.2. Hình chóp cụt. S Cho hình chóp S.A1A2 An . A'1 A'4 Một mặt phẳng không đi qua đỉnh, song song với A'5 mặt phẳng α A'2 A'3 đáy của hình chóp cắt các cạnh bên SA1 ,SA2 , ,SAn lần lượt tại ' ' ' ' ' ' A1 ,A2 , An . Hình tạo bởi thiết diện A1A2 An và đáy A1A2 An A5 ' ' ' ' ' ' A4 cùng với các tứ giác A1A2A2A1 ,A2A3A3A2 , ,AnA1A1An A1 gọi là hình ' ' ' chóp cụt A1A2 An .A1A2 An . A2 A3 B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toán 01: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG . Phương pháp: Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta có thể thực hiện theo một trong hai hướng sau: - Chứng minh trong mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng a kia. a  α ,b  α α b a  b I α P β . a P β b P β β - Chứng minh hai mặt phẳng đó cùng song song với măt mặt phẳng thứ ba. α P γ α P β . β P γ α β γ Các ví dụ
4. Ví dụ 1. Cho hìh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA,SD . Chứng minh OMN / / SBC . Lời giải. Ta có M,O lần lượt là trung điểm của SA,AC nên OM là S đường trung bình của tam giác SAC ứng với cạnh SC do đó OM P SC . M N A OM P SC B Vậy OM P SBC 1 . SC  SBC O Tương tự, Ta có N,O lần lượt là trung điểm của SD,BD nên C D ON là đường trung bình của tam giác SBD ứng với cạnh SB do đó OM / /SB . ON P SB Vậy OM P SBC 2 SB  SBC OM P SBC Từ 1 và 2 ta có ON P SBC OMN P SBC . OM  ON O Ví dụ 2. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M,N sao cho AM BN . Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M,N lần lượt cắt AD và AF tại M' và N' . Chứng minh: a) ADF P BCE . b) DEF P MM'N'N . Lời giải.
5. AD P BC F a) Ta có AD P BCE E BC  BCE AF P BE Tương tự AF P BCE . N' N BE  BCE A AD  ADF Mà ADF P BCE . B AF  ADF M' M b) Vì ABCD và ABEF là các hìnhvuông nên D C AC BF 1 . AM' AM Ta có MM' P CD 2 AD AC AN' BN NN' P AB 3 AF BF AM' AN' Từ 1 , 2 và 3 ta được M'N' P DF AD AF DF P MM'N'N . Lại có NN' P AB NN' P EF EF P MM'N'N . DF P MM'N'N Vậy DEF P MM'N'N . EF P MM'N'N Bài toán 02: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA α VỚI HÌNH CHÓP KHI BIẾT α VỚI MỘT MẶT PHẲNG β CHO TRƯỚC Phương pháp: - Để xác định thiết diện trong trường hợp này ta sử dụng các tính chất sau. - Khi α P β thì α sẽ song song với tất cả các đường thẳng trong β và ta chuyển về dạng thiết diện song song với đường thẳng (§3) α P β β P γ Sử dụng α  γ d' P d,M d' . β  γ d M α  γ - Tìm đường thẳng d mằn trong β và xét các mặt phẳng có trong hình chóp mà chứa d , khi đó α P d nên sẽ cắt các mặt phẳng chứa d ( nếu có) theo các giao tuyến song song với d .
6. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi α đi qua MN và song song với mặt phẳng SAD .Thiết diện là hình gì? Lời giải. M SAB  α Ta có SAB  SAD SA S SAB  α MK P SA,K SB . N SCD  α K Tương tự α P SAD H SCD  SAD SD A B SCD  α NH P SD,H SC . M Dễ thấy HK α  SBC . Thiết diện là tứ giác MNHK D N C Ba mặt phẳng ABCD , SBC và α đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là MN,HK,BC , mà MN P BC MN P HK . Vậy thiết diện là một hình thang . Ví dụ 2. Cho hìh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O có AC a,BD b . Tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng α di động song song với mặt phẳng SBD và đi qua điểm I trên đoạn AC và AI x 0 x a . a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi α . b) Tính diện tích thiết diện theo a,b và x . Lời giải. a) Trường hợp 1. Xét I thuộc đoạn OA
7. I α  ABD S Ta có α P SBD ABD  SBD BD P α  ABD MN P BD,I MN . K N α  SAD A Tương tự α P SBD M B I SAD  SBD SD N H O I SAD  α NP P SD,P SN . D L C Thiết diện là tam giác MNP . α P SBD Do SAB  SBD SB MP P SB . Hai tam giác MNP và BDS có các cặp cạnh tương ứng SAB  α MP song song nên chúng đồng dạng, mà BDS đều nên tam giác MNP đều. Trường hợp 2. Điểm I thuộc đoạn OC , tương tự trường hợp 1 ta được thiết diện là tam giác đều HKL như hv . b) Trường hợp 1. I thuộc đoạn OA 2 2 2 BD 3 b 3 SMNP MN Ta có SBCD , 4 4 SBCD BD 2 MN AI 2x 2x b2x2 3 Do MN P BD SMNP SBCD . BD AO a a a2 Trường hợp 2. I thuộc đoạn OC , tính tương tự ta có 2 2 2 2 HL 2 a x 2 b 3 b a x 3 SMNP SBCD [ ] . BD a 4 a2 b2x2 3 ;I (OA) a2 Vậy Std 2 . b2 a x 3 2 ;I OC a
8. Bài toán 03: MỘT SỐ ỨNG DỤNG A CỦA ĐỊNH LÍ THALES. Phương pháp: P M B C Q N Định lí Thales thừng được ứng dụng nhiều D trong các bài toán tỉ số hay các bài toán chứng minh đường thẳng song song với một mặt phẳng cố định. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD và M,N là các điểm thay trên các cạnh AB,CD sao cho AM CN . MB ND a) Chứng minh MN luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định. AM CN b) Cho 0 và P là một điểm trên cạnh AC . Xác định thiết diện của hình chóp MB ND cắt bởi MNP . c) Tính theo k tỉ số diện tích tam giác MNP và diện tích thiết diện. Lời giải. AM CN a) Do nên theo định lí Thales thì các đường thẳng MN,AC,BD cùng song song MB ND với một mặt phẳng β .Gọi α là mặt phẳng đi qua AC và song song với BD thì α cố định và α P β suy ra MN luôn song song với α cố định. AP b) Xét trường hợp k , lúc này MP P BC nên BC P MNP . PC Ta có : N MNP  BCD BC P MNP BCD  MNP NQ P BC,Q BD . BC  BCD
9. Thiết diện là tứ giác MPNQ .Xét trường hợp AP A k PC Trong ABC gọi R BC  MP M P Trong gọi  thì thiết diện C BCD Q NR BD B R là tứ giác MPNQ . K N Gọi  K MN PQ Q S PK Ta có MNP . D SMPNQ PQ AM CN Do nên theo định lí Thales đảo thì AC,NM,BD lần lượt thuộc ba mặt phẳng NB ND song song với nhau và đường thẳng PQ cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại P,K,Q nên PK PK AM CN PK PK KQ k áp dụng định lí Thales ta được k . KQ MB ND PQ PK KQ PK k 1 1 KQ Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a . Các điểm M,N lần lượt trên AD',BD sao cho AM DN x 0 x a 2 . a) Chứng minh khi x biến thiên, đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định. a 2 b) Chứng minh khi x thì MN P A'C . 3 Lời giải. a) Gọi P là mặt phẳng qua AD và song song với D' C' A'D'CB . Gọi Q là mặt phẳng qua M và song song với A' B' A'D'CB . Giả sử Q cắt BD tại điểm N' . Theo định lí Thales ta có M D C N AM DN' I O 1 A AD' DB B Vì các mặt của hình hộp là hình vuuong cạnh a nên AD' DB a 2 . Từ 1 ta có AM DN' , mà DN AM DN' DN N'  N MN  Q .
