Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài 7: Các khái niệm mở đầu

1. CHƯƠNGCHƯƠNG IV .I VECTƠ §7. Các khái niệm mở đầu §8. Tổng và hiệu của hai vectơ §9. Tích của một vectơ với một số §10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ §11. Tích vô hướng của hai vectơ Bài tập cuối chương 4
2. CHƯƠNGCHƯƠNG IV . IVECTƠ TOÁN ĐẠI 7 CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU SỐ ➉ I KHÁI NIỆM VECTƠ II HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU 3
3. THUẬT NGỮ KIẾN THỨC, KĨ NĂNG ● Vectơ ● Nhận biết khái niệm vectơ, hai vectơ cùng ● Vectơ-không phương, hai vectơ cùng hướng, hai vectơ bằng ● Độ dài của vectơ nhau, vectơ-không. ● Hai vectơ cùng phương ● Biểu thị một số đại lượng như lực, vận tốc bằng ● Hai vectơ cùng hướng vectơ. ● Hai vectơ bằng nhau
4. Nhiệt độ và gió là hai yếu tố luôn cùng được đề cập trong các bản tin dự báo thời tiết. Tuy nhiên, nhiệt độ là đại lượng chỉ có độ lớn, còn gió có cả hướng và độ lớn. Với một đơn vị đo, ta có thể dùng số để biểu diễn nhiệt độ. Đối với các đại lượng gồm hướng và độ lớn như vận tốc gió thì sao? Ta có thể dùng đối tượng toán học nào để biểu diễn chúng?
5. I KHÁI NIỆM VECTƠ .A 10 km N HĐ1: Một con tàu khỏi hành từ đảo , đi 10 km thẳng về hướng đông 퐤퐦 rồi đi thẳng tiếp W E 퐤퐦 về hướng nam thì tới đảo (H.4.2). B Nếu từ đảo , tàu đi thẳng (không đổi . hướng) tới đảo , thì phải đi theo hướng nào S Hình 4.2 và quãng đường phải đi dài bao nhiêu kilômét? Bài giải Nếu từ đảo , tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo , thì phải đi theo hướng đông nam và quãng đường phải đi là: = + = 퐤퐦 . Ta có thể gắn cho quãng đường thẳng từ đảo tới đảo đồng thời hai yếu tố, đó là độ dài và hướng (hướng đi thẳng từ đảo tới đảo ).
6. Từ thực tế này, ta đi tới khái niệm toán học sau: ● Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là, trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối. ● Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Chú ý ● Vectơ có điểm đầu và điểm cuối được kí hiệu là , đọc là vec tơ (H.4.3) ● Để vẽ một vectơ, ta vẽ đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối của nó, rồi đánh dấu mũi tên ở điểm cuối (H.4.3). ● Vectơ còn được kí hiệu là , , 풙, 풚, . . . . (H.4.4). ● Độ dài của vectơ , tương ứng được kí hiệu là , .
7. I KHÁI NIỆM VECTƠ Ví dụ 1. Cho hình vuông 푪푫 với cạnh có độ dài bằng 1. Tính độ dài các vectơ 푪, 푪 , 푫 Bài giải Vì cạnh của hình vuông 푪푫 có độ dài bằng 1 nên các đường chéo của hình vuông này có độ dài bằng . Vậy 푪 = 푪 = , 푪 = 푪 = , 푫 = 푫 = . , , .
8. I KHÁI NIỆM VECTƠ Luyện tập 1. Cho tam giác đều 푪 với cạnh có độ dài bằng . Hãy chỉ ra các vectơ có độ dài bằng và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác 푪. Bài giải Các vectơ có độ dài bằng và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác 푪 là: , 푪, 푪, , 푪 , 푪 . .
9. II HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU HĐ2: Quan sát các làn đường trong hình 4.5 và cho biết những nhận xét nào sau đây là đúng. a) Các làn đường song song với nhau. b) Các xe chạy theo cùng một hướng. c) Hai xe bất kì đều chạy theo cùng một hướng hoặc hai hướng ngược nhau. Giải a) Các làn đường song song với nhau là nhận xét đúng. b) Các xe chạy theo cùng một hướng là nhận xét sai. C) Hai xe bất kì đều chạy theo cùng một hướng hoặc hai hướng ngược nhau là nhận xét đúng.
10. II HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU • Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó. • Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. Trong cùng Hình 4.7, mỗi cặp vectơ trong các vectơ , , 풙, 풚, 풛 đều cùng phương, nhưng vectơ không cùng phương với mỗi vectơ trên.
