Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Hình vuông (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Hình vuông (Có đáp án)

1. 12. HèNH VUễNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: hỡnh vuụng là tứ giỏc cú bốn gúc vuụng và bốn cạnh bằng nhau A D À Bà Cà Dà 900 Tứ giỏc ABCD là hỡnh vuụng AB BC CD DA O Từ định nghĩa hỡnh vuụng suy ra B C - Hỡnh vuụng là hỡnh chữ nhật cú bốn cạnh bằng nhau. - Hỡnh vuụng là hỡnh thoi cú bốn gúc bằng nhau. Tớnh chất: Hỡnh vuụng cú tất cả cỏc tớnh chất của hỡnh chữ nhật và hỡnh thoi Dấu hiệu nhận biết: - Hỡnh chữ nhật cú hai cạnh kề bằng nhau là hỡnh vuụng. - Hỡnh chữ nhật cú hai đường chộo vuụng gúc nhau là hỡnh vuụng. - Hỡnh chữ nhật cú một đường chộo là đường phõn giỏc của một gúc là hỡnh vuụng. - Hỡnh thoi cú một gúc vuụng là hỡnh vuụng. - Hỡnh thoi cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh vuụng. III. BÀI TẬP Bài 1: Cho hỡnh vuụng ABCD . Trờn cạnh AB, BC, CD, DA, lần lượt lấy cỏc điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH . Chứng minh EFGH là hỡnh vuụng. Bài 2: Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB = 2AD . Gọi E, F theo thứ tụ là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. a) Tứ giỏc ADFE là hỡnh gỡ? Vỡ sao? b) Tứ giỏc EMFN là hỡnh gỡ? Vỡ sao? Bài 3: Cho hỡnh chữ nhật ABCD AD AB 2AD . Vẽ cỏc tam giỏc vuụng cõn ABI , CDK Iˆ Kˆ 90 , I và K nằm trong hỡnh chữ nhật. Gọi E là giao điểm của AI và DK, F là giao điểm của BI và CK. Chứng minh rằng: a) EF song song với CD. b) EKFI là hỡnh vuụng. Bài 4: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD.Ở phớa ngoài hỡnh bỡnh hành vẽ cỏc hỡnh vuụng ADEF và ABGH .Gọi O là giao điểm cỏc đường chộo của hỡnh vuụng ADEF. Chứng minh rằng. a) Oã AH Oã DC b) OH = OC c) OH  OC
2. Bài 5: Cho hỡnh vuụng ABCD. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của cỏc cạnh AB, BC, CD, DA. a) Chứng minh AN = DM và AN ^ DM b) Chứng minh rằng cỏc đoạn thẳng DM, AN, BP, CQ giao nhau tạo thành một hỡnh vuụng. c) Gọi E là giao điểm của DM và AN. Chứng minh CE = CD. ã ã Bài 6: Cho tứ giỏc ABCD cú ADC + BCD = 90° và AD = BC . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD. Chứng minh rằng tứ giỏc MNPQ là hỡnh vuụng. Bài 7: Cho hỡnh vuụng ABCD. Gọi E, F lần lượt trờn cạnh AB, AD sao cho AE = DF . Chứng minh rằng DE = CF và DE ^ CF Bài 8: Cho tam giỏc ABC cõn tại A Aˆ 90 , cỏc đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Tia phõn giỏc của gúc ABD cắt EC và AC theo thứ tự tại M và P. Tia phõn giỏc của gúc ACE cắt DB và AB theo thứ tự tại Q và N. Chứng minh rằng: ã ã a) ABD = ACE . b) BH CH . c) Tam giỏc BOC vuụng cõn. d) MNPQ là hỡnh vuụng. Bài 9: Cho hỡnh vuụng ABCD. Lấy điểm M tựy ý trờn cạnh BC. Từ M, vẽ một đường thẳng ã ã 0 cắt cạnh CD tại K sao cho: AMB = AMK . Chứng minh Kã AM 45 . Bài tập tự luyện: Bài 10: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Vẽ ra phớa ngoài tam giỏc này cỏc hỡnh vuụng ABDE và ACFG. Chứng minh rằng: a) Ba đường thẳng AH, DE và FG đồng quy; b) Ba