Bài tập môn Toán học Lớp 7 - Bài: Nghiệm của đa thức một biến (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập môn Toán học Lớp 7 - Bài: Nghiệm của đa thức một biến (Có lời giải)

1.  NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN I. TểM TẮT Lí THUYẾT • Nếu tại x a, đa thức P(x) cú giỏ trị bằng 0 thỡ ta núi a (hoặc x a ) là một nghiệm của đa thức đú. • Một đa thức (khỏc đa thức khụng) cú thể cú một nghiệm, hai nghiệm, hoặc khụng cú nghiệm. Người ta đó chứng minh được rằng số nghiệm của một đa thức (khỏc đa thức khụng) khụng vượt qua bậc của nú. II. BÀI TẬP 3 1 Bài 1: Chứng tỏ rằng và - là cỏc nghiệm của đa thứcP (x) = 6x 2 - 7x - 3. 2 3 ổ ử ỗ3ữ  Ta cú: P ỗ ữ= ốỗ2ứữ ổ ử ỗ- 1ữ  Ta cú: P ỗ ữ= ốỗ 3 ứữ Bài 2: Tỡm nghiệm của cỏc đa thức sau: ổ ửổ ử ỗ1 ữỗ 3ữ a) P (x) = (x - 3)(x + 4); b) Q (x) = ỗ x - 1ữỗ2x - ữ ốỗ3 ứữốỗ 5ứữ 
2. Bài 3: Cho hai đa thức: f (x) 3x3 4x2 2x 1 2x3 ; g(x) x3 4x2 3x 2. a) Thu gọn đa thức f (x). b) Tớnh h(x) f (x) g(x). c) Tỡm nghiệm của h(x).  Bài 4: Chứng tỏ đa thức sau khụng cú nghiệm: a) f (x) x2 x 2 ; Bài 6: Chứng minh rằng đa thức P x cú ớt nhất hai nghiệm biết rằng b) g(x) x2 x 1; x.P (x + 1) = (x - 2)P (x). c) h(x) 3(x 1)2 2(x 1)2 1  Bài 5: Xột đa thức P (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d. Chứng minh rằng: a) Nếu a + b + c + d = 0 thỡ P x cú một nghiệm x = 1. b) Nếu - a + b - c + d = 0 thỡ P x cú một nghiệm x = - 1.
3. HDG 3 1 Bài 1 P P 0. 2 3 3 Bài 2: a) x = 3, x = - 4; b) x = 3, x = . 1 2 1 2 10 Bài 3: a) f (x) x3 4x2 2x 1. b) h(x) 5x 1. 1 c) Cho 5x 1 0 ta tỡm được x là nghiệm của h(x). 5 1 1 1 7 Bài 4: Biến đổi f (x) , ta cú: f (x) x2 x 2 x2 x x 2 2 4 4 2 1 1 1 7 1 1 7 1 7 7 x x x x x x . 2 2 2 4 2 2 4 2 4 4 Do đú, với mọi x ta đều cú f (x) 0. Vậy f (x) khụng cú nghiệm. 2 2 1 3 3 b) Tương tự g(x) x x 1 x . 2 4 4 Do đú, với mọi x ta đều cú g(x) 0. Vậy f (x) khụng cú nghiệm c) 3(x 1)2 0,2(x 1)2 0 với mọi x . Suy ra h(x) 1 với mọi x . Như vậy với mọi x ta đều cú f (x) 0. Vậy f (x) khụng cú nghiệm. Bài 5: a) P (1) = a.13 + b.12 + c.1+ d = a + b + c + d = 0 nờn x = 1 là một nghiệm của P x . 3 2 b) P (- 1) = a.(- 1) + b.(- 1) + c.(- 1)+ d = - a + b - c + d = 0 nờn x = - 1 là một nghiệm của P x . Bài 6: Vỡ x.P (x + 1) = (x - 2)P (x) với mọi x nờn: - Khi x = 0 ta cú: 0.P (0 + 1) = (0 - 2).P (0) ị 0 = - 2P (0) ị P (0) = 0. Vậy 0 là một nghiệm của P x . - Khi x 2 ta cú: 2.P (2 + 1) = (2 - 2)P (2) ị 2.P (3) = 0 ị P (3) = 0. Vậy 3 là một nghiệm nữa của P(x). Do đú P(x) cú ớt nhất hai nghiệm là 0 và 3.