Ứng dụng khoảng cách để tính góc trong hình không gian Lớp 11

Nội dung text: Ứng dụng khoảng cách để tính góc trong hình không gian Lớp 11

1. ỨNG DỤNG KHOẢNG CÁCH ĐỂ TÍNH GÓC TRONG HÌNH KHÔNG GIAN LỚP 11 Bài toán tính góc trong không gian là dạng bài quan trọng trong chương trình toán lớp 11. Đây cũng là dạng toán thường xuất hiện trong kỳ thi THPT Quốc gia những năm gần đây. Giữa hai bài toán tính góc và tính khoảng cách có mối liên hệ rất chặt chẽ. Bài viết này đề cập đến một trong những ứng dụng của khoảng cách, đó là tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian. I. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1. Lý thuyết Trong không gian, cho đường thẳng d và mặt phẳng P không vuông góc và không song song với nhau. Gọi d , P . Ta biết rằng: d, P d,d ·AIH với d là hình chiếu của d trên P , A d và A P , I d  P , H là hình chiếu của A trên P . A d H d' I (P) AH d A, P Từ đó ta có: sin . AI AI Như vậy việc tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P có thể quy về việc tính khoảng cách từ A tới P và tính độ dài AI . 2. Ví dụ minh họa Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB 2a , BC a , ·ABC 120, cạnh bên SD a 3 , SD  ABCD . Gọi là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC , tính sin . 1 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 7 Lời giải S a 3 K D C a H A 2a B
2. Trong mặt phẳng ABCD kẻ DH  AC tại H . Trong mặt phẳng SDH dựng DK  SH tại K . Chứng minh được DK  SAC . Từ đó ta có: d D, SAC DK . Trong ACD có AC AD 2 CD 2 2 AD.CD.cos120 a 7 . 2 1 · a 3  S ADC AD.DC.sinADC 2 2 2 1 a 3 a 21  DH.AC DH . 1 2 2 7 S DH.AC ADC 2  1 1 1 8 a 6 Ta có: d D, SAC DK . DK 2 SD2 DH 2 3a2 4 d B, SAC IB a 6 Gọi I AC  BD . Ta có 1 d B, SAC d D, SAC . d D, SAC ID 4 d B, SAC a 6 1 Gọi SB, SAC . Ta có sin : a 6 . BS 4 4 Câu 2. Cho hình chóp đều S.ABCD có SA AB a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính tan của góc giữa đường thẳng DM và mặt phẳng SAB . 13 15 26 A. tan . B. tan . C. tan . D. tan 3 . 13 5 13 Lời giải S H A I B E O M D C Gọi O AC  BD , ta có O là trung điểm của AC,BD . Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ABCD . ABCD là hình vuông cạnh AB a AC BD a 2 . a 2 SAC có SA SC a , AC a 2 SAC vuông cân tại S SO 2 d D; SAB Gọi E DM  AB , DM , SAB . Ta có sin DE 2 2 2 a 2 a 5 Ta có DM MC DC a DE 2DM a 5 2 2 Kẻ OI  AB tại I và OH  SI tại H . Ta chứng minh được: OH  SAB . Khi đó: d D; SAB DB 2 d D; SAB 2d O; SAB 2OH d O; SAB OB
