Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Đa giác-đa giác đều (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập môn Toán học Lớp 8 - Bài: Đa giác-đa giác đều (Có đáp án)

1. 1. ĐA GIÁC – ĐA GIÁC ĐỀU I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Đa giỏc: A1 A2 An là hỡnh gồm n đoạn thẳng A1 A2 ; A2 A3; ; An A1 trong đú bất kỡ hai đoạn thẳng nào đú cú một điểm chung cũng khụng cựng nằm trờn một đường thẳng 2. Đa giỏc lồi: là đa giỏc luụn nằm trong một nửa mặt phẳng cú bờ là đường thẳng chứa bất kỡ cạnh nào của đa giỏc. Lưu ý: Trong chương trỡnh THCS, chỳng ta sẽ chỉ xột cỏc đa giỏc lồi. Vỡ vậy, nếu khụng giải thớch gỡ thờm, chỳng ta viết “đa giỏc” để thay cho “đa giỏc lồi”. 3. Cỏc khỏi niệm khỏc  Một đa giỏc cú n đỉnh được gọi là n – giỏc. Vớ dụ: tam giỏc, tứ giỏc, ngũ giỏc, thập giỏc, , 100 – giỏc.  Đường chộo của đa giỏc là cỏc đoạn thẳng nối hai đỉnh khụng kề nhau của đa giỏc đú.  Đa giỏc đều là đa giỏc cú tất cả cỏc cạnh bằng nhau và tất cả cỏc gúc bằng nhau III. BÀI TẬP Bài 1: Tớnh số đo của mỗi gúc của ngũ giỏc đều, lục giỏc đều, bỏt giỏc đều ( đa giỏc đều 8 cạnh). Bài 2: a) Tớnh tổng cỏc gúc của đa giỏc 15 cạnh. b) Đa giỏc nào cú tổng cỏc gúc bằng 1620 ? Bài 3: Tỡm số cạnh của một đa giỏc biết số đường chộo hơn số cạnh là 7. Bài 4: Tớnh số cạnh cảu một đa giỏc đều, biết mỗi gúc của nú bằng 135 . Bài 5: Gúc ngoài của đa giỏc là gúc kề bự với một gúc của đa giỏc. Ta coi ở mỗi đỉnh của đa giỏc cú một gúc ngoài. Chứng minh rằng tổng cỏc gúc ngoài của đa giỏc bằng 3600. Bài 6: Cho tam giỏc đều ABC , cỏc đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H . Gọi I , K , M theo thứ tự là trung điểm của HA , HB , HC . Chứng minh rằng DKFIEM là lục giỏc đều. Bài 7: a) Tớnh số đường chộo của đa giỏc n cạnh. b) Đa giỏc nào cú số đường chộo bằng số cạnh? Bài 8: Cho lục giỏc đều ABCDEF . Gọi M là trung điểm của EF , N là trung điểm của BD . Chứng minh rằng AMN là tam giỏc đều. Bài 9: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD . Trờn đường chộo BD, lấy cỏc điểm E và K sao cho BE = DK .