đường thẳng AH, BF và CD đồng quy. Bài 11: Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn tia đối của tia BA lấy điểm E. Trờn tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho AE = CF. Gọi O là trung điểm của EF. Vẽ điểm M sao cho O là trung điểm của DM. Chứng minh rằng tứ giỏc DEMF là hỡnh vuụng. Bài 12: Cho tam giỏc ABC, À 45o. Vẽ ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, HB và HC. Chứng minh rằng tứ giỏc MNPQ là hỡnh vuụng. KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
3. Bài 1: Chỉ raAH = BE = CF = DG . Từ đú suy ra: A E B DAEH = DBFE = DCGF = DDHG (c-g-c). Do đú HE = EF = FG = GH (1). F ã ã Mặt khỏc, vỡ DAEH = DBFE ị BEF = AHE H ã ã 0 ã 0 Suy ra AEH + BEF = 90 ị FEH = 90 (2). D G C (1), (2) suy ra EFGH là hỡnh vuụng. Bài 2: a) E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nờn ta cú EF / / AD/ / BC ADFE , do đú dễ thấy là hỡnh chữ nhật. A E B 1 Mặt khỏc AD = AE = AB . Vậy ADFE là hỡnh vuụng. 2 M N b) Chứng minh tương tự cõu a, ta cú BCFE cũng là hỡnh D C vuụng. Do đú hai tam giỏc MEF và NEF là hai tam giỏc vuụng F cõn tại M, N. từ đú suy ra EMFN là hỡnh vuụng. Bài 3: a) Tam giỏc KCD cõn tại K nờn KD KC (1). A B ΔEAD ΔFBC (g.c.g) nờn DE CF (2). K 1 Từ (1) và (2) suy ra: E 1 F KD DE KC CF KE KF . 1 2 à I Tam giỏc vuụng KEF cú KE KF nờn E1 45 . D C ả Ta lại cú: D2 45 EF//CD (2 gúc đồng vị bằng nhau). ả ả ã b) Tam giỏc EAD cú A1 D1 45 nờn AED 90. Tứ giỏc EKFI cú Eˆ Kˆ Iˆ 90 nờn EKFI là hỡnh chữ nhật. Lại cú KE KF EKFI là hỡnh vuụng. Bài 4: a) Ta cú : OA  OD (tớnh chất đường chộo hỡnh vuụng) ; AH  DC ( vỡ AH  AB , AB/ / CD ). Vậy Oã AH Oã DC (gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc). b) Xột DOAH và DODC : OA = OD (tớnh chất đường chộo hỡnh vuụng) Oã AH Oã DC ( cõu a) AH = DC (cựng bằng AB )
4. Vậy DOAH = DODC (c.g.c) suy ra OH = OC . c) DOAH = DODC Oà1 Oà 2 mà Oà 2 Oà3 90 (tớnh chất đường chộo hỡnh vuụng ), nờn Oà1 Oà3 90 .Vậy OH  OC . Bài 5: a) Xột hai tam giỏc ABN và DAM vuụng tại B và A, cú AB = AD và BN = AM , do đú DABN = DDAM A M B suy ra AN = DM và Bã AN Ã DM . E ã ã 0 ã ã F Mà BAN + DAN = 90 , do đú ADM + DAN = 90° , hay Q N Ã ED 900 H . G AN = DM AN ^ DM Vậy ta cú và . C D P b) Giả sử cỏc đoạn thẳng DM, AN, BP, CQ giao nhau tạo thành tứ giỏc EFGH. MB // DP và MB = DP MBPD là hỡnh bỡnh hành. Suy ra BP // DM AN  BP. Tương tự ta cũng cú CQ ^ DM . 0 Như vậy tứ giỏc EFGH cú Eà F Hà 90 . * Ta chứng minh EF = EH : Dễ thấy EM là đường trung bỡnh trong tam giỏc ABF, E là trung điểm của AF. Tương tự H là trung điểm của DE. Xột hai tam giỏc ABF và DAE vuụng tại F là E, cú: ã ã AB = DA ; BAF = ADE (vỡ DABN = DDAM ). Suy ra DABF = DDAE AF = DE. Từ đú ta cú EF = EH. Vậy EFGH là hỡnh vuụng. c) H là trung điểm của DE và CH ^ DE , do đú ta suy ra CDE cõn tại C, hay là CE = CD . 1 Bài 6: Trong tam giỏc ABC, MN là đường trung bỡnh nờn MN = BC 2 1 1 1 Lập luận tương tự, ta cú PQ = BC,MQ = AD,NP = AD 2 2 2 Theo giả thiết, AD = BC suy ra MN = QP = MQ = NP . Vậy MNPQ là hỡnh thoi (1).
