Bài tập môn Hình học Lớp 8 - Bài: Đối xứng tâm (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập môn Hình học Lớp 8 - Bài: Đối xứng tâm (Có lời giải)

1. 8. ĐỐI XỨNG TÂM I. KIẾN THỨC CƠ BẢN  Hai điểm đối xứng nhau qua một điểm: Hai điểm được gọi là đối xứng nhau qua một điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm ấy. A B O A đối xứng với B qua O O là trung điểm của AB. Khi đú ta cũn núi: A đối xứng với B qua O hoặc A và B đối xứng nhau qua O.  Quy ước: Điểm đối xứng với điểm O qua điểm O là chớnh nú.  Hai hỡnh đối xứng nhau qua một điểm: Hai hỡnh gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu một điểm bất kỡ thuộc hỡnh này đối xứng với một điểm bất kỡ thuộc hỡnh kia qua điểm O và ngược lại.  Nhận xột: Nếu hai đoạn thẳng (gúc, tam giỏc) đối xứng nhau qua một điểm thỡ bằng nhau.  Hỡnh cú tõm đối xứng: Điểm O gọi là tõm đối xứng của hỡnh H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hỡnh H qua điểm O cũng thuộc hỡnh H.  Định lớ: Giao điểm hai đường chộo của hỡnh bỡnh hành là tõm đối xứng của hỡnh bỡnh hành đú. III. BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giỏc vuụng ABC vuụng tại A. Lấy điểm D bất kỡ thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, F là điểm đối xứng với D qua AC. a) Chứng minh rằng E đối xứng với F qua A. b) Điểm D ở vị trớ nào trờn cạnh BC thỡ EF cú độ dài ngắn nhất? Bài 2: Cho gúc xOy khỏc gúc bẹt, điểm A thuộc Ox, điểm B thuộc Oy. Gọi C là trung điểm của AB, điểm D đối xứng với O qua A, điểm E đối xứng với O qua B, điểm F đối xứng với O qua C. a, Chứng minh rằng D đối xứng với E qua F. b, Cỏc điểm A và B cú vị trớ như thế nào thỡ D đối xứng với E qua đường thẳng OF? Bài 3: Cho tam giỏc ABC. Gọi M, D, E theo thứ tự là trung điểm của BC, AB, AC. Gọi I là điểm đối xứng với M qua D, K là điểm đối xứng với M qua E. Chứng minh rằng I đối xứng với K qua A. Bài 4: Cho tam giỏc ABC. Gọi D là điểm đối xứng với B qua A, E là điểm đối xứng với C qua A. Lấy cỏc điểm I và K theo thứ tự thuộc cỏc đoạn thẳng DE và BC sao cho DI BK . Chứng minh rằng I đối xứng với K qua A.
2. Bài 5: Cho tam giỏc ABC , trực tõm H . Gọi M là trung điểm của BC . D là điểm đối xứng với H qua M . a, Chứng minh rằng: BD  BA,CD  CA . b, Gọi I là trung điểm của AD . Chứng minh rằng: IM  BC . Bài 6: Cho tam giỏc ABC, điểm O nằm trong tam giỏc. Gọi A' là điểm đối xứng với O qua trung điểm D của BC, B' là điểm đối xứng với O qua trung điểm E của AC, C' là điểm đối xứng với O qua trung điểm F của AB. Chứng minh rằng ΔABC ΔA B'C' Bài 7: Trờn hỡnh bỡnh hành ABCD cú O là giao điểm của hai đường chộo. Lấy điểm E trờn cạnh AB, lấy điểm F trờn cạnh CD sao cho AE CF . a) Chứng minh rằng E đối xứng với F qua O. b) Gọi I là giao điểm của AF và DE, gọi K là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng I đối xứng với K qua O. KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ ả ả Bài 1: a) E đối xứng với D qua AB nờn AD AE và A1 A2 . ả ả F đối xứng với D qua AC nờn AD AF và A3 A4 AE AF AD; E A F 2 4 1 Dã AE Dã AF 2 Ả Ả 2.90 180 3 1 3 E,A,F thẳng hàng. Vậy E đối xứng với F qua A. B D C b) Ta cú: EF 2AD nờn EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất D là chõn đường cao kẻ từ A đến BC. Bài 2:
3. a, Ta cú: AO = AD,CO = CF nờn AC là đường trung bỡnh của ODF do đú FD = 2AC,FD/ / AC . Chứng minh tương tự, CB là đường trung bỡnh của OEF suy ra FE = 2CB,FE/ / CB . Ta cú: FD / /CA,FE / /CB mà C nằm giữa A và B nờn D,F,E thẳng hang, F nằm giữa D và E (1). Ta cú: FD 2AC,FE 2CB mà AC CB FD FE(2) Từ (1) và (2) suy ra F là trung điểm của DE do đú D đối xứng với E qua F. b, D đối xứng với E qua OF OF là đường trung trực của DE OD OE vỡ đó cso FD FE OA OB. Như vậy nếu OA OB thỡ D đối xứng với E qua OF. Bài 3: ã ã ã ã HD: Chỉ ra IAD = DBM ;KAE = ECM . Từ đú ã ã ã ã ã ã IAD + DAE + EAK = DBM + DAE + ECM = 180° nờn I ,A,K thẳng hàng. 1 Dễ dàng chỉ ra IA = AK = BM = MC = BC . Từ đú 2 suy ra I đối xứng với K qua A Bài 4: Tứ giỏc BEDC cú AB AD và AC AE nờn là hỡnh bỡnh hành, suy ra DE//BC . Tứ giỏc BIDK cú DI//BK và DI BK nờn là hỡnh bỡnh hành, suy ra đường chộo IK đi qua trung điểm A của BD . Vậy I , A , K thẳng hàng.
4. Bài 5: a) Chứng minh được BHCD là hỡnh bỡnh hành suy ra BD/ / CH; mà CH ^ AB nờn BD ^ AB Tương tự DC/ / BH; mà BH ^ AC nờn DC ^ AC b) IM là đường trung bỡnh của AHD nờn IM / / AH , mà AH ^ BC nờn IM  BC Bài 6: HD: Sử dụng tớnh chất đường trung bỡnh trong tam giỏc chỉ ra B C BC 2EF . Tương tự A B AB; A C AC Vậy tam giỏc ABC A B C (c.c.c). Bài 7: HD: a. Chứng minh rằng AECF là hỡnh bỡnh hành. từ đú EF đi qua trung điểm O của AC và O là trung điểm của EF . Hay E đối xứng với F qua O. b. Chứng minh rằng EIFK là hỡnh bỡnh hành từ đú suy ra IK đi qua trung điểm của O của EF và IO = IK từ đú suy ra I đối xứng với K qua O.