2. a) Chứng minh rằng AKCE là hỡnh bỡnh hành. b) Hỡnh bỡnh hành ABCD cú điều kiện gỡ thỡ AKCE là hỡnh thoi. c) Gọi M là giao điểm của AK và CD. Xỏc định vị trớ của điểm K để M là trung điểm của CD. Tự luyện Bài 10: Lục giỏc ABCDEF cú cỏc cạnh đối song song và bằng nhau. Chứng minh rằng đường chộo AD , BE , CF đồng quy. Bài 11: Cho lục giỏc đều ABCDEF . Trờn cạnh AB , BC , CD , DE , EF , FA lấy cỏc điểm A , B , C , D , E , F sao cho AA BB CC DD EE FF . Chứng minh rằng A B C D E F là một lục giỏc đều. Bài 12: Một lục giỏc đều và một ngũ giỏc đều chung cạnh AD (như hỡnh vẽ). Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC. KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ III. BÀI TẬP TỰ LUẬN (5 - 2).1800 Bài 1: Mỗi gúc của ngũ giỏc đều bằng: = 1080 5 (6 - 2).1800 Mỗi gúc của ngũ lục đều bằng: = 1200 6 (8 - 2).1800 Mỗi gúc của bỏt giỏc đều bằng: = 1350 8 Bài 2: a) 26 v. (Tạo được 13 tam giỏc) b) Đa giỏc cú 11 cạnh (Số cạnh: 1620 : 180 + 2 = 11 ) Bài 3: Tỡm cỏch giải. Bài này biết mối liờn hệ giữa số đường chộo và số cạnh nờn hiển n (n - 3) nhiờn chỳng ta đặt số cạnh của đa giỏc là n biểu thị số đường chộo là từ đú ta tỡm 2 được số cạnh. Trỡnh bày lời giải
3. n (n - 3) Đặt số cạnh của đa giỏc là n (n ≥ 3) thỡ số đường chộo là theo đề bài ta cú: 2 n (n - 3) - n = 7 Û n 2 - 5n - 14 = 0 Û (n + 2)(n - 7) = 0 2 Vỡ n ³ 3 nờn n - 7 = 0 Û n = 7 Vậy số cạnh của đa giỏc là 7. Bài 4: Gọi n là số cạnh của đa giỏc đều. n 2 .180 n 2 135 3 Ta cú 135 nờn . n n 180 4 Do đú 4 n 2 3n . Vậy n 8 . Bài 5: Tổng cỏc gúc trong và ngoài của đa giỏc tại một đỉnh bằng 2v , tại n đỉnh bằng 2nv Ta đó biết tổng cỏc gúc trong của đa giỏc bằng n 2 .2v. Vậy tổng cỏc gúc ngoài của đa giỏc bằng: 2nv n 2 .2v 4v. Bài 6: Xột HDC vuụng tại D , DM là đường trung tuyến à ứng với cạnh huyền nờn DM HM . Ta lại cú C1 30 nờn ả H1 60. Do đú HDM là tam giỏc đều. Tương tự cỏc tam giỏc HME , HEI , HIF , HFK , HKD là cỏc tam giỏc đều. Lục giỏc DKFIEM cú cỏc cạnh bằng nhau và cỏc gúc bằng nhau (bằng 120 ) nờn là lục giỏc đều. Bài 7: a) Từ mỗi đỉnh của hỡnh n – giỏc lồi. kẻ được n 1 đoạn thẳng đến cỏc đỉnh cũn lại, trong đú cú hai đoạn thẳng là cạnh của đa giỏc, n 3 đoạn thẳng là đường chộo. Đa giỏc cú n đỉnh nờn kẻ được n n 3 đường chộo, trong đú mỗi đường chộo tớnh 2 lần. n n 3 Vậy số đường chộo của hỡnh n - giỏc lồi là . 2 n n 3 b) Giải phường trỡnh n . Ta được n 5 2 Bài 8: Gọi O là giao điểm của AD , BE , CF . Dễ dàng chứng minh N là trung điểm của OC , AFM AON (c.g.c).
4. Từ đú AM AN và Mã AN 60 nờn AMN là tam giỏc đều. Bài 9: a) Tứ giỏc AKCE cú cỏc đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nờn là hỡnh bỡnh hành. b) Hỡnh bỡnh hành KACE là hỡnh thoi. AC  KE hỡnh bỡnh hành ABCD là hỡnh thoi 1 c) M là trung điểm của CD K là trọng tõm của ADC DK DB. 3 Bài 10: HD: Chứng minh rằng FBCE và ACDF là hỡnh bỡnh hành. Bài 11: HD: Chứng minh rằng cỏc tam giỏc AA F , BB A , CC B , DD C , EE D , FF E bằng nhau. Bài 12: A Theo cụng thức tớnh gúc của đa giỏc đều, ta cú: 6 - 2 .1800 ã ( ) 0 ã ã 0 ADB = = 120 ị DAB = DBA = 30 ; 6 D 5 - 2 1800 B C ã ( ) 0 ã ã 0 ADC = = 108 ị DAC = DCA = 36 ; 5 Suy ra Bã DC 3600 1200 1080 1320 . 0 0 ã ã 180 - 132 0 Ta cú ∆BDC (DB = DC ) cõn tại D. Do đú DBC = DCB = = 24 . 2 ã 0 0 0 ã 0 0 0 ã 0 0 0 Suy ra BAC = 30 + 36 = 66 ; ABC = 30 + 24 = 54 ; BCA = 24 + 36 = 60