Bài tập môn Hình học Lớp 8 - Bài: Hình chữ nhật (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập môn Hình học Lớp 8 - Bài: Hình chữ nhật (Có lời giải)

1. 9. HèNH CHỮ NHẬT I. KIẾN THỨC CƠ BẢN  Định nghĩa: Hỡnh chữ nhật là tứ giỏc cú bốn gúc vuụng. Tứ giỏc ABCD là hỡnh chữ nhật àA Bà Cà Dà 900.  Nhận xột: Hỡnh chữ nhật cũng là một hỡnh bỡnh hành, một hỡnh thang cõn.  Tớnh chất: - Hỡnh chữ nhật cú tất cả cỏc tớnh chất của hỡnh bỡnh hành. - Hỡnh chữ nhật cú tất cả cỏc tớnh chất của hỡnh thang cõn. - Trong hỡnh chữ nhật, hai đường chộo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.  Dấu hiệu nhận biết: - Tứ giỏc cú ba gúc vuụng là hỡnh chữ nhật. - Hỡnh thang cõn cú một gúc vuụng là hỡnh chữ nhật. - Hỡnh bỡnh hành cú một gúc vuụng là hỡnh chữ nhật. - Hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh chữ nhật. • Áp dụng vào tam giỏc vuụng: Trong tam giỏc vuụng, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Nếu một tam giỏc cú đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thỡ tam giỏc đú là tam giỏc vuụng. III. BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giỏc ABC vuụng ở A , đường cao AH , trung tuyến AM . Gọi D,E theo thứ tự là hỡnh chiếu của H trờn AB,AC . a, Tứ giỏc ADHE là hỡnh gỡ? b: Chứng minh DE AM . Trong trường hợp nào thỡ DE AM ? c, Chứng minh DE  AM . Bài 2: Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Từ một điểm trờn đỏy BC, vẽ đường thẳng vuụng gúc với BC cắt cỏc đường thẳng AC, AB lần lượt tại M và N. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của BC và MN. Chứng minh rằng tứ giỏc AKDH là hỡnh chữ nhật. Bài 3: Tứ giỏc ABCD cú E,F,G,H theo thứ tự là trung điểm của AB,BC,CD,DA . Cho biết EG FH . Chứng minh rằng AC  BD .
2. Bài 4: Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú O là giao điểm của hai đường chộo, điểm E thuộc cạnh CD. Đường vuụng gúc với AE tại A cắt BC ở F. Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng OM là đường trung trực của AC. Bài 5: Cho tam giỏc ABC vuụng ở A , đường cao AH . Điểm M thuộc cạnh BC . Vẽ MD  AB D AB , ME  AC E AC , a, Gọi I là trung điểm của DE . Chứng minh rằng I nằm trờn đường trung trực của AH . b, Điểm M ở vị trớ nào trờn BC thỡ DE cú độ dài nhỏ nhất. Bài 6: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AB < AC), trung tuyến AM. E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC. a) Chứng minh rằng AEMF là hỡnh chữ nhật. b) Gọi AH là đường cao của tam giỏc ABC. Chứng minh EHMF là hỡnh thang cõn. 1 1 Bài 7: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Biết AD AC và Bã AC Dã AC. Chứng minh rằng 2 2 hỡnh bỡnh hành ABCD là hỡnh chữ nhật. Bài 8: Cho tam giỏc ABC cõn tại A Aˆ 90 , cỏc đường cao BD và CE. Kẻ đường vuụng gúc DH từ D đến BC. Đường thẳng đi qua H và song song với CE cắt DE ở K. a) Gọi O là giao điểm của BD và HK. Chứng minh rằng OB OH . b) Chứng minh rằng BKDH là hỡnh chữ nhật. Bài 9: Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Trờn tia đối của tia CB và DA lấy lần lượt hai điểm E và F sao cho CE = DF = CD . Trờn tia đối của tia CD lấy điểm H sao cho CH = CB . Chứng minh rằng: a) Tứ giỏc CEFD là hỡnh chữ nhật. b) AE ^ FH . Tự luyện Bài 10: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AB 14 cm, BC 50 cm. Đường trung trực của AC cắt tia phõn giỏc của gúc B ở K. a) Chứng minh rằng Bã KC 90 . b) Tớnh độ dài KB Bài 11: Hỡnh thang vuụng ABCD Aˆ Dˆ 90 cú I là trung điểm của AD và CI là tia phõn giỏc của gúc C. Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ I đến BC. Chứng minh rằng: a) Ã HD 90 . b) Bã IC 90. c) AB CD BC .