10. Q P A'D'CB Mà MN P A'D'CB . MN  Q Vậy MN luôn song song với mặt phẳng cố định A'D'CB . b) Gọi O AC  BD . Ta có a 2 a 2 2 DN x ,DO DN DO suy ra N là trọng tâm của tam giác ACD . 3 2 3 Tương tự M là trọng tâm của tam giác A'AD . IN 1 IM 1 IN IM Gọi I là trung điểm của AD ta có , MN P A'C . IC 3 IA' 3 IC IA' Bài toán 01: CHỨNG MINH CÁC ĐƯỜNG THẲNG CÙNG NẰM TRONG MỘT MẶT PHẲNG HOẶC BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG. Phương pháp: - Để chứng minh các đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng ta chứng minh các đường thẳng đó cùng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng. - Để chứng minh 4 điểm đồng phẳng ta chứng minh các điểm đó thuộc các đường thẳng mà các đường thẳng đó đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng nào đó. - Ngoài ra ta có thể sử dụng định lí Menelaus Trong không gian để chứng minh bốn điểm đồng phẳng. Định lí Menelaus Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là các điểm trên các đường thẳng AB,BC,CD,DA của tứ diện ABCD ( M,N,P,Q khác với A,B,C,D ) thì M,N,P,Q đồng phẳng khi và chỉ khi MA NB PC QD . . . 1 . MB NC PD QA Các ví dụ Ví dụ 1. Chứng minh định lý Menelaus. Lời giải. Phần thuận. Giả sử M,N,P,Q đồng phẳng. Từ các đỉnh A,B,C dựng các mặt phẳng α , β , γ theo thứ tự song song với MNPQ .
11. Từ D dựng đường thẳng d cắt α , β , γ theo thứ tự tại A',B',C' và cắt MNPQ tại O . OA' OB' OC' OD Ta có . . . 1 OB' OC' OD OA' γ A OA' MA Theo định lí Thales thì β OB' MB C' Q M A' OB' NB OC' PC OD QD MA NB PC QD O , , . . . C OC' NC OD PD OA' QA MB NC PD QA α D OA' OB' OC' OD B' P . . . 1 . OB' OC' OD OA' N B Phần đảo. MA NB PC QD Giả sử . . . 1 . Gọi E MNP  AD theo chứng minh trên,do M,N,P,E đồng MB NC PD QA MA NB PC ED QD ED phẳng nên . . . 1 E  Q . MB NC PD EA QA EA Vậy M,N,P,Q đồng phẳng. Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC . Chứng minh các đường phân giác ngoài tại S của các tam giác SAB,SAC,SBC cùng nằm trong một mặt phẳng. Lời giải. Gọi dC là đường phân giác ngoài của góc S trong tam giác SAB và I là trung điểm của AB . dC S Do tam giác SAB cân tại S nên SI  AB và SI là phân giác trong của góc S nên SI  dC . d  SI Vậy trong SAB , ta có C d P AB d P ABC . AB  SI C C C B Gọi α là mặt phẳng qua S và song song với ABC . I A S d C dC P ABC Vậy dC  α . α P ABC S α
12. Tương tự , gọi dA ,dB là các đường phân giác ngoài góc S của các tam giác SBC,SCA thì dA và dB cũng nằm trong mặt phẳng α nên các đường thẳng dA ,dB ,dC cùng nằm trong mặt phẳng α qua S và song song với mặt phẳng ABC . Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là các điểm trên các cạnh MA PD NB QA AB,BC,CD,DA ( M,N,P,Q khác với các đỉnh của tứ diện) sao cho và . MB PC NC QD Chứng minh bốn điểm M,N,P,Q đồng phẳng. Lời giải. MA PD MA PC Ta có . 1 1 A MB PC MB PD NB QA NB QD Tương tự . 1 2 M NC QD NC QA Q MA NB PC QD B Từ 1 và 2 suy ra . . . 1 theo định lí MB NC PD QA N C Menelaus thì bốn điểm M,N,P,Q đồng phẳng. P D Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD và một điểm S trong không gian ( S không trùng với A,B,C,D ). Gọi E,F,H,K lần lượt là chân các đường phân giác trong góc S của các tam giác SAB,SBC,SCD,SDA . Chứng minh bốn điểm E,F,H,K đồng phẳng. Lời giải. Theo tính chất đường phân giác ta có A S EA SA KD SD , EB SA KA SA E HC SC FB SB , HD SD FC SC B K EA FB HC KD F Suy ra . . . C EB FC HD KA H SA SB SC SD điểm . . . 1 theo định lí Menelaus thì bốn D E,SFB,HS,KC đồngSD SA phẳng.
13. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD,SA . a) Chứng minh SBN P DPM . b) Q là một điểm thuộc đoạn SP ( Q khác S,P ). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi α đi qua Q và song song với SBN . c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi β đi qua MN song song với SAD . 47. Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình bình hành tâm O . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và CD . a) Chứng minh OMN P SBC b) Gọi I là trung điểm của SD , J là một điểm trên ABCD cách đều AB và CD . Chứng minh IJ P SAB . 48. Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình bình hành tâm O , các tam giác SAD và ABC đều cân tại A . Gọi AE,AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB . Chứng minh EF P SAD . 49. Hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M,N sao cho AM BN . Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M,N lần lượt cắt AD,AF tại M',N' . a) Chứng minh BCE P ADF . b) Chứng minh DEF P MNN'M' . c) Gọi I là trung điểm của MN . Tìm tập hợp điểm I khi M,N thay đổi trên AC và BF . 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB 3a,AD CD a . Mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và SA 2a , mặt phẳng α song song với SAB cắt các cạnh AD,BC,SC,SD theo thứ tự tại M,N,P,Q . a) Chứng minh MNPQ là hình thang cân. b) Đặt x AM 0 x a . Tính x để MNPQ là tứ giác ngoại tiếp được một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.
14. c) Gọi I MQ  NP . Tìm tập hợp điểm I khi M di động trên AD . d) Gọi J MP  NQ . Chứng minh IJ có phương không đổi và điểm J luôn thuộc một mặt phẳng cố định. 51. Cho hình chóp S.ABC , một mặt phẳng α di động luôn song song với ABC , cắt SA,SB,SC lần lượt tại A',B',C' . Tìm tập hợp điểm chung của ba mặt phẳng A'BC , B'AC , C'AB . 52. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' . a) Chứng minh BDA' P B'D'C . b) Chứng minh đường chéo AC' đi qua trọng tâm G1 ,G2 của các tam giác BDA',B'D'C đồng thời chia đường chéo AC' thành ba phần bằng nhau. c) Xác định thiết diện của hình hộp cắt A'B'G2 . Thiết diện là hình gì? 53. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a .Trên các cạnh AB,CC',C'D' và AA' lấy các điểm M,N,P,Q sao cho AM C'N C'P AQ x 0 x a . a) Chứng minh bốn điểm M,N,P,Q đồng phẳng và MP,NQ cắt nhau tại một điểm cố định. b) Chứng minh MNPQ đi qua một đường thẳng cố định. c) Dựng thiết diện của hình hộp khi cắt bởi MNPQ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của chu vi thiết diện. 54. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và ΔSAD vuông tại A . Qua điểm M trên cạnh AB dựng mặt phẳng α song song với SAD cắt CD,SC,SB tại N,P,Q . a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. b) Gọi I NP  MQ . Tìm tập hợp điểm I khi M di động trên cạnh AB . 55. Cho hình chóp cụt ABC.A'B'C' . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh A'B',BB',BC . a) Xác định thiết diện của hình chóp cụt với MNP . b) Gọi I là trung điểm của AB . Tìm giao điểm của IC' với MNP .