3. SO.OI a 6 Xét SOI vuông tại O; OH là đường cao nên: OH . SO2 OI 2 6 a 6 d D; SAB 30 sin 3 . DE a 5 15 195 Ta có: sin2 cos2 1 cos vì 00 ;900 . 15 sin 26 Từ đó ta có: tan . cos 13 Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA  ABCD , SA a , AB a 3 , 3a AD . Gọi G là trọng tâm tam giác ACD , I là trung điểm của SB . Góc giữa đường thẳng 2 IG và mặt phẳng SCD bằng 3 3 3 3 A. arcsin . B. arcsin . C. arcsin . D. arcsin . 4 13 13 16 16 Lời giải S H I A D G B C Ta có SB 2a nên suy ra được tam giác SAI đều cạnh a . BI BG Gọi H là trung điểm của SI thì nên IG // HD. BH BD Do đó IG, SCD HD, SCD . a 3 3a Xét tam giác tam giác vuông AHD có AH , AD suy ra HD a 3 . 2 2 1 1 1 1 Vì HS BS nên d H, SCD d B, SCD d A, SCD d 4 4 4 4 1 1 1 1 4 13 3a 3a Mà d d H, SCD . d 2 SA2 AD2 a2 9a2 9a2 13 4 13 d H, SCD 3a 3 Suy ra sin HD, SCD . HD 4 13.a 3 4 13 Câu 4. Cho hình hộp ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB a, AD 2a , A B a 3 . Gọi I là trọng tâm tam giác A C D , là góc giữa đường thẳng ID và mặt phẳng ICB . Giá trị của sin bằng 9 6 6 23 A. . B. . C. . D. . 253 11 2 253 11 Lời giải
4. Gọi là góc tạo bởi đường thẳng ID và mặt phẳng ICB , H là trọng tâm tam giác ACD . d D; ICB 3 d H; ICB Ta có: sin . . ID 2 ID Gọi E là hình chiếu của H lên CB , K là hình chiếu của H lên IE , ta chứng minh được d H ; ICB HK . 2 2a 1 1 a 5 Ta có: HE DC ; D I D B 4a2 a2 . 3 3 3 3 3 Mà A A A B 2 AB 2 3a 2 a 2 a 2 HI a 2 . 5a2 a 23 DI DD 2 D I 2 2a2 9 3 2a .a 2 HE.HI 2a 9 d H; ICB HK 3 sin . HE 2 HI 2 22a2 11 253 9 Câu 5. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C , AA a, AB 2a. Gọi I là trung điểm A B , là góc tạo bởi AC và BIC . Tính cos . 15 10 3 2 A. cos . B. cos . C. cos . D. cos 5 5 5 5 Lời giải d A, BIC ' Gọi K là trung điểm IB , là góc giữa AC ' và BIC ' . Ta có: sin AC ' Ta có:
5. BIC '  ABB A do C I  ABB A BIC '  ABB A IB B K  BIC . B K  IB Mặt khác I là trung điểm A ' B ' nên d A ', BIC ' d B ', BIC ' B ' K EA' d A', BIC ' Gọi E là giao điểm của A ' A và BI , ta có EA d A, BIC ' EA' A' I 1 Mặt khác do AB // A' I EA AB 2 EA' d A', BIC ' 1 a 2 Suy ra d A, BIC ' 2d A', BIC ' 2B ' K 2. a 2 EA d A, BIC ' 2 2 AC ' A A2 A C 2 a 5 d A, BIC ' a 2 10 15 sin cos . AC ' a 5 5 5
6. II. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 1. Lý thuyết a) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. a  ( )  ( ),( ) a, b b  ( ) b) Trong trường hợp 2 mặt phẳng cắt nhau: “Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm”. c) Ứng dụng khoảng cách để tính góc giữa hai mặt phẳng Gọi ,  và c   . Ta có: (α) A AA d A,  sin AH d A,c Như vậy, bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng có thể (β) quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến c H một mặt phẳng và tính khoảng cách từ một điểm đến A' một đường thẳng. 2. Ví dụ minh họa Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng 2 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC . Côsin của góc giữa hai mặt phẳng BMN và BDN bằng 13 10 3 15 A. . B. . C. . D. . 4 5 4 5 Lời giải Gọi O AC BD, I SOMN . 3 1 1 1 Ta có: AC 4, BN 2 2. 6,OI SO SC 2 OC 2 1 và ON SA 2 . 2 2 2 2 Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên BN , BMN . Khi đó: DH  BN , DK  BMN DK  BN . BN  DH BN  HK . BN  DK Từ đó ta có: BMN , BDN D· HK .
