Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Hình hộp chữ nhật (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Hình hộp chữ nhật (Có đáp án)

1. 1. HèNH HỘP CHỮ NHẬT I. KIẾN THỨC CƠ BẢN B C B C D A A D B' C' B' C' A' A' D' D'  Hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C 'D ' Hỡnh lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' H.1 Ở H.1, ta cú hỡnh ABCD.A 'B 'C 'D ' là hỡnh hộp chữ nhật cú: - 6 mặt ABCD , A 'B 'C 'D ' , ADD 'A ' , BCC 'A ' , ABB 'A ' , DCC 'D ' là những hỡnh chữ nhật. - 12 cạnh và 8 đỉnh là: A, B, C, D, A ' , B ' , C ' , D ' . - Hai mặt của hỡnh hộp chữ nhật khụng cú cạnh chung gọi là hai mặt đối diện và cú thể xem chỳng là hai mặt đỏy của hỡnh hộp chữ nhật, khi đú cỏc mặt cũn lại được xem là cỏc mặt bờn. - Hỡnh hộp chữ nhật cú 6 mặt là những hỡnh vuụng gọi là hỡnh lập phương. Cỏc cụng thức tớnh diện tớch Xột hỡnh hộp chữ nhật cú chiều cao h, đỏy cú chiều dài là a, yà chiều rộng là b. a) Diện tớch xung quanh của hỡnh hộp chữ nhật bằng chu vi đỏy nhõn chiều cao: Sxq = 2(a + b)h. b) Diện tớch toàn phần của hỡnh hộp chữ nhật bằng diện tớch xung quang cộng diện tớch hai đỏy: Stp = 2(a + b)h + 2ab. c) Thể tớch của hỡnh hộp chữ nhật bằng diện tớch đỏy nhõn chiều cao: V = abh trong đú a, b, h lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hỡnh hộp chữ nhật. Hệ quả: Với hỡnh lập phương thỡ V a3 trong đú a là độ dài cạnh của hỡnh lập phương.
2. II. BÀI TẬP A B Bài 1:Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.MNPQ ( hỡnh vẽ) E a) Kể tờn những cạnh bằng nhau của hỡnh hộp chữ nhật. D C b) Kể tờn ba đường thẳng nào cắt nhau tại điểm A ? M O N c) Nếu O là trung điểm của đoạn thẳng BP thỡ O Q cú là điểm thuộc đoạn thẳng NC khụng? P d) Nếu E là điểm thuộc cạnh AD thỡ E cú thể là điểm thuộc cạnh BN khụng? e) Kể tờn cỏc đường thẳng song song với:  AM  AD  PQ f) Kể tờn cỏc mặt phẳng song song với mặt phẳng (MNPQ) . g) Đường thẳng BC song song với những mặt phẳng nào? h) Đường thẳng DP song song với những mặt phẳng nào? Tại sao? i) Hai mặt phẳng nào cắt nhau theo đường thẳng AM ? j) Mặt phẳng (ABNM ) và mặt phẳng (MNPQ) cắt nhau theo đường thẳng nào? k) Cỏc cặp mặt phẳng nào song song với nhau ? l) Mặt phẳng (BMP) song song song với mặt phẳng nào ? Tại sao? m) Đường thẳng AM vuụng gúc với những mặt phẳng nào? n) Hai mặt phẳng (ABNM ) và (ADQM ) cú vuụng gúc với nhau khụng? Tại sao? o) Cho biết AB 6cm , BN 4 cm , MQ 5 cm . Tớnh diện tớch toàn phần, thể tớch của hỡnh hộp chữ nhật và độ dài CM . Bài 2: Cho hỡnh lập phương ABCD.EFGH (hỡnh vẽ) a) Đường thẳng AB và đường thẳng HG cú song song với nhau khụng? B C b) Đường thẳng BH và đường thẳng AG cú cắt nhau khụng? c) Đường thẳng AG và đường thẳng CE cú cắt nhau khụng? A D d) Đường thẳng CE và đường thẳng DF cú cắt nhau khụng? G e) Đường thẳng DF và đường thẳng BH cú cắt nhau khụng? F f) Đường thẳng BH và đường thẳng AE cú cắt nhau khụng? E H g) Đường thẳng CH cú song song với mặt phẳng (ABE) khụng? h) Đường thẳng BF cú vuụng gúc với mặt phẳng (EGH ) khụng?