15. 56. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a . Các điểm M,N nằm trên AD',BD sao cho AM DN x 0 x a 2 a) Chứng minh khi x biến thiên thì MN luôn song song với một mặt phẳng cố định. a 2 b) Khi x , chứng minh MN P A'C . 3 57. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' a) Gọi I,K,G lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC,A'B'C' và ACC' . Chứng minh IGK P BB'C'C và A'KG P AIB . b) Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của BB' và CC' . Hãy dựng đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC cắt AB' và PQ . 58. Cho mặt phẳng α và hai đường thẳng chéo nhau d1 ,d2 cắt α tại A,B . Đường thẳng Δ thay đổi luôn song song với α cắt d1 ,d2 lần lượt tại M và N . Đường thẳng qua N song song với d1 cắt α tại N' . a) Tứ giác AMNN' là hình gì? Tìm tập hợp điểm N' . b) Xác định vị rí của Δ để độ dài MN nhỏ nhất. c) Gọi O là trung điểm của AB , I là trung điểm của MN . Chứng minh OI là đường thẳng nằm trong mặt phẳng cố định khi M di động. 59. Cho tứ diện đều cạnh a . Gọi I,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và DBC . Mặt phẳng α qua IJ cắt các cạnh AB,AC,DC,DB lần lượt tại M,N,P,Q . a) Chứng minh MN,PQ,BC đồng quy hoặc song song và MNPQ là hình thang cân. b) Đặt AM x,AN y . Chứng minh a x y 3xy . Tìm GTNN và GTLN của AM AN . c) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và s x y . 60. Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thang, AD CD BC a, AB 2a . Măt phẳng α đi qua A cắt các cạnh BB',CC',DD' lần lượt tại M,N,P . a) Tứ giác AMNP là hình gì? b) So sánh AM và NP . LỜI GIẢI
16. BN P DM S 46. a) Ta có BN P DPM 1 DM  DPM Q BS P MP Tương tự BS P DPM 2 MP  DPM P L Từ 1 và 2 suy ra SBN P DPM . A D SB  SBN b) Ta có SB P α . K α P SBN M N R Q SAB  α B C vậy SB  SAB SAB  α QR P SB,R AB . SB P α S Tương tự α  ABCD RK P BN,K CD α  SCD KL P SB,L SD . F E Vậy thiết diện là tứ giác QRKL . A D M β  SAB SA P β c) Ta có M N SA  SAB β  SAB MF P SA,F SB B C Tương tự β  SCD NE / /SD,E SC . Thiết diện là hình thang MNEF . 47. a) Do O,M lần lượt là trung điểm của AC,SA nên OM là đường trung bình của tam giác SAC ứng với cạnh SC OM P SC . Mà SC  SBC OM P SBC 1 . Tương tự ON P BC  SBC ON P SBC 2
17. Từ 1 và 2 suy ra OMN P SBC . S b) Gọi H,K lần lượt là trung điểm của AD và BC . I Do J  ABCD và d J,AB d J,CD nên M J HK IJ  IHK . A H Ta dễ dàng chứng minh được IHK P SAB . D J IJ  IHK Vậy O N IHK P SAB B K C IJ P SAB . 48. Kẻ FI P SA,I AB IF P SAD . FS IA Ta có 1 . FB IB S Theo tính chất đường phân giác ta có FS SA AD 2 FB AB AC F ( Do các tam giác ASD,ABC cân tại D A nên SA AD,AB AC ) A ED AD I E Mặt khác 3 . EC AC B C Từ 1 , 2 và 3 suy ra IA ED IE P AD . IB EC Mà AD  SAD IE P SAD .
18. IE P SAD Ta có IEF P SAD . IF P SAD Mà EF  IEF EF P SAD . 49. BE P AF a) Ta có EB P ADF . AF  ADF Tương tự BC P ADF . Từ đó ta có BCE / / ADF . b) Vì MM' P AB MM' P CD nên theo định lí Thales ta có AM AM' 1 . AC AD F E Tương tự X N BN AN' Q NN' P AB 2 N' BF AF J B A K AM' AN' I Từ 1 và 2 suy ra Y AD AF M' M P M'N' P DF  DEF M'N' P DEF . D Lại có C MM'/ /CD P EF MM' P DEF DEF P MNN'M' . c) Gọi P MM' BC,Q NN' BE và J,K lần lượt là trung điểm các đoạn AB và CF . Gọi X N'Q  FJ , Y M'P  CJ thì XY MPQN'  FCJ . Trong M'PQN' gọi I XY  MN . YM CM XN FN Ta có 3 và 4 mà AJ BJ,AC BF nên từ 3 , 4 suy ra AJ CA BJ FB YM XN XMYN là hình bình hành nên I là trung điểm của MN .