11. I KHÁI NIỆM VECTƠ HĐ3: Xét các vectơ cùng phương trong Hình 4.7. Hai vectơ và được gọi là cùng hướng, còn hai vectơ và 풙 được gọi là ngược hướng. Hãy chỉ ra các vectơ cùng hướng với vectơ và các vectơ ngược hướng với vectơ . Bài giải Các vectơ cùng hướng với vectơ là: 풚. các vectơ ngược hướng với vectơ là: 풙 , 풛
12. II HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU Đối với hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. z Hai vec tơ và được gọi là bằng nhau, kí hiệu = , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
13. II HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU Chú ý: ● Ta cũng xét các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau (chẳng hạn , , 푴푴), gọi là các vectơ-không. A ● Ta quy ước vectơ-không có độ dài bằng 0, cùng hướng (do đó cùng phương) với mọi vectơ. ● ● Các vectơ-không có cùng độ dài và cùng hướng nên bằng nhau và được kí hiệu chung O là . Hình 4.8 ● Với mỗi điểm 푶 và vectơ cho trước, có duy nhất điểm sao cho 푶 = (H.4.8).
14. I KHÁI NIỆM VECTƠ Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật 푪푫. Hãy chỉ ra mối quan hệ về độ dài, phương, hướng giữa các cặp vectơ: 푫 và 푪, và 푪푫, 푪 và 푫. Những cặp vectơ nào trong các cặp vectơ trên là bằng nhau? Bài giải ● Hai vectơ 푫 và 푪 có cùng độ dài và cùng hướng. Do đó, hai vectơ 푫 và 푪 bằng nhau. ● Hai vectơ và 푪푫 có cùng độ dài và ngược hướng, Do đó, hai vectơ và 푪푫 không bằng nhau. ● Hai vectơ 푪 và 푫 có cùng độ dài nhưng không cùng phương nên không cùng hướng. Do đó, hai vectơ 푪 và 푫 không bằng nhau. Vậy trong các cặp vectơ đang xét, chỉ có cặp vectơ 푫 và 푪 là bằng nhau 푫 = 푪 .
15. CHƯƠNGCHƯƠNG IV . IVECTƠ TOÁN ĐẠI SỐ 7 ➉ CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1 KHÁI NIỆM VECTƠ 2 HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU 3 BÀI TẬP
16. 2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU Luyện tập 2. Cho hình thang cân 푪푫 với hai đáy , 푪푫, < 푪푫 (H.4.10). Hãy chỉ ra mối quan hệ về độ dài, phương, hướng giữa các cặp vectơ 푫 và 푪, và 푪푫, 푪 và 푫. Có cặp vectơ nào trong các cặp vectơ trên bằng nhau không? Lời giải: • Hai vectơ 푫 và 푪 cùng độ dài nhưng không cùng phương. • Hai vectơ và 푪푫 cùng phương nhưng ngược hướng và chúng có độ dài khác nhau. • Hai vectơ 푪 và 푫 cùng độ dài nhưng không cùng phương. Vậy trong các cặp vectơ trên không có cặp vectơ nào bằng nhau.
17. Ví dụ 3. Chứng minh rằng ba điểm 퐀, 퐁, 퐂 thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ 퐀퐁 và 퐀퐂 cùng phương. Lời giải: • Giả sử ba điểm , , 푪 thẳng hàng. Khi đó chúng cùng thuộc một đường thẳng 풅. Vậy hai vectơ , 푪 có cùng giá là đường thẳng 풅. Suy ra chúng cùng phương. • Giả sử hai vectơ , 푪 cùng phương. Khi đó, chúng cùng giá hoặc có hai giá song song với nhau. Mặt khác, giá của các vectơ trên đều đi qua điểm A nên chúng trùng nhau. Vậy , , 푪 thẳng hàng. Nhận xét: Ba điểm , , 푪 thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ , 푪 cùng phương.
18. Luyện tập 3. Trong các điều kiện dưới đây, chọn điều kiện cần và đủ để một điểm M nằm giữa hai điểm phân biệt và . a) và 푴 ngược hướng. b) 푴 và 푴 cùng phương. c) và 푴 cùng hướng. d) 푴 và 푴 ngược hướng. Lời giải: a) Sai, do khi điểm 푴 nằm giữa hai điểm phân biệt và thì hai vectơ và 푴 cùng hướng. b) Sai, do khi hai vectơ 푴 và 푴 cùng phương thì chỉ suy ra được ba điểm 푴, , thẳng hàng. c) Sai, do khi hai vectơ và 푴 cùng hướng thì suy ra điểm 푴 nằm giữa hai điểm phân biệt và hoặc điểm nằm giữa hai và 푴. d) Đúng. Do khi điểm 푴 nằm giữa hai điểm phân biệt và thì hai vectơ 푴 và 푴 ngược hướng. Và ngược lại, khi hai vectơ 푴 và 푴 ngược hướng thì suy ra ba điểm 푴, , thẳng hàng và điểm 푴 nằm giữa hai điểm phân biệt và .