3. i) Đường thẳng BC cú vuụng gúc với đường thẳng AF khụng? j) Mặt phẳng (ABCD) cú vuụng gúc với mặt phẳng (DHG) khụng? k) Cho biết cạnh của hỡnh lập phương bằng 5cm . Tớnh diện tớch toàn phần, thể tớch của hỡnh lập phương và độ dài đoạn BH Bài 3: Tớnh cỏc kớch thước của hỡnh hộp chữ nhật, biết rằng chỳng tỉ lệ với 3, 4, 5 và thể tớch của hỡnh hộp này là 480cm3 Bài 4: Diện tớch toàn phần của một hỡnh lập phương là 486cm3 . Thể tớch của nú là bao nhiờu? Bài 5: Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C 'D ' . Trờn cỏc cạnh AA ', DD ', BB ', CC ' lần 2 1 lượt lấy cỏc điểm E, F, G, H sao cho AE = DF = DD '; BG = CH = CC '. Chứng minh 3 3 rằng mp(ADHG) // mp(EFC'B'). Bài 6: Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C 'D ' . a) Chứng minh rằng tứ giỏc ADC 'B ' là hỡnh chữ nhật. b) Tớnh diện tớch của hỡnh chữ nhật ADC 'B ' biết: AB = 12, AC ' = 29, DD ' = 16. Bài 7: Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C 'D ' . a) Chứng minh rằng mp(DCCÂDÂ) ^ mp(CBBÂCÂ) b) Trong số sỏu mặt của hỡnh hộp chữ nhật, cú bao nhiờu cặp mặt phẳng vuụng gúc với nhau? Bài 8: Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C 'D ' . Diện tớch cỏc mặt ABCD , BCC 'B ' và DCC 'D ' lần lượt là 108cm2, 72cm2 và 96cm2. a) Tớnh thể tớch của hỡnh hộp. b) Tớnh độ dài đường chộo của hỡnh hộp. Bài 9: Một bể đựng nước cú dạng hỡnh hộp chữ nhật (xem hỡnh vẽ). Mực nước hiện tại 2 bằng chiều cao của bỡnh. Nếu ta đậy bỡnh lại rựi 3 dựng đứng lờn (lấy mặt (ADD 'A ') làm đỏy) thỡ chiều cao của mực nước là bao nhiờu? Bài 10: Một bỡnh đựng nước cú dạng hỡnh hộp chữ nhật cú chiều rộng bằng 4cm, chiều dài bằng 8cm, 3 chiều cao bằng 5cm. Mực nước hiện tại bằng 4
4. chiều cao của bỡnh. Nếu ta đổ nước trong bỡnh vào một bỡnh khỏc hỡnh lập phương cú cạnh bằng 5cm thỡ chiều cao mực nước là bao nhiờu? Bài 11: Một hỡnh hộp chữ nhật cú thể tớch bằng 60cm3 và diện tớch toàn phần bằng 94cm2 . Tớnh chiều rộng, chiều dài của hỡnh hộp chữ nhật biết chiều cao bằng 4cm. Tự luyện Bài 1: Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C 'D '. a) Những cạch nào song song với DD’? b) Những cạch nào song song với BC? c) Những cạch nào song song với CD? d) Những mặt nào song song với mp(BCC 'B ') Bài 2: Một căn phũng dài 5m, rộng 3,2m và cao 3m. Người ta muốn quột vụi trần nhà và bốn bức tường. Biết rằng tổng diện tớch cỏc cửa là 6,3m2 . Hóy tớnh diện tớch cần quột vụi? Bài 3: Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C 'D ' cú AB = 3cm , AD = 4cm ; AA ' = 5cm . Tớnh AC ' Bài 4: Tỡm độ dài cạnh của hỡnh lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' biết BDÂ = 3 cm Bài 5: Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C 'D ' a) Hai đường thẳng AC ' và BD ' cú cắt nhau khụng? b) Đường thẳng BD cú cắt cỏc đường thẳng AA ', A 'C ', CC ' hay khụng c) Tỡm một điểm cỏch đều cỏc đỉnh của hỡnh hộp chữ nhật Bài 6: Một bể đựng nước cú dạng hỡnh hộp chữ nhật 2 (xem hỡnh vẽ). Mực nước hiện tại bằng chiều cao 3 của bỡnh. Nếu ta đậy bỡnh lại rựi dựng đứng lờn (lấy mặt (AA 'B 'B) làm đỏy) thỡ chiều cao của mực nước là bao nhiờu?
