Bài tập môn Hình học Lớp 7 - Bài: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập môn Hình học Lớp 7 - Bài: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu (Có lời giải)

1.  QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUễNG GểC VÀ ĐƯỜNG XIấN, ĐƯỜNG XIấN VÀ HèNH CHIẾU I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Quan hệ giữa đường vuụng gúc và đường xiờn Định lý 1. Trong cỏc đường vuụng gúc và đường xiờn kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đú, đường vuụng gúc ngắn hơn mọi đường xiờn. AH ^ a ị AH HC ị AD > AC. b) Đường xiờn nào lớn hơn thỡ cú hỡnh chiếu lớn hơn. D B H C a AH ^ a,AD > AC ị HD > HC. c) Nếu hai đường xiờn bằng nhau thỡ hai hỡnh chiếu bằng nhau; nếu hai hỡnh chiếu bằng nhau thỡ hai đường xien bằng nhau. AB = AC Û HB = HC. II. BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giỏc ABC cõn tại A, kẻ AH  BC H BC . Trờn cỏc đoạn thẳng HD và HC, lấy cỏc điểm D và E sao cho BD CE. So sỏnh cỏc độ dài AD, AE bằng cỏch xột hai hỡnh chiếu. Bài 2: Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn cạnh Bc lấy cỏc điểm D và E sao cho BD DE EC. Gọi M là trung điểm của DE. a. Chứng minh AM  BC b. So sỏnh cỏc độ dài AB,AD,AE,AC. à à Bài 3: Cho DABC cú B < C , D nằm giữa A,C ( BD khụng vuụng gúc với AC). Gọi E, F là chõn cỏc đường vuụng gúc kẻ từ A, C đến đường thẳng BD. So sỏnh AE + CF với AB và AC. Bài 4: Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A đến BC, điểm D thuộc cạnh BC (D khỏc H). Chứng minh rằng AH AD AB.
2. Bài 5: Cho tam giỏc ABC khụng vuụng. Kẻ BD vuụng gúc với AC tại D, kẻ CE vuụng gúc với AB tại E. Chứng minh rằng BD CE AB AC. Bài 6: Cho DABC vuụng tại A, M là trung điểm BA. Vẽ AI ^ MC tại I, BK ^ MC tại K. Chứng minh: CI + CK a. AB + AC > 3BK b. AC < < BC 2 ả Bài 7: Cho DMNP cú M = 90° , I là điểm nằm giữa N, P. a) Chứng minh MI bộ hơn ớt nhất một trong 2 cạnh gúc vuụng. b) Vẽ MH ^ NP tại H . Trờn cạn NP lấy điểm E sao cho NE = NM , trờn cạnh MP lấy điểm F sao cho MF = MH . Chứng minh DMHE = MFE c) Chứng minh rằng trong một tam giỏc vuụng tổng độ dài hai cạnh gúc vuụng nhỏ hơn tổng độ dài cạnh huyền và chiều cao tương ứng.
3. HDG Bài 1: Đường xiờn AB AC nờn hỡnh chiếu HB HC. Ta lại cú BD CE nờn HD HE. Hỡnh chiếu HD HE nờn đường xiờn AD AE. Bài 2: a) AMB AMC c.c.c ãAMB ãAMC . Ta lại cú ãAMB ãAMC 1800 suy ra ãAMB 900. Vậy AM  BC. b) Hỡnh chiếu MD ME nờn đường xiờn AD AE . Hỡnh chiếu MD MB nờn đường xiờn AD AB . Ta cú AD AE AB AC Bài 3: Vỡ DEDA vuụng tai E nờn AD > AE (1) Vỡ DCFD vuụng tại F nờn CD > CF (2) A Cộng theo vế (1)và (2)ta được AD + CD > AE + CF hay AC > AE + CF (3) F D E à à C Mặt khỏc DABC; B AC > AE + CF . Bài 4: Ta cú AH AD (quan hệ đường vuụng gúc, đường xiờn). Nếu D thuộc đoạn HC HD HC, do đú AD AC AB. Nếu D thuộc đoạn HB HD HB AD AB. B H D C Bởi vậy AH AD AB.
4. Bài 5: A DABD vuụng tại D nờn BD AB D DAEC vuụng tại E ,CE AC. E Do đú BD CE AB AC. B C Bài 6: a) Chứng minh được DKMB = DIMA (cạnh huyền – gúc nhọn) ị AI = KB;IM = MK DKMB vuụng tại K ị BK 3BK IK CI + (CI + IK ) CI + CK b) DAMC vuụng tại M cú AC 90°
5. DMIN cú MIN > 90° suy ra MN > MI M Tương tự nếu I thuộc NP suy ra MP > MI . Vậy MI bộ hơn ớt nhất một trong 2 cạnh gúc vuụng. F ã ã ã b) Ta cú HMF = MNH (cựng phụ NMH ) S N P DMNE cõn tại N. DMHF cõn tại M lại cú I H E HãMF = MãNH ã ã Suy ra cỏc gúc ở đỏy bằng nhau: ị MEH = MHF ã ã ã ã Cú MHF + FHE = 90° Û MEH + FHE = 90° ã ã ã Gọi S là giao điểm của ME và HF, DHSE cú SEH + SHE = 90°suy ra HSE = 90° hay ME ^ HF tại S DHMS = DFMS ( cạnh huyền – cạnh gúc vuụng) Suy ra HS = SF DHSE = DFSE (cạnh – gúc – cạnh). Suy ra HE = FE DMHE = DMFE (cạnh – cạnh – cạnh) c) Ta cần chứng minhAB + AC < BC + AH . Đặt BC = a;AB = c;AC = b;AH = h Giải sử b + c < a + h Bỡnh phương 2 vế ta cú 2 2 A (b + c) < (a + h) b ị b2 + c2 + 2bc < a2 + h2 + 2ah c h ị (b2 + c2)- a2 + 2bc - 2ah < h2 B C (pitago và 2bc = 2ah = SDABC ) H a ị 0 < h2 (luụn đỳng) Vậy b + c < a + h là đỳng hay (đpcm)