7. 2SBDN BD.NO 4 3 OI.BO 4 Ta có: DH và DK 2d O; BMN 2 BN BN 3 OI 2 BO2 5 DK 15 10 Suy ra: sin sin BMN , BDN sin D· HK cosD· HK . DH 5 5 Câu 2. Cho hóp chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA,SB và G là trọng tâm tam giác BCD. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (SBD). Giá trị của sin bằng 2 34 2 2 A. . B. . C. . D. . 43 43 731 43 Lời giải S M I N J D A K E O G B C Dựng đường cao SO của hình chóp. Gọi K SO GM . Ta có: (GMN)(ABCD) GE song song với CD, E OD. Khi đó: N,K,E thẳng hàng và NE BMN  SBD . d(M ,(SBD)) Ta có: sin . d(M , NE) a 2 Dễ thấy tam giác BSD vuâng cân tại S nên SO . 2 4 2a 2 Chứng minh được: KS 4KO SK SO . 5 5 Trong tam giác KMN dựng hai đường cao KI,MJ. a 17 a Ta có: KN SN 2 SK 2 2SN.SK.cos 45 , MN . 10 2 Do đó: 17a2 a2 a . KI.MN a 43 d M , NE MJ 100 16 2 . KN a 17 4 17 10 d(A,(SBD)) a 2 34 d(M ,(SBD)) sin . 2 4 43
8. Câu 3. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AB 3, AD 4, B· AD 120 , cạnh bên SA 2 3 và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, AD, BC . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (MNP) . A. 30. B. 45. C. 60. D. 90. Lời giải J S x M I E N D A B K P C Ta có: (SAD)(SBC) Sx//AD//BC . MI //NP //AB Gọi I là trung điểm của SB . Ta có: NP . MI 2 Dễ dàng chứng minh được IP, MN, Sx đồng quy tại J . Như vậy I là trung điểm của JP , M là trung điểm của JN . d(M ,(SBC)) Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (MNP) . Ta có: sin . d(M , IP) 1 d(M ,(SBC)) d(A,(SBC)) 2 Hạ AK  BC, AE  SK AE  (SBC) d(A,(SBC)) AE . 3 3 AK AB.sin ·ABK 3.sin 60 . 2 1 1 1 1 4 25 6 3 3 3 SAK : AE d(M ,(SBC)) . AE 2 AS 2 AK 2 12 27 108 5 5 1 Ta có d(M , PI) d(N, PI) . 2 ABC : AC 2 AB2 CB2 2AB.CB.cos60 13 AC 13 . JP 2IP SC 13 12 5 , JN 2MN SD 2 7 , PN AB 3 S JPN 3 6 . 1 6 6 3 6 Mặt khác S d(N, JP).JP d(N, JP) d(M , IP) . JPN 2 5 5 2 Vậy sin 45 . 2 Câu 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB 2a , AD a , AA a 3. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng A C B và A C D . Tính sin . 4 15 11 2 15 3 15 A. sin . B. sin . C. sin . D. sin . 19 19 19 19 Lời giải
9. A' B' I H D' C' A B D C Gọi I là hình chiếu vuông góc của D lên A'C ' và H là hình chiếu vuông góc của D lên mp A 'C ' B . Khi đó: DH d D, A'C ' B sin DI d D, A'C ' Ta tính được A ' D 2a;C ' D a 7; A 'C ' a 5; a2 19 2a a 7 a 5 Ta có: S p p 2a p a 7 p a 5 với p A'C 'D 2 2 2S a 19 Trong tam giác A'C ' D : DI A'C 'D A'C ' 5 V Đặt V V ; ta có V V V V ABCD.A'B'C 'D' A'.ABD C '.BCD D.A'C 'D' B.A'B'C ' 6 V V 2a3 3 V V 4. A'C 'BD 6 3 3 Do A'C ' D C ' A' B S A'C 'B S A'C 'D 3V 2a3 3 4a 3 Trong tứ diện A'C ' BD : DH d D, A'C ' B A'C 'BD 2 S A'C 'B a 19 19 2 DH 4a 3 a 19 4 15 Vậy, sin : . DI 19 5 19 Câu 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có AB a, AC a 3, B· AC 150 , AA a . Gọi I là trung điểm của CC . Tính sin của góc giữa mặt phẳng AB I và mặt phẳng ABC . 66 66 418 418 A. . B. . C. . D. . 57 57 11 22 Lời giải B' C' A' a I E B C a a 3 1500 A
10. Gọi E BC  B I . Dễ thấy C là trung điểm của BE . d B, AB I Ta có sin AB I , ABC * . d B, AE 3V * Tính d B, AB I A.BB I 1 S AB I 1 1 2 1 1 1 a3 3 V V . V V a. a.a 3.sin150 A.BB I 2 A.BCC B 2 3 ABC.A B C 3 ABC.A B C 3 2 12 AB a 2 BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC sin150 7a2 BC a 7 a2 a 13 AI AC 2 IC 2 3a2 4 2 a2 a 29 B I BC 2 IC 2 7a2 4 2 a2 22 S AB I 4 a2 3 3V a 66 Do đó từ suy ra d B, AB I A.BB I 4 2 S AB I a 22 22 4 2S 4S * Tính d B, AE ABE ABC 2 AE AE Ta có 1 a2 3 S a.a 3.sin150 ABC 2 4 AB2 AE 2 BE 2 a2 AE 2 AC 2 3a2 7a2 AE 2 19a2 AE a 19 2 4 2 a2 3 4. 2S 4S a 57 Do đó d B, AE ABE ABC 4 AE AE a 19 19 a 66 418 Vậy từ suy ra sin AB I , ABC 22 . a 57 22 19