3. Bài 12: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại C, M là điểm bất kỳ trờn cạnh AB. Vẽ ME ^ AC tại E, MF ^ BC tại F. Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: a) Tứ giỏc CFME là hỡnh chữ nhật. b) DDEF vuụng cõn. Bài 13: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AB > AC). Kẻ đường cao AH (H thuộc BC). Gọi E là điểm đối xứng của C qua H, vẽ EK vuụng gúc với AB tại K. Gọi I là trung điểm AK, N là trung điểm của BE. Chứng minh rằng: KE / / IH và HK vuụng gúc KN KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ Bài 1: a, Tứ giỏc ADHE cú À Dà Eà 900 nờn là hỡnh chữ nhật, do đú DE AH . b) Ta lại cú: AH AM do đú DE AM . Mà DE AM H  M . Khi đú ABClà tam giỏc vuụng cõn ở A . c, Gọi O là giao điểm của AH và DE . I là giao điểm của AM và DE . Ta cú: à ED Eã AH (do OAE cõn ở O ) Mã AC Cà (do MAC cõn ở M ) nờn à EH Mã AC Eã AH Cà 900 Do đú à IE 900 DE  AM . Bài 2: DABC cõn tại A, AH là đường trung tuyến nờn cũng là đường cao, đường phõn giỏc. ả o ả ả Do đú H1 90 và A1 A2. Ta cú AH // DN (vỡ cựng vuụng gúc với BC) à ả ả ả N A1 (cặp gúc đồng vị); M1 A2 (cặp gúc so le trong). à ả ả ả Do đú N M1 (vỡ A1 A2 ). Vậy DAMN cõn tại A mà AK là đường trung tuyến nờn AK cũng là đường cao, Kà 90o. Tứ giỏc AKDH cú Kà Hà Dà 90o nờn tứ giỏc AKDH là hỡnh chữ nhật. Bài 3:
4. HD: Chứng minh EFGH là hỡnh chữ nhật (hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo bằng nhau). Suy ra EH  HG do đú BD  AC . Bài 4: Gọi O là giao điểm của hai đường chộo của hỡnh chữ nhật ABCD nờn OA OC (1). F AM và CM là cỏc đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giỏc vuụng AEF và CEF nờn: AM CM 1 (cựng bằng EF ) (2). A B 2 M Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AC. O Bài 5: a) Chỉ ra ADME là hỡnh chữ nhật từ đú I là trung điểm của D E C AM. Tam giỏc AHM vuụng tại H, trung tuyến HI A 1 nờn IA IH (vỡ cựng bằng AM ). Từ đú suy ra điều 2 D phải chứng minh. I E b) Ta cú DE AM nờn DE nhỏ nhất AM nhỏ nhất M  H C M B H Bài 6: C a) Theo tớnh chất tam giỏc vuụng, ta cú AM = MC = MB . Tam giỏc CMA cõn tại M và F là trung điểm AC suy ra MF ^ AC Chứng minh tương tự: ME ^ AB F M Vậy AEMF là hỡnh chữ nhật. H b) Ta cú EF là đường trung bỡnh trong tam giỏc ABC, suy ra EF / / BC . Theo giả thiết, AB < AC suy ra HB < HA , do đú H thuộc đoạn MB. Vậy EHMF là hỡnh thang. A E B
5. Tam giỏc HAB vuụng tại H, ta cú HE = EA = EB = MF , từ đú suy ra EHMF là hỡnh thang cõn. Bài 7: Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta cú OA = OC . 1 Vỡ AD AC nờn AD = AO. 2 Vẽ AH  OD, OK  AB. Xột AOD cõn tại A, AH là đường cao AH cũng là đường trung tuyến, cũng là đường phõn giỏc. ả ả Do đú HO = HD và A1 A2. 1 Vỡ Bã AC Dã AC nờn Ả Ả Ả . 2 3 2 1 1 1 ả o DAOK = DAOH (cạnh huyền, gúc nhọn)ị OK = OH = OD ị OK = OB ị B = 30 . 2 2 1 à o ã o ã o Xột ABH vuụng tại H cú B1 30 nờn HAB 60 suy ra DAB 90 . Hỡnh bỡnh hành ABCD cú một gúc vuụng nờn là hỡnh chữ nhật. à ã ả ã ã ã à ả Bài 8: a) Ta cú: B1 phụ ACB , C1 phụ ABC , mà ACB ABC nờn B1 C1 (1). ả ả A HK//CE nờn H1 C1 (đồng vị) (2). à ả ả Từ (1) và (2) suy ra: B1 H1 C1 , do đú ΔBOH cõn tại O, suy ra OB OH (3). K E 3 D 1 2 à ả ả ả à ả 1 b) Ta cú B1 phụ D1 , H1 phụ H2 , mà B1 H1 (chứng minh ả ả O trờn) nờn D1 H2 , do đú ΔODH cõn tại O, suy ra OD OH 1 1 1 (4). C B H ΔABD ΔACE (cạnh huyền – gúc nhọn) nờn AD AE . Cỏc tam giỏc cõn ADE và ABC cú chung gúc ở đỉnh A nờn cỏc gúc ở đỏy bằng nhau ả ã D3 ACB DE//BC . ả à ả ả Do đú D2 B1 ,K1 H1 (so le trong). à ả ả ả Ta lại cú B1 H1 (chứng minh trờn) nờn D2 K1 , suy ra OD OK (5). Từ (3), (4), (5) suy ra: OB OH OD OK . Tứ giỏc BKDH cú hai đường chộo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nờn là hỡnh chữ nhật.
6. Bài 9: a) Theo giả thiết, DF = CE và DF / / CE, suy ra tứ giỏc CDEF là hỡnh bỡnh hành. ã A B Mặt khỏc, CDF = 90° . Vậy CDEF là hỡnh chữ nhật. AF = AD + DF = CH + CD = DH b) Ta cú H D C Hai tam giỏc AFE và HDF cú: ã ã AF = HD , AFE = HDF = 90°,FE = DF ã ã Do đú DAFE = DHDF ị FAE = DHF F E ã ã ã ã Mặt khỏc DHF + DFH = 90° ị FAE + DFH = 90° . Vậy AE ^ FH