19. Chú ý: Ta có thể dùng vectơ để biểu diễn các đại lượng như lực, vận tốc, gia tốc. Hướng của vectơ chỉ hướng của đại lượng, độ dài của vectơ thể hiện cho độ lớn của đại lượng và được lấy tỉ lệ với độ lớn của đại lượng.
20. Ví dụ 4. Một vật A được thả chìm hoàn toàn dưới đáy một cốc chất lỏng. Biết rằng trong ba cách biểu diễn lực đẩy Archimedes ( Ác-si-mét) 푭và trọng lực 푷 tác động lên vật A ở Hình 4.11 có một cách biểu diễn đúng. Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa trọng lượng riêng của vật A và trọng lượng riêng của chất lỏng trong cốc. Lời giải: Lực đẩy Archimedes và trọng lực đều tác động lên vật A theo phương thẳng đứng, hai lực này cùng phương nhưng ngược hướng. Do đó Hình 4.11a không đúng. Vật A chìm xuống đáy nên trọng lực P (có hướng từ trên xuống) lớn hơn lực đẩy Archimedes F (có hướng từ dưới lên). Do vậy, Hình 4.11c không đúng.
21. Ví dụ 4. Một vật A được thả chìm hoàn toàn dưới đáy một cốc chất lỏng. Biết rằng trong ba cách biểu diễn lực đẩy Archimedes ( Ác-si-mét) 푭và trọng lực 푷 tác động lên vật A ở Hình 4.11 có một cách biểu diễn đúng. Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa trọng lượng riêng của vật A và trọng lượng riêng của chất lỏng trong cốc. Lời giải: Vậy hình biểu diễn đúng là Hình 4.11b. Theo đó, vectơ biểu diễn lực 푷 có độ dài gấp 3 lần độ dài của vectơ biểu diễn lực 푭. Độ lớn của trọng lực và lực đẩy Archimedes tác dụng lên A là: 푷 = 풅′. 푽, 푭 = 풅. 푽. Trong đó V (m3) là thể tích của vật A và 풅′, 풅(N/m3) tương ứng là trọng lượng riêng của vật A và của chất lỏng. Do 푷 = 푭 ( theo H.4.11b) nên 풅′ = 풅. Vậy trọng lượng riêng của vật A gấp 3 lần trọng lượng riêng của chất lỏng trong cốc.
22. Vận dụng. Hai ca nô và chạy trên sông với các vận tốc riêng có cùng độ lớn là 15 km/h. Tuy vậy, ca nô chạy xuôi dòng còn ca nô chạy ngược dòng. Vận tốc của dòng nước trên sông là 3 km/h. a) Hãy thể hiện trên hình vẽ, vectơ vận tốc 풗 của dòng nước và các vectơ vận tốc thực tế 풗 , 풗 của ca nô A, B. b) Trong các vectơ 풗, 풗 , 풗 những cặp vectơ nào cùng phương và những cặp vectơ nào ngược hướng? Lời giải: Trong các vectơ 풗, 풗 , 풗 : • Những cặp vectơ cùng phương là: 풗 và 풗 ; 풗 và 풗 ; 풗 và 풗 . • Những cặp vectơ ngược hướng là: 풗 và 풗 ; 풗 và 풗 .
23. 3. BÀI TẬP Bài 4.1 Hướng dẫn giải: Cho ba vectơ , , đều khác vectơ . Những khẳng định nào sau đây là đúng? a) , , đều cùng phương với vectơ . a) Đúng b) Nếu không cùng hướng với thì ngược hướng với . b) Sai c) Nếu và đều cùng phương với thì và cùng phương. c) Đúng d) Nếu và đều cùng hướng với thì và cùng hướng. d) Đúng
24. Bài 4.2 Hướng dẫn giải: Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, các cặp vectơ ngược hướng và các cặp vectơ bằng nhau. • Các vec tơ cùng phương: , , • Cặp vec tơ ngược hướng: và ; và . • Cặp vectơ bằng nhau: , .