11. III. BÀI TẬP VẬN DỤNG a Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , SO với O là tâm của đáy. Gọi E 2 là trung điểm cạnh AD , là góc giữa đường thẳng CD và mặt phẳng SBE . Tính sin . 1 3 2 1 A. sin . B. sin . C. sin . D. sin . 2 6 2 3 6 Lời giải S B C F K O P A E D I Gọi F là trung điểm của AB . Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO  ABCD và tứ giác ABCD là hình vuông. Trong ABCD , gọi I BE CD , P AO  BE , K FO  BE . d C, SBE Ta có: sin (1) CI AB AE Do AB//CD nên 1 DI AB a CI ID DC 2a (2) DI ED 1 EO là đường trung bình của ABD EO AB và EO// AB . 2 EO PO 1 1 1 Suy ra PO PA OA . AB PA 2 2 3 d C, SBE CP 4 d C, SBE 4d O, SBE 4d O, SKE . d O, SBE OP Ta có SOKE là tứ diện vuông nên 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 24 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d O, SBE SO OE OK SA OA OE OK a a a a 2 2 4 a 2a d O, SBE d C, SBE (3). 2 6 6 2a 1 Thay (2), (3) vào (1) được sin : 2a . 6 6
12. Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ·ABC 60 và SB a . Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Gọi là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SCD). Tính sin . 3 1 1 2 A. sin . B. sin . C. sin . D. sin . 2 4 2 2 Lời giải S a A D P H B a C Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC . Theo giả thiết ta có SH  (ABC) . Gọi là góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (SCD). d(B,(SCD)) 3 d(H,(SCD)) Ta có sin . SB 2 SB Kẻ HP  SC tại P. +) ABC đều CH  AB CH  CD . CD  CH +) CD  SHC CD  HP . CD  SH HP  SC +) HP  (SCD) HP d(H,(SCD)) . HP  CD a 3 Do ABCD là hình thoi cạnh a và ·ABC 60 nên tam giác ABC là tam giác đều HB 3 3a2 a 6 SH SB2 BH 2 a2 . 9 3 SH  HC 2a 2a 2 Từ đó ta có: d(H,(SCD)) d(B,(SCD)) sin . 2 2 SH HC 3 2 2 Câu 3. Cho lăng trụ đều ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng a . Tính côsin của góc giữa mặt phẳng (A BC ) và mặt phẳng BCC ' B ' . 7 42 42 1 A. . B. . C. . D. . 7 7 14 7 Lời giải
13. B C a A K H B' C' a A' Ta có ( A BC )  BCC ' B ' BC . d(A ; BCC ' B ' Gọi là góc giữa mặt phẳng (A BC ) và BCC ' B ' , khi đó sin . d(A ; BC ) Gọi H là trung điểm của B C . Ta có A H  B C mặt khác A H  BB . a 3 Suy ra A H  BB C C . Do đó: d(A ; BCC ' B ' A H . 2 Trong mặt phẳng (A BC ) kẻ A K  BC . Tam giác A BC cân tại B có A C . 4A B2 A C 2 a 8a2 a2 a 14 A B BC a 2, A C a suy ra A K . 2BC 2a 2 4 a 3 d(A ; BCC ' B ' A H 6 1 7 Suy ra sin 2 . Vậy cos . d(A ; BC ) A K a 14 7 7 7 4 Câu 4. Cho lăng trụ đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng 3 . Gọi M là trung điểm của CC . Tính sin của góc giữa hai mặt phẳng ACB và BMA . 2 1 2 21 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải A' C' B' M I K J A C D B Gọi I là tâm hình chữ nhật ABB A và J là giao điểm của BM và B C . Ta có IJ ACB  BMA . d A, BMA Gọi là góc giữa 2 mặt phẳng ACB và BMA . Khi đó: sin . d A, IJ
14. 1 Gọi D A M  AC , suy ra C là trung điểm của AD BC AD ABD vuông tại B 2 BD  ABB A BDA  ABB A 1 . Dựng AK  A B 2 . 3 Từ 1 và 2 suy ra AK  BDA d A, BDA AK . 2 15 S B AC 4 Tam giác B AC có B A B C 2 , AC 1 . 7 cos ·AB C 8 S B IJ B I B J 1 15 . S B IJ . S B AC B A B C 3 12 1 2 4 2 Ta có: B I B A 1; B J B C IJ B I 2 B J 2 2B I.B J.cos I·B J . 2 3 3 3 2S 15 3 15 2 d A, IJ d B , IJ B IJ sin : . IJ 4 2 4 5