5. Mặt khỏc ta cú: M B ã ã ã ã A DPQ = DCB,NPC = ADC (gúc đồng vị). ã ã Q theo giả thiết DCB + ADC = 90° , suy ra N ã ã DPQ + NPC = 90° . Do vậy ta được gúc ã QPN = 90° (2). C D P Từ (1) và (2) cho ta MNPQ là hỡnh vuụng. Bài 7: Gọi I là giao điểm của DE và CF. A E B Xột hai tam giỏc ADE và DCF cú: AD = DC (vỡ ABCD là hỡnh vuụng). F EãAD = FãDC = 90° . I AE = DF (theo giả thiết) Vậy DADE = DDCF , khi đú ta cú: D C ã ã DE = CF và ADE = DCF . ã ã ã ã ° ã ° Mặt khỏc DCF + DFC = 90° , suy ra ADE + DFC = 90 ị DIF = 90 . Vậy DE ^ CF . Bài 8: a) Ã BD Ã CE (cựng phụ với Aˆ ). b) Ta cú: Ã BC Ã CB mà Ã BD Ã CE (chứng minh trờn) ã ã ã ã ả ả ị ABC - ABD = ACB - ACE Û B3 = C3 . BH CH . A ả ả ả ả c) Tam giỏc OBC cú B3 C3 ,B2 C2 ả ả ả ả ã ã nờn B3 B2 C3 C2 OBC OCB ΔOBC cõn tại O (1). N P ả à O Mặt khỏc, vỡ C2 B1 nờn ta cú: ả ả ả ả ả ả à ả E D B2 B3 C3 C2 B2 B3 B1 C3 90 M Q 1 1 Bã OC 90 (2). 2 H 2 3 3 B C Từ (1) và (2) suy ra ΔOBC vuụng cõn.
6. d) Tam giỏc OBC cõn tại O nờn OB OC (3). ΔBMH ΔCQH (g.c.g), BM CQ (4). Từ (3) và (4) suy ra: OB BM OC CQ OM OQ Mà ΔBNQ cõn tại B cú đường cao BO cũng là đường trung tuyến nờn O là trung điểm của QN hay ON OQ . Tương tự ta cú OP OM . OM ON OQ OP MNPQ là hỡnh thoi. Ta lại cú: MP  NQ nờn MNPQ là hỡnh vuụng Bài 9: MA là phõn giỏc gúc BMK nờn MA là trục đối xứng của hai đường thẳng MK và MB. Gọi I là điểm đối xứng của K qua MA, suy ra I thuộc đường thẳng BC. I Ta cú AI = AK , AB = AD . Hai tam giỏc vuụng ABI và ADK cú hai cạnh bằng nhau nờn ABI = ADK . A B ã ã Từ đú ta cú IAB = KAD . ã ã ã ã ã IAK = IAB + BAK = KAD + BAK = 90° . Vậy ta cú: M ã 1 ã MAK = IAK = 45°. 2 D K C