19. M'PQN' P CEFE Do CFJ  M'PQN' XY XY P CF mà IX IY nên I thuộc đường trung trung tuyến JK CFJ  CEFE CF của tam giác JCF . Giới hạn: Khi N B M A I J Khi N F M C I K Phần đảo: (bạn đọc tự giải) Vậy tập hợp điểm I là đường trung tuyến JK của tam giác JCF . 50. α P SAB a) Do ABCD  SAB AB MN P AB 1 . ABCD  α MN α P SAB S Tương tự SCD  ABCD CD SCD  α PQ PQ P CD 2 . I Q P Lại có AB P CD 3 J A B F Từ 1 , 2 và 3 ta có M K N MN P AB P CD P PQ nên MNPQ là hình thang (*) D C Dễ thấy rằng MQ P SA,NP P SB do đó MQ DM NP CN DM CN ; mà nên SA DA SB CB DA CB E MQ NP . SA SB Mặt khác ΔSAB cân tại S SA SB MQ NP * * . Từ * và * * suy ra MNPQ là hình thang cân. b) MNPQ là tứ giác ngoại tiếp MQ NP MN PQ
20. MQ DM a x Ta có MQ 2 a x NP 2 a x SA DA a PQ SQ AM x Lại có PQ x CD SD AD a Không khó khăn ta tính được MN 3a 2x a Do đó MQ NP MN PQ 4 a x 3a 2x x x . 3 a 7 Khi đó tính được r . 6 c) Gọi E AD  BC SE SAD  SBC . I MP  SAD I MP  NQ I SE . I NQ  SBC Giới hạn: Gọi I0 là giao điểm của SE với mặt phẳng β đi qua CD và song song với SAB . Khi M D N B I I0 Khi M A N B I S Phần đảo: ( bạn đọc tự giải) d) Gọi K IJ  MN , vì MNPQ là hình thang cân nên K là trung điểm của MN . Gọi F EK  AB thì F là trung điểm của AB nên F cố định dễ thấy IJ P SF suy ra IJ có phương không đổi và điểm J thuộc mặt phẳng cố định SEF . 51. Bổ đề: Cho tam giác ABC các điểm M,N thuộc các cạnh AB,AC sao cho MN P BC . Gọi E,F lần lượt là trung điểm của BC,MN và I MB  CN thì A,F,I,E thẳng hàng.
21. Chứng minh: A    AB  AC  Ta có 2AE AB AC AM AN AM AN    M F N k AM AN 2kAF . I AB AC Với k . AM AN B E C Hay A,E,F thẳng hàng.    IB  IC  Mặt khác 2IE IB IC IN IM IN IM    IB IC l IN IM 2lIF vời l I,E,F thẳng hàng. IN IM Vậy A,F,I,E thẳng hàng. Quay lại bài toán: Gọi M AB' BA',P AC' CA',N BC' CB' và I CM  AN I AN  ABC' I BP ABC'  BCA' . I CM  BCA' Vậy I chính là điểm đồng quy của ba mặt phẳng A'BC , B'AC , C'AB . Gọi E,F lần lượt là trung điểm của BC,BA . S Theo bổ đề trên ta có S,N,E thẳng hàng và I AN nên I SAE . C' Tương tự I SCF . Gọi G là trọng tâm của ΔABC thì A' P SG SAE  SCF nên I SG . M B' N C Từ đó dễ dàng lập luận được quỹ tích điểm I là đoạn A I thẳng SG trừ S và G . G F E 52. B a) Gọi O,O' lần lượt là trọng tâm các mặt ABCD và A'B'C'D' . Dễ thấy DBB'D' là hình bình hành nên B'D' P BD  BDA'
22. B'D' P BDA' 1 . Tương tự OCO'A' là hình bình hành nên O'C / /OA'  A'BD CO' P A'BD 2 . D C Từ 1 , 2 suy ra A'BD P CB'D' . O F E b) Ta có A'O là trung tuyến của tam giác A I B G2 G O OA 1 G1 A'BD và 1 nên G là trọng D' 1 C' G1A' A'C' 2 tâm của tam giác A'BD . O' Tương tự G2 cũng là trọng tâm của tam A' B' giác CB'D' .Dễ thấy OG1 và O'G2 là đường trung bình của các tam giác ACG2 và A'C'G1 1 nên AG G G G C' AC' . 