25. Bài 4.3 Hướng dẫn giải: Chứng minh rằng, tứ giác 푪푫 ❖ Giả sử tứ giác 푪푫 là hình bình hành. Ta 푫// 푪 là hình bình hành khi và chỉ khi có 푪 = 푫. 푫 = 푪 푫// 푪 nên 푫, 푪 cùng phương và 푫 = 푪. 푫 Dựa vào hình vẽ ta thấy hai vectơ 푫, 푪 cùng chiều. Vậy 푫 = 푪. ❖ Giả sử 푫 = 푪 ⇒ 푫, 푪 cùng hướng và 푫 = 푪 푫 = 푪 ⇒ 푪 푫// 푪 ⇒Tứ giác 푪푫 là hình bình hành.
26. Bài 4.4 Hướng dẫn giải: Cho hình vuông 푪푫 có hai đường chéo cắt nhau tại O. Hãy chỉ ra tập hợp , 푪, 푫, 푶, , 푪, 푫, S chứa tất cả các vectơ khác vectơ , có • điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp 푺 = 푶, 푪 , 푪 , 푪푫, 푪푶, 푫 , 푫 , , , 푪, 푫, 푶 . 푫푪, 푫푶, 푶 , 푶 , 푶푪, 푶푫 Hãy chia tập S thành các nhóm sao cho hai vectơ thuộc cùng một nhóm khi và • Các cặp vectơ bằng nhau trong tập S: chỉ khi chúng bằng nhau. , 푫푪 , 푫, 푪 , 푶, 푶푪 , , 푪푫 , 푶, 푶푫 , 푪 , 푫 , 푪푶, 푶 , 푫푶, 푶 푶 푪 푫
27. Bài 4.5 Hướng dẫn giải: Trên mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, hãy vẽ các vectơ 푶 , 푴푵 với ; , 푴 ; − , 푵 ; . a) Chỉ ra mối liên hệ giữa hai vectơ trên. b) Một vật thể khởi hành từ M và a) Dựa vào hình vẽ , nhận thấy giá của vectơ chuyển động thẳng đều với vận song song với giá của vec tơ và độ dài tốc (tính theo giờ) được biểu 푶 푴푵 đoạn , chiều đi từ O đến A cùng diễn bởi vectơ 풗 = 푶 . 푴푵 = 푶 chiều đi từ M đến N. Hỏi vật thể đó có đi qua N hay không? Nếu có thì sau bao lâu b) Một vật thể khởi hành từ M và chuyển động vật sẽ tới N ? thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vectơ 풗 = 푶 . Vật thể có đi qua 푵 và sau 3 giờ vật sẽ tới 푵.
28. Vấn đề 1: Xác định vectơ, các vectơ cùng phương, cùng hướng Bài 1 Hướng dẫn giải: Cho hình bình hành 푪푫 tâm 푶. Xác B định các vec tơ có điểm đầu và điểm C cuối từ các điểm , , 푪, 푫, 푶. a) Cùng phương với vec tơ O b) Bằng vectơ A D a) Vectơ cùng phương với vectơ : , 푪푫, 푫푪 b) Vectơ bằng vectơ : 푫푪
29. Vấn đề 1: Xác định vectơ, các vectơ cùng phương, cùng hướng Bài 2 Hướng dẫn giải: Xác định các vec tờ cùng phương, các cặp vec tơ bằng nhau, cặp vec tơ cùng hướng trong hình vẽ dưới đây: • Các vec tơ cùng phương: và ; 풙, 풚, 풛 và 풘; 풖 và 풗. • Các vec tơ cùng hướng: và ; 풙, 풚 và 풛. • Các vec tơ bằng nhau: 풙 và 풚.
30. Vấn đề 2: Chứng minh vectơ bằng nhau Bài 3 Hướng dẫn giải: Cho tứ giác 푪푫. Chứng minh rằng nếu Cho tứ giác 푪푫 có = 푫푪 nên = 푫푪 thì 푫 = 푪. = 푫푪, //푫푪 và chiều từ A đến B cùng chiều từ D đến C nên tứ giác 푪푫 là hình bình hành. Suy ra 푫 = 푪.
31. Vấn đề 2: Chứng minh vectơ bằng nhau Bài 4 Hướng dẫn giải: Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần Do E, F lần lượt là trung điểm của AC và AB lượt là trung điểm của 푪, 푪 , . nên EF là đường trung bình của tam giác Chứng minh rằng 푬푭 = 푪푫. ABC ⇒ 푬푭// 푪 và 푬푭 = 푪. Mà D là trung điểm của BC nên 푪푫 = 푪. Do đó 푬푭//푪푫 và 푬푭 = 푪푫. Do 푬푭, 푪푫 cùng hướng và 푬푭 = 푪푫 nên 푬푭 = 푪푫.