5. Bài 7: Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D '. a) Chứng minh rằng mp ACD ' // mp A'C ' B . b) Chứng minh rằng mp CDB ' và mp BCD ' cắt nhau. Tỡm giao tuyến của chỳng. Bài 8: Hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D '. cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng. Chứng minh rằng mp DBB ' D ' vuụng gúc với mp(ACC 'A '). Bài 9: Một hỡnh hộp chữ nhật cú cỏc kớch thước bằng 8, 9, 12. Tớnh độ dài lớn nhất của một đoạn thẳng cú thể đặt trong hỡnh hộp chữ nhật đú. Bài 10: Một hỡnh hộp chữ nhật cú tổng ba kớch thước bằng 61cm và đường chộo bằng 37cm. Tớnh diện tớch toàn phần của hỡnh hộp chữ nhật đú. Bài 11: Đường chộo của một hỡnh lập phương dài hơn đường chộo mỗi mặt của nú là 1cm. Tớnh diện tớch toàn phần và thể tớch của hỡnh lập phương đú. Bài 12: Một hồ cỏ cảnh mini cú dạng hỡnh hộp chữ nhật với chiều cao 5 dm, chiều rộng 3 dm và chiều dài 4 dm. Người ta đổ vào hồ cỏ 50 dm3 nước. a) Hỏi chiều cao của khối nước trong bể là bao nhiờu dm? b) Tớnh thể tớch phần hồ cỏ khụng chứa nước. Bài 13: Một chiếc hộp dạng hỡnh hộp chữ nhật cú chiều cao 8 cm, chiều rộng 6 cm và chiều dài 24cm. Nguời ta định đặt một cỏi que dài 27 cm vào trong hộp. a) Hỏi toàn bộ cỏi que cú ở trong hộp khụng? Vỡ sao? b) Giữ nguyờn chiều cao và chiều rộng của hộp. Nếu muốn đặt cỏi que lọt đỳng theo một cạnh của đỏy hộp thỡ phải tăng chiều dài hộp ớt nhất bao nhiờu cm? (Biết số đo cỏc chiều là số nguyờn). Tớnh diện tớch toàn phần của hộp khi đú. Bài 14: Một hỡnh lập phương cú cạnh bằng 1. Người ta tăng độ dài của mỗi cạnh của nú thờm 20%. a) Diện tớch toàn phần của nú tăng bao nhiờu phần trăm? b) Thể tớch của nú tăng bao nhiờu phần trăm? Bài 15: Cho hỡnh hộp chữ nhậtABCD.A 'B 'C 'D ' . Gọi M, N lần lượt là trung điểm BD và B 'D ' a) Nờu vị trớ tương đối của cỏc cặp đường thẳng MN và BD; MNvà CC'; AC và A'D'. b) Chứng minh MN ^ (A'B 'C' D ') c) BiếtAA ' = 20 cm , AB = 30 cm ,AD = 40 cm . Tớnh B 'D '; B 'M . d) Tớnh thể tớch hỡnh hộp.
6. KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ Bài 1: HD: a) Cỏc cạnh bằng nhau của hỡnh hộp chữ nhật là : AB DC QP MN ; AM BN CP DQ; AD BC NP MQ b) Ba đường thẳng cắt nhau tại điểm A là AD, AM , AB . A B c) O là điểm thuộc đoạn thẳng NC . E Do tớnh chất của hỡnh bỡnh hành BCPN . D C d) E là điểm thuộc cạnh AD thỡ E khụng thuộc cạnh BN M O N vỡ hai đường AD, BN chộo nhau. e) Cỏc đường thẳng song song với AM là BN, CP, DQ . Q P Cỏc đường thẳng song song với AD là BC, NP, MQ . PQ AB, CD, MN Cỏc đường thẳng song song với là . f) Cỏc mặt phẳng song song với mặt phẳng (MNPQ) là mặt phẳng (ABCD) . g) Đường thẳng BC song song với cỏc mặt phẳng: mp(NPQM ) , mp(ADPN) , mp(ADQM ) . DP // AN h) Đường thẳng DP song song với mp (ABNM ) vỡ DP  mp(ABNM ) AN  mp(ABNM ) i) Hai mặt phẳng cắt nhau theo đường thẳng AM là mp(ABNM ), mp(ADQM ) . j) Mặt phẳng (ABNM ) và mặt phẳng (MNPQ) cắt nhau theo đường thẳng MN . k) Cỏc mặt phẳng song song với nhau là : mp(ADQM ) và mp(DCPN) ; mp(ABNM ) và mp(DCPQ) ; mp(ABCD) và mp(MNPQ) . l) Mặt phẳng (BMP) song song song với mặt phẳng (AQC) vỡ BM , BP  mp(BMP) và BM  BP AQ, QC  mp(AQC) và AQ Q C BM // CQ, BP // AQ m) Đường thẳng AM vuụng gúc với hai mặt phẳng: mp(ABCD); mp(MNPQ) . n) Hai mặt phẳng mp(ABNM ) và mp(ADQM ) cú vuụng gúc với nhau vỡ AB  mp(ABNM ) AB  mp(ADQM )
7. o) Diện tớch toàn phần của hỡnh hộp chữ nhật là 2 Stp 2(ab bc ca) 2(6.5 5.4 4.6) 148 (cm ) . Thể tớch của hỡnh hộp chữ nhật là AB.BN.MQ = 6.4.5=120 (cm3 ) B C Độ dài CM AB2 BN 2 CP2 62 52 42 77 (cm) Bài 2: HD A D a) Xột mp(ABCD) cú AB//CD Xột mp(CDHG) cú CD//HG F G ị AB//HG E H b) Xột mp(ABGH ) cú BH, AG là hai đường chộo ị BH ầ AG c) AG và CE cú cắt nhau vỡ nằm trong (ACGE) d) CE và DF cú cắt nhau vỡ cựng nằm trờn mặt phẳng (CDEF) e) DF và BH cú cắt nhau vỡ cựng nằm trờn (BDHF) f) BH và AE khụng đồng hẳng vỡ khụng cựng nằm trờn một mặt phẳng. (khụng cắt nhau) ùỡ CH //BE g) Ta cú BCHE là hỡnh chữ nhật ị ớù ị CH P(ABE) ù ợù BE è (ABE) ỡ ù BF ^ (EFGH ) h) ớ ị BF ^ (EGH ) ù ợù (EGH )è (EFGH ) ỡ ùỡ BC ^ AB ù BC ^ (ABFE) i) ớù ị ớ ị BC ^ AF ù ù ợù BC ^ BF ợù AF è (ABFE) ùỡ BC ^ CG j) ớù ị BC ^ (CDHG)ị (BCDA)^ (CDHG)ị (BCDA)^ (DHG) ợù BC ^ CD 2 2 k) Stp = 6.( 5) = 30(cm ) V = 5. 5. 5 = 5 5(cm3 ) Xột VEFH cú EF ^ EH FH = EF 2 + EH 2 = 5+ 5 = 10(cm) Xột VBFH cú BF ^ FH suy ra BH = BF 2 + FH 2 = 5+ 10 = 15(cm)