1 1 2 1 3 c) Gọi I là trung điểm của CD' . Do G2 là trọng tâm tam giác CB'D' nên I B'G2  A'B'G2 . I A'B'G  CDD'C' 2 A'B' P C'D' Vậy A'B'G  CDD'C' EF P C'D'  2 A'B' A'B'G2 C'D'  CDD'C' E CC',F DD' . Thiết diện là hình bình hành A'B'EF 53. a) Dễ thấy PN P CD' và QM P A'B mà A'B P C'D nên D' P C' PN P QM hay M,N,P,Q đồng phẳng. S b) Do PC'MA là hình bình hành nên MP đi qua trung B' điểm O của AC' . A' O N O MNPQ . Q D C Mặt khác A'B P MQ  MNPQ R A'B P MNPQ . A M B
23. Gọi Δ là đường thẳng qua O và song song với A'B thì Δ cố định và Δ  MNPQ . Hay MNPQ luôn chứa đường thẳng cố định Δ . MNPQ P A'BC' BC' P MNPQ BC' P NR BR C'N a a x . Đảo lại x , dễ dàng chứng minh được MNPQ P A'BC' . BC CC' 2 2 c) Dễ thấy Δ cắt BC,A'D' tại các trung điểm R và S của chúng. Thiết diện là lục giác MPNPSQ . Dễ thấy lục giác có tâm đối xứng là O nên MQ NP,MR NS,RN SQ do đó chu vi thiết diện là 2 a 2 2p 2 RM MQ QS . Ta có MR QS a x , QM x 2 4 2 a 2 Vậy 2p 2 x 2 2 a x . 4 2 Đặt f x x 2 a2 4 a x ;x [0;a] . Theo CauChy -Schwarz 2 2 1 a2 4 a x 12 12 a 2 a x a2 4 a x 3a 2x 2 1 3a a Nên f x x 2 3a 2x . Đẳng thức xảy ra khi x 2 2 2 Vậy min 2p 3 2a . Mặt khác bằng biến đổi tương đương ta có 2 2 2 x 2 a2 4 a x 2a a a x a x a2 0 đúng x 0;a . Đẳng thức xảy ra khi x a .Vậy max 2p 2a 2 1 . 54.
24. α P SAB a) Ta có ABCD  α MN MN P AB S I d ABCD  SAB AB Tương tự Q α  SAB MQ P SA . P B A M α  SCD NP P SD . Thiết diện là tứ giác MNPQ . D N C MN P BC MN  α Do PQ P MN 1 BC  SBC SBC  α PQ Ta có MN P AD,MQ P SA mà AD  SA nên MN  MQ 2 Từ 1 , 2 suy ra MNPQ là hình thang vuông. I NP  SCD b) Gọi d SAB  SCD , khi đó I NP  MQ I d từ đây dễ dàng tìm I MQ  SAB được quĩ tích của điểm I . 55. a) Trong ABB'A' gọi J MN  AB , trong ABC gọi Q JP  AC . Ta có ABC P A'B'C' nên A' R C' MNP  A'B'C' MR P PQ . M B' H Q Thiết diện là ngũ giác MNPQR . C A K b) Trong ABC gọi K PQ  IC thì N K MNP MK  MNP . I P Do CI P C'M nên trong MICC' gọi B J H IC' MK H IC' MNP .
25. 56. a) Gọi α là mặt phẳng đi qua M và song song với A'D'CB và N' α  BD . D' C' AM DN' Ta có 1 AD' DB A' D' Ta có AD' BD a 2 nên AM DN' mà AM DN DN DN' N  N' . M D C N Vậy MN  α P A'D'CB do đó I O MN song song với mặt phẳng cố định A'D'CB . A B a 2 b) Khi x thì dễ thấy M,N lần lượt là trọng tâm các tam giác A'AD và CAD nên 3 A'M và CN cắt nhau tại trung điểm I của AD . IM IN Khi đó MN P A'C . IA' IC 57. a) Gọi O,M,E,F lần lượt là trung điểm của AC',AC,BC,B'C' . Chứng minh IGK P BCC'B' . MI MG Ta có IG P CC'  BCC'B' IG P BCC'B' 1 MB MC' 1 B B' OA' OA' A'G Tương tự 3 A'C A'C 4 F K OA' E 2 I 3 . A A' A'C 3 M O A'K 2 A'G A'K G Lại có C A'F 3 A'C A'F C' GK P CF  BCC'B' GK P BCC'B' 2 . Từ 1 , 2 suy ra IGK P BCC'B' . Chứng minh A'KG P AIB' . Dễ thấy AA'FE là hình bình hành nên A'F P AE hay A'F P AIB' 3 . Cũng dễ thấy CF P EB'  AIB' CF P AIB' 4