32. Vấn đề 3: Xác định điểm Bài 5 Hướng dẫn giải: Cho tam giác 푪. Dựng điểm D sao Ta có 푫 = 푪 nên 푫 = 푪 và 푫, 푪 cho 푫 = 푪. cùng hướng Vậy điểm D xác định là duy nhất thỏa mãn D nằm trên đường thẳng qua A và song song với BC thỏa mãn 푫 = 푪 và chiều từ A đến D cùng chiều từ B đến C.
33. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 1 Mệnh đề nào sau đây đúng: Hai vectơ cùng phương với một vectơ Hai vectơ cùng phương với một vectơ A thứ ba khác thì cùng hướng. BB thứ ba khác thì cùng phương. 퐇퐚퐢 퐯퐞퐜퐭ơ 퐜ù퐧퐠 퐩퐡ươ퐧퐠 퐯ớ퐢 퐦ộ퐭 퐯퐞퐜퐭ơ 퐭퐡ứ 퐛퐚 퐭퐡ì 퐜ù퐧퐠 퐩퐡ươ퐧퐠 Hai vectơ ngược hướng với một vectơ C . D thứ ba thì cùng hướng. Bài giải A Sai vì hai vectơ đó có thể ngược hướng. B Đúng, vectơ cùng phương nên giá song song (hai đường thẳng cùng song song với đường thứ ba thì song song với nhau) C Sai vì thiếu điều kiện khác D Sai vì thiếu điều kiện khác
34. CÂU 2 Cho lục giác đều 푪푫푬푭 tâm 푶. Khẳng định đúng là: AA Vectơ đối của 푭 là 푫푪 B Vectơ đối của là 푬푫 C Vectơ đối của 푬푭 là 푪 D Vectơ đối của 푶 là 푭푬 Bài giải A Đúng. B Sai vì và 푬푫 là hai vecto bằng nhau. 푭 푪 C Sai vì 푬푭 và 푪 là hai vecto bằng nhau. 푶 D Sai vì 푶 và 푭푬 là hai vecto bằng nhau 푬 푫
35. III CÂU 3 Gọi 푶 là giao điểm của hai đường chéo 푪 và 푫 của hình bình hành 푪푫. Đẳng thức nào sau đây sai? A = 푫푪. B 푶 = 푫푶. C 푶 = 푶푪. D 푪 = 푫 . Bài giải Phân tích các phương án: B C A. = 푫푪: đúng vì chúng cùng hướng và cùng độ dài. B. 푶 = 푫푶: đúng vì chúng cùng hướng và cùng độ dài. O D. 푪 = 푫 : đúng vì chúng cùng hướng và cùng độ dài. A D C. 푶 = 푶푪: sai vì chúng ngược hướng.
36. CÂU 4 Hãy chọn mệnh đề sai: Từ = 푪푫 suy ra: A và 푪푫 cùng phương. B và 푪푫 cùng hướng. C = 푪푫 . D 푫푪 là hình bình hành. Bài giải Từ = 푪푫 suy ra 푫푪 là hình bình hành là một khẳng định sai vì có thể bốn điểm , , 푪, 푫 cùng nằm trên một đường thẳng. Các mệnh đề còn lại đều là các mệnh đề đúng từ định nghĩa hai vectơ bằng nhau.
37. Câu 5 푴 = 푴 . Gọi 푴, 푵 lần lượt là trung điểm của các A B = 푪 . cạnh , 푪 của tam giác đều 푪. Hỏi đẳng thức nào dưới đây đúng? C 푴푵 = 푪. D 푪 = 푴푵 . Bài giải Phân tích: A. 푴 = 푴 sai vì chúng ngược hướng. B. = 푪 sai vì chúng không cùng phương. C. 푴푵 = 푪 sai vì 푴푵 = 푪 . D. 푪 = 푴푵 đúng.
38. Câu 6 Cho hình chữ nhật 푪푫có = , 푪 = ퟒ. Tính độ dài của vectơ 푪 . A 푪 = . B 푪 = . C 푪 = . D 푪 = . Bài giải Ta có: Xét tam giác 푪 vuông tại : 푪 = 푪 = + 푪 = . Phân tích phương án nhiễu: Phương án B: Sai do HS quên lấy căn bậc hai của số . Phương án C: Sai do HS hiểu được 푪 = 푪 và HS tính 푪 = + 푪 = + ퟒ = . Phương án D: Sai do HS tính được 푪 = 푪 = 푪 − = do HS ghi sai đỉnh của hình chữ nhật 푪푫 thành 푫푪