8. Bài 3: Gọi cỏc kớch thước của hỡnh hộp là a, b, c a b c Theo giả thiết ta cú k và V= abc = 480cm3 3 4 5 abc 480 Theo tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ta cú k 3 8 k 2 3.4.5 60 Vậy cỏc kớch thước của hỡnh hộp là a = 6cm , b = 8cm , c = 10cm . Bài 4: Hỡnh lập phương cú 6 mặt là cỏc hỡnh vuụng bằng nhau. Vậy diện tớch một mặt hỡnh vuụng là 486 : 6 = 81cm2 . Một cạnh hỡnh lập phương dài bằng a = 9cm . Thể tớch hỡnh lập phương là V = 9.9.9 = 729cm3 Bài 5: HD: Tứ giỏc BCHG cú BG = CH ; BG/ / CH nờn là hỡnh bỡnh hành, suy ra HG/ / BC. Mặt khỏc BC/ / B 'C ' nờn HG/ / B 'C '. Tứ giỏc DHC 'F cú DF / / HC ' và DF = HC ' nờn là hỡnh bỡnh hành, suy ra DH = FC '. Xột mp(ADHG) cú HG và DH cắt nhau tại H. Xột mp(EFC 'B ') cú B'C' và FC' cắt nhau tại C'. Từ đú suy ra mp(ADHG) // mp(EFC'B'). Bài 6: a) Tứ giỏc ADD 'A ' là hỡnh chữ nhật, suy ra AD/ / A 'D ' và AD = A 'D '. Tứ giỏc A 'B 'C 'D ' là hỡnh chữ nhật, suy ra B 'C '/ / A 'D ' và B 'C ' = A 'D '. Do đú AD/ / B 'C ' và AD = B 'C '. Vậy tứ giỏc ADC 'B ' là hỡnh bỡnh hành. Ta cú AD ^ DD Â và AD ^ DC nờn AD ^ mp(DCCDÂ) Suy ra AD ^ DCÂ Do đú hỡnh bỡnh hành ADC 'B ' là hỡnh chữ nhật. b) Xột DDD 'C ' vuụng tại D' cú DC ' = DD '2+ D 'C '2 = 162 + 122 = 20. Xột DADC ' vuụng tại D cú AD = AC '2- DC '2 = 292 - 202 = 21. Vậy diện tớch hỡnh chữ nhật ADC 'B ' là: S = DC '.AD = 20.21 = 420 (đvdt).
9. Bài 7: a) Vỡ DD 'C 'C là hỡnh chữ nhật nờn DCÂ ^ CC Vỡ A 'B 'C 'D ' là hỡnh chữ nhật nờn DÂCÂ ^ BÂCÂ Vậy D'C' vuụng gúc với hai đường giao nhau của mp(CBB 'C ') do đú DÂCÂ ^ mp(CBBÂCÂ) Mặt khỏc, DÂCÂ è mp(DCCÂDÂ) nờn mp(DCC'D ') ^ mp(CBBÂCÂ) b) Chứng minh tương tự như cõu a), ta được cỏc cặp mặt cú chung một cạnh thỡ vuụng gúc với nhau. Hỡnh hộp chữ nhật cú 12 cạnh nờn cú 12 cặp mặt vuụng gúc với nhau. Bài 8: a) Gọi độ dài cỏc cạnh AB, BC, CC ' lần lượt là a, b, c. Ta cú: ab = 108 (1); bc = 72 (2); ca = 96 . (3) 2 Suy ra ab.bc.ca = 108.72.96 hay (abc) = 746496 . Do đú abc = 746496 = 864(cm3). Vậy thể tớch của hỡnh hộp là V = 864 (cm3). (4) abc 864 Từ (4) và (1) ta cú c = = = 8(cm). ab 108 abc 864 Từ (4) và (2) ta cú a = = = 12(cm). bc 72 abc 864 Từ (4) và (3) ta cú b = = = 9(cm). ac 96 Vậy đường chộo của hỡnh hộp chữ nhật cú độ dài là: d = a2 + b2 + c2 = 122 + 92 + 82 = 17(cm). Bài 9: Thể tớch hỡnh hộp chữ nhật là V 6.8.12 576cm3 Thể tớch nước chứa trong hỡnh hộp là 2 3 V1 8.12 6 384cm 3 Nếu chọn (ADD 'A ') làm đỏy . Gọi h là chiều cao mực nước mới, ta cú thể tớch V1 12.6.h 384 72h h 5,3cm Vậy chiều cao mực nước mới là 5,3 cm 3 Bài 10: Thể tớch nước cú trong hỡnh hộp là V 5.8.4 120cm3 4
10. Gọi h là chiều cao của mực nước mới ở bỡnh hỡnh lập phương cú cạnh là 5cm, ta cú V 120 h 4,8cm 25 25 Bài 11: Gọi hai kớch thước của hỡnh hộp lần lượt là a, b Ta cú V 4ab 60cm3 ab 15 (1) Stp = Sxq + 2Sday = 2ph + 2ab Stp = 2(a + b) ì4 + 2ab = 94 Hay a + b = 8 (2). Từ (1) và (2) suy ra a = 5; b = 3 hoặc a = 3; b = 5 Vậy hai kớch thước của hỡnh hộp chữ nhật là 3 cm và 5 cm