26. Từ 3 , 4 suy ra A'CF / / AIB' mà A'CF S chính là A'KG nên A'KG P AIB' . B P b) Trong BCC'B' gọi R PQ  B'E B' R R PQ E R B'E  AB'E I A A' Trong AB'E gọi S IR  AB' thì đường thẳng IR M chính là đường thẳng cần dựng. C Q C' 58. a) Ta có MA P NN' 1 MN P α Do AMNN'  α AN' d1 AN' P MN 2 I d2 M N Từ 1 , 2 suy ra AMNN' là hình bình hành. Gọi β là mặt phẳng chứa d2 và song song với d1 A J N' thì NN'  β N' β từ đó ta có N' thuộc giao O tuyến d3 của α và β . B α b) Ta có MN AN' nên MN nhỏ nhất khi AN' nhỏ nhất AN'  d3 . Từ đó ta xác định Δ như sau: - Dựng β chứa d2 và β P d1 . - Dựng giao tuyến d3 α  β . - Gọi N' là hình chiếu của A trên d3 . - Từ N' dựng đường thẳng song song với d1 cắt d2 tại N . - Từ N dựng đường thẳng Δ song song với N'A thì Δ là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán. c) Gọi J là trung điểm của AN' thì OIJ P β mà O cố định và β cố định nên OIJ cố định. Vậy OI thuộc mặt phẳng cố định đi qua O và song song với β .
27. 59.a) Ta có ABC , DBC , α đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là BC,MN,PQ nên theo định lí về giao tuyến thì BC,MN,PQ hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. Ta chứng minh MNPQ là hình thang cân trong trường hợp BC,MN,PQ đồng quy Gọi E là trung điểm của BC thì EI EJ A IJ P AD . EA ED IJ  α AD  ACD Từ đó ta có NP P IJ . IJ P AD α  ACD NP M I N K Tương tự MQ P IJ nên MNPQ là hình thang. B D Q Dễ thấy DQ AM x,DP AN y . Theo định lí J cô E sin ta có P C MN2 AM2 AN2 2AM.ANcos600 x2 y2 xy . Tương tự PQ2 DP2 DQ2 2DP.DQcos600 x2 y2 xy MN PQ Vậy MNPQ là hình thang cân. Trường hợp BC,MN,PQ song song không có gì khó khăn bạn đọc tự kiểm tra. 1 1 a 3 1 a 3 c) Ta có S S S xysin600 x. sin300 y. sin300 AMN AIM AIN 2 2 3 2 3 a x y 3xy . b) Ta có AM AN x y . Theo BĐT Cauchy ta có 2 x y 2 4a a x y 3xy 3 3 x y 4a x y x y 2 3 4a 2a AM AN . Đẳng thức xảy ra khi x y , khi đó α đi qua IJ và song song với 3 3 BC . 2a Không giảm tổng quát ta có thể giả sử x y khi đó x [ ;a] 3 ax 3x2 Và x y x 3x a 3x a
28. 3a 3a2 3a a x 2a x 3a a x y 0 x y . Đẳng thức xảy ra khi x a y . 2 3x a 2 3x a 2 2 Khi đó α đi qua B . 4a 3a Vậy min AM AN ,max AM AN . 3 2 c) Dễ thấy MNPQ là hình thang cân có MQ a x,NP a y , giả sử x y a x a y . a y a x x y Ta có HN 2 2 M a-x Q MH2 MN2 NH2 2 2 2 x y x y xy 2 . 2 2 P 3 x y 6xy 3s2 8as N x-y H K x-y 4 4 2 2 2 3s 8as 1 1 2 MH 3xy a x y SMNPQ MQ NP MH 2a x y 3s 8as 2 2 2 1 2a s 3s2 8as . 4 60.a) Ta có ABB'A' P CDD'C' , B' α  ABB'A' AM A' α  CDD'C' NP AM P NP 1 do đó C' D' M AMNP là hình thang. J b) Gọi I,J lần lượt là trung điểm của N AB,AM thì B IC P AD IC P ADD'A' A I 2a P a lại có IJ P BB' P AA' a D a C IJ P AA'  ADD'A' CIJN P ADD'A' Mặt khác α  ADD'A' AP và α  CIJN JN nên JN P AP 2 1 Từ 1 , 2 suy ra APNJ là hình bình hành , do đó PN AJ AM . 2